1BB

7.5.1 ENERGIA CINETICA

Be define como Energía cinética de un cuerpo de

masa m cuando tiene una velocidad v al escalar i

K = '¿mW E c 7.25

7.5.2 IRABAJO (UNA DIMENSION)

Igualmente se define como el trabajo realizado

por una fuerza F sobre un cuerpo entre las

posiciones y x a :

W = Fd x Ec 7.2É>

7.5.3 TEOREMA DEL TRABAJU Y LA ENERGIA CINETICA

La Ec 7.24 queda :

K - K- = w Ec 7.27

A este Ultimo enunciado se le conoce como

teorema del trabajo y la energía cinética

Expresa que, cuando la fuerza resultante actúa

200

Expresa que, cuando la -fuerza resultante actúa

sobre una partícula en una trayectoria limitada

por dos posiciones ( xra y x en este caso ), su

trabajo W es igual al cambio que hay en la

energía cinética de la partícula entre los dos

puntos.

7.5.4 DIMENSIONES Y UNIDADES DE TRABAJO Y ENERGIA

LFL] = [Fuerza .Long i tud j = [mLU-2 ]

Las unidades correspond i entes al sistema

internacional son:

[N.m] = Julio - J

En otros sistemas:

[Dina.cm] = ergio (Un julio = 10^ Ergios)

[Lbf.pie] = Ibf.pie (Un Julio =

O.7376Lbf.pie)

Otras unidades de energía son

201

E1 ec trónvo 1 tio = eV = 1.602x10*"' Julios

Kilovatio-hora = Kw-hr = 3.6X10a Julios

Caloría = 4.186 Julios

Volviendo a la Ec 7.27 la solución al caso de fuerza

dependiente de la posición tiene implícita en ésa

igualdad la primera integral del movimiento. En

efecto, encontrar la velocidad de la partícula del

valor de la energía cinética es muy simples

v = ±(2K/m)'í = ±(21 W+K0]/m)'¿ Ec 7. 2B

La escogencia del signo depende del análisis

cuidadoso de la situación física del problema.

Ejemplo 7.9

Hallar la velocidad a la que sale despedido un bloque

de masa 0.5 Kg cuando le empuja un resorte

inicialmente comprimido por él 10 cm. en un arreglo

como el mostrado en la figura (contante del resorte =

k = 100 N/m ):

202

0-1 m-

v=1 4 m / s i —

Figura 7.10

Cloque empujado por rer.orte

Inicialmente se calculará el trabajo hecho por

resorte entre la posición inicial x 0 = -0.1 m y x

O.O mí

W = (-kx ' )dx • = C-'^kx *jlVc Ec 7,

W = 'íkxn2 = 100N/m ) (-0. lm )2

W = Julios

Por la Ec 7.28:

1*73

Por la Ec 7.30:

dx ' / (2tO,5-50x2+0] )'í=t-to= dx ' / ( 1-lOOx2 )'<£;( a )

La solución de esta integral es sencilla haciendo un

cambio conveniente de variable

u = are SenlOx -> Sen u ~ lOx

(Cos u du)/ÍO = dx ; (b)

( 1-lOOx2 = ( l-Sen2 u ) '4 = Cos u; (c)

Reemplazando (b) y (c) en (a): A A

dx ' / ( 1-lOOx2 =

f\ du = u =t-t

(Cosudu)/Cosu

A " d x ' /1 -100x2 ) 4 = are Sen lOx [ ito = t - tc

178

are SenlOx-arc SenlOxe = t - t 0

Como t D = O s; x Q = -0.1 m,

are SenlOx = t + are Sen (-1) = t + 3n/4

Aplicando la función Seno a ambos lados.

lOx = Sen ( t +3ii/4)

x = 0.1 Sen(t+3n/4)

Que es la respuesta buscada.

En los ejemplos anteriores se presenta un nuevo

concepto para analizar el problema del movimiento: el

resorte, al ser comprimido tiene la propiedad de

comunicarle energía cinética al bloque cuando se le

libera. Dónde estaba ésa energía antes de hacerse

evidente con el movimiento del bloque ?.

Una situación similar ocurre si se deja caer un

objeto desde cierta altura sobre la superficie de la

178

tierra. De nuevo el cuerpo adquiere energía de

movimiento. Uuién le dió ésa energía?. Dónde estaba

antes de que se produjera la caída?

Es obvio que deben haber otras formas de energía

diferentes a la de movimiento que justifiquen la

aparición súbita de esta última en los casos

ejemplarizados; es una clase de energía virtual o en

potencia que se denominará Energía potencial. Su

definición formal se hará un poco mas adelante;

sinembargo, la novedad del concepto de energía está

en que mediante él se podrá estudiar el movimiento de

los cuerpos como una consecuencia de sus intercambios

de energías. Se verá además que, mediante este

enfoque, puede llegar a omitirse el uso de la segunda

ley de Newton para el cálculo de velocidades y

trayec torias.

La importancia de estos conceptos amerita un estudio

mas formal de ellos:

7.5.5 DEFINICION GENERAL DE TRABAJO

178

Las fuerzas que afectan a una partícula, en el

caso mas general, no actuaran en direcciones

paralelas o anti para 1e1 as a su trayectoria. En

la figura siguiente se considera una partícula,

ubicada en el punto P, posicionada por el vector

r en un marco de referencia inercial, que se

mueve en la trayectoria definida por la curva C

bajo la acción de una única fuerza F. En un

intervalo de tiempo diferencial dt la partícula

sufre un desplazamiento diferencial dr, tangente

a la trayectoria en P.

