2 MATEMATICAS 1

Solucionario:NUMEROS RACIONALES

Camilo Andres Ramrez SanchezPolitecnico [email protected]

Modalidad Virtual

Bogota. 2012

Solucionario: NUMEROS RACIONALES Indice

Indice

1. Ejercicio 5 2

2. Ejercicio 6 3

3. Ejercicio 7 6

4. Taller 4 19

Introduccion

Estimado estudiante.

El presente documento se ha realizado con el proposito fundamental de ser un apoyo en el proceso de formacion del modulo.

Aqu encontraras las soluciones y los procedimientos de los ejercicios y problemas de la lectura tres, ten en cuenta que loaqu planteado y desarrollado no es la la unica manera en que se puede abordar un problema por lo tanto puedes llegar a lamisma respuesta justificandola de manera diferente.

En el desarrollo de estos ejercicios se ha optado por ser lo mas minucioso posible, es decir, en algunos ejercicios encontraraspaso a paso el procedimiento junto con la justificacion.

Es recomendable que antes de ver las soluciones y procedimientos de algun ejercicio aqu planteado lo intentes desarrollarcon el proposito de que primero te enfrentes a este, lo pienses y resuelvas y luego verifiques la respuesta y en caso de quehayas cometido algun error puedas identificarlo y corregirlo.

1

Solucionario: NUMEROS RACIONALES Ejercicio 5

1. Ejercicio 5

1. De los siguientes fraccionarios separe los que son menores que una unidad, los que son iguales y los que son mayores auna unidad

17

9,

40

40,

3

4,

4

3,

16

5,

43

43,

2

20,

9

8,

125

100,

57

58,

1001

1000,

6

2,

35

6

Desarrollo:

Menores que la unidad:3

4,

2

20,

57

58

Igual que la unidad:40

40,

43

43

Mayores que la unidad:17

9,

4

3,

16

5,

9

8,

125

100,

1001

1000,

6

2,

35

6

X

2. Escriba dos numeros fraccionares menores que1

3

Desarrollo: Cualquier fraccionario negativo, incluso el creo tambien sirve. Por ejemplo 0 y 13

X

3. Escriba un numero entero mayor que126

38

Desarrollo:126

38 3.31158, por lo tanto cualquier entero mayor que 3 sirve. Por ejemplo 4 X

4. Escriba un numero fraccionario mayor que1

5y menor que

3

4Desarrollo: La manera mas facil de encontrar numero que esten entre dos fraccionarios es expresarlos con el mismo

denominador, el mnimo comun denominador de 5 y 4 es 20, por lo tanto las fracciones quedan1

5=

4

20y

3

4=

15

20.

Cualquier fraccion con denominador 20 en el que el numerador este entre 4 y 15 sirve. Por ejemplo11

20X

5. Escriba un numero fraccionario no mayor que22

7Desarrollo: Cualquier fraccionario con el mismo denominador (7) y el numerador menor a 22 sirve, tambien

cualquier fraccionario negativo e incluso el cero. Por ejemplo20

7X

6. Escriba un numero fraccionario superior a 200

Desarrollo:1404

7, al realizar la division es mayor que 200 X

7. Escriba un numero fraccionario inferior a 1.5

Desarrollo: La representacion fraccionaria de 1.5 es3

2, cualquier fraccionario con el mismo denominador (3) y el

numerador menor a 2 sirve, tambien cualquier fraccionario negativo e incluso el cero. Por ejemplo 12

X

2


8. Complete las siguientes igualdades de tal manera que los fraccionarios sean equivalentes

Desarrollo:

a.1

3=

8

24

c.5

3=

30

18

e.1

100=

2

200

X

9. Sombree las3

8partes del area de la region

Desarrollo:

La region se debe dividir en ocho partes iguales y de estas sombrear 3.

X

2. Ejercicio 6

1. Completar3

16+

1

4=

3

16+

16=

16Desarrollo: Amplificando la segunda fraccion para que los denominadores de ambas fracciones sean iguales:

3

16+

1

4=

3

16+

4

16=

7

16X

2. Operar y simplificar:2

5+

1

15+

3

20=

Desarrollo: El M.C.M de 5, 15, 20 es 60, por lo tanto se deben amplificar las fracciones, la primera fraccion semultiplica por 12, la segunda por 4 y la tercera por 3. (Se multiplica tanto el numerador como el denominador).

