2 BCT 04 Sistemas Lineales Con Parametros

4

Sistemas lineales con parmetroslgebra

Grupo Editorial Bruo, SL. Matemticas de 2 BCT. Autores Jos Mara Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sez

IntroduccinEn este tema se renen los conceptos y procedimientos bsicos de los temas anteriores de resolucin de sistemas lineales, matrices y determinantes. Vers que las matrices y los determinantes son una herramienta poderosa y cmoda para discutir y resolver un sistema. El tema comienza enseando cmo se expresan los sistemas lineales en forma matricial y estudiando el teorema de Rouch, que proporciona una mtodo rpido y fcil para discutir un sistema lineal de ecuaciones. Se cierra el tema con la discusin de sistemas con parmetros, que es un problema clsico en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Hoy en da existe una creciente preocupacin por el consumo energtico y el medio ambiente. Aunque la utilizacin de las energas renovables y no contaminentes, como, por ejemplo, las obtenidas de los cursos de los ros, las mareas, el viento, el sol, etc., se han incrementado notablemente en los ltimos tiempos, ya desde la antigedad se usaba este tipo de energa en norias, molinos, etc. La energa generada por estos inventos se puede calcular mediante la resolucin de sistemas de ecuaciones.

Organiza tus ideasSistemas lineales con parmetrosse discuten con el se resuelven generalmente por

Teorema de Rouch y se clasifican en

el mtodo de Gauss y si el sistema es de Cramer se pueden resolver

heterogneos

homogneos (compatibles)

matricialmente

regla de Cramer

incompatibles R(C) < R(A)

compatibles R(C) = R(A)

determinados R(C) = n

indeterminados R(C) < n

85 Grupo Editorial Bruo, SL. Matemticas de 2 BCT. Autores Jos Mara Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sez

lgebra

1. Teorema de Rouch Piensa y calculaDado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones:

(Expresin matricial de un sistema

x 1 2 3 0 y = 2 1 0 2 z

)( ) ( )a11x1 + a12x2 + + a1pxp = b1 a21x1 + a22x2 + + a2pxp = b2 an1x1 + an2x2 + + anpxp = bn

1.1. Matrices de un sistema linealEn un sistema de n ecuaciones lineales con p incgnitas

(

a11 a21 an1

a12 a22 an2

a1p a2p anp

x1 b1 x2 b = 2 xp bn

() ) ( )De los coeficientes a11 a C = 21 an1

se distinguen las siguientes matrices: De las De los trminos De los coeficientes ampliada con incgnitas independientes los trminos independientes

(

a12 a22 an2

a1p a2p anp

) () () (x1 x X= 2 xp b1 b B= 2 bn 2x + y 3z = 2 x 4y + 5z = 3

a11 a A = 21 an1

a12 a22 an2

a1p a2p anp

|)b1 b2 bn

En la matriz ampliada se separa con una barra vertical la columna de trminos independientes. Ejemplo

(

x 2 1 3 2 y = 1 4 5 3 z

)( ) ( ) (2 1 3 2 1 4 5 3

cuyas matrices son: De los coeficientes C= De las De los trminos De los coeficientes ampliada con incgnitas independientes los trminos independientes x X= y z

(

2 1 3 1 4 5

)

()

B=

( )2 3

A=

|

)

1.2. Teorema de RouchUn sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes, C, es igual al rango de la matriz ampliada con los trminos independientes, A. Sistema compatible R(C) = R(A) Demostracin en detalle en la pgina 94 86 Grupo Editorial Bruo, SL. Matemticas de 2 BCT. Autores Jos Mara Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sez

Tema 4. Sistemas lineales con parmetros

1.3. Discutir un sistemaDiscutir o estudiar un sistema consiste en clasificarlo sin resolverlo aplicando el teorema de Rouch. Para ello, se calcula el rango de la matriz de los coeficientes, C, y el rango de la matriz ampliada con los trminos independientes, A, y se sigue el esquema. La letra n es el nmero de incgnitas: Heterogneo Sistema Homogneo (Compatible) Compatible Determinado: R(C) = R(A) = n R(C) = R(A) Indeterminado: R(C) = R(A) < n Incompatible: R(C) < R(A) Determinado: R(C) = n Indeterminado: R(C) < n

Estrategia para discutir o estudiar un sistemaSi el nmero de ecuaciones coincide con el de incgnitas, se halla el determinante de la matriz de los coeficientes, y si es: a) Distinto de cero, el sistema es compatible determinado. b) Igual a cero, se calcula el rango de la matriz ampliada por Gauss.1

Relacin entre rangos La matriz ampliada, A, se forma aadiendo una columna a la matriz de los coeficientes, C. Por lo tanto, siempre se verifica: R(C) R(A)

Ejercicio resuelto

x + 2y + z = 1 Discute el siguiente sistema: 3x + y + 4z = 5 2x y + 3z = 4 Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 1 2 |C| = 3 1 2 1 1 2 R 3 1 2 1

|

1 4 =0 3 2 1 5 1 5 1

|

Como el determinante de C es cero, se halla el rango de A y C por Gauss:

(

1 4 3

|)

1 1 5 3 1 2 = R 0 4 2 1 3 0

(

|

1 1 2 = R 0 2

)

(

2 1 1 5 1 2

|

)

Se elimina la 3 fila porque es igual que la 2

Se tiene que R(C) = R(A) = 2 < nmero de incgnitas Sistema heterogneo compatible indeterminado.

Aplica la teora1. Escribe los siguientes sistemas en forma matricial:a) x y = 2 2x + y + 2z = 0 x y + 2z = 1 b) 2x + y z = 2 x + y + 2z = 5 x + 5z = 3

3. Discute los siguientes sistemas:a) 3x y + 2z = 1 x + 4y + z = 0 2x 5y = 2 a) 2x + y z = 0 x+y = 1 x + z = 1 b) 3x + 2y + 2z = 15 3x 2y 2z = 1 x + 3y + 3z = 3 b) x + 2y + z = 1 2x + 3y + 2z = 0 x + y + 2z = 3

2. Escribe en forma ordinaria el siguiente sistema:

4. Discute los siguientes sistemas:

(

1 0 2 x 1 3 1 1 y = 3 2 1 2 z 0

() ) ( )


87

lgebra

2. Regla de Cramer y forma matricial Piensa y calculaDado el siguiente sistema, resulvelo matricialmente:

( )( ) ( )1 1 1 x 3 = 2 y 4

2.1. Regla de CramerUn sistema es de Cramer si tiene el mismo nmero de ecuaciones que de incgnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, es decir, el sistema es compatible determinado. En un sistema de Cramer, cada incgnita es el cociente de dos determinantes: a) El determinante del denominador es el de la matriz de los coeficientes. b) El determinante del numerador es el que resulta de sustituir, en el determinante de los coeficientes, la columna correspondiente a los coeficientes de la incgnita que se despeja, por los trminos independientes. Demostracin en detalle en la pgina 952

Ejercicio resuelto Resuelve por Cramer el siguiente sistema: 2x y + z = 8 x + 3y 2z = 5 2x + y + 3z = 4 Determinante de los coeficientes: 2 1 1 |C| = 1 3 2 = 24 2 1 3 La solucin es: 8 1 1 5 3 2 x = 4 1 3 = 72 = 3 24 24

|

|

|

|

2 8 1 1 5 2 y = 2 4 3 = 96 = 4 24 24

|

|

2 1 8 1 3 5 z = 2 1 4 = 48 = 2 24 24

|

|



2.2. Resolucin de un sistema matricialmentePara resolver un sistema matricialmente se escribe la matriz de los coeficientes, C, la matriz columna de las incgnitas, X, y de los trminos independientes, B, y se escribe el sistema en forma matricial: CX = B X = C 1B3

