2 Introduccion a La Investigacion de Operaciones

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN A LA

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

RESEÑA HISTÓRICA

En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos comoNewton, Leibnitz, Bernouilli y, sobre todo Lagrange, quetanto habían contribuido al desarrollo del cálculoinfinitesimal se ocuparon de obtener máximos y mínimosinfinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimoscondicionados de determinadas funciones.

Posteriormente el matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuirJoseph Fourier (1768 1830) fue el primero en intuir,aunque de forma imprecisa, los métodos de lo queactualmente llamamos programación lineal y lapotencialidad que de ellos se deriva.

RESEÑA HISTÓRICA

Si exceptuamos al matemático Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1776 se interesó por problemas de estegénero. Debemos remontarnos al año 1939 paraencontrar nuevos estudios relacionados con los métodosencontrar nuevos estudios relacionados con los métodosde la actual programación lineal, en este año, elmatemático ruso Leonodas Vitalyevich Kantarovitchmatemático ruso Leonodas Vitalyevich Kantarovitchpublica una extensa monografía titulada Métodosmatemáticos de organización y planificación de laproducción en la que por primera vez se hacecorresponder a una extensa gama de problemas unateoría matemática precisa y bien definida llamada hoy enteoría matemática precisa y bien definida llamada, hoy endía, programación lineal.

RESEÑA HISTÓRICAEn 1941-1942 se formula por primera vez el problema detransporte, estudiado independientemente por Koopmans yK t it h ó l l l lKantarovitch, razón por la cual se suele conocer con elnombre de problema de Koopmans-Kantarovitch.

Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problemaparticular conocido con el nombre de régimen alimenticioóptima.

En estos años posteriores a la Segunda Guerra Mundial enEn estos años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, enEstados Unidos se asumió que la eficaz coordinación detodas las energías y recursos de la nación era un problematodas as e e g as y ecu sos de a ac ó e a u p ob e ade tal complejidad, que su resolución y simplificaciónpasaba necesariamente por los modelos de optimización que

l l ió li lresuelve la programación lineal.

RESEÑA HISTÓRICA

En 1947, G.B. Dantzig formula, entérminos matemáticos muy precisos,l d á d l bel enunciado estándar al que cabe

reducir todo problema deprogramación lineal Dantzig juntoprogramación lineal. Dantzig, juntocon una serie de investigadores delUnited States Departament of AirpForce, formarían el grupo que dio endenominarse SCOOP (ScientificC t ti f O ti P )Computation of Optimum Programs).

RESEÑA HISTÓRICAUna de las primeras aplicaciones de los estudios del grupoSCOOP fue el puente aéreo de Berlín. Se continuó coni fi id d d li i l á d l t ióinfinidad de aplicaciones en el área de la construcción,bancario y preferentemente militar.

Hacia 1950 se constituyen, fundamentalmente en EstadosUnidos distintos grupos de estudio para ir desarrollandoUnidos, distintos grupos de estudio para ir desarrollandolas diferentes ramificaciones de la programación lineal.Cabe citar, entre otros, Rand Corporation, con Dantzig,, , p , g,Orchard-Hays, Ford, Fulkerson y Gale, el departamentode Matemáticas de la Universidad de Princeton, conT k K h í l E l G d d dTucker y Kuhn, así como la Escuela Graduada deAdministración Industrial, dependiente del CarnegieInstitute of Technology con Charnes y CooperInstitute of Technology, con Charnes y Cooper.

RESEÑA HISTÓRICARespecto al método del símplex, señalaremos que su estudiocomenzó en el año 1951 y fue desarrollado por Dantzig en elUnited States Bureau of Standards SEAC COMPUTERUnited States Bureau of Standards SEAC COMPUTER,ayudándose de varios modelos de ordenador de la firma IBM.

