El gradiente y la derivada direccional

8/16/2019 El gradiente y la derivada direccional

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Gradiente y Derivada Direccional

Cátedra Matemática del PIT


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Propósito de la Unidad

• Hallar y usar las derivadasdireccionales de una funciónde dos variables.

• Hallar el gradiente de unafunción de dos variables.

• Utilizar el gradiente de unafunción de dos variables en

aplicaciones.

• Hallar las derivadasdireccionales y el gradiente defunciones de tres variables


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Derivada Direccional

Suponer que se está en la colina de la figura 1 yse quiere determinar la inclinación de la colinarespecto al eje z. Si la colina está representadapor = ( , ) se sabe cómo determinar lapendiente en dos direcciones diferentes: lapendiente en la dirección de y está dada por la

derivada parcial , , y la pendiente en ladirección de x está dada por la derivada parcial , .Para determinar la pendiente en un punto deuna superficie, se definirá un nuevo tipo dederivada llamada derivada direccional. Sea = ( , ) una superficie y ( , ) un punto en eldominio de , como se muestra en la figura 2. La“dirección” de la derivada direccional está dadapor un vector unitario

=

y

z

x

Superficie = ( , )

. 1


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Fig. 2

Fig. 3

donde es el ángulo que forma el vector con eleje x positivo. Para hallar la pendiente deseada,se reduce el problema a dos dimensionescortando la superficie con un plano vertical quepasa por el punto P y es paralelo a u como se

muestra en la figura 3 Este plano vertical cortala superficie formando una curva C. Lapendiente de la superficie en en (x 0,y0,f(x0,y0) ladirección de u se define como la pendiente de lacurva C en ese punto.

De manera informal, se puede expresar lapendiente de la curva C como un límite análogoa los usados en el cálculo de una variable. Elplano vertical utilizado para formar C corta elplano xy en una recta L, representada por las

ecuaciones paramétricas,


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erivada ireccional

= =

de manera que para todo valor de t, el Q(x,y) seencuentra en la recta L. Para uno de los puntos P y Q,hay un punto correspondiente en la superficie.(x0,y0,f(x0,y0)) Punto sobre P.(x,y,f(x,y)) Punto sobre Q.

Como la distancia entre P y Q es( ) ( ) = ( ) ( )

=


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erivada ireccional

Se puede escribir la pendiente de la recta secante que pasa por(x0,y0,f(x0,y0)) y (x,y,f(x,y)) como

, ( , ) =

( , ( , )

Por último, haciendo que t se aproxime a 0, se llega a la definiciónsiguiente:

DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DIRECCIONAL

Sea f una función de dos variables x y y, y sea u = i+ junvector unitario. Entonces la derivada direccional de f en ladirección de u que se denota

, = lim→

( , ( , )

Siempre que este límite exista.


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erivada ireccional

Si f es una función diferenciable de x y y,entonces la derivada direccional de f en ladirección del vector unitario u = i+ j es

, = , , .

Ejemplo I: Hallar la derivada direccional:Hallar la derivada direccional de

, = 4 , Superficie.

En (1,2) en la dirección = cos sen Dirección.


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Ejemplo 2. Halla una derivada direccionalHallar la derivada direccional , = 2 ; Superficie.

En (1, ) en la dirección v = 3i - 4 j

Solución: Como y son continuas, es diferenciabley se puede aplicar la definición de derivada direccional.Se comienza por calcular un vector unitario en ladirección de v.

=

=

= i+ j

Usando este vector unitario, se tiene , = 2 2 (2 2 ) ( ).

1,2

= (2 )(35

) (2 )(45

)

=

( )(

)

= 8


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Solución apoyada en eltutorial de Maplesoft


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Fig. 5

Derivada DireccionalEl gradiente de una función de dos variablesEl gradiente de una función de dos variables esuna función vectorial de dos variables.Esta función tiene múltiples aplicacionesimportantes.

DEFINICIÓN DE GRADIENTE DE UNAFUNCIÓN DE DOS VARIABLESSea z = f (x,y) una función de x e y tal que y existen. Entonces el gradiente de f, denotadopor , , es el vector

, = , ,

se lee como “nabla ” . Otra notación para elgradiente es grad En la figura 4 hay queobservar que para cada (x,y), el gradiente

, es un vector en el plano (no un vectoren el espacio).


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Ejemplo 3. Hallar el gradiente de la función.Hallar el gradiente de f(x,y) = y*lnx + xy 2 en el punto (1,2)Solución: Utilizando

, =

y , = 2

Se tiene

, = ( 2 )j

En el punto (1,2) el gradiente es 1,2 =

21

2 1 2 1 2

= 6i + 4 j


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Forma Alternativa de laDerivada Direccional

FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONALSi f es una función diferenciable de x y y entonces laderivada direccional de f enla dirección del vector unitario u es:

, = , .

