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2.7. FLUJO MULTIFÁSICO EN MEDIO NO SATURADO. 2.7.1. Introducción. Por medio no saturado se entiende un medio en el cual todos los poros no están llenos de agua. La importancia de la zona no saturada destaca en hidrología por ser el soporte de la vegetación y de muchas actividades humanas, ya que en él tienen lugar procesos de infiltración, evaporación, erosión, recarga subterránea, atenuación y transformación de contaminantes entre otros. 2.7.2. Propiedades del suelo no saturado. En la zona no saturada coexisten tres fases: agua, aire y sólido, que constituyen la estructura de los poros en el suelo. La fase sólida se considera inmóvil, la fase líquida se encuentra en forma de meniscos y la fase gaseosa en forma de burbujas. En estas dos últimas fases se establece el flujo multifásico o bifásico. El agua envuelve los granos de sólido y el aire se queda en la parte central de los poros. En condiciones cercanas a la saturación, la fase líquida es continua y se puede mover por efecto de la gravedad, es la llamada agua gravitacional. El aire se presenta en forma de burbujas discontinuas, inconexas, por lo que no puede circular y se queda atrapado. Cuando un suelo casi saturado drena por gravedad, alcanza la capacidad de campo. En este estado el contenido de humedad es la capacidad de retención, y son los fenómenos de capilaridad los responsables de que el agua se quede retenida en los poros. Finalmente, destacar que el contenido de humedad puede disminuir por efecto de la evapotranspiración y excepcionalmente alcanzar el grado de saturación irreducible en el que únicamente permanece en el suelo el agua adherida, a modo de fina película ligada a la superficie de los granos.

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2.7.2.1. Definiciones. A continuación definiremos algunos parámetros que intervienen en el estudio del flujo multifásico. Las letras V, M, P(1) y ρ(2)representan el volumen, la masa, la presión y la densidad respectivamente.

Humedad en peso o masa o contenido másico: ss

ll

s

lVV

MM

Wρρ

==

Siendo Ml =masa del agua Ms = masa del sólido Vl = volumen del agua Vs = volumen del sólido

lρ = densidad del agua

sρ = densidad del sólido

Densidad seca: V

Msd =ρ

Siendo V el volumen total

Densidad del agua (ρl): se considera 1000 kg/m3 Densidad del sólido (ρs): se refiere a la densidad de los granos, de las partículas sólidas y suele ser superior a los 2000 kg/m3 Densidad del suelo o densidad seca o bulk density (ρd): se refiere a la densidad de un volumen representativo de medio poroso, inalterado (sin comprimir ni destruir) y seco (sin agua, en general secado a 105 ºC). Suele estar comprendida entre 1500 y 2000 kg/m3.

Contenido volumétrico: l

d

l

ls

ss

lls

s

lll

wVV

VV

VV

VV

VV

ρρ

=ρρ

ρρ

===θ

(1) Pa = presión de aire; (2) ρw = densidad de agua; Pg = presión del gas; ρl = densidad de líquido; Pw = presión del agua; ρd = densidad de terreno seco. Pl = presión del líquido.

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La Tabla 2.7.1 muestra el carácter del agua, o lo que es lo mismo, su distribución en el suelo, según las condiciones del terreno y su grado de saturación (s).

Grado de saturación h

lll V

VS =φθ

=

Siendo Vh el volumen de huecos y φ la porosidad.

El grado de saturación es adimensional y varía entre 0 y 1 (0 y 100%).

Condiciones del terreno

Seco en horno a 105º

Bajo aire seco Capacidad de

campo Suelo saturado

Grado de saturación

s = 0 s min 0 < s < 1 s = 1

Carácter del agua Agua absorbida Agua capilar Agua gravitacional

Tabla 2.7.1. Carácter del agua en función de las condiciones del terreno y su grado de saturación.

Relaciones aire-agua para diferentes contenidos en agua. Se constata que en un suelo que contiene simultáneamente aire y agua, el agua libre "moja" los granos de sólido, es decir, los envuelve. Mientras que el aire tiende a disponerse en medio de los huecos, nunca en contacto con el sólido. De este modo: • En un suelo casi saturado en agua, la fase acuosa es continua y puede

descender por efecto de la gravedad. La fase aire es discontinua y no circula. La configuran burbujas inconexas, atrapadas e inmóviles. El aire atrapado puede alcanzar entre el 10 y el 15% de la porosidad en un medio teóricamente saturado, cerca del nivel freático. Sólo si la presión en la fase acuosa es muy elevada, las burbujas se contraen y pueden movilizarse. Con el tiempo las burbujas tienden a desaparecer puesto que el gas se disuelve en el agua.

• En un suelo con saturación de equilibrio la fase agua todavía es continua

pero ya no circula bajo la influencia única de la gravedad. Se trata de un suelo varios días después de una lluvia, cuando el agua que ha podido percolar por gravedad se ha ido del perfil. En agronomía se dice que el suelo ha alcanzado la capacidad de campo. La presión se transmite por la

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fase agua, que es continúa y por lo tanto, la saturación de equilibrio varía rigurosamente con la elevación del punto considerado por encima de la superficie libre del acuífero (nivel freático). La fase aire también es continua pero en general no circula.