Los fundamentos matemáticos de la programación lineal sedeben al matemático norteamericano de origen húngaro Janos

óvon Neuman (1903-1957), que en 1928 publicó su famosotrabajo Teoría de Juegos. En 1947 conjetura la equivalencia delos problemas de programación lineal y la teoría de matriceslos problemas de programación lineal y la teoría de matricesdesarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetadomatemático, discípulo de David Hilbert en Gotinga y, desde1930 t d áti d l U i id d d P i t d E t d1930, catedrático de la Universidad de Princeton de EstadosUnidos, hace que otros investigadores se interesaranpaulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina.p p g p

RESEÑA HISTÓRICAEn 1858 se aplicaron los métodos de la programaciónlineal a un problema concreto: el cálculo del planó óóptimo de transporte de arena de construcción a lasobras de edificación de la ciudad de Moscú. En esteproblema había 10 puntos de partida y 230 de llegadaproblema había 10 puntos de partida y 230 de llegada.El plan óptimo de transporte, calculado con elordenador Strena en 10 días del mes de junio rebajóordenador Strena en 10 días del mes de junio, rebajóun 11% los gastos respecto a los costos previstos.

Se ha estimado, de una manera general, que si un paíssubdesarrollado utilizase los métodos de lasubdesarrollado utilizase los métodos de laprogramación lineal, su producto interno bruto (PIB)aumentaría entre un 10 y un 15% en tan sólo un año.

¿Qué es la Investigación de Operaciones?

Como toda disciplina en desarrollo, la investigación deoperaciones ha ido evolucionando no sólo en sus técnicas

l l f l l ly aplicaciones sino en la forma como la conceptualizan losdiferentes autores, en la actualidad no existe solamenteuna definición sino muchas algunas demasiadouna definición sino muchas, algunas demasiadogenerales, otras demasiado engañosas, aquíseleccionamos una de las mas aceptadas yp yrepresentativas.

¿Qué es la Investigación de Operaciones?La definición de la sociedad de investigación de operaciones dela Gran Bretaña es la siguiente:

“La investigación de operaciones es el ataque de laciencia moderna a los complejos problemas que surgenciencia moderna a los complejos problemas que surgenen la dirección y en la administración de grandessistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero,en la industria, en los negocios, en la construcción, enel gobierno y en la defensa. Su actitud diferencialconsiste en desarrollar un modelo científico del sistemaconsiste en desarrollar un modelo científico del sistematal, que incorpore valoraciones de factores como el azary el riesgo y mediante el cual se predigan y comparenl l d d d i i i llos resultados de decisiones, estrategias o controlesalternativos. Su propósito es el de ayudar a la gerenciaa determinar científicamente sus políticas y acciones.”a determinar científicamente sus políticas y acciones.

Fases de un estudio de Investigación de OperacionesComo herramienta de toma de decisiones, la investigaciónde operaciones es una ciencia y un arte, se dice que es

i i l té i t átiuna ciencia por las técnicas matemáticas que sepresentan y un arte porque el éxito de todas las fases queanteceden y siguen a la resolución del modeloanteceden y siguen a la resolución del modelomatemático dependen mucho de la creatividad y laexperiencia del equipo de investigación de operaciones.p q p g pWillemain (1994) insinúa que “la práctica efectiva (de lainvestigación de operaciones) requiere algo mas que la

t i líti T bié i t tcompetencia analítica. También requiere, entre otrosatributos, el juicio (por ejemplo, cuando y como usardeterminada técnica) y la destreza técnica endeterminada técnica) y la destreza técnica encomunicaciones y en duración organizacional”.

Fases de un estudio de Investigación de OperacionesLas fases principales de la ejecución de la investigación deoperaciones en la práctica son los siguientes:1 D fi i ió d l P bl d i t é t d d t l t1. Definición del Problema de interés y toma de datos relevantes.2. La construcción o formulación del Modelo matemático el cualrepresente el problema.represente el problema.3. Desarrollo de un procedimiento basado en técnicas para derivaren la solución del Modelo matemático.4. La validación o prueba del Modelo matemático y si fueranecesario su mejoramiento.5 La Implementación de la solución5. La Implementación de la solución.De estas cinco fases, solo la de la solución del modelo, es la queesta mejor definida y es la mas fácil de implementar en un estudiode investigación de operaciones, por lo que maneja especialmentemodelos matemáticos precisos, las demás fases es mas un arteque una teoríaque una teoría.

