1

Aplicaciones geométricas.

Recta tangente a una curva en un punto

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y

cuya pendiente es igual a f '(a).

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 - 5x + 6 paralela a la recta

y =-3x -2 La pendiente de esta recta es m= -3

f'(a) = 2a – 5 2a − 5 = −3 a = 1

El punto de tangencia es P(1, 2) La recta tangente es y − 2= -3 (x − 1)

Recta normal a una curva en un punto

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y

cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplo:Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 y paralela

a la bisectriz del primer cuadrante (recta y = x ).

La pendiente de la recta dada es m = 1

f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente: y − 1 = x y = x +1

Recta normal: y − 1 = −x y = −x + 1

Crecimiento y decrecimiento

Crecimiento: Si f es derivable en a

2

Decrecimiento: Si f es derivable en a

Extremos:

Tenemos un máximo en x=a si

-La función existe en ese punto.

-En x=a la función pasa de ser creciente a decreciente.

Tenemos un mínimo en x=a si

-La función existe en ese punto. -En x=a la función pasa de ser decreciente a creciente.

Ejemplo1: Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

1. Derivar la función.

f '(x) = 3x2 −3

2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de

discontinuidad (si los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f'(x) > 0 es creciente.

Si f'(x) < 0 es decreciente.

Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.

f ' (-2) = 3(-2)2 −3 > 0

Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo. f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0

3

Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo. f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

De crecimiento: (−∞, −1) (1, ∞) De decrecimiento: (−1,1)

¿Dónde se encuentran los máximos y mínimos de esta función?

Ejemplo2: Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

¿Dónde se encuentran los máximos y mínimos de esta función?

4

Concavidad y convexidad.Puntos de inflexión.

Hemos tomado el criterio que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.

Ejemplos de cálculo Intervalos de concavidad y convexidad

Ejemplo 1: Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.

2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de

discontinuidad (si los hubiese).

3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f''(x) > 0 es cóncava. Si f''(x) < 0 es convexa.

Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1 f''(−1) = 6(−1) < 0 Convexa.

Del intervalo (0, ∞) tomamos x =1 f''(1) = 6 (1) > 0 Cóncava.

4. Escribimos los intervalos:

Concavidad: (0, ∞) Convexidad: (− ∞, 0)

5

Ejemplo 2:Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de la función

Puntos de inflexión

En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad

o viceversa.

y en a se produce un cambio de signo de

f’’

Optimización de funciones

Pasos para la resolución de problemas de optimización

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de

que haya más de una variable.

6

3.Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede

una sola variable.

4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Ejemplo:De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome

área máxima.

La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:

Relacionamos las variables:

2 x + 2 y = 12

x = 6 − y

Sustituimos en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque

no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

7

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de

área máxima sería un triangulo equilatero.

ACTIVIDADES

Recta tangente y normal.

1.-Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x

2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.

2.-Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto

(0,−2). Hallar el punto de tangencia.

3.-Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3)

y por (2, 1)., y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

4.-La gráfica de la función y = ax2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la

tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar

el valor numérico de a, b y c.

5.-Dada la función f(x) = ax3 + bx

2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa

por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son

paralelas al ejes de abscisas.

Problemas de optimización de funciones

1.-Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono.

¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

2.-Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad.

¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

8

3.-Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero

más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

4.-Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con

uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada

uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

5.-Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de

paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de

su construcción por m2 es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.

6.-Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80

cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye

una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.

7.-Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que

por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular:

La producción actual de la huerta.

La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.

La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles

más.

¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la

producción sea máxima?

Intervalos de crecimiento y decrecimento. Máximos y mínimos.

1.-Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes, así como

los máximos y mínimos:

.

Concavidad y convexidad.

ACTIVIDADES: Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión

de las funciones: