18. Lugares Geométricos

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Lugares geométricos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

MATEMÁTICAS BÁSICAS

LUGARES GEOMÉTRICOS Existen dos problemas fundamentales en la Geometría Analítica: 1. Dada una ecuación hallar el lugar geométrico que representa. 2. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática.

Ecuación Gráfica

1er Problema

2° Problema

CONCEPTO DE LUGAR GEOMÉTRICO Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen una determinada condición. La solución de un problema de lugares geométricos es una ecuación, la ecuación de todos los puntos que cumplen la dicha condición.

Por ejemplo, el lugar geométrico formado por la condición 2xy = es:

x y

-7 49 -6 36 -5 25 -4 16 -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49

x

40

y

-4

25

5

30

35

45

-2 42

20

10

15

6 8 10-6-8

50


2

El lugar geométrico se forma a partir de todos los puntos que satisfacen la condición, es decir, su gráfica representa la unión de una infinidad de puntos. Sin embargo, en la práctica se toma como referencia las

parejas ordenadas que se obtienen de la tabulación y se unen. Para el ejemplo anterior son: ( ),,255−( ),,164− ( ),,93− ( ),,42− ( ),,11− ( ),,00 ( ),,11 ( ),,42 ( ),,93 ( )164, y ( ).,255−

Puede apreciarse que el punto ( )155 −− ,A no pertenece al lugar geométrico, ya que si se sustituyen los valores, no satisface la ecuación. DISCUSIÓN DE UNA CURVA Para trazar una gráfica, el procedimiento consiste en localizar puntos derivados de una tabulación y dibujar una línea continua que pasa por todos ellos. Sin embargo, no todas las gráficas son continuas y por lo tanto, este procedimiento no es válido ya que se introducirían errores en el trazado de las gráficas. Para evitar errores de este tipo se debe realizar una investigación preliminar de la ecuación antes de trazar la curva. A esto se le conoce como discusión de una curva a través del método de los seis pasos. Las características por analizar son: 1) Intersecciones con los ejes 2) Simetría 3) Extensión o campo de variación 4) Asíntotas 5) Tabulación 6) Trazado de gráfica. INTERSECCIONES CON LOS EJES Son los puntos en que la gráfica del lugar geométrico corta a los ejes coordenados. Para hallar la intersección con el eje x se hace 0=y en la ecuación dada y se despeja la variable x .

Análogamente, para hallar la intersección con el eje y se hace 0=x y se despeja y .

SIMETRÍA Existen tres casos posibles de simetría para un lugar geométrico: a) Una curva es simétrica con respecto al eje x si para cada valor de x se obtienen dos valores iguales pero de signos contarios de y . Por lo tanto, si una ecuación no se altera al sustituir y por y− , su

representación gráfica o lugar geométrico es simétrica respecto al eje x . b) Una curva es simétrica con respecto al eje y si para cada valor de y se obtienen dos valores iguales

pero de signos contarios de x . Por lo tanto, si una ecuación no se altera al sustituir x por x− , su representación gráfica o lugar geométrico es simétrica respecto al eje y . c) Una curva es simétrica con respecto al origen si para cualquier punto que pertenezca al primer cuadrante equidista de otro punto que esté en el tercer cuadrante o, si para cualquier punto que se ubique en el segundo cuadrante, equidista de otro punto que se localice en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, si una ecuación no se altera al sustituir x por x− y y por y− simultáneamente, su representación gráfica o lugar geométrico es simétrica respecto al origen.


3

EXTENSIÓN La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de las variables x y y son reales. Los valores de cada una de las variables para las cuales la otra se hace imaginaria, carecen de sentido. Aquí se pueden presentar dos opciones: a) Que se tenga un cociente. Aquí lo que debe evitarse es que el denominador se haga cero. b) Que tenga un radical con índice par. Aquí lo que debe cuidarse es que su argumento sea positivo o

cuando menos igual a cero. Si no sucede ninguna de las dos opciones anteriores, entonces existe la gráfica en x para toda y y en

y para toda x . ASÍNTOTAS Si para una curva dada existe una recta tal que a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente de su origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva. Las asíntotas pueden ser horizontales o verticales (aunque en términos genéricos pueden tener cualquier inclinación). Un lugar geométrico tiene: • Una asíntota vertical cuando crece indefinidamente si x tiende a un valor finito. • Una asíntota horizontal cuando a medida que x crece indefinidamente, la función tiende a un

número finito. Un lugar geométrico puede tener más de una asíntota horizontal o vertical y sólo existen si hay expresiones racionales de las formas:

( ) ( )( )xqxp

xf = o ( ) ( )( )yqyp

yg =

En el caso de las funciones racionales, las asíntotas verticales se deducen de la expresión despejada para y y de los valores de x que no están en el dominio de la función, es decir, los que anulan el

denominador.