Ejercicio resuelto Resuelve matricialmente el siguiente sistema: x + 2y z = 0 2x + 5y = 4 x + 3y + 2z = 5 Se escribe el sistema en forma matricial:

(C 1 Multiplicando, se tiene: 1 = 2 1

1 2 1

2 1 x 0 5 0 y = 4 3 2 z 5

() ) ( ) ) () ) ( )8. Resuelve matricialmente el sistema:3x + 2y + z = 5 2x y + z = 6 x + 5y = 3

Se calcula la inversa de la matriz de los coeficientes:

( ) (2 1 5 0 3 21

10 7 5 = 4 3 2 1 1 1

() ( Aplica la teora5. Resuelve por Cramer:a) 2x + y = 5 x + 3z = 16 5y z = 10

x 10 7 5 0 3 y = 4 3 2 4 = 2 z 1 1 1 5 1

La solucin es: x = 3, y = 2, z = 1

b) x + y 2z = 6 2x + 3y 7z = 16 5x + 2y + z = 16

6. Resuelve por Cramer en funcin del parmetro a:x+ y = a x + z = 0 x + 2y + z = 2

9. Resuelve matricialmente el sistema:

(

5 8 1 x 2 3 2 6 y = 7 2 1 1 z 5

() ) ( )89

7. Resuelve por Cramer:4x + 4y + 5z + 5t = 0 2x + 3z t = 10 x + y 5z = 10 3y + 2z = 1

10. Resuelve matricialmente el sistema:2x 3y + z = 7 x + 4y + 2z = 1 x 4y = 5


lgebra

3. Resolucin de sistemas de cuatro ecuaciones Piensa y calculaResuelve mentalmente el siguiente sistema: x + y = 0 2x + y = 1 3x + 2y = 1

3.1. Resolucin de un sistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitasPara resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitas, se calcula: a) el determinante de la matriz de los coeficientes para ver si el sistema es de Cramer. Si lo es, se puede resolver por Cramer, aunque por Gauss es ms sencillo. b) Si no es de Cramer, se resuelve por Gauss.4

Ejercicio resuelto x + 2y + z 3t = 2 2x + 5y + 3z 8t = 4 Resuelve el siguiente sistema: x + 2y + 2z 4t = 3 3x + 6y + 5z 11t = 8 Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 1 2 |C| = 1 3 1 2 R 1 3 1 =R 0 0

|

2 5 2 6

1 3 1 3 8 2 2 1 0 = 2 4 3 1 0 5 11 4 3 1 0

| |

2 1 0 0 2 1 0 0 1 1 1 2

1 1 1 2

3 2 =0 1 2 4 = 2 3 3 2 1 2

|

El sistema no es de Cramer porque |C| = 0; se resuelve por Gauss.

(

2 5 2 6 2 1 0

1 3 3 8 2 4 5 11 1 3 1 2 1 1

|)|)2 0 1

2 4 2 2 1 =R 3 3 1 8 4 3 1

(

1 0 0 0

|)

2 0 = 1 2

(

Se elimina la 4 fila porque es igual que: 2 3

R(C) = R(A) = 3 < nmero de incgnitas Sistema compatible indeterminado. El sistema es equivalente a: x + 2y + z 3t = 2 x + 2y + z = 2 + 3t x= 3 y + z 2t = 0 y+z= 2t y = 1 + t z t = 1 z = 1 + t z = 1 + t

La solucin, en ecuaciones paramtricas, es: x= 3 y = 1 + l l z= 1+l t= l 90 Grupo Editorial Bruo, SL. Matemticas de 2 BCT. Autores Jos Mara Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sez


3.2. Resolucin de un sistema de 4 ecuaciones con 3 incgnitasComo un sistema de 4 ecuaciones con 3 incgnitas no puede ser de Cramer, se estudia la compatibilidad del sistema calculando los rangos de la matriz ampliada y de los coeficientes, y, si es compatible, se resuelve aplicando Gauss.5

Ejercicio resuelto Clasifica el siguiente sistema y, si es compatible, resulvelo: x+y = 1 y + z = 2 x z = 1 3x y + z = 10 No es un sistema de Cramer porque no tiene el mismo nmero de ecuaciones que de incgnitas. 1 1 0 0 1 1 R 1 0 1 3 1 1 1 =R 0 0

( |) (1 2 =R 1 1 3 10 3 1 4 1 1 =R 0 2 15 3/5 0

1 0 0 0

1 0 1 1 1 1 4 1 0 1 1

(

1 1 0

0 1 5

|

) (

1 1 0

|

1 2 3

| )

1 2 = 2 7 4 2 4

)

R(C) = R(A) = 3 = nmero de incgnitas El sistema es heterogneo compatible determinado. El sistema es equivalente a: x+y = 1 x+y = 1 x 1 = 1 x = 2 y + z = 2 y + 3 = 2 y = 1 y = 1 z = 3 z = 3 z = 3 z = 3 La solucin del sistema es: x = 2, y = 1, z = 3

Aplica la teora11. Resuelve el siguiente sistema:x+ y + 2t = 3 3x y + z t = 1 5x 3y + 2z 4t = 1 2x + y + z + t = 2

13. Resuelve el siguiente sistema:2x + y + z = 4 x y + z = 1 3x y z = 1 6x y + z = 6

12. Resuelve el siguiente sistema:x +z+ t=1 y+z t=1 y + z 2t = 2 z t=0

14. Resuelve el siguiente sistema:xy+ 2x + y x+y xy z = 5 4z = 1 z = 2 z = 0


lgebra

4. Discusin de sistemas con parmetros Piensa y calculaDiscute, segn los valores de k, el siguiente sistema: x + y = 3 2x + 2y = k

Discutir un sistema en funcin de un parmetro consiste en clasificar el sistema en funcin de los valores del parmetro.

4.1. Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitasLa mejor estrategia para discutir estos sistemas es: a) Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes y se hallan sus races. Para aquellos valores para los que no se anule el determinante, se tendr que R(C) = R(A) = 3, y el sistema ser compatible determinado. b) Para los valores que son races del determinante de la matriz de los coeficientes, se estudia el sistema por Gauss.6

Ejercicio resuelto Discute, segn los valores del parmetro k, el siguiente sistema: (1 k)x + y+ z=0 x + (1 k)y + z=k x+ y + (1 k)z = k2 1k 1 1 a) Se calcula: |C| = 1 1k 1 = 3k2 k3 1 1 1k 3k2 k3 = 0 k2(3 k) = 0 k = 0, k = 3 Para todo valor de k ? 0 y k ? 3, se verifica que: R(C) = R(A) = 3 = nmero de incgnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado. b) Se estudian los valores que son races de |C| = 0 x + y + z = 0 Para k = 0 se tiene el sistema: x + y + z = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0 Se tiene que R(C) = R(A) = 1 < nmero de incgnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para k = 3 se tiene el sistema: 2x + y + z = 0 x 2y + z = 3 x + y 2z = 9

|

|

R

(

2 1 1 1 2 1 1 1 2

2 =R 0 0 92

(

1 1 1 1 0 0

|) | )0 2 12

0 2 1 1 3 1 + 2 2 = R 0 3 3 9 3 2 0 3 3

(

|)

0 6 2 : (3) = 6 2 + 3

Se tiene que R(C) = 2 ? R(A) = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible.



