Tema1. Lugares geométricos

7/17/2019 Tema1. Lugares geométricos

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1. LUGARES GEOMÉTRICOS. - Llamamos LUGAR GEOMÉTRICO a un conjunto de puntos (uno o más) que cumplen una determinadacondición o propiedad geométrica.

- Los lugares geométricos pueden ser elementos diversos: puntos, rectas, arcos, superficies, etc. Ejemplosconocidos son la circunferencia, la recta mediatriz, la semirrecta bisectriz, la recta paralela, el arco capaz,el circuncentro de un triángulo, el incentro de un triángulo, la elipse, la parábola, la hipérbola, etc.

1.1. LA CIRCUNFERENCIA:

DEFINICIÓN: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a igual distancia) de un punto fijo ll amado centro (O).

- Observando su forma podemos definirla como la línea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan deotro pun to situado en el plano.

- Dicha equidistancia es un segmento que une cada punto de la circunferencia con el centro, y se denominaradio (r ).

1.2.

LA RECTA MEDIATRIZ:

DEFINICIÓN: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a igual distancia) de dospuntos fijos (Dichos puntos suelen ser los extremos de un segmento).

- Observando su forma podemos definirla como la línea recta perpendicular a un segmento que lo divideen dos partes iguales. Dicha recta pasa por su punto medio (M).

C

A

B

O

rr

r

Cualquier punto A, B, C…del plano equidista (está aigual distancia) del centro O.La equidistancia se llamaradio (r ).

r

r

r

A

B

C

O

En una superficie esférica, seda la misma propiedad, peroen este caso el centro O y lospuntos equidistantes A, B,C… no están en el plano sinoen el espacio.

BACualquier punto 1, 2, 3… de la recta mediatriz (m)está a igual distancia delos puntos A y B. Cadapunto tiene su propiaequidistancia (e1, e2, e3…).

A B

1

2

e1e1

e2 e2

M

AM = BM



Trazado de la mediatriz al segmento: Para definir cualquier recta hacen falta dos puntos como mínimo. Porlo tanto, para trazar la mediatriz de un segmento, se buscan dos puntos equidistantes sus extremos (A y B).¿Cuál es la medida de la distancia que podemos tomar para esos puntos? La máxima equidistancia esinfinita como la propia recta, y la mínima equidistancia coincide con la mitad exacta del segmento (mitad AMo BM). El problema es que si el segmento tiene una medida decimal (47,5 mm. por ejemplo) resulta imposibledibujar la mitad, por lo que la equidistancia necesaria para trazar la mediatriz será siempre mayor a la mitad

del segmento.

APLICACIONES DE LA RECTA MEDIATRIZ:

1. Trazar una recta perpendicular a otra recta (r) desde un punto exterior (C):

2. Trazar una recta perpendicular a otra recta (r) desde un punto de la misma (C):

BA M

e mín.

e máx.

1

e máx.

2

1. Trazar dos arcos de radio (e) mayor a la mitad del segmentodesde los puntos A y B.

2. Ambos arcos determinan al cortarsedos puntos C y D que equidistan de Ay B, y por tanto, pertenecen a lamediatriz m buscada:

BAB

A

C

D

m

Equidistancia mínima: AM puntos B1,

2… en el infinito .

PASOS A SEGUIR:

y máxima:B

e

e

Antes de comenzar un ejercicio hay queclarificar los DATOS que se conocen.Luego imaginamos el ejercicio resuelto para analizar el método que vamos autilizar:

Debemos convertir este ejercicio en el dela mediatriz. Como ya tenemos el punto C,hallamos dos puntos A y B (extremos desegmento) que equidisten de C. Lo hacemoscon un arco que corte la recta.

Con el mismo radio y desdeA y B, obtenemos el punto D.

r

C

El ejercicio es similar alanterior, sólo que el puntoestá contenido en la recta. ElMétodo a aplicar será elmismo: convertimos estetrazado en el de la rectamediatriz.

1. Desde C trazamos un arco deradio cualquiera que corte la rectaen A y B, (extremos de unsegmento):

2. Desde A y B resolvemos D usando una medidamayor a la mitad del segmento, como en la mediatriz.

r C

r CA B

pD

r CA B

A B

Dr

C

r

C

r

C



3. Trazar una recta perpendicular en el extremo de una semirrecta:

El ejercicio es similar alanterior, sólo que tenemosque prolongar la semirrectapara obtener los dos puntos

equidistantes de C

1. Desde C trazamos un arco deradio cualquiera que corte la rectaen A y B, (extremos de unsegmento):

2. Desde A y B resolvemos D usando una medidamayor a la mitad del segmento, como en la mediatriz.

s CA B

pD

ss C

s

C

4. Dibujar una circunferencia de 20 mm. de radio que pase por dos puntos (A y B) del plano situados a15 mm. de distancia:

5. Dibujar una circunferencia que pase por t res puntos (A, B y C) del plano no alineados: (Si los puntosestán alineados, forman una recta, y no puede pasar por ellos una circunferencia)

A B

C

Datos:

Análisis: Si imaginamos el ejercicio resuelto, seobserva cómo el centro O de la circunferenciaequidista de A y B. Por tanto, estará en sumediatriz:

A B r

A B

Pasos a seguir: Hallar la mediatriz al segmento y luego trasladarsobre ella el radio r trazándolo desde A o B. Hay dos soluciones,según tomemos el radio por encima o por debajo del segmento (centros O1 y O2).

O A BA B

O1

O2

r

r

Como vimos en el caso anterior, la circunferenciaque pasa por dos puntos tiene su centro en la

mediatriz, ya que equidista de ellos. ¿Qué ocurriráentre tres puntos?

Al trazar las mediatrices m1 y m2 entre los puntosAB y AC, ambas se cortan en un punto común O.

El punto O, al pertenecer a las dos mediatrices, equidista deA, deB ydeC, por lo que es el centro de una circunferencia que pasa por esos

tres puntos no alineados. Desde el centro O y con radio OB, hacemosla circunferencia.

A B

C

O

A B

C

m1

m2

O



6. Dibujar la circunferencia circunscrita del triángulo ABC. Para resolver el ejercicio hay que hallar elcircuncentro.

1.3.

LA RECTA PARALELA:

DEFINICIÓN: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta (r).

- Dos rectas del mismo plano son paralelas cuando por más que se prolonguen no llegan nunca a cortarse.

Es decir, son dos rectas que no tienen ningún punto en común, y por tanto, la pareja de puntos máspróximos de ambas, guardan la misma distancia.

El CIRCUNCENTRO, es el punto de intersección entre lastres mediatrices de los lados de un triángulo. Es tambiénun lugar geométrico, ya que equidista de los vértices deun triángulo. Por tanto, es centro de la circunferencia que

pasa por los tres vértices del triángulo, llamadacircunferencia circunscrita:

Basta con dibujar dos mediatrices a los lados del triángulo:

A

B

C

O r

r

p1

p2

Al trazar puntos equidistantes a la recta,se da lugar a dos rectas paralelas contenidasen el mismo plano.

Si la recta r y los puntos están en elespacio, el número de rectas es infinito,y da lugar a una superficie c ilíndrica.

r

r = segmento OB



Trazado de la recta paralela: Una recta viene determinada por dos puntos, de modo que para trazar unarecta paralela a otra necesitaremos situar dos puntos equidistantes de ella:

Como la equidistancia (e) se mide enperpendicular (90º) respecto a la recta r , habráque trazar dos rectas perpendiculares para tomar

sobre ellas la medida que se nos pida.r

e

e

A B p

ACTIVIDADES:

1. Trazar una recta paralela a otra (m) a 20 mm de distancia.

Sobre la recta m, tomamos dospuntos cualesquiera A y B:

Otros dos métodos de resolución:

2. Trazar una recta paralela a otra (m) a una distancia cualquiera.

Trazamos rectas perpendiculares enlos puntosA y B :

Con centro en A y B, y radio 20 mm., cortamos lasdos perpendiculares en los puntos C y D de laparalela.

A Bm A Bm A Bm

C Dp

r r

r r r

1. Trazamos una perpendicular por A, y trascortarla con el radio r luego otra por C. 2. Trazamos una perpendicular por A, y tras cortarla con el radio r, obtenemoslos puntosB y C. Después, con el mismo radio r , desde B y C obtenemos elpunto D.

A m

C p

r

r

Am

B

r

C

A C

m

B D

rr

p

r

Desde un punto P cualquiera, trazamos un arco (de radiocualquiera) que corta a la recta en los puntos A y B.

Desde A y B, con el mismo radio que utilizamos (o uno menor)obtenemos los puntosC y D de la paralela:

A m P B A m P B

p C D



1.4. LA SEMIRRECTA BISECTRIZ:

DEFINICIÓN: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo.

