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Derivada direccional j sen i u cos Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario Denotada por: t y x f sen t y t x f y x f D t u ) , ( ) , cos ( lim ) , ( 0 ) , ( y x f D u se define como siempre que ese límite exista.
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Derivada direccional
jseniu cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario
Denotada por:
t
yxfsentytxfyxfD
tu
),(),cos(lim),(
0
),( yxfDu se define como
siempre que ese límite exista.
Interpretación geométrica de la derivada direccional
),(/),,( yxfzzyx
C
),(,, bafba
zz
sentby
tax
cos
:
u
x
y
a
f(a, b)
f(a+dx, b)
a+dx
Plano
t
baftsenbtaft
bafyxfm
),(),cos(
),(),(sec
Interpretación geométrica de la derivada direccional
(a, b) (x, y)
f (x, y)
t
tbyax 22
x
y
a
f(a, b)
f(a+dx, b)
a+dx
Plano
t
baftsenbtafm
ttag
),(),cos(lim
0
tagu mbafD ),(
Interpretación geométrica de la derivada direccional
(a, b) (x, y)
f (x, y)
t
Interpretación geométrica de la derivada direccional
Derivada direccional
jseniu cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario
es:
senyxfyxfyxfD yxu ),(cos),(),(
Demostración de la forma de cálculo de la derivada direccional
Fijado un punto (a, b) y sea
senyxfyxftg yx ),(cos),()(
Por ser f una función diferenciable de x e y, podemos aplicar la regla de la cadena.
Si t=0
sentbytax ;cos
),()( yxftg
)(),()(),()( tyyxftxyxftg yx
senbafbafg yx ),(cos),()0(
Demostración de la forma de cálculo de la derivada direccional
Por otro lado
),(
),(),cos(lim
)0()(lim)0(
0
0
bafDt
bafsentbtaft
gtgg
u
t
t
senbafbafg yx ),(cos),()0(
Por lo tanto
senbafbafbafD yxu ),(cos),(),(
Gradiente de una función de dos variables
),( yxf
Sea z=f (x, y) una función de x e y, tal que fx y fy existen. Se llama gradiente de f, al vector
Se “lee delta de f ”
Otra notación
f
),( yxfgrad
jyxfiyxfyxf yx
),(),(),(
Es un vector del plano xy
Forma alternativa de la derivada direccional
jseniu cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario
es:
uyxfyxfDu
),(),(
Propiedades del Gradiente
),(),(demáximovalorEl
).,(pordada
vienededirecciónLa
yxfesyxfD
yxf
fdeocrecimientmáximo
u
Sea z=f (x, y) una función diferenciable en el punto (x, y)
uyxfyxf
todopara0),(Dentonces0),(Si u
Propiedades del Gradiente
),(),(demínimovalorEl
).,(pordada
vienededirecciónLa
yxfesyxfD
yxf
fdeocrecimientmínimo
u
entonces es normal a la curva de nivel que pasa por (x0, y0)
0),( 00
yxf
Sea z=f (x, y) una función diferenciable en el punto (x0, y0) y
),( 00 yxf
Derivada direccional máxima
Derivada direccional para funciones de tres variables
kcjbiau
Si f es una función diferenciable de x, y, z su derivada direccional en la dirección del vector unitario
es:
),,(),,(),,(),,( zyxfczyxbfzyxafzyxfD zyxu
1u
Gradiente de una función de tres variables
Sea w = f (x, y, z) una función de x, y,y z tal que fx,, fy y fz existen. Se llama gradiente de f, al vector
kzyxfjzyxfizyxfzyxf zyx
),,(),,(),,(),,(
uzyxfzyxfDu
),,(),,(
La derivada direccional en términos del gradiente
Propiedades del gradiente de una función de tres variables
uzyxfzyxf
todopara0),,(Dentonces0),,(Si u
),,(),,(demáximovalorEl
).,,(pordada
vienededirecciónLa
zyxfeszyxfD
zyxf
fdeocrecimientmáximo
u
entonces es normal a la superficie de nivel que pasa por (x0, y0,z0)
0),,( 000
zyxf
Sea u=f (x, y,z) una función diferenciable en el punto (x0, y0,z0) y
),,( 000 zyxf