4.2. Sistemas de tres ecuaciones con dos incgnitasLa mejor estrategia para discutir estos sistemas es: a) Se calcula el determinante de la matriz ampliada y se hallan sus races. Para aquellos valores para los que no se anule el determinante, se tendr que: R(C) 2 y R(A) = 3, y el sistema ser incompatible. b) Para los valores que son races del determinante de la matriz ampliada, se estudia el sistema por Gauss.7

Ejercicio resuelto Discute, segn los valores del parmetro k, el siguiente sistema: kx + y = 1 x + (k + 1)y = 1 x+ ky = 1 k a) Se calcula: |A| = 1 1

|

1 k+1 k

1 1 =k1 1 k1=0k=1

|

Para todo valor de k ? 1, se verifica que: R(C) < R(A) = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. b) Se estudian los valores que son races de |A| = 0 Para k = 1 se tiene: 1 R 1 1

( |)1 2 1

1 1 1 =R 1 1

(

1 2

| 1) 1

Se tiene que R(C) = R(A) = 2 = nmero de incgnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado.

Aplica la teora15. Discute, segn los valores del parmetro a, los siguientes sistemas: a) ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a2 b) (a + 1)x + y+ z = 0 x + (a + 1)y + z = 0 x+ y + (a + 1)z = 0 guientes sistemas: a) x+ y =1 mx + z=0 x + (1 + m)y + mz = m + 1

17. Discute, segn los valores del parmetro a, el siguiente sistema: 3x + 10y = 4 ax + y = 1 x + 3y = 1

18. Discute, segn los valores del parmetro m, los si-

16. Discute, segn los valores del parmetro k, los siguientes sistemas: a) kx + y + z = 4 x+y+ z=k x y + kz = 2 b) x + y + z = 0 kx + 2z = 0 2x y + kz = 0

b) (2m + 2)x + my + 2z = 2m 2 2x + (2 m)y = 0 (m + 1)x + (m + 1)z = m 1


93

Profundizacin Profundizacin: demostraciones1.2. Teorema de RouchUn sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con los trminos independientes. Sistema compatible R(C) = R(A)Demostracin

La demostracin se har representando el sistema en forma vectorial, que consiste en poner el sistema como una combinacin lineal de los vectores columna de la matriz de los coeficientes, es decir: a11x1 + a12x2 + + a1pxp = b1 a21x1 + a22x2 + + a2pxp = b2 an1x1 + an2x2 + + anpxp = bn

() () () ()a11 a21 x + 1 an1 a12 a22 x ++ 2 an2 a1p a2p x = p anp b1 b2 bn

Si se llama C1, C2, , Cp a las columnas de la matriz de los coeficientes, el sistema se expresa de forma reducida: C1x1 + C2x2 + + Cpxp = B El teorema es una equivalencia o doble implicacin; por lo tanto, la demostracin tiene dos partes: a) Si el sistema es compatible R(C) = R(A) Si el sistema es compatible, tiene solucin; es decir, existen s1, s2, , sp tales que: C1s1 + C2s2 + + Cpsp = B Luego el vector columna B es combinacin lineal de los vectores columna: C1, C2, , Cp, es decir, si a la matriz de los coeficientes C se le aade un vector columna que es combinacin lineal de los vectores columna de C, el rango no vara. Por lo tanto: R(C1, C2, , Cp) = R(C1, C2, , Cp, B) R(C) = R(A) b) Si R(C) = R(A ) el sistema es compatible Si se tiene que: R(C) = R(A) se verifica: R(C1, C2, , Cp) = R(C1, C2, , Cp, B) Por lo tanto, el vector B es combinacin lineal de los vectores: C1, C2, , Cp y entonces existen unos nmeros: s1, s2, , sp tales que: C1s1 + C2s2 + + Cpsp = B De lo que se deduce que s1, s2, , sp es una solucin del sistema; luego el sistema es compatible. Grupo Editorial Bruo, SL. Matemticas de 2 BCT. Autores Jos Mara Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sez

94

Profundizacin2.1. Regla de CramerEn un sistema de Cramer, cada incgnita es el cociente de dos determinantes: a) El determinante del denominador es el de la matriz de los coeficientes. b) El determinante del numerador es el que resulta de sustituir, en el determinante de los coeficientes, la columna correspondiente a los coeficientes de la incgnita que se despeja, por los trminos independientes.Demostracin

Dado el sistema de Cramer: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + + annxn = bn

(

a11 a21 an1

a12 a22 an2

a1n a2n ann

x1 b1 x2 b = 2 xn bn

() ) ( )

el sistema se puede escribir de forma abreviada: CX = B Como el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, la matriz C de los coeficientes es regular y tiene inversa; por lo tanto, se tiene: X = C 1 B Escribiendo las matrices, se tiene:

() (

x1 A11 x2 A12 = 1 |C| xp A1n

A21 A22 A2n

An1 An2 Ann

b1 b2 bn

() )Tema 4. Sistemas lineales con parmetros

Se despeja cada incgnita y se utiliza el desarrollo de un determinante por los elementos de una columna escritos en forma inversa.

b A + b A + + bnAn1 x1 = 1 11 2 21 = |C|

| | |

b1 b2 bn a11 a21 an1

a12 a22 an2 b1 b2 bn

a1n a2n ann a1n a2n ann

| | |95

|C|

b A + b A + + bnAn2 x2 = 1 12 2 22 = |C|

|C| a11 a21 an1 a12 a22 an2 b1 b2 bn

b A + b A + + bnAnn = xn = 1 1n 2 2n |C|

|C|


EEjercicioso sproblemas resueltos j e r c i c i y y p ro b l e m a sDiscutir un sistema 3 3 con un parmetro y resolver por Cramer8. Resuelve las cuestiones:

a) Clasificacin:

a) Clasifica el sistema siguiente segn los valores del parmetro k kx + y 2z = 0 x y + kz = 1 x + y + z = k b) Resuelve por Cramer para k=2

|

k 1 2 1 1 k = k2 + 1 k2 + 1 = 0 k2 = 1 k = 1, k = 1 1 1 1

|

Para k ? 1, k ? 1, R(C) = R(A) = 3 = nmero de incgnitas, sistema heterogneo compatible determinado. Para k = 1 1 1 2 R 1 1 1 1 1 1 1 =R 0 0

( (

(

1 2 0 1 0 0

|) |)0 1 4

0 1 1 1 + 2 = R 0 1 2 + 3 0

(

1 2 0 1 0 2

|)

0 = 1 2 2 2 + 3

R(C) = 2 ? R(A) = 3, sistema heterogneo incompatible. Para k = 1 1 1 2 R 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 = R 0 1 2 + 3 0

|

)

(

1 2 2 1 0 0

|

0 1 0

)|

R(C) = R(A) = 2 < nmero de incgnitas, sistema heterogneo compatible indeterminado. b) Resolucin por Cramer para k = 2 2x + y 2z = 0 2 1 2 x y + 2z = 1 1 1 2 = 3 x + y + z = 2 1 1 1

|

|x=

0 1 2 1 1 2 2 1 1 3 2 0 2 1 1 2 1 2 1 3 2 1 1 1 0 1 1 1 2 3

|=

3 =1 3

|y=

|=

0 =0 3

|z= 96

|=

3 =1 3

Solucin: x = 1, y = 0, z = 1


E j e r c i c i o s y p ro b l e m a sResolver un sistemas 3 3 aplicando la matriz inversa9. Resuelve las cuestiones:

PA U

a) Matriz inversa:

a) Calcula la matriz inversa de: 1 A= 0 1

( )1 1 0 0 1 1

A1 =

b) Escribe de forma matricial el siguiente sistema y resulvelo usando la matriz A1, hallada en el apartado anterior: x + y = 1 y + z = 2 x + z = 3

( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 0 x 1 1 y = 2 1 z 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 3 = 2 0

b) En forma matricial:

( )( ) ( )1 0 1 AX = B X = A1B

( ) ( )( ) ( )x y z = 1 2 1 2 1 2 Solucin: x = 3, y = 2, z = 0Resolver un sistema 4 4 heterogneo10. Resuelve el siguiente sistema:

Eliminamos la 3 porque es el doble de la 1 x 2y + z 3v = 4 x 2y + z 3v = 4 x + 2y + z + 3v = 4 2 1 4y + 6v = 8 3/2 2x + 2z = 0 3/2 x + z = 0 z = x x 2y + z 3v = 4 2y + 3v = 4 3v = 4 2y z = x Solucin general: z = x, v = 4 2y 3 4 2 ; l, 3 97 x 2y x 4 + 2y = 4 4 2y v = 3 z = x

x 2y + z 3v = 4 x + 2y + z + 3v = 4 2x 4y + 2z 6v = 8 2x + 2z = 0

Soluciones paramtricas: x = l, y = , z = l, v =



EEjercicioso sproblemas resueltos j e r c i c i y y p ro b l e m a sDiscutir y resolver un sistema 3 3 heterogneo con un parmetro11. Considera el siguiente sistema

de ecuaciones: ax + y + z = 4 x ay + z = 1 x+ y+z=a+2 a) Resulvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2

| |Para a = 1 1 1 R 1 1 1 1

a 1 1 1 a 1 = a2 + 1 a2 + 1 = 0 a2 = 1 a = 1, a = 1 1 1 1

Para a ? 1, a ? 1, R(C) = R(A) = 3 = nmero de incgnitas, sistema heterogneo compatible determinado.

( (

1 1 1

|)

4 1 1 1 2 = R 0 3 1 3 0

(

1 2 0

1 0 0

|)4 3 1 1 2 0

R(C) = 2 ? R(A) = 3, sistema heterogneo incompatible. Para a = 1 1 R 1 1 1 1 1 1 1 1

|)

4 1 + 2 = R 0 1 1 1 2 3 0

(

1 2 0

|)4 5 0

R(C) = R(A) = 2 < nmero de incgnitas, sistema heterogneo compatible indeterminado. a) Resolucin cuando es compatible indeterminado: Pasamos de la ltima matriz en la que hemos calculado el rango a forma de sistema: x + y + z = 4 x + 5/2 z + z = 4 2y + 2z = 5 y = 5/2 z y = 5/2 z

Solucin general: x = 3/2, y = 5/2 z Solucin en paramtricas: x = 3/2, y = 5/2 l, z = l; l b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2 2x + y + z = 4 x 2y + z = 1 x + y + z = 4 Cambiamos la 1 ecuacin con la segunda: x 2y + z = 1 x 2y + z = 1 2x + y + z = 4 2 2 1 5y z = 2 x + y + z = 4 3 1 3y = 3 y = 1 x 2 + 3 = 1 x = 0 5 z = 2 z = 3 y = 1 y = 1 Solucin: x = 0, y = 1, z = 3

98


E j e r c i c i o s y p ro b l e m a sDiscutir y resolver un sistema 3 3 homogneo con un parmetro12. Dado el sistema homogneo:

PA U

x + ky z = 0 kx y + z = 0 (k + 1)x + y = 0 averigua para qu valores de k tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. Resulvelo en tales casos.

|

1 k 1 k 1 1 = k2 k 2 k2 k 2 = 0 k = 2, k = 1 k+1 1 0

|

Para k ? 2, k ? 1, R(C) = 3 = nmero de incgnitas, solo tiene la solucin x=y=z=0 Para k = 2 x + 2y z = 0 x + 2y z = 0 2x y + z = 0 2 1 2 5y 3z = 0 y = 3z/5 3 1 3 3x + y = 0 5y 3z = 0 x + 6z/5 z = 0 x = z/5 y = 3z/5 La solucin general es: x = z/5, y = 3z/5 La solucin en paramtricas: x = l/5, y = 3l/5, z = l; l Para k = 1 x y z = 0 x z = 0 x = z x y + z = 0 x + z = 0 y = 0 y = 0 La solucin general es: x = z, y = 0 La solucin en paramtricas: x = l, y = 0, z = l; l Tema 4. Sistemas lineales con parmetros

Discutir y resolver un sistema 4 3 heterogneo con un parmetro13. Dado el sistema:

x + 3y az = 4 ax + y + az = 0 x + 2ay = a + 2 2x y 2z = 0 disctelo segn los valores de a, y resulvelo cuando sea compatible.

|

1 a 1 2

3 1 2a 1

a a 0 2

4 0 = a3 a2 8a + 12 a+2 0

|

a3 a2 8a + 12 = 0 a = 2, a = 3 Para a ? 2, a ? 3, R(C) < R(A) = 4, sistema heterogneo incompatible. Para a = 2, R(C) = R(A) = 2 < nmero de incgnitas, sistema heterogneo compatible indeterminado. Solucin: x = 8z/7 + 4/7, y = 2z/7 + 8/7 Para a = 3, R(C) = R(A) = 3 = nmero de incgnitas, sistema heterogneo compatible determinado. Solucin: x = 1, y = 0, z = 1 99


EEjercicioso sproblemas resueltos j e r c i c i y y p ro b l e m a sDiscutir y resolver un sistema 2 2 heterogneo con un parmetro14. Dado el sistema de ecuacio-

a) Discusin

nes lineales x ay = 2 ax y = a + 1 se pide: a) Discutir el sistema segn los valores del parmetro a. Resolverlo cuando la solucin sea nica. b) Determinar para qu valor o valores de a el sistema tiene una solucin en la que y=2

| 1a a1 | = a 1 a 1 = 0 a = 1, a = 12 2

Para a ? 1, a ? 1, R(C) = R(A) = 2 = nmero de incgnitas, sistema compatible determinado. Para a = 1 R

( (

1 1 1 1

2 1 2 | 2) 1 2 = R (1 0 | 0) 0

R(C) = R(A) = 1 < nmero de incgnitas, sistema heterogneo compatible indeterminado. Para a = 1 R 1 1 1 1 1 2 | 2) 1 + 2 = R (1 0 | 2) 0 0

R(C) = 1 ? R(A) = 2, sistema heterogneo incompatible. La solucin es nica cuando a ? 1, a ? 1; hay que resolverlo en funcin de a 1 x ay = 2 a ax y = a + 1

|

a = a2 1 1

|

x=

| a +2 1 1a |a2 1

=

a2 + a 2 (a + 2)(a 1) a + 2 = = (a + 1)(a 1) a + 1 a2 1

y=

| 1aa2

2 a+1 1

|

=

a + 1 a1 1 = = 21 a (a + 1)(a 1) a+1

Solucin: x =

a+2 1 ,y= ; a ? 1 a+1 a+1

b) Si y = 2, sustituimos y = 2 y resolvemos el sistema: x = 2a + 2 x 2a = 2 a(2a + 2) 2 = a + 1 ax 2 = a + 1 2a2 + 2a 2 = a + 1 2a2 + a 3 = 0 1 5 a = 1 1 + 24 = = 4 4 1 3/2

Tiene la solucin y = 2 cuando a = 1, a = 3/2

100


EEjercicioso sproblemasb l e m a s j e r c i c i y y p roPreguntas tipo test1 Un sistema lineal heterogneo es compatible deter-