( a ) ( b )

Figura 7.11

Trabajo de una fuerza en una trayectoria

178

El vector fuerza puede descomponerse en dos

componentes perpendiculares, una de ellas

paralela a la dirección de dr; puesto que la

componente perpendicular F M no modifica la norma

de la velocidad (recordar que solo la fuerza

tangencial lo hace), ella no debe intervenir en

el cambio de energía cinética de la partícula en

el intervalo de tiempo considerado. Como se ha

dicho que F es única o resultante, su trabajo

sobre la partícula entre las posiciones r y r+dr

debe ser igual al cambio de su energía cinética;

la conclusión es que sólo la componente

tangencial de la fuerza hace trabajo sobre la

par tícula.

dW = F T dr Ec 7.31

Que se puede expresar como

dW = Fdr Cosf Ec 7.32

O también como

178

dW = F dr Ec 7.33

Expresiones que permiten el cálculo del trabajo

en un desplazamiento infinitesimal. Para ttl

cálculo del trabajo en la trayectoria AB se debe

realizar la suma de los trabajos diferenciales

consecutivos en cada punto de la trayectoria que

una A con B.

^AB = F A . d r 1 + F 2 . d r 3 + F 3 . d r 3 +

W. F . dr = dr Ec 7.34

En donde F x , F 2 , , etc, son los valores de la

fuerza en los puntos 1,2,3, etc de la curva.

Ejemplo 7.11

Calcular el trabajo necesario para mover a

velocidad constante una masa cerca de la

superficie de la tierra, desde un nivel de

referencia cero hasta otro de altura h sobre el

primero.

178

El diagrama de cuerpo libre del problema es:

Y nP

I X

W

Figura 7.12

Trabajo contra el peso de un objeto

£ F v i = ma , = O (Movimiento a velocidad

constante )

F - W = 0

F = W = mg

F = mgj

F.dr =

= mg h

mgj.dy j = C mg dy]j.j =|mgyj 0

178

Es de anotar que la fuerza w = -mgj hizo un

trabajo igual pero de signo contrario -mgh. El

trabajo total que obró sobre la masa es,

consecuentemente, cero. Resultado compatible con

el teorema del trabajo y la energía cinética

pues la velocidad no cambia en el problema.

El ejemplo anterior ilustra un caso particular

para el cálculo del trabajo cuando interviene

una fuerza constante:

O B F.dr = F- dr " F. ( r_ Ec 7.35

En casos mas complejos se deberá conocer la

dependencia de la fuerza en cada punto de la

trayectoria. Si ésta está definida por la

función a(t) en el intervalo limitado por los

puntos inicial y final, el vector a'(t) dt será

tangente a la trayectoria en todo punto. La Ec

7.34 es equivalente a:

W = r> P

F.dr = A o

F<a(t).a'(t) dt Ec 7.36

2 0 1

a ( t )

es una función definida en R 3 .

Ejemplo 7.12

Sobre una partícula actúa una fuerza F = [(y*-

x2 ) , 3xy ] =My2-x2 )i+3xyj . Hallar el trabajo

efectuado por la fuerza al moverse la partícula

entre los puntos (0.0) y (2,4) siguiendo las

trayectorias señaladas en la figura.

Figura 7.13

Trabajo entre dos puntos por varias trayectorias

2 0 2

< * ) Se encontrarán las expresiones paramétricas para

las trayectorias y :

Para Cí : a(t) = (0,0) +[(2,0) - (0,0)]t =

(2t,0)

a (t)- (2,0)

F(a(t))= [(0®-(2t)2) , (3)(2t)(O)] = (-

4t2 ,0)

Para C = : a(t) - (2,0) +[(2,4) - (2,0)}t =

(2,4t)

a'(t)= (0,4)

F ( a ( t) ) = [ ( 22 — ( 4t) 2 ) , (3)(2)(4t)] = ( 16t2-

4,241)

O < t < 1 en ambos casos. La sucesión de puntos

de las rectas C^ y C 3 recorridos en el sentido

señalado se obtiene al asignar valores entre

cero y uno al parámetro que define a(t) en cada

178

caso.

Aplicando la Ec 7.36 para el cálculo del trabajo.

Para Ci :

W = (-4t* ,0).( 2 , 0 ) d t

W = <-8t* )dt =-(8/3) t3 (c

W = -(8/3) Julios

Para C-. :

W = (16t2 — 4 , 241) . (0 ,4)dt

178

W = i i 961 dt = 49t2 I..

W = 48 Julios

WTcrr_ = — ( 8 /3 ) +48 = 45.3 Julios

( b)

Para la trayectoria (b) la expresión paramétrica

es :

«(t) = ( t, t2 ) para 0<t<2

a (t)= (i,21)

F ( a ( t) ) = t(t"-t') , ( 3 ) ( t) { t2 ) J

La Ec 7.36 :

n T-W = < t ^ t 2 , 3tT- < 1 , 2 t ) d t

A-» w = ( 7t --t2 )dt = 7 t/ 5 - t 73

W = 42.1 Julios

178

7.5.6 FUERZAS CUNSERVAÍIVAS

Cuando el trabajo realizado por una fuerza sobre

una partícula no depende de la trayectoria sino

de los valores inicial y final de las posiciones

de la partícula, se dice que la fuerza es del

tipo conservativo.

En la figura 7.14 se representan trayectorias en

el plano xy recorridas por una partícula bajo la

acción de una fuerza F.