1. La definición del problema El resultado de ello es identificar tres elementosprincipales del problema de decisión, que son:a) La descripción de las alternativas de decisión.b) La determinación del objetivo del estudio (lo cual viene

l f l ó d f óa ser un aspecto importante en la formulación o definicióndel problema).) L ifi ió d l li it i b j l lc) La especificación de las limitaciones bajo las cuales

funciona el sistema modelado.

2. La construcción del modelo Es el de traducir la definición del problema a relacionesmatemáticas llamado también modelización. Se sabe o sedi l d l t áti t idice que los modelos matemáticos o representacionesidealizadas son una parte integrada de la vida diaria, en laciencia y los negocios como lo hacen patente los modelosciencia y los negocios, como lo hacen patente los modelosdel átomo y de estructura genéticas, las ecuacionesmatemáticas que describen las leyes de física delq ymovimiento o reacciones químicas, las graficas, losorganigramas y los sistemas contables en la industria,

d l i l bl t l iesos modelos son invaluables ya que extraen la esenciade la materia de estudio, muestra sus interrelaciones yfacilitan el análisisfacilitan el análisis.

3. Solución del modelo matemático La siguiente etapa de un estudio de investigación de operacioneses una de las más simples y sencillas, que consiste en desarrollarun procedimiento para obtener una solución al problema a partirun procedimiento para obtener una solución al problema a partirde este modelo matemático. Se puede suponerse o pensarse queesto debe ser la parte más importante o principal del estudio dei i ió d i l í d linvestigación de operaciones, pero en la mayoría de los casos nolo es, por lo contrario es una parte relativamente sencilla dondesolo se aplica uno de los algoritmos (procedimientos iterativos dep g (puna solución). Las soluciones que se obtienen de estos modelosno son de forma cerradas, es decir, parecidas a fórmulas. En lugarde ello se determina en forma de algoritmo este algoritmode ello, se determina en forma de algoritmo, este algoritmoproporciona reglas fijas de cómputos que son aplicadas en formarepetitiva al problema y cada repetición es llamada iteración, lo

l bti d f l ó ticual obtiene cada vez en forma mas cercana a la óptima, ya quelos cálculos que son asociados o utilizados en cada iteración sontediosos y voluminosos se recurre al uso de paquetesy p qcomputacionales.

4. La validación del modeloEs una comprobación si el modelo matemático propuesto hace loque debe hacer, lo cual se puede hace una pregunta. ¿Pronósticael modelo en forma adecuada el comportamiento del sistema queel modelo en forma adecuada el comportamiento del sistema quese estudia?, y si el modelo se basa en una investigación cuidadosade datos históricos, la validación debería ser favorable.Es probable de que las primeras versiones de un modelomatemático grande tengan sus fallas. Sin duda algunos factores ointerrelaciones relelantes no se agregaron al modelo y algunosinterrelaciones relelantes no se agregaron al modelo y algunosparámetros no se estimaron correctamente. Esto puede ser acausa de la falta o la dificultad de comunicación de todos los

t til d bl i l l j íaspectos y sutilezas de un problema operacional complejo, asícomo la dificultad de recolección de datos. Por lo que antes deusar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentarp pidentificar y corregir todas las fallas que se pueda. Aunque sinduda quedaran algunos problemas menores ocultos en el modelo(y quizás nunca se detecten) las fallas importantes se habrán(y quizás nunca se detecten), las fallas importantes se habráneliminado de manera que ahora es confiable usar el modelo.

5. La implementación del modelo matemático¿Qué es lo que pasa después de terminar la etapa depruebas y desarrollar un modelo aceptable?; si el modeloh d i l i i t i t lha de usarse varias veces, el siguiente paso es instalar unsistema bien documentado para aplicar el modelo segúnlo establecido por la administración Este sistema incluirálo establecido por la administración. Este sistema incluiráel modelo y el procedimiento de solución (además delanálisis pos-óptimo) y los procedimientos para sup p ) y p pimplementación. Por que la implementación se trata deefectuar instrucciones de operaciones a partir de la

l ió d l lt d d l d l tsolución y de los resultados del modelo, estasinstrucciones de operaciones deben ser en formacomprensibles para las personas que administraran elcomprensibles para las personas que administraran elsistema recomendado.

