12 Derivada Direccional y Gradiente Presentacion

Transcript of 12 Derivada Direccional y Gradiente Presentacion

Tema 12: derivada direccional y gradiente

Tema 12: derivada direccional y gradienteMatematica II

20122013

Indice

1 Derivada direccional de una funcionDefinicion e interpretacion geometricaComputo de la derivada direccional

2 Propiedades del gradiente de una funcionGradiente y tangentes a curvas de nivelGradiente de funciones de tres variables

Derivada direccional de una funcion

Definicion e interpretacion geometrica

Indice





La derivada de f (x , y) en una direccion particular

Tenemos una funcion f (x , y)definida en una region R delplano xy .Tenemos un punto P0 R yun vector unitario u.Cual sera la tasa de cambiode f (x , y) s, arrancando deP0, nos movemos sobre L enla direccion de s creciente?

x

y

u=u 1i+

u 2j

P0(x0, y0)

R

L : x = x0 + su1, y = y0 + su2



La derivada de f (x , y) en una direccion particular

Tenemos una funcion f (x , y)definida en una region R delplano xy .Tenemos un punto P0 R yun vector unitario u.Cual sera la tasa de cambiode f (x , y) s, arrancando deP0, nos movemos sobre L enla direccion de s creciente?

x

y

u=u 1i+

u 2j

P0(x0, y0)

R

L : x = x0 + su1, y = y0 + su2



Aplicando la regla de la cadena

Si nos movemos sobre larecta L nos queda

f (x , y) = f(g(s),h(s)

)= f (x0 + su1, y0 + su2)

La regla de la cadena indicaentonces que, la tasa decambio de f respecto de s, alo largo de la recta L, sera

dfds

=fx

dxds

+fy

dyds

x

y

u=u 1i+

u 2j

P0(x0, y0)

R

L : x = x0 + su1, y = y0 + su2



Definicion formal de derivada direccional

Definicion 1 (derivada direccional)

La derivada de f en P0(x0, y0) en la direccion del vector unitariou = u1i+ u2j es el numero(

dfds

)u,P0

= lms0

f (x0 + su1, y0 + su2) f (x0, y0)s

si este lmite existe.

Esta es la definicion formal, pero veremos que hay unaforma practica, mas sencilla, de calcular una derivadadireccional.



Definicion formal de derivada direccional

Definicion 1 (derivada direccional)

La derivada de f en P0(x0, y0) en la direccion del vector unitariou = u1i+ u2j es el numero(

dfds

)u,P0

= lms0

f (x0 + su1, y0 + su2) f (x0, y0)s

si este lmite existe.

Esta es la definicion formal, pero veremos que hay unaforma practica, mas sencilla, de calcular una derivadadireccional.



Comentarios acerca de la derivada direccional

La derivada direccional tambien suele escribirse como(dfds

)u,P0 (Duf )P0

Las derivadas parciales de f , evaluadas en P0, resultan ser

fx(x0, y0) = (Dif )P0 fy (x0, y0) =(Djf)P0



La derivada direccional es una pendiente

La pendiente m dela recta tangente ala curvaz = f (g(s),h(s)), enel puntoP(x0, y0, f (x0, y0)

),

es la derivadadireccional.

m =(dfds

)u,P0

= (Duf )P0


Computo de la derivada direccional

Indice





Expresion para calcular la derivada direccional

Buscamos una expresion para calcular la derivada(direccional) de f (x , y) sobre la recta parametrizada

L : x = x0 + su1 y = y0 + su2

Aplicando la regla la cadena obtenemos(dfds

)u,P0

=fx

P0

dxds

+fy

P0

dyds

=fx

P0

u1 +fy

P0

u2

=

(fx

P0

i+fy

P0

j

)

gradiente de f en P0

(u1i+ u2j) vector u



Expresion para calcular la derivada direccional

Buscamos una expresion para calcular la derivada(direccional) de f (x , y) sobre la recta parametrizada

L : x = x0 + su1 y = y0 + su2

Aplicando la regla la cadena obtenemos(dfds

)u,P0

=fx

P0

dxds

+fy

P0

dyds

=fx

P0

u1 +fy

P0

u2

=

(fx

P0

i+fy

P0

j

)

gradiente de f en P0

(u1i+ u2j) vector u



El vector gradiente de una funcion

Definicion 2 (gradiente)