Figura 7.14

Tuerza conservativa

216

Si,

O B F . dr Ir'or» ei F. dr POR CI Ec 7.37

Sin importar cuáles sean las trayectorias C^ o

C = , entonces F es conservati va . (Jomo :

F.dr fe F.dr

La ecuación anterior quedará.

F.dr for» ci F.dr = O = F .dr

Ec 7.3B

Donde significa que la integral se calcula

sobre una trayectoria cerrada. Las

Ecuaciones./.37 y .7.38 son equivalentes y

definen matemáticamente el concepto de fuerza

conservativa.

178

7.5.7 ENERGIA POTENCIAL

A toda fuerza conservativa se le puede asociar

una Energía potencial definida por :

dU = -F.dr Ec 7.39

Donde U es una cantidad escalar con dimensiones

de energía. Integrando la igualdad anterior,

U - L W F. dr = - W | ^ Ec 7.40

Generalmente se asigan el valor UR = O cuando la

posición está definida por el vector r.

Ejemplo 7.13

Demostrar que el peso es una fuerza

conservativa. Hallar la energía potencial

asociada a ésa fuerza.

178

La integral del trabajo que hace el peso entre

dos posiciones cercanas a la superficie de la

tierra es:

rv ( O , O , —mg ).dr =

Donde (0,0,-mg) es el peso 5 suponiendo que el

eje zz' es perpendicular a la superficie de la

tierra.

El vector dr es, en coordenadas cartesianas

(dx,dy,dz). La integral de trabajo entre A y B

queda :

El (0,0,-mg).(dx,dy,dz) =

« \J

E»

(-mg d z)

( ~mg ) dz

w AB = ( ~mg ) [ z ] 2<=> =(-mg)(z _ -z _ ) Ec 7.41

178

Que es el mismo resultado encontrado para el

ejemplo 7.10, sólo que, en este caso, no se

limitó la trayectoria a una sola dimensión. La

Ec 7.41 es mucho mas general y de ella se

concluye que , no importando que trayectoria

siga una partícula afectada por su peso(cerca a

la supeficie de la tierra), el trabajo que

efectúa esta fuerza sobre ella depende solamente

de la diferencia de alturas entre los puntos

inicial y final de la, trayectoria.

Consecuentemente, la fuerza es conservativa.

Para el cálculo de la energía potencial asociada

al peso se dirá que el nivel de referencia es Z,

= O, asignándosele a tal punto la energía

potencial de referencia cero.

Por la Ec 7.40:

U B " U„ = = U r, - - ( -mg ) z B

Suprimiendo el subíndice B, se tendrá:

2 1 0

U = mgz Ec 7.41

De igual manera se puede demostrar que la fuerza

elástica es conservativa y tiene una energía

potencial asociada dada por :

Con un nivel de referencia x = *„ = 0 (Cuando el

resorte esta sin deformar) para el cual U,^,

O(Ver el ejemplo 7.8 y la Ec 7. 29).

8 RELACION ENTRE ENERGIA POTENCIAL Y FUERZA

La Ec 7.39, que relaciona amboss conceptos es

equivalente a las tres ecuaciones escalares

siguientes i

U = '¿kx* Ec 7.42

(SU/6x) =-F Ec 7.43.a

(6U/6y) F. V Ec 7.43.b

21 1

(6U/6z) »-F. Ec 7.43.e

Para F = F„ Í -M- I K - < F,, F

Ej empio 7.14

Una partícula se mueve en una región en donde la

energía potencial es de la forma (a) U - 2x2

;<b) Ü =4yT ;(c) U = 5xy . Expresar la fuerza

asociada a la energía potencial en cada caso.

(a)

SU/ 6 x = 6/6 x(2x2) ~ d / d x ( 2 x2 ) -- 4x = -F„

6U/6y = 6/6y(2x2 ) = O = ~F„

6U/6z = 5/6z(2x2) = O — -F.

F = —4 x i = (-4 x,U,O)

( b) 6U/6x = 8/Sx(4y7) = O ~ -F ,,

212

6U/6y = = 12y2= -F

SU/ 6 7 ~ 6/67(4y") - O = ~F„

F = — 1 2y? j = (O,-12 y2 ,0)

(c )

6U/Sx = 6/5 x(5xy) = 5y = -F,r

6U/ 6 y = 6/Sy(5xy) - 5x = F v.

6U/6z = 6/6/(5xy) = O = F

F = -5y i -5x j = (-5y,-5x,O)

7.5.9 ENERGIA MECANICA

Para una partícula se define como su energía

mecánica a la suma de sus energías potencial y

cinética :

E ~ Energía mecánica — K * U Ec 7.44

178

7.5.IO PRINCIPIO DE CONSERVACI UN DE LA ENERGIA

MECANICA EN SISIEMAS CONSERVATIVOS

En un sistema en donde sólo actúen fuerzas

conservativas la energia mecánica no depende del

tiempo; es una constante. Para el estudio del

movimiento la medida de su valor constituye un

dato valiosa para la solución del problema: la

energía mecánica es una constante del movimiento

de los sistemas conservati vos.

K + E = constante Ec 7.45,a

A- K + u = 0 Ec 7.45.b

Donde /\ K y U son las diferencias de

energías cinéticas y potenciales del estado

final y el estado inicial de la partícula u

sistema.

Ejemplo 7.15

178

Estudiar la caída libre de un cuerpo desde el

punto ds vista energético.Datos numéricos :

Altura inicial ~ z„ = 10<> m.