• En un suelo muy poco saturado la fase agua se dispone alrededor de los

granos, en forma de película y forma meniscos en el contacto entre granos. Como todos los granos de sólido tocan a los granos vecinos (no hay granos de sólido flotando en los huecos), la fase acuosa sigue siendo continua. La presión se puede transmitir pero el movimiento de agua es muy lento debido al hecho de la delgadez de la película o lámina mojada. La fase aire, muy abundante, es continua pero generalmente inmóvil. En este caso la evaporación al interior del suelo puede llegar a ser un proceso relativamente importante. Para salir del suelo, el agua evaporada debe migrar por difusión molecular hacia el exterior, un proceso que es muy lento.

• En un suelo mucho más seco los meniscos se reducen y la lámina de agua

es más delgada, pero nunca desaparece. Cuando se llega a la saturación irreducible, solo queda el agua ligada o higroscópica, que sigue ocupando toda la superficie de los granos.

En consecuencia, sea cual sea el grado de saturación de un medio poroso, la fase agua es siempre continua y permite la transmisión de las presiones. El comportamiento distinto de los dos fluidos (aire y agua) mezclados en el medio es debido a sus propiedades internas. Entre los dos fluidos y el sólido, el agua es el fluido "mojante". Presión Capilar. Se define por presión capilar o succión (Pc) la diferencia entre la presión del agua y la del aire. La presión capilar refleja la tendencia del medio no saturado a “succionar” al agua o a repeler el aire (Figura 2.7.1):

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Figura 2.7.1. Definición de la presión capilar.

En el caso de que la fase gaseosa sea continua, la presión del aire coincide con la atmosférica y, entonces la presión de la fase acuosa es negativa. Esta presión negativa, expresada en altura de columna de agua, se llama succión o tensión. Recordemos que el nivel piezométrico (h) se expresa como sigue:

w

w

Ph zg

= +ρ

Siendo 2sm8.9g =

si definimos el nivel de presión capilar o succión (hc) como la siguiente

razón: g lcc c

w w

P PPh , de donde hg g

−= =

ρ ρ

observamos que el nivel piezométrico corresponde a la diferencia de la altura menos el nivel de presión capilar: h = z – hc

El parámetro pF es un potencial definido como el logaritmo decimal de la succión expresada en cm de altura de agua, es decir: pF = log10 hc

El ascenso capilar crítico o nivel de entrada de aire en un suelo se define como la siguiente razón:

cccc

w

Phg

=ρ

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El ascenso capilar crítico, define cuánto sube el agua en el suelo por encima del nivel Pl = 0 (nivel piezométrico). Como se verá, esto depende del tamaño de los poros. La Tabla 2.7.2 muestra los valores del ascenso capilar crítico en diversos materiales, y nos proporciona una idea intuitiva de las fuerzas capilares que se ejercen en el suelo en función de éste:

suelo hcc (cm) Arena gruesa 2 a 5 Arena 12 a 35 Arena fina 35 a 70 Limo 70 a 150 Arcilla 200 a 400

Tabla 2.7.2. Valores del ascenso capilar crítico para diferentes tipos de materiales.

Por ejemplo, sólo por efecto de la Pc, en la arcilla el agua puede subir más de 2m. Pero, incluso bajo succión, podemos decir que un suelo se encuentra prácticamente saturado (Figura 2.7.2):

Figura 2.7.2. Esquema del perfil hidrostático del subsuelo.

Suelo no saturado: s < 1

Suelo casi saturado: s ≈ 1 NF

Suelo saturado: s = 1

hcc Pl = Patm = 0

Perfil hidrostático de presiones de agua

prof

undi

dad

Pl<0 Pc>0

Pl>0 Pc<0

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2.7.2.2. Tensión superficial.

Por efecto de la gravedad, el agua tiende a fluir verticalmente formándose interfases agua-aire en forma de meniscos. El agua se queda retenida por efecto de la tensión superficial. Debido a dichas fuerzas capilares la presión del agua es inferior a la presión atmosférica. El equilibrio entre las fuerzas de tensión superficial y las de presión da lugar a una curvatura del menisco como una lentilla.

Por la curvatura se sabe que: Pg>Pl

El radio de curvatura de estos meniscos depende de la magnitud de la succión. Al ir progresando el drenaje, la curvatura de los meniscos es más pronunciada y la succión aumenta. A continuación se describe el equilibrio entre las fuerzas de tensión superficial y las de presión:

2a l

2

(P P) (2r sen ) sen 2 (2r sen )area (2r sen )perimetro=2 (2r sen )

− π α = σ α π α

= π απ α

De la que se obtiene la Ley de Laplace para tubos con radio constante:

P Pra l− =

2σ

en la que se supone que el menisco tiene forma de casquete esférico, es decir que la curvatura es la misma en cualquier dirección.

La diferencia de presiones recibe el nombre de presión capilar o succión.

A partir de la Ley de Laplace, puede calcularse la altura de ascenso capilar en un tubo:

Pl

Pa

r σ α

gas

partícula

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Introduciendo la presión del agua bajo el menisco resulta:

P P ghr

hgr gr

a a

t

− − =

= =

( )

cos

ρσ

σρ

σ θρ

2

2 2

(si r aumenta hc disminuye)

en la que se ha contemplado el radio del tubo rt y el ángulo de mojado θ (ángulo que hace la tensión superficial con la pared del tubo).

La interfaz agua-aire se va desplazando hacia los espacios intergranulares más estrechos que permiten una curvatura mayor. Los poros más grandes se vacían con valores bajos de la succión, mientras que los más estrechos se drenan con succiones más altas.

Un suelo no saturado puede imaginarse como un medio formado por tubos capilares de diferentes tamaños. La Ley de Laplace está referida a un radio de los tubos “r” que se mantiene constante, pero en el suelo este radio varía como puede verse en la Figura 2.7.3:

Figura 2.7.3. Variabilidad del tamaño los tubos capilares del subsuelo entre la zona no saturada y la saturada.

Si la zona no saturada del suelo contiene poros pequeños, el agua alcanzará una altura mayor.

Para cada radio el ascenso será diferente y por tanto, cuanto mayor sea la altura por encima del plano de presión atmosférica (nivel freático) menos tubos estarán llenos de agua.

h

Υ

rt c

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2.7.3. Curvas de retención. 2.7.3.1. Curvas de retención e histéresis. Recordemos que una medida del volumen de agua en un suelo no saturado es el grado de saturación, y que se define como:

h

lll V

VS =φθ

=

Definamos también el contenido volumétrico de agua que es otra medida del contenido de agua en un medio poroso no saturado:

VVl

l =θ

Luego en un suelo no saturado a una determinada altura, el grado de saturación será tanto mayor cuanto menores sean los tamaños de los poros. Vemos pues, que existe una cierta relación entre los tamaños de los poros y el grado de saturación. La forma de relacionar el contenido de agua y la presión capilar en un medio poroso (teóricamente la ley de Laplace) es mediante la curva de retención. Dicha curva nos permite establecer la relación entre el nivel capilar y el contenido en agua o bien, entre la presión capilar y el grado de saturación. La curva de retención, que es característica de cada tipo de suelo, se conoce como curva de retención o curva de succión-humedad. Su forma depende de la estructura del suelo y de la geometría y distribución de los tamaños de los poros (Figura 2.7.4). La curva es más lineal en medios arcilloso y más escalonada en arenas finas. La curva de retención de un suelo nos permite saber la succión que le corresponde a cada grado de humedad.

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Las curvas características de un suelo se determinan en un laboratorio de forma experimental, relacionando la presión capilar con el contenido en agua. De todos modos hay modelos empíricos que permiten dibujar las curvas de retención en función de unos parámetros. A continuación presentamos la expresión del modelo de van Genuchten para la curva de retención:

mínmáx

mínee SS

SSS

−−

=

se = Saturación efectiva (smax = 1 y smin = 0). El grado de saturación mínimo tiende a 0, pero no llega a 0 ya que queda el grado de saturación residual, no se puede sacar toda el agua, una parte queda retenida en los poros, y esto se observa en la curva de Van Genuchten, en la que Smin no llega a ser 0.

e 11

g l

1sP P

1P

λ

−λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

m

n

cc

ce

hh

1

1S

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

Figura 2.7.4. Variación en la succión potencial de un suelo debido al descenso de saturación para diferentes medios (Bear, 1972).

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Siendo: n, m parámetros determinados por la forma de la curva. λ = parámetro empírico que está relacionado con la mejor o peor graduación de suelo.

00

P P σ=

σ

σ = tensión superficial σ0 = tensión superficial a temperatura de referencia Este modelo (Figura 2.7.5) es uno de los más utilizados en la modelización de flujos en suelos no saturados.

Figura 2.7.5. Representación del modelo de Van Genuchten para la curva de retención.

Las curvas de retención muestran como el agua es retenida en el suelo debido a las fuerzas capilares que actúan en contra de la fuerza gravitacional. La Figura 2.7.6 muestra las curvas ajustadas a los resultados experimentales de 3 suelos distintos mediante el modelo de van Genuchten.

hc

s smin smax

hcc

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Figura 2.7.6. Representación de las curvas ajustadas al modelo de Van Genuchten de los

resultados experimentales de 3 suelos distintos (limolita, argilita y Bentonita).

Una particularidad importante de las curvas de retención es que la curva de retención obtenida en drenaje es diferente de la curva de retención obtenida en proceso de humedecimiento del suelo. Esto se explica mediante el fenómeno de la histéresis. Los procesos dinámicos de mojado y de secado tienen un comportamiento no simétrico. Cuando estamos en un proceso de secado o drenaje, al descender el nivel del agua en los tubos más estrechos, ésta tiene tendencia a quedarse retenida por culpa de las fuerzas capilares, lo que hace que la velocidad de vaciado sea menor en los tubos estrechos y mayor en los tubos anchos. En un proceso de mojado o imbibición ocurre lo contrario, es decir, la velocidad es mayor en los poros de sección menor, y menor en los poros de sección mayor.

0.01 0.1

1 10

100 1000

10000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Grado de saturación

succ

ión

(MPa

)

Siltstone

van Genuchten con P=35 Mpa, λ=0.40.01

0.1

1

10

100

1000

10000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Grado de saturación

succ

ión

(MPa

)

Claystone

van Genuchten con P=15 Mpa, λ=0.36

Curva de retención

0.01

0.1

1

10

100

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Grado de saturación

succ

ión

(MPa

)

Modelo de van Genuchten (Po=18 MPa, λ = 0,38)

Datos experimentales (Bentonita)

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Figura 2.7.7. Diferencias de velocidad de ascenso/descenso del agua por tubos de diferente

sección que definen la porosidad del suelo, en proceso de secado y de mojado del suelo.

La histéresis se explica por el hecho de que los ángulos de contacto del agua con la fase sólida son distintos en el proceso de mojado y en el proceso de secado (Figura 2.7.7). Cabe destacar que los efectos de la histéresis aumentan con la presencia de aire atrapado, y sobre todo en suelos que tiendan a hincharse. Indicar también que los fenómenos de histéresis actúan de forma importante en el flujo de agua y en el transporte de solutos en condiciones en las que se alternan con frecuencia los procesos de mojado y de secado, como sucede en el caso de la infiltración del agua de lluvia o de riego. La Figura 2.7.8 nos muestra que para un mismo nivel o una misma presión de capilaridad se pueden considerar dos estados de saturación, como consecuencia precisamente del diferente comportamiento del medio sometido a un proceso de mojado o de secado.

Secado: v1 > v2

v1 v2

Mojado: v3 > v4

v4

v3

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Figura 2.7.8. Representación de la presión de capilaridad respecto al grado de saturación para

un proceso de mojado y un proceso de secado. Se observa que los caminos seguidos son diferentes, es la histéresis.

Se ve que el grado de saturación es mayor si se procede de un proceso de drenaje o secado del suelo que si el proceso es de humidificación. Cuando la curva de mojado llega a la presión 0, la saturación todavía no es total porque queda aire atrapado aislado e inmovilizado. Cabe notar que si se espera un tiempo suficientemente grande, el aire atrapado se disuelve y/o se moviliza por la circulación de agua y el punto final de la curva tiende al inicio de la curva de secado. Perfil de equilibrio hidrostático. Saturación de equilibrio. Por encima de la parte superior de la franja capilar, la presión capilar aumenta y la saturación disminuye hasta la saturación de equilibrio, entonces el perfil es estático. Se denomina perfil de equilibrio hidrostático al perfil vertical de suelo en que las presiones están equilibradas y que por lo tanto no hay movimiento de la fase acuosa (Figura 2.7.9). Saturación no en equilibrio. Hacia la superficie de suelo, debido a los cambios en la superficie (lluvia, evaporación, transpiración, entre otros) los cambios de estado se suceden y el perfil de saturación no suele estar en equilibrio y son estados transitorios. Después de una lluvia el agua gravífica se va a infiltrar y descender a lo largo

mojado

secado

hc ó Pc

Υ ó s smin smax

hi ó Pi

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del perfil del suelo. Una desecación importante en la superficie provocará un ascenso de agua hacia la superficie. Ahora estamos en condiciones de poder dibujar un perfil vertical de saturación típico desde la superficie del terreno hasta el nivel freático. También podemos trazar la variación de la presión del agua a lo alto de todo el perfil. Según las leyes de la hidrostática, un perfil en equilibrio debe mostrar una variación lineal de la presión.

Por definición, la presión es nula (es decir, igual a la presión atmosférica), en la superficie libre del acuífero. Por debajo la presión crece de forma lineal con la profundidad, por encima decrece (se convierte en succión) con la cota. Dicho de otro modo, puesto que la fase de agua es continua, dos puntos en equilibrio hidrostático distantes Δz verticalmente, tienen una diferencia de presión de ρg·Δz. Recíprocamente, todos los puntos representativos situados a la izquierda de la recta de equilibrio de presión, son indicadores de un flujo ascendente. Y al revés, los puntos a la derecha indican flujo descendente.

Figura 2.7.9. Perfiles de saturación y presión en un suelo (De Marsily, 1986).

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En la práctica, un suelo casi nunca está en equilibrio hidrostático y el perfil real de presión se separa casi siempre de la recta de equilibrio, pero el sentido de esta diferencia precisamente indica la dirección del flujo. Estas presiones negativas elevadas (inferiores al vacío absoluto) a las que puede estar sometida el agua en un suelo no saturado no nos deben de sorprender. De hecho miden o son indicadoras del estado energético del agua del suelo es decir, la cantidad de energía que debe ser suministrada para extraer una molécula, que está ligada al suelo por la fuerzas electrostáticas. Definición estricta de zns y de la posición del nivel freático. El nivel freático de un acuífero está localizado en la cota topográfica donde la presión del agua es exactamente igual a la atmosférica, es decir, cero. Es exactamente el nivel que nos proporcionarán de forma directa los piezómetros abiertos normales en un acuífero. Por debajo del nivel freático la presión del agua es positiva y se denomina zona saturada. Por encima del nivel freático la presión del agua es negativa y hablamos de zona no saturada, independientemente del grado de saturación. Por lo tanto la franja capilar, de existir, aunque su grado de saturación puede ser 100%, se encuentra en la zona no saturada en el sentido hidrogeológico. En definitiva, la zona no saturada de un acuífero es aquella en que la presión del agua es negativa. Esto tiene implicaciones importantes cuando se trata de formular las ecuaciones de flujo de agua en medio no saturado. La presión del agua es un parámetro continuo en todo el medio poroso y es muy útil para representar el flujo en cualquier parte del dominio. El grado de saturación no es continuo en el medio poroso y además como no varía dentro de la zona saturada (siempre vale 1), no es una variable útil para representar el flujo saturado. Medida de la presión capilar. Tensiómetros.

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Medir la presión del agua en el subsuelo es muy útil porque es una manera indirecta de estimar el potencial hidráulico y el grado de saturación. En la zona saturada la presión es positiva y se puede medir fácilmente con sensores de presión sumergidos en el agua. En la zona no saturada la presión del agua es negativa y no hay suficiente agua para poder sumergir el sensor. Para medir la succión en el medio no saturado se utilizan los tensiómetros (Figura 2.7.10) que consisten en una cápsula de cerámica microporosa (de 5 a 10 cm de largo y 1 a 2 cm de diámetro, de presión de entrada de aire conocida, facilitada por el fabricante) conectadas al extremo de un tubo rígido que se hinca horizontal o verticalmente en el suelo. El otro extremo del tubo va conectado de forma estanca a un manómetro. Todo el sistema es "estanco" y está completamente lleno de agua.

Figura 2.7.10. Esquema de cómo deben instalarse los tensiómetros en el suelo para medir la succión en el medio no saturado.

Cuando el tensiómetro está dentro del suelo, el agua contenida dentro de él se pone en equilibrio de presión, a través de la cápsula porosa, con el agua del suelo. Recordemos que la fase acuosa es continua del suelo no saturado hacia la cápsula, puesto que se trata de un medio poroso normal. Entonces se mide la succión directamente con el manómetro. Para tensiómetros que no están en posición horizontal, hay que tener en cuenta la diferencia de cota entre la cápsula y el manómetro, puesto que medimos la presión del agua y la "columna de agua" ejerce cierta presión.

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Este sistema está limitado a la succión igual a la presión de entrada de aire de la cápsula que utilicemos. Éste es un parámetro que el fabricante proporciona. De todos modos, este dispositivo está limitado a una succión máxima de 800 a 900 milibares. Para presiones inferiores y a temperatura normal, el agua empieza a hervir dentro de la cápsula y el tensiómetro "desceba", hay que purgarlo y volverlo a llenar. Para descender por debajo de 1 bar se precisan métodos indirectos como bloques de yeso con electrodos, situados dentro del suelo, donde el agua que contiene se pone en equilibrio de presión con la del suelo. Se mide la resistividad eléctrica y mediante calibración de presión-contenido en agua-resistividad eléctrica se puede medir la presión. Para establecer las mediciones de laboratorio (en suelos reales o bloques de yeso) de la relación succión-contenido en agua, se aumenta artificialmente la presión atmosférica (cámara presurizable) para evitar que la succión conlleve a la ebullición. 2.7.3.2. Almacenamiento en un acuífero libre. Supongamos un descenso del nivel freático de NP1 a NP2, de una altura Δh = d2 – d1:

Figura 2.7.11. Esquema del descenso del nivel piezométrico en un acuífero libre entre un

momento t1 y un momento t2. d es la profundidad del nivel piezométrico, Δh es la variación del nivel piezométrico, NP = superficie del nivel piezométrico.

d2 d1

z2

z1 NP1

NP2 Δh

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El incremento ΔVw recibe el nombre de variación de almacenamiento; y a continuación obtendremos su expresión:

d1 d2

z1 0 z2 0d1 d1 d2

z1 0 z2 0 z2 d1d2

z2 d1

Vw h sdz sdz

h sdz sdz sdz

h sdz

= =

= = =

=

Δ = φΔ + φ − φ =

= φΔ + φ − φ − φ =

= φΔ − φ

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

Para el nivel freático que se encuentra más alejado de la superficie del terreno (NP2), la variación de almacenamiento se expresa de la siguiente forma:

min minVw h s h h (1 s )Δ = φΔ − φ Δ = Δ φ −

Para el nivel freático que se encuentra más próximo de la superficie del terreno (NP1), la variación de almacenamiento se expresa de la siguiente forma:

d2 d2

minz2 d1 z2 d1

1Vw h sdz h 1 sdz h(1 s )h= =

⎛ ⎞Δ = φΔ − φ = φΔ − < φΔ −⎜ ⎟

Δ⎝ ⎠∫ ∫

El grado de saturación mínimo o agua irreducible, es el agua que permanece en la muestra incluso con presiones muy elevadas de capilaridad, y que se define como sigue: r minsθ = φ

La Tabla 2.7.3 presenta unos valores de humedad irreducible según la granulometría del suelo.

Suelo Partícula (mm) Porosidad Humedad irreducible

Arcilla 0,001 0,50 0,40

Limo 0,01 0,45 0,30

Arena 0,1 a 1 0,40 0,10

Grava 10 0,30 0,01

Tabla 2.7.3. Valores de porosidad y humedad irreducible de algunos tipos de suelo.

S: grado de saturación Φ: porosidad

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2.7.4. Flujo de agua en medio no saturado. El flujo de agua en la zona no saturada se rige por el gradiente del nivel piezométrico, de manera que el flujo de agua eq en la zona no saturada es

proporcional al gradiente: hqe ∇−α siendo

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂∂∂∂

=∇

zhyhxh

h

El gradiente más importante es el vertical, de manera que el flujo de agua en la

zona no saturada puede expresarse como: zhq vertical

e ∂∂

α

2.7.4.1. Ley de Darcy. Conductividad hidráulica relativa. Ley de Darcy. Carga hidráulica. El estado energético del agua en un medio poroso se define como la carga hidráulica. Es la energía interna total y tiene varias componentes que se suman: potencial, cinética y química. La química vendría dada por la presión osmótica, importante para soluciones muy concentradas, despreciable en flujos naturales a escala de hidrogeología. La cinética es la debida al estado de movimiento, pero puesto que el agua se mueve a una velocidad tan "pequeña", esta componente es siempre varios órdenes de magnitud inferior a la energía potencial. La energía potencial prácticamente es la única componente de la carga hidráulica. Esta energía, a su vez, tiene dos componentes: la energía de "presión" y la energía de "posición". Como su nombre indica, la energía de presión es debida a la presión a la que está sometida el agua de un punto y la energía de posición es debida a la

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aceleración de la gravedad y está relacionada con la posición o cota de ese punto, respecto a una cota de referencia. Los tres términos de la ecuación siguiente son respectivamente la energía potencial de presión, la energía potencial de posición y energía cinética (despreciable).

gUz

gph w

2

2

++=ρ

donde: h carga hidráulica del agua en un punto del medio poroso [L] pw presión hidrostática del agua en ese punto [ML-1T-2] ρ densidad del agua [ML-3] g aceleración de la gravedad [LT-2] z cota topográfica de ese punto respecto a un nivel de referencia [L] U velocidad a la que se mueve el agua [LT-1] En este caso hemos presentado la carga hidráulica en metros de columna de agua. Se puede expresar en unidades de presión multiplicando los tres términos por ρg. Si expresamos la presión de agua en metros de columna de agua, teniendo en cuenta que 105 Pa = 1 bar = 10 metros de columna de agua dulce, entonces, la expresión genérica de carga, que siempre vamos a recordar será. h = pw + z todo en unidades de longitud. Teorema de Bernouilli: La carga hidráulica es constante en un fluido inmóvil y, en caso de flujo, decrece en el sentido del mismo. La carga hidráulica de cualquier punto de un fluido inmóvil siempre es el valor de la cota topográfica de la superficie libre del fluido. Esta definición de carga hidráulica es válida para cualquier fluido y medio tridimensional, incluida la zona no saturada.

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Puesto que el movimiento del agua generalmente será sobre la vertical, como ya se ha dicho, para visualizar la variación de la carga hidráulica y sus dos componentes en un perfil vertical de zona no saturada sobre un acuífero, consideramos que se trata de un sistema unidimensional vertical. La z siempre es vertical (por supuesto) y crece hacia arriba. En edafología o geotecnia a menudo se considera que z crece hacia abajo y es cero en la superficie del suelo. En hidrogeología siempre crece hacia arriba y, generalmente, tiene el origen al nivel del mar y se expresa en metros sobre el nivel de mar (msnm). De todos modos puede tener un origen arbitrario. Consideramos un perfil en equilibrio hidrostático en el que la presión hidrostática varía linealmente con la cota.

z, pc, h (m)

cota

(msn

m)

z

pw (eq)

h (eq)

nivel fréaticozona no saturadazona saturada

<----- (-) (+) ----->0

Figura 2.7.12. Perfil vertical en equilibrio hidrostático.

