15 Raúl Pachón

Simposio de Topologıa Carlos Javier Ruiz Salguero

Universidad Nacional de ColombiaBogota, enero 24, 25 y 26 de 2013

A la memoria del Dr. Ruiz

Una nota acerca de la complementacion en el

retıculo de topologıas

Nestor Raul Pachon Rubiano

Escuela Colombiana de Ingenierıa Julio Garavito

N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013

Algunos antecedentes

1 Hartmanis demostro que el retıculo de topologıas en unconjunto finito X es complementado, verificando que si Xtiene n ≥ 2 elementos entonces toda topologıa propia(distinta de la topologıa discreta y de la grosera) tiene almenos n− 1 complementos.




2 Gaifman demostro que este retıculo es complementado si elconjunto X es contable, demostrando que si toda topologıaT1 en X tiene un complemento entonces toda topologıa en elconjunto X tiene un complemento.





3 Steiner demostro que el retıculo de topologıas sobre unconjunto infinito arbitrario es complementado.





3 Steiner demostro que el retıculo de topologıas sobre unconjunto infinito arbitrario es complementado.

4 Mas recientemente, Schnare demostro que toda topologıa paraun conjunto infinito X, distinta de la grosera y de la discreta,tiene al menos card(X) complementos y a lo mas 22

car(X)

complementos, y que estas cotas son las mejores posibles.


Un resultado motivador

Un resultado del trabajo de Schnare nos llamo particularmente laatencion fue el siguiente:




Toda ultratopologıa para un conjunto infinito X tiene exactamente22

car(X)complementos y 2card(X) complementos principales.






Lo que nos intereso de este resultado es que las ultratopologıas sontopologıas ordinables.






Lo que nos intereso de este resultado es que las ultratopologıas sontopologıas ordinables.

Naturalmente que nos preguntamos por la cardinalidad delconjunto de complementos de una topologıa ordinable sobre unconjunto infinito, y el proposito de la exposicion es presentarrespuestas parciales para la misma, que generalizan el resultado deSchnare.


Elementos ordinables en conjuntos ordenados

Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Mediante unproceso de derivacion de Cantor, asociamos a cada numero ordinalα un subconjunto (A,≤)α de A, al que llamaremos el nivel α de(A,≤), de la siguiente manera:




(A,≤)0 es el conjunto de elementos maximales de (A,≤).





Si α > 0, (A,≤)α es el conjunto de elementos maximales delconjunto A\

⋃

β<α

(A,≤)β , con el orden inducido de ≤.





Si α > 0, (A,≤)α es el conjunto de elementos maximales delconjunto A\

⋃

β<α

(A,≤)β , con el orden inducido de ≤.

Un elemento a ∈ A sera llamado ordinable si existe un ordinal α(necesariamente unico) tal que a ∈ (A,≤)α.


Elementos ordinables en el retıculo de topologıas

Los elementos ordinables del retıculo de topologıas estancaracterizadas por el siguiente teorema.




Teorema 1

Si Φ ∈ Top(X) entonces las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

1 Φ es ordinable en (Top(X),⊆)




Teorema 1



2 La coleccion de ultratopologıas para X que contienen a Φ esfinita.




Teorema 1




3 El intervalo [Φ,P(X)] es finito.




Teorema 1




3 El intervalo [Φ,P(X)] es finito.

4 Φ es de profundidad finita en el retıculo (Top(X),⊆).



Notacion: TopordX denotara al conjunto de topologıas ordinablessobre X.




Teorema 2

(TopordX,⊆) es un retıculo.




Teorema 2


Tres resultados previos

Si X es un conjunto infinito entonces:




Teorema 2




1 El conjunto Top(X) tiene 22card(X)

elementos, de los cuales2card(X) son topologıas principales.




Teorema 2






2 El espacio (X, τ) es T1 si y solo si toda ultratopologıa para Xque contenga a τ es no principal.




Teorema 2






2 El espacio (X, τ) es T1 si y solo si toda ultratopologıa para Xque contenga a τ es no principal.

3 Sea F un subconjunto finito de X. Si U1,U2, ...,Un sonultrafiltros para X, entonces existe V ⊆ X\F tal que

card(V ) = card(X\V ) = card(X) y V /∈n⋃

i=1Ui.


Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)

Teorema 3

Sean X un conjunto infinito y {x1, x2, ..., xr} ⊆ X. SeanU11,U12, ...,U1n1 ,U21,U22, ...,U2n2 , ...,Ur1,Ur2, ...,Urnr

ultrafiltros(no necesariamente distintos) para X, tales que

{x1, x2, ..., xr} /∈r⋃

i=1

ni⋃

j=1Uij .



