Tema 1: Análisis vectorial - esi2.us.es · Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 14. ......

áTema 1: Análisis vectorial

Campos ElectromagnéticosCampos Electromagnéticos2º Curso Ingeniería IndustrialgDpto.Física Aplicada III

Curso 2010/2011

Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla

Joaquín Bernal Méndez 1

Tema 1: Índice (I)

Introducción Introducción

Campos escalares y vectoriales

Integrales de los campos Circulación

Flujo

Derivadas de los campos Derivadas de los campos Gradiente

Divergencia

Rotacional

Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 2

Tema 1: Índice (II)

Herramientas matemáticas Herramientas matemáticas Coordenadas cilíndricas y esféricas Operador nabla Operador nabla Delta de Dirac

Ti i l d Tipos especiales de campos: Campos irrotacionales Campos solenoidales Campos armónicos

Teorema de Helmholtz


Introducción

Escalar: cantidad caracterizada por su Escalar: cantidad caracterizada por su magnitud.Ejemplo: masa de una persona

Vector: cantidad caracterizada por su ómagnitud, dirección y sentido.

Ejemplo: velocidad de un automóvilEjemplo: velocidad de un automóvil


Campos escalares (I)

Definición: Función de la posición que a Definición: Función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud escalar. Campo de temperaturas: T(x y z) Campo de temperaturas: T(x,y,z)

Altitud geográfica: h(x,y)

Campo de densidades de un material

Función debe ser monovaluada Función debe ser monovaluada


Campos escalares (II)

Representación: Superficies equiescalaresRepresentación: Superficies equiescalares

( , , )x y z C 4

1 0

2

-2 0

1

2

-2-1

0

1

-2 -2

0

-1

0

1

2 -2

-1

-1

0

1

-4 -2 0 2 4-4


2

Campos escalares (III)

Ejemplo: Campo de presiones

( , , )x y z C


Campos escalares (IV)


Campos vectoriales (I)

Definición: Función de la posición que a Definición: Función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud vectorial. Campo de gravedad terrestre Campo de gravedad terrestre

Campo de velocidad de un fluido

Campo eléctrico y campo magnético

Ha de ser monovaluada Ha de ser monovaluada


Campos vectoriales (II) Ejemplo:


Campos vectoriales (III)

Representación: Líneas de campo:Representación: Líneas de campo: curvas tangentes al campo en todo punto

dx dy dz

F F F

x y zF F F


Campos vectoriales (IV)

Ejemplo: Campo eléctrico de una carga Ejemplo: Campo eléctrico de una carga puntual

Carga positiva


Campos vectoriales (V)

Ejemplo: líneas de campo para dos cargasEjemplo: líneas de campo para dos cargas puntuales

��qq

�q

�-q�q

Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 13Cargas positivas Cargas de distinto signo

Integrales sobre campos

Dos tipos de campos: escalares y Dos tipos de campos: escalares y vectoriales

Es posible realizar integrales de línea, superficie y volumen.p y

Dos tipos de integrales nos interesan por su sentido físico:su sentido físico: Circulación Flujo


Circulación (I): definición

Integral de línea de un campo vectorial: Integral de línea de un campo vectorial:

B

,AF dr

Propiedades importantes: El resultado es un escalar

El resultado depende del camino El resultado depende del camino

Ejemplo: trabajo de una fuerza


Circulación (II): sentido físico

Línea cerrada: es una medida del giro del gcampo

·C F dl

L

L

0C L

0C L

Para un campo de fuerzas: trabajo sobre una curva cerrada


una curva cerrada

Circulación (III): cálculo

¿Cómo se calcula?B

F d

¿Cómo se calcula?

Se parametriza la curva:,A

F dr

p

: ( ), t ( , )A Br r t t t

Calculamos la integral:

: ( ), t ( , )A Br r t t t


( ( ))Bt drF r t dt

( ( ))

AtF r t dt

dt


Flujo (I): definición

Integral de superficie de un campo Integral de superficie de un campo vectorial

F d

Propiedades:S

F ds Propiedades: Es un escalar Depende de la S escogida Debe especificarse el sentido de s

p

Si la superficie es cerrada: es salientes


Flujo (II): sentido físico Es una medida de la cantidad de campo

t i fi ique atraviesa una superficie

Ejemplo: campo de velocidades de un Ejemplo: campo de velocidades de un fluido

VS

d V dS

·V S ·

S

V dS


S

Flujo (III): cálculo

Si parametrizamos la superficie:Si parametrizamos la superficie: 1 2 1 2: ( , ), ( , ), ( , )S r r

Entonces:

r rdS d d



( ( ))r r

F d d

( ( , )) F r d d


Resumen

Los campos pueden ser escalares o vectoriales Los campos pueden ser escalares o vectoriales

Para describir los campos escalares se usan las superficies equiescalares.