En un perfil vertical la z aumenta con la cota, y si está en equilibrio, la presión disminuye al aumentar z, de forma lineal. La presión del agua (pw) es siempre 0 en el nivel freático por definición. En la zona saturada la presión aumenta con la profundidad puesto que la columna de agua aumenta. En la zona no saturada, la presión del agua disminuye. Recordemos que siempre es menor a la presión del aire y que por tanto

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siempre será negativa. Si el perfil está en equilibrio la disminución de la presión del agua con la cota en la zona no saturada es lineal. Puesto que la z aumenta al subir en un perfil vertical y la presión del agua (expresada en unidades de longitud) disminuye con la misma pendiente, tendremos que la carga total, al ser la suma, será constante en todo el perfil. El valor de la carga total será el valor de la cota topográfica del nivel freático, el único punto del perfil donde la presión del agua es 0. En el nivel freático: h = pw + z = 0 + z = z; h = z Este valor es el que medimos con una sonda de nivel en un piezómetro o un pozo parado. Si la carga es constante en toda la vertical, el gradiente de carga a lo largo del perfil es 0, no hay variación de carga con la profundidad. Si el gradiente es 0, el flujo vertical es 0, como ya veremos. Cualquier cambio en el perfil de presión repercutirá en el perfil de carga.

Figura 2.7.13. Perfil vertical con flujo descendente.

z, pc, h (m)

cota

(msn

m)

z

pw (eq)

h (eq)

nivel fréaticozona no saturadazona saturada

<----- (-) (+) ----->0

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Una lluvia hace aumentar el contenido de agua en la superficie, esto hace disminuir la presión capilar (aumentar la presión del agua) y por lo tanto aumentar la carga hidráulica total, de manera que se genera un gradiente vertical descendente que origina un flujo vertical descendente de agua. Con el tiempo esta alteración se irá trasladando hacia abajo, hasta que el exceso de agua llegue a la zona saturada y el perfil vuelva al equilibrio. Si por lo contrario, en la superficie hay una extracción del agua capilar por las plantas, la presión del agua disminuirá, la carga también y el gradiente será ascendente, esto empezará a movilizar el agua de todo el perfil hasta volver a equilibrarse con agua recuperada de la zona saturada. Los movimientos del nivel freático hacen cambiar la cota donde la presión es cero, hacen cambiar el perfil de presión y consecuentemente el perfil de carga, hasta que tiende de nuevo al equilibrio. Conductividad hidráulica relativa. La conductividad hidráulica es función del contenido en agua o del grado de saturación:

k (Υ) = k (s)

pero hay pérdida de permeabilidad por efecto de desaturación y la permeabilidad en función del grado de saturación es:

k (s) = kr (s) · ksat siendo: kr la conductividad hidráulica relativa ksat la conductividad hidráulica de un suelo kr disminuye al disminuir el contenido de humedad Υ. Esta disminución es tanto más brusca cuanto más gruesa es la textura del medio sólido. kr es una función empírica que se tiene que medir y está definida en el intervalo:

0 ≤ kr (s) ≤ 1

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En la zona no saturada existen “espacios ocupados por gas” que dificultan la circulación del agua de manera que en esta zona, la conductividad hidráulica relativa tiene un valor ≤ al de la conductividad hidráulica relativa de la zona saturada. Como se observa en la Figura 2.7.14, cuando el valor de S es muy pequeño, el agua tiene dificultad para circular ya que los meniscos no están totalmente conectados y no se produce flujo. Por esta razón la curva no empieza en el valor de Se=0 (no circula el agua y Kno sat=0) sino hasta que Se no alcanza un valor determinado.

Figura 2.7.14. Variación de la conductividad hidráulica relativa en función del grado de

saturación.

Teniendo en cuenta que a medida que circula el agua, va variando el grado de saturación S y que medir la Krelativa presenta muchas dificultades, suponiendo la curva de retención conocida, se puede encontrar una relación Krelativa en función del Se.

( ) ( )

( )

2 2r e e

2m1m

r e e

k 1 s 1 s (de Corey, 1957)

k s 1 1 s (de Mualem, Van Genuchten)

= − ⋅ −

⎛ ⎞= ⋅ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Los parámetros, m, se max y se min se sacan de la curva de retención. Esta función es muy difícil de determinar en laboratorio, porque en un suelo no saturado, la saturación varía con la distancia.

( ) ( )r

sat

k sk s

k=

0 1

kr

S

Este intervalo corresponde en el suelo a meniscos no conectados.

Ksat

Kre

lativ

a

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kr (s) = kr (s (Pc) ) = kr (Pc)

Esta curva kr (Υ) también suele presentar efectos de la histéresis motivados por los problemas también de histéresis de la curva de retención. En ciertos suelos la conductividad en saturación puede verse reducida durante el humedecimiento debido a la presencia de aire atrapado. Por esta razón es más recomendable relacionar Sefectivo con la permeabilidad relativa ya que la curva de esta función casi no presenta histéresis, a diferencia de la relación permeabilidad relativa/presión capilar. Ley de Darcy para un flujo no saturado unidimensional: Recordemos la ley de Darcy:

Q k h= ⋅ Δ En forma matricial sería:

hkqe ∇−= x xx xy

y xy yy

hq k k x

hq k ky

∂⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Siendo K la permeabilidad de la zona no saturada.

