Semana 02 - Deriva Direccional - Gradiente

7/25/2019 Semana 02 - Deriva Direccional - Gradiente

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Departamento de Ciencias 2016-0 1

SEMANA 2CURSO: CLCULO III

Tema :

DERIVADA DIRECCIONAL Y VECTOR GRADIENTE

En el mapa del clima de la figura, se muestra un mapa de curvas de nivel de la funcin temperatura

( , )T x y para los estados de California y Nevada a las 3 pm de un da de octubre. Las curvas de nivel

unen localidades con la misma temperatura.

La derivada parcial xT en un lugar como Reno es la razn de cambio de la temperatura con respecto

a la distancia si viaja hacia el este desde Reno; yT es la razn de cambio de la temperatura si viaja

hacia el norte. Pero Qu sucede si queremos saber la razn de cambio de la temperatura cuando

viaja al sureste?

Ahora, suponer que se est en la colina de la figura y se quiere determinar la inclinacin de la colina

respecto al eje z. Si la colina est representada por ( , ) ,z f x y se sabe cmo determinar la

pendiente en dos direcciones diferentes: la pendiente en la direccin deyest dada por la derivada

parcial ( , ) ,yf x y y la pendiente en la direccin de xest dada por la derivada parcial ( , )xf x y .

Veremos mas adelante que estas dos derivadas parciales pueden usarse para calcular la pendiente encualquier direccin.

Derivada direccional vector radiente


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Para determinar la pendiente en un punto de una superficie, se definir un nuevo tipo de derivada

llamada derivada direccional. Sea ( , )z f x y una superficie y 0 0( , )P x y un punto en el

dominio def, como se muestra en la figura 1. La direccin de la derivada direccional est dada por

un vector unitario.

u cos i+ sen j

donde es el ngulo que forma el vector con el eje xpositivo. Para hallar la pendiente deseada, se

reduce el problema a dos dimensiones cortando la superficie con un plano vertical que pasa por el

punto Py es paralelo a u, como se muestra en la figura 2. Este plano vertical corta la superficie

formando una curva C. La pendiente de la superficie en0 0 0 0( , , ( , ))x y f x y en la direccin de use

define como la pendiente de la curva C en ese punto.

Figura 1 Figura 2

De manera informal, se puede expresar la pendiente de la curva Ccomo un lmite anlogo a los

usados en el clculo de una variable.

Definicin.Seafuna funcin de dos variablesxyy, y sea u cos i+ sen jun vector unitario. Entonces la

derivada direccional de f en la direccin de u, que se denota ( , )uD f x y , es

0

( cos , ) ( , )( , ) lim

u

t

f x t y tsen f x yD f x y

t

Siempre que el lmite exista

Calcular derivadas direcciones empleando esta definicin es lo mismo que encontrar la derivada deuna funcin de una variable empleando el proceso de lmite. Una frmula ms simple para hallarderivadas direccionales emplea derivadas parciales.


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Teorema Si ( , )z f x y es una funcin diferenciable de ,x y , entonces la derivada direccional defen la direccin del vector unitario cos u = i jsen es

( , ) ( , )cos ( , )

u x yD f x y f x y f x y sen

Ejemplo 1 Calcula, la derivada direccional de la funcin 2 2( , ) 3f x y x xy en el punto (1,2)P enla direccin que va desde el origen hacia este punto.

Solucin

2

( 1,2)

( 1,2)

2 3 14f

x yx

; (1,2)

(1,2)

6 12f

xyy

; adems

2 2

(1,2) 1 2,

5 51 2

vu

v

.

Por lo tanto1 2 38

(1,2) 14 12

5 5 5u

D f

.

Ejemplo 2 Hallar la derivada de la funcin 3 22f ( x, y ) x xy y en el punto 1 2P( , ) y en ladireccin que va desde este punto al punto 4 6N( , )

Solucin

Sea (4,6) (1, 2) (3, 4) 5a PN N P a . El vector unitario es3 4

( , ) ,5 5

a

a

2

( 1,2)

( 1,2)

3 1f

x yx

; ( 1,2)

(1,2)

4 9f

x yy

. Por lo tanto

3 4 33(1,2) 1 9

5 5 5uD f

.

Ejemplo 3 Suponga que la temperatura (en grados Celsius) en el punto (x,y) cerca de unaeropuerto est dado por

1

( , ) 7400 4 9 (0.03)180

f x y x y xy

(con las distancias x y y medidas en kilmetros). Suponga que su avin despega del aeropuerto en

la ubicacin (200,200)P y se sigue al noreste en la direccin especificada por el vector

(3,4)v Cul es la tasa de cambio inicial de la temperatura que se observar?

Solucin

Como v no es un vector unitario, primero debemos reemplazarlo como uno que s lo sea y que este

en la misma direccin:


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2 2

(3,4) 3 4( , )5 53 4

vu

v

.

Ahora utilizamos la formula

3 1 4 1( , ) 4 (0.03) 9 (0.03) .5 180 5 180

uD f x y y x

Cuando se sustituye 200x y , se encuentra que

3 1 4 15 18( ) 0.1

5 180 5 180 180uD f P

Esta tasa instantnea de cambio -0.10C/Km significa que se observar en un inicio una disminucinde 0.10C en la temperatura por cada kilmetro que se viaje.

Ejemplo 4 Hallar la derivada direccional de 2 2f ( x, y ) x sen( y ) , en 1 2( , / ) en la

direccin de v= 3 i4j.

Solucin

Comoxf y yf son continuas,fes diferenciable, se puede aplicar el teorema. Se comienza

por calcular un vector unitario en la direccin de v.

u=v

v=

3

5i

4

5j

Usando este vector unitario, se tiene

2( , ) (2 2 )(cos ) (2 cos 2 )( ) uD f x y xsen y x y sen

3 4(1, ) (2 ) (2cos )

2 5 5

3 4 (0) ( 2)

5 5

85

uD f sen


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GRADIENTE DE UNA FUNCIN

El gradiente de una funcin de dos variables es una funcin vectorial de dos variables. Estafuncin tiene mltiples aplicaciones importantes, algunas de las cuales se describen ms

adelante.

DefinicinSea ( , )z f x y una funcin dexyytal que

xf y yf existen. Entonces el gradiente def, denotado

por ( , ) ,f x y , es el vector

( , ) ( , ) xf x y f x y i+ ( , )yf x y j

fse lee como nablaf . Otra notacin para el gradiente es grad ( , )f x y . En la figurahay que observar que para cada ( , )x y , el gradiente ( , )f x y es un vector en el plano (no

en el espacio).

Ejemplo 1Hallar el gradiente de 2( , ) ln f x y y x xy en el punto (1,2).

Solucin

Utilizando 2( , ) xy

f x y yx

y ( , ) ln 2 yf x y x xy

Se tiene 2( , )

yf x y yx

i+ (ln 2 )x xy j

En el punto (1,2), el gradiente es

22(1,2) 21

f i+ (ln1 2(1)(2)) j = 6i + 4j


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Como el gradiente def es un vector, se puede expresar la derivada direccional def en ladireccin de ucomo

( , ) [ ( , )u xD f x y f x y i+ ( , )yf x y j ] [cos i+ sen j ]

En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente y el vectordireccin. Este til resultado se resume en el teorema siguiente.

TEOREMA 1 Forma alternativa de la derivada direccionalSi fes una funcin diferenciable dexyy, entonces la derivada direccional defen la direccin del

vector unitario ues( , ) ( , ) uD f x y f x y u

Ejemplo 2Hallar la derivada direccional de 2 2( , ) 3 2 f x y x y en el punto (-3/4,0). En la direccinde ( 3 / 4,0)P a (0,1)Q .

SolucinComo las derivadas def son continuas,f es diferenciable y se puede aplicar el teorema 1.Un vector en la direccin especificada es

PQ v=3

04

i+ (1 0) j =

3

4i+ j

y un vector unitario en esta direccin es

u=v

v=

3

5i+

4

5j

Como ( , ) ( , ) xf x y f x y i + ( , )yf x y j = 6x i 4 yj , el

gradiente en (-3/4,0) es

3 9,0

4 2

f i+ 0j

Por consiguiente, en (-3/4,0) la derivada direccional es

3,0 ( , )

4

uD f f x y u

9 3 40

2 5 5

i j i j

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APLICACIONES DEL GRADIENTE

Se ha visto ya que hay muchas derivadas direccionales en un punto ( , )x y de una

superficie. En muchas aplicaciones, se desea saber en qu direccin moverse de manera que

( , )f x y crezca ms rpidamente. Esta direccin se llama la direccin de mayor ascenso, y

viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema siguiente.