Velocidad inicial =

= Om/s

Gravedad = 9 . 8 m/s5

Energía mecánica inicial = E^ ~ Ka + U0 = 0 +

mq z 0

Como la energía es una constante del movimiento,

al ser el peso una fuerza conservât iva, en todo

punto de la trayectoria debe ser la misma.

E = = mqzD

Si z es la altura sobre el nivel del piso de un

punto arbitrario de la trayectoria, su velocidad

podrá obtenerse de:

E = K + U = 'ítnv2 + U

v ~ ± t 2 ( E U) /m Ec /.46

178

v - ~f 2 (E - mgí )/mJ'í

La expresión anterior equivale a la primera

integración del movimiento y permite saber el

valor de la velocidad en función de la altura;

se tomó el signo negativo para la velocidad al

suponer el sentido creciente de la altura sobre

la superficie de la tierra como sentido positivo

de 1 eje z .

Debe observarse que e^ta ecuación es una

modificación ríe la te f. aJ introducir en ella

los conceptos de energía mecánica y energía

potenc ia1 .

dz/dt = v - 2 (E - mqz)/mjvj»

L d z ' ] / t 2 ( E ~ mgz ' ) /mT4¡ = A t

d t tío

Teniendo en cuenta que E = mqz n ; t - O.

(m/2)'«( -2/mg ) t (mqz^ mqz ) Tí |a

178

t* = (2/mg* ) (mgzQ - mgj )

Z » z 0 - '4gt»

Para obtener la dependencia de la velocidad

respecto del tiempo basta con derivar la última

igualdad.

7.5.11 UESCR1PUIUN CUALITATIVA DEL MUV1MIENTO CUN

GRAFICAS DE ENERGIA

Las Ecuaciones 7.43 permiten predecir, mediando

como elemento de análisis la gráfica de energía

potencial en función de posición, el

movimiento de una partíacula confinada a ésa

región de potencial en una forma cualitativa.

En la figura 7.15 se representa la función

energía potencial que afecta a una partícula en

una región unidimensional del espacio. E 1 P E = y E 3 representan los valores de distintas energías

mecánicas que podría tener la partícula.

Evidentemente, deben ser líneas horizontales de

energía constante, como debe ser para el sistema

conservativo referido.

21 7

tJU)

F igura 7 - 1 í>

Movimprtto según curva de potencial

Partícula con energía E t:

La línea que representa la

energía mecánica corta la de

potencial en los puntos 1 y 1",

restringiendo el movimiento al

espacio comprendido entre ^ y

x a.' • tun E_, cualquier a otra

región está prohibida pues los

valores de la energía cinética

sólo son positivos* K=E-U) en el

rango descrito. Los valores de

2 i e

energía cinética negativa son

clásicamente imposibles.

x.i V denominan puntos de

retorno; en ellos U=E . La

energía cinética será por lo

tanto cero y la velocidad estará

cambiando de sentido o signo,

pasando momentáneamente por el

valor cero. Las "fuerzas que

afectan a )a partícula tienen en

ésos puntos sus máximos valores (

F = -dU/dx :son los valores de

las pendientes a la curva de

potencial con signo cambiado) y

están dirigidas hacia el punto de

equilibrio del movimiento, que es

aquel en donde la tangente a la

curva de potencial es t:ero(

kl movimiento es pues oscilatorio

entre y , alrededor de C

Partícula con energía

219

Se tendrán en este caso dos

posibilidades de movimiento. El

primero, entre los puntos 2 y 2

, de características similares al

descrito para K¿ . Si se encuentra

en el. punto L'_., en el cual E-, es

tangente a Ja curva de potencial,

la partícula está en una posición

de equilibrio estable pues allí

la fuerza que actúa sobre ella es

cero ( f = -dü/dx =tg(0) ^O ) y

las fuerzas que aparecerían ante

un desp1 azamiento de la partícula

a un lado u otro de ésta posición

generaría fuerzas dirigidas hacia

C =, llamadas recuperadoras, que

restablecerían el equilibrio.

Los puntos como C x y C 3, ubicados

en mínimos matemáticos de la

curva de potencial son de

equilibrio estable.

178

Partícula con energía

En punto C,,es también de

equilibrio pero inestable pues, a

pasar de que en él también hay-

fuerza cero, los desplazamientos

alrededor de ésa posición

propiciarían la aparición de

fuerzas que alejarían a la

partícula de tal punto de

equilibrio. En los puntos de

equilibrio inestable,

contrariamente a los de estable,

la concavidad de la curva señala

hacia abajo.

7.5.12 ENERGIA POTENCIAL GRAVITAIÜRIA

La fuerza gravitacional

vecino a la tierra es

central, dirigida hacia

que afecta a un cuerpo

una fuerza de carácter

el centro de la tierra.

F = -Gmli/r 2 r

La energía

fuerza es :

178

potencia] asociada a este tipo de

Figura 7.16

Energía potencial gravítatoria

U( r) - U ( r ~ ) = -GmM dr'/r'z ( r . r )

= -GmM ( 1/R - 1/r

Tomando como r^^- a un punto situado a una

distancia infinita del centro de la tierra tal

que Up^pS O, se tiene que ;

178

U(r) = -GmM/r Ec 7.47

En la gráfica se describe la forma de la función

que tiene validez para puntos pur encima de su

superficie ( r > R t =radio de la tierra). M es

la masa de la tierra y m la del cuerpo situado

cerca a alia.

