Tema II. Elementos de Concreto Armado Sometidos a Flexin.

Introduccin:Teora de lnea recta: Este mtodo de diseo ya no es utilizado en concreto armado. Los

materiales se disean para soportar un esfuerzo admisible menor que el de rotura (mximo), rangoen el cual las relaciones esfuerzos deformacin pueden considerarse lineales (ley de Hooke, de allel nombre de lnea recta)

Concreto ..... adm = 0,4 fc Materiales Esfuerzos admisibles acero .......... adm = 0,55 0.6 Fy

Cargas Cargas reales: cargas a las cuales estar sometida las estructuras cuandoentre en servicio: ejm, el peso propio de los elemento, personas, etc.

Teora de Rotura: Los materiales son diseado en base a su mxima capacidad (a la rotura)pero para cargas ya no reales, sino mayoradas.

Concreto ..... = fc Materiales 100 % acero .......... = Fy

Cargas Cargas mayoradas (ltimas): Cargas reales multiplicadas por un ciertofactor de seguridad determinados en forma probabilstica, ejm:

U1 = 1.4 Cp + 1.7 Cv Caso de cargas verticales Cp:cargas permanentes Cv:cargas variables

U2 = 0.75 (1.4cp+1.7cv) + S Caso de cargas con sismo S: Sismo . . Presin Fluidos, empuje suelo . accin viento, asentamientos diferenciales, temperatura .Un =

0.75....1.4...1.7 Factores de seguridad obtenidos estadsticamente para garantizar unaseguridad adecuada de la estructura

Del anlisis del prtico con cargas permanentes se obtiene para cada elementoestructural las fuerzas actuantes (fuerza axial, fuerza cortante y momento flector). Se realizaun nuevo anlisis del prtico para cargas variables y se obtienen un nuevo conjunto a defuerzas actuantes para cada elemento estructural (fuerza axial, fuerza cortante y momentoflector para cargas variables). En general, se realizan tantos anlisis como tipos de cargas se

Carga Variable

Para cada elemento:-Fuerza axial P- Fuerza cortante V- Momento flector M

Para cada elemento:-Fuerza axial P- Fuerza cortante V- Momento flector M

Sismo = Masa del edificio*Aceleracin

Carga Permanente

Para cada elemento:-Fuerza axial P- Fuerza cortante V- Momento flector M

deseen tomar en cuenta: sismo, viento, etc. Si se desea disear una viga en particular paraque resista flexin (momento), se debe hacer para la mayor de las carga actuantesmayoradas (llamada condicin ltima):

Cargas verticales Mu = 1.4 Mcp + 1.7 McvSismo Mu = 0.75 (1.4 Mcp + 1.7 Mcv) + Ms Ms: Momento debido

al sismoViento Mu = .............. . . .

Hiptesis bsicas para el diseo por flexin: Con la finalidad de simplificar un fenmeno quepuede ser complejo, la teora de flexin posee 4 suposiciones fundamentales:

1) Las secciones planas antes de la flexin permanecen planas despus de la flexin(principio de Bernoulli). La consecuencia mas importante de este principio es el hecho de quelas deformaciones longitudinales del concreto y del acero en cualquier punto de la seccintransversal son proporcionales a la distancia al eje neutro.

Esta hiptesis es correcta si existe buena adherencia entre el concreto y el acero, o sea, el concretologre transmitir las deformaciones al acero (compatibilidad de deformaciones). Para secciones conalabeo transversal otra teora (ver Timoshenko).

La suposicin (planas-planas) no es vlida para vigas altas (ver COVENIN 10.2.2 y 10.2.7) nipara regiones de cortante elevado.Vigas altas:

h

bLn

Ln

Seccin deformada continua plana

Seccin plana antes deformacin

c

b

c

b

continuos tramosPara 52

Lnh

>

tramosoloun Para 54

Lnh>

2) Se conoce la curva esfuerzo-deformacin del acero: Se desprecia el endurecimiento pordeformacin modelo elasto-plstico perfecto.

3) Se desprecia la resistencia a la traccin del concreto: ft = 0. El acero resiste los esfuer acero)

4) Se conoce la curva esfuerzo-deform gnitud ydistribucin de esfuerzos en compresi

Cuando una viga se somete a flexproducir la falla, claramente pueden distque las deformaciones son proporcionalede esfuerzos en compresin tiene la mism

0,0030,002

a

b

c

0,0030,002

Es

Fy SIDOR: Fy = 4200 k/cm2

Es = 2.1x106 k/cm2

cbazos a traccin. (no hay esfuerzos residuales en el

acin del concreto: Dicha curva define la ma

n por flexin.

in en forma gradual desde cero hasta la magnitud queinguirse diferentes estados en su comportamiento. Puestos a la distancia al eje neutro, es evidente que el diagramaa forma del la curva esfuerzo deformacin:

Para efectos de diseo, estaparbola se sustituye por unrectangulo. Whitney

cf100.15Ec =

Punto a: esfuerzo menor al 50 % de fc relacin linealPunto b: esfuerzo igual a fc relacin no linealPunto c: esfuerzo igual al 0,85 fc relacin no lineal

Diagrama deesfuerzos para c

Diagrama deesfuerzos para b

Diagrama deesfuerzos para a

Debido al aumento de las deformaciones, la distribucin de esfuerzos de compresin en elconcreto deja de ser lineal (acero fluye y concreto se agrieta), lo que produce un aumento en laresultante de la parbola de esfuerzos, y una reduccin en la profundidad del eje neutro puesto quese debe mantener el equilibrio de las fuerzas internas (traccin y compresin)

Si la distribucin de los esfuerzos de compresin del concreto en la carga ltima o cerca de ellatuviera una forma bien definida e invariante (parbola, lineal, etc) sera posible desarrollar unateora completamente racional para la resistencia ltima a flexin. Las diferentes grficasexperimentales demuestra que la forma g omtrica de la distribucin de esfuerzos depende de:resistencia fc del cilindro, velocidad de lao triaxiales), etc. Por esta razn no se haflexin del concreto reforzado.