PA U

Contesta en tu cuaderno:Discutir el sistema en funcin del valor de a Para a = 0, no tiene solucin, y para a = 1, compatible indeterminado. Si a ? 0, incompatible, y si a = 0, compatible indeterminado. Si a = 0, incompatible, y si a ? 0, compatible indeterminado. Si a ? 1, incompatible, y si a = 1, compatible indeterminado. x y + z = 1 y + z = 2a 2 x + 2z = a

minado si (C, matriz de los coeficientes, y A, matriz ampliada con los trminos independientes): R(C) < R(A) R(C) = R(A) = N de incgnitas R(C) > R(A) R(C) ? R(A)2 Si tenemos el sistema lineal matricial CX = B tal que

existe C 1, la solucin es: X = BC X = CB3 Un sistema lineal homogneo:

X = BC 1 X = C 1B

8 Se considera el sistema:

siempre es compatible. siempre es incompatible. unas veces es compatible y otras incompatible. ninguna de las anteriores es cierta.4 Un sistema lineal de tres ecuaciones con dos incgnitas:

si R(C) = R(A) = 2, es compatible. si R(A) = 3, es compatible. si R(C) = 3, es compatible. si R(C) = R(A) = 3, es compatible.5 Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incg-

donde a es un parmetro real. Resuelve el sistema para a = 0 Resuelve el sistema para a = 1 Para a = 0 no tiene solucin; para a = 1, x = 2z + 1, y = z + 2 Para a = 0, x = y = z = 0; para a = 1 no tiene solucin. Para a = 0, x = 2, y = 3, z = 5; para a = 1, x = 1, y = 2, z = 3 Para a = 0, x = 1, y = 2, z = 3; para a = 1, x = 3, y = 2, z = 0 ax + y + z = 1 9 Dado el sistema: x + ay + z = 1 x+ y = 1

6 Discutir el siguiente sistema segn los valores del pa-

rmetro k kx + ky z = 2 =0 3x ky 5x + ky =0 x+ 2z = 1 Es siempre incompatible. Para k ? 0, compatible determinado. Para k = 0, compatible determinado. Para k = 0, compatible indeterminado. x y + z = 1 y + z = 2a x + 2z = a2

10 Dado el sistema:

ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x+ y = 1

7 Se considera el sistema:

donde a es un parmetro real.

resulvelo cuando sea posible. Si a ? 1, x = 1, y = 1, z = 1 a Si a = 1, x = 1/2, y = 1/2, z = (1 a)/2 x = 1/2, y = 1/2, z = (1 a)/2 para a ? 1 y x = l, y = 1 l, z = 0; l para a = 1 No se puede resolver porque R(C) ? R(A)


101


nitas: si R(C) = R(A) = 2, es compatible determinado. si R(C) ? R(A), es compatible determinado. si R(C) = R(A) = 3, es compatible determinado. si R(C) < R(A), es compatible determinado.

estudia su compatibilidad segn los valores de a Si a ? 0, a ? 2, compatible determinado; si a = 1, incompatible; si a = 2 incompatible. Si a ? 1, compatible determinado; si a = 1, compatible indeterminado. Si a ? 0, compatible determinado; si a = 0, compatible indeterminado. Si a ? 1, a ? 3, compatible determinado; si a = 1, incompatible; si a = 3, incompatible.

EEjerciciosi o s y p ro b l e m a s j e r c i c y problemas propuestos1. Teorema de Rouch19. Discute los siguientes sistemas:

3. Resolucin de sistemas de cuatro ecuaciones27. Resuelve el siguiente sistema:

a) 3x y + 2z = 1 x + 4y + z = 3 2x 5y + z = 2

b) 5x + 4y + 5z = 9 x 2y = 1 5x + 3y + 5z = 5


x + y 2z + 2t = 2 2x y + z 4t = 1 x + 2y + z = 3 x + z 2t = 1 28. Resuelve el siguiente sistema:

a) 2x + y + 4z = 0 4x y + 2z = 4 3x y + z = 2

b) 8x + y + 4z = 9 5x 2y + 4z = 6 x+ y = 1


x+ y+ x + 2y 2x y x y+

z = 2 3z = 8 z = 1 z = 2

a) 2x y + z = 2 x + 2y + 3z = 1 x 3y 2z = 3

b) x + 2y 4z = 1 2x + y 5z = 1 x y z = 2

29. Resuelve el siguiente sistema:

22. Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema:

2x + 4y z + 2t = 0 x+ y+ z = 3 5x 2y 4z t = 12

x 3y z = 1 x + 5y + 3z = 3 x + y + z = 1 3x + 7y + 5z = 5 30. Resuelve el siguiente sistema:

2. Regla de Cramer y forma matricial23. Resuelve por Cramer:

x + 2y 3z + 2x y z 7x y 6z 4x + 3y 7z

t=1 3t = 2 8t = 7 t=4

a) 7x + 2y + 3z = 15 5x 3y + 2z = 15 10x 11y + 5z = 36 b) 3x + 2y + 4z = 1 2x + y + z = 0 x + 2y + 3z = 1 24. Resuelve por Cramer:

4. Discusin de sistemas con parmetros31. Discute, segn los valores del parmetro m, los si-

guientes sistemas: a) mx + my = 6 x + (m 1)y = 3 b) (m + 1)x + y + z = 3 x + 2y + mz = 4 x + my + 2z = 2 32. Discute, segn los valores del parmetro a, los siguien-

a) x + y + z = 1 3x 4y = 5 7x y 3z = 8 25. Resuelve matricialmente:

b) x + 2y + 3z = 0 x + 2y + z = 0 2x + 3y + 4z = 2

tes sistemas: a) x + y + 2z = 3 2x y + az = 9 x y 6z = 5 tes sistemas: b) x + y + 2z = 2 2x y + 3z = 2 5x y + az = 6

( (102

1 2 2 1 1 1

1 x 1 2 y = 2 2 z 3

() ) ( )

33. Discute, segn los valores del parmetro k, los siguien-

26. Resuelve matricialmente:

1 1 0

0 1 1

1 x 2 0 y = 2 1 z 0

() ) ( )

a) 3x 5y = 6 x+ y=k x + 2y = 2

b) x + y =1 3x + 2y z = 3 kx + 3y 2z = 0 x 4z = 3


E j e r c i c i o s y p ro b l e m a sPara ampliar34. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas: 39. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

a) 3x + 2y z = 4 x + y + z = 3 2x 3z = 1 4x + 5z = 6 b) x y + 3z + 14t = 0 2x 2y + 3z + t = 0 3x 3y + 5z + 6t = 0 35. Para cada valor del parmetro real k, se considera el

ax + y z = 0 2x + ay =2 x +z=1 a) Discute el sistema segn los valores del parmetro a b) Resuelve el sistema cuando tenga ms de una solucin.40. Sea el siguiente sistema:

sistema lineal de ecuaciones: x y=3 2x 3y = 2k 3x 5y = k2 Se pide: a) discutir el sistema segn los valores de k b) resolverlo en los casos en que sea compatible.36. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,

x + ky + 2z = k 2x + ky z = 2 kx y + 2z = k a) Discute la compatibilidad del sistema segn los valores del parmetro k b) Resuelve el sistema para k = 1 c) Resuelve el sistema para k = 241. Siendo a un nmero real cualquiera, se define el sis-

dependiente del parmetro m: 2x + y z = 2 x+y+ 2z = 5 x + (m + 2)z = 3 a) Discute el sistema para los distintos valores de m b) Resuelve el sistema para m = 337. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,

tema: x + 2y az = 1 y + z = 0 ax + z=a a) Discute el sistema en funcin del valor de a b) Encuentra todas sus soluciones para a = 142. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,

dependiente del parmetro real a: xy = 2 ax + y + 2z = 0 x y + az = 1 a) Discute el sistema segn los diferentes valores del parmetro a b) Resuelve el sistema para a = 1 c) Resuelve el sistema para a = 238. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,

dependiente del parmetro real l: y+z=1 (l l) + y + z = l x + (l 1)y z = 0 donde l es un nmero real. a) Discute el sistema segn los valores del parmetro l b) Resuelve el sistema para l = 0 c) Resuelve el sistema para l = 343. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,

dependiente del parmetro real l: x + y + lz = y z=l x + ly + z = l l2

dependiente del parmetro real l: x + y + 5z = 0 2x ly =0 x y+ z=0 Discute el sistema segn los diferentes valores del parmetro l y resulvelo.

a) Discute el sistema segn los diferentes valores del parmetro l b) Resuelve cuando sea indeterminado.