TEOREMA 2 Propiedades del gradienteSeafdiferenciable en el punto ( , )x y

1.

Si ( , ) f x y 0, entonces ( , ) 0uD f x y para todo u.

2.

La direccin de mximo incremento de f est dado por ( , )f x y . El valor mximo de

( , )uD f x y es ( , )f x y .

3.

La direccin de mnimo incremento de f est dado por ( , )f x y . El valor mnimo de

( , )uD f x y es ( , ) f x y .

Para visualizar una de las propiedades delgradiente, imaginar a un esquiador que

desciende por una montaa. Si ( , )f x y denota

la altura a la que se encuentra el esquiador,

entonces ( , )f x y indica la direccin de

acuerdo con la brjula que debe tomar elesquiador para seguir el camino de descensoms rpido. (Recurdese que el gradienteindica una direccin en el plano xy y no apunta

hacia arriba ni hacia debajo de la ladera de lamontaa).

Otra ilustracin del gradiente es la temperatura

( , )T x y en cualquier punto ( , )x y de una placa

metlica plana. En este caso, ( , )T x y da la

direccin de mximo aumento de temperatura

en el punto ( , )x y , como se ilustra en el

siguiente ejemplo.

Ejemplo

La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metlica es2 2( , ) 20 4 T x y x y dondexyyse miden en centmetros. En qu direccin a partir de

(2,-3) aumenta ms rpido la temperatura? Cul es la tasa o ritmo de crecimiento?

SolucinEl gradiente es

( , ) ( , ) xT x y T x y i+ ( , )yT x y j


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8 x i+ 2 y j

Se sigue que la direccin de mximo incremento estdada por

(2, 3) 16

T i+ 6 j

Como se muestra en la figura, y la tasa de incremento es

(2, 3) 256 36 292 17.09 T por centmetro

Aunque el gradiente apunta en la direccin de mximoincremento de la temperatura, no necesariamente apuntahacia el punto ms caliente de la placa. En otras palabras,el gradiente proporciona una solucin local para encontrarun incremento relativo de la temperatura en el punto (2,-

3). Una vez que se abandona esa posicin, la direccin demximo incremento puede cambiar.

TEOREMA 3 El gradiente es normal a las curvas de nivelSifes diferenciable en 0 0( , )x y y 0 0( , ) 0, f x y entonces 0 0( , )f x y es normal (ortogonal) a la

curva de nivel que pasa por0 0( , )x y .

FUNCIONES DE TRES VARIABLES

Las definiciones de derivada direccional y gradiente se pueden extender de manera naturala funciones de tres o ms variables.

Derivada direccional y gradiente para funciones de tres variablesSea f una funcin de x, y y z, con derivadas parciales de primer orden continuas. La derivadadireccional de f en direccin de un vector unitario u= ai+ bj+ ckest dada por

( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) u x y z D f x y af x y z bf x y z cf x y z

El gradiente de f se define como

( , , ) ( , , ) xf x y z f x y z i+ ( , , )yf x y z j + ( , , )zf x y z z

Las propiedades del gradiente son:

1. ( , , ) ( , , ) uD f x y z f x y z u

2.

Si ( , , ) f x y z 0, entonces ( , , ) 0uD f x y z para todo u.


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3.

La direccin de mximo incremento de fest dado por ( , , )f x y z . El valor mximo de

( , , )uD f x y z es ( , , )f x y z .

4.

La direccin de mnimo incremento de fest dado por ( , , )f x y z . El valor mnimo de

( , , )uD f x y z es ( , , ) f x y z .

EjemploHallar el gradiente para la funcin dada por

2 2( , , ) 4 f x y z x y z

Y hallar la direccin de mximo incremento de f en elpunto (2,-1,1).

SolucinEl vector gradiente est dado por

( , , ) ( , , ) xf x y z f x y z i+ ( , , )yf x y z j + ( , , )zf x y z z

2 x i+ 2y j + 4 z

Por tanto la direccin de mximo incremento en (2,-1,1) es

(2, 1,1) 4 f i 2 j 4 z


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1.

