1989-2 Un primer Planteamiento de Estructuras Desplegables El Codice I de Leonardo

8/7/2019 1989-2 Un primer Planteamiento de Estructuras Desplegables El Codice I de Leonardo

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--- -------UN PRIMER PLANTEAMIENTODE ESTRUCTURASDESPLEGABLES:EL CODICE I DE MADRIDDE LEONARDO DA VINCIPor JUAN PEREZ VALCARCEL

Catedrtico E.T.S.A. de La CoruaFELlX ESCRIG PALLARESProfesor Titular E.T.S.A. de Sevilla

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Cuando se plantea el problema de las estructuras desplegabies se considera unnimemente como pionero de las mismas alarquitecto espaol Emilio Prez Piero. Ello es de justicia por laimportantsima contribucin del mismo, pero es posible encontraralgunas referencias anteriores. Incluso en la antigedad es posible encontrar descripciones literarias de mecanismos que pudieran ser asimilados a estructuras desplegables de barras, pero entodo caso sin posibilidad de confirmacin cierta.Por ello el descubrimiento de una referencia clara de este sistema en uno de los Cdices de Leonardo da Vinci permite retrotraer al Renacimiento la primera confirmacin del diseo de dichasestructuras. En efecto, en el folio 24 verso del Cdice 1de Madrid,depositado en la Biblioteca Nacional, puede observarse un mecanismo plano de aspas (figura 1) con la siguiente leyenda "Rendimiragione che forza debbe essere in m a llevare 4 l ibre in n (Damerazn de la fuerza requerida en m para levantar 4 libras en n). En

el folio 25 recto (situado a la derecha del anterior) puede observarse un interesante mecanismo de despliegue de una estructura tipo sombrilla (figura 2). Sin embargo sta es una figura aislada dentro del manuscrito y carece de cualquier comentario, por lo queno pueden hacerse conjeturas sobre su significado.Por ltimo, en el folio 143 verso vuelve a reproducirse el mismo mecanismo de aspas (figura 3) bajo dos interesantes sistemasde engranaje con tornillo sinfin con dos pasos distintos al que nosreferiremos posteriormente.El mecanismo de elevacin que describe Leonardo no es particularmente efectivo, pero es la primera referencia explicita de unaestructura desplegable plana. Tiene por consiguiente un gran inters histrico, pero adems puede proporcionarnos una serie dedatos sobre los conocimientos de estt ica de los que disponaLeonardo.

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Fig. l .-Fol lo 24 verso:MECANISMO PLANO DESPLEGABLE DE ASPAS QUE Fig. 2.-Follo 25 recto: MECANISMODE DESPLIEGUE DE UNA ESTRUCTU-PUEDE ABRIRSE Y CERRARSE CON UN DOBLE TORNILLO. RA TIPO SOMBRILLA. LAS VARILLAS DESLIZAN SOBRE UNOS ANILLOS YAPARTE SE DA OTRASOLUCIONCON BIELAS QUE PROBABLEMENTE FUNClONARlA MEJOR.

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Fig. 3.-Folio 143 verso: NUEVO ESQUEMA DE MECANISMO CON ASPAS.ES MUY INTERESANTE LA FIGURACENTRAL DERECHA QUE SUGIERE UNASOLUCION AL PROBLEMA DE LAS REACCIONES DE UNA BOLA SOBRE UNPLANO INCLINADO. SIN EMBARGO, DE TRATARSE DE ELLO, SERIA iNCOoRRECTA.

Fig. 4.-Folio 89 recto: SON ESTUDIOS TOTALMENTE CORRECTOS SOBRELA LEY DE LA PALANCA.

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Fig. S.-Follo 65 recto: LA FIGURA INFERIOR DA UNA SOLUCION INCO.RRECTA AL PROBLEMA DE LAS REACCIONES DE UNA BOLA. LAS DOSFIGURAS SUPERIORES MUESTRAN ASPECTOS DEL ROZAMIENTO.

Analicemos brevemente este clculo por equilibrio a la luz delos conocimientos de la poca. En nuestro razonamiento hemosutilizado una serie de conceptos, ahora habituales, pero que a principios del siglo XVI se suponen desconocidos: Descomposicin defuerzas en dos direcciones, ecuaciones de equilibrio y conceptosde trigonometra. Este ltimo aspecto puede ser soslayado por me-dio de relaciones de semejanza, por lo que resulta irrelevante. Porotra parte, el mecanismo descrito se compone de una serie de palancas, cuyas leyes ya fueron establecidas por Arqumedes y quefueron sobradamente conocidas por los cientficos medievales. Eneste Cdice figuran numerosas figuras y mecanismos que prueban sin lugar a dudas la autoridad de Leonardo en la materia. Especialmente interesante es el folio 89 recto (figura 4) en el que seplantea de forma totalmente correcta el problema, incluso utilizando un razonamiento que hacepensar en el concepto actual de mo-mento de una fuerza. As pues, el uso de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos puede en este caso sustituirse por laley de la palanca, por lo que estaba claramente al alcance deLeonardo.