Teorema 3



{x1, x2, ..., xr} /∈r⋃

i=1

ni⋃

j=1Uij .

Si Φ =r⋂

i=1

[

P (X\ {xi}) ∪ni⋂

j=1Uij

]

, entonces Φ tiene exactamente

22card(X)

complementos y 2card(X) complementos principales en elretıculo (Top (X) ,⊆).



Teorema 3



{x1, x2, ..., xr} /∈r⋃

i=1

ni⋃

j=1Uij .

Si Φ =r⋂

i=1

[

P (X\ {xi}) ∪ni⋂

j=1Uij

]

, entonces Φ tiene exactamente

22card(X)


El teorema 2 garantiza que la topologıa Φ es ordinable.



Bosquejo de la demostracion: Si F = {x1, x2, ..., xr} entonces ellema garantiza que existe V ⊆ X\F tal que

card(V ) = card(X\V ) = card(X) y V /∈r⋃

i=1

ni⋃

j=1Uij .





i=1

ni⋃

j=1Uij . Sea

β ∈ Top(V ), arbitrario. Consideremos la topologıa para X,β∗ = {U ∪ F : U ∈ β} ∪ {∅, X}.





i=1

ni⋃

j=1Uij . Sea


Se demuestra que β∗ es un complemento para Φ en el retıculo(Top (X) ,⊆).





i=1

ni⋃

j=1Uij . Sea


Se demuestra que β∗ es un complemento para Φ en el retıculo(Top (X) ,⊆). De otra parte, si β1, β2 ∈ Top(V )) entonces β∗

1 =β∗

2 si y solo si β1 = β2, con lo que Φ tiene exactamente

22card(V )

=22card(X)

complementos en el retıculo (Top(X),⊆).





i=1

ni⋃

j=1Uij . Sea


Se demuestra que β∗ es un complemento para Φ en el retıculo(Top (X) ,⊆). De otra parte, si β1, β2 ∈ Top(V )) entonces β∗

1 =β∗

2 si y solo si β1 = β2, con lo que Φ tiene exactamente

22card(V )

=22card(X)

complementos en el retıculo (Top(X),⊆).

Ahora, teniendo en cuenta que si β es principal entonces β∗ esprincipal, y que existen 2card(V ) = 2card(X) topologıas principalessobre V , entonces Φ tiene exactamente 2card(X) complementosprincipales en el retıculo (Top(X),⊆). �



Corolario 1

Si Φ es una topologıa ordinable para el conjunto infinito X, conΦ 6= P (X), y si (X,Φ) es T1 entonces Φ tiene exactamente

22card(X)




Corolario 1

Si Φ es una topologıa ordinable para el conjunto infinito X, conΦ 6= P (X), y si (X,Φ) es T1 entonces Φ tiene exactamente

22card(X)


Corolario 2

Sean X un conjunto infinito, F un subconjunto finito y no vacıo

de X y U1,U2, ...,Ur ultrafiltros para X tales que F /∈r⋃

i=1Ui. Si

Φ = P (X\F ) ∪r⋂

i=1Ui, entonces Φ tiene exactamente 22

card(X)

complementos y 2card(X) complementos principales en el retıculo(Top (X) ,⊆).

Este corolario generaliza el resultado de Schnare mencionado alcomienzo.



La pregunta obvia es si el resultado del teorema 3 es aplicable acualquier topologıa ordinable. La siguiente proposicion nos afirmaque no.




Proposicion

Sea X un conjunto infinito y a, b ∈ X, con a 6= b. Si

Φ = [P(X\ {a}) ∪ 〈b〉] ∩ [P(X\ {b}) ∪ 〈a〉],

entonces Φ tiene exactamente 2card(X) complementos en elretıculo (Top (X) ,⊆).




Proposicion


Φ = [P(X\ {a}) ∪ 〈b〉] ∩ [P(X\ {b}) ∪ 〈a〉],


Bosquejo de la demostracion: Se demuestra que los unicoscomplementos para Φ son las topologıas de la formaβZ = {∅, Z,X\Z,X}, donde Z ⊆ X y card (Z ∩ {a, b}) = 1.




Proposicion


Φ = [P(X\ {a}) ∪ 〈b〉] ∩ [P(X\ {b}) ∪ 〈a〉],


Bosquejo de la demostracion: Se demuestra que los unicoscomplementos para Φ son las topologıas de la formaβZ = {∅, Z,X\Z,X}, donde Z ⊆ X y card (Z ∩ {a, b}) = 1.

Esto nos permite concluir que Φ tiene exactamente 2card(X)

complementos. �


Muchas gracias


15 Raúl Pachón

Documents

Transcript of 15 Raúl Pachón