La funcion vectorial gradiente de f (x , y) es el vector

f = fx

i+fy

j

Cuando se evalua la funcion vectorial gradiente, en unpunto P0(x0, y0), se obtiene el vector gradiente

(f )P0 =fx

P0

i+fy

P0

j



El vector gradiente de una funcion

Definicion 2 (gradiente)

La funcion vectorial gradiente de f (x , y) es el vector

f = fx

i+fy

j

Cuando se evalua la funcion vectorial gradiente, en unpunto P0(x0, y0), se obtiene el vector gradiente

(f )P0 =fx

P0

i+fy

P0

j



La derivada direccional es un producto punto

Teorema 1

Si f (x , y) es derivable en una region abierta que contiene aP0(x0, y0), y si u es un vector unitario, entonces

(Duf )P0 = (f )P0 u =(f )P0 cos

es el producto punto del gradiente f en P0 con u.



Ejemplo 1

Obtener la derivada de f (x , y) = xey + cos xy , en el punto(2,0), y en la direccion del vector v = 3i 4j.

1 Calculamos el vector unitario en la direccion de v

u =v|v| =

v5

=35i 4

5j

2 Las derivadas parciales de f , evaluadas en (2,0) son

fx(2,0) =(ey y sin xy)|(2,0) = e0 0 0

= 1

fy (2,0) =(xey x sin xy)|(2,0) = 2e0 2 0

= 2



Ejemplo 1



u =v|v| =

v5

=35i 4

5j


fx(2,0) =(ey y sin xy)|(2,0) = e0 0 0

= 1

fy (2,0) =(xey x sin xy)|(2,0) = 2e0 2 0

= 2



Ejemplo 1



u =v|v| =

v5

=35i 4

5j


fx(2,0) =(ey y sin xy)|(2,0) = e0 0 0

= 1

fy (2,0) =(xey x sin xy)|(2,0) = 2e0 2 0

= 2



3 El gradiente f en (2,0) es

(f )(2,0) = fx(2,0)i+ fy (2,0)j = i+ 2j

4 La derivada de f en (2,0), y en la direccion de v, es

(Duf )(2,0) = (f )(2,0) u

= (i+ 2j) (

35i 4

5j)

=35 8

5= 1



3 El gradiente f en (2,0) es

(f )(2,0) = fx(2,0)i+ fy (2,0)j = i+ 2j

4 La derivada de f en (2,0), y en la direccion de v, es

(Duf )(2,0) = (f )(2,0) u

= (i+ 2j) (

35i 4

5j)

=35 8

5= 1



Propiedades de la derivada direccional de f (x , y)

1 f (x , y) crece masrapidamente en ladireccion de f(porque = 0).

2 f (x , y) decrece masrapidamente en ladireccion de f(porque = 180).

3 f (x , y) se mantieneconstante en lasdireccionesperpendiculares a f(porque = 90).

f (x , y) = xey + cos xy

1

1

2

y

1 2 3 4 5

x

z = 1

z = 3

z = 6

z = 8z = 12z = 18z = 24

P0(2, 0)

(f )(2,0) = i+ 2j

u = 3/5i 4/5j

(Duf )P0 = (f )P0 u=(f )P0 cos



Ejemplo 2

Indicar las direcciones en las que f (x , y) = x2

2 +y22

1 crece mas rapidamente desde el punto (1,1);2 decrece mas rapidamente desde el punto (1,1);3 se mantiene constante desde el punto (1,1).

1 f (x , y) crece mas rapidamente en la direccion de (f )(1,1)(f )(1,1) = (x i+ y j)|(1,1) = i+ j

y el vector unitario en esa direccion es

u =i+ j|i+ j| =

12i+

12j



Ejemplo 2

Indicar las direcciones en las que f (x , y) = x2

2 +y22

1 crece mas rapidamente desde el punto (1,1);2 decrece mas rapidamente desde el punto (1,1);3 se mantiene constante desde el punto (1,1).