Para describir los campos vectoriales sePara describir los campos vectoriales se emplean las líneas de campo

L i l ió id l i d l La circulación mide el giro del campo

El flujo mide cuanto campo atraviesa una j psuperficie


Derivadas de los campos

Del mismo modo que podemos realizar Del mismo modo que podemos realizar integraciones de campos escalares y vectoriales, podemos derivarlos.

Campos escalares: gradiente Campos escalares: gradiente

Campos vectoriales: divergencia y Ca pos ecto a es d e ge c a yrotacional


Gradiente (I)

Para una función de una variable: ( )f x

0 0

0

( ) ( ) ( )lim

df x f x f x

dx

0

0xdx

( )f x( )f

0( )f x La derivada nos 0( )f

0( )f x

La derivada nos informa de la variación de la

x

variación de la función con x


x

Gradiente (II): derivada direccional

¿Cómo expresar la variación de una ¿Cómo expresar la variación de una función de varias variables (c.escalar)?

Hay que especificar la dirección:

ector nitario ( )v v v v

vector unitario:

Derivada direccional:

( , , )x y zv v v v

Derivada direccional:

( , , ) ( , , )li x y zx v y v z v x y zd

0lim x y z

ds


Gradiente (III)

Usando el concepto de derivada parcial: Usando el concepto de derivada parcial:

d x y z

dv v v

ds x y z

, , vx y z

Definición:

d

grad x y zu u ux y z

Por tanto:d

=gradds

v


ds

Gradiente (IV): significado físico

d=grad v grad

grad =grad

dsv

dv d

= grad cosds

v

El módulo del gradiente coincide con el

valor máximo que puede tomar la0 cos 1 v valor máximo que puede tomar laderivada direccional en ese punto

0 cos 1

La dirección del gradiente coincide con la dirección haciala que la derivada direccional es máxima (máxima


variación de la función p.u.l. en ese punto)

Gradiente (V)

Variación de la función al desplazarnos:

El di t di l l

grad gradd v ds dr

El gradiente es perpendicular a las superficies equiescalares en cada punto:p q p

0 gradd dr

Cte

d

d

|grad dr drgrad


Gradiente (VI): Resumen

Es un campo vectorial Es un campo vectorial. Su módulo en cada punto nos da el valor

de la derivada direccional máxima. Su dirección en cada punto nos indica la Su dirección en cada punto nos indica la

dirección de máxima variación de la funciónfunción.

Es perpendicular en todo punto a las p p psuperficies equiescalares del campo.


Tema 1: Índice (I)




Flujo


Divergencia

Rotacional


Divergencia (I)

Dado un campo vectorial se define el Dado un campo vectorial, se define el campo escalar divergencia:

0

1div ( ) limF r F dS

Divergencia en cartesianas:

0( )

S

Divergencia en cartesianas:

div ( ) yx zFF F

F r

div ( )F rx y z


Ejercicio

¿cuál es la divergencia del vector de posición?

F div ( ) con ( )yx z

FF FF r F r r

x y z

x y z

) div 0a r

) div 0

) div

a r

b r x y z

Respuesta: )

) div 3

y

c r


Divergencia (II):sentido físico

La divergencia no nula indica fuente o La divergencia no nula indica fuente o sumidero de líneas de campo

Punto de divergencia no nulaPuntos de divergencia nula


Divergencia (III)

Teorema de la divergencia:z

Teorema de la divergencia:

div ( )S

F r d F dS

xyS

Útil en la evaluación de integrales

x

Útil en la evaluación de integrales

Fundamental en el desarrollo teórico de laFundamental en el desarrollo teórico de la asignatura


Rotacional(I)

Definición intrínseca: Definición intrínseca:

1t ( ) liF dS F

0rot ( ) lim

S

F r dS F

Cálculo en cartesianas:

u u u

rot ( )

x y zu u u

F r rot ( ) y yz x z x

x y z

F FF F F FF r u u u

rot ( )F r y zx

F F F

x y zy z z x x y


x y zF F F

Rotacional (II):sentido físico

Está relacionado con el giro local de las Está relacionado con el giro local de las líneas de campo (torbellinos):

Rotacional no nulo Rotacional nulo Rotacional nulo


Rotacional (III)

Teorema de Stokes: Teorema de Stokes:

rotF dS F dr

La curva se recorre siguiendo el criterio

rotsS

F dS F dr

La curva se recorre siguiendo el criterio

de la mano derecha respecto al dSs

Útil para: Evaluación de integrales Evaluación de integrales Desarrollo teórico de la asignatura


Divergencia y rotacional: resumen

Derivadas de los campos vectoriales Derivadas de los campos vectoriales

Divergencia: campo escalar relacionado con la existencia de fuentes o sumideros.

