SENSIBILIDAD

Investigación Operativa I

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y PROGRAMACIÓN PARAMÉTRICA (ANÁLISIS POST-OPTIMAL)

Una vez resuelto el problema de programación lineal, puede ocurrir que se pueda hacer variar los parámetros más relevantes del P.P.L., lo cual dará origen a un nuevo problema, pero será necesario en este caso resolver el problema desde el principio. La respuesta es no, afortunadamente, ya que existe el método de análisis de sensibilidad, el cual comienza utilizando la solución óptima del problema original hasta encontrar la solución óptima del problema nuevo. Los cambios que pueden ocurrir para estos objetivos son los siguientes:

1.- Cambios en el vector b.2.- Cambios en el vector C.3.- Cambios en la matriz A.4.-Cambios en el vector X.5.-Cambio en el número de restricciones.

Análisis De Sensibilidad Para Cambios Discretos

-Cambios Del Vector b

:

Supongamos que el siguiente P.P.L. original, cuya solución óptima se conoce, es :

0

..

Z

X

bXA

as

XCMax

Problema Original (PO)

Se produce un cambio discreto en el vector b

, cuyo nuevo valor será bb

, donde

b es un vector de m componentes. El nuevo problema a resolver es:

0

..

Z

X

bbXA

as

XCMax

Problema Nuevo (PN)

Como se comienza de la solución óptima del PO, sabemos que 1B es la inversa de la base óptima B del problema original, entonces la solución al PO es:

BB

B

XCZ

y

bBX

1

Al cambiar b a bb

el vector BX cambia a uno nuevo BX̂ dado por:

bbBX B 1ˆ .

Si 0ˆ BX , entonces será la nueva solución óptima del problema nuevo y el valor

de la función objetivo será BBXCZ ˆ .

Si 0ˆ BX , entonces no será factible y se utilizará el método dual simplex para restaurar la factibilidad y, de hecho, la optimalidad del problema nuevo. El simplex

dual se debe aplicar sobre la tabla óptima del problema original cambiando: BX

por BX̂ .

Ejemplo: Suponga que se quiere producir un volumen X de un producto químico A, el cual se vende a $ 5/litro y otro volumen Y de otro producto químico B, a un precio de $3/litro. Existen dos restricciones, siendo las más importantes: personal y costo de producción. La primera tiene un máximo de 15 personas, mientras que la segunda tiene un máximo de $10/hora de trabajo. Los coeficientes tecnológicos son los siguientes:

Recurso\Producto Producto Químico A Producto Químico B Personal 3 5 Costo de producción 5 2

Sea X1: número de litros del producto químico A. X2: número de litros del producto químico B. El programa lineal y tableau inicial y óptimos son los siguientes:

)(

02X,1X

1022X15X

1525X13X

s.a.23X15X Z

PO

Max

Z X1 X2 X3 X4 Z0 1 -5 -3 0 0 0 X3 0 3 5 1 0 15 X4 0 5 2 0 1 10 1 0 -1 0 1 10 X3 0 0 19/5 1 -3/5 9 X1 0 1 2/5 0 1/5 2 1 0 0 5/19 16/19 235/19 X2 0 0 1 5/19 -3/19 45/19 X1 0 1 0 -2/19 5/19 20/19

0

0

19/20

19/45

4

3

1

2

*

X

X

X

X

NXB

XX 235/19Z*

19/519/2

19/319/51B

a.- Supongamos que producto del mercado laboral, nuevas restricciones al empleo y la situación macroeconómica, se debe reducir a 5 el número de empleados y el costo de producción a $5/hora. El nuevo vector de disponibilidad de recursos es:

5

5

5

10

10

15bb

El nuevo programa lineal a resolver es:

)(

02

X,1

X

52

2X1

5X

52

5X1

3X

s.a.

23X

15X Z:

PN

Max

No es necesario resolver el problema desde el principio, sino que utilizaremos el

análisis de sensibilidad, con el cual, determinamos si el nuevo vector bbBBX 1ˆ

es factible o no. Si no es así, habrá que restablecer la factibilidad y la optimalidad, utilizando el simplex dual, a partir de la tabla óptima del PO. Sea:

019/15

19/10

5

5

19/519/2

19/319/51ˆ

bbBBX

Por lo tanto, el nuevo vector es:

óptimo es 19/15

19/10

1

2BX̂

X

X

El nuevo valor de la función objetivo es:

53.5$19/105*

19/15

19/105 3

1

21C 2BX̂BCZ

Z

X

XC

Hay que notar que una reducción en ambas restricciones, por si redujo la producción de cada producto químico y, por ende, la utilidad esperada.

b.- Supongamos ahora, que el personal se reduce a 10 personas, pero se produce un incremento en el costo máximo por hora de producción, siendo este de $20. El nuevo escenario sería:

)(

02

X,1

X

202

2X1

5X

102

5X1

3X

s.a.2

3X1

5X Z:

PN

Max

Utilizando el análisis de sensibilidad, se tiene que:

019/80

19/10

20

10

19/519/2

19/319/51ˆ

bbBBX

Por lo tanto, el nuevo vector es:

19/80

19/10BX̂ no es óptimo

Por lo tanto, el necesario utilizar simplex dual para restaurar la factibilidad y obtener la optimalidad. De esta manera, utilizando el tableau óptima del PO y reemplazando los valores de la columna BX por BX̂ , se tiene:

Z X1 X2 X3 X4 Z0 1 0 0 5/19 16/19 235/19 X2 0 0 1 5/19 -3/19 -10/19 X1 0 1 0 -2/19 5/19 80/19 1 0 16/3 5/3 0 X4 0 0 -19/3 -5/3 1 10/3 X1 0 1 5/3 1/3 0 10/3

La nueva solución es: X1= 10/3 litros de producto químico A por hora. X2= 0 litros de producto químico B por hora.

El nuevo valor de la función objetivo es:

67,16$3/50*

3/10

3/105 0

1

41C 4BX̂BCZ

Z

X

XC

Es fácil ver que el hecho de sólo producir producto químico A, implica:

10053

103

Obreros, lo cual genera que la holgura X3=0, mientras que la otra restricción:

3

10

3

50-20

4X

203

5002

3

105