4 Sistemas lineales con parámetros

Álgebra

Introducción

En este tema se reúnen los conceptos y procedimientos básicos de lostemas anteriores de resolución de sistemas lineales, matrices y determi-nantes. Verás que las matrices y los determinantes son una herramientapoderosa y cómoda para discutir y resolver un sistema.

El tema comienza enseñando cómo se expresan los sistemas lineales enforma matricial y estudiando el teorema de Rouché, que proporcionauna método rápido y fácil para discutir un sistema lineal de ecuaciones.

Se cierra el tema con la discusión de sistemas con parámetros, que es unproblema clásico en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales.

Hoy en día existe una creciente preocupación por el consumo energéti-co y el medio ambiente. Aunque la utilización de las energías renova-bles y no contaminentes, como, por ejemplo, las obtenidas de los cursosde los ríos, las mareas, el viento, el sol, etc., se han incrementado nota-blemente en los últimos tiempos, ya desde la antigüedad se usaba estetipo de energía en norias, molinos, etc. La energía generada por estosinventos se puede calcular mediante la resolución de sistemas de ecua-ciones.

Organiza tus ideas

85

Sistemas lineales con parámetros

Teorema de Rouché el método de Gauss

determinadosR(C) = n

incompatiblesR(C) < R(A)

compatiblesR(C) = R(A)

indeterminadosR(C) < n

homogéneos(compatibles)

heterogéneosmatricial-

menteregla deCramer

se resuelven generalmente porse discuten con el

y si el sistema es de Cramer se pueden resolver

y se clasifican en

Álgebra

86

■ Piensa y calcula

Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones:

= )02()x

yz()1 2 –3

2 –1 0(

1. Teorema de Rouché

1.1. Matrices de un sistema linealEn un sistema de n ecuaciones lineales con p incógnitas

se distinguen las siguientes matrices:

En la matriz ampliada se separa con una barra vertical la columna de términosindependientes.

Ejemplo

ï =

cuyas matrices son:

1.2. Teorema de Rouché

� Demostración en detalle en la página 94

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si el rango de la ma-triz de los coeficientes, C, es igual al rango de la matriz ampliada con los tér-minos independientes, A.

Sistema compatible ï R(C) = R(A)

)2–3()x

yz()2 1 –3

1 –4 5(°¢£

2x + y – 3z = 2x – 4y + 5z = –3

°§§¢§§£

a11x1 + a12x2 + … + a1pxp = b1a21x1 + a22x2 + … + a2pxp = b2………………………………an1x1 + an2x2 + … + anpxp = bn

De los coeficientes

C = )a11 a12 … a1pa21 a22 … a2p… … … …an1 an2 … anp(

De las incógnitas

X = )x1x2…xp

(De los términosindependientes

B = )b1b2…bn

(De los coeficientes ampliada con

los términos independientes

A = )a11 a12 … a1p b1a21 a22 … a2p | b2… … … … …an1 an2 … anp bn(

De los coeficientes

C = )2 1 –31 –4 5(

De las incógnitas

X = )xyz(

De los términosindependientes

B = )2–3(

De los coeficientes ampliada conlos términos independientes

A = )2 1 –3 21 –4 5 | –3(

Expresión matricialde un sistema

= )b1b2…bn

()x1x2…xp

()a11 a12 … a1pa21 a22 … a2p… … … …an1 an2 … anp

(

Tema 4. Sistemas lineales con parámetros

87

1.3. Discutir un sistema

Estrategia para discutir o estudiar un sistema

Ejercicio resuelto

Discute el siguiente sistema:

Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:

|C| = = 0

Como el determinante de C es cero, se halla el rango de A y C por Gauss:

R = R = R

Se tiene que R(C) = R(A) = 2 < número de incógnitas ò Sistema heterogé-neo compatible indeterminado.

)1 2 1 10 5 –1 | –2()1 2 1 1

0 5 –1 | –20 5 –1 –2(3 · 1ª – 2ª

2 · 1ª – 3ª)1 2 1 13 1 4 | 52 –1 3 4(

|1 2 13 1 42 –1 3|

°§¢§£

x + 2y + z = 13x + y + 4z = 52x – y + 3z = 4

1

Si el número de ecuaciones coincide con el de incógnitas, se halla el determi-nante de la matriz de los coeficientes, y si es:a) Distinto de cero, el sistema es compatible determinado.b) Igual a cero, se calcula el rango de la matriz ampliada por Gauss.

Discutir o estudiar un sistema consiste en clasificarlo sin resolverlo aplican-do el teorema de Rouché. Para ello, se calcula el rango de la matriz de loscoeficientes, C, y el rango de la matriz ampliada con los términos indepen-dientes, A, y se sigue el esquema. La letra n es el número de incógnitas:

Compatible Determinado: R(C) = R(A) = n

Heterogéneo R(C) = R(A) Indeterminado: R(C) = R(A) < n

Sistema Incompatible: R(C) < R(A)

Homogéneo Determinado: R(C) = n(Compatible) Indeterminado: R(C) < n

1. Escribe los siguientes sistemas en forma matricial:

2. Escribe en forma ordinaria el siguiente sistema:

=

3. Discute los siguientes sistemas:

4. Discute los siguientes sistemas:

°§¢§£

x + 2y + z = 12x + 3y + 2z = 0x + y + 2z = 3

b)°§¢§£

2x + y – z = 0x + y = 1

–x + z = 1

a)

°§¢§£

3x + 2y + 2z = 153x – 2y – 2z = –1–x + 3y + 3z = 3

b)°§¢§£

3x – y + 2z = 1x + 4y + z = 0

2x – 5y = –2

a)

)130()x

yz()1 0 –2

3 1 12 –1 2(

°§¢§£

2x + y – z = 2x + y + 2z = 5

–x + 5z = 3

b)°§¢§£

x – y = 22x + y + 2z = 0x – y + 2z = 1

a)

● Aplica la teoría

Relación entre rangosLa matriz ampliada, A, se forma añadiendo una columna a la ma-triz de los coeficientes, C. Por lotanto, siempre se verifica:

R(C) Ì R(A)

°¢£

°¢£

°§¢§£

°§§§§¢§§§§£

Se elimina la 3ª fila porque es igual que la 2ª

Álgebra

88

■ Piensa y calcula

Dado el siguiente sistema, resuélvelo matricialmente:

= )34()x

y()1 11 2(

2. Regla de Cramer y forma matricial

2.1. Regla de CramerUn sistema es de Cramer si tiene el mismo número de ecuaciones que de incóg-nitas y el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, es de-cir, el sistema es compatible determinado.

� Demostración en detalle en la página 95

Ejercicio resuelto

Resuelve por Cramer el siguiente sistema:

Determinante de los coeficientes:

|C| = = 24

La solución es:

x = = – = –3

y = = = 4

z = = = 24824

2 –1 –8|1 3 5|2 1 4

24

9624

2 –8 1|1 5 –2|2 4 3

24

7224

–8 –1 1| 5 3 –2|4 1 3

24

|2 –1 11 3 –22 1 3|

°§¢§£

2x – y + z = –8x + 3y – 2z = 5

2x + y + 3z = 4

2

En un sistema de Cramer, cada incógnita es el cociente de dos determi-nantes:a) El determinante del denominador es el de la matriz de los coeficientes.b) El determinante del numerador es el que resulta de sustituir, en el deter-

minante de los coeficientes, la columna correspondiente a los coeficientesde la incógnita que se despeja, por los términos independientes.