Rotacional: campo vectorial relacionado con losRotacional: campo vectorial relacionado con los giros locales de las líneas de campo

T f d t l Teoremas fundamentales: Teorema de la divergencia

Teorema del rotacional


Tema 1: Índice (I)




Flujo


Divergencia

Rotacional



Herramientas matemáticas Herramientas matemáticas Coordenadas cilíndricas y esféricas Operador nablaOperador nabla Delta de Dirac




Coordenadas curvilíneas

Hasta ahora hemos trabajado en jcartesianas

A veces los problemas se simplifican A veces los problemas se simplificanusando otro sistemas de coordenadas: Cilíndricas Esféricas Esféricas

No son las únicas alternativas que existen, í l ú i tpero sí las únicas que nosotros vamos a

usar.


Coordenadas cartesianas (I) Asignan a cada punto la distancia a tres planos

ortogonales (x,y,z) Líneas coordenadas: rectas paralelas a los ejes de

coordenadas Superficies coordenadas: planos paralelos a los

planos coordenados Z

z

Z

z

P

Yr

xy

z

x

X

Yz z = cte

y = cte

X

Y

y


Xx = cte

Y

Coordenadas cartesianas (II)

Base vectorial: Vector de posición:

r xu yu zu Z uz

x y zr xu yu zu

x y zdr dxu dyu dzu

r0k

uy

u

P

x y zyY

i j

ux

Diferenciales de superficie:X

xy zdS dxdyu

zx ydS dxdzu

yz xdS dzdyu

Diferencial de volumen: d dxdydz


Coordenadas cilíndricas (I) Fija la posición de P mediante tres parámetros

diferentes:diferentes:

Z

ρ (coordenada radial): distancia al eje zZ

ρ φ (c. acimutal): ángulo que la

proyección sobre el plano XY forma

Yr

zcon el eje x

z (c. vertical): distancia al plano XY

X

φ( ) p

cosx xY

0

0 2π

seny

z z

ρ

φy

XZ

Dpto. Física Aplicada III - Univ. de Sevilla 43z

Z

Coordenadas cilíndricas (II)

Líneas coordenadas:

z

Z

Líneas coordenadas: ρ: Semirrectas horizontales

Ci f i h i t l z

P

φ: Circunferencias horizontales z: Rectas verticales

z=cte

X

Superficies coordenadas: ρ cte : Cilindros verticales

=cte=cte

Y ρ=cte.: Cilindros verticales φ=cte: Semiplanos verticales z=cte: Planos horizontales


Coordenadas cilíndricas (III)

Base vectorial

Z cos senx y zr u u zu

Vector de posición:

Z

ρ

uρu

φ uφuz

P

x y z

zr u zu

Y

r0

ux uy

uz

z

d d d d Desplazamiento infinitesimal:

X

x

zdr d u d u dzu

E t b d dEsta base dependede la posición


Coordenadas cilíndricas (IV)

Z Diferenciales de superficie:

z

Diferenciales de superficie:

cte : dS d dzu

P

cte : zz dS d d u

z=cte

=cte=cte

X

Y

Dif i l d l

cte : dS dzd u

Diferencial de volumen:d d dzd

En esta base a veces se usa la variable r en lugar de ρ


Gradiente di ergencia rotacionalGradiente, divergencia y rotacional en cilíndricasen cilíndricas

1grad z

f f ff u u u

z

z

( )1 1di z

F F FF

div zF

z

1 1rot ( )z z

z

F F FF FF u u F u

zz z


Coordenadas esféricas (I)

Z r (coordenada radial): distancia al

Zorigen

θ (c. polar): ángulo que el vector de

Yrθ r posición forma con el eje z

φ (c. acimutal): ángulo que la

Xφ proyección sobre el plano XY forma

con el eje x0

0 π

r sen cosx r x

Yρ

Z

0 2π sen sen

cos

y r

z r

ρ

φy

XZ

θ zr


Z

Coordenadas esféricas (II) Líneas coordenadas:

r: Semirrectas radiales desde el origen

φ: Circunferencias horizontales (paralelos)Z

φ (p )

