SUCESIONES REALES.

Definición: Es una función de f: Ζ+→R, donde Ζ+ es el conjunto de los números enteros positivos. Si f (n )=an, entonces a esta sucesión la denotaremos por (an ),{an }n=1

∞ o presentando sus términos en orden creciente de los subíndices:

a1 , a2 , a3 ,… ..an ,…. .

El término a1 es el primer, a2 es el segundo, a3 es el tercero y an es el término enésimo o término general.

Es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números enteros positivos.

Sea la sucesión de los cubos de los enteros positivos:

1 ,8 ,27 ,64 ,125 ,216 ,343 ,….n3

Esta sucesión es una correspondencia que asigna a cada entero positivo su respectivo cubo:

1 2 3 4 5 6 7 ……… n1 8 27 64 125 216 343 ……… n3

Esta sucesión se puede escribir como: f : z+¿→R,f (n )=n3¿

Ejemplo de Sucesiones:

Sucesión con su término general Notación estándar{2,4,6,8,10 ,…2n ,…} {2n }n=1

∞

{0,2,0,2,0…,1+(−1 )n } {1+(−1 )n }n=1∞

{−12 ,24,−38,416

,… (−1 )n n2n

,…} {(−1 )n n2n }n=1

∞

{0 , 2√3 ,0 , 2√5 ,0… 1+(−1 )n

√n+1,…} {1+(−1 )n

√n+1 }n=1

∞

{1,0 ,−1,0,1 ,…, sin( nπ2 )} {sin( nπ2 )}n=1

∞

0 1

Nota: el primer término de una sucesión no necesariamente debe corresponder a n=1, según sea el caso puede ser cualquier entero k ≠1.

Si se considera la sucesión an=√n−3 , el primer término es a3=√3−3=0, ya que a1=√−2 y a2=√−1 no son números reales.

Si una sucesión comienza con el término k , escribiremos:{an }n=k

∞

Ejemplo 1. Dada la sucesión { nn+1 }n=1

∞

a. Hallar los cinco primeros términos.b. Graficar en la recta numérica los cinco primeros términos hallados.c. Graficar en el plano los cinco primeros términos hallados.

Solución:

a1=11+1

=12, a2=

22+1

=23,a3=

33+1

=34, a4=

44+1

=45, a5=

55+1

=56

1

1 2 3 4 5

Ejemplo 2.

Los siguientes números son los 5 primeros términos de una sucesión:

21,−38,427

,− 564

,6125

,….

a. Hallar una fórmula del término general an de una sucesión {an } cuyos cinco primeros términos son los dados.

b. Hallar el sexto término.

Solución: a. el primer numerador es 2=1+1

el segundo es 3=2+1 el tercero es4=3+1 entonces el numerador enésimo es n+1

el primer denominador es 1=13

el segundo es 8=23

el tercero es 27=33

entonces el denominador enésimo esn3

el signo positivo y negativo que acompaña a las fracciones se alternan. Así que el término enésimo es multiplicado por (−1 )n o (−1 )n+1, como el primer término es positivo se escoge (−1 )n+1. En lugar de (−1 )n+1 se puede tomar también a (−1 )n−1.

Una posible solución para el término general de la sucesión puede ser:

an=(−1 )n+1 n+1n3

o bienan=(−1 )n−1 n+1n3

b. a6=(−1 )6+1 6+163

= −7216

Definición: se dice que una sucesión {an } es

a. Creciente sii an<an+1 para cada entero positivo nb. No decreciente sii an≤an+1 para cada entero positivo nc. Decreciente sii an>an+1 para cada entero positivo nd. No creciente sii an≥an+1 para cada entero positivo n

Si se cumple cualquiera de estas cuatro propiedades, se dice que la sucesión es monótona.

Ejemplo 3.

{1 , 12 , 13 ,…} Decreciente

{2,4,8,16 ,… .. } Creciente {2,2,4,4,8,8,16,16…. } No decreciente

{1 , 12 ,1 , 13 ,1 , 14 ,…} No monótona

Sucesiones Convergentes:

Decimos que una sucesión {an } tiene límite el número L, y escribiremos limn→∞

an=L, si an puede acercarse a L tanto como se quiera, tomando a n

suficientemente grande.

Si existe el límite, se dice que la sucesión {an } converge o es convergente. Si el límite no existe, diremos que la sucesión diverge o es divergente.

Ejemplo 4.

Sea la sucesión: 11,12,13,14,……. ,

1n o {1n }

n=1

∞

Entonces limn→∞

1n=0 , es decir cuando n→∞ an→0 la sucesión converge a un

valor, que en este caso es cero.

Definición de cotas inferior y superior de una sucesión:

El número C es una cota inferior de la sucesión {an } si C≤an para todos los números enteros positivos n; el número D es una cota superior de la sucesión{an } si D≥an para todos los números enteros positivos n .Una sucesión es acotada si y sólo si tiene una cota superior y una cota inferior.

Teorema: Toda sucesión convergente es acotada y toda sucesión no acotada es divergente.

Nota: La acotación no implica la convergencia, la siguiente sucesión oscilante:{1,0,1,0 ,…. } es ciertamente acotada (superiormente por 1, inferiormente por 0), pero es evidente que no converge.La acotación, conjuntamente con la monotonía, implica la convergencia.

Subsucesiones: si de una sucesión se toman infinitos términos conservando su orden se obtiene una subsucesión de la sucesión inicial.

Ejemplo 5.

0 1 2 3 4 5 6 7 80.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

sucesión 1/n

1/n

Dada la sucesión de los enteros positivos:{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 ,…. , n ,.. }

Hallar cuatro Subsucesiones.

Solución: 1. La subsucesión de los enteros positivos pares:

{2,4,6,8,10,12 ,… .,2n ,…. }2. La subsucesión de los enteros positivos impares:

{1,3,5,7,9,11 ,… .,2n−1 ,…. }3. La subsucesión de los primos:

{1,3,5,7,11,13 ,….…. }4. La subsucesión de los enteros positivos que son potencias de 2:

{1,4,9,16,25 ,…. ,n2 ,…. }

Nota:

1. Si una subsucesión {an } converge a un límite L, entonces toda subsucesión de {an } converge también a L.

2. Si una subsucesión {an } tiene dos Subsucesiones que convergen a límites distintos, entonces la sucesión {an } diverge.

Ejemplo 6. La sucesión {2+ (−1 )n } es divergente.

En efecto, los términos de esta sucesión son: {3,1,3,1,3,1,3,1,3,1 ,…. }

La subsucesión conformada por los términos se subíndice n par:{2+ (−1 )2n }={2+1 }= {3 }convergea3

En cambio la subsucesión conformada por los términos de subíndice n impar:{2+ (−1 )2n−1 }={2−1 }={1 }converge a1

En consecuencia, la sucesión {2+ (−1 )n } diverge.

Leyes de los límites de sucesiones.

si limn→∞

an=A y limn→∞

bn=B y ces unaconstante , entonces

1. limn→∞c=c

2. limn→∞c an=c lim

n→∞an=cA

3. limn→∞

(an±bn )=limn→∞

an± limn→∞

bn=A± B

4. limn→∞

(anbn )=( limn→∞an) ( limn→∞

bn)=AB

5. limn→∞

an

bn

=limn→∞

an

limn→∞

bn

= AB,B≠0

6. limn→∞

(an )p=( limn→∞an)p=A p , p>0 , an>0

7. limn→∞

(an )bn=( limn→∞an)(

limn→∞

bn )=AB , A>0 , an>0

Límites notables: sean p>0 , q>0 yc>0

1. limn→∞

1

np=0

2. limn→∞

n√c=1

3. limn→∞

n√n=1 0 , si|r|<1

4. limn→∞ (1+ a

n )n

=ea 8. limn→∞

rn=¿ 1 , si r=1

5. limn→∞

nq

an=0 , a>1 ∞ ,si r>1

6. limn→∞

nq

enp=0 noexiste , si r ≤−1

7. limn→∞

( ln n )q

np =0

Ejemplo 7. Determinar si las siguientes sucesiones son convergentes.

a) { 4n22n2+1 }→ limn→∞

4 n2

2n2+1=∞∞Indeterminació n

Esta indeterminación se estudia aplicando L’Hopital o dividiendo cada término de la sucesión por la potencia mayor de n; finalmente el valor del límite será:

limn→∞

4n2

2n2+1=2

b) {n sin( πn )}→ limn→∞

n sin( πn )=∞∗0 Indeterminación

Esta indeterminación se estudia dividiendo una de las sucesiones presentes entre el reciproco de la otra sucesión quedando de la siguiente forma:

limn→∞

sin( πn )1n

=00Indeterminación que se resuelve aplicando L’Hopital quedando:

limn→∞

(−π

n2 )∗cos( πn )−1n2

=π

c) { 4n32n2+1sin ( πn )} esta sucesión se puede, por propiedad de límites, en dos:

limn→∞

4n2

2n2+1∗lim

n→∞n sin ( πn ) , límites determinados en los ejemplos anteriores por lo que el

valor de límite será: 2π

Ejemplo 8. Discutir las cotas y monotonía de las siguientes sucesiones:

a) {2n }→2,1 ,23,24,25…. Monótona decreciente

Cota inferior= 0 Cota superior= 2

b) {(−1 )n

n }→−1, 12,−13,14,−15…. No Monótona

Cota inferior= -1

Cota superior= 12

c) {√n }→√1 ,√2,√3 ,√4 ,…. Monótona Creciente Cota inferior= 1 Cota superior= ∄

d) {0,9 }n=( 910 )n

→( 910 )1

,( 910 )2

,( 910 )3

,…. Monótona decreciente

Cota inferior= 0 Cota superior= 0,9

e) { 4n

4n2+1 }→ 4

√5,8

√17,12

√37,…. Monótona Creciente

Cota inferior= 4

√5 Cota superior= 2