24

60+

4

60+

9

60=

24 + 4 + 9

60=

37

60

Esta fraccion no se puede simplificar X

3


3. Expresar3

5como la suma de dos fracciones y representar la suma graficamente.

Desarrollo: Se pueden escoger fracciones con mismo denominador (5) cuya suma de numeradores de 3

15

+4

5=1 + 4

5=

3

5

X

4. Expresar23

5como la resta de dos fracciones.

Desarrollo: Se pueden escoger fracciones con mismo denominador (5) cuya resta de numeradores sea 23

26

5 3

5=

26 35

=23

5

X

5. Expresar56

15como la suma de un entero y un fraccionario.

Desarrollo: Para encontrar una parte entera adecuada se puede expresar la fraccion como decimal

56

15= 3.73

Se puede escoger a 2 como entero y la parte fraccionaria resulta e hacer la diferencia

56

15 2 = 56

15 30

15=

26

15

Por lo tanto

2 +26

15=

56

15

X

6. Carlos gasto la cuarta parte del dinero que le envio su pare en un vestido, si ademas gasto las dos terceras partes enalimentacion Que parte del dinero gasto en total?.Que parte del dinero le queda aun?

Desarrollo: Para resolver el problema hay que hallar la suma de las partes de dindero que Carlos gasto:

1

4+

2

3=

3

12+

8

12=

3 + 8

12=

11

12

Por lo tanto Carlos gasto once doceavos de dinero, Para completar la unidad (en este caso la unidad es el total de

dinero que tiene carlos) hace falta1

12. esto quiere decir que a Carlos le queda

1

12del dinero X

4


7. Un comerciante envio la septima parte de la mercanca que tena en bodega a la ciudad A y las dos quintas partes a laciudad B. Que parte de la mercanca sigue almacenada en bodega?

Desarrollo: Primero se suman las partes que envio a las dos ciudades.

1

7+

2

5=

5

35+

14

35=

5 + 14

35=

19

35

19

35es la cantidad de mercanca que envio, por lo tanto lo que queda resulta de restar el total (la unidad) de lo enviado.

1 1935

=35

35+

19

35=

35 1935

=16

35

Al comerciante le queda16

35de mercanca en la bodega. X

8. Carlota gasto9

4horas para viajar de Tunja a Bogota y

8

3horas para viajar de Bogota a Melgar. Si los recorridos fueron

consecutivos, Cuanto tiempo gasto de Tunja a Melgar?

Desarrollo: Para el desarrollo de este ejercicio es necesario trabajar con la misma representacion de tiempo (Todoen fracciones o todo en minutos).

Para pasar todas las fracciones a minutos se tiene que1

4de hora equivale a 15 minutos, por lo tanto

9

4es nueve veces

15 minutos que equivale a 135 minutos o dos horas y quince minutos.

De la misma manera,1


8

3es ocho veces 20 minutos que equivale a 160

minutos o dos horas y cuarenta minutos.

Es decir que si de Tunja a Bogota se demoro dos horas y quince minutos y de Bogota a Melgar se demoro dos horas ycuarenta minutos, el tiempo total del trayecto fue cuatro horas, cincuenta y cinco minutos. X

9. Despues de que Nicolas salio de su trabajo, gasto2

3de hora conversando con un amigo, espero el bus durante media

hora y gasto1

4de hora en llegar a su casa, si estas actividades las hizo en forma consecutiva y salio del trabajo a las

3:00 p.m.A que hora llego a si casa?

Desarrollo: De la misma manera que el problema anterior se debe pasar los tiempo con expresiones en fracciones

a minutos, se tiene que1


2

3es dos veces 20 minutos que equivale a 40

minutos. Y1

4de hora equivale a 15 minutos.

Se demoro 40 minutos conversando, 30 minutos esperando el bus y 15 minutos en llegar, la suma de estos tiempos es85 minutos o una hora y veinticinco minutos. Como salio del trabajo a las 3:00 p.m. entonces llego a la casa a las 4:25p.m. X

10. Una persona compra siete y media libras de carne fina, 20 y3

4de carne de segunda y 5 libras de hueso. Cual es el

peso de todo el pedido?

Desarrollo: Se debe sumar los pesos de las diferentes compras

71

2+ 20

3

4+ 5

Las dos primeras expresiones son numeros mixtos, esto quiere decir que tienen una parte entera y una parte fraccionaria,para resolver este ejercicio se puede sumar todas las partes enteras y luego todas las fracciones.

7 + 20 + 5 = 32

5


1

2+

3

4=

2

4+

3

4=

2 + 3

4=

5

4Pero esta fraccion es mayor que la unidad, por lo tanto se puede expresar como numero mixto

5

4= 1

1

4

Y al sumar este peso con el que ya se tena:

32 + 11

4= 33

1

4

Y este es el peso total de la compra. X

3. Ejercicio 7

1. Calcular

a. Las dos terceras partes de la mitad de 60.

Desarrollo: La mitad de 60 es: (1

2

)(60) =

60

2

= 30

Las dos terceras partes de 30 es: (2

3

)(30) =

2 303

=2 10

1= 20

Las dos terceras partes de la mitad de 60 es 20. X

b. Las dos quintas partes de un medio.

Desarrollo: (2

5

)(1

2

)=

2 15 2

=1

5

X

c. Las tres centesimas de 45.

Desarrollo: (3

100

)(45) =

3 45100

=3 920

=27

20

X

6


d. Las dos decimas de 150.

Desarrollo: (2

10

)(150) =

2 15010

=2 15

1= 30

X

e. La milesima parte de 550

Desarrollo: (1

1000

)(550) =

1 5501000

=55

100

X

2. Completar:

a. La mitad de2

7aumentada en

3

2es:

Desarrollo: La mitad de2

7es: (

1

2

)(2

7

)=

1 22 7

=1

7

1

7aumentado en

3

2

1

7+

3

2=

2

14+

21

14

=2 + 21

14

=23

14

La mitad de2

7aumentada en

3

2es

23

14. X

b. El triplo de7

6sumado con las cuatro quintas partes de

1

8es:

Desarrollo: El triplo de7

6es:

(3)

(7

6

)=

3 76

=7

2

7


Las cuatro quintas partes de1

8 (4

5

)(1

8

)=

4 15 8

=1

5 2

=1

10

Al sumar los dos resultados se tiene

7

2+

1

10=

35

10+

1

10

=35 + 1

10

=36

10

=18

5

El triplo de7

6sumado con las cuatro quintas partes de

1

8es

18

5X

c. El producto entre la cuarta parte de16

3con

9

2es:

Desarrollo: La cuarta parte de16

3es: (

1

4

)(16

3

)=

1 164 3

=4

3

El producto de4

3con

9

2es: (

4

3

)(9

2

)=

4 93 2

=2 3

1

= 6

El producto entre la cuarta parte de16

3con

9

2es 6 X

d. La sexta parte de los2

7de un cuarto es:

Desarrollo: Los2

7de un cuarto es: (

2

7

)(1

4

)=

2 17 4

=1

14

8


La sexta parte de1

14 (1

6

)(1

14

)=

1 16 14

=1

84

La sexta parte de los2

7de un cuarto es

1

84X

3. Realizar las operaciones indicadas y simplificar la respuesta, si es posible:

a.

(3

2

)(1

2

)+ 1

Desarrollo: (3

2

)(1

2

)+ 1 =

(3 12 2

)+ 1

=3

4+ 1 Se resuelve multiplicaciones

=3

4+

4

4

=3 + 4

4

=7

4Se resuelve sumas y restas

(3

2

)(1

2

)+ 1 =

7

4

X

b.1

2

(1

3+

2

6

)Desarrollo:

1

2

(1

3+

2

6

)=

1

2

(1

3+

1

3

)Se simplifica

=1

2

(1 + 1

3

)

=1

2

(2

3

)Se resuelve parentesis

=1 22 3

=1

3Se resuelve multiplicaciones

1

2

(1

3+

2

6

)=

1

3

X

9


c.

(2

3+

1

4+

1

6

)3

5+

1

2

Desarrollo: (2

3+

1

4+

1

6

)3

5+

1

2=

(8

12+

3

12+

2

12

)3

5+

1

2

=

(8 + 3 + 2

12

)3

5+

1

2

=

(13

12

)3

5+

1

2Se resuelve parentesis

=13 312 5 +

1

2

=13 14 5 +

1

2

=13

20+

1


=13

20+

10

20

=13 + 10

20

=23


(2

3+

1

4+

1

6

)3

5+

1

2=

23

20

X

d.

(3

2

)(

1

2

)Desarrollo: (

3

2

)(

1

2

)=

3

2 2

1Propiedad

a

b cd

=a

b dc

=3 2

2

=3


(3

2

)(

1

2

)= 3

X

10


e.

(1

5

)(

2

5+

1

2

)Desarrollo: (

1

5

)(

2

5+

1

2

)=

(1

5

)(

4

10+

5

10

)=

(1

5

)(

4 + 5

10

)=

(1

5

) 9


=1

5 10

9Propiedad

a

b cd

=a

b dc

=1 105 9

=2


(1

5

)(

2

5+

1

2

)=

2

9

X

f.

(1

3+

1

4+

1

5

) 3

5+

1

5

Desarrollo:(1

3+

1

4+

1

5

) 3

5+

1

5

=

(20

60+

15

60+

12

60

) 3

5+

1

5

=

(20 + 15 + 12

60

) 3

5+

1

5

=

(47

60

) 3

5+

1


=

(47

60

) 5

3+

1

5Propiedad

a

b cd

=a

b dc

=47 560 3 +

1

5

=47 112 3 +

1

5

=47

36+

1


=235

180+

36

180

=235 + 36

180

=271


(1

3+

1

4+

1

5

) 3

5+

1

5=

271

180

11


X

g.5

2+

2

3

(9 1

3

) 2

9

Desarrollo:

5

2+

2

3

(9 1

3

) 2

9=

5

2+

2

3

(27

3 1

3

) 2

9

=5

2+

2

3

(27 1

3

) 2

9

=5

2+

2

3

(26

3

) 2


=5

2+

2 263 3

2

9

=5

2+

52

9 2


=45

18+

104

18 4

18

=45 + 104 4

18

=145


5

2+

2

3

(9 1

3

) 2

9=

145

18

X

h.

3

4+

(5

6

(3

5

))1

2(

2

7

(7

5

))Desarrollo:

3

4+

(5

6

(3

5

))1

2(

2

7

(7

5

)) =3

4+

(5 36 5

)1

2(

2 77 5

)

=

3

4+

(1 12 1

)1

2(

2 11 5

)

=

3

4+

(1

2

)1

2(

2

5

) Se resuelve parentesis

12


=

3

4+

2

45

10 4

10

=

3 + 2

45 4

10

=

5

41

10

Se resuelve sumas y restas

=5 104 9

=5 52 1

=25

2Se resuelve divisiones

3

4+

(5

6

(3

5

))1

2(

2

7

(7

5

)) = 252

X

4. Solucionar cada uno de los siguientes problemas

a. Tengo US$500000, gasto las tres quintas partes y luego las tres cuartas partes de lo que me quedo. Cuanto mequeda?

Desarrollo:

Primero hay que averiguar cuales son las tres quintas partes de US$500000.

(500000)

(3

5

)=

500000 35

=100000 3

1= 300000

Por lo tanto si gasto US$3000000 me quedan US$200000 (500000 300000).Ahora de esos US$200000 me gasto lasa tres cuartas partes;

(200000)

(3

4

)=

500000 34

=50000 3

1= 150000

Entonces me queda US$50000 (200000 150000). X

13


b. Jose y Manuel participarion en un partido de futbol. Jose jugo6

8del partido y Manuel

3

4. cual de los dos jugo mas

tiempo?

Desarrollo: El desarrollo de este ejercicio consiste en saber cual de las dos fracciones es mayor. Una de lasformas es ampliarlas de tal manera que quede el mismo denominador en ambas, el M.C.M entre 4, 8 es 8, por lo

tanto las fracciones ampliadas quedaran6

8y

6

8. Es decir, ambos jugaron la misma cantidad del tiempo. X

c. Me deben los7

12de US$S96000; si me pagan los tres cuartos de lo que me deben. Cuanto me deben aun?

