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1º de Ciencias Sociales I.E.S. Teobaldo Power

1º de Ciencias Sociales

1 Departamento de Matemáticas IES Teobaldo Power

Los números naturales, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, surgieron por la necesidad de contar.

Los números enteros, Z = {... - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, surgieron para encontrar

soluciones a muchas situaciones en las que los números naturales no eran suficientes. Por ejemplo, para resolver la ecuación x + 3 = 1, o para indicar temperaturas bajo cero, o para indicar cantidades que se deben.

Los números enteros se representan en una recta horizontal sobre la que se fija el origen 0. A la derecha los positivos y a la izquierda los negativos, con la misma separación entre cada dos números consecutivos.

Valor absoluto de un número entero, |z|, es su distancia al origen: |-3| = 3 y |3| = 3.

Los números están ordenados: - Un número entero a es menor que otro número entero b cuando a está situado a la izquierda de

b. Se escribe a < b. - Un número entero b es mayor que otro número entero a cuando b está situado a la derecha de

a. Se escribe b>a.

Los números racionales, Q = {b

a, siendo a y b enteros, y b ≠ 0}, surgieron para resolver

nuevas situaciones en las que no bastaban los números naturales ni los enteros. Por ejemplo para resolver ecuaciones como 5 x = 3. Potencias de números racionales:

- si el exponente es entero positivo, n

nn

b

a

b

a

- si el exponente es cero, 10

b

a

- si el exponente es entero negativo, n

nnn

a

b

a

b

b

a

Estas potencias tienen las mismas propiedades que las potencias de base un número entero.

Números decimales: el valor decimal de un número racional n

m, (siendo m y n primos entre sí) es el

cociente de dividir m entre n, que se denomina número decimal (puede ser decimal exacto, decimal periódico puro y decimal periódico mixto).

Los número irracionales, I, son los números decimales que tienen infinitas cifras decimales

pero no son periódicos, por lo tanto no se pueden expresar en forma de fracción. Algunos irracionales

muy conocidos: π = 3,14159265..., 2 = 1,41421356..., e = 2,71828182845904...

Los números reales, R, es el conjunto formado por los números racionales junto con los

irracionales.



Operaciones con radicales de igual índice

Para operar con números irracionales se suele utilizar una aproximación decimal de ellos (por ejemplo: π = 3,14; e = 2,71). Sin embargo, los números irracionales expresados mediante un radical se utilizan de forma exacta, sin aproximar, y por ello conviene recordar las operaciones con radicales. Como

nn aa1

, aplicando las propiedades de las potencias, se deduce que:

mnm nn mmnnnnnnn aaaab

abababa

·:··

Operaciones con radicales de distinto índice

Lo más fácil es escribir los radicales en forma de potencias de exponente fraccionario y aplicar las propiedades de las potencias. De esta forma también se puede simplificar radicales.

Por ejemplo:

5·3·35·3·35·35·35·3·35·3·345·8145·81 322

1

3

122

1

3

12

2

1

3

7

2

1

3

4

2

123

142

1

3

1

3

Ejercicios: 1.- Expresar en forma de potencia de exponente fraccionario:

35335

34 9;2;27;16;;; xxx

2.- Expresar en forma de radical:

3

1

2

1

2

133

1

2

1

5

1223

5

9;25;;·;·; xyxyxx

3.- Simplificar los siguientes radicales, extrayendo todos los factores que sea posible:

333 54;125;20;16;81;18;27;12

4.- Efectuar las operaciones con radicales siguientes:

52

156);61);3535);2525);3·81)

;12·38·2);25·5);188423);32373)

233

33

ihgfe

dcba

5.- Racionalizar los denominadores de las siguientes fracciones:

134

7;

65

12;

4

1;

26

12;

35

5;

2

3;

3

23 x

6.- Operar y simplificar:

18325

78

5

3);1296);

8

54);224250163) 33333 dcba



REPASO DE OPERACIONES CON NÚMEROS 7.- Averiguar si las siguientes razones pueden formar o no proporción:

4

3

3

2),

5,10

9

7

6),

250

50

150

30),

480

8

180

3) ydycybya

8.- Calcular a, b y c en la serie de proporciones cb

a 96

5 , sabiendo que 2

·

c

ba.

9.- La razón (proporción) de dos números es 25

1. Si el menor es 12, averiguar cuál es el otro número.

10.- Un obrero cobra 3 euros por hora de trabajo. Si un día trabaja 4 horas, ¿cuánto cobrará? ¿Cuántas horas ha trabajado si cobra 25,50 euros? 11.- En una nave espacial hay alimentos para 8 astronautas durante 15 días. Si en la nave viajan 6 astronautas, ¿durante cuántos días disponen de alimentos? ¿Y si viajan 10 astronautas? 12.- En una guardería hay 25 niños, y en la despensa tienen zumo para 28 días. ¿Cuántos días durará el zumo si el número de niños disminuye a 20?

13.- El precio de un litro y medio de leche es de 1 euro. a) ¿Cuántos litros podremos comprar con 15 euros? b) Si una familia consume dos litros y medio al día y compra 30 litros, ¿cuánto

tiempo le durarán?

14.- El precio de una chaqueta es 120 euros. Si en época de rebajas hacen un descuento del 15%, ¿cuánto cuesta la chaqueta? 15.- Al comprar un ordenador me han hecho un 5% de descuento. Si he pagado 902,50 euros, ¿cuál era el precio inicial del ordenador? 16.- Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:

7

5

8

15),

54

12

9

2),

9

6

6

4),

8

7

5

4) ydycybya

17.- Calcula el valor de x para que las siguientes fracciones sean equivalentes:

942

14),

9

6

12),

4

69),

64

10)

xd

xc

xb

xa

18.- De la clase de 3º de ESO, las 2/5 partes son chicos. ¿Qué fracción representa el número de chicas? ¿Cuántas chicas hay si son 25 alumnos en total? 19.- Tres hermanos compran un televisor. La mayor aporta las 2/5 partes del precio y el mediano la tercera parte. ¿Qué fracción representa lo que aporta la pequeña? ¿Cuánto aporta cada uno si el televisor cuesta 1.080 euros?



20.- Efectuar las siguientes operaciones respetando la jerarquía de operaciones y dando el resultado lo más simplificado posible:

a) 7 – 2(–4) + 3 – 5(–2 + 7) b) 4· 22 – (–1)3 + [3 – (5 – 32)]

c) 25

3

2

11

4

1

2

3

d)

72

32

3·8

2·27·18·3

e)

4

5

2

37

21·

4

12

f)

3

2·

5

11

3·

5

132

g) 358

6

5:

6

5·

6

5

h) 303432

3

1·

3

2·

2

3·

3

1

21.- Clasificar los siguientes números en racionales e irracionales:

a) 232,25 b) 0,273454545... c) 0,01033333... d) –22 e) 37,34334333433334... f) 522,1248163264...

22.- Efectuar las siguientes operaciones:

a) 333 5451283162

b) 984

318

2

7508

5

4

c) xxxxx 69425336345

23.- Racionalizar las siguientes fracciones:

323

3),

22

3),

3·7

7),

52

1),

3

2)

3 edcba

24.- Efectuar las siguientes operaciones, simplificando todo lo posible:

a) 2222222

b) 2782222072

c) 33 179·179

d) 4 81714

e) 23

2

2352

2352

25.- Razonar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) Algún número decimal es racional. b) Todo número entero es natural. c) Ningún número racional es entero. d) Algún número real es irracional. e) Ningún número natural es racional.



26.- En un supermercado nos presentan la cuenta a cobrar en euros. Los productos que hemos comprado tienen los siguientes precios: a) 1,325 euros b) 0,477 euros c) 25,008 euros d) 122,553 euros e) 82, 572 euros f) 7,634 euros El supermercado redondea a centésimas de euro. ¿Cuántos euros pagaremos si primero redondea y luego suma? ¿Y si primero suma y luego redondea? 27.- Expresa en notación científica (a,bcd · 10n) las siguientes cantidades y determina el orden de magnitud:

a) Distancia Tierra-Luna: 384.000 km. b) Distancia Tierra-Sol: 150.000.000 km. c) Distancia Tierra-Neptuno: 4.308.000.000 km. d) Virus de la gripe: 0,000 000 002 2 m. e) Radio del protón: 0,000 000 000 05 m.

28.- La capacidad de memoria de un ordenador se mide en: Byte = 23 Bits; K-Byte = 210 Bytes; Megabyte = 210 K-Bytes; Gigabyte = 210 Megabytes. Expresa en forma de potencia y en notación científica la capacidad de los siguientes ordenadores y disquetes en Bytes y Bits:

a) Disco duro de 6,2 Gigas b) Disquete de 1,44 Megas c) Un disco Zip de 100 Megas d) Un CD-ROM de 650 Megas

29.- Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita:

)3(5

2)5(2)

18

51

9

45

6

53)4

3

1

2

1)

3

75

2

84)

2

1)42(

3

2)1(

5

3)

15

132

5

4

3

4)

3

93

5

1)33

2

15)

xxhxxx

gxx

fxx

e

xxxdxxx

cxx

bxxa

30.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

43

162)

8106

453)

45

2434)

544

7823)

yx

yxd

yx

yxcyx

yxb

yx

yxa

31.- Repartir 2.000 € entre tres personas, de manera que la primera reciba 100 € más que la segunda, y ésta reciba 200 € más que la tercera. 32.- Resolver las siguientes operaciones con números, simplificando el resultado:

225

124

2

9264

5373

313232)12833228)3·9·8·2

9·3·4·2)

10·12

5·3·2)

590312)3

1

2

1

4

5)

2·2·2·2

2·2·2·2)

9

8:

3

2

8

3:

4

1

2

5

3

4

2

3

2

5

)

4

1:

2

3

3

2

3

1

2

11

)

ihgf

edcba

33.- Un estudiante recibe una beca para realizar un viaje. En concreto, la beca consiste en 120 € fijos y 65 € por día de desplazamiento. ¿Cuántos días como mínimo se debe desplazar de viaje para que le den una beca de al menos 500 €?



1) Dos hermanos charlando concluyen que entre ambos tienen 29 años, y el uno le dice al otro: Dentro

de 8 años mi edad será el doble de la tuya. ¿Cuántos años tiene cada uno en la actualidad? 2) Cada ocho horas un trabajador produce 10 mesas de tipo A y 9 mesas de tipo B. En 10 horas

produce 8 mesas de tipo A y 18 mesas de tipo B. Determinar el tiempo que tarda en producir cada tipo de mesa.

3) Un vino tiene 9% de alcohol y otro tiene 12%. ¿en qué proporción hay que mezclarlos para que la

mezcla tenga 10% de alcohol? 4) Dos líquidos de densidades 0’7 y 1’3 se mezclan obteniéndose un líquido de densidad 0’9. Hallar la

cantidad de líquido que hay que tomar de cada clase para obtener una mezcla de 30 litros. 5) En la bolsa A y en la bolsa B hay un total de 80 bolas. Si pasamos 10 bolas de la bolsa B a la bolsa A,

el número de bolas de la bolsa A es 3 veces el número de bolas de la bolsa B. ¿Cuántas bolas hay en cada bolsa?

6) En un avión van 192 personas entre hombres y mujeres. El número de mujeres es 3/5 del número de

hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres van en el avión? 7) Un padre tiene el triple de edad que su hija. Si el padre tuviera 30 años menos y la hija tuviera 8 años

más, los dos tendrían la misma edad. ¿Cuál es la edad del padre y la edad de la hija? 8) La base de un rectángulo es 4/3 de su altura y su perímetro es igual a 28 cm. ¿Cuál es le área del

rectángulo? 9) La suma de dos números es igual a 54. La quinta parte del mayor es igual a la cuarta parte del

menor. ¿Cuáles son esos números? 10) El número de animales de una granja son 9.000 entre conejos y gallinas. Tienen sobrepeso 4.000

animales, que son el 35% de los conejos y el 60% de las gallinas. Calcula el número de conejos y gallinas de la granja.

11) Al añadir el mismo número al numerador y al denominador de una fracción se obtiene otra fracción

cuyo valor es 2. ¿Cuál es el número que se ha añadido si la fracción es 27

31?

12) Una mujer de 37 años tiene tres hijos de 8, 10 y 13 años. ¿Dentro de cuántos años será la edad de la

madre igual a la suma de las edades de sus hijos? 13) En una asamblea cuarenta personas tienen más de 40 años, un cuarto de los asistentes tiene entre

30 y 40 años y un tercio tiene menos de 30 años. ¿Qué número de personas hay en la asamblea? 14) Calcula la cantidad de agua que hay que echar a 280 litros de vino de 0’90 € el litro para que la

mezcla resulte a 0’84 € el litro.



15) Para dar cera en una mansión se dispone de dos máquinas A y B. Con la máquina A

se tarda 12 horas y con la B se tarda 6 horas. ¿Cuánto se tarda si se utilizan ambas máquinas?

16) Una piscina se llena con un grifo en 2 horas y con otro en 5 horas. Expresa en horas, minutos y

segundos el tiempo que tardarán en llenarlo manando juntos. 17) Halla tres números impares consecutivos cuya suma sea 909. 18) Andrés es el mayor de 5 hermanos. Cuando Andrés tenía dos años, nacieron dos hermanos gemelos

y tres años más tarde nacieron otros dos gemelos. Actualmente, la suma de las edades de los 5 hermanos es de 201 años. ¿Qué edad tiene cada uno de los hermanos?

19) Una botella llena de anís cuesta 6’6 €. El anís, solo, cuesta 6 € más que la botella. ¿Cuál es el precio

de la botella? 20) Las motocicletas funcionan con una mezcla de gasolina y aceite. Un litro de esta mezcla tiene un 7%

de aceite. ¿Cuánta gasolina hay que añadir a un litro de mezcla para que resulte una mezcla con un 5% de aceite?

21) Un anticuario ha comprado un mueble por 50 €. Manda reparar el mueble y lo vende por 92 €. Este

anticuario obtiene un beneficio de los 2/15 del dinero invertido. ¿A cuánto ascendía el coste de la reparación?

22) Una guagua hace el servicio entre dos ciudades A y B distantes 319 km en 4 horas. Dos horas

después de salir de A se detiene media hora. El resto del camino lo hace aumentando la velocidad en 5 km/h. ¿Qué velocidad lleva antes de la parada?



Una ecuación con una incógnita es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en la que intervienen coeficientes reales y potencias de una misma variable. Si la mayor potencia es de grado 2, la ecuación es de segundo grado y se puede escribir de la forma ax2 + bx + c = 0. 1.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 4x2 –25 = 0 d) 15x2 + 2x = 0 b) 4x – 2x2 = 0 e) 2x2 – 7x – 4 = 0 c) x2 –5x + 6 = 0 f) 18 – 6x2 = 0

2.- Y las siguientes también:

a) 11

xx d) (5x + 1) (x – 2) = 0

b) 11

4

2

1

x

x e) 2x2 + x + 6 = 0

c) 2 (x – 2)2 = x (3x – 4) – 24 f) 3x – 2x2 + 1 = 0 3.- Determinar el valor o valores de m para que la ecuación x2 – 10x + m = 0 tenga: a) una solución doble; b) dos soluciones distintas; c) no tenga soluciones reales. RECUERDA: Una ecuación de segundo grado puede escribirse de la forma x2 – Sx + P = 0, donde S y P son la suma y el producto, respectivamente, de las soluciones o raíces de la ecuación. Este resultado se puede utilizar para:

- Dada la ecuación, encontrar las raíces si son sencillas, o bien - Dadas las raíces, encontrar la ecuación.

4.- Encontrar, mentalmente, las raíces de las ecuaciones siguientes: a) x2 – 5x + 4 = 0 b) x2 + 4x – 21 = 0 c) – x2 – 3x – 2 = 0 5.- Formar una ecuación de segundo grado en cada uno de los casos siguientes:

a) 2

1,

2

121 xx b) S = 3, P = – 40 c) x1 = 2x2, S = 6

6.- Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo grado, la ecuación se puede escribir en forma de producto de factores de la siguiente forma: (x – x1) · (x – x2) = 0. Utilizando la información anterior, escribir en forma de producto el primer miembro de cada una de las siguientes ecuaciones: a) x2 – 5x + 4 = 0 b) 3x2 + 2x – 8 = 0 c) – x2 – x + 6 = 0 7.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 21)5(2)2()2( xxx

b) 23

9

x

x

c) x

xxx 1

26

11

d) 24

3

1

23

x

x

x

a

acbbx

2

42

Recuerda



1.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 6

1232

3

22

xx

x b)

12

71

4

1

3

2 22

xxx c) 3x(x – 4) – x(x – 1) = 15

2.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas sin usar la fórmula general: a) x2 – 16 = 0 b) 3x + 4x2 = 0 c) (x + 1)2 – (x – 2)2 = 2x2 + 5 d) x2 + 16 = 0 3.- Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas: a) x4 – 5x2 – 36 = 0 b) x4 + 4 = 5x2 c) x4 + x2 – 2 = 2 – 2x2 d) 8x2 – x4 = 0 4.- Resolver las siguientes ecuaciones irracionales:

a) 365 x b) 032 xx c) xxx 121 d) 031 xx

5.- Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones de grado mayor que dos (utilizar el método de Ruffini cuando proceda): a) x3 + 2x2 – x – 2 = 0 b) 2x3 + x2 – 8x – 4 = 0 c) x3 – 2x2 – 3x = 0 6.- Hallar las dimensiones del rectángulo de 104 cm2 de área y cuya base es 5 cm más larga que su altura. 7.- Disponemos de fotos para pegar en las hojas de un álbum. Si pego 4 fotos en cada hoja, me sobran 2 hojas y si pego 3 fotos en cada hoja, me sobran 10 fotos. ¿Cuántas fotos tenemos y cuántas hojas tiene el álbum? 8.- Resolver analítica y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

32

42

yx

yx b)

3935

442

yx

yx c)

3

73

y

yx d)

2

73

x

xy

9.- Resolver analítica y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

0

532 yx

xy b)

3

12

2

yx

yx c)

yx

y

x

2

3

5

2

d)

123

1

yx

xy

10.- En un centro hay dos equipos de fútbol A y B. Si del equipo A pasan tres personas al B en ambos queda el mismo número. En cambio, si del B pasan 7 al A queda en éste un número que es el cuadrado de los de aquél. ¿Cuántos deportistas hay en cada equipo? 11.- Resolver analítica y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

1

532 yx

xy b)

04

02

2

xy

xy c)

2

22

y

xy d)

05

02

yx

xy



INECUACIONES

1.- Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado con una incógnita: a) 2 (3 – x) < 7 – 5 (x – 1) d) 5 – 2x < 3x + 30

b) 5

2

62

xxx e) 1 + 3(2 – x) > 14 – 2(x + 5)

c) 12

1

3

2

43

12

xxx f)

3

3

24

32

xxx

2.- Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita:

a)

4

271

5432x

x

xx b)

59

4

2

853xx

xx

c)

1732

10215

xx

xx

3.- Resolver las inecuaciones de segundo grado con una incógnita que se indican:

a) x2 – 6x + 8 ≥ 0 b) x2 + x – 6 > 0 c) x2 – x – 2 ≤ 0 d) x2 + 16 < 0 e) x2 – 16 > 0 f) x2 – 16 < 0

4.- Un vendedor de ropa recibe una cantidad fija al mes de 740 euros, además de un 3% de las ventas que realice. ¿Qué cantidad debe vender para tener un sueldo mensual superior a 1.350 euros? 5.- Un vendedor recibe una cantidad fija al mes de 600 euros, además de un 5% de las ventas que realice. ¿Qué cantidad debe vender para tener un sueldo mensual comprendido entre 1.200 y 1.500 euros? 6.- Resolver las inecuaciones racionales:

a) 01

62

x

x b) 0

4

3

x c) 0

)5(2

5

x

x d)

3

2

5

12

x

x

7.- Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas (la solución es un semiplano):

a) 3x – 2y > 5 b) 4x + 3y ≤ – 2 c) 2x + y > 2 d) x – y > 0 8.- Resolver los sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas siguientes (la solución es una región del plano limitada por rectas):

a)

3

12

yx

yx b)

3

22

x

yx c)

01

0

0

yx

y

yx

d)

632

2

3

22

yx

yx

yx

yx

e)

2

3

y

yx

9.- En dos empresas, A y B, hay un puesto de comercial vacante. En la empresa A pagan de salario 300 € fijos mas 75 € por cada venta, en la empresa B se cobra 125 € por cada venta, sin fijo. ¿A partir de cuántas ventas se cobra más en la empresa B que en la A?



Orígenes de la estadística Los datos más antiguos que se conocen hacen referencia a los censos chinos ordenados por el emperador Tao hacia el año 2200 a.C. También se realizaron censos en Roma, hacia el año 555 a.C., con el objeto de conocer la población existente en el momento. Hasta el siglo XVIII, muchos Estados organizaron estudios sobre distintas características de sus poblaciones con el objeto de deducir la influencia de ellas

sobre determinados hechos (por ejemplo, analizar la influencia que tienen la edad, el sexo, la profesión o la situación económica sobre la mortalidad). A partir del siglo XIX la estadística deductiva pasa a ser estadística inductiva, que es la que mayor influencia tiene en todos los campos del saber actualmente, para establecer las leyes o principios de comportamiento relacionados con los hechos o fenómenos que se estudian.

Se llama población al conjunto de todos los elementos que cumplen una determinada característica. Los elementos de la población se llaman individuos.

Se llama muestra a cualquier subconjunto de la población. El número de elementos de una muestra se denomina tamaño.

Carácter estadístico es una propiedad que permite clasificar a los individuos de la población. Se distinguen dos tipos:

Carácter estadístico cuantitativo, que es el que se puede medir (por ejemplo: la talla de un individuo, el diámetro de un tornillo, la renta per cápita de las comunidades autónomas).

Carácter estadístico cualitativo que es el que no se puede medir (por ejemplo: la profesión de una persona, el color de los ojos, el estado civil). Se llama modalidades de un carácter estadístico cualitativo a cada una de las diferencias dentro de un mismo carácter (ojos de color verde, negro, azul, etc.)

Variable estadística: es el conjunto de todos los valores que puede tomar un carácter estadístico

cuantitativo. Si sólo se refiere a una característica se llama variable estadística unidimensional. Las variables estadísticas pueden ser discretas o continuas.

Variable estadística discreta es la que puede tomar un número finito de valores o infinito numerable (por ejemplo: el número de hijos, el número de empleados de una fábrica, el número de acciones vendidas en la Bolsa).

Variable estadística continua es la que puede tomar todos los valores posibles dentro de un

cierto intervalo de la recta real (por ejemplo: la presión sanguínea, el diámetro de las ruedas de coches, la medida del cráneo de los recién nacidos).

Medidas de centralización: son los valores que tienden a situarse hacia el centro del conjunto de

datos ordenados. Las más importantes son la media aritmética, la moda y la mediana (ésta es un parámetro de posición)

La media aritmética ( x ) es la suma de todos los valores de la variable dividida por el número total de valores.

La moda (Mo) es el valor que tiene mayor frecuencia. La mediana (M) es el valor es un valor tal que el número de valore menores que él es igual al

número de valores mayores que él.



Medidas de dispersión: indican si los valores de la variable estadística se encuentran agrupados o

no alrededor de los valores centrales. Las más importantes son: el rango, la varianza y la desviación típica.

El rango o recorrido de una distribución es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable.

La varianza (s2) es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. La desviación típica (s) es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Medidas de posición: Además de la mediana, que es el valor que se encuentra en el centro de la

distribución, también se utilizan otras medidas que indican la situación de algunos valores con respecto al resto de valores de la distribución estadística. Los más usuales son los cuartiles y los percentiles.

El cuartil inferior (primer cuartil) es un valor tal que la cuarta parte de los valores de la distribución son menores que él.

El cuartil superior (tercer cuartil) es un valor tal que la cuarta parte de los valores de la distribución son mayores que él.

La diferencia entre el cuartil superior y el cuartil inferior se denomina recorrido intercuartílico y nos

indica si los valores están más o menos agrupados en el centro de la distribución (cuanto mayor es el recorrido intercuartílico más dispersos están los valores).

El percentil de un valor determinado nos indica qué porcentaje de valores de la distribución son menores que él.

RECUERDA: Para facilitar el cálculo de las medidas de centralización, de dispersión y de posición nos servimos de las tablas de frecuencias absolutas y acumuladas, correspondientes a los valores ordenados de la distribución.

Representación gráfica de una distribución estadística: las más

usuales son los diagramas de barras, los histogramas, los diagramas de sectores y los diagramas lineales: polígono de frecuencias absolutas y polígono de frecuencias acumuladas.

RECUERDA: En distribuciones de caracteres estadísticos cualitativos sólo se puede calcular la moda, ya que las modalidades no se pueden ordenar, ni se puede operar con ellas.



1.- Preguntados 60 alumnos por el número de miembros de su familia, las respuestas han sido: 3, 5, 6, 2, 4, 5, 6, 6, 4, 3, 7, 7, 4, 4, 4, 3, 8, 5, 6, 3, 5, 4, 4, 5, 6, 6, 4, 7, 3, 2, 8, 4, 5, 6, 3, 6, 5, 7, 3, 4, 6, 4, 3, 7, 4, 2, 5, 4, 8, 6, 5, 7, 4, 4, 3, 6, 5, 7, 8, 4.

a) Construir una tabla con los datos anteriores ordenados en la que figure el recuento, las frecuencias absolutas, las frecuencias acumuladas, las frecuencias relativas y el porcentaje.

b) Representar gráficamente la distribución mediante un diagrama de barras. 2.- A los 100 empleados de una empresa de piezas de precisión, se les ha realizado una prueba de habilidad manual. En una escala de 0 a 100 se han obtenido las siguientes puntuaciones:

27, 66, 32, 55, 46, 37, 75, 81, 18, 33, 47, 74, 37, 52, 47, 66, 80, 87, 37, 29, 46, 15, 29, 90, 76, 67, 23, 35, 94, 23, 25, 56, 73, 78, 17, 28, 76, 58, 45, 36, 55, 60, 17, 56, 23, 82, 64, 50, 51, 45, 37, 65, 62, 26, 69, 36, 54, 42, 40, 54, 27, 62, 28, 65, 46, 92, 36, 33, 23, 66, 18, 82, 47, 49, 59, 45, 73, 43, 47, 83, 78, 65, 39, 36, 53, 91, 38, 35, 68, 78, 91, 23, 34, 43, 55, 56, 74, 56, 62, 38.

a) Confeccionar una tabla agrupando estos datos en intervalos, que incluya frecuencias y porcentajes.

b) Representar los datos mediante un histograma. 3.- Una determinada especie de mamíferos tiene en cada parto un número variable de hijos. Se observa que las camadas de 35 familias durante un año han sido las que se recogen en la siguiente tabla. Realizar la tabla de frecuencias y porcentajes.

Nº de hijos 0 1 2 3 4 5 6 7

Nº de familias 2 3 10 10 5 0 5 0

4.- El número de trabajadores en las 60 empresas de una determinada localidad es el siguiente:

13, 50, 46, 22, 54, 5, 61, 26, 43, 34, 75, 79, 234, 434, 45, 36, 84, 75, 56, 53, 5, 64, 74, 25, 62, 6, 49, 75, 34, 2, 83, 42, 53, 67, 63, 96, 15, 7, 33, 45, 16, 54, 3, 47, 4, 22, 50, 42, 18, 46, 95, 27, 4, 45, 32, 86, 58, 72, 38, 4.

Realizar una tabla de datos agrupados con las frecuencias absolutas, acumuladas y relativas correspondientes. 5.- Las dianas logradas en un campeonato por 25 tiradores fueron:

8, 10, 12, 12, 10, 10, 11, 11, 10, 13, 9, 11, 10, 9, 9, 11, 12, 9, 10, 9, 10, 9, 10, 8, 10. Resumir los datos anteriores en una tabla de frecuencias absolutas y relativas y representarlos en un diagrama de barras.



6.- Completar los datos que faltan en la tabla estadística adjunta:

xi fi Fi hi

1 4 0’08

2 4

3 16 0’16

4 7 0’14

5 5 28

6 38

7 7 45

8

7.- Los gastos anuales de cierta familia en los apartados de vivienda, alimentación y transportes están en proporción 9/6/5.

a) Dibujar un gráfico de sectores que refleje la importancia de cada apartado en el total de gastos de los tres conceptos anteriores.

b) En el último año, los precios de los apartados anteriores subieron un 20%, un 55% y un 6%, respectivamente. ¿Cuál ha sido para esta familia el porcentaje de aumento anual de gastos en los tres apartados anteriores?

8.- Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de un cierto colegio. La información obtenida aparece resumida en la siguiente tabla:

Nº de caries Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

0 25 0’25

1 20 0’2

2 x z

3 15 0’15

4 y 0’05

a) Completar la tabla, obteniendo los valores x, y, z. b) Representar los datos en un diagrama de sectores.

9.- Los pesos en kg de 20 alumnos de cierto centro de enseñanza son:

51, 47, 55, 53, 49, 47, 48, 50, 43, 60, 45, 54, 62, 57, 46, 49, 52, 42, 38, 61. Agrupar los datos en clases, siendo el extremo inferior del primer intervalo 37’5. Dibujar el correspondiente histograma. 10.- Se ha controlado el peso de 50 recién nacidos, obteniéndose los siguientes datos:

Peso [2’5, 2’8) [2’8, 3’1) [3’1, 3’4) [3’4, 3’7) [3’7, 4’0) [4’0, 4’3) [4’3, 4’6)

Nº de niños 2 2 4 10 16 10 6

a) Representar gráficamente estos datos, eligiendo el sistema más adecuado. b) Dibujar el polígono de frecuencias acumuladas.

11.- En una población de 25 familias se ha observado la variable “número de coches” que tiene la familia y se han obtenido los siguientes datos:

0, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 1, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1. a) Elaborar la tabla de frecuencias de la distribución. b) Dibujar el diagrama de barras correspondiente y explicar si es simétrica la distribución.



12.- La siguiente tabla muestra la superficie de los océanos en millones de km2. Representar los datos en un diagrama de sectores.

Océanos Superficie

Pacífico Atlántico Índico Antártico Ártico

180 106 75 20 13

13.- Las calificaciones en un examen de Matemáticas de dos grupos, A y B, de 22 alumnos cada uno son las siguientes:

Grupo A: 7, 5, 9, 2, 2, 2, 2, 4, 3, 5, 8, 8, 9, 9, 2, 3, 5, 3, 2, 2, 7, 9. Grupo B: 7, 4, 5, 4, 4, 5, 6, 7, 6, 9, 8, 4, 1, 4, 3, 2, 5, 6, 6, 9, 1, 2.

a) Calcular la media y la desviación típica de ambas distribuciones de datos. b) ¿En cuál de las dos distribuciones es más representativa la media? ¿De qué depende?

14.- Para comprobar la resistencia de unas varillas de nailon, se someten 250 varillas a un test de resistencia. El test consiste en comprobar si se rompen o no cuando se aplica una fuerza sobre 5 puntos diferentes de la varilla. El número de roturas sufridas por cada varilla aparece en la tabla adjunta.

Nº roturas 0 1 2 3 4 5

Nº varillas 141 62 31 14 1 1

a) Calcular el número medio de roturas de varillas. b) Averiguar el porcentaje de varillas que sufren más de 2 roturas. c) Calcular la moda, la mediana, la desviación media y la varianza de la distribución.