103


EEjerciciosi o s y p ro b l e m a s j e r c i c y problemas propuestos44. Considera el sistema de ecuaciones: 47. Sea el sistema de ecuaciones:

x+ y+ z = 2 lx + 3y + z = 7 x + 2y + (l + 2)z = 5 a) Clasifica el sistema segn los valores del parmetro l b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.45. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:

(a + 1)x + 2y + z = a + 3 ax + y =a ax + 3y + z = a + 2 a) Discute el sistema en funcin del parmetro real a b) Resuelve el sistema en los casos en que resulte compatible determinado.48. Se considera el sistema:

ax + 2y + 6z = 0 2x + ay + 4z = 2 2x + ay + 6z = a 2 a) Discute el sistema en funcin del parmetro a b) Resulvelo para a = 246. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + my =0 x + mz = m x + y + 3z = 1 a) Discute el sistema segn los valores de m b) Resuelve el sistema para m = 649. Sea el sistema homogneo:

xy+ z= 6 x y + (a 4)z = 7 x+y+ 2z = 11 a) Discute el sistema en funcin del parmetro real a b) Resulvelo para a = 4

x + z=0 x + my + 2mz = 0 2x + my + (2m + 3)z = 0 a) Calcula el valor de m para el que el sistema tenga soluciones distintas de la trivial. b) Halla las soluciones.

Problemas50. Dado el sistema de ecuaciones: 52. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones en las

2x + y + z = 1 x y + z = 2 a) estudia su compatibilidad. b) aade al sistema una ecuacin de tal forma que el sistema resultante tenga solucin nica. Justifica la respuesta y encuentra dicha solucin. c) aade al sistema dado una ecuacin de tal forma que el sistema resultante sea incompatible. Justifica la respuesta.51. Se considera el siguiente sistema:

incgnitas x, y, z, t: x + 2y + z = 0 y + 2z + t = 0 2x + 2ky t = 0 a) Encuentra los valores de k para los que el rango de la matriz de los coeficientes del sistema es 2 b) Resuelve el sistema anterior para k = 053. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:

xy = a x + a2z = 2a + 1 x y + a(a 1)z = 2a a) Discute el sistema segn los valores del parmetro real a b) Resuelve el sistema para a = 3

lx + 2y = 3 x + 2lz = 1 3x y 7z = l + 1 a) Halla todos los valores del parmetro l para los que el sistema correspondiente tiene infinitas soluciones. b) Resuelve el sistema para los valores de l obtenidos en el apartado anterior. c) Discute el sistema para los restantes valores de l


104

E j e r c i c i o s y p ro b l e m a s54. Discute el sistema, segn el valor del parmetro m, y

Para profundizar61. Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones

resuelve en los casos de compatibilidad. 2x + 3y + z = 4 3x + y + mz = 6 2x 10y 2z = m 4 55. Dado el siguiente sistema:

lineales segn los valores de los parmetros a y b: 3x y + 2z = 1 x + 4y + z = b 2x 5y + az = 2 62. Discute, segn los valores de los parmetros l y , el

+ z = 1 y + (a 1)z = 0 x + (a 1)y + az = a x a) discute el sistema segn el valor del parmetro a b) resuelve el sistema en todos los casos de compatibilidad.56. Discute, segn los valores del parmetro k, el siguiente

sistema de ecuaciones lineales: lx + y + z = x + y + lz = 2 2x + y + lz = 63. Discute, segn los valores de los parmetros a y b, el

sistema de ecuaciones lineales: 2x 5y + az = 2 3x y + 2z = 1 x + 4y + z = b 64. Calcula el valor de a y b para que el sistema siguiente

sistema: 2y z = k 3x 2z = 11 y+ z= 6 2x + y 4z = k 57. Discute, segn los valores del parmetro k, el siguiente

sea compatible indeterminado: sistema: x+ y z= 2 kx + y + z = 1 x y + 3z = 3 4x + 2y = k 58. Discute, segn los valores del parmetro k, el siguiente

2x y + z = 3 x y + z = 2 3x y az = b 65. Estudia, segn los diferentes valores de a y b, la com-

patibilidad del sistema: 2x y 2z = b x + y + z = 5 4x 5y + az = 10 66. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

x + y + 5z = 0 2x 3y =0 x y+ z=0 x + 2y + 2kz = k 59. Discute el siguiente sistema segn los valores del par-

ax + y + z = 1 x + ay + z = b x + y + az = 1 a) discute el sistema en funcin de a y b b) resuelve el sistema para a = b = 267. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

metro m y resulvelo cuando sea posible: x + 2z 3 = 0 3x + y + z + 1 = 0 2y z + 2 = 0 x y + mz + 5 = 0 60. Discute el siguiente sistema segn los valores del par-

metro a: ax + z + t = 1 ay + z t = 1 ay + z 2t = 2 az t = 0

2x y + z = 3 x y + z = 2 3x y az = b a) halla los valores de a y b para los que el sistema sea compatible indeterminado y su solucin sea una recta. b) halla la solucin para los valores obtenidos en el apartado anterior.


105


sistema:

Tema 4. Sistemas lineales con parmetrosPaso a paso68.

Discute, segn los valores de k, el siguiente sistema: (1 k)x + y+ z=0 x + (1 k)y + z=k x+ y + (1 k)z = k2 Solucin:

69.

Resuelve el sistema cuando sea posible, segn los valores de a, y clasifcalo. ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1 x + y + z = a Solucin: a) Como hay una ecuacin ms que incgnitas, se calcula el determinante de la matriz ampliada.

a) Introduce la matriz C de los coeficientes, como C(k) b) Copia la matriz C(k), cambia la C por A, coloca el cursor en cualquier lugar de la ltima columna. En selecciona Men y elige Aadir columna a la derecha. c) Introduce la columna de los trminos independientes. d) Resuelve la ecuacin: resolver(|C(k)| = 0) e) Clasifica el sistema segn los valores de k

70.

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemticas, curso y tema.

106


Linux/WindowsAs funcionaMen Contiene las opciones:

Sustituir en una matriz A un parmetro k por un nmero

Se introduce la matriz como A(k): por ejemplo, para sustituir en la matriz A(k) el valor del parmetro k por 2, se escribe: A(2)

Practica71.

Discute el siguiente sistema: x + 2y + z = 1 3x + y + 4z = 5 2x y + 3z = 4

76.

Resuelve el siguiente sistema: x+y = 1 y + z = 2 x z = 1 3x y + z = 10 Discute, segn los valores del parmetro k, el siguiente sistema: kx + y = 1 x + (k + 1)y = 1 x+ ky = 1 Clasifica el sistema siguiente segn los valores del parmetro k kx + y 2z = 0 x y + kz = 1 x + y + z = k Dado el sistema homogneo: x + ky z = 0 kx y + z = 0 (k + 1)x + y = 0 averigua para qu valores de k tienen soluciones distintas de x = y = z = 0. Resulvelo en tales casos.Tema 4. Sistemas lineales con parmetros

72.