Tema 4. Sistemas lineales con parámetros

89

2.2. Resolución de un sistema matricialmente

Ejercicio resuelto

Resuelve matricialmente el siguiente sistema:

Se escribe el sistema en forma matricial:

=

Se calcula la inversa de la matriz de los coeficientes:

C–1 =

–1

=

Multiplicando, se tiene:

= =

La solución es: x = –3, y = 2, z = 1

)–321()0

45()10 –7 5

–4 3 –21 –1 1()x

yz(

)10 –7 5–4 3 –2

1 –1 1()1 2 –12 5 01 3 2(

)045()x

yz()1 2 –1

2 5 01 3 2(

°§¢§£

x + 2y – z = 02x + 5y = 4x + 3y + 2z = 5

3

Para resolver un sistema matricialmente se escribe la matriz de los coeficien-tes, C, la matriz columna de las incógnitas, X, y de los términos independien-tes, B, y se escribe el sistema en forma matricial:

CX = B ò X = C–1B

5. Resuelve por Cramer:

6. Resuelve por Cramer en función del parámetro a:

7. Resuelve por Cramer:

8. Resuelve matricialmente el sistema:

9. Resuelve matricialmente el sistema:

=

10. Resuelve matricialmente el sistema:

°§¢§£

2x – 3y + z = –7x + 4y + 2z = –1x – 4y = –5

)2–7–5()x

yz()5 8 1

3 –2 62 1 –1(

°§¢§£

3x + 2y + z = 52x – y + z = 6x + 5y = –3

°§§¢§§£

4x + 4y + 5z + 5t = 02x + 3z – t = 10x + y – 5z = –10

3y + 2z = 1

°§¢§£

x + y = ax + z = 0x + 2y + z = 2

°§¢§£

x + y – 2z = 62x + 3y – 7z = 165x + 2y + z = 16

b)°§¢§£

2x + y = 5x + 3z = 16

5y – z = 10

a)

● Aplica la teoría

Álgebra

90

■ Piensa y calcula

Resuelve mentalmente el siguiente sistema:

°§¢§£

x + y = 02x + y = 13x + 2y = 1

3. Resolución de sistemas de cuatro ecuaciones

3.1. Resolución de un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas

Ejercicio resuelto

Resuelve el siguiente sistema:

Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:

|C| = = = 0

El sistema no es de Cramer porque |C| = 0; se resuelve por Gauss.

R = R =

= R

R(C) = R(A) = 3 < número de incógnitas ò Sistema compatible indetermi-nado. El sistema es equivalente a:

ò ò

La solución, en ecuaciones paramétricas, es:

l é�

°§§¢§§£

x = 3y = –1 + lz = 1 + lt = l

°§¢§£

x = 3y = –1 + tz = 1 + t

°§¢§£

x + 2y + z = 2 + 3ty + z = 2t

z = 1 + t

°§¢§£

x + 2y + z – 3t = 2y + z – 2t = 0

z – t = 1

)1 2 1 –3 20 1 1 –2 | 00 0 1 –1 1(

)1 2 1 –3 20 1 1 –2 | 00 0 1 –1 10 0 2 –2 2(2ª – 2 · 1ª

3ª – 1ª

4ª – 3 · 1ª)1 2 1 –3 2

2 5 3 –8 | 41 2 2 –4 33 6 5 –11 8(

4ª = 2 · 3ª|1 2 1 –3

0 1 1 –20 0 1 –10 0 2 –2|2ª – 2 · 1ª

3ª – 1ª

4ª – 3 · 1ª|1 2 1 –3

2 5 3 –81 2 2 –43 6 5 –11|

°§§¢§§£

x + 2y + z – 3t = 22x + 5y + 3z – 8t = 4x + 2y + 2z – 4t = 3

3x + 6y + 5z – 11t = 8

4

Para resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, se calcula:a) el determinante de la matriz de los coeficientes para ver si el sistema es de Cra-

mer. Si lo es, se puede resolver por Cramer, aunque por Gauss es más sencillo.b) Si no es de Cramer, se resuelve por Gauss.

Se elimina la 4ª fila por-que es igual que: 2 · 3ª

Tema 4. Sistemas lineales con parámetros

91

3.2. Resolución de un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas

Ejercicio resuelto

Clasifica el siguiente sistema y, si es compatible, resuélvelo:

No es un sistema de Cramer porque no tiene el mismo número de ecuacionesque de incógnitas.

R = R =

= R = R

R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas ò El sistema es heterogéneo com-patible determinado.

El sistema es equivalente a:

ò ò

La solución del sistema es: x = 2, y = –1, z = 3

x = 2°§¢§£

x – 1 = 1y = –1z = 3

y = –1°§¢§£

x + y = 1y + 3 = 2

z = 3z = 3

°§¢§£

x + y = 1y + z = 2

z = 3

)1 1 0 10 1 1 | 20 0 1 3(

3ª/5)1 1 0 1

0 1 1 | 20 0 5 15(

4 · 2ª – 4ª)1 1 0 1

0 1 1 | 20 1 1 20 4 –1 –7(1ª – 3ª

3 · 1ª – 4ª)1 1 0 1

0 1 1 | 21 0 –1 –13 –1 1 10(

°§§¢§§£

x + y = 1y + z = 2

x – z = –13x – y + z = 10

5

Como un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas no puede ser de Cramer, seestudia la compatibilidad del sistema calculando los rangos de la matriz am-pliada y de los coeficientes, y, si es compatible, se resuelve aplicando Gauss.

11. Resuelve el siguiente sistema:

12. Resuelve el siguiente sistema:

13. Resuelve el siguiente sistema:

14. Resuelve el siguiente sistema:

°§§¢§§£

x – y + z = 52x + y – 4z = 1x + y – z = 2x – y – z = 0

°§§¢§§£

2x + y + z = 4x – y + z = 1

3x – y – z = 16x – y + z = 6

°§§¢§§£

x + z + t = 1y + z – t = 1y + z – 2t = 2

z – t = 0

°§§¢§§£

x + y + 2t = 33x – y + z – t = 15x – 3y + 2z – 4t = –12x + y + z + t = 2

● Aplica la teoría

Álgebra

92

■ Piensa y calcula

Discute, según los valores de k, el siguiente sistema:°¢£

x + y = 32x + 2y = k

4. Discusión de sistemas con parámetros

4.1. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Ejercicio resuelto

Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema:

a) Se calcula: |C| = = 3k2 – k3

3k2 – k3 = 0 ò k2(3 – k) = 0 ò k = 0, k = 3

• Para todo valor de k ? 0 y k ? 3, se verifica que:

R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema escompatible determinado.

b) Se estudian los valores que son raíces de |C| = 0

• Para k = 0 se tiene el sistema: ò x + y + z = 0

Se tiene que R(C) = R(A) = 1 < número de incógnitas y, por lo tanto, elsistema es compatible indeterminado.

• Para k = 3 se tiene el sistema:

R = R =

= R Se tiene que R(C) = 2 ? R(A) = 3 y, porlo tanto, el sistema es incompatible.)–2 1 1 0

0 1 –1 | –20 0 0 12(

2ª : (–3)

2ª + 3ª)–2 1 1 00 –3 3 | 60 3 –3 6(1ª + 2 · 2ª

3ª – 2ª)–2 1 1 01 –2 1 | 31 1 –2 9(

°§¢§£

–2x + y + z = 0x – 2y + z = 3x + y – 2z = 9

°§¢§£

x + y + z = 0x + y + z = 0x + y + z = 0

|1 – k 1 11 1 – k 11 1 1 – k

|

°§¢§£

(1 – k)x + y + z = 0x + (1 – k)y + z = kx + y + (1 – k)z = k2

6

La mejor estrategia para discutir estos sistemas es:a) Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes y se hallan sus

raíces. Para aquellos valores para los que no se anule el determinante, setendrá que R(C) = R(A) = 3, y el sistema será compatible determinado.

b) Para los valores que son raíces del determinante de la matriz de los coefi-cientes, se estudia el sistema por Gauss.

Discutir un sistema en fun-ción de un parámetro consis-te en clasificar el sistema en fun-ción de los valores del parámetro.

Tema 4. Sistemas lineales con parámetros

93

4.2. Sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas

Ejercicio resuelto

Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema:

a) Se calcula: |A| = = k – 1

k – 1 = 0 ò k = 1

• Para todo valor de k ? 1, se verifica que:

R(C) < R(A) = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible.

b) Se estudian los valores que son raíces de |A| = 0

• Para k = 1 se tiene:

R = R

Se tiene que R(C) = R(A) = 2 = número de incógnitas y, por lo tanto, elsistema es compatible determinado.