15.- Se ha pasado un test de 79 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla:

Intervalo 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 - 80

fi 40 60 75 90 105 85 80 65

a) Calcular la media y la desviación típica de respuestas correctas. b) Calcular la mediana y el primer cuartil. Explicar qué significan estos parámetros.

16.- El consumo de carburante (en litros) de una flota de 90 camiones a lo largo de un día está tabulado en la siguiente tabla de frecuencias:

Consumo 0 –10 10 – 20 20 –30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 - 70

Camiones 8 12 10 14 21 16 9

Calcular los parámetros de centralización y los de dispersión de esta distribución. 17.- Las edades de una población de 20.000 habitantes vienen reflejadas en la siguiente tabla:

Edad [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50)

Habitantes (en miles) 1 4 a 5 8

Completar la tabla. Calcular los parámetros de centralización y de dispersión. Dibujar el polígono de frecuencias acumuladas y señalar el primer cuartil, la mediana y el tercer cuartil. Calcular el rango intercuartílico.



1.- La calificación media que han obtenido los alumnos de Ingeniería Técnica Agrícola de cierta Universidad en la asignatura de Estadística, durante los 4 últimos cursos, han sido: 5’8, 6’3, 6’7 y 7’2, respectivamente. En el primero de estos cursos se examinaron 180 alumnos, en el segundo 200, en el tercero 275 y en el cuarto 220. ¿Cuál es la calificación media de estos cursos en dicha asignatura? 2.- Dada la distribución de frecuencias absolutas acumuladas siguiente, calcular:

a) Media y desviación típica. b) ¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales? c) ¿Qué edad tiene percentil 80?

Edad (años) [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10)

fi 4 11 24 34 40

3.- La suma de unos datos es 25 unidades y la de sus cuadrados es de 250 unidades cuadradas. Si la media y la desviación típica coinciden, calcular: a) La media de los datos b) La varianza de los datos (Suponer que los datos no están agrupados) 4.- La calificación media de los alumnos de una clase es 6’2.

a) ¿Se puede decir que hay tantas notas inferiores a 6’2 como superiores a 6’2? b) ¿Y si en lugar de la media, fuera la calificación mediana?

5.- Al estudiar la distribución de la edad en una población, se obtienen los resultados siguientes:

Edad (años) [0, 20) [20, 40) [40, 60) [60, 80)

Num. de individuos 15 ? 15 16

Como se ve, se ha extraviado el dato correspondiente al intervalo [20, 40). a) ¿Cuál será el valor de ese dato si la edad media fuera de 35 años? b) ¿Cuál será el valor de ese dato si la edad mediana fuera de 35 años? c) ¿Cuál será la desviación típica si el dato fuera 16?

6.- Se sabe que la media aritmética de cinco números es 10 y que 4 de ellos son: 10, 13, 7 y 8. ¿Cuál es el otro? 7.- ¿Verdadero o falso?

a) La media aritmética de dos números es 8. Otros tres tienen de media 12. Ernesto dice: “Por tanto, la media de los cinco números es 10” ¿Tiene razón?

b) Diez números tienen de media aritmética 8 y otros veinte tienen media 12. Renata dice: “La

media de todos es 3

12·28 ”. ¿Tiene razón?

8.- Crispín ha realizado cuatro pruebas de matemáticas y tiene una clasificación media de 5. Debe realizar una prueba más y le gustaría que su media fuera de 5’5 o más. ¿Qué calificación, al menos debe obtener en la quinta prueba? 9.- Hallar la media aritmética de los valores de y que se obtienen al dar a x los valores: 1, 2, 3, 4, 5 en la función y = 3x. ¿Podría encontrar el valor de la media de y sin calcular sus valores? 10.- Hallar la media aritmética de los valores de y que se obtienen al dar a x los siguientes valores: 1, 2, 3, 4, 5 en la función y = 3x + 1. ¿Podría encontrar el valor de la media de y sin calcular sus valores?



1.- Al tirar un dado 25 veces se han obtenido los siguientes resultados: 1, 3, 4, 6, 1, 5, 3, 5, 6, 2, 4, 1, 3, 4, 6, 4, 2, 4, 5, 1, 3, 1, 2, 4, 4.

Calcular la media, la moda y la mediana de los valores obtenidos. 2.- Un jugador ha obtenido las ganancias que se muestran en la tabla:

G -3 -2 -1 0 1 2 3

N 4 3 5 4 2 3 1

G representa las ganancias (cuando son negativas son las pérdidas) y N es el número de veces que se ha producido esa ganancia. Calcular la moda y la mediana. 3.- A un grupo de alumnos se les ha pasado un test sobre habilidad mental, obteniéndose las siguientes puntuaciones: 50, 23, 45, 36, 56, 34, 56, 67, 45, 34, 23, 45, 23, 67, 54, 21, 34, 43, 12, 78, 36, 49, 53, 27, 66, 31, 45, 22, 33, 44, 48, 53, 57, 77, 31, 23, 47, 52, 33, 37, 64, 21. Calcular la moda, la media y la mediana de las puntuaciones. Representar gráficamente la distribución. 4.- Se ha realizado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla:

Puntuación [38, 44) [44, 50) [50, 56) [56, 62) [62, 68) [68, 74) [74, 80)

Nº de trabajadores 7 8 15 25 18 9 6

a) Construir el histograma correspondiente. b) Dibujar el polígono de frecuencias acumuladas. c) Calcular el primer cuartil, la mediana y el tercer cuartil.

5.- La duración, en segundos, de 45 conversaciones telefónicas realizadas desde una cabina es: 102, 70, 86, 145, 320, 284, 75, 148, 460, 108, 206, 326, 190, 175, 90, 206, 372, 104, 402, 160, 291, 135, 350, 170, 400, 262, 328, 98, 146, 182, 358, 210, 130, 80, 230, 120, 320, 260, 145, 200, 86, 269, 174, 100, 324.

a) Confeccionar una tabla de frecuencias agrupando los datos en seis intervalos. b) Determinar el intervalo modal y la moda. c) Hallar la media y la mediana. d) ¿Por debajo de qué duración está el 75% de las conversaciones?

6.- Las calificaciones en un examen de Matemáticas han sido: 7, 5, 2, 8, 3, 5, 6, 7, 5, 7, 9, 10, 6, 5, 2, 5, 4, 5, 2, 4, 6, 5, 4, 3, 5, 5, 5, 7, 8, 1, 6, 2, 5, 7, 4, 8.

a) Confeccionar una tabla de frecuencias absolutas, acumuladas, relativas y el porcentaje correspondiente a cada calificación.

b) Representar los datos en un diagrama de barras y dibujar el polígono de frecuencias. c) Encontrar la media por cálculo y luego gráficamente d) Determinar C3, P40 y P80.

7.- Con los datos del ejercicio anterior, se pide:

a) Construir una tabla de frecuencias agrupando las calificaciones de dos en dos puntos. b) Dibujar el histograma correspondiente. c) Calcular la clase modal, la media y la mediana de la distribución. d) Comparar los resultados con los obtenidos en el ejercicio anterior y analizar cuáles son más

exactos.



MEDIDAS DE POSICIÓN PARA DATOS AGRUPADOS

Métodos de cálculo

Moda: cdd

dLMo ·

21

1

L = límite inferior del intervalo modal d1 = frecuencia del intervalo modal – frecuencia del intervalo anterior d2 = frecuencia del intervalo modal – frecuencia del intervalo siguiente c = amplitud del intervalo

Mediana: cf

FN

LMem

·2

L = límite inferior del intervalo mediano N = número de observaciones F = frecuencia acumulada del intervalo anterior fm = frecuencia absoluta del intervalo mediano c = amplitud del intervalo

Cuartiles: cf

FN

LQ ·4·3

33

(para Q1 se sustituye 3 por 1)

L = límite inferior del intervalo donde se encuentra el cuartil N = número de observaciones F = frecuencia acumulada del intervalo anterior f3 = frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra el cuartil c = amplitud del intervalo

Percentil 60 (por ejemplo): cf

FN

LP ·100·60

6060

L = límite inferior del intervalo donde se encuentra el percentil N = número de observaciones F = frecuencia acumulada del intervalo anterior f60 = frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra el percentil c = amplitud del intervalo



AUTOEVALUACIÓN 1ª PARTE DEL CURSO 1. Realiza las siguientes operaciones simplificando los resultados si es posible:

33333 135625·812435) a 6

4

125 · 5)

25b

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

4 29 8 0)a x x 4 3 2) 6 12 8 0b x x x x

3. Resuelve:

8 1 2 4

)4 5 4

x xa

x x

2 4 1) 1

7 2 4

x x xb

4. Esta tabla muestra el número de infracciones urbanísticas denunciadas durante los últimos años.

Año 2008 2009 2010 2011

Nº de infracciones 60 72 103 92

a) ¿Cuál fue el porcentaje de aumento entre 2008 y 2009? b) ¿En qué porcentaje disminuyó el número de denuncias entre 2010 y 2011? c) ¿Cuántas denuncias hubo en 2012 si las denuncias respecto a 2011 aumentaron un 13%?

5. Dos kilos de albaricoques tres kilos de fresas cuestan 13 €. Tres kilos de de albaricoques y dos kilos

de fresas cuestan 12 €. ¿Cuál es el precio del kilo de albaricoques? ¿Y el de fresas? 6. Halla los posibles valores del precio de un litro de vino, sabiendo que el triple más 14 es menor que

200, y que el doble del mismo más 6 es mayor que 100. 7. Una asociación de consumidores ha realizado una prueba sobre la duración, en días, de unas

bombillas. Ha mantenido encendidas 100 bombillas hasta que se han fundido. El resumen de los resultados obtenidos se muestra en la siguiente tabla:

Días [36,42) [42,48) [48,54) [54,60) [60,66)

Frecuencias absolutas 12 28 44 11 5

a) Completa la tabla de frecuencias. b) Representa los datos mediante un histograma. c) Calcula la media, la moda y la mediana. d) Halla la varianza y la desviación típica. e) El fabricante asegura en su publicidad que sus bombillas duran más de 1000 horas. ¿Qué

porcentaje de las bombillas no cumple lo anunciado?



1.- En una muestra de 64 familias se ha estudiado el número de miembros en edad laboral (X) y el número de ellos que están en activo (Y). Los resultados son los de la tabla de doble entrada:

X/Y 1 2 3

1 6 0 0

2 10 2 0

3 12 5 1

4 16 8 4

a) Hacer un diagrama de dispersión de los datos. ¿Existe relación entre las variables? b) Calcular el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. c) En una familia con 5 miembros en edad laboral, ¿cuántos de ellos se espera que estén en activo?

2.- Calcula el coeficiente de correlación entre las variables X, Y de la tabla, siendo X “Gastos de publicidad de un producto (en miles de €)”, Y “Ventas conseguidas (en miles de €)”

X 1 2 3 4 5 6

Y 10 17 30 28 39 47

a) Hallar las dos rectas de regresión y representarlas gráficamente ¿Qué se observa?

b) Estimar las ventas que originarán un gasto en publicidad de 5.500 €, es decir, )5'5(Y .

c) Estimar qué gastos de publicidad se han de realizar para conseguir unas ventas de 15.000 €, es

decir, )15(X

3.- Representar los pares de valores (X, Y) de la siguiente tabla mediante un diagrama de puntos y, sin efectuar cálculos, contestar las siguientes preguntas:

X 1 2 3 4 5 6

Y 10 8 6 4 2 0

a) ¿Se trata de una relación funcional o de una relación estadística? b) ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación? c) ¿Cómo son las dos rectas de regresión? Escribir sus ecuaciones. d) A la vista de la respuesta anterior, escribir el valor de las pendientes de las rectas de regresión. e) Representar las rectas de regresión.

4.- A la vista de las cuatro nubes de puntos siguientes, indicar cómo es la correlación entre ambas variables en cada caso: fuerte, débil o nula, y si tienen signo positivo o negativo.

Y Y ● Y ● Y ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● X X X X

A B C D Explicar qué coeficiente de correlación de los siguientes asignaría a cada nube de puntos: r = -0’72, r = 0’03, r = 1, r = 0’68, r = -1’23, r = -0’03.



5.- Los miembros de una familia están jugando a los dados; cada uno, en su primera tirada, ha obtenido los puntos que aparecen anotados en la tabla.

a) Dibujar una nube de puntos para representar estos datos, poniendo en el eje horizontal las edades de las personas y en el eje vertical la puntuación obtenida en su primera tirada.

b) Expresar verbalmente la relación existente entre las dos variables. c) Comprobar las conclusiones obtenidas en el apartado anterior

calculando el coeficiente de correlación entre las dos variables. 6.- Los parámetros correspondientes a la siguiente distribución son:

X 0 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9

Y 1 4 6 2 4 8 6 5 3 6 9

57'0,31'2,77'2,67'3,9'4,4'4 rsssyx yxxy

Hallar las ecuaciones de las dos rectas de regresión y representarlas junto con la nube de puntos. 7.- La tabla adjunta muestra la nota de un examen de Matemáticas (Y) de 9 estudiantes, las horas dedicadas a su preparación, las horas que vieron TV los días previos al examen y el peso de cada uno en kilogramos.

Nota 3 4 5 6 6 7 8 8 9

Horas de estudio 3 5 7 12 5 7 12 15 14

Horas de TV 18 12 14 10 6 8 5 8 4

Peso 60 54 70 68 59 72 65 72 64

a) Estudiar gráficamente la correlación entre la nota y cada una de las otras tres variables. b) Sólo en caso de que exista correlación, hallar la recta de regresión de Y sobre X.

8.- La estadística de ingresos en determinadas empresas, en millones de euros, y de miles de empleados, es la siguiente:

Ingresos 5’7 3’8 1’9 1 1

Empleados 16 29 17 6 9

a) Representar el diagrama de dispersión de los datos (o nube de puntos). b) Estudiar la correlación existente entre ambas variables. c) Determinar la recta de regresión de ingresos sobre empleados. d) ¿Se puede hacer una predicción fiable de los ingresos correspondientes a 15 mil empleados?

9.- Se han pasado dos pruebas a un grupo de 10 alumnos y alumnas de 4º ESO. Una de ellas corresponde a Física y la otra no sabe el tutor del grupo si era de Matemáticas o de Idioma. A la vista de la relación entre las variables indica a qué asignatura crees que corresponde la segunda prueba.

Alumno/a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1ª Prueba 14 12 15 12 13 12 17 7 9 14

2ª Prueba 14 13 17 15 16 12 12 10 14 20

Edad (años)

Puntuación

Pedro 7 2

Ana 10 3

Rodrigo 16 4

María 22 1

Julia 31 6

Juan 37 6

Ángel 45 6

Mercedes 55 2

Manuel 62 2

Antonio 70 1



En los problemas que siguen a continuación, se pide:

a) Diagrama de dispersión. b) Coeficiente de correlación lineal y su interpretación. c) Explicar qué tipo de dependencia existe entre las variables. d) En los casos en los que las variables estén fuertemente correladas, calcular las ecuaciones de las

rectas de regresión. e) Realizar las estimaciones que se indiquen en cada caso.

10.- Los gastos de publicidad de una empresa y sus correspondientes ventas, ambos en miles de euros, son los registrados en la tabla:

PUBLICIDAD 1 2 3 4 5 6 7 8

VENTAS 15 16 14 17 20 18 18 19

11.- Determinada la pérdida de actividad de un preparado hormonal en el curso del tiempo, se obtiene el resultado registrado en la tabla:

TIEMPO (meses) 1 2 3 4 5

% actividad restante 15 16 14 17 20

a) ¿Qué tanto por ciento de actividad restante se estima que quedará a los seis meses? b) ¿Cuánto tiempo habrá de transcurrir para que quede el 50% de actividad restante?