θ: Semicírculos verticales (meridianos)

Superficies coordenadas:=cter

Z

Superficies coordenadas: r=cte.: Esferas concéntricas

=cte P

φ=cte: Semiplanos verticales

θ=cte: Conos con vértice el origen Xg

r=cte

Y


Coordenadas esféricas (III)

Base vectorial

sen cos sen sen cosr r u r u r u

Vector de posición:

Z

ρur

φ uφP

sen cos sen sen cosx y zr r u r u r u

rr ru

Yr0

uz

φ φ

z

P

uθ θ

senrdr dr u rd u r d u Desplazamiento infinitesimal:

Y

X

ux uy

E t b d d

r

XEsta base dependede la posición


Coordenadas esféricas (IV)

Z Diferenciales de superficie:

cte

=cter

P

Diferenciales de superficie:2cte : sen rr dS r d d u

=cte

Pr

cte : sendS r d dru

r=cte

X cte : dS rd dru

Y Diferencial de volumen:

2 send r drd d send r drd d


Gradiente di ergencia enGradiente y divergencia en esféricasesféricas

1 1f f f 1 1grad

senr

f f ff u u u

r r r

22

1 1 1div ( ) (sen )r

FF r F F

2( ) ( )

sen senrr r r r (sen ) ( )1 1 1F rFF F (sen ) ( )1 1 1

rotsen sen

rr

F rFF FF u u

r r r

1 ( ) rrF Fu

r r


r r


Herramientas matemáticas Herramientas matemáticas Coordenadas cilíndricas y esféricasOperador nablaOperador nabla Delta de Dirac




Operador nabla (I): definición

Permite una notación más cómoda Permite una notación más cómoda. Se define el operador nabla:

x y zu u ux y z

Operador diferencial y vectorial:

x y z

p y Se aplica a la función a su derecha Obedece a las leyes del álgebra vectorial Obedece a las leyes del álgebra vectorial


Operador nabla (II)

d

grad x y zu u ux y z

div yx zFF F

F Fx y z

x y z

zyxuuu

rot

zyx

F Fy zx

yx z

y zxF F F


Operador nabla (III)

Nabla puede expresarse en otros Nabla puede expresarse en otros sistemas de coordenadas.

Las operaciones realizadas con nabla son independientes del sistema de pcoordenadas.

Cualquier identidad que pueda probarse Cualquier identidad que pueda probarse con nabla en cartesianas es válida en otro sistema de coordenadas.


Nabla sobre un producto (I)

Pueden obtenerse campos escalares como producto de campos Dos campos escalares: Dos campos escalares:

Dos campos vectoriales:

F G

¿Cómo se calcula el gradiente?( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F

x y zF F F F

( ) ( )F G F G


x y zx y z ( ) ( )F G F G

Nabla sobre un producto (II)

También se obtienen campos vectoriales Escalar y vectorial:

Dos campos vectoriales: F GF

Dos campos vectoriales: F G Divergencia:

( )F F F

( ) ( ) ( )F G F G F G

( ) ( ) ( )F G F G F G Rotacional:

( ) ( )F F F

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F


( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F

Nabla sobre un producto: resumen

( ) Gradiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F

( )F F F Divergencia:

( )F F F ( ) ( ) ( )F G F G F G

( ) ( )F F F Rotacional:

( ) ( )F F F ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F


Aplicación doble de nabla (I)

Es posible aplicar nabla dos veces, hay 5 posibilidades: El gradiente es un vector: El gradiente es un vector:

Divergencia del gradiente Rotacional del gradiente

( )

( )

Rotacional del gradiente

La divergencia es un escalar:G di t d l di i

( )

( )F

Gradiente de la divergencia

El rotacional es un vector( )F

Divergencia del rotacional Rotacional del rotacional

( )F

( )F


( )

Aplicación doble de nabla (II)

2 2 22 Laplaciano2

2 2 2( )

x y z

Laplaciano2( )

( ) 0

Muy importante

( )F

Aparece poco2¡ ( ) ( ) !F F F

( ) 0F ¡ ( ) ( ) !F F F

Muy importante

2( ) ( )F F F

Ya definidas







Función delta de Dirac (I)

Supongamos el campo vectorial: ru rv

Supongamos el campo vectorial:

Es radial y saliente, pero:2 3

vr r

y , p

21 10v r

Ahora bien integrando en una esfera (R):