)1 1 11 2 | 1()1 1 1

1 2 | 11 1 1(

|k 1 11 k + 1 11 k 1|

°§¢§£

kx + y = 1x + (k + 1)y = 1x + ky = 1

7

La mejor estrategia para discutir estos sistemas es:a) Se calcula el determinante de la matriz ampliada y se hallan sus raíces. Para

aquellos valores para los que no se anule el determinante, se tendrá que:R(C) Ì 2 y R(A) = 3, y el sistema será incompatible.

b) Para los valores que son raíces del determinante de la matriz ampliada, seestudia el sistema por Gauss.

15. Discute, según los valores del parámetro a, los si-guientes sistemas:

16. Discute, según los valores del parámetro k, los si-guientes sistemas:

17. Discute, según los valores del parámetro a, el siguien-te sistema:

18. Discute, según los valores del parámetro m, los si-guientes sistemas:

°§¢§£

(2m + 2)x + my + 2z = 2m – 22x + (2 – m)y = 0

(m + 1)x + (m + 1)z = m – 1

b)

°§¢§£

x + y = 1mx + z = 0

x + (1 + m)y + mz = m + 1

a)

°§¢§£

3x + 10y = –4ax + y = 1x + 3y = –1

°§¢§£

x + y + z = 0kx + 2z = 02x – y + kz = 0

b)°§¢§£

kx + y + z = 4x + y + z = kx – y + kz = 2

a)

°§¢§£

(a + 1)x + y + z = 0x + (a + 1)y + z = 0x + y + (a + 1)z = 0

b)

°§¢§£

ax + y + z = 1x + ay + z = ax + y + az = a2

a)

● Aplica la teoría

94

ProfundizaciónProfundización: demostraciones1.2. Teorema de Rouché

Demostración

La demostración se hará representando el sistema en forma vectorial, que consiste en poner el sistema como unacombinación lineal de los vectores columna de la matriz de los coeficientes, es decir:

ï x1 + x2 + … + xp =

Si se llama C1, C2, …, Cp a las columnas de la matriz de los coeficientes, el sistema se expresa de forma reducida:

C1x1 + C2x2 + … + Cpxp = B

El teorema es una equivalencia o doble implicación; por lo tanto, la demostración tiene dos partes:

a) Si el sistema es compatible ò R(C) = R(A)

Si el sistema es compatible, tiene solución; es decir, existen s1, s2, …, sp tales que:

C1s1 + C2s2 + … + Cpsp = B

Luego el vector columna B es combinación lineal de los vectores columna: C1, C2, …, Cp, es decir, si a la matrizde los coeficientes C se le añade un vector columna que es combinación lineal de los vectores columna de C, elrango no varía.

Por lo tanto:

R(C1, C2, …, Cp) = R(C1, C2, …, Cp, B)

R(C) = R(A)

b)Si R(C) = R(A )ò el sistema es compatible

Si se tiene que:

R(C) = R(A)

se verifica:

R(C1, C2, …, Cp) = R(C1, C2, …, Cp, B)

Por lo tanto, el vector B es combinación lineal de los vectores: C1, C2, …, Cp

y entonces existen unos números: s1, s2, …, sp tales que:

C1s1 + C2s2 + … + Cpsp = B

De lo que se deduce que s1, s2, …, sp es una solución del sistema; luego el sistema es compatible.

)b1b2…bn

()a1pa2p…anp()a12

a22…an2()a11

a21…an1(°

§§¢§§£

a11x1 + a12x2 + … + a1pxp = b1a21x1 + a22x2 + … + a2pxp = b2………………………………an1x1 + an2x2 + … + anpxp = bn

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si el rango de la matriz de loscoeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes.

Sistema compatible ï R(C) = R(A)

95

Tem

a 4

.Si

ste

ma

s li

ne

ale

s c

on

pa

rám

etr

os

Profundización2.1. Regla de Cramer

Demostración

Dado el sistema de Cramer:

ï =

el sistema se puede escribir de forma abreviada: CX = BComo el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, la matriz C de los coeficientes es regular ytiene inversa; por lo tanto, se tiene:

X = C–1 · BEscribiendo las matrices, se tiene:

=

Se despeja cada incógnita y se utiliza el desarrollo de un determinante por los elementos de una columna escritos enforma inversa.

x1 = =

x2 = =

…………………………………………………………

xn = =

a11 a12 … b1| a21 a22 … b2 |… … … …an1 an2 … bn

|C|

b1A1n + b2A2n + … + bnAnn

|C|

a11 b1 … a1n| a21 b2 … a2n |… … … …an1 bn … ann

|C|

b1A12 + b2A22 + … + bnAn2

|C|

b1 a12 … a1n| b2 a22 … a2n |… … … …bn an2 … ann

|C|

b1A11 + b2A21 + … + bnAn1

|C|

)b1b2…bn

()A11 A21 … An1A12 A22 … An2… … … …A1n A2n … Ann(1

|C|)x1x2…xp

(

)b1b2…bn

()x1x2…xn

()a11 a12 … a1na21 a22 … a2n… … … …an1 an2 … ann(°

§§¢§§£

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2………………………………an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn

En un sistema de Cramer, cada incógnita es el cociente de dos determinantes:a) El determinante del denominador es el de la matriz de los coeficientes.b) El determinante del numerador es el que resulta de sustituir, en el determinante de

los coeficientes, la columna correspondiente a los coeficientes de la incógnita que sedespeja, por los términos independientes.

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas resueltos

8. Resuelve las cuestiones:

a) Clasifica el sistema siguientesegún los valores del pará-metro k

b) Resuelve por Cramer parak = 2

°§¢§£

kx + y – 2z = 0–x – y + kz = 1x + y + z = k

a) Clasificación:

= –k2 + 1 ò –k2 + 1 = 0 ò k2 = 1 ò k = 1, k = –1

Para k ? 1, k ? –1, R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas, sistema hetero-géneo compatible determinado.

Para k = 1

R = R =

= R

R(C) = 2 ? R(A) = 3, sistema heterogéneo incompatible.

Para k = –1

R = R

R(C) = R(A) = 2 < número de incógnitas, sistema heterogéneo compatible in-determinado.

b) Resolución por Cramer para k = 2

ò = –3

x = = = 1

y = = = 0

z = = = 1

Solución: x = 1, y = 0, z = 1

–3–3

2 1 0| –1 –1 1 |1 1 2

–3

0–3

2 0 –2| –1 1 2 |1 2 1

–3

–3–3

0 1 –2| 1 –1 2 |2 1 1

–3

|2 1 –2–1 –1 2

1 1 1|°

§¢§£

2x + y – 2z = 0–x – y + 2z = 1

x + y + z = 2

)–1 1 –2 00 2 –1 | –10 0 0 0(1ª – 2ª

2ª + 3ª)1 1 –2 0–1 –1 –1 | 1

1 1 1 –1(

)1 1 –2 00 0 –1 | 10 0 0 4(

2 · 2ª + 3ª)1 1 –2 00 0 –1 | 10 0 2 2(1ª + 2ª

2ª + 3ª)1 1 –2 0–1 –1 1 | 1

1 1 1 1(

|k 1 –2–1 –1 k1 1 1

|Discutir un sistema 3 Ò 3 con un parámetro y resolver por Cramer

96

Ejercicios y problemas

9. Resuelve las cuestiones:

a) Calcula la matriz inversa de:

A =

b) Escribe de forma matricialel siguiente sistema y re-suélvelo usando la matriz A–1,hallada en el apartado ante-rior:

°§¢§£

x + y = 1y + z = –2x + z = 3

)1 1 00 1 11 0 1(

a) Matriz inversa:

A–1 =

b) En forma matricial:

=

AX = B ò X = A–1B

= =

Solución: x = 3, y = –2, z = 0

)3

–2

0()1

–2

3()1 1 1— –— —

2 2 21 1 1— — –—2 2 21 1 1–— — —2 2 2

()x

y

z()1

–23()x

yz()1 1 0

0 1 11 0 1(

)1 1 1— –— —2 2 21 1 1— — –—2 2 21 1 1–— — —2 2 2

(Resolver un sistemas 3 Ò 3 aplicando la matriz inversa

97

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10. Resuelve el siguiente sistema:

°§§¢§§£

x – 2y + z – 3v = –4x + 2y + z + 3v = 4

2x – 4y + 2z – 6v = –82x + 2z = 0

Eliminamos la 3ª porque es el doble de la 1ª

ò

3v = 4 – 2y ò

Solución general: z = –x, v =

Soluciones paramétricas: x = l, y = µ, z = –l, v = ; l, µ é�4 – 2µ

3

4 – 2y3

°§§¢§§£

x – 2y – x – 4 + 2y = –44 – 2yv = —

3z = –x

°§¢§£

x – 2y + z – 3v = –42y + 3v = 4

z = –x

3ª/2

z = –x

°§¢§£

x – 2y + z – 3v = –44y + 6v = 8

x + z = 02ª – 1ª

3ª/2

°§¢§£

x – 2y + z – 3v = –4x + 2y + z + 3v = 4

2x + 2z = 0

Resolver un sistema 4 Ò 4 heterogéneo

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas resueltos

11. Considera el siguiente sistemade ecuaciones:

a) Resuélvelo para el valor dea que lo haga compatible in-determinado.

b) Resuelve el sistema que seobtiene para a = 2

ax + y + z = 4x – ay + z = 1x + y + z = a + 2

°§¢§£

= –a2 + 1 ò –a2 + 1 = 0 ò a2 = 1 ò a = 1, a = –1

Para a ? 1, a ? –1, R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas, sistema heterogé-neo compatible determinado.

Para a = 1

R = R

R(C) = 2 ? R(A) = 3, sistema heterogéneo incompatible.

Para a = –1

R = R

R(C) = R(A) = 2 < número de incógnitas, sistema heterogéneo compatible inde-terminado.

a) Resolución cuando es compatible indeterminado:

Pasamos de la última matriz en la que hemos calculado el rango a forma desistema:

ò

Solución general: x = –3/2, y = 5/2 – z

Solución en paramétricas: x = –3/2, y = 5/2 – l, z = l; l é�

b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2

Cambiamos la 1ª ecuación con la segunda:

ò

Solución: x = 0, y = 1, z = 3

x = 0z = 3y = 1

°§¢§£

x – 2 + 3 = 15 – z = 2

y = 1

y = 1

°§¢§£

x – 2y + z = 15y – z = 23y = 3

2ª – 2 · 1ª

3ª – 1ª

°§¢§£

x – 2y + z = 12x + y + z = 4x + y + z = 4

°§¢§£

2x + y + z = 4x – 2y + z = 1x + y + z = 4

°¢£

–x + 5/2 – z + z = 4y = 5/2 – zy = 5/2 – z

°¢£

–x + y + z = 42y + 2z = 5

)–1 1 1 40 2 2 | 50 0 0 0(1ª + 2ª

2ª – 3ª)–1 1 1 41 1 1 | 11 1 1 1(

)1 1 1 40 2 0 | 30 0 0 1(1ª – 2ª

1ª – 3ª)1 1 1 41 –1 1 | 11 1 1 3(

|a 1 11 –a 11 1 1|

Discutir y resolver un sistema 3 Ò 3 heterogéneo con un parámetro

98

Ejercicios y problemas

12. Dado el sistema homogéneo:

averigua para qué valores de ktiene soluciones distintas dex = y = z = 0. Resuélvelo entales casos.

°§¢§£

x + ky – z = 0kx – y + z = 0

(k + 1)x + y = 0

= k2 – k – 2 ò k2 – k – 2 = 0 ò k = 2, k = –1

Para k ? 2, k ? –1, R(C) = 3 = número de incógnitas, solo tiene la solución x = y = z = 0

Para k = 2

ò

La solución general es: x = –z/5, y = 3z/5

La solución en paramétricas: x = –l/5, y = 3l/5, z = l; l é�

Para k = –1

ò

La solución general es: x = z, y = 0

La solución en paramétricas: x = l, y = 0, z = l; l é�

x = z°§¢§£

x – z = 0–x + z = 0

y = 0

°§¢§£

x – y – z = 0–x – y + z = 0

y = 0

x = –z/5°¢£

x + 6z/5 – z = 0y = 3z/5

y = 3z/5°§¢§£

x + 2y – z = 05y – 3z = 05y – 3z = 0

2 · 1ª – 2ª

3 · 1ª – 3ª

°§¢§£

x + 2y – z = 02x – y + z = 03x + y = 0

|1 k –1k –1 1

k + 1 1 0|

Discutir y resolver un sistema 3 Ò 3 homogéneo con un parámetro

13. Dado el sistema:

discútelo según los valores dea, y resuélvelo cuando seacompatible.

°§§¢§§£

x + 3y – az = 4–ax + y + az = 0–x + 2ay = a + 22x – y – 2z = 0

= a3 – a2 – 8a + 12

a3 – a2 – 8a + 12 = 0 ò a = 2, a = –3

Para a ? 2, a ? –3, R(C) < R(A) = 4, sistema heterogéneo incompatible.

Para a = 2, R(C) = R(A) = 2 < número de incógnitas, sistema heterogéneo com-patible indeterminado.

Solución: x = 8z/7 + 4/7, y = 2z/7 + 8/7

Para a = –3, R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas, sistema heterogéneo com-patible determinado.

Solución: x = 1, y = 0, z = 1

|1 3 –a 4–a 1 a 0–1 2a 0 a + 22 –1 –2 0

|Discutir y resolver un sistema 4 Ò 3 heterogéneo con un parámetro

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Ejercicios y problemasEjercicios y problemas resueltos

14. Dado el sistema de ecuacio-nes lineales

se pide:

a) Discutir el sistema segúnlos valores del parámetro a.Resolverlo cuando la solu-ción sea única.

b) Determinar para qué valoro valores de a el sistematiene una solución en la quey = 2

°¢£

x – ay = 2ax – y = a + 1

a) Discusión

= a2 – 1 ò a2 – 1 = 0 ò a = 1, a = –1

Para a ? 1, a ? –1, R(C) = R(A) = 2 = número de incógnitas, sistema compa-tible determinado.

Para a = 1

R = R

R(C) = R(A) = 1 < número de incógnitas, sistema heterogéneo compatible in-determinado.

Para a = –1

R = R

R(C) = 1 ? R(A) = 2, sistema heterogéneo incompatible.

La solución es única cuando a ? 1, a ? –1; hay que resolverlo en función de a

ò = a2 – 1

x = = = =

y = = = – = –

Solución: x = , y = – ; a ? ±1

b) Si y = 2, sustituimos y = 2 y resolvemos el sistema:

ò

2a2 + 2a – 2 = a + 1 ò 2a2 + a – 3 = 0

a = = =

Tiene la solución y = 2 cuando a = 1, a = –3/2

1–3/2

–1 ± 54

–1 ± √1 + 244

x = 2a + 2a(2a + 2) – 2 = a + 1

°¢£

x – 2a = 2ax – 2 = a + 1

1a + 1

a + 2a + 1

1a + 1

a – 1(a + 1)(a – 1)

–a + 1a2 – 1

1 2| a a + 1 |a2 – 1

a + 2a + 1

(a + 2)(a – 1)(a + 1)(a – 1)

a2 + a – 2a2 – 1

2 –a|a + 1 –1 |a2 – 1

|1 –aa –1|°

¢£

x – ay = 2ax – y = a + 1

)1 –1 20 0 | 2(1ª + 2ª)1 1 2

–1 –1 | 0(

)1 –1 20 0 | 0(1ª – 2ª)1 –1 2

1 –1 | 2(

|1 –aa –1|

Discutir y resolver un sistema 2 Ò 2 heterogéneo con un parámetro

100

Preguntas tipo test

Un sistema lineal heterogéneo es compatible deter-minado si (C, matriz de los coeficientes, y A, matrizampliada con los términos independientes):

R(C) < R(A)

R(C) = R(A) = Nº de incógnitas

R(C) > R(A)

R(C) ? R(A)

Si tenemos el sistema lineal matricial CX = B tal queexiste C–1, la solución es:

X = BC X = BC–1

X = CB X = C–1B

Un sistema lineal homogéneo:

siempre es compatible.

siempre es incompatible.

unas veces es compatible y otras incompatible.

ninguna de las anteriores es cierta.

Un sistema lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas:

si R(C) = R(A) = 2, es compatible.

si R(A) = 3, es compatible.

si R(C) = 3, es compatible.

si R(C) = R(A) = 3, es compatible.

Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incóg-nitas:

si R(C) = R(A) = 2, es compatible determinado.

si R(C) ? R(A), es compatible determinado.

si R(C) = R(A) = 3, es compatible determinado.

si R(C) < R(A), es compatible determinado.

Discutir el siguiente sistema según los valores del pa-rámetro k

Es siempre incompatible.

Para k ? 0, compatible determinado.

Para k = 0, compatible determinado.

Para k = 0, compatible indeterminado.

Se considera el sistema:

donde a es un parámetro real.

Discutir el sistema en función del valor de a

Para a = 0, no tiene solución, y para a = 1, com-patible indeterminado.

Si a ? 0, incompatible, y si a = 0, compatible inde-terminado.

Si a = 0, incompatible, y si a ? 0, compatible inde-terminado.

Si a ? 1, incompatible, y si a = 1, compatible inde-terminado.

Se considera el sistema:

donde a es un parámetro real.

Resuelve el sistema para a = 0

Resuelve el sistema para a = 1

Para a = 0 no tiene solución; para a = 1,x = –2z + 1, y = –z + 2

Para a = 0, x = y = z = 0; para a = 1 no tiene so-lución.

Para a = 0, x = 2, y = –3, z = 5; para a = 1, x = 1,y = 2, z = 3

Para a = 0, x = –1, y = –2, z = –3; para a = 1, x = 3,y = 2, z = 0

Dado el sistema:

estudia su compatibilidad según los valores de a

Si a ? 0, a ? 2, compatible determinado; si a = 1,incompatible; si a = 2 incompatible.

Si a ? 1, compatible determinado; si a = 1, com-patible indeterminado.

Si a ? 0, compatible determinado; si a = 0, com-patible indeterminado.

Si a ? –1, a ? 3, compatible determinado; sia = –1, incompatible; si a = 3, incompatible.

Dado el sistema:

resuélvelo cuando sea posible.

Si a ? 1, x = 1, y = 1, z = 1 – a

Si a = 1, x = 1/2, y = 1/2, z = (1 – a)/2

x = 1/2, y = 1/2, z = (1 – a)/2 para a ? 1 y x = l,y = 1 – l, z = 0; l é� para a = 1

No se puede resolver porque R(C) ? R(A)

°§¢§£

ax + y + z = 1x + ay + z = 1x + y = 1

10

°§¢§£

ax + y + z = 1x + ay + z = 1x + y = 1

9

°§¢§£

x – y + z = –1y + z = 2a

x + 2z = a28

°§¢§£

x – y + z = –1y + z = 2a

x + 2z = a27

kx + ky – z = 23x – ky = 05x + ky = 0x + 2z = 1

°§§¢§§£

6

5

4

3

2

1

Contesta en tu cuaderno:

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas

101

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102

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos1. Teorema de Rouché

19. Discute los siguientes sistemas:

20. Discute los siguientes sistemas:

21. Discute los siguientes sistemas:

22. Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema:

2. Regla de Cramer y forma matricial

23. Resuelve por Cramer:

24. Resuelve por Cramer:

25. Resuelve matricialmente:

=

26. Resuelve matricialmente:

=

3. Resolución de sistemas de cuatroecuaciones

27. Resuelve el siguiente sistema:

28. Resuelve el siguiente sistema:

29. Resuelve el siguiente sistema:

30. Resuelve el siguiente sistema:

4. Discusión de sistemas con parámetros

31. Discute, según los valores del parámetro m, los si-guientes sistemas:

32. Discute, según los valores del parámetro a, los siguien-tes sistemas:

33. Discute, según los valores del parámetro k, los siguien-tes sistemas:

°§§¢§§£

x + y = 13x + 2y – z = 3kx + 3y – 2z = 0–x – 4z = 3

b)°§¢§£

3x – 5y = 6x + y = kx + 2y = 2

a)

°§¢§£

x + y + 2z = 22x – y + 3z = 25x – y + az = 6

b)°§¢§£

x + y + 2z = 32x – y + az = 9x – y – 6z = 5

a)

°§¢§£

(m + 1)x + y + z = 3x + 2y + mz = 4x + my + 2z = 2

b)

°¢£

mx + my = 6x + (m – 1)y = 3

a)

°§§¢§§£

x + 2y – 3z + t = 12x – y – z – 3t = 27x – y – 6z – 8t = 74x + 3y – 7z – t = 4

°§§¢§§£

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

°§§¢§§£

x + y + z = 2x + 2y – 3z = 8

2x – y – z = 1x – y + z = –2

°§§¢§§£

x + y – 2z + 2t = 22x – y + z – 4t = 1x + 2y + z = 3x + z – 2t = 1

)2–2

0()xyz()1 0 1

1 1 00 1 1(

)123()x

yz()1 2 1

2 –1 21 1 2(

°§¢§£

x + 2y + 3z = 0x + 2y + z = 0

2x + 3y + 4z = 2

b)°§¢§£

x + y + z = 13x – 4y = 57x – y – 3z = 8

a)

°§¢§£

3x + 2y + 4z = 12x + y + z = 0x + 2y + 3z = 1

b)

°§¢§£

7x + 2y + 3z = 155x – 3y + 2z = 15

10x – 11y + 5z = 36

a)

°§¢§£

2x + 4y – z + 2t = 0x + y + z = 3

5x – 2y – 4z – t = –12

°§¢§£

x + 2y – 4z = 12x + y – 5z = –1x – y – z = –2

b)°§¢§£

2x – y + z = –2x + 2y + 3z = –1x – 3y – 2z = 3

a)

°§¢§£

8x + y + 4z = 95x – 2y + 4z = 6x + y = 1

b)°§¢§£

2x + y + 4z = 04x – y + 2z = –43x – y + z = –2

a)

°§¢§£

5x + 4y + 5z = 9x – 2y = 1

5x + 3y + 5z = 5

b)°§¢§£

3x – y + 2z = 1x + 4y + z = 3

2x – 5y + z = –2

a)

103

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Ejercicios y problemas

34. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas:

35. Para cada valor del parámetro real k, se considera elsistema lineal de ecuaciones:

Se pide:

a) discutir el sistema según los valores de k

b) resolverlo en los casos en que sea compatible.

36. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,dependiente del parámetro m:

a) Discute el sistema para los distintos valores de m

b) Resuelve el sistema para m = 3

37. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,dependiente del parámetro real a:

a) Discute el sistema según los diferentes valores delparámetro a

b) Resuelve el sistema para a = –1

c) Resuelve el sistema para a = 2

38. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,dependiente del parámetro real l:

a) Discute el sistema según los diferentes valores delparámetro l

b) Resuelve cuando sea indeterminado.

39. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

a) Discute el sistema según los valores del paráme-tro a

b) Resuelve el sistema cuando tenga más de una solu-ción.

40. Sea el siguiente sistema:

a) Discute la compatibilidad del sistema según los valo-res del parámetro k

b) Resuelve el sistema para k = –1

c) Resuelve el sistema para k = 2

41. Siendo a un número real cualquiera, se define el sis-tema:

a) Discute el sistema en función del valor de a

b) Encuentra todas sus soluciones para a = 1

42. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,dependiente del parámetro real l:

donde l es un número real.

a) Discute el sistema según los valores del paráme-tro l

b) Resuelve el sistema para l = 0

c) Resuelve el sistema para l = 3

43. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,dependiente del parámetro real l:

Discute el sistema según los diferentes valores del pa-rámetro l y resuélvelo.