12.- El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un cierto número de horas, viene expresado en la siguiente tabla:

TIEMPO (horas) 0 1 2 3 4 5

Nº de bacterias por u.v. 12 19 23 34 56 62

¿Qué número de bacterias cabe esperar que habrá, transcurridas 6 horas y 30 minutos? 13.- La siguiente tabla de doble entrada corresponde al estudio del peso y estatura de un grupo de 30 personas. La variable X es la estatura y está medida en m, la variable Y es el peso y está en kg:

X (m) / Y (kg) [70, 80) [80, 90) [90, 100) Totales (X)

[1’65, 1’70) 5 - - 5

[1’70, 1’75) 7 5 - 12

[1’75, 1’80) - 4 4 8

[1’80, 1’85) - 2 3 5

Totales (Y) 12 11 7 30

14.- La distribución de edades y presión arterial de 10 personas es:

EDAD (X) 30 28 35 42 51 42 63 32 70 67

TENSIÓN (Y) 11’5 11’3 12’5 13’5 14’6 13 16’6 12 16’9 17

15.- Se toman al azar 10 monedas de 5 pesetas que tienen distinta antigüedad (medida en años). Se pesan y se construye la siguiente tabla:

ANTIGÜEDAD 16 17 19 21 23 25 28 31 33 35

PESO 9’41 9’50 9’33 9’34 9’31 9’26 9’22 9’30 9’15 9’08

a) ¿Qué antigüedad debe tener una moneda que pese 9’2 g? b) ¿Cuánto pesará una moneda cuya antigüedad sea de 45 años?



16.- En un examen oral, cada candidato es interrogado sobre sus conocimientos de dos lenguas extranjeras. Cada examen es puntuado entre 0 y 20 puntos. En la primera lengua obtiene una nota X, en la segundo una nota Y.

X / Y [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) TOTALES (X)

[0, 4) 2 5 2 - 9

[4, 8) 1 12 10 3 26

[8, 12) - 3 28 12 43

[12, 16) - 1 5 10 16

[16, 20) - - - 1 1

TOTALES (Y) 3 21 45 26 95

17.- Los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla adjunta:

X / Y 0 2 4

1 2 1 3

2 1 4 2

3 2 5 0

18.- Las calificaciones de 40 alumnos en Psicología Evolutiva y en Estadística han sido:

X Psicología 3 4 5 6 6 7 7 8 10

Y Estadística 2 5 5 6 7 6 7 9 10

Nº de alumnos 4 6 12 4 5 4 2 1 2

a) Si un alumno ha sacado un 9 en Psicología, ¿qué nota se espera que saque en Estadística? b) Si ha sacado un 3 en Estadística, ¿qué nota sacará en Psicología? ¿Es fiable la predicción?

19.- En una distribución bidimensional, la recta de regresión de Y sobre X es yy , ¿cuál es la recta de

regresión de X sobre Y? ¿Existe dependencia lineal entre X e Y? Razonar las respuestas. 20.- Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre el número de conciertos dados, durante el verano, por 15 grupos musicales y las ventas de discos de estos grupos (expresados en miles de CD):

CDs (X) / Conciertos (Y) [10, 30) [30, 50) [50, 70)

[1, 5) 3 0 0

[5, 10) 1 4 1

[10, 20) 0 1 5



RESUMEN: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Es frecuente realizar el estudio conjunto de dos variables estadísticas para determinar si existe alguna relación entre ellas, de forma que se pueda predecir los valores de una a partir de la otra.

PARÁMETRO VARIABLE X VARIABLE Y

Media de cada variable

i

ii

f

xfx

i

ii

f

yfy

Varianza de cada variable 2

22 x

f

xfs

i

iix

2

22 y

f

yfs

i

iiy

Covarianza (varianza conjunta)

Es la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada variable

respecto a su media.

yxf

yxfs

i

iiixy

Coeficiente de correlación lineal

Se llama correlación a la dependencia que existe entre las dos variables.

yx

xy

ss

sr

·

-1 r +1

r = -1 dependencia funcional negativa

-1 < r < 0 dependencia aleatoria negativa

r = 0 independencia aleatoria

0 < r < +1 dependencia aleatoria positiva

r = +1 dependencia funcional positiva

Recta de regresión de y sobre x

xxs

syy

x

xy

2

La recta de regresión es una recta que ajusta lo más posible los puntos de la nube de puntos.

El punto yx , es el centro de gravedad de la

distribución bidimensional.

Recta de regresión de x sobre y

yys

sxx

y

xy

2

OBSERVACIONES

1ª Cuanto más estrecha sea la nube de puntos más se acerca r a 1

2ª A medida que r tiende a 1, las dos rectas de regresión tienden a confundirse

3.ª Si sxy = 0 r = 0

xx

yy

Las rectas de regresión son perpendiculares.



Distribuciones de probabilidad.

Variable discreta

1. Experimentos aleatorios: azar y probabilidad.

Consideramos los siguientes sucesos:

Extraer una carta de una baraja española.

Lanzar una moneda al aire y anotar el resultado de la cara que aparece.

Arrojar una piedra al vacío y medir su aceleración.

Medir la longitud de una circunferencia de radio 5 m.

Quitar el freno de mano de un coche, en una cuesta abajo muy pronunciada. De estos experimentos hay algunos cuyos resultados podemos predecir de antemano y otros no.

A estos experimentos que se caracterizan por porque al repetirlos bajo análoga condiciones se obtiene siempre el mismo resultado, los llamaremos experimentos deterministas. Por el contrario, llamaremos experimentos aleatorios a los que se caracterizan porque al repetirlos en análogas condiciones jamás se puede predecir el resultado que se va a obtener. El azar es la incertidumbre inherente al resultado de un experimento aleatorio; su medida y concreción en términos numéricos es lo que se conoce como Probabilidad.

2. El lenguaje de la probabilidad: Espacio muestral,

sucesos aleatorios, tipos de sucesos.

Llamaremos espacio muestral de un experimento aleatorio al conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Lo designaremos por E.

A cada uno de los elementos que forman el espacio muestral se llama suceso elemental (o punto muestral). Los sucesos elementales no se pueden descomponer en otros más simples.

Ejemplo 1: Lanzamiento de una moneda. E = {C ,X}, Sucesos elementales: Cara ( C) y Cruz (X)

Ejemplo 2: Lanzamiento de un dado. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Sucesos elementales: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Ejemplo 3: Lanzamientos de dos monedas. E = {CC, CX, XC, XX} Sucesos elementales: CC, CX, XC y XX.

Ejemplo 4: Lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los números que aparecen en las caras superiores. E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Sucesos elementales: 2, 3, ..., 11 y 12.

Se llama suceso aleatorio de un experimento a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Algunos subconjuntos de E son, por ejemplo: Salir par: {2, 4, 6}, Salir impar: {1, 3, 5} Salir múltiplos de 3: {3, 6}. A todos estos subconjuntos se les llama sucesos.

El conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se denomina espacio de sucesos y se designa por S.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado de quinielas {1, X, 2} y anotar el símbolo de la cara superior. Hallar el espacio muestral y el espacio de sucesos. E={1, X, 2} tres elementos. S =

{ , {1}, {X}, {2}, {1, X}, {1, 2}, {X, 2}, {1, X, 2}} 8 elementos.



Consideremos nuevamente el experimento consistente en lanzar un dado y anotar la cara superior: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sea A el suceso salir impar, es decir, {1, 3, 5}. Pues bien, decimos que se verifica el suceso A si al efectuar el experimento obtenemos como resultado 1 ó 3 ó 5. Por el contrario si obtenemos 2, 4 ó 6 diremos que el suceso A no se verifica.

De una manera general, diremos que un suceso A se verifica, se realiza o se presenta, si al efectuar una prueba del experimento aleatorio obtenemos uno de los sucesos elementales que componen el suceso A. como resultado

Se llama suceso seguro al que siempre se realiza. Es evidente que estamos hablando del propio

espacio muestral E que es el suceso formado por todos los resultados posibles del experimento.

Se llama suceso imposible, y lo designaremos por , a un suceso que no se realiza nunca.

Consideramos nuevamente el espacio muestral asociado al lanzamiento del dado, E={1, 2, 3, 4,

5, 6} y los sucesos A = “Salir número par” = {2, 4, 6}, A = “Salir número impar” = {1, 3, 5}

Los sucesos A y A son contrarios, ya que si se realiza A no se realiza A , y se realiza A no se realiza A.

Dado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos S, llamaremos suceso contrario del suceso A a un suceso que se realiza cuando no se realiza A, y recíprocamente. El suceso contrario de A se

representa por A , A’ o Ac.

El suceso A está formado por elementos de E que no pertenecen a A. Se verifica, evidentemente:

1. El suceso contrario del suceso cierto es el suceso imposible, es decir: E

2. El suceso contrario del suceso imposible es el suceso seguro, es decir: E

Ejemplo: Escribir el espacio muestral derivado del experimento de lanzar tres monedas, describir el suceso A = “obtener al menos una cara” y su contrario. Si recurrimos a un diagrama de árbol para la obtención de los sucesos elementales, obtendremos:

E = {CCC, CCX, CXX, XXX}

Ejemplo: lanzamiento de un dado. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hallar los sucesos contrarios de los siguientes sucesos:

A = “Salir par” = {2, 4, 6} B = “Salir múltiplo de 3” = {3, 6} C = “Salir 4” = {4} D = {1, 2, 5}

3. Operaciones con sucesos.

A partir de los sucesos asociados. o Unión o Intersección o Diferencia o Contrario

4. Sucesos compatibles e incompatibles.

Dos sucesos son compatibles si pueden ocurrir al mismo tiempo y son incompatibles si no pueden ocurrir nunca al mismo tiempo.



1) Se considera el experimento que consiste en lanzar un dado cuyas caras están numeradas del 1 al 6 y

anotar el resultado de la cara superior. Describir: a) Espacio muestral. b) Suceso A = “Obtener número par”. c) Suceso B = “Obtener número impar”. d) Suceso C = “Obtener múltiplo de dos”. e) ¿Cómo son los sucesos de los apartados b y d?

2) En el experimento del ejercicio anterior se consideran los sucesos siguientes: A=”Obtener número

impar” y B =”Obtener múltiplo de 5” a) ¿Siempre que se realiza A se realiza B? b) ¿Siempre que se realiza B se realiza A?

3) Se considera el experimento consistente en lanzar dos monedas al aire y anotar el resultado de las

caras superiores. Se pide: a) Espacio muestral. b) Espacio de sucesos. c) Suceso A =”Obtener al menos una cara”. d) Suceso B =”Obtener sólo una cara”.

4) Se considera el experimento que consiste en el lanzamiento de dos dados y anotar el resultado de

las caras superiores. Se pide: a) Espacio muestral. b) Suceso A =”Obtener al menos un 6”. c) Suceso B =”Obtener al menos un múltiplo de dos”.

5) Consideremos el experimento que consiste en lanzar dos dados y calcular el resultado de la suma de

las caras superiores. Formar los siguientes sucesos: a) Suceso cierto. b) Suceso A = “Obtener suma igual a 11” c) Suceso B = “Obtener suma igual a 8” d) Suceso C = “ Obtener suma menor o igual a 4” e) Suceso D = “Obtener suma mayor o igual a 10”

6) Se lanzan dos dados al aire; sea A el suceso “la diferencia de puntos obtenidos en los dos dados es

dos” y B “obtener al menos un 6”. Hallar los siguientes sucesos: BABABABA ,,,

7) Un jugador italiano expresó a Galileo su sorpresa al observar que al jugar con tres dados la suma 10

aparecía con más frecuencia que la suma 9. Sin embargo, según el jugador ambas sumas tenían los mismos casos favorables: Casos favorables al 9: 126, 135, 144, 225, 234, 333. Casos favorables al 10: 136, 145, 226, 235, 244, 334. Galileo comprobó matemáticamente que ambos sucesos no tenían los mismos casos favorables. Explicar por qué y calcular todos los casos favorables a cada una de estas sumas.



8) Consideremos el experimento que consiste en la extracción de tres tornillos de

una caja que contiene tornillos buenos y defectuosos. Se pide: a) El espacio muestral y número de elementos de que consta. b) Describir el suceso A = “el último tornillo extraído es defectuoso” c) Describir el suceso B = “sólo hay un tornillo defectuoso” d) Describir el suceso C = “extraer al menos un tornillo defectuoso”

9) Un aficionado a los casinos tiene tiempo para jugar a la ruleta cinco veces a lo sumo. Cada apuesta

es de 10 €. Empieza con 10€ y deja de jugar cuando los pierda o cuando gane 30 €. Obtener el espacio muestral.

10) En una encuesta, los resultados del interrogatorio de cada persona se reflejan en una tarjeta. En las

tarjetas se consideran el sexo, la edad (mayor o menor de 30 años), y la respuesta a la pregunta (Sí-No). Describir el espacio muestral y los siguientes sucesos: a) B = “hombre menor de 30 años” b) C = “mujer” c) D = “persona mayor de 30 años que ha respondido Sí”

11) En el experimento que consiste en el lanzamiento de un dado cúbico, consideramos los sucesos A =

{1,3} y B = {4,6}. ¿Se pueden verificar A y B simultáneamente?, ¿Son A y B sucesos contrarios? ¿Son A y B sucesos compatibles o incompatibles?

12) Decir si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Si dos sucesos son compatibles, son contrarios. b) Si dos sucesos son contrarios, son incompatibles.

13) En la extracción de una carta de una baraja española, se consideran los sucesos:

A = “sacar una espada” B = “sacar una figura” Explicar si son compatibles o incompatibles.

14) Si suponemos la existencia de dos únicos periódicos en un determinado municipio: “El Eco” y

“Noticias” y designamos por A a los lectores del primero y por B a los lectores de la competencia:

a) ¿Qué indica el suceso A B? ¿este suceso englobaría a las personas que leen los dos periódicos?

b) ¿Qué representa el suceso A B? ¿y A – B? c) Intenta encontrar dos formas de representar con un suceso al conjunto de individuos que no son

lectores de ninguno de los dos periódicos.



1. Si el número de experiencias realizadas es muy grande, la frecuencia relativa se aproxima a la probabilidad.

2. La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. 3. La suma de las probabilidades de todos los resultados elementales es igual a 1. 4. La probabilidad del suceso seguro es 1. 5. La probabilidad del suceso imposible es igual a 0. 6. Si dos sucesos A y B son incompatibles P(AB) = P(A) + P(B) y P(AB) = 0. 7. Si dos sucesos A y B son contrarios P(A) + P(B) =1.

1.- Al extraer una carta de una baraja española se dan las probabilidades siguientes:

10

1)(,

10

1)(,

10

1)(Re SotapCaballopyp . ¿Cuál es la probabilidad de que no salga una figura?

2.- El espacio muestral de un experimento aleatorio es cbaE ,, y las probabilidades de los resultados

a y b son 3

1)(,

2

1)( bpap . Hallar la probabilidad del resultado c y las probabilidades de los sucesos

siguientes: a) A = {a, b} b) B = {a, c} c) C = {b, c}

3.- Si A y B son dos sucesos incompatibles de un experimento aleatorio y sus probabilidades son

2

1)(,

3

1)( BpAp , respectivamente, hallar la probabilidad de:

a) Suceso A o B.

b) Suceso contrario de A ( A ).

c) Suceso contrario de B ( B ). 4.- En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas del 1 al 49. Se pide calcular:

a) Probabilidad de que en la primera extracción salga un número múltiplo de 7. b) Probabilidad de que en la primera extracción salga un número que no sea múltiplo de 7. c) Probabilidad de que en la primera extracción salga un número que empiece por 2. d) Probabilidad de que en la primera extracción salga un número que no empiece por 2.

5.- Se gira la aguja de una ruleta de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y nos fijamos en el número en el que se detiene. Calcular:

a) Probabilidad de que se obtenga número primo. b) Probabilidad de obtener número compuesto. c) Probabilidad de número primo o número múltiplo de 4. d) Probabilidad de no obtener 5. e) Probabilidad de número par o primo.