Resuelve el sistema: 2x y + z = 8 x + 3y 2z = 5 2x + y + 3z = 4

77.

73.

Resuelve matricialmente el siguiente sistema: x + 2y z = 0 2x + 5y = 4 x + 3y + 2z = 5 78.

74.

Resuelve el siguiente sistema: x + 2y + z 3t = 2 2x + 5y + 3z 8t = 4 x + 2y + 2z 4t = 3 3x + 6y + 5z 11t = 8 Considera el siguiente sistema de ecuaciones: ax + y + z = 4 x ay + z = 1 x+ y+z=a+2

79.

75.

80.

Dado el sistema de ecuaciones lineales x ay = 2 ax y = a + 1 determina para qu valor o valores de a el sistema tiene una solucin en la que y = 2 107

a) Resulvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2


Tema 4. Sistemas lineales con parmetrosPaso a paso68.

Discute, segn los valores de k, el siguiente sistema: (1 k)x + y+ z=0 x + (1 k)y + z=k x+ y + (1 k)z = k2 Solucin: a) Introduce la matriz de los coeficientes y asgnale la letra C b) Introduce la matriz columna de los trminos independientes y asgnale la letra B c) En la entrada de expresiones escribe: append_columns(C, B) y elige Introducir y Simplificar. d) Asgnale a esta matriz ampliada la letra A Clculo del determinante de la matriz de los coeficientes. a) Calcula el determinante de la matriz de los coeficientes, det(C) k2(3 k) b) Resuelve la ecuacin correspondiente: k=3k=0 Para todo valor de k ? 0 y k ? 3 se verifica que R(C) = R(A) = 3 El sistema es heterogneo y compatible determinado. Estudio para k = 0 a) Selecciona la matriz ampliada. En la barra de herramientas elige Sustituir variables, escribe en Nuevo valor: 0, y haz clic en Simplificar. b) Con la nueva matriz seleccionada, escribe en la barra de entrada de expresiones row_reduce y pulsa F4 para que se copie a su derecha entre parntesis. c) Pulsa Introducir y simplificar, y se obtiene: 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Estudio para k = 3 a) Selecciona la matriz ampliada y sustituye el parmetro k por 3 b) Reduce por filas la matriz obtenida. Se obtiene: 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

(

)

R(C) = 2 < R(A) = 3 El sistema es heterogneo e incompatible.69.

Resuelve el sistema cuando sea posible, segn los valores de a, y clasifcalo. ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1 x + y + z = a Solucin: Como hay una ecuacin ms que incgnitas, se calcula el determinante de la matriz ampliada: a) Introduce la matriz de los coeficientes, C, la de los trminos independientes, B, y a partir de ellas halla la matriz ampliada, A b) Calcula el determinante de A, det(A): a4 6a2 + 8a 3 c) Halla sus races reales: a = 3 a = 1 Para todo valor a ? 3 y a ? 1, se tiene que el R(C) < R(A) = 4 2 El sistema es heterogneo e incompatible. Estudio para a = 3 a) Selecciona la matriz ampliada y sustituye a por 3 b) Reduce por filas la matriz obtenida. 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 R(C) = R(A) = 3 El sistema es heterogneo y compatible determinado. Del sistema equivalente se obtiene la solucin: x = 1, y = 1, z = 1

(

)

(

)

R(C) = R(A) = 1 < nmero de incgnitas El sistema es compatible indeterminado. 108

Estudio para k = 1 a) Selecciona la matriz ampliada y sustituye a por 1


Windows Deriveb) Reduce por filas la matriz obtenida. Se obtiene: 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(

)

R(C) = R(A) = 1 El sistema es compatible indeterminado, el sistema equivalente es: x+y+z=1x=1yz70.

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemticas, curso y tema.

As funcionaDiscusin de un sistema Para discutir un sistema: a) Se introduce la matriz de los coeficientes y se le asigna la letra C b) Se introduce la matriz columna de los trminos independiente y se le asigna la letra B c) Se forma la matriz ampliada, append_columns(C, B), y se le asigna la letra A d) Se calcula el determinante que haga falta y se calculan sus races. e) Se estudia el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada con: row_reduce(A)

Practica71.

Discute el siguiente sistema: x + 2y + z = 1 3x + y + 4z = 5 2x y + 3z = 4

76.

72.

Resuelve el sistema: 2x y + z = 8 x + 3y 2z = 5 2x + y + 3z = 4

Resuelve el siguiente sistema: x+y = 1 y + z = 2 x z = 1 3x y + z = 10 Discute, segn los valores del parmetro k, el siguiente sistema: kx + y = 1 x + (k + 1)y = 1 x+ ky = 1 Clasifica el sistema siguiente segn los valores del parmetro k kx + y 2z = 0 x y + kz = 1 x + y + z = k Dado el sistema homogneo: x + ky z = 0 kx y + z = 0 (k + 1)x + y = 0 averigua para qu valores de k tienen soluciones distintas de x = y = z = 0. Resulvelo en tales casos.

77.

73.

Resuelve matricialmente el siguiente sistema: x + 2y z = 0 2x + 5y = 4 x + 3y + 2z = 5 78.

74.

Resuelve el siguiente sistema: x + 2y + z 3t = 2 2x + 5y + 3z 8t = 4 x + 2y + 2z 4t = 3 3x + 6y + 5z 11t = 8 79.

75.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: ax + y + z = 4 x ay + z = 1 x+ y+z=a+280.

a) Resulvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2

Dado el sistema de ecuaciones lineales x ay = 2 ax y = a + 1 determina para qu valor o valores de a el sistema tiene una solucin en la que y = 2 109



EPe r ctie i a spy up roa l e m a s j on c o r eb bProblemas resueltos Problemas resueltos1. Sea la matriz

1 2 2 A= 1 2 1 0 1 1

( )

a) A2

1 2 2 1 2 2 1 0 2 = 1 2 1 1 2 1 = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

(

)(

)(

)0 1 0 0 0 1

a) Comprueba que verifica A3 I = O; con I, matriz identidad, y O, matriz nula. b) Calcula A12 c) Basndote en los apartados anteriores y sin recurrir al clculo de inversas, halla la matriz X que verifica la igualdad A2X + I = A

A3 = A2 A =

(3 4

1 0 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 = 0 1 1 0 0 1 1 0

)(

)(

)

Luego: A3 I = O b) La matriz A es cclica de orden 3 12 0 A12 = A3 = I c) Se multiplica por la izquierda en los dos miembros por A A (A2 X + I) = A A A3 X + A = A2 X + A = A2 X = A2 A X=

(

1 0 2 1 2 2 0 2 4 1 1 1 1 2 1 = 0 1 2 1 1 0 0 1 1 1 0 1

)(

)(1 k 1

)

2. Resuelve las siguientes cues-

tiones: a) Define rango de una matriz. b) Calcula el rango de A segn los valores del parmetro k 1 3 A= k k 1 3

a) El rango de una matriz es el nmero de filas o columnas linealmente independientes.4 3 1 2 6447448

C

C

C

C

(

3 1 3 1 3 0

)

1 b) R k 1

(

3 k 3

3 3 3

1 1 1 = R 1 0 0

c) Estudia si se puede formar una base de R3 con las columnas de A segn los valores del parmetro k. Indica con qu columnas.