Desarrollo:

Primero hay que averiguar cuanto es la deuda:

(96000)

(7

12

)=

96000 712

=8000 7

1= 56000

Ahora se supone que pagaron los tres cuartos de US$S56000;

(56000)

(3

4

)=

56000 34

=14000 3

1= 42000

Si le pagaron US$S42000 de US$S56000 entonces la deuda es de US$S14000. X

d. Si una persona emplea5

8del da en trabajar y el resto para descansar, Que parte del da descansa y cuantas horas?

Desarrollo: Se sabe que el da tiene 24h, la parte del da que la persona emplea apara trabajar es:

(24)

(5

8

)=

24 58

=3 5

1= 15

Entonces emplea 15h para trabajar.

Si el da de 24h es la unidad, y se trabaja5

8del da entonces se descansa

3

8. X

e. Una persona tiene US$25000 e invierte los3

5de esta cantidad en bonos, Que cantidad le queda sin invertir?

Desarrollo: Primero hay que hallar la cantidad de dinero invertido:

(25000)

(3

5

)=

25000 35

=5000 3

1= 15000

Como invierte US$25000 entonces le queda US$10000 sin invertir. X

14


f. La edad de Angelica es1

2de las dos terceras partes de la edad de Lucia. Si Lucia tiene 24 anos. Cuantos anos tiene

Angelica?

Desarrollo: Comenzando porque Lucia tiene 24 anos, las dos terceras partes de su edad es:

(24)

(2

3

)=

24 23

=8 2

1= 16

Y Angelica tiene1

2de esta edad.

1

2es la mitad, la edad de Angelica es 8 anos. X

5. Operar y simplificar

a. 21 +

5

32

9Desarrollo:

21 +

5

32

9

= 23

3+

5

32

9

= 23 + 5

32

9

= 28

32

9

Se opera el numerador

= 2 8 93 2 Propiedad

a

b cd

=a

b dc

= 2 4 31 1 Se resuelve multiplicaciones

= 2 12= 10 Se resuelve sumas y restas

21 +

5

32

9

= 10

X

15


b.

(2

a 7

2a+

11

3a

)1Desarrollo: (

2

a 7

2a+

11

3a

)1=

(12

6a 21

6a+

22

6a

)1

=

(12 21 + 22

6a

)1

=

(13

6a

)1Se opera racionales

=

(6a

13

)1Definicion recproco a1 =

1

a(2

a 7

2a+

11

3a

)1=

6a

13

X

c. 21 + 3 22 5 23Desarrollo:

21 + 3 22 5 23 = 12

+ 3 (

1

2

)2 5

(1

2


1

a

=1

2+ 3

(1

4

) 5

(1

8

)Se eleva las potencias

=1

2+

3

4 5

8Se opera racionales

=4

8+

6

8 5

8

=4 + 6 5

8

=5


21 + 3 22 5 23 = 58

X

16


d.

(25

7 3

5+

1

2

)1Desarrollo: (

25

7 3

5+

1

2

)1=

(250

70 42

70+

35

70

)1

=

(250 42 + 35

70

)1

=

(243

70

)1Se opera racionales

=70

243Definicion recproco a1 =

1

a(25

7 3

5+

1

2

)1=

70

243

X

e.

(12

)1 3

2

3 1

+ 23

Desarrollo:(12

)1 3

2

3 1

+ 23

=

2 323 1

+ 23

Definicion recproco a1 =1

a

=

2 323 3

3

+ 23

=

2 32 33

+ 23

=

2 31

3

+ 23

Se opera el denominador

=

(2 3 31

)+

2

3Propiedad

a

b cd

=a

b dc

= (2 + 9) + 23

Se opera racionales

= (7) +2


17


=21

3+

2

3

=21 + 2

3

=23


(12

)1 3

2

3 1

+ 23

=23

3

X

6. Para cada expresion calcular el valor numerico si x = 1, y = 12

, z = 2

a. 2x y2 2z1Desarrollo:

Reemplazando x = 1, y = 12

, z = 2 se tiene que:

2x y2 2z1 = 2(1)(

1

2

)2 2(2)1 Se reemplaza

= 2 14 2

(1

2

)Se opera racionales

Se eleva las potencias


a

= 2 14

+ 1 Se opera racionales

= 54

Se opera racionales

2x y2 2z1 = 54

X

b. 3x2y 3z2 y2Desarrollo:



3x2y 3z2 y2 = 3(1)2(

1

2

) 3(2)2

(1

2

)2Se reemplaza

= 3(1)

(1

2

) 3(4) 1

4Se eleva las potencias

=3

2 12 1


= 434

Se opera racionales

3x2y 3z2 y2 = 434

X

18

Solucionario: NUMEROS RACIONALES Taller 4

c. x1 (y)1 + 2zDesarrollo:



x1 (y)1 + 2z = (1)1 (1

2

)1+ 2(2) Se reemplaza

= 1 (2) 4 Definicion recproco a1 = 1a

Se opera racionales= 3 Se opera racionales

x1 (y)1 + 2z = 3X

d. 3(x 1) (y + 1)2 (z + 2)2Desarrollo:



3(x 1) (y + 1)2 (z + 2)2 = 3((1) 1)((

1

2

)+ 1

)2 ((2) + 2)2 Se reemplaza

= 3(2)(

3

2

)2 (0)2 Se opera racionales

= 6 94

Se opera racionales


= 334

Se opera racionales

3(x 1) (y + 1)2 (z + 2)2 = 334

X

4. Taller 4

1. Si m es el recproco de n y n es el opuesto de p, y p = 35

, entonces:

Desarrollo:

Antes de resolver los literales, se puede hallar el valor numerico de m y n a partir de p.

Como p = 35

y n es su opuesto, entonces n =3

5.

Si n =3

5y m es su recproco, entonces m =

5

3. Con estos valores para m, n y p se resuelve:

19


a. n 2p + m2

n 2p + m2 = 35 2

(3

5

)+

(5

3

)2Se reemplaza

=3

5 2

(3

5

)+

25


=3

5+

6

5+

25


=27

45+

54

45+

125

45

=27 + 54 + 125

45

=206


n 2p + m2 = 20645

b.1

p 2n

1

p 2n

=1

35 2

3

5

Se reemplaza

=1

35 2 5

3

Propiedada

b cd

=a

b dc

=1

35 10

3

Se opera racionales

=1

915 50

15

=1

9 5015

=15915

Se opera racionales

=1

5915

= 1559


a

1

p 2n

= 1559

20


c. Comprobar que: p2 +1

3n 1

m= 1

25

p2 +1

3n 1

m= 1

25=

(3

5

)2+

1

3

(3

5

) 1

5

3

Se reemplaza

=9

25+

1

3

(3

5

) 1

5

3


=9

25+

1

3

(3

5

) 3

5Definicion recproco a1 =

1

a

=9

25+

1 33 5

3

5

=9

25+

1

5 3


=9

25+

5

25 15

25

=9 + 5 15

25

= 125

Se opera racionales

p2 +1

3n 1

m= 1

25= 1

25

X

2. Operar y simplificar:

a. (a + 2)2 3 12

(3

4 2a

)Desarrollo:

(a + 2)2 3 12

(3

4 2a

)= (a2 + 2a 2 + 22) 3 1

2

(3

4 2a

)Producto notable (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

= 3a2 + 3 4a + 3 4 1 32 4 +

1 2a2

Propiedad distributiva a(b + c) = ab + ac

= 3a2 + 12a + 12 38

+ a Se opera racionales

21


= 3a2 + 13a + 12 38

Se opera terminos semejantes

= 3a2 + 13a +96

8 3

8

= 3a2 + 13a +96 3

8

= 3a2 + 13a +93


(a + 2)2 3 12

(3

4 2a

)= 3a2 + 13a +

93

8

X

b. 0.2

(1

3 b)

+

(2

3

)2Desarrollo:

0.2

(1

3 b)

+

(2

3

)2=

1

5

(1

3 b)

+

(2

3

)2Se cambia de decimal a fraccion

=1

5

(1

3 b)

+

(3

2


1

a

=1

5

(1

3 b)

+9


=1 15 3

1 b5

+9

4Propiedad distributiva a(b + c) = ab + ac

=1

15 b

5+

9


= b5

+4

60+

135

60

= b5

+4 + 135

60

= b5

+139


0.2

(1

3 b)

+

(2

3

)2= b

5+

139

60

X

22

Ejercicio 5Ejercicio 6Ejercicio 7Taller 4

2 MATEMATICAS 1

Documents

Transcript of 2 MATEMATICAS 1