Reemplazando la Ec 7.46 en la Ec 7.47 se

describe la velocidad de un cuerpo que se mueve

bajo la influenc ia de la tierra:

v = ±[2(E + GmM/r)/m ] Ec 7.49

Si el cuerpo de masa m esté sobre la superficie

de la tierra en reposo,

E = U = -GmM/Rt Ec 7.50

corresponde al valor minimo de la energía del

cuerpo. Todo cuerpo lanzado hacia arriba desde

la tierra superara ése valor de energía al

adicionarle su energía cinética de salida;

alcanzará la energía mecánica cero cuando esta

178

última sea igual al valor de la Ec 7.5o.

'írnv» = ~OmM/Rfc

v = (2M6/Rt,)'4 = 1.13x10 * m/s = 40700 Km/hr

y establece que para que un cuerpo pueda salir

de la atracción de la tierral que sea lanzado

hacia arriba y no regrese mas), se requiere que

en la superficie se le imprima una velocidad de

al menos 40 700 fc'm/hr .

Un objeto que salga de la tierra con una

velocidad menor caerá de nuevo a ella. El punto

de retorno, es decir, donde su velocidad se

vuelve cer o se encuentra igualando la energía

cinética a cero:

K - E + GmH/r - O

r - - ((3mM / E )

t 1 cálculo no considera la del aire

224

7.5.13 ENERGIA POTENCIAL ELECTROSI Al ICA

Análogamente al tratamiento anterior se

demues tra que la energia pò tene i a 1

electrostática está dada por

U(r) = kqtq_,/'r Ec 7.51

La convención para nivel y energía potencial de

referencia es la misma. En este caso la energía

potencial es positiva si las cargas son del

mismo signo y negativa en caso contrario.

7.5.12 PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIA.CASO

GENERAL

Una partícula puede estar sometida a fuerzas de

tipo conservativo o no conservativo. Las últimas

son las que no cumplen la definición de las

primeras (Ees.7.37 ó 7.38); su ejemplo mas común

son las fuerzas de fricción. El tratamiento

desde el punto de vista energético de los casos

en los que aparecen todo tipo de fuerzas se basa

en el siguiente razonamiento:

2 2 5

Sea F la fuerza resultante que actúa sobre una

particu1 a.

Fe es la suma de las fuerzas conservativas y Fnc

la suma de las no conserva tivas.Así:

F = Fe + Fnc

El trabajo que hace la fuerza resultante está

dado por la Ec 7. 77:

W F.dr = (Fe +Fnc) . dr

-K* = O n

Fe.dr + Fnc. dr

Ec 7.52 Wc I « + Wnc

Donde Wc es el trabajo hecho por las fuerzas

conservativas y Wnc es el que hacen las no

conservativas.

A cada una de las fuerzas conservativas, o a su

2 2 6

suma ,SP le puede asociar una energía potencial

( o una suma de energías potenciales ) de

acuerdo con la Ec 7.40.

B K« -K« = ~< um - + Wnc | «

Que llamando A K Y A " a Jas variaciones de

las energías cinética y potencial

respectivamente, se tiene:

» A. K + A U - Wnc Ec 7.53

La expresión es conocida como la ley de la

conservación de la energía y establece que la

suma de las variaciones de energías cinética y

potencial de una partícula es igual al trabajo

realizado por las fuerzas no conservativas entre

dos puntos de su trayectoria . Si no hay fuerzas

no conservativas la Ec 7.53 se reduce a la Ec

7.45.

FJ 7 - 16

227

v H

Figura 7.17

Sistema masa-resorte.ftnálisis energético

Un cuerpo de masa 10 Kq. comprime a un

resorte situado en la base de un plano

inclinado que hace 37 0 con la horizontal

tal como se muestra esquemáticamente en la

figura. El resorte, cuando esta sometido a

una fuerza de 500 N se comprime 20 mm. Si se

liberó el cuerpo habiéndosele forzado a

comprimir el resorte 20 cm., calcular,

(a) Si entre el cuerpo y el plano no hay

fr ícción:

228

a.l.La energía potencial del sistema cuando

el resorte está comprimido.

a.2.La energia potencial cuando cuerpo y

resorte pasan por la posición de equilibrio

de 1 ú1 timo.

a.3.La energía potencial al momento de

deterse el cuerpo en la parte superior del

plano.

a.4.Las expresiones generales de la

posición, velocidad y aceleración del

cuerpo en función del tiempo.

(b) Si el coeficiente de fricción entre el

cuerpo y el plano es de pK = O.2. Cuánto sube

por el plano?

Nivel de referencia para energía potencial ceros

Cuando cuerpo y resorte pasan por la posición de

equilibrio del último.

178

Expresión general para la energía potencial:

^ — ^oRAvirorrniii + ^RUOÍTIC« ( * )

(#)Sólo aparece para ~0.2<x<0 m

ü = mgx Sen3 7° > '4 kx?= 59 x + 1.5x10"

j u1 ios (* *)

a. 1

U = 59(-0.2) + 1.5x10a (-0.2)« = 588.2 Julios

a.2

U = O pues x - O

a._3

La energía mecánica se conserva y es igual a

calculada en a.l:

588.2 = ü + K ; pero K = O

230

588.2 = mqy = U

a. A

Desde el punto de vista energético se parte de

la ec.7.46 con E = 588.2 Julios y U dada por la

Ec (**):

v = ±[2(E - U } / m j

=[2(588.2 -59x -1.5*10"x*)/10J*

Ecuación que permite el cálculo de la velocidad

en función de la posición sobre el plano

inclinado para el rango -0.2 < x 1 O. El cálculo

analítico de la posicion en estfcí rango e=

complicado y resulta de la integración de la

expresión v = dx/dt integrando dx/v = dt ,

siendo v la función anterior.

Para el rango x>0 el término cuadrático de la

energía potencial de la Ec.(#*) desaparece al

perder el contacto el cuerpo y el resorte. La

velocidad, según la misma ec.7.46 queda:

178

v = L 2 ( 5BB. 2 - 59x)/10]'4 = dx/dt

d x / C 2 ( 588 . 2 - 59x)/10]'í = dt

Que integrada entre K 0 = O y X, t„ = O y t (Se

desprecia el corto intervalo de tiempo que

demora el resorte en recuperar su longitud al

ser liberado ), se tiene:

i-t

(-2/11 .8) ( 117.6 - 11. Bx I = t - O | Vto

(117.6 - 1 1 . 8 x ) = 10.9 - 5 . 91

Elevando al cuadrado la igualdad anterior y

despejando x se tiene:

x = 10.8t - 2.95 t*

dx/xt = v «= ÍO.B - 5.9 t

d*x/dt2 = dv/dt = a = -5.9 m/s2

Que son las respuestas solicitadas en a.4.

178

Verifique que el resultado es el mismo si el

problema se trata desde el punto de vista del

caso 2, de fuerza neta constante.

Diagrama de cuerpo libre Ej.7.16

Del diagrama de cuerpo libre (el bloque ya no

está bajo la acción del resorte):

X F v ± =ma^ = O = N - w Cos 37 0

f = N = -0.2 * w Cos 37° = -1.6 N

La Ec 7.53 queda para el problema:

\ N

Figura 7.IB

K-, - Kx U 3 - Un= f( x s. - >< j. ) Ec . i

2 3 3

Donde en el punto dos el cuerpo se detiene, es

decir alcanza el mayor desplazamiento sobre el

plano inclinado. El punto uno es el definido por

las condiciones iniciales del problema.Así:

K 3 = = O

Ux = 588.2 J

ü 3 = mg<y 3 -yx ) = mq ( x= - x x ) Sen 37?

La Ec.i queda s

-588.2 = —(mq -f)(xa ) = -<98+1.é>) ( £ ~ *)

x=-x x - 5.9 di R e s p . 2 . b

178

c n r n u L u e

IRANSFURMACIDNES ENTRE MARCOS DE REFERENCIA

Al estudiar el movimiento de los cuerpos, se comenzó

por referenciarlo a un sistema de coordenadas fijo a

un cuerpo rígido, denominado marco de referencia.

Seguidamente se respondió a la pregunta de si existe

alguna condición en cuanto a los marcos de referencia

que se fueran a utilizar.

Vale decir si tiene importancia, por ejemplo que el

movimiento de una piedra que cae a la tierra sea

medido desde un automóvil que se desplaza sobre la

calzada, o desde la calzada misma. Las relaciones

matemáticas que se encontrarán para describir el

movimiento serán las mismas en ambos casos?.

En el capítulo 4 (Secciones 4.7 y 4.8) se absolvió

esta inquietud mediante la formulación de el

principio clásico de relatividad y la definición de

los marcos de referencia inerciales al postular la

178

primera ley de Newton .Un resumen de esto se hará a

con tinuac ión.

1 PRINCIPIO CLASICO ÜE RELATIVIDAD.

Todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas

para todos los observadores que se muevan unos

respecto a los otros a velocidad constante.

Este principio no se demostró ; solo la

experimentación respalda su veracidad.

2 MARCOS DE REFERENCIA INERCIALES

Los marcos de referencia en donde se cumple la

primera ley de Newton son los referidos en 8.1 y se

llaman marcos de referencia inerciales(MRI). A menudo

se especifica que tales marcos están fijos o se

mueven con velocidad uniforme respecto a las

estrellas lejanas.

La respuesta a la pregunta formulada arriba respecto

del movimiento de la piedra que cae es la de que se

pueden utilizar las mismas leyes físicas para obtener

178

la descripción de su movimiento desde el auto o la

calzada, mientras estén referidas a MRIs, es decir,

si la velocidad relativa de estos marcos de

referencia u observación es constante.

Se debe recordar que la descripción del movimiento de

un cuerpo se hace conociendo su posición en todo

tiempo, es decir, una función r (t). A parir de allí

queda definida su v(t) y su a(t).

8.3 TRANSFORMACIONES DE GALILEO.

Figura B.l

Transformaciones de Gal i leo

178

Si se tiene resuelto el problema del movimiento de un

cuerpo al conocer r (t) desde un MRI , y se requiere

"traducir" esta información a otro MRI, qué debe

hacerse?. Para ello se estudiará la figura 8.1 que

describe los puntos de vista de un observador B fijo

a la tierra y otro, S', que se mueve respecto a ella,

en relación con sus medidas de los desplazamientos de

un móvil cualquiera.

Ambos observadores están analizando el movimiento de

una partícula, que, en la pareja de instantes

ilustrados, definen los vectores PU = r para S y P'G'

= r' para S'. La relación entre ambas medidas está

dada por los vectores señalados r

r = u t + r' Ec 8.1

como r - xi + yj + zk = (x,y,z)

y r'= x ' i + y'j « z'k = (x',y',z')

Si se hace además coincidir el eje x con la dirección

de u entonces u = ui y la relación 8.1 se puede

escribir como tres ecuaciones simultáneas!

