Tema 1:Fundamentos MatemáticosFundamentos Matemáticos

Antonio González Fernández

ánde

z Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

nzál

ez F

erná

P t 6/7

Anto

nio

Gon Parte 6/7

Otros operadores vectoriales

© 2

010,

A

p

El operador derivada direccionalp

La derivada direccional puede leerse como la aplicación de p pun operador escalar

· · v v · x y zv v v

v v

yx y z

Este operador también puede aplicarse a campos vectoriales

ánde

z · x y z x x y y z zv v v A A Ax y z

v A u u uEj: · F p E

nzál

ez F

erná

Se usa en:

y

· · · · A B B A B A A B A B

p

Anto

nio

Gon

· · · A B A B B A A B B A

© 2

010,

A

2¡ ! · · v A v A

Aplicación del operador derivada di i ldireccional

En el caso particular A = r · v rEn el caso particular A r · v r

x y z x y zv v v x y zx y z

u u u

· v r v

y yx y z 0 01

x y z

ánde

z

x x x y x z

x yv v vx x x

u u u

0 01

nzál

ez F

erná

· 3 v r vy x y y y zx y zv v vy y y

u u u

Anto

nio

Gon 0 0 1

z x z y z zx y zv v vz z z

u u u x x y y z zv v v u u u v

© 2

010,

A

3

z z z y y

Operadores de segundo orden: li d bl daplicando nabla dos veces

El operador nabla se puede aplicar 2º d

p p preiteradamente, pero no todas las combinaciones son posibles

2º orden

·

ánde

z

nzál

ez F

erná

A

· A · A

Anto

nio

Gon A

A · A

© 2

010,

A

4

ACampos 1er orden

Laplaciano: la divergencia del gradientep g g

ánde

z El laplaciano es un operador escalar 2 ·

nzál

ez F

erná

Expresióngeneral

2 2 3 1 3 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 h h h h h hh h h q h q q h q q h q

Anto

nio

Gon

En coord.

g 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3q q q q q q

2 2 22

Un campo cuyo laplaciano se l ió

© 2

010,

A

En coord.cartesianas

5

22 2 2x y z

anula en una región se denomina armónico

Ejemplos de cálculo del laplaciano

2 2 2· · 2 2 · 2·3 6r r r r2r

j p p

2 2 2 3 6r r r r

2 2 2

2 2 2 2 2 2 6x y z

r

2 2 2 2 2 2 6x y zx y z

2 2

ánde

z 2 2

2 22 2 2

1 1 4 0 2 6zz

nzál

ez F

erná

2

22

1 d 60 0 6d

rr rr r r

1r

3

1r r

r

Anto

nio

Gon

dr r r r r r

1 r 1

© 2

010,

A

6

23

1 · 4r r

r r 2 1 4 ''

r rr r

El rotacional del gradiente es i lsiempre nulo

0

Para toda superficie S

ánde

z

Todo gradiente es irrotacional

·dS S ·d

r d

0

nzál

ez F

erná

Potencial

FIrrotacional

F 0Puede demostrarse en los dos sentidos

Anto

nio

Gon

F F 0 en los dos sentidos

se denomina el r 01

r

© 2

010,

A

7

potencial escalar de F 3r

03r r

El gradiente de la divergenciag g

2· A A

ánde

z

Es un operador escalar que a partir de un campo vectorial produce otro campo vectorial

nzál

ez F

erná

Ejemplo: nrrA u

Anto

nio

Gon 2 1

2

1 d· 2d

n nr n rr r

A 2· 2 1 nrn n r A u

© 2

010,

A

8Se anula para n = 1 (A = r) y para n = −2 (A = r/r3)

La divergencia del rotacional es i lsiempre nula

· 0 A

Para todo volumen τ

ánde

z

Todo rotacional es solenoidal

· d A ·d

A S ·d

A r 0

nzál

ez F

erná

Se anula porque la frontera de la frontera es un punto τ

τ(τ)

Anto

nio

Gon

Puede demostrarse en los dos sentidos

© 2

010,

A

9 B A · 0 B A se denomina el

potencial vector de B

El rotacional del rotacional y el l l i d tlaplaciano de un vector

El rotacional es elEl rotacional es el único operador que se puede aplicarse puede aplicar reiteradamente

ánde

z

Permite definir el laplaciano de un vector

2· A A A · · B B A B B A B B A

nzál

ez F

erná A A A B B A B B A B B A

2Se usa en la

ió d2

2 1

EE 0

Anto

nio

Gon 2 · A A A ecuación de

ondas

22 2

1c t

EE 0

© 2

010,

A Solo encartesianas 10

2 2 2 2x x y y z zA A A A u u u

Operaciones posibles e imposiblesOp p p

1 2 3 4

A

B

· · ·

A A A A

ánde

z

B

C

· A

·

· A A · · A

· A · A · A

nzál

ez F

erná C

D

· A

A A A

· A A ·A A A A

Anto

nio

Gon

¿Cuáles son absurdas? ¿Cuáles son idénticamente nulas?

© 2

010,

A

11

¿Cuáles son absurdas? ¿Cuáles son idénticamente nulas?

Sevilla octubre de 2010

ánde

z

Sevilla, octubre de 2010

nzál

ez F

erná

Anto

nio

Gon

© 2

010,

A

12