La consideracin de un dimetro no puntual en el peso complica el problema, aun afectando poco a los resultados. El mismo Leo-nardo se plante en este Cdice el problema de las reacciones deuna bola en distintos lugares del manuscrito. Especialmente interesante es la figura 5 correspondiente al folio 65 recto. El comentario es: Este cuerpo suspendido por la 5. a del segundo, comopesa 8 libras, 4 se descargan en f y 4 en r. Yeso se demuestramediante la lnea central am, que termina en el centro de la lineahorizontal rn en el punto a..... Realmente es un prrafo poco afortunado: No slo el resultado no es correcto sino que la demostracin muestra una falta de claridad conceptual que se contradice

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con los estudios sobre el equil ibrio de hilos que figuran en estemismo Cdice, mucho ms correctos y hace pensar que el problema de las cargas no puntuales no estaba muy avanzado en suresolucin.La consideracin de la carga como puntual, que dada la escala del dibujo es lgica, permitiria resolver el problema sin ms quedescomponer la carga en las direcciones de las barras de la primera aspa y luego apl icar sucesivamente la ley de la palanca.Por tanto. la nica duda en el razonamiento anterior es si Leonardo conoci o no la regla del paralelogramo que permite descomponer una fuerza en dos direcciones. Respecto de este punto

la critica histrica es contradictoria. Se sabe con toda seguridadque Pierre Varignon formul en 1725 la regla del paralelogramoen forma explcita. Hasta entonces parece que esta regla haba sido intuida por muchos autores anteriores a l, uno de los cualesfue Leonardo. Basndose en la figura 6. que cita sin haber estudiado el manuscrito, Timoshenko afirma que con seguridad conoca dicha ley. Sin embargo, nuestras investigaciones en el CdiceI de Madrid, que probablemente sea el ms completo en esta ma-teria, nos hacen ser cautos..En la l igura 7 se reproduce el folio 77 recto del Cdice I y lafigura 8 da su transcripcin y la interpretacin del dibujo. Aplicando las leyes de equilibrio a los hilos puede demostrarse (y por cierto de forma nada trivial) que las reglas que propone Leonardo .Experimentadas y es regla general. son totalmente correctas. Es realmente sorprendente por cuanto no da Ui1a explicacin de la lneade razonamiento uti lizada, son de dificil aplicacin prctica y su

demostracin exige recursos matemticos que con seguridad noestaban disponibles en esta poca.


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Fig. 6 .-Transcripcin del lolio 77 recto:Expertmentadas y es regla general:Entre tS y Sv habr la misma proporcin que la que encontrars que hay entreel peso b y el peso r. Y la proporcin entre el peso f y los pesos b y r juntosser la misma que hay entre la distanCia xv y la lnea Sx.Entre el peso c y e l peso que actua en a eXist ir la misma proporcin que laque hay entre la distancia ab y la distancia be. De la misma manera, la propor

cln que hay entre el peso m y los pesos a e juntos, ser la misma que la quehay entre la linea bm y la linea mcNo olVides que las 2 cuerdas que sostienen el peso deben siempre se r iguales.Si una luese infinitamente ms larga que la otra, lomaras Igualmenle tu medidaequidislanle del lugar donde se une la cuerda al peso, y con tales medidas hars tus clculos como t e d ij e arriba y tendrs una regla general.

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por desgracia de difcil apl icacin. Con ella pudo resolver correctamente los problemas de equil ibrio de hilos, pero no logr resolver el problema de las reacciones de un peso colgado, como yahemos sealado. Curiosamente la solucin estaba a su alcance,pero no hay indicios de que haya generalizado la descomposicinde fuerzas cuando no estan materializadas por hilos, que es el paso previo.El resto del problema hubiera sido claramente abordable porLeonardo. En efecto, una vez conocida la fuerza precisa para le

vantar el mecanismo, la fuerza a aplicar en la manivela se podradeterminar por dos leyes conocidas, la ley del torno y la ley deltornillo, cuya equivalencia con el plano inclinado parece ser conocida desde la Antiguedad. Las figuras 12 y 13 muestran con todasclaridad los conocimientos de Leonardo en la materia.

Todo lo anterior muestra que los conocimientos precisos para. resolver el problema estaban disponibles, pero posiblemente laautolimitacin de intentar soluciones enteras, por otra parte muylgica en la poca, impidi el avance por el camino correcto. Lacontestacin a la pregunta-reto de Leonardo ..rendimi ragione cheforza debbe essere in m a llevare 4 libre in n debiera ser ..unafuerza variable con la razn entre la anchura y la a ltura de cadatramo de las aspas (tangente del angula) y que depende ademasdel dimetro del peso, del paso del torni llo, del diametro de la manivela y de una serie de efectos desconocidos en la poca que sonlos efectos no lineales. Ademas slo ser entera para unos pocosangulas que no son facilmente construibles. Estamos seguros quea Leonardo no le hubiera gustado nuestra contestacin.

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Fig. 12.-Follo 109 recto: DISTINTOS EJEMPLOS EN LOS QUE SE APLICAUN CONCEPTO EQUIVALENTE AL DE MOMENTO DE UNA FUERZA. Fig. 13.-Follo 156 verso: EN LAFIGURA ANTERIOR SE PLANTEA LA EQUIVALENCIA ENTRE EL TORNILLO Y EL PLANO INCLINADO.

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