En cada ejercicio calcular la derivada direccional de fen el punto Ppara el cual ues un vector

unitario en la direccin de PQ .

a)

( , ) cos

x y

f x y e y e sen x (1,0)P , ( 3,2)Q .

b)

2 3( , ) .f x y x xy y (1,2) , (1,3)P Q .

c) ( , ) .xf x y e arctg y (0,2) , ( 2,5)P Q .

d) jiPQPyxyxyxf

5

4

5

3),2,1(,943),(

e)

)(2

2),3,4(,),( 33 jiPQPyxyxf

2.

Dada la funcin2 2 2( , , ) ( 1) 2( 1) 3( 2) 6f x y z x y z , encontrar la derivada

direccional de la funcin en el punto (2,0,1) en la direccin del vector 2i j k .

3.

Hallar la derivada direccional de la funcin en direccin de u= cos i+ sen j.

(a) 2 2( , ) , / 4 f x y x y

(b) ( , ) , / 6

yf x y

x y

(c) ( , ) (2 ), / 3 f x y sen x y

4.

Calcular la derivada de la funcin2 2z x y en el punto (1,1)M en la direccin del vector que

forma un ngulo de 060 con el sentido positivo del eje x .

5.

Hallar el gradiente de la funcin en el punto dado.

a) )1,2(,15y3),( 2 xyxf

b) )0,2(,2),( /xyxeyxg

c) )3,2(),ln( 2 yxz

d) )4,3(),cos( 22 yxz

e) )2,1,1(,253 222 zyxw

f) )1,3,4(),tan( zyxw

6.

Calcula en cada caso, el gradiente y el valor mximo de la derivada direccional de la funcin en

el punto que se indica:

a)2 2

( , ) yf x yx y

en el punto (1,1) b)2

( , ) xf x yx y

en el punto (2,1)

c) ( , , ) cosxf x y z ze y en el punto (0,4

,1) d)

2 2( , )f x y x y en el punto (2,1)


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7.

En una montaa la elevacin zpor sobre el punto x, y en el plano XY horizontal al nivel del

mar es de 2 22000 2 4z x y pies. El eje positivo de las abscisas apunta al este y el eje

positivo de las ordenadas apunta al norte. Un alpinista se encuentra en el punto (20, 5,1100).

a)

Si el alpinista utiliza una brjula para avanzar hacia el oeste, subir o bajara? Con que

rapidez?b)

Si el alpinista utiliza una brjula para avanzar hacia el noreste, subir o bajara? Con querapidez?

c)

Qu direccin ha de marcar la brjula para que el alpinista avance en el mismo nivel?

8.

La temperatura en un punto x, y de una placa metlica en el plano XY es2 2

( , )1

xyT x y

x y

grados Celsius.

a)

Encuentra la razn de cambio de la temperatura en el punto (1,1) en la direccin y sentidodel vector (2,-1).

b)

Una hormiga que est en el punto (1,1) quiere caminar en la direccin y sentido en que la

temperatura disminuye ms rpidamente. Encuentra un vector unitario en esta direccin ysentido.

9.

Temperatura La temperatura en el punto ( , )x y de una placa metlica se modela mediante2

( ) 2( , ) 400 , 0 , 0x yT x y e x y

a)

Utilizar un sistema computacional para graficar la funcin de distribucin de temperatura.b)

Hallar las direcciones, sobre la placa en el punto (3,5) , en las que no hay cambio en el

calor.c)

Hallar la direccin de mayor incremento de calor en el punto (3,5) .

10.

La funcin ( , , )f x y z tiene en el punto (2, 3,5)P las derivadas direccionales1

3en la direccin

al punto (0,1,9)A ,3

5 en la direccin al punto (5, 3,1)B y

1

4en la direccin al punto

(4, 2,7)C . Calcular la derivada direccional de fen la direccin al punto (1,3,6)D .


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INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

En esta parte generalizaremos el concepto de incrementos y diferenciales a funciones de dos o msvariables. Recordemos que dada ( )y f x se define el incremento de la variable dependiente y

como ( ) ( ) y f x x f x

De manera anloga para una funcin de dos variables ( , )z f x y , definimos el incrementode lavariable dependiente z como

( , ) ( , )z f x x y y f x y

Como podemos observar, zproduce la cantidad de cambio en la funcin cuando ( , )x y cambia a

( , ) x x y y .