Por ejemplo, la curva ( )( )53

1

+−=

xxy tiene dos asíntotas verticales: una en 3=x y la otra en

5−=x . En el caso de las funciones racionales, las asíntotas horizontales se deducen de la expresión despejada para x y de los valores de y que anulan el denominador.

Por ejemplo, la curva ( )( )1224

12 +−

=yyy

x tiene cuatro asíntotas horizontales: en 0=y , 2=y ,

2−=y y en 6−=y . Este paso es una consecuencia directa de la extensión.


4

TABULACIÓN Es el cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos (al menos diez) para obtener una gráfica adecuada. Por lo general, se sustituye el valor de x en la ecuación despejada para y en el paso tres. Siempre

deben darse los valores de x con base en la extensión obtenida y así obtener y , o viceversa.

TRAZADO DE LA CURVA Una vez efectuada la tabulación, se procede a localizar los puntos encontrados en el quinto paso y unirlos mediante una línea continua. Debe tenerse cuidado en trazar por anticipado las asíntotas (si las hay). Ejemplos. Discutir las siguientes curvas, mediante el método de los seis pasos:

1) ( )1053 =−− xyxy Solución. • Intersecciones con los ejes

* Con respecto al eje x ( )0=y

05)0(3)0( =−− xx

05

005 =

−=⇒=− xx

∴ la curva corta al eje x en 0

* Con respecto al eje y ( )0=x

0)0(53)0( =−− yy

03

003 =

−=⇒=− yy

∴ la curva corta al eje y en 0 • Simetría * Con respecto al eje x ( y por y− )

05)(3)( =−−−− xyyx

( )2053 =−+− xyxy

Como ( ) ( )21 ≠ , la curva no es simétrica con respecto al eje x .

* Con respecto al eje y ( x por x− )

0)(53 =−−−− xyxy

( )3053 =+−− xyxy

Como ( ) ( )31 ≠ la curva no es simétrica con respecto al eje y.

* Con respecto al origen ( x por x− ) y ( y por y− )

0)(5)(3))(( =−−−−−− xyyx

( )4053 =++ xyxy

Como ( ) ( )41 ≠ la curva tampoco es simétrica respecto al origen.


5

• Extensión

* Se despeja la ecuación ( )1 para x :

5

33)5(35035

−=⇒=−⇒=−⇒=−−y

yxyyxyxxyyxxy

∴ ∃ x ∀ y excepto en 5=y

* Se despeja la ecuación ( )1 para y :

( ) ( )53

55353035

−=⇒=−⇒=−⇒=−−x

xyxxyxyxyyxxy

∴ ∃ y ∀ x excepto en 3=x

• Asíntotas 5=y

3=x • Tabulación

Sustituyendo valores de x en ( )5 para obtener valores de y : x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 2.5 2 1.25 0 -2.5 -10 No definido 20 12.5 10 8.75 8 7.5 7.14

• Trazado de gráfica

x-4

16

-8

y

-4 -2

4

-12

8

12

20

2 4 12

x = 3

6 8 10

y = 5

2) ( )1162 =yx

Solución. • Intersecciones con los ejes


16)0(2 =x


6

⇒=160 no hay intersección


16)0( 2 =y

⇒=160 no hay intersección

• Simetría * Con respecto al eje x ( y por y− )

16)(2 =−yx

( )2162 =− yx



16)( 2 =− yx

( )3162 =yx

Como ( ) ( )31 = la curva si es simétrica con respecto al eje y.