1 f (x , y) crece mas rapidamente en la direccion de (f )(1,1)(f )(1,1) = (x i+ y j)|(1,1) = i+ j

y el vector unitario en esa direccion es

u =i+ j|i+ j| =

12i+

12j



2 f (x , y) decrece mas rapidamente en la direccion de (f )(1,1), es decir

u = 12i 1

2j

3 f (x , y) se mantiene constante en las direccionesperpendiculares a (f )(1,1), es decir

n = 12i+

12j y n = 1

2i 1

2j



1 f (x , y) crece masrapidamente en ladireccion de f .

2 f (x , y) decrece masrapidamente en ladireccion de f .

3 f (x , y) se mantieneconstante en lasdireccionesperpendiculares af .

Propiedades del gradiente de una funcion

Gradiente y tangentes a curvas de nivel

Indice





f es siempre perpendicular a las curvas de nivel de fSupongamos que f (x , y) toma un valor constante c sobreuna curva parametrizada r(t) = g(t)i+ h(t)j.Es decir, que r(t) es una curva de nivel de f , o lo que eslo mismo, que f

(g(t),h(t)

)= c.

Entonces, derivando cada lado de esta ecuacion, resulta

ddtf(g(t),h(t)

)=

ddt

(c)

fx

dgdt

+fy

dhdt

= 0(fx

i+fy

j)

f

(dgdt

i+dhdt

j)

drdt

= 0




(g(t),h(t)

)= c.


ddtf(g(t),h(t)

)=

ddt

(c)

fx

dgdt

+fy

dhdt

= 0(fx

i+fy

j)

f

(dgdt

i+dhdt

j)

drdt

= 0




(g(t),h(t)

)= c.


ddtf(g(t),h(t)

)=

ddt

(c)

fx

dgdt

+fy

dhdt

= 0(fx

i+fy

j)

f

(dgdt

i+dhdt

j)

drdt

= 0



Ecuacion de la recta tangente

Teorema 2

En todos los puntos (x0, y0) del dominio de una funcion f(x,y),el gradiente f es perpendicular a la curva de nivel que pasapor (x0, y0).

Teorema 3

La recta que pasa por un punto (x0, y0), y es perpendicular a unvector N = A i+ B j, tiene ecuacion A(x x0) + B(y y0) = 0

Entonces, si N es el (f )(x0,y0) = fx(x0, y0)i+ fy (x0, y0)j, laecuacion de la recta tangente sera

fx(x0, y0)(x x0) + fy (x0, y0)(y y0) = 0




Teorema 2


Teorema 3



fx(x0, y0)(x x0) + fy (x0, y0)(y y0) = 0




Teorema 2


Teorema 3



fx(x0, y0)(x x0) + fy (x0, y0)(y y0) = 0



Ejemplo 3

Obtener una ecuacion para la tangente a la elipse

x2

4+ y2 = 2

en el punto (2,1).

1 La elipse es una curva de nivel de la funcion

f (x , y) =x2

4+ y2

2 El gradiente de f en (2,1) es

(f )(2,1) =(x

2i+ 2y j

)(2,1)

= i+ 2 j



Ejemplo 3


x2

4+ y2 = 2

en el punto (2,1).


f (x , y) =x2

4+ y2


(f )(2,1) =(x

2i+ 2y j

)(2,1)

= i+ 2 j



Ejemplo 3


x2

4+ y2 = 2

en el punto (2,1).


f (x , y) =x2

4+ y2


(f )(2,1) =(x

2i+ 2y j

)(2,1)

= i+ 2 j



4 Entonces, la tangente es la recta

(1)(x + 2) + 2(y 1) = 02y x = 4

2

1

1

2

y

4 3 2 1 1 2 3 4

x(2, 1)

(f )(2,1) = i + 2 j

2y x =

4

x2

2+ y 2 = 2



Otras propiedades de los gradientes

Reglas para operar con gradientes

Si tenemos dos funciones f y g, entonces se cumpliran lassiguientes reglas:

1) Regla de la suma (f + g) = f +g2) Regla de la resta (f g) = f g3) Regla del multiplo constante (cf ) = cf c R4) Regla del producto (fg) = gf + fg5) Regla del cociente