- La bisectriz es una semirrecta que divide un ángulo en dos partes (ángulos) iguales desde su vértice (V).

Métodos de trazado:

3. Bisectriz a un ángulo dado por dos rectas concurrentes (cuyo vértice se encuentra fuera del papel):

b

e1

e1

V

Para trazar la bisectriz, como conocemosun punto de ella (el vértice V), sólonecesitaremos otro punto (1) equidistantede los lados del ángulo.

1

V

A

B

C

A

B

V

1. Desde el vértice trazamos un arco que determina en loslados del ángulo los puntos A y B (equidistantes del vértice).Tomando desde ellos otra equidistancia cualquiera (dos arcosque se corten), obtenemos el punto C de la bisectriz:

2. Desde el vértice V trazamos 2 arcos de radio cualquieraque determinan en los lados los pares de puntos A y B,C y D. Si unimos dichos puntos mediante dos segmentosque se corten, obtenemos el punto ctriz. E de la bise

A

B

C

D

V E

Método primero: Unimos dos puntos cualesquiera (A y B) de los lados mediante un segmento que divide el plano en cuatroángulos. Si trazamos la bisectriz a cada uno de ellos, obtenemos dos puntos C y D de la bisectriz que buscamos:

Dato conocido:

A

DC

b

B



Método segundo: Trazamos desde dos puntos cualesquiera (A y B) de los lados un par de rectas que sean paralelas a ellos yestén a la misma distancia. De este modo, obtenemos el vértice del ángulo en el interior, y resolvemos el ejercicio con eltrazado de la bisectriz por el primer método que hemos estudiado:

A

B

Dato conocido:

V C b

4. Dibujar la ci rcunferencia inscrita al tr iángulo ABC. Para resolver el ejercicio hay que hallar el incentro.

El INCENTRO, es el punto de intersección entre las tresbisectrices de los ángulos de un triángulo. Es también unlugar geométrico, ya que equidista de los tres lados deltriángulo. Por tanto, es centro de la circunferenciatangente a los lados, llamada circunferencia inscrita:

Basta con dibujar dos bisectrices a los ángulos del triángulo.Desde el incentro (I), trazaremos tres perpendiculares a loslados y obtendremos los puntos de tangencia (T1, T2, T3) porlos que pasará la circunferencia.

A

B

C

I

T1

T2

T3

r = segmento T

I r

I 1



1.5.- EL ARCO CAPAZ

1.5.1. DEFINICIÓN: Es un segmento de circunferencia (es decir, arco) formado por puntos desde los quese observa un segmento con un ángulo determinado (o sea, fijo).

El ejemplo clásico para entender este concepto es el del ÁNGULO DE TIRO A UNA PORTERÍA:

A

B

1

2

A

B

3

4

Como puede apreciarse, los jugadores 1 y 2, situados en dos puntos al azar del arco capaz, tienen elmismo ángulo de tiro. Ocurriría lo mismo desde cualquier otro punto que eligiéramos.

En cambio, los jugadores 3 y 4, situados fuera del arco, uno más cerca y otro más lejos de la portería, sítendrían un ángulo de tiro muy diferente: el ángulo del jugador 3 es más estrecho y el del jugador 4 es más amplio.

1.5.2. TIPOS DE ARCOS: existen arcos capaces para ángulos rectos (de 90º), agudos y obtusos. El arcocapaz de 90º es la semic ircunferencia y su construcción es la más sencilla. Vemos los tres ejemplos:

Cualquier punto de estearco, forma el mismoángulo obtuso

Arco capaz de 90º

Arco capaz de ángulo agudocomo en el ejemplo de la portería

El resto de circunferencia que sobra en cada uno de los casos anteriores, es también arco capaz y

su medida es la que resta hasta 180º (por tanto es un ángulo suplementario). Ejemplos:- En un arco capaz de 60º (agudo), el resto de la circunferencia sería de 180º- 60º = arco capaz de 120º (obtuso).- En un arco capaz de 90º, el resto de la circunferencia sería 180º - 90º = arco capaz de 90º (la otra semicircunferencia).