Distribucin del esfuerzo para estado l

h: altura total de la vigad: altura til = distancia entre centroide de fuerzas traccin del acero h fibra mas comprimidac: Profundidad del eje neutro.( fc): esfuerzo promedio de la parbola(c) excentricidad de la resultante de fuerzz: Brazo de las fuerzas.

Para calcular el momento resistente Mrsumatoria de momentos con respecto al ej

Mr =donde las incognitas son y

C

=0,003

cd

h

Note que si las deformaciones varan linealmente con la distancia al eje neutro,podramos invertir el diagrama esfuerzo deformacin del concreto:e

carga, duracin de la carga, confinamiento(esfuerzos bi desarrollado una teora completamente racional para la

timo de rotura.

lasasta

as en compresin C

de la seccin transversal de la viga, podemos hacere de la fuerza en traccin:

c

T = As fs

C = fc b c c

z = d-cs

c = 0,003 C*Brazo= fc b c (d - c)

De resultados experimentales se obtuvo:

Calculo del Momento Resistente a la Rotura.

Mr = C * brazo = fcbc (d - c) = As * fs (d - c) (I)

Momento resistente(nominal) de la seccin transversal

Es de hacer notar que (I) es una ecuacin que posee dos incgnitas (c y fs) y que fs es unaincgnita condicional. Es decir, el modelo elasto-plastico perfecto que estamos utilizando poseedos condiciones lgicas:

Fy

1) Si el comportamiento es plstico (fs = Fy). 2) Si el comportamiento es elstico Ley de Hooke (fs = Es x )

Caso 1) fs = Fy (acero esta fluyendo, cediendo deformaciones permanentes plsticas). nicaincgnitas de ecuacin (I) es c ( Profundidad del eje neutro c)

Por equilibrio C=T fcbc = As fs fcbc = As Fy (II) b fc Fy Asc

=

Sustituyendo (II) en (I) obtenemos el Mr. Alternativamente el Mr puede ser presentado en funcinde la cuanta de acero (porcentaje de acero en funcin de rea total de concreto):

sustituyendo III en II

Variacin de y con la resistencia del concreto

0,425

0,72

140 kg/cm2 280 kg/cm2 560kg/cm2

Valoresde y

= 0,72 para fc 280 kg/cm2 ydisminuye 0,04 por cada 70 kg/cm2sobre 280 kg/cm2

= 0,425 para fc 280 kg/cm2 ydisminuye 0,025 por cada 70 kg/cm2sobre 280 kg/cm2

)III(bdAs

=

(IV) cf

Fydc

=

Nuevamente sustituyendo (IV) en (I) obtenemos el Mr:

Antes de alcanzar la mxima deformacin del concreto en compresin ( = 0.003), el acero se hadeformado mas all de la deformacin de cedencia. Antes de fallar la viga se deforma bastante(dctil) dando aviso.

Caso 2) ) fs < Fy (acero no esta fluyendo comportamiento lineal fs = Es x ).Incgnitas de ecuacin (I) : c ( Profundidad del eje neutro c) fs (esfuerzo en el acero)

Por equilibrio C=T fcbc = As fs

- Calculo de fs

fs = Es x s

T = C

fc b c = As (0,003)Es

c

cd

Momento resistente de la seccin transversal si fs = Fy: Falladctil, por fluencia del acero. Falla subreforzada.

=

cfFy1bFydMr 2

dc003.0 sc +

=

003.0 c d 003.0s =

= 1

cd 003.0s

(I) 1cd003.0*Esfs

=

Ecuacin de 2 grado en funcinde c (prof. Eje neutro)

c d

s

c = 0,003

Calculado prof eje neutro c:

M=C*brazo=T*brazo

La viga falla por compresin aplastamiento del concreto antes de que el acero fluya vigasobrereforzada. Este tipo de falla ocurre en forma explosiva y sin aviso (repentinamente).

Por esta razn es buena prctica mantener la cantidad de refuerzo suficientemente pequea, paraasegurar que, en caso de que el elemento se vea recargado, este proporcione suficiente avisoantes de fallar de manera gradual por fluencia del acero en lugar de hacerlo por aplastamiento delconcreto

En conclusin: Forma geomtrica real de la distribucin de esfuerzos en compresin delconcreto varia considerablemente. Sin embargo estamos interesados en calcular el momentoresistente. Por lo tanto no es necesario conocer la forma exacta del diagrama. Es suficienteconocer:

1) Magnitud C de las resultante de los esfuerzos en compresin2) Localizacin de la resultante (c)

La informacin relativa a estas dos cantidades se obtiene para el caso de la distribucinparablica, a partir de resultados experimentales, expresadas mediante los parmetros y .