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CALCULO VECTORIAL UNIDAD IV

4.7 Derivada direccional y Gradiente de una función escalar de un vector.

Si se quiere determinar la inclinación de una colina (fig. 1) respecto al eje z y

ésta, está representada por z=f ( x , y ), se sabe como determinar la pendiente en la dirección de x y en la dirección de y (usando derivadas parciales), las que nos servirán para calcular la pendiente en cualquier dirección.Surge entonces un nuevo concepto derivada direccional, que nos permitirá calcular la pendiente en un punto de la superficie.

Sea z=f ( x , y ) una superficie y P( x0 , y0 )un punto en el dominio de f (como se observa en la fig.2). La “dirección” de la derivada direccional está dada por un

vector unitario u=cosθ i+senθ j , donde θ es el ángulo que forma el vector con el eje x positivo.Para hallar la pendiente deseada se reduce el problema a dos dimensiones cortando la superficie con un plano vertical que pasa por el punto P y es paralelo a u , como se ve en la fig.3. Este plano vertical corta la superficie formando una

curva C . La pendiente de la superficie en el punto ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))en la dirección de u se define como la pendiente de la curva C en ese punto.El plano vertical que se utiliza para formar C corta al plano xy en una recta L , que representamos con las ec. Paramétricas:

x=x0+ t cosθ y y= y0+tsenθ

fig. 1fig. 2 fig.3

PROFRA. ALEJANDRA CRUZ REYES 1


Sea f una función de dos variables x y y y sea u=cosθ i+senθ j un vector

unitario. Entonces la derivada direccional de f en la dirección de u que se

denota como Du f es:

La forma más simple para hallar las derivadas direccionales emplea las derivadas parciales. Y es el siguiente teorema el que utilizamos en la práctica.

Teorema: Derivada direccional.

Hay una cantidad infinita de derivadas direccionales en un punto dado de una superficie, una para cada dirección dada por u , dos de ellas son las derivadas

parciales f x , f y . Ver fig.4



fig.4

La derivada direccional da la razón de cambio de los valores de f ( x , y )con respecto a la dirección del vector unitario u .

Ejercicios:

1. Hallar la derivada direccional de f ( x , y )=4−x2−1

4y2

, en el punto (1,2)en la

dirección de u=(cos

π3

)i+(sen π3

) j

2. Hallar la derivada direccional de f ( x , y )=x2sen2 y , en

(1 ,π2

) en la dirección de

v=3 i−4 j



EL GRADIENTE DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES.

El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables. Esta función tiene muchas aplicaciones importantes, algunas las veremos más adelante.

Fig.5

∇ f ( x , y )=f x ( x , y )i+f y ( x , y ) j∇ f se lee como “delta (invertida) f”. Otra

notación para el gradiente es grad f ( x , y )

En la fig.5 debemos observar que para cada punto ( x , y ) el gradiente es un vector en el plano no en el espacio.

TEOREMA: forma alternativa de la derivada direccional.



Aplicaciones del gradiente.

En muchas aplicaciones se desea conocer la dirección de mayor ascenso y ésta

viene dada por el gradiente, como lo dice el siguiente teorema.

TEOREMA: PROPIEDADES DEL GRADIENTE.

Ejemplos:

1. La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es

T ( x , y )=20−4 x2− y2, donde x y y se miden en cm. ¿En qué dirección a

partir de (2 ,−3 ) aumenta más rápido la temperatura? ¿Cuál es la tasa o

ritmo de crecimiento?



TEOREMA: EL GRADIENTE ES NORMAL A LAS CURVAS DE NIVEL.

EJEMPLO.

Hallar la curva de nivel que corresponde a C=0 para la función dada por

f ( x , y )= y−senx



PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE.



TEOREMA: ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE.


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