178

X = X ' + u t

y = y ' Ec 5.8.2

z = z '

t = t'

Se ha encontrado

de coordenadas

Galíleo.

Ejemplo 8.1;

Una partícula tiene una posición dada por

x - 30t + 10t = en sistema S

Encuentre la expresión para la posición medida por un

observador que se mueve en la dirección x positiva a

la velocidad de 100 m/s. Suponga que t = t = O

cuando S y S' coinciden.

lo que se llama una transformación

conocidas como Galileanas o de

178

x = 301 + 10t= = x' + ut = x + lOOt

x' = - 701 + 10t= Respuesta

Utilizando las ecuaciones 8.2, haciendo su derivada

respecto del tiempo se tendré:

dx/dt - dx'/dt' + u = dx'/dt u Tomando t = t'

Pero

dx/dt = velocidad instanténtanea en la dirección x

medida desde S

dx'/dt'= velocidad instantánea en la dirección de x

medida desde S

Luego:

Aná1ogamen te:

241

Ees.8.3

V Z = V . '

Las ecuaciones 8.3 se llaman usualmente

transformaciones de velocidad de Galileo.

Ejemplo 8.2:

Los puntos A y B están separados 4 kilómetros sobre

la misma orilla de un río. Dos hombres deben recorrer

tal distancia y regresar, partiendo desde A. El

primera de ellos camina por la orilla a una velocidad

de 4 kilometros/hora ; el segundo, que parte

simultáneamente con el primero, lo hace por el río en

un bote que desarrolla 6 km/hora respecto del agua.

(a)Encuentre la expresión de la posición,para el

viaje de ida, en función del tiempo, de cada una de

los hombres, medida desde A.

178

(b) cuál es la velocidad relativa entre el caminante

y el hombre del bote cuando comienzan sus viajes?

(c) Cuánto tiempo demora cada uno para hacer el viaje

completo?

Rio

3

B orilla

Figura 8.2

Gráfica del ejemplo B.2

(a)

i) Posición del caminante desde la orilla (Sistema S)

178

x =( 4 km/h ) t para 0<x<4 Km (o sea a la

ida )

como el recorrido es de 4 kilómetros, cuando se esté

en B

x B = 4 Km

xB = 4(km/h). t„

ts = lh

Es decir el caminante luego de una hora llega al

punto B. Este es el mismo tiempo que gastará a su

regreso. El tiempo total para la ida y el regreso del

caminante es 2 horas.

ii)Posición del hombre del bote! Para este caso es

más conveniente encontrar primero la ecuación de la

posición respecto del rio (Sistema S').

178

El río se considera como un sistema S' que se mueve

respecto de la orilla a 4km/h en la dirección

positiva del eje x de S, que en este caso representa

la orilla, con su origen de coordenadas en A.

La posición del botero desde 5' es

x = 6(km/h) . t

Aplicando las transformaciones de Galileo s

x = x ' + ut

x = <¿»t' ) + 41;

y como t = t '

x = 10 ( k m / h ) t

Que es la posición del bote desde A(orígen del

sistema S).

(b)Derivando la última ecuación se tiene;

2 4 5

dx/dt = d(lOKm/hr. t)/dt = 10Km/hr = v„,5e tiene la

velocidad del hombre del bote desde S. Que es

equivalente los a las velocidades relacionadas por

las correspondientes transformaciones de galileot

vK = v'„ + u = é> km/h + 4 km/h = ÍO km/hr.

Donde vM = & km/h es la velocidad del bote desde S

(el río)

y u = 4km/h es la velocidad relativa entre el río y

la ori1 la.

Consecuentemente, la velocidad respecto a la orilla

en el regreso del bote será dada por;

v„ = vM + u = - 6km/h + 4 km/h = - 2 km/h.

Donde el signo se interpreta como el cambio de

sentido de la trayectoria del bote que ahora va en la

dirección negativa del eje x' (o x).

(c)En la parte (a) se calculó el tiempo de 2 hr para

el caminante. Para el botero se utilizarán las

velocidades relativas para las dos partes de su

178

desplazamiento, esto es 10 Km/hr aguas abajo y -

2km/hr aguas arriba:

tiempo para la ida (Aguas abajo):

x„ = 4 km = 10 km/hr. tB

tB = 2/5 hr.

tiempo para el regreso:se debe tener en cuenta que

parte de un punto situado a 4 km a la derecha del

sistema de coordenadas S , es decir, la expresión

para la posición del botero al regreso medido desde A

(orígen de S) es:

x = 4km -2km/hr t

La posición final del botero es x^ = O

x<* = O = 4km -2km/hr t^

tA = 2 hr

El tiempo total para el hombre del bote es

178

tA+t„ _ (2/5 + 2) hr = 2.4 hr

la velocidad relativa entre los dos hombres

bote regresa y el caminante aún no ha

Cuál es

cuando el

1 1 egado a B?

