942 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables

EjerciciosEn los ejercicios 1 a 12, hallar la derivada direccional de la fun-ción en P en dirección de v.

1. f(x,y) = 3x - 4xy + 9y, P(I, 2), v = ~i + ~j

2. f(x, y) = x3 - y3, P(4, 3), v = .;; (i + j)

3. f(x, y) = xy, P(O, -2), v = Hi + .J3j)

4. f(x,y) =~, P(I, 1), v = -jY

5. h(x, y) = eX sen y, p( 1, f), v = -i

6. g(x, y) = arccos xy, P(l, O), v = j

7. g(x, y) = ..j x2 + y2, P(3, 4), v = 3i - 4j

8. h(x, y) = e-(x2+y2), p(O, O), v = i + j

9. f(x, y, z) = x2 + y2 + Z2, P(l, 1, 1), v = ¿(i - j + k)

10. f(x, y, z) = xy + yz + xz, P(I, 2, -1), v = 2i + j - k11. h(x, y, z) = xyz, P(2, 1, 1), v = (2, 1,2)

12. h(x, y, z) = x arctan yz, P(4, 1, 1), v = (1,2, -1)

En los ejercicios 13 a 16, hallar la derivada direccional de la fun-ción en dirección de u = cos 6 i + sen 6 j.

7T13. f(x,y) = x2 + y2, () = ¡

14. f(x,y) = -y_, () = -!!.6x+y

15. f(x, y) = sen (2x + y), () = f16 () () = 27T• g x, y = xer , 3

En los ejercicios 17 a 20, hallar la derivada direccional de la fun-ción en P en dirección de Q.

17. f(x, y) = x2 + 3y2, P(l, 1), Q(4, 5)

18. f(x, y) = cos(x + y), p(O, 7T), Q(f, O)19. g(x, y, z) = xyez, P(2, 4, O), Q(O, O, O)20. hi», y, z) = In(x + y + z), P(l, O, O), Q(4, 3, 1)

En los ejercicios 21 a 26, hallar el gradiente de la función en elpunto dado.

21. f(x, y) = 3x + 5y2 + 1, (2, 1)22. g(x, y) = Zxer!", (2, O)23. z = In(x2 - y), (2, 3)24. z = cos(x2 + y2), (3, -4)25. w = 3x2 - 5y2 + 2Z2, (1,1, -2)26. w = x tan(y + z), (4,3, - 1)

En los ejercicios 27 a 30, utilizar el gradiente para hallar laderivada direccional de la función en P en la dirección de Q.

27. g(x, y) = x2 + y2 + 1, P(I,2), Q(2,3)

28. f(x, y) = 3x2 - y2 + 4, p( - 1,4), Q(3,6)

29. f(x, y) = eY sen x, P(O, O), Q(2, 1)

30. f(x, y) = sen 2x cos y, P( 7T, O), Q(f, 7T)

En los ejercicios 31 a 40, hallar el gradiente de la función y elvalor máximo de la derivada direccional en el punto dado.

Función Punto

31. f(x, y) = x2 + 2xy

x+y32. f(x, y) = --1

y+

(1, O)

(O, 1)

33. hix, y) = x tan y (2,¡)(o,f)(0,5)(1,2)

(1,4,2)

(O, O, O)

(2, 1, 1)

(2, O, -4)

34. h(x, y) = y cos(x - y)

35. g(x, y) = ye"?

36. g(x,y) = In~37. f(x, y, z) = ../X2 + y2 + Z2

138. w = ----¡:===;¡====:¡::=:::;¡:../1 - x2 - y2 - Z2

39. W = xy2Z2

40. f(x, y, z) = xe"

En los ejercicios 41 a 46, utilizar la función f(x,y) = 3 - ~ - f41. Dibujar la gráfica de f en el primer octante y marcar el punto

(3, 2, 1) sobre la superficie.

42. Hallar Duf(3,2), donde u = cos (}i + sen (}j, 'usando cadavalor dado de ().

a) () = !!. b) ()= 27T4 3

c) () = 47T d) e = _!!.3 6

v43. Hallar Duf(3, 2), donde u = N' usando cada vector v dado.

a) v = i + j

b) v = -3i - 4j

c) ves el vector que va de (1, 2) a (- 2,6).

d) ves el vector que va de (3, 2) a (4, 5).

44. Hallar \lf(x, y).45. Hallar el valor máximo de la derivada direccional en (3, 2).

46. Hallar un vector unitario de u ortogonal a \lf(3, 2) Y calcularDuf(3, 2). Analizar el significado geométrico del resultado.