016)()( 2 ==−− yx

( )4162 =− yx

Como ( ) ( )41 ≠ la curva tampoco es simétrica respecto al origen. • Extensión


yxyx

1616 22 =⇒=

yx

16=⇒


162 =yx

( )5162x

y =⇒

∴ ∃ y ∀ x excepto en 0=x

• Asíntotas 0=y

0=x • Tabulación

Sustituyendo valores de x en ( )5 para obtener valores de y : x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 1 1.77 4 16 No definido 16 4 1.77 1



7

x

14

4

y

10

2

12

8

18

16

2

6

4 6 8-8 -6 -4 -2

3) ( )12522 =+ yx



25)0( 22 =+x

525252 ±=±=⇒= xx ∴ la curva corta al eje x en 5 y en 5−


25)0( 22 =+ y

525252 ±=±=⇒= yy ∴ la curva corta al eje x en 5 y en 5− • Simetría * Con respecto al eje x ( y por y− )

25)( 22 =−+ yx

( )22522 =+ yx

Como ( ) ( )21 = , la curva si es simétrica con respecto al eje x .


25)( 22 =+− yx

( )32522 =+ yx

Como ( ) ( )31 = , la curva si es simétrica con respecto al eje y .


25)()( 22 =−+− yx

( )42522 =+ yx

Como ( ) ( )41 = la curva también es simétrica respecto al origen.


8

• Extensión


22222252525 yxyxyx −±=⇒−=⇒=+

2525025 222 ≤⇒≥⇒≥− yyy ∴ ∃ x ∀ y con 55 ≤≤− y


( )525252522222 xyxyyx −±=⇒−=⇒=+

2525025 222 ≤⇒≥⇒≥− xxx ∴ ∃ y ∀ x con 55 ≤≤− x • Asíntotas No hay • Tabulación

Sustituyendo valores de x en ( )5 para obtener dos valores de y : x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y 0 ±3 ±4 ±4.58 ±4.89 ±5 ±4.89 ±4.58 ±4 ±3 0


x-1

y

1

2

-3 1 2-2

-3

6

-2

3

4

5

-4

-5

3 4 5-4-5-6

6

-6

4) ( )1024882 =−−+ yxy



024)0(88)0( 2 =−−+ x

38

242480248 ==⇒=⇒=− xxx ∴ la curva corta al eje x en 3



9

0248)0(82 =−−+ yy

02482 =−− yy

aplicando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado: ( )2481 −=−== c,b,a :

( ) ( )( )( ) ⇒

±=±=+±=−−−±−−

=2

64128

2

1608

2

96648

12

2414882

.y

3222

6443210

2

642021 .

.y;.

.y −≈−≈≈≈

∴ la curva corta al eje y aproximadamente en 3210. y 322.− • Simetría * Con respecto al eje x ( y por y− )

024)(88)( 2 =−−−+− yxy

( )2024882 =−++ yxy



0248)(82 =−−−+ yxy

( )3024882 =−−− yxy

Como ( ) ( )31 ≠ , la curva si es simétrica con respecto al eje y .


024)(8)(8)( 2 =−−−−+− yxy

( )4024882 =−+− yxy



8

248248802488

222 ++−=⇒++−=⇒=−−+ yy

xyyxyxy

el denominador nunca se puede hacer cero ∴ ∃ x ∀ y


0824802488 22 =+−−⇒=−−+ xyyyxy

aplicando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado: ( )xc,b,a 82481 +−=−== :

( ) ( ) ( )( )( ) ( )5

2

321608

2

3296648

12

82414882

xxxy

−±=−+±=+−−−±−−

=

analizando el radical se tiene:

532

1601603232160032160 ≤⇒≤⇒≤⇒≥⇒≥− xxxxx

∴ ∃ y ∀ x con 5≤x

• Asíntotas No hay


10

• Tabulación

Sustituyendo valores de x en ( )5 para obtener dos valores de y : x -1 0 1 2 3 4 5

y 10.92 -2.92 10.32 -2.32 9.65 -1.65 8.89 -0.89 8 0 6.82 1.17 4


x-2

8

-4

y

2

-6

4

6

10

-2 421 3 5-1-3

12

5) ( )101042 =−− yyx



010)0(4)0(2 =−−x

⇒=− 010 no hay intersección


0104)0( 2 =−− yy

5.24

101040104 −=

−=⇒−=−⇒=−− yyy ∴ la curva corta al eje x en 52.−


010)(4)(2 =−−−− yyx

( )201042 =−+− yyx



0104)( 2 =−−− yyx

( )301042 =−− yyx


11



010)(4)()( 2 =−−−−− yyx

( )401042 =−+− yyx



y

yx

y

yxyyxyyx

1041041040104

222 +±=⇒+=⇒+=⇒=−−

para que exista en los números reales, se debe cumplir la desigualdad 0104 >+y

y

donde se tiene un polinomio racional de la forma ( )( )xqxp

cuyas raíces son: 52.y −= y 0=y

así que se generan tres intervalos de factible solución: ( ) ( ) ( )∞−−−∞ ,,,.,., 005252 Probando con valores intermedios a fin de saber cuáles cumplen con la desigualdad:

( )523 .,−−∞∈−

( )3

2

3

2

3

1012

3

1034 =−−=

−+−=

−+−

como 3

2 es mayor que 0 se satisface la desigualdad para cualquier punto de ese intervalo.

( )0521 ,.−∈−

( )6

1

6

1

104

1

1014 −=−

=−+−=

−+−

como 6 no es mayor que 0 , no se satisface la desigualdad para ningún punto de ese intervalo.

( )∞∈ ,01

( )14

1

14

1

104

3

1014 ==+=−

+

como 14 es mayor que 0 se satisface la desigualdad para cualquier punto de ese intervalo.

entonces, el conjunto solución es la unión de los intervalos que cumplen la desigualdad: ( ) ( )∞−−∞ ,., 052 ∪

∴ ∃ x ∀ y con ( ) ( )∞−−∞ ,., 052 ∪


( ) ( )54

101041040104

2

222

−=⇒=−⇒=−⇒=−−x

yxyyyxyyx

∴ ∃ y ∀ x excepto en 2=x y 2−=x

• Asíntotas 2=x 2−=x

0=y • Tabulación

Sustituyendo valores de x en ( )5 para obtener valores de y :


12

x -6 -5 -4 -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 3 4 5 6

y 0.31 0.47 0.83 2 ∃ -5.71 -3.33 -2.5 -3.33 -5.71 ∃ 2 0.83 0.47 0.31


x-1

4

-2

y

-8 -6

1

-3

2

3

5

-4 -2 8

-4

x = 2

2 4 6

-5

x = -2

6) ( )1164 22 =− yx



16)0(422 =−x

416162 ±=±=⇒= xx ∴ la curva corta al eje x en 4 y en 4−


164)0(22 =− y

444

16164164 22 −±=⇒−=−=⇒−=−⇒=− yyyy ∴ la curva no cruza al eje y


16)(4 22 =−− yx

( )2164 22 =− yx

Como ( ) ( )21 = , la curva si es simétrica con respecto al eje x .


164)( 22 =−− yx

( )3164 22 =− yx




13

16)(4)( 22 =−−− yx

( )4164 22 =− yx

Como ( ) ( )41 = la curva también es simétrica respecto al origen.

• Extensión


22222 16416164 yxyxyx +±=⇒+=⇒=−

⇒−≥⇒≥+ 16016 22 yy es una desigualdad absoluta (siempre se cumple) ∴ ∃ x ∀ y


4

16164164164

22222222 −=⇒−=⇒−=−⇒=− xyxyxyyx

( )54

162 −±=⇒x

y

1601604

16 222

≥⇒≥−⇒≥−xx

x ∴ ∃ y ∀ x con 44 ≥≥− x

• Asíntotas No tiene asíntotas horizontales ni verticales • Tabulación

Sustituyendo valores de x en ( )5 para obtener dos valores de y : x x -8 -7 -6 -5 -4 4 5 6 7 8

y y ±3.46 ±2.87 ±2.23 ±1.5 0 0 ±1.5 ±2.23 ±2.87 ±3.46


x-1

y

1

2

-3 1 2-2

-3

6

-2

3

4

5

-4

-5

3 4 5-4-5-6

6

-6

7 8-7-8


14

ECUACIONES DE LUGARES GEOMÉTRICOS El segundo problema fundamental de la geometría analítica consiste en obtener la ecuación de un lugar geométrico dada su gráfica o sus condiciones básicas. En general, para obtener la ecuación de un lugar geométrico se sigue el procedimiento que a continuación se describe: Una vez conocidas las condiciones que debe cumplir un lugar geométrico, se expresan algebraicamente

en términos de un punto ( )y,xP que es un punto del lugar geométrico, y por lo tanto, satisface las condiciones dadas. Se obtiene la expresión (generalmente aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos), se simplifica, se iguala a cero y se comprueba que cualquier punto que pertenezca a la curva satisface la ecuación encontrada. Cualquier pareja de valores que satisfaga la ecuación representa las coordenadas de un punto del lugar geométrico. Ejemplos.

1) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos ( )y,xP del plano que equidisten de los puntos

( )531 −,P y ( )262 ,P − Solución.

La distancia al punto 1P es: 22

1 )5()3( ++−= yxd y la distancia al punto 2P es: 22

2 )2()6( −++= yxd

Al equidistar, implica que: 21 dd =

( ) ( ) ( ) ( )22222653 −++=++−∴ yxyx

elevando al cuadrado: 2222 )2()6()5()3( −++=++− yxyx

desarrollando: 443612251096 2222 +−+++=++++− yyxxyyxx

reduciendo términos semejantes: 061418 =+− yx

simplificando se obtiene: 0379 =+− yx

x-1

y

1

2

-3 1 2-2

-3

6

-2

3

4

5

-4

-5

3 4 5-4-5-6

6

-6

P1 (3,-5)

P2 (-6,2)


15

2) Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos ( )y,xP del plano cuya suma de los

cuadrados de sus distancias a los puntos ( )131 ,P − y ( )152 ,P sea igual a 82 Solución.

( ) ( )221 13 −++= yxd ; ( ) ( )22

2 15 −+−= yxd ; ( ) ( ) 822

22

1 =+ dd

( ) ( ) ( ) ( ) 8215132

222

22 =

−+−+

−++∴ yxyx

eliminando las raíces:

( ) ( ) ( ) ( ) 8215132222 =−+−+−++ yxyx

desarrollando:

821225101296 2222 =+−++−++−+++ yyxxyyxx reduciendo términos semejantes:

0464422 22 =−+−+ yxyx simplificando se obtiene:

0232222 =−+−+ yxyx

x-1

y

1

2

-3 1 2-2

-3

6

-2

3

4

5

-4

-5

3 4 5-4-5-6

6

-6

P1 (5,1)P2 (-3,1)

-7 7

3) Obtener la ecuación del lugar geométrico de los puntos ( )y,xP del plano que equidisten del punto

( )121 ,P y de la recta 4−=x Solución.

( ) ( )221 12 −+−= yxd ; 042 =+⇒ xd ; 21 dd =

( ) ( ) 41222 +=−+− xyx

elevando al cuadrado:

( ) ( ) ( )222412 +=−+− xyx

desarrollando:


16

1681244 222 ++=+−++− xxyyxx reduciendo términos semejantes se obtiene:

0112122 =−−− yxy

x-1

y

1

2

-3 1 2-2

-3

6

-2

3

4

5

-4

3 4 5-4-5-6

6

P1 (2,1)

-7 7

x = -4

4) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos ( )y,xP del plano cuya distancia del eje x

siempre igual que al punto ( )231 ,P

Solución.

La distancia que existe de cualquier punto ( )y,xP del lugar geométrico al eje x es y , por lo tanto se cumple que:

yd =1

Por su parte la distancia al punto 1P es:

( ) ( )222 23 −+−= yxd

21 dd =

( ) ( )2223 −+−= yxy

elevando al cuadrado:

( ) ( )222 23 −+−= yxy

desarrollando:

4496 222 +−++−= yyxxy reduciendo términos semejantes se obtiene:

013462 =+−− yxx


17

x-1

y

1

2

-3 1 2-2

-3

6

-2

3

4

5

-4

3 4 5-4-5-6

6

P1 (3,2)

-7 7

5) Encontrar la ecuación del lugar geométrico de un punto ( )y,xP que se mueve en el plano de tal

manera que la suma de sus distancias a los puntos ( )30,A y ( )30 −,B sea 10 Solución.