°§¢§£

x + y + 5z = 02x – ly = 0x – y + z = 0

°§¢§£

y + z = 1(l – l) + y + z = l

x + (l – 1)y – z = 0

°§¢§£

x + 2y – az = 1–y + z = 0

ax + z = a

°§¢§£

–x + ky + 2z = k2x + ky – z = 2kx – y + 2z = k

°§¢§£

ax + y – z = 02x + ay = 2–x + z = 1

°§¢§£

x + y + lz = l2

y – z = lx + ly + z = l

°§¢§£

x – y = 2ax + y + 2z = 0x – y + az = 1

°§¢§£

2x + y – z = 2x + y + 2z = 5

–x + (m + 2)z = 3

°§¢§£

x – y = 32x – 3y = 2k3x – 5y = k2

°§¢§£

x – y + 3z + 14t = 02x – 2y + 3z + t = 03x – 3y + 5z + 6t = 0

b)

°§§¢§§£

3x + 2y – z = 4x + y + z = 3

2x – 3z = –14x + 5z = 6

a)

Para ampliar

104

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos

50. Dado el sistema de ecuaciones:

a) estudia su compatibilidad.

b) añade al sistema una ecuación de tal forma que elsistema resultante tenga solución única. Justifica larespuesta y encuentra dicha solución.

c) añade al sistema dado una ecuación de tal formaque el sistema resultante sea incompatible. Justificala respuesta.

51. Se considera el siguiente sistema:

a) Discute el sistema según los valores del parámetroreal a

b) Resuelve el sistema para a = 3

52. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones en lasincógnitas x, y, z, t :

a) Encuentra los valores de k para los que el rango dela matriz de los coeficientes del sistema es 2

b) Resuelve el sistema anterior para k = 0

53. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:

a) Halla todos los valores del parámetro l para losque el sistema correspondiente tiene infinitas solu-ciones.

b) Resuelve el sistema para los valores de l obtenidosen el apartado anterior.

c) Discute el sistema para los restantes valores de l

°§¢§£

lx + 2y = 3–x + 2lz = –13x – y – 7z = l + 1

°§¢§£

x + 2y + z = 0y + 2z + t = 0

2x + 2ky – t = 0

°§¢§£

x – y = ax + a2z = 2a + 1x – y + a(a – 1)z = 2a

°¢£

2x + y + z = 1x – y + z = 2

Problemas

44. Considera el sistema de ecuaciones:

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro lb) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeter-

minado.

45. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:

a) Discute el sistema en función del parámetro a

b) Resuélvelo para a = 2

46. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:

a) Discute el sistema en función del parámetro real a

b) Resuélvelo para a = 4

47. Sea el sistema de ecuaciones:

a) Discute el sistema en función del parámetro real a

b) Resuelve el sistema en los casos en que resulte com-patible determinado.

48. Se considera el sistema:

a) Discute el sistema según los valores de m

b) Resuelve el sistema para m = 6

49. Sea el sistema homogéneo:

a) Calcula el valor de m para el que el sistema tengasoluciones distintas de la trivial.

b) Halla las soluciones.

°§¢§£

x + z = 0x + my + 2mz = 0

2x + my + (2m + 3)z = 0

°§¢§£

2x + my = 0x + mz = mx + y + 3z = 1

°§¢§£

(a + 1)x + 2y + z = a + 3ax + y = aax + 3y + z = a + 2

°§¢§£

x – y + z = 6–x – y + (a – 4)z = 7

x + y + 2z = 11

°§¢§£

ax + 2y + 6z = 02x + ay + 4z = 22x + ay + 6z = a – 2

°§¢§£

x + y + z = –2–lx + 3y + z = –7

x + 2y + (l + 2)z = –5

105

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Ejercicios y problemas54. Discute el sistema, según el valor del parámetro m, y

resuelve en los casos de compatibilidad.

55. Dado el siguiente sistema:

a) discute el sistema según el valor del parámetro a

b) resuelve el sistema en todos los casos de compatibi-lidad.

56. Discute, según los valores del parámetro k, el siguientesistema:

57. Discute, según los valores del parámetro k, el siguientesistema:

58. Discute, según los valores del parámetro k, el siguientesistema:

59. Discute el siguiente sistema según los valores del pará-metro m y resuélvelo cuando sea posible:

60. Discute el siguiente sistema según los valores del pará-metro a:

Para profundizar

61. Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuacioneslineales según los valores de los parámetros a y b:

62. Discute, según los valores de los parámetros l y µ, elsistema de ecuaciones lineales:

63. Discute, según los valores de los parámetros a y b, elsistema de ecuaciones lineales:

64. Calcula el valor de a y b para que el sistema siguientesea compatible indeterminado:

65. Estudia, según los diferentes valores de a y b, la com-patibilidad del sistema:

66. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

a) discute el sistema en función de a y b

b) resuelve el sistema para a = b = –2

67. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

a) halla los valores de a y b para los que el sistema seacompatible indeterminado y su solución sea unarecta.

b) halla la solución para los valores obtenidos en elapartado anterior.

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2x – y + z = 3x – y + z = 2

3x – y – az = b

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ax + y + z = 1x + ay + z = bx + y + az = 1

°§¢§£

2x – y – 2z = bx + y + z = 5

4x – 5y + az = –10

°§¢§£

2x – y + z = 3x – y + z = 2

3x – y – az = b

°§¢§£

2x – 5y + az = –23x – y + 2z = 1x + 4y + z = b

°§¢§£

lx + y + z = µx + y + lz = 2

2x + y + lz = µ

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3x – y + 2z = 1x + 4y + z = b

2x – 5y + az = –2

°§§¢§§£

ax + z + t = 1ay + z – t = 1ay + z – 2t = 2

az – t = 0

°§§¢§§£

x + 2z – 3 = 03x + y + z + 1 = 0

2y – z + 2 = 0x – y + mz + 5 = 0

°§§¢§§£

x + y + 5z = 02x – 3y = 0x – y + z = 0x + 2y + 2kz = k

°§§¢§§£

x + y – z = 2kx + y + z = 1x – y + 3z = –3

4x + 2y = k

°§§¢§§£

2y – z = k3x – 2z = 11

y + z = 62x + y – 4z = k

°§¢§£

x + z = 1y + (a – 1)z = 0

x + (a – 1)y + az = a

°§¢§£

2x + 3y + z = 43x + y + mz = 6

–2x – 10y – 2z = m – 4

106

68. Discute, según los valores de k, el siguiente siste-ma:

Solución:

a) Introduce la matriz C de los coeficientes, comoC(k)

b) Copia la matriz C(k), cambia la C por A, colo-ca el cursor en cualquier lugar de la última co-lumna. En selecciona Menú y eligeAñadir columna a la derecha.

c) Introduce la columna de los términos indepen-dientes.

d) Resuelve la ecuación:resolver(|C(k)| = 0)

e) Clasifica el sistema según los valores de k

69. Resuelve el sistema cuando sea posible, según losvalores de a, y clasifícalo.

Solución:a) Como hay una ecuación más que incógnitas, se

calcula el determinante de la matriz ampliada.

70. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Ma-temáticas, curso y tema.

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ax + y + z = 1x + ay + z = 1x + y + az = 1x + y + z = a

°§¢§£

(1 – k)x + y + z = 0x + (1 – k)y + z = kx + y + (1 – k)z = k2

Paso a paso

Tema 4. Sistemas lineales con parámetros

107

Tem

a 4

.Si

ste

ma

s li

ne

ale

s c

on

pa

rám

etr

os

71. Discute el siguiente sistema:

72. Resuelve el sistema:

73. Resuelve matricialmente el siguiente sistema:

74. Resuelve el siguiente sistema:

75. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga com-patible indeterminado.

b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2

76. Resuelve el siguiente sistema:

77. Discute, según los valores del parámetro k, el si-guiente sistema:

78. Clasifica el sistema siguiente según los valores delparámetro k

79. Dado el sistema homogéneo:

averigua para qué valores de k tienen solucionesdistintas de x = y = z = 0. Resuélvelo en tales casos.

