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Departamento de físicaLaboratorio de física
InstructorIng. Víctor Díaz
PresentaCarlos Roberto Murillo
López20052000730
Fecha de entregaSábado 20 de abril del
2013
Universidad Nacional Autónoma Honduras en el Valle de Sula
UNAH-vs
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INVESTIGACION
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.
Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.
El momento de inercia del cilindro es
Momento de Inercia de un Disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.
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Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es
El momento de inercia del disco es:
IDISCO = 1/2MR2
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es
El momento de inercia del cilindro es
Momento de inercia de una varilla
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Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es
El momento de inercia de la varilla es
Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.
Momento de inercia de una esfera es:
Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros
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Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es
La masa de cada uno de los discos es
El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.
Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2
INTRODUCCION
En el presente trabajo se muestran los resultados obtenidos en la práctica de Oscilaciones de Torsión y Momentos de Inercia.
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Para esto utilizamos un disco, una esfera, un cilindro y una varilla. Los montamos sobre un resorte y los rotamos 90 grados e hicimos que pasaran entre una celda fotoeléctrica para medir en el contador digital el semiperiodo de cada elemento.
OBJETIVOS
Determinar el momento torsional en función de la desviación angular.
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Determinar la constante de restauración angular del muelle en espiral
Determinar teórica y experimentalmente el momento de inercia de algunos cuerpos.
APARATOS Y MATERIALES
Eje de rotación
Barrera fotoeléctrica con contador digital
Fuente de voltaje
Esfera
Disco
Cilindro macizo
Varilla
Dinamómetro
MARCO TEORICO
La vibración torsional se refiere a la vibración de un cuerpo rígido alrededor de un eje de referencia específico. En este caso el desplazamiento se mide en términos de una coordenada angular. El momento de restablecimiento se debe, ya sea a la torsión de un elemento elástico o al momento no equilibrado de una fuerza o de un par.
La ecuación diferencial de movimiento del péndulo es
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θ″ + (k’/I) * θ = 0El momento de inercia I, definido respecto a un eje específico de rotación, es el equivalente a la masa m en la analogía lineal, de la misma manera que ω es equivalente a la velocidad lineal v. Tanto I como ω dependen de la distancia radial R al eje de giro, parámetro que caracteriza el movimiento rotatorio junto a la masa y la velocidad. El momento de inercia de una masa puntual de masa m con respecto a un eje de giro se define como I = m R, siendo R la distancia al eje de giro. Para un cuerpo extendido, la fórmula general de I se construye integrando elementos infinitesimales de masa a partir de esta básica definición.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
Tabla IEl montaje se efectúa según la figura 1. Para la determinación de la constante de restauración angular se inserta la barra en el eje. Mediante el dinamómetro se hace girar la barra 180 grados alrededor del eje, midiéndose la fuerza. El brazo de la palanca y el dinamómetro formaran un ángulo recto.
NOTA: por razones de seguridad y estabilidad se recomienda no torcer el muelle más de 720 grados.
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Tabla IIDeterminar la masa, el radio y la longitud de los diferentes cuerpos.
Tabla IIIPara medir el periodo de oscilación de los diferentes cuerpos se adhiere un diafragma. La barrera fotoeléctrica con contador digital se coloca frente al diafragma, estando los cuerpos en reposo. Se mide cada vez un semiperiodo, tomando la media entre los valores de medición de las torsiones iniciados primero a la izquierda y luego a la derecha.
TABLAS
Tabla IR =
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Tabla II
Esfera
Disco Cilindro Varilla
Masa (gr) 760 275 390.9 132.6
Radio (cm) 7 10.7 5
Longitud (cm) 60
Tabla III
1 2 3 4 T/2(s)Prom. T(s)
Esfera 1.045 1.044 1.045 1.045 1.0432.087
Disco 0.951 0.954 0.956 0.956 0.9641.928
Cilindro 0.532 0.532 0.533 0.534 0.5301.06
Varilla 1.541 1.542 1.542 1.542 1.5453.091
CALCULOS Y ANALISIS DE RESULTADOS
Graficar en papel milimetrado el torque de un muelle en espiral en función del ángulo de giro.Determinar a partir del tipo de curva la forma de la ecuación correspondiente y calcular las constantes utilizando los métodos conocidos
α π/2 Π 3π/2 2π
F (N) 0.1 0.2 0.3 0.4
τ
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La ecuación de la curva es del tipo y = mx + b
τ = kαb = 0m = km = (y2 – y1) / (x2 – x1)m = (0.095-0.05) / (2π – π) m = 0.014
τ = 0.014 α
La expresión para el periodo de un péndulo de torsión esT = 2π2√ I /k ’
Calcular el valor experimental y el valor teórico de los momentos de inercia de los diferentes cuerpos y, determine el error porcentual. Los resultados preséntelos en forma tabularT = 2π2√ I /kT2 = 4π2 (I/k)Iexp. = T2k / 4π2
Inercias
Valor Experimental Valor Teórico
Esfera:I= (2.087)2 (0.014) / 4π2 I = 2/5 MR2 = 2/5 (0.76kg)(0.069m)2 I =1.5445X10-03 Kg m2 I = 0.001447344 kg m2
DiscoI = (1.928)2(0.014) / 4π2 I = ½ MR2 = ½ (0.2828kg)(0.107m)2
I = 1.3182X10-03 Kg m2 I = 0.001618888 Kg m2
CilindroI = (1.06)2(0.014) / 4π2 I = ½ MR2 = ½ (0.3935kg)(0.049m)2
I = 3.4895X10-04 Kg m2 I = 0.00047239675 Kg m2
Varilla
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I = (3.091)2(0.014) / 4π2 I = 1/12 ML2 = 1/12 (0.1331kg)(0.60m)2
I = 3.388X10-03 Kg m2 I = 0.003993 Kg m2
Error porcentual = │ (Val Teórico – Val Experimental)│ / Val Teórico * 100
Err % Esfera = (│ (0.001447344 – 1.5445X10-03) │ / 0.001447344)* 100 = 6.7 %Err % Disco = (│ (0.001618888 – 1.3182X10-03) │/0.001618888)* 100 = 17.7 %Err % Cilindro=(│(0.00047239675–3.4895X10-
04)│/0.0018512207)*100=15.65 %Err % Varilla =(│ (0.003993 –3.388X10-03 ) │ / 0.003993)*100 =15.15 %
ER% ESFERA 6.7%
ER% DISCO 17.7%
ER% CILINDRO 15.65%
ER% VARILLA 15.15%
CONCLUSIONES
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Se determinó el momento torsional en función de la desviación angular.
Se determinó la constante de restauración angular del muelle en espiral
Se determinó teórica y experimentalmente el momento de inercia de los cuerpos