PROBABILIDAD DE SUCESOS 1.- Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números que salen sea 3, 4 ó 5? 2.- Se ha trucado una moneda de modo que la probabilidad de obtener cara es el triple que la de obtener cruz. ¿Cuál es la probabilidad de cada suceso elemental? 3.- Tres de las caras de un dado se pintan de negro, dos de verde y una de rojo. ¿Qué probabilidad tiene cada color de aparecer? 4.- Sean A y B dos sucesos tales que p(A) = 0’3, p(B) = 0’4 y p( BA ) = 0’6. Hallar las probabilidades siguientes (recordar las leyes de Morgan):

)())())())() BApdBApcBApbBApa

5.- Un experimento aleatorio tiene tres resultados posibles, es decir su espacio muestral está formado

por tres puntos muestrales a los que llamaremos A, B y C. Se sabe que 32)( BAp y que

65)( CBp . Hallar p(A), p(B) y p(C).

6.- Sea el espacio muestral DCBAE ,,,

a) Si p(A)=1/3, p(B)=1/6 y p(C)=1/9. Calcular p(D). b) Si p(A)=p(B)=1/4 y p(C)=2 p(D). Hallar p(C) y p(D).

7.- Cierto dado se ha trucado, de modo que la probabilidad de que salga cara par es el doble que la de que salga impar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar el dado? 8.- Se lanza al aire dos dados. Hallar la probabilidad de que se verifique cada uno de estos sucesos:

A = “la suma es ocho” C = “la suma es, a lo sumo, ocho” E = “la suma es más de ocho” B = “la suma es par” D = “la suma es ocho, como mínimo” F = “la suma es par o más de ocho”

9.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados al aire salgan dos números iguales? 10.- Hallar la probabilidad de que al lanzar un dado la suma de los puntos de las cinco caras visibles sea múltiplo de 5. 11.- Hallar la probabilidad de un suceso sabiendo que si sumamos esta probabilidad al cuadrado con el cuadrado de la probabilidad del suceso contrario da 13/18. 12.- Se lanzan al aire tres monedas. Calcular la probabilidad de que se verifiquen los siguientes sucesos:

a) Sacar al menos una cara. b) Sacar dos caras. c) No sacar ninguna cruz. d) Sacar dos cruces.



Experiencias compuestas. Sucesos dependientes e independientes 13.- Una urna contiene 8 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extraen dos bolas al azar. Hallar la probabilidad de que:

a) Las dos bolas sean blancas. b) Las dos bolas sean negras. c) Sea una de cada color. d) Sean las dos del mismo color.

14.- Una clase está formada por 15 chicos y 20 chicas. Si elegimos dos alumnos al azar, hallar la probabilidad de que: a) Los dos sean del mismo sexo, b) Sean de sexo distinto. 15.- El temario de una oposición consta de 50 temas. Un opositor se ha preparado 35. El examen consiste en extraer tres temas al azar de los que hay que elegir uno. Se pide la probabilidad de:

a) Que el opositor sepa los tres temas. b) Que no sepa ninguno. c) Que al menos sepa uno de los tres temas.

16.- En una bolsa hay metidas diez bolas numeradas del 0 al 9. Se extraen dos de ellas al azar. Hallar la probabilidad de:

a) Que ambas tengan igual paridad. b) Que la suma de las dos sea igual a 10. c) Que una sea par y la otra impar. (Nota: considerar el cero como número par).

17.- En una bolsa hay 6 bolas blancas y 8 azules. Se extraen cuatro de ellas al azar. Hallar la probabilidad de:

a) Que no sean las cuatro blancas. b) Que una al menos sea azul. c) Que sean dos de cada color.

18.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar, al menos, dos ases al extraer cuatro cartas de una baraja española? 19.- Se echan al aire cinco monedas. Hallar la probabilidad de:

a) Sacar tres caras exactamente. b) Sacar, al menos, dos caras. c) No sacar ninguna cara.

20.- Una caja contiene 7 bolas blancas, 3 azules y 5 verdes. Se extraen tres bolas al azar. Calcular la probabilidad de que:

a) Sean las tres blancas. b) Sean las tres azules. c) Sean las tres verde. d) Sean dos azules y una verde. e) Sean las tres de distinto color.

21.- Un producto está formado por tres partes A, B y C. El proceso de fabricación es tal que la probabilidad de un defecto en A es 0’03, la de un defecto en B es 0’04 y la de un defecto en C es 0’08.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto no sea defectuoso? b) ¿Y de que sólo una de sus partes sea defectuosa?



22.- De una baraja española se extraen simultáneamente tres cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, dos de ellas sean ases? 23.- ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer simultáneamente cinco cartas de una baraja española de 40, salgan tres ases y una pareja? 24.- Al tomar aleatoriamente una ficha de dominó, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números que tiene esta ficha sea múltiplo de tres? 25.- En una urna tenemos 5 bolas numeradas del 1 al 5, las extraemos una por una. ¿Cuál es la probabilidad de que las saquemos en orden? 26.- ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer cinco cartas al azar de una baraja española tres sean ases y dos sean reyes? 27.- La probabilidad de que una bomba haga blanco en su objetivo es 1/3. Calcular la probabilidad de dar en el blanco si se lanzan 3 bombas seguidas. 28.- La probabilidad de que una persona sea rubia es 0’4 y la probabilidad de que tenga los ojos negros es 0’3. Calcular las siguientes probabilidades:

a) Que sea rubia y tenga los ojos negros. b) Que sea rubia o tenga los ojos negros.

Tablas de contingencia. Probabilidad condicionada 29.- A un congreso de científicos acuden 100 congresistas, de ellos 80 hablan inglés y 40 francés. Calcular la probabilidad de que, elegidos dos congresistas al azar:

a) puedan entenderse sin intérpretes. b) no puedan entenderse.

30.- Se ha comprobado que en una ciudad están enfermos con diarrea el 60% de los niños, con sarampión el 50% y con las dos cosas el 20%. Calcular la probabilidad de que si elegimos un niño al azar:

a) Esté sano. b) Esté enfermo de sarampión, pero no de diarrea. c) Esté enfermo de alguna de las dos cosas o de las dos a la vez.

31.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar seis moneda al aire obtengamos entre 2 y 4 caras? 32.- Se lanzan tres dados el aire. Hallar la probabilidad de sacar:

a) Un cuatro en cada dado. b) Un uno, un dos y un tres. c) Suma de los tres números igual a ocho.

33.- Se sortea un viaje entre los clientes de una tienda de electrodomésticos. De ellos, 125 son mujeres, 155 están casados y de estos 95 con mujeres casadas. Calcular la probabilidad de que:

a) Le toque el viaje a un hombre soltero. b) Sabiendo que le tocó a una persona casada, que ésta sea hombre.



34.- la probabilidad de que un hombre y una mujer de 18 años vivan 50 años más es 0’6 y 0’7, respectivamente. Se pide la probabilidad de que:

a) Vivan los dos después de 50 años. b) Viva sólo la mujer. c) Viva al menos uno de los dos. No viva ninguno de los dos.

35.- De dos sucesos A y B se sabe que 3

1)(,

4

1)( BApBp . Hallar p(A-B):

a) Si A y B son INCOMPATIBLES. b) Si A y B son INDEPENDIENTES.

36.- Se lanzan dos dados, si la suma de los puntos de las caras superiores es 7, hallar la probabilidad de que en alguno de los dados salga 3. 37.- En un colegio hay 60 alumnos de Bachillerato. De ellos 40 estudian inglés, 24 estudian francés y 12 los dos idiomas. Se realiza el experimento de elegir un alumno de éstos al azar. Sean A y B los siguientes sucesos: A = “el alumno elegido estudia inglés”, B = “el alumno elegido estudia francés”.

a) Determinar las probabilidades )(),(),(),( BApBApBpAp .

b) Determinar las probabilidades condicionadas siguientes )'/(),/(),/( BApBABpABp .

38.- Se sabe que 5

1)(,

2

1)(,

3

1)( BApBpAp . Hallar: )'(),/(),((),( BpABPBAPBAp .

39.- Un psicólogo de una empresa de seguros del ramo del automóvil ha estudiado el comportamiento de los asegurados cuando conducen, ya estén sobrios o ebrios, y ha constatado que la probabilidad de que un conductor sobrio tenga un accidente es 0’001 y la probabilidad de que lo tenga un conductor ebrio es 0’5. Por otra parte, ha detectado que la probabilidad de conducir borracho es 0’01.

a) Hallar la probabilidad de que se produzca un accidente y que al hacer el control de alcoholemia al conductor dé positivo.

b) Hallar la probabilidad de conducir borracho y que se produzca un accidente. c) Hallar la probabilidad de que se produzca un accidente. d) Si sabemos que se ha producido un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que el conductor dé

positivo en la prueba de alcoholemia? 40.- Un robot empieza a explorar un laberinto. Los caminos que salen de cada bifurcación son equiprobables (excepto que no se puede retroceder). Al final de cada camino hay una trampa. ¿En cuál de las trampas es más probable que acabe el robot, o todas las trampas son igualmente probables?



EJERCICIOS DE REPASO 1.- Se realiza una consulta a 25 familias para conocer el número de viviendas en propiedad y se obtienen los datos de la tabla siguiente. Calcular la moda, la mediana, la media y la desviación típica.

Número de viviendas 0 1 2

Número de familias 8 12 5

2.- Razonar con cuál de los coeficientes de correlación dados se corresponden estos diagramas de dispersión: a) r = 0’4; b) r = –0’9; c) r = 0’8. Razonar en qué casos tendrá mayor fiabilidad un ajuste bidimensional mediante una recta. 3.- Juan tiene 19 años de edad y mide 1’90 m de estatura. Su talla está en el percentil 92 para los jóvenes de su edad. ¿Qué quiere decir esto? 4.- De una muestra de 75 bombillas se han obtenido los siguientes datos relativos a su duración en horas. Calcular la duración media, la desviación típica y los cuartiles de la distribución.

Duración [250,300) [300,350) [350,400) [400,450) [450,500) [500,550)

Nº de bombillas 3 6 20 29 11 6

5.- Responder razonadamente a las siguientes preguntas:

a) ¿Puede ser negativa la media? b) ¿Puede ser negativa la varianza? c) ¿Puede ser negativa la covarianza?

6.- Indicar y razonar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta. Si la pendiente de una recta de regresión es negativa:

a) La correlación es muy débil. b) La correlación es muy fuerte. c) La correlación es inversa. d) La correlación es directa.

7.- Indicar y razonar cuál de estas afirmaciones es correcta. Si las dos rectas de regresión coinciden:

a) Existe una correlación muy fuerte. b) La correlación es negativa. c) Existe dependencia funcional. d) No se puede afirmar nada sobre la correlación.

8.- La siguiente tabla muestra los índices de las bolsas de Madrid y Wall Street durante una semana. Calcular el coeficiente de correlación y la recta de regresión de X sobre Y. Interpretar el resultado.

Madrid (X) 0’23 1’33 1’22 0’15 -0’13

Wall Street (Y) 0’32 0’65 1’58 0’45 0’22

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●



9.- Se ha encuestado a un grupo de 100 individuos sobre el número de horas que dedican a dormir (X) y a ver la televisión (Y). Los resultados son los siguientes:

Nº de horas de sueño 6 7 8 9 10

Nº de horas de TV 4 3 3 2 1

Frecuencia 6 33 39 19 3

a) Calcular el coeficiente de correlación e interpretarlo refiriéndolo al enunciado. b) Hallar la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. c) Si una persona duerme 7 horas y media, ¿cuánto cabe esperar que vea la televisión? d) Sin determinar la recta de regresión de X sobre Y, indicar en qué punto se cortará esta recta con

la calculada en el apartado b).

10.- De los sucesos A y B se sabe que: 3

1)(,

3

1)(,

5

2)(

__

BApBpAp . Hallar las probabilidades

siguientes: )()( BAPyBAp .

11.- Sean A y B dos sucesos tales que 10

7)(

__

BAp . ¿Son incompatibles A y B? Justificar la respuesta.

12.- En una sala en la que hay 20 personas, 14 de ellas leen el periódico, 10 toman café y 8 hacen ambas cosas. Seleccionamos dos personas al azar, calcular la probabilidad de que:

a) Las dos tomen café y no lean el periódico. b) Las dos sólo hagan una de las dos cosas. c) Ninguna de las dos haga nada. d) Las dos hagan ambas cosas.

13.- Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número de puntos cuya suma sea 9? ¿Y que la suma sea múltiplo de 3? 14.- En una facultad, el 25% de los estudiantes ha suspendido Matemáticas, el 20% ha suspendido Historia y el 15% ha suspendido las dos asignaturas. Si seleccionamos un alumno al azar, determinar la probabilidad de que:

a) Suspenda al menos una de las dos asignaturas. b) Suspenda Historia, pero no Matemáticas. c) No suspenda ninguna de las dos asignaturas.



1.- Sea el experimento que consiste en el lanzamiento de tres monedas y anotar el número de caras obtenidas. Se pide:

a) Función de probabilidad y su representación. b) Media y desviación típica de la distribución. c) Calcular la probabilidad de que salga más de una cara.

2.- Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar 4 monedas al aire. Sea la variable aleatoria X que asocia a cada resultado el número de caras que aparecen. Calcular:

a) El recorrido de la variable X. b) La función de probabilidad. c) La función de distribución y su representación.

3.- Hallar la media y la desviación típica de una variable aleatoria X que tiene la siguiente función de probabilidad:

X 2 3 7

P 0’2 0’3 0’5

4.- Hallar la media y la desviación típica de una variable aleatoria X que tiene la siguiente función de probabilidad:

X 2 3 5 6 8

P 0’2 0’1 0’4 0’2 0’1

5.- Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

X 0 1 2 3 4 5

P 0’1 0’2 0’1 ? 0’1 0’1

a) Completar la tabla. b) Calcular la esperanza matemática y la desviación típica. c) Calcular las probabilidades siguientes: P(X<4’5), P(X≥3), P(3≤X≤4’5).

6.- En el experimento de lanzar dos dados se considera la variable aleatoria mínimo de los puntos de las caras superiores. Se pide:

a) Recorrido de la variable aleatoria. b) Determinar la función de probabilidad y representarla. c) Determinar su función de distribución y representarla. d) Calcular la esperanza matemática y la desviación típica. e) Calcular P(X<3).

7.- Un vendedor de helados puede ganar 35 euros en días soleados y 18 euros en días lluviosos. Si la probabilidad de lluvia es 0’35, ¿cuáles son sus ganancias diarias esperadas? 8.- Un juego donde se apuesta consiste en lanzar tres monedas al aire. La apuesta es de 50 euros. Si salen 3 caras se gana 100 euros, si salen más caras que cruces se gana 75 euros y si salen tres cruces te devuelven el dinero.

a) ¿Es equitativo el juego? b) Si juego 100 veces, ¿Cuánto dinero habré ganado o perdido?



9.- Consideremos el lanzamiento de dos dados y la variable X que asigna a cada resultado el cuadrado de la diferencia entre los dos números obtenidos. Se pide:

a) Función de probabilidad y su representación. b) Media y desviación típica de la distribución. c) Función de distribución y su representación. d) Calcular P(1<X<7).

10.- Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda y se establece la variable aleatoria siguiente: si sale cara se asigna al resultado el valor obtenido en el dado más uno, si sale cruz se asigna el valor que salga en el dado. Hallar:

a) La función de probabilidad. b) La función de distribución y su representación. c) Media y desviación típica.

11.- Sea X una variable aleatoria cuya función de probabilidad se ve en la tabla, ¿Cuánto valen a y b si E(X) = 3’7?

X 5 4 a

P 0’2 0’3 b

12.- Una variable discreta X toma los valores –1, 0, 1, con probabilidades p1, p2, p3. Sabiendo que E(X) = 0’1 y V(X) = 0’49, determinar p1, p2, p3. 13.- En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra B, 4 bolas numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda; si sale cara, se saca una bola de A; si sale cruz, una de B. Se observa el número que tiene cada bola. Se pide:

a) Hacer la tabla de la distribución de probabilidad y representarla gráficamente. b) Calcular la media y la desviación típica.