80. Dado el sistema de ecuaciones lineales

determina para qué valor o valores de a el sistematiene una solución en la que y = 2

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x – ay = 2ax – y = a + 1

°§¢§£

x + ky – z = 0kx – y + z = 0

(k + 1)x + y = 0

°§¢§£

kx + y – 2z = 0–x – y + kz = 1

x + y + z = k

°§¢§£

kx + y = 1x + (k + 1)y = 1x + ky = 1

°§§¢§§£

x + y = 1y + z = 2

x – z = –13x – y + z = 10

ax + y + z = 4x – ay + z = 1x + y + z = a + 2

°§¢§£

°§§¢§§£

x + 2y + z – 3t = 22x + 5y + 3z – 8t = 4x + 2y + 2z – 4t = 3

3x + 6y + 5z – 11t = 8

°§¢§£

x + 2y – z = 02x + 5y = 4

x + 3y + 2z = 5

°§¢§£

2x – y + z = – 8x + 3y – 2z = 5

2x + y + 3z = 4

°§¢§£

x + 2y + z = 13x + y + 4z = 52x – y + 3z = 4

Así funcionaMenú

Contiene las opciones:

Sustituir en una matriz A un parámetro k por un número

Se introduce la matriz como A(k): por ejemplo, para sustituir en la matriz A(k) el valor del parámetro k por 2, se es-cribe: A(2)

Linux/Windows

Practica

108

68. Discute, según los valores de k, el siguiente siste-ma:

Solución:

a) Introduce la matriz de los coeficientes y asígna-le la letra C

b) Introduce la matriz columna de los términosindependientes y asígnale la letra B

c) En la entrada de expresiones escribe:

append_columns(C, B)

y elige Introducir y Simplificar.

d) Asígnale a esta matriz ampliada la letra A

• Cálculo del determinante de la matriz de los coe-ficientes.

a) Calcula el determinante de la matriz de los coe-ficientes, det(C)

k2(3 – k)

b) Resuelve la ecuación correspondiente:

k = 3 î k = 0

• Para todo valor de k ? 0 y k ? 3 se verifica queR(C) = R(A) = 3 ò El sistema es heterogéneo ycompatible determinado.

• Estudio para k = 0

a) Selecciona la matriz ampliada. En la barra deherramientas elige Sustituir variables, es-cribe en Nuevo valor: 0, y haz clic en Simpli-ficar.

b) Con la nueva matriz seleccionada, escribe en labarra de entrada de expresiones row_reduce ypulsa F4 para que se copie a su derecha entreparéntesis.

c) Pulsa Introducir y simplificar, y se ob-tiene:

R(C) = R(A) = 1 < número de incógnitas ò Elsistema es compatible indeterminado.

• Estudio para k = 3a) Selecciona la matriz ampliada y sustituye el pa-

rámetro k por 3b) Reduce por filas la matriz obtenida. Se obtiene:

R(C) = 2 < R(A) = 3 ò El sistema es heterogé-neo e incompatible.

69. Resuelve el sistema cuando sea posible, según losvalores de a, y clasifícalo.

Solución:

• Como hay una ecuación más que incógnitas, secalcula el determinante de la matriz ampliada:

a) Introduce la matriz de los coeficientes, C, la delos términos independientes, B, y a partir deellas halla la matriz ampliada, A

b) Calcula el determinante de A, det(A):a4 – 6a2 + 8a – 3

c) Halla sus raíces reales:a = –3 î a = 1

• Para todo valor a ? –3 y a ? 1, se tiene que elR(C) < R(A) = 4 2 ò El sistema es heterogé-neo e incompatible.

• Estudio para a = –3a) Selecciona la matriz ampliada y sustituye a por –3b) Reduce por filas la matriz obtenida.

R(C) = R(A) = 3 ò El sistema es heterogéneo ycompatible determinado. Del sistema equiva-lente se obtiene la solución:

x = –1, y = –1, z = –1

• Estudio para k = 1a) Selecciona la matriz ampliada y sustituye a por 1

)1 0 0 –10 1 0 –10 0 1 –10 0 0 0(

°§§¢§§£

ax + y + z = 1x + ay + z = 1x + y + az = 1x + y + z = a

)1 0 –1 00 1 –1 00 0 0 1(

)1 1 1 00 0 0 00 0 0 0(

°§¢§£

(1 – k)x + y + z = 0x + (1 – k)y + z = kx + y + (1 – k)z = k2

Paso a paso

Tema 4. Sistemas lineales con parámetros

109

Tem

a 4

.Si

ste

ma

s li

ne

ale

s c

on

pa

rám

etr

os

Así funcionaDiscusión de un sistemaPara discutir un sistema:a) Se introduce la matriz de los coeficientes y se le asigna la letra Cb) Se introduce la matriz columna de los términos independiente y se le asigna la letra Bc) Se forma la matriz ampliada, append_columns(C, B), y se le asigna la letra Ad) Se calcula el determinante que haga falta y se calculan sus raíces.e) Se estudia el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada con: row_reduce(A)

Windows Deriveb) Reduce por filas la matriz obtenida. Se obtiene: R(C) = R(A) = 1 ò El sistema es compatible

indeterminado, el sistema equivalente es:x + y + z = 1 ò x = 1 – y – z

70. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemáticas, curso y tema.

)1 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0(

71. Discute el siguiente sistema:

72. Resuelve el sistema:

73. Resuelve matricialmente el siguiente sistema:

74. Resuelve el siguiente sistema:

75. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga com-patible indeterminado.

b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2

76. Resuelve el siguiente sistema:

77. Discute, según los valores del parámetro k, el si-guiente sistema:

78. Clasifica el sistema siguiente según los valores delparámetro k

79. Dado el sistema homogéneo:

averigua para qué valores de k tienen solucionesdistintas de x = y = z = 0. Resuélvelo en tales casos.

80. Dado el sistema de ecuaciones lineales

determina para qué valor o valores de a el sistematiene una solución en la que y = 2

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x – ay = 2ax – y = a + 1

°§¢§£

x + ky – z = 0kx – y + z = 0

(k + 1)x + y = 0

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kx + y – 2z = 0–x – y + kz = 1

x + y + z = k

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kx + y = 1x + (k + 1)y = 1x + ky = 1

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x + y = 1y + z = 2

x – z = –13x – y + z = 10

ax + y + z = 4x – ay + z = 1x + y + z = a + 2

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°§§¢§§£

x + 2y + z – 3t = 22x + 5y + 3z – 8t = 4x + 2y + 2z – 4t = 3

3x + 6y + 5z – 11t = 8

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x + 2y – z = 02x + 5y = 4

x + 3y + 2z = 5

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2x – y + z = – 8x + 3y – 2z = 5

2x + y + 3z = 4

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x + 2y + z = 13x + y + 4z = 52x – y + 3z = 4

Practica

Problemas resueltos

1. Sea la matriz

A =

a) Comprueba que verifica A3 – I = O; con I, matriz iden-tidad, y O, matriz nula.

b) Calcula A12

c) Basándote en los apartados an-teriores y sin recurrir al cálcu-lo de inversas,halla la matriz Xque verifica la igualdad

A2X + I = A

)–1 –2 –21 2 10 –1 –1(

a)

A2 = =

A3 = A2 · A = =

Luego: A3 – I = O

b)La matriz A es cíclica de orden 3

A12 = A3 = I

c) Se multiplica por la izquierda en los dos miembros por A

A · (A2 X + I) = A · A ò A3 · X + A = A2 ò X + A = A2 ò X = A2 – A

X = – = )0 2 40 –1 –2

–1 0 1()–1 –2 –21 2 10 –1 –1()–1 0 2

1 1 –1–1 –1 0(

12 30 4

)1 0 00 1 00 0 1()–1 –2 –2

1 2 10 –1 –1()–1 0 2

1 1 –1–1 –1 0(

)–1 0 21 1 –1

–1 –1 0()–1 –2 –21 2 10 –1 –1()–1 –2 –2

1 2 10 –1 –1(

2. Resuelve las siguientes cues-tiones:

a) Define rango de una matriz.

b) Calcula el rango de A segúnlos valores del parámetro k

A =

c) Estudia si se puede formar unabase de R3 con las columnasde A según los valores del pa-rámetro k. Indica con qué co-lumnas.

)1 3 3 1k k 3 –1

–1 3 3 0(

a) El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente indepen-dientes.