2 20v r

r r r

Ahora bien, integrando en una esfera (R):2 2 sen 4ru

v d v dS u R d d

20 0

sen 4rr

S

v d v dS u R d dR


Teorema de la divergencia

Función delta de Dirac (II) El problema está en 0r

22 2

0

1 1¡¡ !!v r

r r r

En resumen, la función cumple:0rr r r

2ru

2r0 0

con 4r rru u

d

2 2 con 4

0d

rr r

Hemos “encontrado” una función peculiar: la delta de Dirac


delta de Dirac

Función delta de Dirac (III) Función delta de Dirac monodimensional:

0 0( ) con ( ) 1

xx x dx

-

( ) con ( ) 10

x x dxx

Distribución: límite de una sucesión de funciones2x2

0 0

1( ) lim ( ) lim e

π

x

x x

π


Función delta de Dirac (IV)5

2

4

=1=0.5=0 25

2

2εε

1( ) e

ε π

x

x

3

x)

=0.25=0.125

ε π

2

( x

1

0


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x

Función delta de Dirac (IV) Producto por una función:

( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0)x f x x f x f x dx f

Es suficiente que el intervalo de integración incluya el máximo:

incluya el máximo:

( ) ( ) (0)x f x dx f

El máximo de la delta puede desplazarse:

( ) ( ) ( )x a f x dx f a


Función delta de Dirac (V) Delta de Dirac tridimensional:

3( ) ( ) ( ) ( )r x y z

3( ) ( ) ( ) ( )r a x a y a z a

z En general:( ) ( ) ( ) ( )x y zr a x a y a z a

az

g

( )( ) ( )

a ad

a

a

y

( ) ( )0

r r a da

x

y


Función delta de Dirac (VI)

Volviendo a la función 2ru

rr

2 2

0 0 con 4r r

ru ud

Podemos escribir:

2 20rr r

4 ( )ru

r

Podemos escribir: 24 ( )r

r

0 4 ( )r r

r r

0

03

0

4 ( )r rr r

01 r r

03

0 0r r r r

20

14 ( )r r

r r


0r r






Campos irrotacionales

Campos vectoriales que cumplen:

P i d d0F

Propiedades: 0F dr

( ) 0F dr F dS

B B

F d F d B

( )S

1 2, ,A A

F dr F dr

A 1

2

Deriva de un potencial: F A


Campos solenoidales Campos vectoriales que cumplen: Propiedades:

0F

Propiedades:

0F dS

0F dS F d

0S

F dS

siF dS F dS

0

S

F dS F d

1dS

1 2

1 2

si s s

S S

F dS F dS dS

11 2s s

Flujo cte en tubos de campo:

S1

S2

2dS

Deriva de un potencial vectorial: F A SL


Tipos de campos vectoriales

0F

0F

0

0F

0F

Campo solenoidal

0F

0F

0

0

F

F

0

0

F

F

Campo i t i l

Solenoidal e irrotacional


irrotacional irrotacional

Campos armónicos

Campos escalares que cumplen: Campos escalares que cumplen:2 0 Ecuación de Laplace

Ejemplo: Sea un campo vectorial i t i l l id l

Ecuación de Laplace

irrotacional y solenoidal:

0F

F

0F F

0F

( ) 0 2 0 0F ( ) 0

Caso práctico: campo electrostático en una región sin fuentes







Teorema de Helmholtz (I)

Dado podemos calcular: yF

F

F

Dado podemos calcular: y

¿Podemos calcular dados y ?

F FF

F

F

F

¿ y

Supongamos: Fuentes escalares

Fuentes vectorialesF

F c

( 0)c

Fuentes vectoriales

Si la información es insuficiente: muchas soluciones

F c ( 0)c

Si la información es insuficiente: muchas soluciones

Si la información es excesiva: puede no existir solución


Teorema de Helmholtz: enunciado

El sistema con;F

F c

0c El sistema con

definido en todo el espacio con: ;F F c 0c

2 2lim ( ) 0 ; lim ( ) 0 ; lim ( ) 0r r r

r r r c r F r

Tiene solución única dada por: F A

punto fuentecon:

1 11 ( )( ) y

r dr

1 11 ( )( )

c r dA r

punto campo

punto fuente

1

( ) y4 esp

rr r

1

( )4 esp

A rr r

potencial escalar potencial vector


potencial escalar potencial vector

Tema 1: Índice (I)




Flujo


Divergencia

Rotacional



Herramientas matemáticas Herramientas matemáticas Coordenadas cilíndricas y esféricas Operador nabla Operador nabla Delta de Dirac




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