14.- Un grupo de alumnos decide hacer un viaje al final del curso. Para recaudar dinero, un alumno que sabe algo de probabilidad propone realizar un juego de azar. El juego consiste en lanzar dos dados, cada apostante deberá poner 10 euros. Los premios se repartirán del siguiente modo:

– Si salen dos seises, 100 euros. – Si salen dos números iguales, 20 euros. – Si los números suman 7, 15 euros.

a) En cada partida apuestan 25 jugadores, ¿cuánto dinero ganarán los alumnos para su viaje en una

partida? b) Si juegan en total 100 partidas, con 25 apostantes cada una, ¿cuánto dinero habrán ganado para

el viaje? 15.- Un juego consiste en lanzar cuatro dados, se obtiene como premio tantos cientos de euros como seises aparezcan. ¿Cuánto habría que pagar por participar para que el juego fuera equitativo? 16.- Sacamos dos cartas de una baraja y anotamos el número de ases. A) ¿Cuál es la función de probabilidad? B) Calcular la media y la desviación típica de la distribución.



Experiencia dicotómica: es una experiencia aleatoria en la que

observamos, exclusivamente, si ocurre un suceso A o su contrario, A’. Al suceso A se le denomina éxito y su probabilidad es P(A) = p. La probabilidad de su contrario es P(A’) = 1 – p = q.

Ejemplos de experiencias dicotómicas: 1. Lanzar una moneda (A = cara, A’ = cruz, p = P(A) = ½, q = P(A’) = ½) 2. Lanzar un dado y ver si sale 5 o no (A ={5}, A’ = {1, 2, 3, 4, 6}, p = 1/6, q = 5/6) 3. Extraer una carta de una baraja y ver si es figura (A = Figura = {as, sota, caballo, rey}, A’ = No

figura, p = 16/40 = 0’4, q = 24/40 = 0’6) 4. Tenemos un montón de tornillos fabricados por una máquina que, por término medio, produce

un 2% de defectuosos. Extraemos uno de ellos al azar y vemos si es o no defectuoso (A = defectuoso, A’ = No defectuoso, p = 0’02, q = 0’98)

Distribución binomial: Supongamos que se repite n veces una misma experiencia dicotómica y

nos preguntamos por el número de éxitos (X). X es una variable discreta que puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, ..., n. La distribución de probabilidad de la variable X se llama distribución binomial B(n, p).

p = P(A) es la probabilidad de éxito en cada una de las experiencias.

n es el número de veces que se repite la experiencia.

Es importante destacar que las experiencias que se repiten n veces deben tener las mismas condiciones en las sucesivas repeticiones y, por tanto, la probabilidad de éxito ha de ser la misma en todos los casos (cada una de las n experiencias es independiente de las otras).

Cálculo de probabilidades en una distribución binomial: En una distribución B(n, p), en la cual P(A) = p, P(A’) = 1 – p = q, la probabilidad de que se tengan k éxitos (salga k veces A y n – k veces A’ en cualquier orden) es

P(X = k) = knk qpk

n

· , donde

)!(!

!

knk

n

k

n

es un número combinatorio que indica todas las formas

posibles de ordenar k sucesos A y n – k sucesos A’. n! se lee “factorial de n” y se calcula con el producto n ·(n –1) ·(n – 2) ·(n – 3) ·····3 · 2 · 1

Ejercicio: Calcular la probabilidad de que al lanzar 4 monedas se obtengan 3 caras de dos formas

distintas, con un diagrama de árbol y utilizando las fórmulas de la binomial.

La media de una distribución binomial B(n, p) es μ = n·p, y la desviación típica qpn ··



EJERCICIOS DE BINOMIAL, PARA EMPEZAR

1.- Analizar si las siguientes distribuciones son binomiales o no. En caso afirmativo: 1º) indicar los valores de n y p. 2º) indicar qué valores puede tomar la variable aleatoria X en cada caso (recorrido de X).

Experiencia B sí/no n p B(n, p)

1. Lanzamos 10 monedas y nos preguntamos por el número de caras.

2. Lanzamos 6 dados correctos y nos preguntamos por el número de “cincos”.

3. Dejamos caer al suelo 100 chinchetas y contamos cuántas caen con la punta hacia arriba.

4. Extraemos cinco cartas de una baraja y nos preguntamos cuántas figuras habrá.

5. Extraemos cinco cartas, con reemplazamiento, de una baraja y observamos si es figura o no.

6. Nos preguntamos cuántos partidos ganará el Tenerife en sus próximos diez encuentros.

7. Una máquina produce tornillos y, por término medio, un 2% son defectuosos. Se empaquetan en cajas de 100 tornillos. Nos preguntamos cuántos tornillos defectuosos habrá en cada caja.

2.- Una máquina produce disquetes. Se ha comprobado que el 5% son defectuosos. Tomamos 10 disquetes al azar y nos preguntamos por el número de defectuosos:

a) ¿Es una distribución binomial? b) Calcular sus parámetros μ y σ. c) Calcular P(X = 0), P(X > 0), P(X = 2).

3.- La probabilidad de que Óscar gane a Santiago un partido de tenis es 2/3. Si juegan 4 partidos, ¿cuál es la probabilidad de que Óscar gane más de la mitad? 4.- Una máquina produce 12 piezas defectuosas de cada mil piezas que fabrica. Hallar la probabilidad de que al examinar 40 piezas: a) sólo haya una defectuosa; b) ninguna sea defectuosa. 5.- El 5% de los habitantes de un país pertenecen al grupo sanguíneo O Rh-. En una ciudad acuden un día 60 personas a donar sangre. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea de ese grupo sanguíneo?¿Cuántas personas del grupo O Rh- cabe esperar que haya entre esos donantes? 6.- Un profesor de Matemáticas lleva 25 años anotando el número de aprobados en su asignatura y ha observado que suele aprobar el 65% de los estudiantes. Se toma una muestra formada por 20 estudiantes. Analizar si el número de aprobados se trata de una distribución binomial. En caso afirmativo, calcular los parámetros n y p de la variable, así como la probabilidad de que aprueben todos y la de que hayan cinco suspendidos.



1.- Se supone que la probabilidad de nacer niño es 0’5. Calcular la probabilidad de que en una familia de 6 hijos:

a) Todos sean varones. b) Al menos dos sean varones. c) Tres sean varones. d) Calcular la media y la desviación típica.

2.- La probabilidad de nacimiento de niños varones en España es del 51’7%. Hallar la probabilidad de que una familia de 5 hijos tenga:

a) Por lo menos una niña. b) Por lo menos un niño.

3.- La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de arquitecto es 0’3. Calcular la probabilidad de que, de un grupo de 7 estudiantes matriculados en primero,

a) Los siete finalicen la carrera. b) Al menos dos acaben la carrera.

4.- Se tiene una moneda trucada, de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza seis veces la moneda. Calcular las siguientes probabilidades:

a) Obtener dos veces cruz. b) Obtener, a lo sumo, dos veces cruz.

5.- Una moneda está trucada de manera que la probabilidad de sacar cruz es 11

7. Se lanza la moneda

diez veces. Calcular la probabilidad de obtener: a) 8 caras. b) Al menos una cruz.

6.- Cierto medicamento contra una enfermedad provoca mejoría el 60% de los casos. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 pacientes que siguen el tratamiento mejoren? ¿Y de que 4 no experimenten mejoría? 7.- La probabilidad de que un alumno de primero de bachillerato estudie Matemáticas I es 0’4. Calcular la probabilidad de que en un grupo de 10 alumnos elegidos al azar haya exactamente 7 que no estudien Matemáticas I.

8.- Un arquero tiene una probabilidad de hacer blanco de 5

4. Si tira tres veces, calcular la probabilidad

de: a) Hacer blanco exactamente una vez; b) Hacer blanco más de una vez. 9.- Una variable aleatoria X sigue la ley binomial de tipo B(5, 0’3). Determinar:

a) Su función de probabilidad y representarla. b) La media y la desviación típica.

10.- Una urna contiene cuatro bolas blancas y seis negros. Se saca una bola al azar, se apunta el color y se devuelve a la urna. Si la experiencia se repite cinco veces, hallar la probabilidad de obtener:

a) Dos bolas blancas. b) A lo sumo dos bolas blancas.



11.- Un alumno ha estudiado doce temas de 30 que entran en un examen. Se eligen dos temas al azar. El alumno puede haber estudiado los dos, uno o ninguno. Calcular y representar gráficamente las funciones de probabilidad y de distribución. 12.- Una urna tiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su color y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite cinco veces, calcular la probabilidad de obtener:

a) Tres bolas rojas. b) Al menos tres bolas rojas. c) A los sumo cinco bolas verdes. d) Alguna roja.

13.- Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con 4 respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Si un alumno contesta al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien a tres preguntas? b) ¿Y la de que conteste bien a más de dos preguntas? c) Calcular la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas. d) Calcular la media y la desviación típica.

14.- En un proceso de fabricación de tornillo se sabe que el 2% son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcular la probabilidad de que en una caja haya este número de tornillos defectuosos:

a) Ninguno. b) Uno. c) Más de dos.

15.- Se lanzan tres monedas y se cuentan el número de caras obtenidas. Hacer una tabla con las probabilidades, representarla gráficamente y calcular la media y la desviación típica. 16.- Sacamos dos cartas de una baraja y anotamos el número de ases.

a) ¿Cuál es la función de probabilidad? b) Calcular la media y la desviación típica.

17.- En una urna, A, hay cinco bolas numeradas del 1 al 5 y en otra, B, hay cuatro bolas numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda, si sale cara se saca una bola de A y, si sale cruz, se saca de B. Se observa el número que tiene la bola.

a) Hacer una tabla de la distribución de probabilidad. b) Representarla gráficamente. c) Calcular la media y la desviación típica.



DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA. DISTRIBUCIÓN NORMAL.

1.- Utilizando la tabla de distribución normal, calcular las probabilidades:

)47'1() zPa )79'0() zPb )16'0() zPc

)12'2() zPd )03'02() zPe )22'225'0() zPf

)1'315'1() zPg )03'02() zPh )4() zPi

2.- Utilizando la tabla de la normal, calcular el valor de k:

9292'0)() kzPa 2142'0)() kzPb )16'0() zPc

9830'0)() kzPd 4652'0)2() kzPe )22'225'0() zPf

1241'0)1'3() zkPg 7348'0)03'0() zkPh 1)() kzPi

3.- Sea z una variable aleatoria N(0, 1). Calcular:

)52'103'2())03'252'1())17'2()

)17'2())32'1())32'1()

zPfzPezPd

zPczPbzPa

4.- Las tallas de los individuos de una población se distribuyen normalmente con una media igual a 175 cm y una desviación típica igual a 8 cm. Calcular la probabilidad de que un individuo tenga una talla: a) mayor que 180 cm; b) menor que 170 cm; c) entre 170 y 180 cm. 5.- Los opositores que se presentan a unas plazas de un organismo autónomo se distribuyen normalmente con una puntuación media de 70’5 y con una desviación típica igual a 9. ¿Cuántas plazas se adjudicarán en la oposición de este año, si el tribunal ha decidido de antemano dejar sin plaza a todos aquellos que obtengan una puntuación inferior a 80? 6.- La altura de una población se distribuye normalmente con una media de 170 cm y una desviación típica de 6 cm. Calcular la probabilidad de que elegido un individuo al azar, tenga estatura: a) menor que 164 cm; b) mayor que 176 cm; c) comprendida entre 164 y 176 cm 7.- Si el peso de una población de individuos tiene distribución normal N(74, 7) en kg.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo pese más de 70 kg? b) ¿Qué porcentaje pesará menos de 92 kg? c) ¿Qué porcentaje pesará entre 70 y 92 kg? d) ¿Qué peso debe tener un individuo para que el 16’6% de la población pese más que él? e) ¿Y qué peso debe tener para que el 35% pese menos que él?

8.- Los 600 soldados de un cuartel poseen una altura que se distribuye según una normal de parámetros μ = 166cm, σ = 12cm. Hallar el número aproximado de soldados cuya altura esté comprendida entre 165 y 182 cm. ¿Cuántos medirán más de 190 cm? Si los mandos del ejército forman un batallón de “gastadores” con el 4% de los soldados más altos, ¿a partir de qué altura deben seleccionarse? 9.- Para aprobar unas oposiciones se necesita obtener 100 puntos, o más, en una prueba. Por experiencias anteriores se sabe que la distribución de los puntos obtenidos por los opositores es una normal de media 110 puntos y desviación típica 15.

a) ¿Qué probabilidad tiene un opositor de aprobar? b) Si sabemos que hay 1000 opositores y sólo 300 lazas, ¿cuántos puntos deberán exigir para

ajustar el número de plazas al número de opositores aprobados?



10.- Un equipo de fútbol ha conseguido en las últimas temporadas unos resultados que se distribuyen normalmente con una media de 25 victorias y una desviación típica de 5. ¿Cuál es la probabilidad de que gane: a) más de 30 partidos por temporada? b) Menos de 20 partidos por temporada? 11.- Se tiene una población en la que la distribución de sus pesos es una normal de media 72’5 kg y la desviación típica es de 20 kg. Se pide:

a) ¿Qué porcentaje de esta población tiene un peso superior a 90 kg? b) Si elegimos una muestra de población de 100 personas, ¿cuántas tienen su peso comprendido

entre 75 y 80 kg? 12.- Dos componentes de un sistema funcionan independientemente, distribuyéndose el rendimiento de la primera según una normal N(6, 1’5) y el de la segunda por N(43, 3’5). El sistema funciona si el rendimiento de la primera componente está entre 3 y 8, y el de la segunda entre 38 y 48. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? 13.- El peso de los adultos de una población se distribuye normalmente con media de 65 kg y desviación típica de 3 kg. Se eligen dos individuos al azar. Calculando las correspondientes probabilidades, justificar qué es más probable:

a) Que cada uno de los individuos tenga pesos comprendidos entre 63’5 y 66’5 kg. b) Que uno de ellos tenga un peso comprendido entre 62 y 68 kg y el otro tenga un peso no

comprendido entre 62 y 68 kg. 14.- Las alturas de los mozos de un llamamiento al servicio militar siguen una distribución normal de media 1’7 m y desviación típica 0’1. Se desea saber:

a) La probabilidad de que un mozo, al azar, tenga una altura entre 1’7 y 1’9 m. b) Si el llamamiento consta de 50.000 mozos y se libran por falta de talla los que tienen una altura

inferior a 1’5 m, ¿cuál es el número esperado de libramientos por esta causa? 15.- En una cierta población, el coeficiente de inteligencia (C.I.) se distribuye normalmente según N(98, 22). Sabiendo que un 3% de los individuos son deficientes, un 70% normales, un 22% muy inteligentes y un 5% genios, ¿qué C.I. ha debido tomarse como frontera entre las diversas clases de individuos? 16.- A lo largo de diferentes pruebas de acceso a la Universidad, se ha encontrado que la distribución de las calificaciones siguen una ley normal N(6’3, 0’7). Se pide:

a) Probabilidad de que la nota de un estudiante elegido al azar sea superior a 7’6. b) Si un centro presenta 200 alumnos ¿cuántos de ellos, en media, superarán la prueba? c) Si un alumno tiene un 7’4, ¿cuántos de los 200 lo superarán? d) ¿Qué nota hay que obtener para entrar en Medicina si solo pueden entrar un 5%?