C4 C3 C1 C26447448

b)R = R =

= R = R = 3

para cualquier valor de k, ya que k no puede ser 3 y –3 a la vez.

c) Para k = –3, el determinante formado por los vectores columnas 4ª, 3ª y 1ª deA es cero. Luego los tres vectores son linealmente dependientes. Se puede for-mar una base con los vectores de las columnas 3ª, 2ª y 1ª

= 36 ? 0 ò

Para k ? –3 se puede formar una base con las columnas 1ª, 3ª y 4ª

Las columnas 1ª, 2ª y 3ª son linealmenteindependientes para k = –3|3 3 1

3 –3 –33 3 –1

|

)1 3 1 30 6 k + 1 k + 30 0 k + 3 k – 3(

2ª – 2 · 3ª)1 3 1 30 6 k + 1 k + 30 3 –1 3(

1ª + 2ª)1 3 1 3–1 3 k k0 3 –1 3()1 3 3 1

k k 3 –1–1 3 3 0(

110

Problemas resueltos

Ejercicios y problemasPonte a prueba

111

Álg

eb

ra

PAUÁlgebra

3. Se consideran las matrices

A =

B = (a, 2, 3)

C = (4, 0, 2)

a) Halla los valores de x, y, z, paralos que A no tiene inversa.

b) Determina los valores de a pa-ra los que el sistema B · A = Ctiene solución.

c) Resuelve el sistema anteriorcuando sea posible.

)x y zy 0 y1 z z(

a) Para que A no tenga inversa, el determinante de A debe valer cero.

= y2 – y2z ò y2 – y2z = 0 ò y2(1 – z) = 0 ò y = 0; z = 1

La matriz A no tiene inversa para los valores y = 0, o bien z = 1

b)

B · A = C ò (a 2 3) = (4 0 2) ò

Sea la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada, respectivamente:

M = , N =

|M| = 3a2 ò 3a2 = 0 ò a = 0

Para todo valor a ? 0, R(M) = R(N) = 3 = número de incógnitas ò el sistemaes compatible determinado.

Para a = 0 se tiene:

R = R = R = 3

Se tiene R(M) = 2 ? R(N) = 3 ò Sistema incompatible.

c) Para a ? 0, resolvemos por Cramer

|M| = 3a2

x = =

y = = –

z = = 13

a 3 1| 0 a 0 |a 2 2

3a2

1a

a 1 0| 0 0 3 |a 2 3

3a2

a + 2a2

1 2 0| 0 a 3 |2 2 3

3a2

)0 2 0 10 0 1 00 0 0 1(2ª/3

3ª – 2ª)0 2 0 10 0 3 00 0 3 1(

3ª – 1ª)0 2 0 10 0 3 00 2 3 2(

)a 2 0 10 a 3 0a 2 3 2()a 2 0

0 a 3a 2 3(

°§¢§£

ax + 2y = 1ay + 3z = 0

ax + 2y + 3z = 2)x y zy 0 y1 z z(

|x y zy 0 y1 z z|

Problemas resueltos

112

Problemas resueltos

Ejercicios y problemasPonte a prueba

4. Calcula una matriz cuadrada Xsabiendo que verifica

XA2 + BA = A2

siendo

A =

B = )0 0 –20 –2 0

–2 0 0()0 0 –1

0 –1 0–1 0 0(

XA2 + BA = A2

XA2 = A2 – BA

Calculamos:

A2 = ; BA = ; A2 – BA =

Luego:

X = ò X = )–1 0 00 –1 00 0 –1()–1 0 0

0 –1 00 0 –1()1 0 0

0 1 00 0 1(

)–1 0 00 –1 00 0 –1()2 0 0

0 2 00 0 2()1 0 0

0 1 00 0 1(

5. Dado el sistema de ecuacionescon incógnitas x, y, z,

se pide:

a) determinar razonadamente elvalor de a para el cual el siste-ma es compatible.

b) para ese valor obtenido en a)de a, calcular el conjunto desoluciones del sistema.

c) explicar la posición relativa delos tres planos definidos porcada una de las tres ecuacionesdel sistema, en función de losvalores de a

°§¢§£

x + 2y – 3z = a2x + 6y – 11z = 2x – 2y + 7z = 1

a) Sea C la matriz de los coeficientes y A la matriz ampliada.

C = ; A =

Estudiamos el rango de la matriz ampliada.

R = R =

= R

Para a ? 1 ò R(C) = 2 ? R(A) = 3 ò Sistema incompatible.

Para a = 1 ò R(C) = R(A) = 2 < nº de incógnitas ò Sistema compatible in-determinado.

b) Para a = 1, se tiene el sistema:

ò x = 1 – 2z, y = z

La solución es:

x = 1 – 2l; y = l, z = l; l é�

c) Para a = 1, los tres planos se cortan en una recta. Para a ? 1, los tres planos secortan dos a dos. No hay dos planos paralelos.

52

52

°¢£

x + 2y – 3z = 1–2y + 5z = 0

)1 2 –3 a0 –2 5 2(a – 1)0 0 0 5(a – 1)(

2 · 2ª + 3ª)1 2 –3 a0 –2 5 2(a – 1)0 4 –10 a – 1(2 · 1ª – 2ª

1ª – 3ª)1 2 –3 a2 6 –11 21 –2 7 1(

)1 2 –3 a2 6 –11 21 –2 7 1()1 2 –3

2 6 –111 –2 7(

1. Sea A una matriz 3 Ò 3 de columnas C1, C2 y C3 (en eseorden). Sea B la matriz de columnas C1 + C2, 2C1 + 3C3y C2 (en ese orden). Calcula el determinante de B en fun-ción del de A

2. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

a) Discútelo según los valores del parámetro a

b) Resuélvelo en el caso a = 2

3. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

a) discútelo según los valores del parámetro k

b) resuélvelo cuando tenga infinitas soluciones.

4. Considera la matriz A =

a) Halla los valores del parámetro m para los que el ran-go de A es menor que 3

b) Estudia si el sistema A = tiene solución para

cada uno de los valores de m obtenidos en el aparta-do anterior.

5. Se consideran las matrices

A = ; B =

donde l es un número real.

a) Encuentra los valores de l para los que la matriz ABtiene inversa.

b) Dados a y b números reales cualesquiera, ¿puede serel sistema

A =

compatible determinado con A, la matriz del enun-ciado?

6. Dadas las matrices:

A = y B = , se pide:

a) resolver la ecuación matricial AX + X = B, donde X esuna matriz 2 Ò 2

b) resolver el sistema: , siendo X e Y dos

matrices de orden 2 Ò 2

7. Dada la matriz

M =

a) determina el rango de M según los valores del pará-metro a

b) determina para qué valores de a existe la matriz in-versa de M. Calcula dicha matriz inversa para a = 2

8. Dado el sistema de ecuaciones con un parámetro real le incógnitas x, y, z

se pide:

a) calcular para qué valores de l el sistema solo admitela solución

(x, y, z) = (0, 0, 0)

b) para cada valor de l que hace indeterminado el siste-ma, obtén todas sus soluciones.

c) explicar la posición relativa de los tres planos defini-dos por cada una de las ecuaciones del sistema cuan-do l = –3

9. A es una matriz 3 Ò 3 tal que

A2 = y A3 =

Se pide:

a) calcular el determinante de la matriz A3 y la matriz in-versa de A3

b) calcular la matriz fila X = (x, y, z), que es solución de laecuación matricial X A3 = B A2, donde B es la matrizfila B = (1, 2, 3)

c) calcular la matriz inversa de A

)1 0 2–2 –1 0

2 2 –3()2 1 0–1 0 –1–1 –1 2(

°§¢§£

(l + 2)x – y + z = 03x + (l + 6)y – 3z = 05x + 5y + (l – 2)z = 0

)2 1 –a2a 1 –12 a 1(

2X + 2Y = A4X + 3Y = B

°¢£

)1 –12 1()0 2

2 4(

)ab()x

yz(

)1 3l 00 2()1 2 l

1 –1 –1(

)111()x

yz(

)1 1 1m m2 m2

m m m2(

°§¢§£

x + (k + 1)y + 2z = –1kx + y + z = k

(k – 1)x – 2y – z = k + 1

x + y + z = a – 12x + y + az = ax + ay + z = 1

°§¢§£

113

Álg

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PAUÁlgebra

Problemas propuestos