C u r s o : Matemática

Material N° 13-E

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 13

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSY ELEMENTOS SECUNDARIOS

1. Dos triángulos isósceles que tienen la misma medida de su base, son siemprecongruentes si

A) la altura de los 2 triángulos mide lo mismo.B) sus ángulos basales son agudos.C) el ortocentro de cada uno, queda en el interior del triángulo.D) en cada uno, los lados basales miden 5 cm.E) los ángulos basales de ambos triángulos miden lo mismo.

2. Si en un cuadrilátero cuyos cuatro lados son congruentes se dibujan las diagonales, lascuales también son congruentes, entonces se forman

A) cuatro triángulos equiláteros congruentes.B) cuatro triángulos rectángulos escalenos.C) cuatro triángulos obtusángulos congruentes.D) cuatro triángulos acutángulos isósceles congruentes.E) cuatro triángulos rectángulos isósceles congruentes.

3. Si en un triángulo ABC, isósceles y rectángulo en C, se traza CD AB , entonces ¿cuálde las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) BAC BCD

B) ADC BDCC) AD DBD) AD CA

E) AC BC

2

4. Se muestra una pareja de triángulos congruentes en

I) II) III)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

5. En el triángulo ABC de la figura 1, BD es bisectriz del ABC. Si CAB = 70º yBCA = 50º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 30ºB) 50ºC) 60ºD) 70ºE) 100º

6. En la figura 2, los puntos A, B y D son colineales, ABC DBE, = 36º y CBE = 20º,

¿cuánto mide el DEB?

A) 20ºB) 36ºC) 64ºD) 108ºE) 116º

7. En el triángulo SRT de la figura 3, TH es altura, = 110º y = 140º. ¿Cuál esla medida del ángulo x?

A) 20ºB) 30ºC) 50ºD) 60ºE) 70º

A B

C

D x

fig. 1

T

S H R

x

fig. 3

A B

C

D

E

fig. 2

60° 60°

60°8 8

810

37°

1053°

55

6

5

3

4

3

8. En el triángulo ABC de la figura 4, AD CD DB . ¿Cuál es la medida del x?

A) 30ºB) 35ºC) 40ºD) 50ºE) 55º

9. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 5, CD es altura. ¿Cuál es la medida delángulo x?

A) 100ºB) 115ºC) 125ºD) 135ºE) 140º

10. ¿Cuánto mide el x en el ABC de la figura 6, si DE es mediana?

A) 90ºB) 72ºC) 60ºD) 48ºE) 42º

11. En la figura 7, QRP DFE. Si QP PR , ¿cuánto mide el ángulo exterior HEF?

A) 62ºB) 64ºC) 74ºD) 106ºE) 116º

C E

B

D

x

fig. 5

A

25º

40º

58º

P

Q

R

fig. 7

F

H E D

C

A B

D

x fig. 6

72º

2E

x

A C

B

D

40º

fig. 4

4

12. En la figura 8, PQR STU. Si PQ = QR = 5 cm, VU = 3 cm y TV es transversal de

gravedad, ¿cuánto mide PR ?

A) 6 cmB) 5 cmC) 4 cmD) 3 cmE) 2 cm

13. En la figura 9, si el ABC es rectángulo en C y CD es altura, ¿cuáles de lasafirmaciones siguientes nos permiten asegurar que ADC BDC?

I) ABC isósceles.II) AD DC

III) D punto medio de AB .

A) Sólo I y IIB) Sólo I y IIIC) Sólo II y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas

14. En el triángulo ABC de la figura 10, rectángulo en C,CD es transversal de gravedad. SiCAD = 60º, entonces el ángulo BCD mide

A) 40ºB) 30ºC) 25ºD) 20ºE) 5º

15. Según la información de la figura 11, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)verdadera(s)?

I) ACB DFE

II) AB = EFIII) BCA EFD

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

fig. 8

P Q

R

V

S T

U

A BD

Cfig. 10

C

A D B

fig. 9

fig. 11

A B

C

16 10º

15140º

D E

F

16

30º 140º

5

16. En la figura 12, AD // BC y DC // AB . ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias es (son)siempre verdadera(s)?

I) DEA BECII) DEC DEA

III) DBC CAB

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

17. ¿En qué triángulo al trazar cualquier bisectriz se forman dos triángulos congruentes?

A) Rectángulo isóscelesB) Isósceles acutánguloC) Rectángulo escalenoD) EquiláteroE) En ninguno

18. En el ABC de la figura 13, ED y FE son medianas, entonces es FALSO

A) FEC DBEB) ADF FECC) CFE DEFD) CEF BDEE) FDE ECF

19. En el ABC de la figura 14, BC AD y CD DE , entonces 3 =

A) 75ºB) 60ºC) 45ºD) 30ºE) 15º

A

D

E

fig. 12

C

B

A B

C

D

EF

fig. 13

B

C

A

115º

E

D

fig. 14

6

20. ¿En cuál de las alternativas se encuentra el dato que falta para afirmar que en lostriángulos de la figura 15 se cumple que ABC DEF?

A) AB DEB) C F

C) AC // DFD) B EE) No se requiere dato adicional

21. El ABC de la figura 16, es equilátero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)siempre verdadera(s)?

I) EPD = 120º

II) P punto medio de AB .

III) Si CE CD , entonces EP PD .

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

22. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) Dos triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente, soncongruentes.

B) Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes.C) Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes, son

congruentes.D) Si dos triángulos rectángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, son

congruentes.E) Todas las anteriores son correctas.

23. En el cuadrilátero ABCD de la figura 17, AED CED y CEB AEB. Al respecto,¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ADE DBC

II) DAB DCBIII) AE EC

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

C

A B

D

fig. 16

E

P

fig. 17

A

B

C

D

E

fig. 1580º

C

A

60º

80º

B

F

E

D

80º

40º

7

24. El PQR de la figura 18, es isósceles de base PQ . Si el PRQ = 80º, PS bisectriz del

QPR y TQ es altura, entonces el valor de x es

A) 160ºB) 125ºC) 115ºD) 90ºE) 40º

25. En la figura 19, PTR SVQ. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)siempre verdadera(s)?

I) TR // VQ

II) PR // SQ

III) PT SV

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

26. En el PQR de la figura 20, RS es altura y PS SQ . El PQR es equilátero si:

(1) PSR QSR

(2) SPR = 60º

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

27. En el MNP de la figura 21, se puede afirmar que RON ROP si:

(1) R punto medio de NP .

(2) MOP equilátero.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

R

P Q

fig. 20

S

M NO

Pfig. 21

R

fig. 19

Q

S

V

P

TR

R

P Q

S

fig. 18

T

x

8

28. En el triángulo PQR de la figura 22, S es punto medio de PQ . Se puede determinar queel PQR es isósceles si:

(1) RS PQ

(2)

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

29. En la figura 23, ABC BAD. Se puede determinar la medida del BEA si:

(1) DAB = 40º

(2) CE EB DE EA

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30. En el ABC (fig. 24) se tiene que ADC BEC. El DEC es equilátero si:

(1) CAD = 30º

(2) ADC = 120º

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

CLAVES

DMTRMA13-E

fig. 23

A B

E

C D

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra webhttp://www.pedrodevaldivia.cl/

fig. 24

A D E B

C

R

55º

P

Q

S

fig. 22

1. E 6. C 11. E 16. A 21. C 26. B

2. E 7. A 12. A 17. D 22. D 27. D

3. D 8. D 13. D 18. D 23. D 28. D

4. B 9. B 14. B 19. C 24. C 29. A

5. E 10. D 15. D 20. A 25. E 30. B