Modelos matemáticos de Investigación de OperacionesSe debe considerar que en el caso de un problema detoma de decisiones donde requiere un modelo

t áti l ió i id tifi tmatemático, cuya solución requiere identificar trescomponentes.

1. ¿Cuáles son las alternativas de decisión?2 ¿B j t i i t l d i ió ?2. ¿Bajo que restricciones se toma la decisión?3. ¿Cuál es el criterio objetivo adecuado para evaluar lasalternativas?alternativas?

Modelos matemáticos de Investigación de OperacionesEl primer paso crucial de cualquiera de los modelo es ladefinición de las alternativas o las variables de decisiónd l bl L l tili t i bl ddel problema. Lo cual se utilizan estas variables dedecisión para construir la función objetivo y lasrestricciones del modelo Una vez terminado con estosrestricciones del modelo. Una vez terminado con estostres pasos en el modelo de investigación de operacionesse organizar generalmente de la siguiente forma general:g g g g

Maximizar o Minimizar la función objetivo

Sujeta a: Restricciones.

Tipos de modelos de Investigación de Operaciones

Tipo de Modelo Clase de Incertidumbre

Frecuencia de uso en

corporacionesco po ac o esProgramación Lineal D A

Redes (Incluye PERT/CPM) D, P A

Inventarios, producción y programación D, P A

Econometría, pronóstico y simulación D, P A

Programación Entera D B

Programación Dinámica D, P B

Programación Estocástica P B

Programación No Lineal D BTeoría de Juegos P BControl Óptimo D, P B

Líneas de Espera P Bp

Ecuaciones Diferenciales D B

Evaporación

AlgunosAlgunos ejemplosejemplosEvaporaciónTransporte de nubesLluviaEscurrimiento superficial

Infiltración

Ciclo natural del agua

Escurrimiento subterráneo

C t ióCaptaciónConducciónTratamientoTratamientoDistribución

Recolección

Ciclo artificial del agua

¿C ál l bl áti l f t l i i

Recolección

Emisión y mejoramiento

¿Cuál es la problemática a la que se enfrentan los ingenieros porejemplo para aprovechar los recursos hídricos?

AlgunosAlgunos ejemplosejemplos


Medio AmbienteMedio Ambiente

S lidEntrada SalidaEntrada

SistemaV. Controlables

V No Controlables

Deseables

IndeseablesF.Obj

Variables de

V. Parc. Controlables

V. No ControlablesNeutrales

Límites

decisión

Límites

RetroalimentaciónRetroalimentación

SUBSISTEMA SUBSISTEMA

AlgunosAlgunos ejemplosejemplosSUBSISTEMA VEGETACIÓN

•EspecieCantidad de

SUBSISTEMA SUELO

•TexturaE

Interacción•Cantidad de M.O.•Desarrollo del sistema

•Estructura•Porosidad•DensidadC dsistema

radicular•Grado de intercepción

•Cap. de campo•Grado de Marchitez

SistemaSistemaInfiltracióInfiltració intercepción

SUBSISTEMA CLIMA

SUBSISTEMA RELIEVE

InfiltracióInfiltraciónn

•Intensidad de las lluvias

•Orografía

•Pendiente•Cantidad de precipitaciones

•Tipo y ó

•Exposición

distribución de las lluviasUn componente como un sistema complejo


SUBSISTEMA VEGETACIÓN

Espacio

SUBSISTEMA SUELO

Infiltración *EspacioCoberturaDensidadEstado

Infiltración PorosidadDensidadPermeabilidad

Interacción

P QGrado de Intercepción

TexturaEstructura

P Q

SUBSISTEMA RELIEVE

(Salida)(Entrada)