17.- La Consejería de Educación ha hecho una encuesta sobre la distribución de las edades del profesorado en educación especial y ha observado que se distribuyen normalmente con media 38 años y desviación típica 6. De un total de 500 profesores, hallar: a) Cuántos profesores hay con edades menores o igual a 35 años; b) cuántos son mayores de 55 años. 18.- El peso teórico de una tableta de aspirina es de 423 mg. Si suponemos que los pesos de las tabletas de aspirina siguen una normal de desviación típica 10 mg por tableta, calcular:

a) el porcentaje de tabletas con peso menor o igual que 310 mg. b) El porcentaje de tabletas con peso superior a 330 mg.



La normal como aproximación de la binomial 19.- Un examen tiene 40 preguntas del tipo Verdadero – Falso. El examen se aprueba si se contestan correctamente al menos 22 preguntas. Si un alumno responde a las preguntas lanzando una moneda no trucada, se pide:

a) Probabilidad de que apruebe el examen. b) Probabilidad de que el número de respuestas acertadas esté entre 25 y 30.

20.- Se ha encuestado a la población de cierto municipio, encontrándose que un 34% son socios del casino. Elegidos 50 ciudadanos al azar, ¿cuál será la probabilidad de que haya exactamente 18 socios? ¿Y más de 20? 21.- En un proceso de control de calidad se sabe que el 3% de los artículos son defectuosos. Si se colocan en cajas de 300, se pide:

a) Probabilidad de que una caja contenga 10 o más artículos defectuosos. b) Probabilidad de el número de defectuosos esté entre 15 y 20, ambos inclusive? c) Si se rechazan las cajas con más de 10 defectuosos y se examinan 125 cajas, ¿cuántas de ellas se

rechazarán? 22.- El porcentaje de españoles con estudios medios es del 35%. Elegidos 8 al azar, calcular la probabilidad de que entre 3 y 5 (ambos incluidos) tengan estudios medios, aplicando: a) La distribución binomial; b) La aproximación normal a la binomial. 23.- La tasa de desempleo en una comunidad es del 16% de los trabajadores. Se selecciona una muestra de 100 trabajadores. Calcular la probabilidad de que la muestra contenga: a) Al menos 10 desempleados; b) No más de 5 desempleados; c) Exactamente 8 desempleados. 24.- La probabilidad de que en una fábrica de cajas de cartón salga una defectuosa es 0’05. ¿Cuál es la media de cajas defectuosas de un lote de 2.000 cajas? Calcular la desviación típica. 25.- Se lanza una moneda 100 veces. Hallar la probabilidad de: a) Obtener a lo sumo 40 caras; b) Obtener más de 40 caras. 26.- Supongamos que la probabilidad de nacer varón en España es de 0’512. Si durante un año, en una determinada autonomía, se han producido 2.000 nacimientos, ¿cuál es la probabilidad de que el número de varones esté comprendido entre 1.000 y 1.080? 27.- En un centro escolar se ha observado que el 55% de los alumnos superan unas determinadas pruebas de Matemáticas. Si este porcentaje es constante, y teniendo en cuenta que se pasa la prueba a 100 alumnos, hallar la probabilidad de que la superen exactamente más de 50 alumnos. 28.- El porcentaje de fracaso escolar en bachillerato en una cierta región es del 40% sobre un total de 1.000 individuos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan exactamente 400 fracasos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se superen los 400 fracasos?

29.- Dada la binomial

2

1,5B , calcular )3( XP .



REPASO DE PROBABILIDAD 1.- De una baraja española de 40 cartas se extrae una al azar. Calcular la probabilidad de que dicha carta sea: a) Oros o copas, b) Oros o figura, c) Copas o menor que 5, d) Bastos o figura o menor que 4. Sol: a) ½ b) 19/40 c) 11/20 d) 7/10 2.- A un congreso asisten 25 mujeres (de las cuales 7 hablan francés y 18 inglés) y 30 hombres (10 hablan francés y 20 inglés). Se elige al azar un congresista y se pide calcular la probabilidad de que: a) Sepa francés, b) Sea mujer o hable inglés, c) Sea hombre o hable francés. Sol: a) 17/55 b) 9/11 c) 37/55 3.- En una urna U hay 4 bolas rojas, 5 blancas y 7 negras. En la urna V hay 4 bolas rojas y 5 blancas. Se lanza un dado y si sale múltiplo de 3 se extrae una bola de la urna U; en caso contrario, de la urna V. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea: a) Negra, b) Blanca, c) Roja. Sol: a) 7/48 b) 205/432 c) 41/108 4.- Se lanza un dado 7 veces. Calcular la probabilidad de obtener el 3: a) siempre, b) un máximo de 2 veces, c) nunca. Sol: a) 3’57*10-6 b) 0’9042 c) 0’2791 5.- A un congreso asisten 150 ingleses, 100 franceses y 50 españoles. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 5 congresistas haya 3 españoles? Sol: 0’0322 6.- El 30% de los habitantes de una ciudad leen el periódico local. Se eligen al azar 10 ciudadanos. ¿Cuál es la probabilidad de que lean el periódico al menos 8 ciudadanos? Sol: 1’59*10-3

7.- Tres de cada cuatro ciudadanos considera que los parques están mal conservados. Si se eligen 10 ciudadanos al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que alguno considere los parques bien conservados? Sol: 0’9437 8.- Las alturas de los alumnos de un instituto, en cm, siguen una distribución N(175, 10). Calcular la probabilidad de que la altura de un alumno sea: a) mayor que 200 cm, b) menor de 170 cm, c) entre 165 y 185 cm. Sol: a) 0’0062 b) 0’3085 c) 0’6826 9.- El coeficiente intelectual (C.I.) de una población de 1200 personas sigue una distribución N(120, 12). ¿Cuántas personas tienen un C.I. superior a 132? ¿Y cuántas no llegan a 100? Sol: 190; 57 10.- Una empresa ha emitido acciones que se reparten entre diferentes personas siguiendo una distribución normal de media 150 acciones y desviación típica 20 acciones. ¿Cuál es la probabilidad de que un accionista tenga más de 200 acciones? Sol: 0’0062 11.- En una bolsa hay 4 bolas blancas y 6 negras. Se extraen, con devolución, 200 bolas. Calcular las probabilidades de que: a) salgan 70 bolas blancas o más, b) salgan más bolas blancas que negras. Sol: a) 0’9357 b) 0’0015 12.- Una moneda está trucada, de manera que la probabilidad de obtener cara es 0’6. Se lanza la moneda 30 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de caras obtenidas sea mayor que 12 y menor que 18? Sol: 0’4045



AUTOEVALUACIÓN 2ª PARTE DEL CURSO

1. Realiza las siguientes operaciones

a) Simplifica

5643

23235

zyx

zyx

b) Racionaliza

2

32

2. Se va a vallar un terreno en forma de triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 13 metros y sus catetos se diferencian en 7 metros. Calcula los metros de valla necesarios.

3. En un instituto se ha medido la estatura de un grupo representativo de alumnos. La tabla presenta los

datos obtenidos, agrupados en clases.

Estatura (cm) [144,152) [152,160) [160,168) [168, 176) [176, 184)

Frecuencia 5 12 24 6 3

a) Representa gráficamente los datos.

b) Determina la marca de clase y la estatura media del grupo.

4. Una compañía de seguros considera que el número de vehículos (Y) que circulan por una determinada autopista a más de 120 km/h , puede ponerse en función del número de accidentes (X) que ocurren en ella. Durante 5 días obtuvo los siguientes resultados:

Accidentes (Xi) 5 7 2 1 9

Número de vehículos(Yi) 15 18 10 8 20

a) Calcula el coeficiente de correlación lineal. b) Si ayer se produjeron 6 accidentes, ¿cuántos vehículos podemos suponer que circulaban por la autopista a más de 120 km/h?

5. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

6. El examen teórico para obtener el carnet de conducir consiste en un cuestionario con 40 preguntas, cada una de las cuales ofrece tres posibles respuestas de las que sólo una es válida. Se considera a un aspirante apto si no falla más del 10% de las preguntas. Calcula la probabilidad de pasar el examen contestando el cuestionario al azar. 7. En un centro hay 500 alumnos cuyas estaturas se distribuyen según la curva normal de media 170 cm y desviación típica 8 cm. a) ¿Cuántos alumnos cabe esperar que tengan su estatura comprendida en el intervalo [162,178]? b) ¿Cuántos medirán más de 186 cm? c) ¿Cuántos medirán menos de 156 cm?



FUNCIONES ELEMENTALES

Una función es una relación entre variables. Se utilizan para representar la evolución de los fenómenos

sujetos a cambios (la velocidad de un móvil respecto del tiempo, la proliferación de bacterias respecto del tiempo transcurrido, la estatura de una persona según la edad, el presupuesto de una empresa respecto de los años transcurridos, etc.). Aunque pueden existir más de dos variables que se relacionan, vamos a referirnos sólo a las funciones de dos variables. Los valores que toma una de las variables (variable dependiente) dependen de los valores que toma la otra (variable independiente).

Se utilizan diversas formas para expresar una función: mediante una tabla

de valores, mediante una gráfica, mediante una descripción verbal y mediante una fórmula matemática o expresión algebraica. El conjunto al que pertenecen los valores de la variable independiente se llama conjunto inicial (origen) y el conjunto al que pertenecen los valores de la variable dependiente se llama conjunto final.

Domino de una función es el conjunto de los valores de la variable independiente

(x) a los que les corresponde un valor (y sólo uno) de la variable dependiente (y).

Recorrido de una función es el conjunto de valores de la variable dependiente (y)

que se corresponde con algún valor de la variable independiente (x).

Dominios de las funciones más usuales

a) Funciones polinómicas (y = x3 + 2x2 – 5x + 2): el dominio coincide con el conjunto de los números reales.

b) Funciones racionales

12

73

x

xy : el dominio es el conjunto de los números reales excepto los

ceros o raíces del denominador.

c) Funciones irracionales n xfy )( : si n es impar, el dominio coincide con el conjunto de los

números reales, y si n es par el dominio es el conjunto de los números reales para los que f(x) es positiva o nula.

El recorrido de las funciones es el conjunto de los valores del eje Y que son alcanzados por la

gráfica de la función.

1.- Indicar el dominio de las siguientes funciones:

f(x) = x2 – 2 k(x) = 2

1

x l(x) =

1

1

x m(x) = 2x n(x) = 3 x

p(x) = 5x q(x) = x2 + 1 s(x) = 3x t(x) = 3x + 2 v(x) = x

1

2.- A partir de las gráficas de y = x y de y = x2, representar las funciones siguientes:

y = x – 3; y = x + 2; y = –x; y = –x + 1; y = 2x; y = 0’5x; y = x2 + 2 ; y = x2 – 5 ; y = 2

1x2;

y = – x2; y = – 2 x2; y = – x2 + 4; y = (x – 4)2; y = (x + 3)2.

f: A →B x → y = f(x)



3.- Representar gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:

01

0112

13

)02

02)

22

1

22

125

)2

2

xsix

xsix

xsix

cxsix

xsixb

xsix

xsi

xsix

a

Indicar en cada caso su dominio y recorrido. Observar su crecimiento y decrecimiento y si son o no continuas en su dominio. 4.- Dos laboratorios fotográficos tienen expuestas, en sus respectivos escaparates, las tarifas del revelado de fotos: Laboratorio A: 1,80 euros de revelado y 0,21 euros cada fotografía. Laboratorio B: 0,30 euros cada fotografía y el revelado gratis. Estudiar gráficamente a qué laboratorio hemos de llevar los carretes de 12, 24 y 36 fotografías para que nos salga lo más barato posible. 5.- Las funciones de oferta y demanda de unidades de CD-ROM en un complejo comercial vienen dadas por

174602,0)(

425,0)(2

2

p

ppf

ppf

d

o

siendo p el precio por unidad del CD-ROM en euros y fo(p) y fd(p) las cantidades en cientos de unidades de CD-ROM.

a) Determinar el precio y la cantidad de equilibrio del mercado. b) Si el complejo oferta 4500 unidades, ¿a qué precio las venderá y cuántas venderá? c) Para un precio de 6 euros por unidad ¿qué situación se produce en el mercado?

6.- Representar, indicando el dominio y el recorrido de cada función: a) y = x2 + 3 b) f(x) = 2x2 –1 c) y = x2 – x – 2 d) f(x) = |x + 3|

e) f(x) = 3

1x f) y = |2x + 6| g) g(x) = – x2 + 3x h) y = – x2 + 4x – 6

7.- Una determinada empresa nos ofrece la oferta siguiente por conectarnos a Internet:

- Cuota mensual de abono 6 euros. - Cada hora de conexión 1,8 euros. a) Encontrar la función que nos indique el precio a pagar mensualmente, según las horas que se

haya establecido conexión. b) Representar gráficamente esta función. c) La empresa carga un 16% de IVA. ¿Cómo afecta esto a la función anterior y a su gráfica?

8.- Resolver las cuestiones siguientes:

a) Estudiar los intervalos en los cuales la función cuadrática f(x) = x2 – 6x + 5 es positiva y los intervalos en los que es negativa. ¿Se anula para algún valor?

b) Averiguar el eje de simetría de la función anterior y las coordenadas de su vértice. c) Hallar los intervalos en los cuales las ordenadas de la función f(x) = x2 – 5x + 6 sean iguales o

superiores a 2. d) Hallar una función cuadrática que se anule, para x = 1 y para x = –1. ¿Cuántas soluciones hay?



9.- Las funciones que aparecen a continuación, representan el beneficio, expresado en miles de euros, que obtiene una empresa por la fabricación de x unidades de dos productos distintos.

2110)()1600100(90

1)( 22 xxxgxxxf

a) Representar gráficamente las funciones. b) ¿Cuántas unidades hay que fabricar de cada producto para que no se produzcan pérdidas? c) ¿Cuál es el mayor beneficio posible? ¿Cuántas unidades deben fabricarse?

10.- Considérese la función

10817

80)(

2

tsit

tsibatttf .

La variable y = f(t) representa el precio (en euros) de un producto que ha estado diez años en el mercado, correspondiendo t = 0 a la salida del producto al mercado.

a) Calcular los valores a y b si el producto salió al mercado con un precio de 54 euros y alcanzó su precio máximo después de 4 años.

b) ¿Durante cuánto tiempo el precio superó los 48 euros? 11.- Si compramos 3 litros de helado nos cobran 11,72 euros y si pedimos 2,5 l nos cobran sólo 9,92 euros.

a) ¿Cuánto cuesta un litro de helado? b) ¿Nos cobran algo por el envase?

12.- Enrique cobra un sueldo base y una prima diaria por puntualidad. Como no entiende mucho de números, le enseña a un amigo las nóminas de los últimos meses, según la tabla siguiente, en la que figura el número de días que fue puntual cada mes y lo que cobró.

Enero Febrero Marzo Abril

Número de días con puntualidad 7 20 13 15

Sueldo 516,12 525,89 520,63 522,13

a) ¿Cuánto cobra de prima cada día que es puntual? b) ¿Cuál es el sueldo base, (si no le pagaran ninguna prima)? c) ¿Qué número de días con puntualidad necesita al mes para cobrar 522,88?

13.- Una empresa de alquiler de coches cobra una cantidad fija por día y otra cantidad por km recorrido. Dos amigos han alquilado 2 coches diferentes para 3 días. El primero, que recorrió 450 km, pagó 52,29 euros y el segundo, por 240 km pagó 45,98 euros. Calcula el coste fijo por un día. 14.- Representar, indicando el dominio y el recorrido de cada función. Observar también la continuidad, el crecimiento y decrecimiento de las gráficas. ¿Qué ocurre en cada gráfica cuando x→ - ∞ y cuando x→ + ∞? ¿Hay algún valor finito de x para el que la función no esté definida?

a) y = x

2 b) f(x) =

x2

1 c) y =

x

3 d) f(x) =

1

4

x

x e) g(x) =

2

82

x

x

15.- Representar la función

24

21)( 2 xsix

xsixxf y estudiar su continuidad y los límites siguientes:

).();();();(22

xfLimxfLimxfLimxfLimxxxx



1.- Calcular: 1

2)

12

2)

3

44)

5

1)

2

2

12

2

32

23

0

2

1

x

xxlímd

xx

xxlímc

xx

xxlímb

x

xlíma

xxxx

e) ¿Son determinados los resultados anteriores? Indicar cuáles lo son y cuáles no. f) ¿En qué casos de los siguientes hay indeterminaciones?