Investigación En los ejercicios 47 y 48, a) utilizar la gráficapara estimar las componentes del vector en la dirección de latasa máxima de incremento en la función en el punto dado.b) Hallar el gradíente en el punto y compararlo con el estimadodel inciso a). c) ¿En qué dirección decrece más rápido la fun-ción? Explicar.

47. f(x, y) = lo(XZ - 3xy + yZ), 48. f(x, y) = ~y-Jx,

(1,2) (1,2)

2

y

Generado COII Maple Generado con Maplex

49. Investigación Considerar la función

f(x,y) = XZ - yZ

en el punto (4, - 3,7).

a) Utilizar un sistema algebraico por computadora para dibujar lasuperficie dada por esa función.

b) Determinar la derivada direccional Duf(4, - 3) como fun-ción de e, donde u = cos e i + sen ej. Utilizar un sistemaalgebraico por computadora para representar gráficamente lafunción en el intervalo [O, 27T).

c) Aproximar los ceros de la función del inciso b) e interpretarcada uno en el contexto del problema.

d) Aproximar los números críticos de la función del inciso b) einterpretar cada uno en el contexto del problema.

e) Hallar IIV'f(4, - 3)11Y explicar su relación con las respuestasdel inciso d).

f) Utilizar un sistema algebraico por computadora para represen-tar gráficamente la curva de nivel de la función f en el nivelc = 7. En esta curva, representar gráficamente el vector en ladirección de V'f(4, - 3), Y establecer su relación con l~ curvade nivel.

50. Investigación Considerar la función

8yf(x, y) = 1 + XZ + Y Z

a) Verificar analíticamente que la curva de nivel de fi», y) parael nivel c = 2 es un círculo.

b) En el punto (~, 2) sobre la curva de nivel para la cual c = 2,dibujar el vector que apunta en dirección de la mayor tasa oritmo de incremento de la función.

c) En el punto (~, 2) sobre la curva de nivel, dibujar el vectorcuya derivada direccional sea O.

_ d) Utilizar un sistema algebraico por computadora para repre-sentar gráficamente la superficie y verificar las respuestas alos incisos a) a c).

SECCIÓN 13.6 Derivadas direccionales y gradientes 943

En los ejercicios 51 a 54, hallar un vector normal a la curva denivel f(x,y) = e en P.

51. f(x,y) = 6 - 2x - 3y

e = 6, P(O, O)

53. f(x, y) = xy

c=-3, P(-1,3)

52. f(x, y) = XZ + yZ

e = 25, P(3,4)

x54. f(x, y) = -z--z

x + y

e =~, P(l, 1)

En los ejercicios 55 a 58, a) encontrar el gradiente de la funciónen P, b) encontrar un vector normal unitario para la curva denivelf(x, y) = e en P, c) encontrar la recta tangente a la curva denivel f(x, y) = e en P, y á) trazar la curva de nivel, el vector uni-tario normal y la recta tangente en el plano xy.

y 55. f(x, y) = 4xz - y

c = 6, P(2, 10)

57. f(x, y) = 3xz - 2yZ

e = 1, P(l, 1)

56. f(x,y) = x - yZ

C = 3, P(4, -1)

58. f(x, y) = 9xz + 4yZ

e = 40, P(2, -1)

Desarrollo de conceptos59. Definir la derivada de la función z = f(x, y) en la dirección

de u = cos ei + sen ej.

60. Redactar un párrafo que describa la derivada direccional dela función f en la dirección de u = cos ei + sen ej cuandoa) e = 0° y b) e = 90°.

61. Definir el gradiente de una función de dos variables. Dar laspropiedades del gradiente.

62. Dibujar la gráfica de una superficie y elegir un punto P sobrela superficie. Dibujar un vector en el plano xy que indique ladirección de mayor ascenso sobre la superficie en P.

63. Describir la relación del gradiente con las curvas de nivel deuna superficie dada por z = f(x, y).

Para discusión64. Considerar la función' f(x, y) = 9 - XZ - y2

a) Trazar la gráfica de f en el primer octante y graficar elpunto (1, 2, 4) sobre la superficie.

b) Encontrar Duf(I,2), donde u = cos ei + sen ej. para(J = -n/4.

c) Repetir el inciso b) para (J = n/3.

d) Encontrar V'f(l, 2) Y IIV'f(l, 2)11·

e) Encontrar un vector unitario u ortogonal para V'f(1, 2) ycalcular Duf(l, 2). Discutir el significado geométrico delresultado.

65. Distribución de temperatura La temperatura en el punto (x, y)de una placa metálica es

xT=--XZ + yZ'

Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto(3,4).