PendienteExposiciónFisiografía

Sistema Suelo Sistema Suelo --Pl tPl t R liR li

gLitología Planta Planta -- RelieveRelieve

Parte de un Sistema


Ti d d lTi d d l

Algunos autores:

Tipos de modelos:Tipos de modelos:

Algunos autores:- Descriptivos- Gráficos- Experimentales (o modelos ¨de juicio¨)- Analógicos- A escala (o modelos físicos)- A escala (o modelos físicos)- Matemáticos

Otros de forma resumida:Otros de forma resumida:- Físicos- Analógicos- Matemáticos


ááComponentes de los modelos matemáticos (M.M)Componentes de los modelos matemáticos (M.M)

Parámetros:Valores numéricos que describen propiedades fijas yParámetros:Valores numéricos que describen propiedades fijas ysupuestamente conocidas del Sistema. Se suele llamar ¨datos¨.Los datos pueden ser ¨controlables¨ y ¨no controlables¨

Designados a características inherentes del sistema físicoque difícilmente pueden ser cambiadas

Incontrolables:que difícilmente pueden ser cambiadas

Son aquellos que el usuario puede, y a veces debe, cambiarpara obtener y evaluar diferentes alternativas

Controlables:

Variables: Valores numéricos que reflejan el comportamiento delsistema y sus prestaciones

para obtener y evaluar diferentes alternativas.

Restricciones:

y p

Expresiones matemáticas que describen las relaciones entrelas variables y entre éstas y los parámetros


Cualidades de los MM que los hace útiles en el Cualidades de los MM que los hace útiles en el Análisis de SistemasAnálisis de Sistemas

A) Amplificadores de experiencia debido:

- facilidad de transmisión (matemáticas)

- velocidad de utilización (microcomputadoras)

B) Organización de datos, resultados y alternativas debido a:B) Organización de datos, resultados y alternativas debido a:

- la forma de trabajar las microcomputadoras

C) Evaluadores de alternativas, que es la base para la toma de decisiones.


Tipos de modelos matemáticos (MM)Lluvia-Escorrentía

1 De acuerdo con el proceso modelado

Lluvia EscorrentíaCrecidasSíntesis hidrológicaFlujo subterráneo1. De acuerdo con el proceso modelado ujo subte á eoGestión de embalsesEscorrentía urbanaEstuarios y lagosy getc

2. De acuerdo con el grado de aleatoriedad Determinísticosgde las variables

3 De acuerdo con el origen de las relaciones

Estocásticos

Empíricos3. De acuerdo con el origen de las relaciones Conceptuales


Tipos de modelos matemáticos (MM)

4 De acuerdo con el principio Li l4. De acuerdo con el principiode superposición o lalinealidad de las relaciones

LinealNo lineal

5. De acuerdo con la distribución espacial delas características físicas y de colocación de

DistribuidosAgregadosy

actuaciones en el sistemaAgregados

d l d d i Estacionario6. De acuerdo con la dependenciade las relaciones entradas-salidas con el tiempo

Estacionario No estacionario o transitorio

7. De acuerdo con el problema quese pretende resolver o al uso que

de predicción (o simulación)de optimizaciónse pretende resolver o al uso que

se le dé al modelode optimizaciónde identificación

IntroducciónIntroducción

…Tipos de modelos matemáticos (MM)

de ecuaciones dif. ordinarias de ecuaciones dif. en derivadas parciales

8. De acuerdo con las ecuacionesmatemáticas utilizadas

de estadística

9. De acuerdo con los métodos de diferencias finitas d l t fi itnuméricos utilizados para resolver

las ecuaciones anterioresde elementos finitosde autovaloresEtc.

10. De acuerdo con el grado determinación e invariabilidad

de gestión u operaciónterminación e invariabilidadde la configuración física delsistema.

de inversión o de planificación

IntroducciónIntroducciónEjemplos de Problemasj p

Distribución de agua para riego a varios usuarios

IntroducciónIntroducción…Ejemplos de Problemasj p

Distribución de agua para riego a varios usuarios

Bt =B1+B2

q +q Qq1+q2 Qmáx

BT* = ?