Definicin de DiferenciabilidadUna funcin fdada por ( , )z f x y es diferenciable en 0 0( , )P x y si z puede expresarse en laforma

0 0 0 0 1 2( , ) ( , )x yz f x y x f x y y x y

donde 1 2y 0 cuando ( , ) (0,0)x y . La funcin f es diferenciableen una regin Rsies diferenciable en todo punto deR.

Ejemplo Mostrar que la siguiente funcin es diferenciable en todo punto

2( , ) 3f x y x y

Solucin

Haciendo ( , )z f x y , el incremento de zen un punto arbitrario ( , )x y en el plano es

2 2 2

2

1 2

( , ) ( , )

( 2 ) 3( ) ( 3 )

2 3

2 3 ( ) 0( )

( , ) ( , ) ( ) ( )x y

z f x x y y f x y

x x x x y y x y

x x x y

x x y x x y

f x y x f x y y x y

donde 1 2y 0x . Como 1 20 y 0 cuando

( , ) (0,0)x y , se sigue que fes diferenciable en

todo punto en el plano. La grfica de f se muestra en la

figura siguiente


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Definicin de diferencial totalSi ( , )z f x y y x y y son los incrementos en x y en y, entonces las diferenciales de las

variables independientes xe ysondx x y dy y

y la diferencial totalde la variable dependientezes

( , ) ( , )x yz z

d z dx dy f x y dx f x y dyx y

Esta definicin puede extenderse a una funcin de tres o ms variables. Por ejemplo, si

( , , , )w f x y z u entonces dx x , dy y , dz z y du u y la diferencial total de w es

w w w wd w d x d y d z d u

x y z u

EjemploHallar la diferencial total de cada funcin

a)

2 22 3z x sen y x y b) 2 2 2w x y z

Solucin

a) La diferencial total dzde2 22 3z xsen y x y es

2 2(2 6 ) (2 6 ) .

z zdz d x d y

x y

sen y xy d x xcos y x y d x

b) La diferencial total dw de 2 2 2w x y z es

2 2 2 .

w w wdw d x d y d z

x y z

x d x yd y zd z

Debemos de tener en cuenta que el hecho de que existan las derivadas parciales de f no garantiza

que la funcin sea diferenciable. El teorema siguiente proporciona una condicin suficientepara ladiferenciabilidad. A continuacin presentamos un teorema que proporciona una condicinsuficiente para la diferenciabilidad de una funcin de dos variables.

TEOREMA 1 Condiciones suficientes para la diferenciabilidad

Si fes una funcin de ex y , para la que yx yf f son continuas en una regin abierta R , entonces

f es diferenciable en R .


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Interpretacin del Teorema 1

El teorema 1 nos dice que se puede elegir ( , )x x y y suficientemente cerca de ( , )x y para

hacer que 1 2yx y sean insignificantes. En otros trminos, para yx y pequeos, se

puede usar la aproximacin

z dz

lo cual lleva a la siguiente aproximacin

( , ) ( , ) ( , ) ( , )z z z z

f x x y y f x y dx dy f x x y y f x y dx dyx y x y

Ejemplo Uso de la diferencial como aproximacin

Utilizar la diferencial dzpara aproximar el cambio en 2 24z x y cuando ( , )x y se desplaza

del punto (1,1)al punto (1.01,0.97) . Comparar esta aproximacin con el cambio exacto en z.

SolucinSe hace ( , ) (1,1)x y y ( , ) (1.01 ,0.97)x x y y y se obtiene 0.01d x x y

0.03d y y . Por tanto, el cambio en zpuede aproximarse mediante

2 2 2 2

4 4

z zz dz dx dy

x y

x yx y

x y x y

Cuando 1 y 1x y , se tiene

1 1 0.02(0.01) ( 0.03) 2(0.01) 0.0141.