2,

3,

0

15,0,1,0,,,,4,

0

0,,·2,1·,

2,

1,

5

0,

0

3 5021

2.- Calcular los siguientes límites de funciones:

4

86)

2

4

x

xxLimax

1

1)

2

5

1

x

xLimbx

133

12)

23

2

1

xxx

xxLimcx

182710

12142)

23

23

1

xxx

xxxLimdx

x

xLimex

24)

0

11

11)

1

xx

xxLimfx

3453

3726)

26

23

xxx

xxxLimgx

xxxLimhx

53) 22

11) 22

xxLimix

xxxLimjx

)3()2() 2

2

33

542)

xx

xxLimkx

35

)1()1()

22

x

xxLimlx

3

23

2

5)

xxLimmx

27

292)

2

x

xxLimnx

3232) 22

xxxxLimñx

3.- Calcular los límites siguientes:

12

22)

363

)1()

4

2)

1)

274

23)

6

12)

212

2

12

2

2

22

2

3

xx

xLime

xx

xLime

x

xxLimd

xxLimc

xx

xLimb

xx

xxLima

xxx

xxx

4.- Dada la función

2,3

2,3)( 2 xx

xxxf

a) Hallar el dominio. b) Representar f(x).

c) Calcular Lím f(x) cuando 2,2,4,4 xxxx .

d) Estudiar la continuidad de la función. 5.- Clasificar las discontinuidades de cada función en el punto indicado.

1

1,2

1,)();3

3

1)() 2 xen

xx

xxxgbxen

xxfa



OTROS PROBLEMAS DE FUNCIONES

1.- Una compañía eléctrica cobra 10,82 euros fijos al mes por la cuota de potencia y 9 céntimos de euro por Kwh y otra cobra 12,62 por potencia y 8 céntimos de euro por Kwh. ¿A partir de qué consumo es más barata la segunda? 2.- Un frigorífico cuesta 360,60 euros y otro similar, 492,83 euros. El primero consume anualmente unos 72,12 euros en electricidad y el segundo, unas 54,09 euros.

a) ¿A partir de qué año de uso el segundo es más rentable? (Contando el coste de la compra) b) ¿Qué ahorro supondría comprar el segundo si los dos pueden durar 20 años?

3.- La siguiente gráfica representa la relación que existe entre el volumen y la masa de diversas sustancias en función de la densidad de las mismas.

20 Masa (gr)

15

10

5

2 4 6 8 10 Vol (cm3)

a) ¿Qué variables se relacionan? ¿Cómo son estas gráficas en cuanto a crecimiento y continuidad? b) Calcula la pendiente de cada una de estas rectas e indica el significado que tiene. ¿Cuál tiene

mayor densidad? ¿Y menor? Intenta encontrar la fórmula en cada una de ellas. c) ¿Qué peso en kg tendrán 3 dm3 de plata? d) ¿Qué volumen ocupará 1 kg de aceite?

4.- Ponemos un cazo de leche a temperatura ambiente de 15º en el fuego a calentar. Cada segundo que pasa la temperatura aumenta 5º. Encuentra la ecuación de la función que relaciona la temperatura con el paso del tiempo. Represéntala gráficamente. 5.- Un fontanero cobra 6 € por desplazamiento y 18 € por hora de trabajo.

a) Hacer una tabla que ilustre la situación. b) Encontrar una fórmula que relacione el tiempo en horas y el coste en euros. c) Dibujar la gráfica correspondiente. d) Calcular el importe de 2 h y 30 min. de trabajo. ¿Cuánto cobrará por 40 minutos? e) Si el fontanero ha cobrado 30 €. ¿Cuánto tiempo ha estado trabajando?

6.- Dibujar la recta que pasa por los puntos A (3, 4) y B (6, 6).

a) ¿Cuál es la ecuación de la recta r? b) Explicar el significado de la pendiente, indicando cuánto vale. c) Explicar el significado de la ordenada en el origen, indicando cuánto vale. d) ¿En qué punto corta la recta r al eje de abscisas? ¿Y al eje de ordenadas? e) Comprobar de dos formas distintas que el punto G(3, 2) no pertenece a la recta r. f) Trazar la recta s que pasa por el punto D (1, 1) y es paralela a la recta r. g) Escribir la ecuación de la recta s.

Plata

Aluminio

Aceite



7.- Escribir la ecuación de cada una de las siguientes rectas: R1: Su pendiente es 3 y su ordenada en el origen es 2. R2: Pasa por el punto (2, 2) y su ordenada en el origen vale – 5.

R3: Pasa por el punto

2,

5

3 y su pendiente es

2

3.

R4: Pasa por los puntos (–2, 3) y (–5, 4). R5: Su gráfica es la de la imagen adjunta. 8.- Tres lados de un rombo están sobre las rectas de ecuaciones siguientes:

y = – 3x –3, y = 3x + 3, y = – 3x+3 Encontrar la ecuación correspondiente al lado que falta, las coordenadas de los vértices y representar el rombo en unos ejes de coordenadas cartesianas.

9.- Representar gráficamente las funciones 2

3

1

2

xye

xy , y encontrar sus asíntotas.

10.- Calcular los límites de las funciones que se indican:

)32())32())32())32()25

xlímdxlímcxlímbxlímaxxxx

11.- Calcular: 3

1)

8

5)

1

3)

4)

4)

33200

x

xlíme

xlímd

xlímc

xlímb

xlíma

xxxxx

12.- Calcular los límites que se indican de las siguientes funciones definidas a trozos:

14

12)(

22

21)(

32

15332

)(2

2

xsix

xsixxh

xsix

xsixxg

xsix

xsixxxf

a) )(),(),(),(33

xfLímxfLímxfLímxfLímxxxx

b) )(),(),(),(22

xgLímxgLímxgLímxgLímxxxx

. ¿Es g(x) continua en su dominio?

c) Límites laterales de h(x) cuando x tiende a 1. ¿Es h(x) continua en su dominio? 13.- Estudiar el valor de la función y los límites laterales en x = –1 y en x = 0 de las siguientes funciones, indicando si son continuas en dichos puntos:

1,2

1,1

)()1,1

1,22)()

1,2

41,2

)() 2

x

xxxhc

xx

xxxgb

xx

xxxfa

Representar gráficamente las tres funciones.



MÁS PROBLEMAS DE FUNCIONES

1. El nivel de audiencia de un canal de televisión, que retransmite un partido durante dos horas, sigue la

función: )720060(180

1)( 2

xxxfy . Donde x=tiempo en minutos desde el comienzo de

retransmisión, f(x)= porcentaje de personas que conectan con el canal. a) ¿Qué porcentaje de personas están viendo este canal nada más empezar la retransmisión? ¿Y transcurrida una hora y media? b) Calcular el momento de máxima audiencia. Determinar el porcentaje de personas que ven dicho canal en ese momento. c) Si en el momento de máxima audiencia estaban viendo la televisión 3 millones de personas, ¿cuántas estaban viendo este canal?

2. Una empresa tiene dos máquinas trabajando. Los rendimientos de las máquinas, en x horas de

trabajo, siguen las funciones .100,3616)(848)( 22 xxxxgyxxxf

a) A lo largo de las 10 horas de la jornada de trabajo, ¿cuándo es creciente y cuándo es decreciente el rendimiento de la primera máquina? b) ¿En qué momento, de las 10 horas de la jornada de trabajo, rinden por igual las dos máquinas? c) ¿En qué momento, de las 10 horas de la jornada de trabajo, el rendimiento conjunto es máximo?

3. A un niño, que nació a comienzos del 2010, su padrino le ingresó en el banco 3.000 euros que van a convertirse en una cantidad que varía con el tiempo, t (en años desde el nacimiento), según la función

ttC )2.1(·3000)(

a) Demostrar razonadamente que la función es creciente. b) ¿Cuánto dinero habrá a comienzos de 2020? ¿Y cuando el recién nacido cumpla 18 años? c) ¿Cuántos años hay que dejar el dinero invertido para que se convierta en 6.000 euros?

4. Los costes de fabricación del nuevo ordenador súper rápido vienen dados por la función

3000040)( 2 xxxC , siendo x el número de ordenadores fabricados. Si cada ordenador se vende por

490 €, determinar: a) La función beneficios. b) ¿Cuántos ordenadores se deben vender para que los beneficios sean máximos? c) ¿A cuánto ascienden los beneficios máximos?

5. Un granjero tiene un cerdo de 150 kg, cuya alimentación le supone un gasto de 36 u.m./día (u.m.=unidades monetarias). El cerdo engorda 3 kg/día. En este momento podría venderlo a 120 u.m./kg, pero está bajando el precio por kilo a razón de 2 u.m. por día.

a) ¿En cuánto venderá el cerdo si espera 14 días? b) ¿Cuánto tiempo deberá esperar el granjero para vender el cerdo, con objeto de obtener el máximo beneficio?

6. El rendimiento de dos trabajadores, en metros por hora, marcando una zanja, viene dado por las

funciones ,80,,1505)(6619)( 22 xparamenterespectivaxxxgyxxxf siendo x el

tiempo transcurrido desde el comienzo de la jornada. a) ¿Qué trabajador comienza el día con mayor rendimiento? b) ¿Cuándo es máximo el rendimiento del primer trabajador? c) ¿Cuándo están rindiendo igual los dos trabajadores?



7. Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación, C(x) en euros, están relacionados con el número de juguetes fabricados, x, a través de la

siguiente expresión: .2502010

)(2

xx

xC El precio de venta de cada juguete es de 80 €.

a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios?

8. El precio en euros, P, de un producto depende del número de días, x, transcurridos desde que dicho

producto se puso en venta. La función que relaciona x y P es: .375203

)(2

xx

xP

a) Determinar si la función tiene máximo y/o mínimo. Razonar la respuesta. b) Si el producto se retira del mercado porque el precio es nulo, ¿cuándo ocurre esto? c) Estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función.

9. Para cerrar una vidriera se ha de colocar un cristal cuya superficie está limitada por las funciones

6)2(2 2 xyey . Dibujar el cristal.

10. La producción de una empresa (en unidades de un determinado producto), en función del número

de trabajadores, x, es .1200;5800)( 2 xxxxp El precio de venta de cada unidad, en función de la

producción, es 100

400)(p

ph

a) ¿Con qué número de trabajadores se alcanza la producción máxima? b) Si hay 50 trabajadores, ¿cuál es el precio de venta de cada unidad producida? c) ¿Qué número de trabajadores es necesario para que el precio de venta de cada unidad sea 205? d) ¿Cuáles serían los ingresos con 100 trabajadores?

11. Se espera que, en los próximos diez años, las ganancias (en millones de euros) de una empresa,

vengan dadas por la función .5202)( 2 tttP

a) Determinar cuándo las ganancias son iguales a 5 millones de euros. b) Determinar en qué años decrecen las ganancias ¿Cuándo son máximas? c) ¿Cuáles son las ganancias acumuladas durante los cinco primeros años?



AUTOEVALUACIÓN FINAL

1. Realiza las siguientes operaciones: a) 52

5

2·4

2

1·32·8

; b) 17528263

2. Se han cargado dos contenedores de igual peso y otra carga de 4 toneladas en un camión que soporta una

carga máxima de 12 toneladas. ¿Entre qué valores puede oscilar el peso de cada contenedor?

3. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas, con un total de 60 habitaciones y 100 camas. ¿Cuántas

habitaciones hay de cada clase?

4. Halla las soluciones de: a) 043 24 xx ; b) 0133 23 xxx

5. Una determinada especie de mamíferos da a luz un número variable de cachorros. Tras estudiar 35

familias durante un año se observan los siguientes resultados: Nº de cachorros 0 1 2 3 4 5 6 7

Nº de familias 2 3 10 10 5 0 5 0 a) Hallar las medidas de centralización. b) Calcular la desviación típica y el primer cuartil. c) ¿Qué porcentaje de familias tienen más de 5 cachorros?

6. La media de los pesos de los individuos de una población es 65 Kg. y la de sus estaturas, 170 cm. Las desviaciones típicas son 5 Kg. y 10 cm, respectivamente, y la covarianza de ambas variables es 40. a) ¿Cuál es el coeficiente de correlación?

b) Calcula la recta de regresión de los pesos respecto de las estaturas.

c) ¿Cuánto estimas que pesará un individuo de 180 cm. de estatura?

7. La tasa de desempleo en una comunidad es del 16% de los trabajadores. Se selecciona una muestra de 100 trabajadores. Calcular la probabilidad de que la muestra contenga:

a) Al menos 10 desempleados. b) No más de 5 desempleados.

8. Se tiene una población en la que la distribución de sus pesos es una normal de media 72’5 kg y la desviación típica es de 20 kg. Se pide:

a) ¿Qué porcentaje de esta población tiene un peso superior a 90 kg? b) Si elegimos una muestra de población de 100 personas, ¿cuántas tienen su peso comprendido

entre 75 y 80 kg?

9. La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, un proyectil que lanzamos verticalmente con

una velocidad de 500 m/s, es: 25500)( ttth

a) Haz la representación gráfica de la función. b) Di cuál es su dominio de definición y su recorrido. c) ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuál es ésta? d) ¿En qué intervalo de tiempo el proyectil está a una altura de 4.500 m?



PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES

1.- Operaciones entre paréntesis. 2.- Potencias y raíces. 3.- Multiplicaciones y divisiones. 4.- Sumas y restas.

Dentro de los paréntesis se sigue el mismo orden. Las operaciones con la misma prioridad se efectúan de izquierda a derecha. Si hay varios paréntesis se efectúan de dentro hacia fuera.

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

Propiedad Enunciado Ejemplo

nveces

n aaaaa ········· Una potencia de base a y exponente n es un producto de n factores iguales a la base. 813·3·3·33

···4

4

aaaaa

mnmn aaa ·

Producto de potencias que tienen la misma base, da otra potencia de la misma base y por exponente la suma de los exponentes.

25 · 2

3 = 2

8

mn

m

n

aa

a

División de potencias que tienen la misma base, da otra potencia de la misma base y exponente la resta de los exponentes.

23

5

22

2

10 a Cualquier número elevado a 0 es 1. 60 = 1

n

n

aa

1

Toda potencia de exponente entero negativo es el inverso de la misma potencia con exponente positivo.

33

5

5

2

3

3

2

4

14

y

nnn baba ·)·(

Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia.

22 4)2( xx

n

nn

b

a

b

a

Para elevar un cociente a una potencia se elevan a dicha potencia el numerador y el denominador. 4

9

2

3

2

32

22

mnmn aa · Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes. 1243 22

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

Propiedad Enunciado Ejemplo

n

mn m aa

Una raíz es una potencia de exponente fraccionario, en la cual el índice de la raíz es el denominador del exponente fraccionario y su numerador es el exponente del radicando.

353 5 22

nnn baba ··

El producto de dos radicales que tienen el mismo índice es otro radical de igual índice y por radicando el producto de los radicandos.

63·2

nn

n

b

a

b

a

El cociente de dos radicales que tienen el mismo índice es otro radical de igual índice y por radicando el cociente de los radicandos.

4

4

4

37

21

n mmn aa

La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo y por radicando la potencia del radicando.

3 443 66

mnn maa

·

La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices y por radicando el mismo.

124 3 55



http://www.vadenumeros.es/sociales/tabla-distribucion-normal-tipificada.htm

Tabla de distribución normal estándar N (0, 1)

Los valores de la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de z.

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7652

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8930

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9561 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9934 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9901 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9954 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0.9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

3,5 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

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