(fg

)= gffgg2



Ejemplo 4

Comprobar las reglas 2 y 4 del gradiente, siendo

f (x , y) = x y g(x , y) = 3yf = i j g = 3j

1 La regla 2

(f g) = (x 4y) = i 4j = f g2 La regla 4

(fg) = (

3xy 3y2)= 3y i+ (3x 6y)j

= 3y(i j) + 3y j+ (3x 6y)j= 3y(i j) + (3x 3y)j= 3y (i j) + (x y) 3j = gf + fg



Ejemplo 4


f (x , y) = x y g(x , y) = 3yf = i j g = 3j

1 La regla 2


(fg) = (

3xy 3y2)= 3y i+ (3x 6y)j




Ejemplo 4


f (x , y) = x y g(x , y) = 3yf = i j g = 3j

1 La regla 2


(fg) = (

3xy 3y2)= 3y i+ (3x 6y)j



Gradiente de funciones de tres variables

Indice





Funciones de tres variables

Para una funcion derivable f (x , y , z) y un vector unitariou = u1i+ u2j+ u3k en el espacio R3 se tiene

f = fx

i+fy

j+fz

k

y

Duf = f u = fx

u1 +fy

u2 +fz

u3

La derivada direccional puede escribirse tambien como

Duf = f u = |f ||u| cos = |f | cos



Funciones de tres variables

Para una funcion derivable f (x , y , z) y un vector unitariou = u1i+ u2j+ u3k en el espacio R3 se tiene

f = fx

i+fy

j+fz

k

y

Duf = f u = fx

u1 +fy

u2 +fz

u3

La derivada direccional puede escribirse tambien como

Duf = f u = |f ||u| cos = |f | cos

Ejemplos con Sage

Calculo de gradientes y derivadas direccionales

Indice

3 Ejemplos con SageCalculo de gradientes y derivadas direccionales

Ejemplos con Sage


Calcular el gradiente de una funcion f (x , y , z)

# definir la funcion f (x , y , z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(xz)f(x,y,z) = log(x*y)+log(y*z)+log(x*z)# mostrar la funcion fshow(f)# calcular fGf = f.gradient()show(Gf)# evaluar f en (1,1,1)w = Gf(1,1,1)show(w)

Ejemplos con Sage


Graficar el gradiente de una funcion f (x , y)

f(x,y) = x*exp(y)+cos(x*y); show(f) # f (x , y)x0 = 2; y0 = 0; P0 = vector((x0,y0)) # P0Gf = f.gradient(); show(Gf) # fw = Gf(x0,y0); show(w) # f evaluado en (2,0)# graficar las curvas de nivel de fg2 = contour_plot(f,(x,-0.5,5),(y,-1,2),contours=[1,3,6,8,12,16,24],frame=false,fill=false,labels=true,label_inline=true,label_fmt="%2d",label_colors="red")# agregar P0 y f evaluado en (2,0)g2 = g2 + arrow2d(P0,P0+w, width=2,color="blue", aspect_ratio=1, axes=true)g2 = g2 + point(P0, size=50, color="black",zorder=99); g2.show()

Ejemplos con Sage


Calcular una derivada direccional de f (x , y)

# f (x , y) = xey + cos(xy)f(x,y) = x*exp(y)+cos(x*y); show(f)x0 = 2; y0 = 0; P0 = vector((x0,y0)) # P0 = (2,0)Gf = f.gradient(); show(Gf) # fw = Gf(x0,y0); show(w) # f (2,0)v1 = 3; v2 = -4; v = vector((v1,v2)) # v = (3,4)u = v/v.norm(); show(u) # u = (3/5,4/5)Duf = w.dot_product(u) # Duf (2,0) = f (2,0) u = 1show(Duf)

Derivada direccional de una funcinDefinicin e interpretacin geomtricaCmputo de la derivada direccional

Propiedades del gradiente de una funcinGradiente y tangentes a curvas de nivelGradiente de funciones de tres variables

ApndiceEjemplos con SageClculo de gradientes y derivadas direccionales

12 Derivada Direccional y Gradiente Presentacion

Documents

Transcript of 12 Derivada Direccional y Gradiente Presentacion