2 2 2z

con respecto al cambio exacto se tiene

2 2 2 21.01

(1.01,0.97) (1,1)

4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0.010 3.97 1 1 7

z f f

Ejemplo Estimar 3 22(2.02) (2.97)

Solucin

Estimar3 2( , ) 2( ) ( )f x y x y , 2 , 3.a b Despus es fcil calcular el valor exacto de

(2,3) 2.8 9 25 5f . A continuacin,


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2

3 2 3 2

3

2 2

df x df yy

dx dyx y x y

Por lo que

12 3

(2,3) (2,3)5 5x yf y f

En este caso utilizando 0.02 0.03x yy tenemos

2 22(2.02) (2.97) (2.02,2.97)

(2,3) (2,3).(0.02) (2,3).( 0.03)

12 35 .(0.02) .(0.03) 5.03

5 5

x y

f

f f f

El valor real con cuatro decimales es 5.0305

Ejemplo

Un envase metlico cerrado tiene la forma de cilindro circular recto, 6 pulgadas de altura interior, 2pulgadas de radio interior y 0.1 pulgadas de grosor. Si el costo del metal es de 40 centavos porpulgadas cbica. Aproxime mediante diferenciales el costo total del metal empleado en laelaboracin del envase.

SolucinLa figura muestra el envase. Si V pulgadas cbicas es el volumen de un cilindro circular recto quetiene un radio de rpulgadas y una altura de hpulgadas, entonces

V r h 2

El volumen exacto del metal empleado en el envase es la diferencia entre los volmenes de dos

cilindros circulares rectos para los cuales 2 1r . , 6 2h . y 2r y 6h respectivamente. El

0.1pulg

0.1pulg


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incremento V proporciona el volumen exacto del metal, pero como nicamente se desea un valor

aproximado, se calcula dVque es el diferencial total de V.

22

V VdV dr dh

r h

hdr r dh

Con 2, 6, 0.1 0.2,r h dr y dh

22 (2)(6)(0.1) (2) (0.2)

3.2

dV

De este modo, 3.2 ,V por lo que el metal empleado en el envase es aproximadamente

3.2pulg3. Puesto que el costo del metal es de 40 centavos por pulgada cbica, entonces el nmero

aproximado de centavos del costo aproximado es 128 402 .

Conclusin El costo aproximado del metal empleado en el envase es $4.02.

Ejemplo El punto (1,2) est sobre la curva cuya ecuacin es

3 3( , ) 2 5 0f x y x y xy . (1)

Aproxime la coordenadaydel punto cercano ( , )x y sobre dicha curva para el que 1.2.x

Solucin

El incremento entre (1,2) 0f y ( , ) 0f x y sobre esta curva es ( , ) 0 ,f x y df por lo que

cuando se calculan las diferenciales en la ecuacin (1) se obtiene

2 2(6 5 ) (3 5 ) 0

f fdf dx dy x y dx y x dy

x y


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Ahora al sustituir 1, 2x y y 0.2dx , se obtiene la ecuacin ( 4)(0.2) 7 0dy . De donde se

sigue que0.8

0.114 0.17

dy . Esto deja a (1.2;2.1) como las coordenadas aproximadas del

punto cercano.

NotaUna funcin de tres variables ( , , )w f x y z se dice que es diferenciableen ( , , )x y z si

( , , ) ( , , )w f x x y y z z f x y z

puede expresarse en la forma

1 2 3x y zw f x f y f z x y z

donde 1 2 3, y 0 cuando ( , , ) (0,0,0)x y z . Con esta definicin de diferenciabilidad el

teorema 1 pude generalizarse y lo podemos utilizar en el siguiente ejercicio.

Ejemplo Estimar 2 2 21,98 2,01 1,05

Solucin

Tomamos 2 2 2( , , )f x y z x y z , como 0 0( , , ) (2, 2,1)oP x y z ; as 0,02h ; 0,01k ; 0,05r ;

luego tenemos que 2 2 2(2,2,1) 2 2 1 3f ; adems2 2 2

(2,2,1)(2,2,1)

2

3

f x

x x y z

;

2 2 2(2,2,1)

(2,2,1)

1

3

f y

y x y z

;

2 2 2(2,2,1)

(2,2,1)

1

3

f z

z x y z

; finalmente se tiene que

2 2 2 2 2 11, 98 2, 01 1, 05 3 ( 0, 02) (0, 01) (0, 05) 3, 013 3 3

.

Ejemplo El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es 0.1milmetros. Las dimensiones de la caja son 50x centmetros, 20y centmetros y

15z centmetros, como se muestra en la figura. Utilizar dVpara estimar el error propagado.