Ejemplo: Hallar una derivada direcciona usando ,Hallar la derivada direccional def(x,y) = 3x2-2y2 en (- , 0) en la dirección P( , 0) a Q(0,1)SoluciónSe puede escribir en la dirección PQ = v = 0 1 0

= Y un vector unitario en esta dirección es

= = Fig. 6


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Como , = , , = 6xi-4yj, elgradiente en ( , 0) es

( ,0) = , 0 .

=

9

2 0 . = 7

Aplicaciones del gradiente

Se ha visto ya que hay muchas derivadas direccionales en unpunto de una superficie. En muchas aplicaciones, se deseasaber en qué dirección moverse de manera que crezca másrápidamente. Esta dirección se llama la dirección de mayorascenso, y viene dada por el gradiente, como se establece enel teorema siguiente.


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Calculo de la Derivada Direccionalusando Hoja de Trabajo


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Propiedades del Gradiente

• Sea diferenciable en el punto (x,y).• Si , = 0, , = 0 •

La dirección de máximo incremento de esta dada por , .El valor máximo de , es ,

• La dirección de mínimo incremento de esta dada por , . El valor mínimo de , es - , .


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Propiedades del Gradiente

Para visualizar una de las propiedades delgradiente, imaginar a un esquiador quedesciende por una montaña. Si ,denota la altitud a la que se encuentra elesquiador, entonces , indica ladirección de acuerdo con la brújula que debetomar el esquiador para seguir el camino dedescenso más rápido. (Recuérdese que elgradiente indica una dirección en el plano xyy no apunta hacia arriba ni hacia abajo de laladera de la montaña.)

Otra ilustración del gradiente es latemperatura , en cualquier punto, de una placa metálica plana. En este

caso, , da la dirección de máximoaumento de temperatura en el punto ,como se ilustra en el ejemplo siguiente.


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Hallar la dirección demáximo incremento

La temperatura en grados Celsius sobre la superficie de una placametálica es:

T(x,y) = 20– 4x2-y2

Donde x,y se mide en centímetros. ¿En qué dirección crece más

rápidamente la temperatura en el punto (2,3)? ¿Cuál es el ritmo decrecimiento?Solución: el gradiente es

, = , , = -8xi – 2y j.

Se sigue que la dirección de máximo incremento está dada por

2, 3 = 16 6Y la tasa de incremento es

2, 3 = 256 36= 292= 17.09°C/por centímetro


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EL GRADIENTE Y LAS CURVAS DENIVELEl gradiente es un vector normal a lascurvas de nivel.Si es diferenciable en , ≠ 0,entonces , es normal(ortogonal) a la curva de nivel que pasapor , .Ejemplo: Hallar un vector normal a unacurva de nivel.Dibujar la curva de nivel quecorresponde a c = 0 para la función dadapor , = y hallar unvector normal a varios puntos de lacurva.Solución La curva de nivel c = 0 paraestá dada por0 = y – senxy = senx

Vector gradiente y curvas de nivel


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como se muestra en la figura 6 Como el vector gradiente de en (x,y) es , = , ,

= - cos xi + jse puede utilizar el teorema 13.12 para concluir que es normal a la curva de nivelen el punto (x, y). Algunos vectores gradiente son:

,0 =

(23

,3

2 ) =

12

(2

, 1) =

3

,3

2

= 1

2

0,0 =

3,

32

= 12

2, 1 =

Vector Gradiente yCurvas de Nivel


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Calculo del Gradienteapoyado en Maplesoft


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Calculo de la Derivada Direccionalusando Hoja de Trabajo


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Funciones de Tres Variables

Las definiciones de derivada direccional y gradiente se puedenextender de manera natural a funciones de tres o más variables.Como a menudo pasa, algo de la interpretación geométrica sepierde al generalizar funciones de dos variables a funciones de tresvariables. Por ejemplo, no se puede interpretar la derivadadireccional de una función de tres variables como una pendiente.Las definiciones y propiedades de la derivada direccional y delgradiente de una función de tres variables se dan en el resumensiguiente.

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE PARA FUNCIONES DETRESVARIABLESSea una función de x, y y z, con derivadas parciales de primerorden continuas. La derivada direccional de en dirección de unvector unitario u = a i + b j+ ck está dada por:

, , = , , , , ( , , )


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Propiedades del Gradiente deTres Variables

El gradiente se define como: , , = , , , ,

, , Las propiedades del gradiente son:1. , , = , , .2. Si , , = 0, , , =0 3. La dirección de máximo incremento de esta dada por

, , .El valor máximo de , , es , ,

4. La dirección de mínimo incremento de esta dada por , , . El valor mínimo de , , es

- , , .