TRIGO

q1* = ?

q2* = ?

IntroducciónIntroducción…Ejemplos de ProblemasDiseño de conductora

AlgunosAlgunos ejemplosejemplos…Ejemplos de Problemasj p

Diseño del drenaje

Dmín Di Dmáx; i = 1, 2, 3Dmín = 30 mm ; Dmáx=120 mm mín

D1*= ? D2*=? D3*= ? CT = ?; CT *= Ctub + Cexe

Pendientes en los tramos = ?


Distribución de cultivos en un área

S l l (AS l l (A ))Suelo regular (ASuelo regular (Ar r ))

Suelo Bueno (ASuelo Bueno (Ab b ))Suelo malo (ASuelo malo (A ))Suelo malo (ASuelo malo (Amm))

CC1b 1b + C+ C2b 2b AAbbCC1r 1r + C+ C2r2r AArrCC1m1m + C+ C2m2m AAmm

BBtt**= ?= ?

CCijij* * = ?= ?

qq1b1b+ q+ q2b2b + q+ q1r1r + q+ q2b2b + q+ q1m1m + q+ q2m2m QQmáxmáx


Diseño de la red de distancia mínima (Costo)

AlgunosAlgunos ejemplosejemplosSimulación y OptimizaciónSimulación y Optimización

La simulación es una técnica para resolver problemas queLa simulación es una técnica para resolver problemas quesigue el siguiente esquema general:

1. Desarrollo de un modelo (de simulación).1. Desarrollo de un modelo (de simulación).

2. Operación del modelo utilizando determinados valores de losdatos controlables

3. Observación e interpretación de los resultados.

i i ió é l blLa optimización es una técnica para resolver problemas yutiliza los siguientes pasos generales:

1. Desarrollo de un modelo (de optimización)

2. Operación del modelop

¿ Usamos simulación u optimización ?

AlgunosAlgunos ejemplosejemplosOptimizaciónOptimización

Ventajas

OptimizaciónOptimización

Aceptando que el modelo representa satisfactoriamente elsistema se obtienen los valores óptimos de las variables de

Desventajas

sistema se obtienen los valores óptimos de las variables decontrol y de la función objetivo propuesta.

- El proceso matemático es muy laborioso.j El proceso matemático es muy laborioso.- En algunos casos su formulación requiere de simplificacionesimportantes.El i l d d t ll i ifi ti t l- El nivel de detalle es menor significativamente que el quepuede lograrse con un modelo de simulación.

SimulaciónSimulación

Ventajas Mayor nivel de detalleVentajas

Desventajas

Mayor nivel de detalle.

Al ser una técnica de prueba y error no garantiza la obtenciónde una solución óptima.

IntroducciónIntroducciónSimulación y Optimización

¿Qué se recomienda en la práctica ?

Simulación y Optimización

Utilizar de manera combinada ambos modelos aprovechandoUtilizar de manera combinada ambos modelos aprovechandolas ventajas de cada una de las técnicas.

Los modelos de optimización (con las simplificaciones que serequieran) se aplican y con ello se “filtran” alternativas quedespués se evalúan con más detalle con modelos desimulación.


Etapas de la modelación

1. Identificación del sistema a modelar.2 Elección del tipo de modelo2. Elección del tipo de modelo.3. Estimación de los parámetros.

4 V lid ió d l d l4. Validación del modelo.

5. Utilización del modelo para el fin propuesto.

6. Análisis de la sensibilidad.


Conclusiones

Las técnicas de la Investigación De operaciones(Ingeniería de sistemas), deben ser conocidas y( g ), yaplicadas por el ingeniero moderno.

Debemos añadir el enfoque ambiental y elDebemos añadir el enfoque ambiental y eldesarrollo sostenible en nuestros proyectos deingeniería en lo que juega un papel determinante lasingeniería, en lo que juega un papel determinante lastécnicas de optimización.

2 Introduccion a La Investigacion de Operaciones

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