Que sucederia si

respecto del agua?

el bote solo desrrollara 4km/h

Derivando de nuevo las ecuaciones B.3 .Be debe

recordar que u = velocidad relativa entres S y S' es

constan te.:

Ees.8.4

= a«'

Que corresponden a las transformaciones de Galileo

para aceleraciones. Las Ees.8.4 son la expresión

escalar de la ecuación vectorial:

2 4 8

a = a Ec 8.5

La aceleraciones de una misma partícula, medidas en

marcos de referencia inerciales, son las mismas. Como

la causa del movimiento puede entenderse, a la luz de

la segunda ley de Newton, como el efecto de las

fuerzas resultantes externas a la partícula, cuyos

valores se calculan por la expresión matemática de

dicha ley : F = m a ; las fuerzas, medidas desde MRIs

son las mismas. Las leyes de fuerzas que rigen los

fenómenos físicos serán entonces las mismas para

observadores en MR Is. La física clásica es pues la

misma en los marcos de referencia inerciales.

8.4 FUERZAS FICTICIAS

Las leyes de Newton tienen aplicación solamente para

observadores en marcos de referencia inerciales. En

marcos de referencia acelerados se hace necesaria la

introducción de fuerzas ficticias o seudofuerzas,

1 1 amadas asi porque rio son producidas por ninguna de

las fuerzas de la naturaleza sino por la condición

del marco respecto del cual se hace la observación.

178

Conviene ilustrar esto con la situación rutinaria de

un auto al tomar a velocidad constante una curva de

radio R . Desde el centro de la curva, sobre la

tierra, la aceleración del auto es radial o

centrípeta dada por(Ver Sección 7.4):

a ~ <-v2/R) r Ec B.6

La tierra, pn este caso puede ser considrraHa un MRI .

Los pasajeros del auto están en un marco de

referencia acelerado, con una aceleración dada por la

expresión anterior. Dentro de él, pasajeros y objetos

se sienten desplazados por una fuerza que los trata

de sacar de la curva; desde el MRI de la tierra se

diría que tal fuerza es radial, en la dirección

contraria a la aceleración centrípeta dada por B.6.

Si el auto se mueve ahora en línea recta respecto de

la tierra, de izquerda a derecha, y frena (sufriendo

una aceleración de sentida derecha-izquierda desde un

MRI en la calzada), aparecerá de nuevo una fuerza

2 5 0

para las cosas dentro del auto, de nuevo con sentido

contrario a la aceleración vista desde el MRI. Es

decir , si

a = -a i , desde la tierra,

dentro del auto,

a' = -a' i

En los casos descritos, el observador, dentro de los

sistemas acelerados, deberá postular la existencia de

una fuerza no asociada a las cuatro fuerzas conocidas

descritas en el capítulo é>, es decir, una seudofuerza

o fuerza ficticia, para poder explicar los

movimientos que ocurren desde su punto de vista.

En la figura siguiente se utiliza una argumentación

similar a la utilizada para la demostración de las

transformaciones de Galileo, solo que para este caso

, el segundo marco se supondrá acelerado respecto del

primero, u , la velocidad relativa entre S y S' es

ahora dependiente del tiempo. Para simplificar la

situación se considerará que du/dt = A = constante; S

251

y S' están uniformemente acelerados,

u Ad t = A t Ec 8.7

En t = t,_ = O S y S coinciden en el espacio y están

quietos el uno respecto del otro.

El punto P está fijo a S y el P' lo está respecto de

S', y son el punto de partida del movimiento de una

partícula (En t = 0 P coincide con P' ) ;

Marcos de uníformemente

178

En el instante t = t = t ' el móvil fia tenido un

desp1 a2amiento r en S y r' en S . La relación entre r

y r' es :

r = PP' » r' te 8.8

PP' r\ te

u ( t ) d t = teo V.

At'dt

En donde se reemplazó la Ec 8.7 en u(t)

PP' = '¿At* Ec 8.9

Reemplazando Ec 8.9 en Ec 8.8

r - '¿At* + r' Ec 8.10

Derivando respecto al tiempo!

v = At + v Ec8.ll

a = A + a' Ec 8.12

178

La últimas tres ecuaciones son las transformaciones

para éste caso. Atendiendo a la Ec B.12, que

relaciona las aceleraciones entre marcos de

referencia no inerciales, se podrá comprender la

aparición de las fuerzas ficticias en tales

si tuac iones.

Multiplicando por la masa de la partícula en

ebservación en S y 3 :

F - F xr-r = F Ec B. 13

La fuerza observada en S' será la detectada en S

menos la masa del objeto por la aceleración de S'

respecto de S.

En el caso del auto referido al comienzo de esta

sección una fuerza ficticia que aparece es;

- m (v» /R) r en la curva, y

^ n c r ~ m a i al frenar en la recta.

178

Ejemplo 8.5;

Un cuerpo de un kilogramo de masa reposa sobre otro

de LO Kq, el cual a su vez reposa sobre una

superficie horizontal, tal como se muestra en la

figura. La fuerza externa es F = 0.2 t iN. Si el

coeficiente de fricción estático es 0.2 y el cinético

es 0.15 entre todas las superficies, encontrar el

movimiento de cada bloque en función del tiempo.

Figura 8.4

Bloques del ejemplo B.3

Del DCL. del sistema cuando está a punto de moverse!

E F,.(1 = ma,, = 0 = i l ( 0 ) = F - - f = F - j j J ^ = f - MbW

178

F = p s mg = 0.2 t

En t = [Ü.2*llKq*9.Bm/s2J/LO.2 N/sj

= 107.8 s

8p comenzará a mover el

sistema.

Para t > 107.8 s :

z F„i ~ ~ F - f = 0.2t - jjmg

a„ = O.02 t - 1.96 (i)

realizando las integraciones correspondientes se

tiene;

v„ = O.01t2 - 1.96 t

x (O.01/3) t~ - 0.98 t2 (Para t„ = O ; x(O) = O)