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El Gradiente y Los CamposVectoriales

Un campo vectorial sobre una región planaR es una función F que asigna un vectorF(x,y) a cada punto en R.Un campo vectorial vectorial sobre unaregión sólida Q en el espacio es unafunción F que asigna un vector F(x,y,z) acada punto en Q. El gradiente es unejemplo de campo vectorial. Algunosejemplos físicos comunes de camposvectoriales son los campos de velocidades,los gravitatorios y los de fuerzas eléctricas.


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El Gradiente y los CamposVectoriales

Un campo de velocidades describe elmovimiento de un sistema de partículas en elplano o en el espacio. Por ejemplo, la figura 7

muestra el campo vectorial determinado poruna rueda que gira en un eje. Los vectoresvelocidad los determina la localización de suspuntos iniciales: cuanto más lejano está unpunto del eje, mayor es su velocidad. Otroscampos de velocidad están determinados porel flujo de líquidos a través de un recipiente opor el flujo de corrientes aéreas alrededor deun objeto móvil

Fig.7

Fig.8


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El gradiente y los camposvectoriales

Los campos gravitatorios los define la leyde la gravitación de Newton, que estableceque la fuerza de atracción ejercida en unapartícula de masa m 1 localizada en (x, y, z)por una partícula de masa m 2 localizadaen (0, 0, 0) está dada por

F(x,y,z) −+ +

donde G es la constante gravitatoria y u esel vector unitario en la dirección del origena (x, y, z). En la figura 9 se puede ver que elcampo gravitatorio F tiene las propiedadesde que todo vector F(x, y, z) apunta hacia elorigen, y que la magnitud

Fig.9


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El gradiente y los camposvectoriales

de F(x, y, z) es la misma en todos los puntosequidistantes del origen. Un campo vectorial conestas dos propiedades se llama un campo de fuerzascentral. Utilizando el vector posición

=

para el punto (x, y, z), se puede expresar el campogravitatorio F como

, , = .

Los campos de fuerzas eléctricas se definen por la

ley de Coulomb, que establece que la fuerza ejercidaen una partícula con carga eléctrica localizada en(x, y, z) por una partícula con carga eléctrica localizada en (0, 0, 0) está dada por

, , =


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El gradiente y la ecuación delplano tangente

Sea F diferenciable en un punto ( , , )de la superficie dada por F(x,y,z) = 0 tal que

( , , ) ≠ 0.Al plano que pasa por P y es normal a

( , , ) se le llama plano tangente a Sen P.A la recta que pasa por P y tiene la direcciónde ( , , ) se le llama recta normal a Sen P.

Si F es diferenciable en ( , , ), entonces una ecuación del planotangente a la superficie dada por F(x,y,z) = 0 en ( , , ) es:

( , , )( ) + ( , , )( ) + ( , , )( )=0


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El gradiente y su relación con elmétodo de los multiplicadores

de LagrangeSean y funciones que satisfacen las hipótesis delteorema de Lagrange, y sea una función que tiene unmínimo o un máximo sujeto a la restricción , = .Para hallar el mínimo o el máximo de , seguir los pasosdescritos a continuación.1. Resolver simultáneamente las ecuaciones , =

∆ ( , ) y , = . resolviendo el sistema deecuaciones siguiente.

, = , , = ,

, = .2. Evaluar en cada punto solución obtenido en el primerpaso. El valor mayor da el máximo de sujeto a larestricción g(x,y) = c y el valor menor da el mínimo de sujeto a la restricción , = .


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DerivadaDireccional

Conocidos: , , el punto P x, y y la dirección dada por un vectorv = i+ j

, = , , .

Conocidos: , , dirección dada por puntos P x, y , y

la , = , .

Conocidos : , o el , y el punto P x,y se aplican las ecuaciones:

, es , y , es - , .Para hallar los valores máximo y mínimo respectivamente de lasderivadas direccionales.

Conocidos : , o el , y el punto P x,y se aplican las ecuaciones:

, es , y , es - , .Para hallar los valores máximo y mínimo respectivamente de lasderivadas direccionales.

Gradiente

Conocidos: , y un punto P(x,y) se aplica laecuación , = , ,

Conocidos: , , y un punto P(x,y,z) se aplica laecuación , = , ,

Aplicaciones importantes:Multiplicadores de Lagrange: , = ∆ ( , ) y , = .

Ecuación del plano tangente: ( , , )( ) + ( , , )( ) + ( , , )( )=0

Conocidos: , o el , y el punto P x,y se aplican lasecuaciones: , es , y , es - , .Para hallar los valores máximo y mínimo respectivamente de lasderivadas direccionales.

Mentefacto de la Unidad


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Los grandes espíritus siempre hanencontrado una violenta

oposición de parte de mentesmediocres.

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