Presentacin de PowerPoint

Instituto tecnolgico de VillahermosaCATEDRATICA: M.C. ZINATH JAVIER GERONIMO

INVESTIGACION DE OPERACIONESUNIDAD II: LINEAS DE ESPERA

GENRY RICARDEZ GARCIA

LINEAS DE ESPERA2.1 Definiciones, caractersticas y suposiciones. El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarn los clientes. Tambin el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Definicin. Una Cola es una lnea de espera y la teora de colas es una coleccin de modelos matemticos que describen sistemas de lneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la lnea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta informacin, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada.

Costos de los sistemas de colasUn sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia, la cola y la instalacin de servicio . Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola; si no hay lnea de espera se dice que la cola esta vaca . De la cola, las llegadas van a la instalacin de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con la regla para decidir cul de las llegadas se sirve despus. El primero en llegar primero en ser servido es una regla comn, pero podra servir con prioridades o siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas.

Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse.

Costo de Espera. Esperar significa desperdicio de algn recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa y esta dado por : Costo total de espera = CwL Donde Cw = costo de espera por hora (en dlares) por llegada por unidad de tiempo y L= longitud promedio de la lnea.

Costo de ServicioEste en la mayora se trata de comprar varias instalaciones de servicio , en estos casos solo se ocupan los costos comparativos o diferenciales. Sistema de costo mnimoAqu hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo , finalmente se llega a un punto de disminucin en el rendimiento. Entonces el propsito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mnimo.

Estructuras tpicas. Las llegadas pueden ser personas, cartas, carros, incendios, ensambles intermedios en una fbrica, etc. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de varios sistemas de colas.

2.2 Terminologa y notacin. Esta notacin sirve para etiquetar o nombrar a los diferentes modelos de lneas de espera que se pueden tener. La notacin consta de 6 nmeros de la forma siguiente: a/b/c/d/e/f

Donde los smbolos representan lo siguiente:a= La distribucin de tiempo entre llegadas.b= La distribucin de tiempo de servicio.c= El nmero de servidores en paralelo.d= Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO, PRIORIDAD).e= Nmero mximo admitido en el sistema (lnea de espera + en servicio).f= Tamao de la poblacin de donde se extrae los clientes.

Para reemplazar a los smbolos a y b se usan las siguientes iniciales:M = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribucin exponencial entrada o salida de Poisson (o Markoviana).D= Cuando el tiempo de llegada o servicio es deterministaEk = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribucin de Erlangs con parmetro K.G = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribucin general (cualquier distribucin arbitraria).Como observamos los elementos bsicos para crear un modelo de lnea de espera, depender de los siguientes factores:Distribucin de llegadas. (Individuales o en grupo).Distribucin de servicio. (Individuales o en grupo).Diseo de la instalacin (estaciones en serie, paralelo, o en red)Disciplina de servicio Tamao de la lnea (finita o infinita)Fuente de los clientes (finita o infinita)

2.3 Proceso de nacimiento o muerte. La mayora de los modelos de colas suponen que las entradas y salidas al sistema de colas, ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte.En este caso un nacimiento se refiere a la entrada de un nuevo cliente y una muerte a la salida de un cliente servido.Este proceso nos sirve para calcular el nmero de clientes probables que habr en un sistema en un tiempo determinado t. N(t) nmero de clientes que hay en el momento t.Este proceso de nacimiento y muerte describe en trminos probabilsticos como cambia N (t) al aumentar t.Este proceso hace las siguientes suposiciones:

1) Dado N (t)=n, la distribucin de probabilidad para la prxima llegada esexponencial. Con un parmetro n (n= 1, 2, 3,.)2) Dado N (t)=n, la distribucin de probabilidad para la prxima muerte esexponencial. Con un parmetro n (n= 1, 2, 3,.)3) Solo un nacimiento o una muerte puede ocurrir a la vez.En la aplicacin de problemas n representa la tasa media de llegadas y ntasa media de salidas.2.4 Modelos PoissonExisten una gran variedad de modelos para los sistemas de colas, las dos caractersticas ms importantes sern:a) Los tiempos de llegada.b) Los tiempos de servicio.En los sistemas de colas reales no es posible determinar con exactitud estos dos tiempos, es decir no son determinsticos, los ms comunes son los modelos probabilsticos, donde se dan un promedio de estos tiempos, por lo tanto tenemos que usar una distribucin de probabilidad que se ajuste lo ms cercano a la realidad.Para calcular la probabilidad de cul ser el tiempo entre llegadas se utiliza la distribucin exponencial, esta distribucin tiene una funcin de densidad de probabilidad: (densidad de probabilidad continua)

Donde: T es el tiempo entre los eventos (tiempo de llegadas o tiempo de servicio) es la tasa media que ocurra una llegada o servicio.Si se grafica esta distribucin de probabilidad nos da lo siguiente:

La media de esta funcin esta dado por:

La varianza de esta funcin es:

Aqu se puede observar las siguientes propiedades de esta distribucin:1) La probabilidad de que ocurra un evento siempre es positiva pero menor que 12) fT(t) es una funcin decreciente respecto a t, es decir es ms probable que el valor de T este cercano a la media.3) La distribucin de probabilidad del tiempo para que ocurra un evento, no depende del tiempo en que ocurri el evento anterior, es decir es independiente.5.4.1 Modelos Poisson un Servidor 5.4.2 Modelos Poisson Mltiples Servidores Clculos en los modelos de colasPn = probabilidad que en el estado estable haya n clientes en el sistemaLs = nmero de clientes que espera halla en el sistemaLq = nmero de clientes que espera halla en la lnea de espera.Ws = Tiempo de espera en el sistema (lnea mas servicio)Wq = Tiempo de espera en la lnea de espera.(M/M/S) S=1 Y S>1(M/M/S) VARIACION DE COLA FINITA S=1 Y S>1(COLA FINITA)(M/M/S) VARIACION DE FUENTE DE ENTRADA FINITA S=1 Y S>1REPARACION DE MAQUINAS(M/M/1)(GD//), (M/M/C)(GD//)(M/M/1)(GD/N/), (M/M/C)(GD/N/) VARIACION DE COLA FINITA (COLAFINITA)(M/M/R)(GD/K/K) MODELO DE SERV A MAQ. ORIGEN FINITO(M/M/)(GD//) MODELO DE AUTOSERVICIO.FORMULARIO DE ACUERDO AL MODELO:En estos modelos utilizaremos las siguientes literales: = Tasa de llegadas por unidad de tiempo. = Tasa de servicio por unidad de tiempo. = Intensidad de trfico del sistema.0 = Probabilidad que sistema este ocioso.j = Probabilidad que haya j clientes en el sistemaL = Cantidad de personas en el sistema.Lq = Cantidad de personas en la cola.Ls = Cantidad de personas en servicio.W = Tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema.Wq = Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola.Ws = Tiempo promedio que un cliente pasa en el servidor.M/M/1/GD// En este modelo las llegadas son de forma exponencial, el tiempo de servicio tambin es exponencial, solo hay un servidor, el nmero de clientes que se pueden formar en la cola es infinito, y el tamao de la poblacin tambin es infinito.

Si > 1 no existe estado estable.

M/M/S/GD// En este modelo las llegadas son de forma exponencial, el tiempo de servicio tambin es exponencial, existen S nmeros de servidores que dan los mismos servicios, el nmero de clientes que se pueden formar en una sola cola es infinito, y el tamao de la poblacin tambin es infinito.