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SolucinEl volumen de la caja est dado por V xyz , y por tanto

.

V V VdV dx dy dz

x y z

yzdx xzdy xydz

Utilizando 0.1 milmetros = 0.01centmetros, se tiene 0.01dx dy dz , y el error propagado es

aproximadamente

(20)(15)(0.01) (50)(15)(0.01) (50)(20)(0.01)

300(0.01) 750(0.01) 1000(0.

centmetros cbico

01)

2 s0.5 .

dV

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.

Evaluar (1,2)f y (1.05,2.1)f . Calcular z y utilizar la diferencial total dzpara aproximar

z :

a)2 2( , ) 9f x y x y b) 2 2( , )f x y x y c) ( , )f x y xsen y

d) ( , ) yf x y xe e) ( , ) 3 4f x y x y f) ( , ) x

f x yy

2.

En los ejercicios siguientes hallar ( , )z f x y y utilizar la diferencial total para aproximar la

cantidad

a)

2 2 2((1.95) (2.01) )

b)

2 2 2 2(5.05) (3.1) 5 3

c)

2 3 2 3(2.03) (1 8.9) (2) (1 9)

d)

2 2

2 2

1 (3.05) 1 3

(5.95) 6

e)

2 2 2 2[(1.05) (0.95) ] (1 1 )sen sen

f)

2 2 2(3.1) (4.2) 11.7

g)

2 2 23 (5.1) 2(5.2) 2(5.3)

3.

Aproximar la coordenada y del punto P cerca de (1; 2) que se encuentra sobre la curva3 32 2 9 ,x y xy si la coordenadax de P es 1.1.

4.

Aproximar la coordenada x del punto P cerca de (2; 4) que se encuentra sobre la curva4 4 2 24 4 17x y x y si la coordenaday de P es 3.9.


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5.

VolumenEl radio ry la altura hde un cilindro circular recto se miden con los posibles erroresde 4% y 2%, respectivamente. Aproximar el mximo error porcentual posible al medir el

volumen.

6.

Viento La frmula para la frialdad producida por el viento C(en grados Fahrenheit) es

0.16 0.1635,74 0.6215 35.75 0.4275C T T

donde es la velocidad del viento en millas por hora y Tes la temperatura en grados

Fahrenheit. La velocidad del viento es 23 3 millas por hora y la temperatura es o o8 1 .Utilizar dCpara estimar el mximo error propagado al calcular la frialdad producida por elviento.

7.

Pndulo El periodo T de un pndulo de longitud L es 2T L g , donde ges la

aceleracin de la gravedad. Un pndulo se lleva de la zona del canal, donde2

32.09piesg s ,a Groenlandia, donde

232.23piesg s . Debido al cambio en la temperatura, la longitud del

pndulo cambia de 2.5 pies a 2.48 pies. Aproximar el cambio en el periodo del pndulo.

8.

rea En un tringulo, dos lados adyacentes miden 3 y 4 pulgadas de longitud, y entre ellos

forman un ngulo de 4 . Los posibles errores de medicin son1

16pulgadas en los lados y 0.02

radianes en el ngulo. Aproximar el mximo error posible al medir el rea.

9.

Volumen Un abrevadero tiene 16 pies de largo (ver la figura ).Sus secciones transversales son tringulos issceles en los que

los dos lados iguales miden 8 pulgadas.

a) Expresar el volumen del abrevadero en funcin de y

determinar el valor de para el que el volumen es mximo.

b) El error mximo en las mediciones lineales es de media

pulgada y el error mximo en la medida del ngulo es02 .

Aproximar el cambio a partir del volumen mximo.

10.

Las dimensiones de una caja son 10 cm, 12 cm y 15cm, con un posible error de 0.02 en cada

medicin. Aproxime mediante diferenciales el mximo error si el volumen de la caja se calcula a

partir de estas medidas.

11.

Dos lados de un tringulo miden 150 y 200 metros y el ngulo que forman es de 60 0. Sabiendo

que los errores en la medicin son de 0.2 metros en la medida de los lados y de 10 en la del

ngulo. Hallar el mximo error probable que se puede cometer al evaluar su rea.

Semana 02 - Deriva Direccional - Gradiente

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