1.5.3. CONSTRUCCIÓN.

Recordamos: para que una circunferencia pase por 2 puntos del plano (puntos A y B, extremos de unsegmento de recta, por ejemplo), su CENTRO debe encontrarse en la recta mediatriz entre dichos puntos:

A B

O2

O3

O1

M

O4

O5

m

Cualquier punto de la mediatriz será centro O1, O2, O3, M, O4, etc. de una circunferencia que pase por A y B.Por consiguiente, el primer paso para obtener un ARCO CAPAZ, es trazar la recta mediatriz, y posteriormentehabrá que averiguar qué punto de ella es el centro del arco que forma determinado ángulo con A y B.

Para obtener el arco capaz de un ángulo agudo u obtuso, hay 2 métodos, aunque nosotros utilizaremosuno de ellos (el más sencillo). Ejercicio: Trazar el arco capaz de 30º a un segmento AB de 20 mm.

A B

r r

O

Como el centro O está a lamisma distancia (el radio)

de los puntos A yB, coincidirácon la mediatriz de ambos.

A B

m

O

A M B

Como el arco capaz de 90º es la semicircunferencia, su centro seobtiene con facilidad: trazamos la mediatriz al segmento AB, y elcentro que buscamos es el punto medio Si abrimos el compás

con radio MA o MB, obtenemos una semicircunferencia que es arcocapaz de 90º. Ya sabemos que el resto de circunferencia es tambiénarco ca

M.

paz de 90º.

Arco capaz de 90º

Arco capaz suplementario: 180º - 90º = arco capaz de 90º también.

A B

1º.- Hallar la mediatriz. 2º.- Situar sobre uno de los puntos A oB el ángulo que se obtiene de restar

3º.- Con radio OA trazamos unarco que pase por los puntos A yB. Si tomamos un punto C cual

90º- 30º = 60º. Hallamos así el centro O quiera, formará 30º con A y B.

A B60º

O

Construcción del ángulo

de 60º, ya conocida.Se puede trazar tambiéncon el transportador deángulos.

60º

O

A B

O

30º

C



ANÁLISIS: ¿Por qué para hallar un arco capaz de 30º necesitamos trazar uno de 60º (90º-30º) y así obtener su centro? (Fig.1)

EJERCICIOS:1º.- Dibujar un triángulo rectángulo isósceles del que conocemos la hipotenusa de 45 mm.

2º.- Dibujar un cuadrado del que conocemos la diagonal de 50 mm.

60º

30ºβ

2β

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

30º

30º

α?90º

Fig. 2: Para entender el problema, hay que saber que cualquier ángulodel arco capaz mide la mitad del ángulo central que le corresponde.

Fig. 3: La mediatriz divide el ángulo central en dos partes iguales, por lo que conoceremos dos ángulos: de (mitad del

central

30º

) y de 90º. En un triángulo rectángulo, los dos ángulos restantes al de 90º suman también 90º, luego = 90º-α 30º 60º=

hDato:

c c

AhA BO h BO

C

2. El vértice C se encuentra en el punto

de corte entre la mediatriz y el arco capaz.

1. Trazamos la mediatriz y desde el

punto medio “O” el arco capaz de 90º

h = 45

Analizamos: conociendo sólo lahipotenusa “h” el resto se deduce:los lados iguales son los catetos, y

su vértice estará en un arco capazde 90º, justo a la mitad.

dDato:

d = 50

Analizamos: conociendo sólo ladiagonal “d” el resto se deduce:los 2 vértices restantes estarán endos arcos capaces de 90º. Es untrazado similar al anterior.

dA B

1. Trazamos la mediatriz y los dos

arcos capaces de 90º.

A d B

C

D

2. Los vértices C y D están en el

corte entre la mediatriz y los arcos.



3º.- Dibujar un triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa de 50 mm y un cateto de 25 mm.

hDatos:

c1

25

50

c2

4º.- Dibujar un rectángulo del que conocemos la diagonal de 60 mm y un lado de 30 mm.

Analizamos: partiendo de lahipotenusa, trazamos el arcocapaz de 90º y sobre éltrasladamos la medida delcateto. Este ejercicio tendrádos soluciones si situamos el

cateto c1 desde el vértice B.

hA B hA B

c1

1. 2.C

30 Analizamos: partiendo de la diagonal, trazamos dos arcos capacesde 90º y sobre ellos trasladamos la medida del lado, uno por encimade la diagonal y otro por debajo. Este ejercicio tendrá dos

soluciones como en el caso del triángulo rectángulo escaleno.

l 2

60

l 2 30 dDatos:

l 1

hA B

1. 2.

hA B

l 1

l 1

C

D

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