( ) ( )221 30 −+−= yxd ; ( ) ( )22

2 30 ++−= yxd ; 1021 =+ dd

( ) ( ) ( ) ( ) 1030302222 =++−+−+− yxyx

que equivale a:

( ) ( )2222 3103 ++−=−+ yxyx

elevando ambos miembros al cuadrado:

( ) ( )2

222

22 3103

++−=

−+ yxyx

desarrollando:

( ) ( ) ( )222222 33201003 +++++−=−+ yxyxyx

( ) 9632010096 222222 ++++++−=+−+ yyxyxyyx

reduciendo términos semejantes:

( )22 32010012 ++−=− yxy

que equivale a:

( ) yyx 1210032022 +=++

dividiendo entre 4 y elevando nuevamente al cuadrado ambos miembros:

( ) ( )22

22 32535 yyx +=

++

( )( ) ( ) ⇒+=++ 222 325325 yyx ( ) 222 91506259625 yyyyx ++=+++ 222 91506252251502525 yyyyx ++=+++

reduciendo términos semejantes se obtiene:


18

04001625 22 =−+ yx

x-1

y

1

2

-3 1 2-2

-3

6

-2

3

4

5

-4

-5

3 4 5-4-5-6

6

-6

P1 (0,3)

P2 (0,-3)

6) Obtener la ecuación del lugar geométrico de un punto ( )y,xP que es paralelo al eje x y que pasa por

el punto ( )53, Solución. Trazando una gráfica:

x

y

4

4-4 12

-4

8

-8

8-8-12

12

-12

P (3,5)

se aprecia que es una recta horizontal que cruza al eje y en 5 , por lo tanto: 055 =−⇒= yy .

7) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto ( )y,xP que es paralelo al eje y y que pasa por el

punto

−3

1,2

1P


19

Solución. Trazando una gráfica:

x

y

1

-1

1-1

−3

1

2

1,P

se aprecia que es una recta vertical que cruza al eje x en 2

1=x , por lo tanto:

012122

1 =−⇒=⇒= xxx

8) Encontrar la ecuación del lugar geométrico de un punto ( )y,xP que es perpendicular al eje y y que

pasa por el punto ( )73,− Solución. Trazando una gráfica:

x

y

2

2-2 6

-2

4

4-4-6

P (-3,7) 6

8


20

se advierte que es una recta horizontal que cruza al eje y en 7 , por lo tanto: 077 =−⇒= yy

9) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto ( )y,xP que es perpendicular al eje x y que pasa

por el punto

−7

2,4

3P .

Solución: Trazando una gráfica:

x

y

1

-1

1-1

−7

2

4

3,P

se aprecia que es una recta horizontal que cruza al eje y en 4

3=x

por lo tanto:

034344

3 =−⇒=⇒= xxx

10) Determinar la ecuación del lugar geométrico de un punto ( )y,xP que es perpendicular al eje y , que

pasa por el punto ( )54 −− ,P y que sea perpendicular a la recta 04 =−x Solución: La recta puede expresarse como 4=x . Trazando una gráfica, se encuentra que la recta que cumple con la condición es:

055 =+⇒−= yy


21

x

y

2

2-2 6

-2

4

-4

4-4-6

-6

P (-4,-5)

x = 4

y = -5

APLICACIONES Para comprender el mundo, la mente humana depende en gran medida de su percepción de las figuras y modelos. Muchas de las creaciones humanas, así como las figuras de la naturaleza, con frecuencia se pueden caracterizar en términos de su forma geométrica. Algunas de las ideas y términos de la Geometría se han convertido en parte del lenguaje cotidiano. Aunque los objetos reales jamás concuerdan exactamente con una figura geométrica, sí se aproximan, de modo que lo que se sabe sobre las figuras y relaciones geométricas se puede aplicar a los objetos. Los lugares geométricos se pueden representar a través de expresiones algebraicas que describen su comportamiento. La interpretación matemática de las figuras también incluye la descripción gráfica de las relaciones numéricas y simbólicas. Las cantidades se visualizan como longitudes o áreas (como en las gráficas de barras y de sectores circulares) o como distancias desde ejes de referencia (como en las gráficas lineales o planos esparcidos). La exposición gráfica hace posible identificar patrones de inmediato, que de otra forma no serian obvios. Por ejemplo: tamaños relativos (proporciones o diferencias), índices de cambio (rapidez con que se modifica una variable), discontinuidades abruptas (aumentos a intervalos), agrupación (distancias entre puntos marcados) y tendencias (proyecciones). La matemática de las relaciones geométricas también ayuda en el análisis del diseño de estructuras complejas (moléculas proteínicas o alas de aviones) y redes lógicas (conexiones de células cerebrales o sistemas telefónicos de larga distancia).

18. Lugares Geométricos

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