1 3 1 3 1 3 1 3 =R 0 6 k+1 k+3 =R 0 6 k+1 k+3 =3 0 3 1 3 2 2 3 0 0 k+3 k3 para cualquier valor de k, ya que k no puede ser 3 y 3 a la vez. c) Para k = 3, el determinante formado por los vectores columnas 4, 3 y 1 de A es cero. Luego los tres vectores son linealmente dependientes. Se puede formar una base con los vectores de las columnas 3, 2 y 1

(

) ( )

3 3 3

3 k 1 + 2 = 3

)

(

)

|110

3 3 3

3 1 Las columnas 1, 2 y 3 son linealmente 3 3 = 36 ? 0 independientes para k = 3 3 1

|

Para k ? 3 se puede formar una base con las columnas 1, 3 y 4 Grupo Editorial Bruo, SL. Matemticas de 2 BCT. Autores Jos Mara Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sez

PA U3. Se consideran las matrices

lgebra

A=

( )x y 1 y 0 z z y z

a) Para que A no tenga inversa, el determinante de A debe valer cero.

| |b)

x y z y 0 y = y2 y2z y2 y2z = 0 y2(1 z) = 0 y = 0; z = 1 1 z z

B = (a, 2, 3) C = (4, 0, 2) a) Halla los valores de x, y, z, para los que A no tiene inversa. b) Determina los valores de a para los que el sistema B A = C tiene solucin. c) Resuelve el sistema anterior cuando sea posible.

La matriz A no tiene inversa para los valores y = 0, o bien z = 1 x y z ax + 2y = 1 B A = C (a 2 3) y 0 y = (4 0 2) ay + 3z = 0 1 z z ax + 2y + 3z = 2 Sea la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada, respectivamente: a 2 0 a 2 0 1 M= 0 a 3 ,N= 0 a 3 0 a 2 3 a 2 3 2 |M| = 3a2 3a2 = 0 a = 0 Para todo valor a ? 0, R(M) = R(N) = 3 = nmero de incgnitas el sistema es compatible determinado. Para a = 0 se tiene: 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 /3 = R 0 0 1 0 = 3 R 0 0 3 0 =R 0 0 3 0 2 0 2 3 2 3 1 0 0 3 1 3 2 0 0 0 1 Se tiene R(M) = 2 ? R(N) = 3 Sistema incompatible. c) Para a ? 0, resolvemos por Cramer |M| = 3a2

( )

( ) ( )

) ) ( )

(

(

|x=

1 2 0 0 a 3 2 2 3 3a2

|=

a+2 a2

|y=

a 1 0 0 0 3 a 2 3 3a2

|=

1 algebra

|z=

a 3 1 0 a 0 a 2 2 3a2

|=

1 3 111


EPe r ctie i a spy up roa l e m a s j on c o r eb bProblemas resueltos Problemas resueltos4. Calcula una matriz cuadrada X sabiendo que verifica

XA2 + BA = A2 XA2 = A2 BA Calculamos: 1 0 0 2 0 0 1 0 0 A2 = 0 1 0 ; BA = 0 2 0 ; A2 BA = 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 Luego:

XA2 + BA = A2 siendo 0 0 1 A = 0 1 0 1 0 0 0 0 2 B = 0 2 0 2 0 0

( ) ( )

1 0 0 1 0 0 1 0 0 X 0 1 0 = 0 1 0 X = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 3 1 2 3 a C = 2 6 11 ; A = 2 6 11 2 1 2 7 1 2 7 1 Estudiamos el rango de la matriz ampliada. 1 2 3 a 1 2 3 a 2 = R 0 2 R 2 6 11 2 2 1 = 5 2(a 1) 1 2 7 1 1 3 0 4 10 a 1 2 2 + 3 1 2 = R 0 2 0 0

5. Dado el sistema de ecuaciones con incgnitas x, y, z,

a) Sea C la matriz de los coeficientes y A la matriz ampliada.

x + 2y 3z = a 2x + 6y 11z = 2 x 2y + 7z = 1 se pide: a) determinar razonadamente el valor de a para el cual el sistema es compatible. b) para ese valor obtenido en a) de a, calcular el conjunto de soluciones del sistema. c) explicar la posicin relativa de los tres planos definidos por cada una de las tres ecuaciones del sistema, en funcin de los valores de a

(

) ( )

) )

(

(

(

3 5 0

a 2(a 1) 5(a 1)

)

Para a ? 1 R(C) = 2 ? R(A) = 3 Sistema incompatible. Para a = 1 R(C) = R(A) = 2 < n de incgnitas Sistema compatible indeterminado. b) Para a = 1, se tiene el sistema: x + 2y 3z = 1 5 x = 1 2z, y = z 2y + 5z = 0 2 La solucin es: x = 1 2l; y = 5 l, z = l; l 2

c) Para a = 1, los tres planos se cortan en una recta. Para a ? 1, los tres planos se cortan dos a dos. No hay dos planos paralelos. Grupo Editorial Bruo, SL. Matemticas de 2 BCT. Autores Jos Mara Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sez

112

PA UProblemas propuestos1. Sea A una matriz 3 3 de columnas C1, C2 y C3 (en ese 6. Dadas las matrices:

lgebra

orden). Sea B la matriz de columnas C1 + C2, 2C1 + 3C3 y C2 (en ese orden). Calcula el determinante de B en funcin del de A2. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

A=

( ) ( )0 2

2 1 1 yB= , se pide: 4 2 1

a) resolver la ecuacin matricial AX + X = B, donde X es una matriz 2 2 2X + 2Y = A b) resolver el sistema: , siendo X e Y dos 4X + 3Y = B matrices de orden 2 27. Dada la matriz

x+ y+ z=a1 2x + y + az = a x + ay + z = 1 a) Disctelo segn los valores del parmetro a b) Resulvelo en el caso a = 23. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

x + (k + 1)y + 2z = 1 kx + y+ z=k (k 1)x 2y z = k + 1 a) disctelo segn los valores del parmetro k b) resulvelo cuando tenga infinitas soluciones. 1 1 1 4. Considera la matriz A = m m2 m2 m m m2

2 1 a M = 2a 1 1 2 a 1

(

)

a) determina el rango de M segn los valores del parmetro a b) determina para qu valores de a existe la matriz inversa de M. Calcula dicha matriz inversa para a = 28. Dado el sistema de ecuaciones con un parmetro real l

(

)

e incgnitas x, y, z (l + 2)x y+ z = 0 3x + (l + 6)y 3z = 0 5x + 5y + (l 2)z = 0 se pide: a) calcular para qu valores de l el sistema solo admite la solucin (x, y, z) = (0, 0, 0) b) para cada valor de l que hace indeterminado el sistema, obtn todas sus soluciones. c) explicar la posicin relativa de los tres planos definidos por cada una de las ecuaciones del sistema cuando l = 39. A es una matriz 3 3 tal que

a) Halla los valores del parmetro m para los que el rango de A es menor que 3 x 1 b) Estudia si el sistema A y = 1 tiene solucin para z 1 cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.5. Se consideran las matrices

() ()3 0 2

1 1 2 l A= ; B= l 1 1 1 0

(

)

( ) () ()

donde l es un nmero real. a) Encuentra los valores de l para los que la matriz AB tiene inversa. b) Dados a y b nmeros reales cualesquiera, puede ser el sistema x a A y = b z Se pide:

2 1 0 A2 = 1 0 1 1 1 2

( ) ( )1 0 2 y A3 = 2 1 0 2 2 3

a) calcular el determinante de la matriz A3 y la matriz inversa de A3

compatible determinado con A, la matriz del enunciado?

c) calcular la matriz inversa de A


113

lgebra

b) calcular la matriz fila X = (x, y, z), que es solucin de la ecuacin matricial X A3 = B A2, donde B es la matriz fila B = (1, 2, 3)

2 BCT 04 Sistemas Lineales Con Parametros

Documents

Transcript of 2 BCT 04 Sistemas Lineales Con Parametros