¿Cuál es la relación entre la fórmula anterior y la siguiente?

lc

l

c lc

l l

Ph z z hgP Ph z

g g

= + = −ρ

= + = −ρ ρ

La ley de Darcy en la zona no saturada puede definirse como:

hKq nosate ∇−= si sustituimos el nivel piezométrico por la expresión que

definíamos antes chzh −= :

( ) ( )cnosate hzKq −∇θ−= siendo θ el contenido volumétrico

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de manera que desarrollando y agrupando: ( ) ( ) cnosatnosate hKzKq ∇θ+∇θ−=

El primer término se refiere al flujo debido a la diferencia de altura, y el segundo término a la presión capilar.

( )

( )

( )

( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

θ

∂∂

θ

∂∂

θ

+⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

θ

zh

K

yh

Kx

hK

K00

qqq

cnosat

cnosat

cnosat

nosatz

e

ye

xe

Usando la relación entre la presión capilar hc y el contenido volumétrico θ que nos proporciona la curva de retención:

θ∇θ∂

∂=∇ c

ch

h

Con esta relación se obtiene que:

( ) ( ) θ∇θ∂

∂θ+∇θ−= c

nosatnosateh

KzKq

De manera que esta relación dice que el movimiento del agua en la zona no saturada es debida a:

- la diferencia de altura z (por la gravedad) - a que el agua se desplaza “ desde donde hay más agua hacia donde

hay menos”.

El término ( )θ∂

∂θ c

nosath

K se define como la difusividad ( )[ ]θ− D de la zona no

saturada. Finalmente se han obtenido 2 versiones de la ley de Darcy para suelos no saturados:

1. en función del nivel piezométrico: ( ) hKq nosate ∇θ−=

2. en función del contenido de agua: ( ) ( ) θ∇θ−∇θ−= DZKq nosate

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Figura 2.7.15. Difusividad de la zona no saturada.

El valor máximo que se puede infiltrar en el suelo, sin producir encharcamiento, en dirección vertical es: qmax = ksat

Si llueve más que ksat, se produce escorrentía o encharcamiento; Si lleve menos que ksat, se produce infiltración. Es decir, el flujo máximo que se puede infiltrar sin encharcamiento es la Ksat.

( )cnosate hZKq ∇−∇−= su máximo será ( ) satcnosate KhZKq −≡∇−∇−=

Si la intensidad de la lluvia supera la capacidad de infiltración se genera agua en la superficie (encharcamiento) y esto permitirá posteriormente una infiltración. Se parte de la situación hidrostática:

Figura 2.7.16. Situación hidrostática inicial.

Si llueve se produce un flujo descendente, de manera que el gradiente irá aumentando. Cuando no llueve y actúa la evapotranspiración, se produce un flujo ascendente.

Suelo no saturado

Suelo saturado

Flujo no saturado unidimensional

0

Pe

S

Se<1

Se >1

0

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En régimen transitorio, después de producirse una lluvia muy fuerte e importante (intensidad de lluvia supera la capacidad de infiltración) se produce un frente de agua que satura la parte más superficial del suelo no saturado y va saturándolo a medida que avanza hacia abajo. La Figura 2.7.17. ilustra la succión en función de la altura, y las diversas posiciones de las curvas según en qué sentido se mueve el agua:

Figura 2.7.17. Gráfico de la succión en función de la altura.

A continuación tenemos los perfiles de humedades; éstos se encuentran por debajo de la curva de retención cuando hay recarga, y por encima de la curva de retención cuando hay evaporación.

45º

q-z = qz = 0

hc

z

(qz)1

(qz)2

(q-z)1 (q-z)2

Superficie freática

qz = - k?c = n

Cuando hay recarga, el nivel de presión capilar disminuye y el flujo es descendente

Cuando hay evaporación, el nivel de presión capilar aumenta y el flujo es ascendente.

(q-z)3

0

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Figura 2.7.18. Perfiles de humedad.

En la Figura 2.7.19 se representan los perfiles de hidrostáticos de presión de agua, de presión capilar o altura capilar y de saturación en agua en la zona no saturada y su límite con la zona saturada:

Figura 2.7.19. Perfiles hidrostáticos de presión de agua, de presión capilar o altura capilar y de

saturación en agua en la zona no saturada.

q-z = qz = 0

S

z (qz)1 (qz)2 (q-z)1 (q-z)2

Superficie freática

q-z = - k?c = n

(q-z)3

n 0

zona no saturada

s < 1

zona saturada s = 1

Z

Pw = 0

Pc o hc Pw

Pw = - ρ g z Pc = ρ g z

h

Perfil de humedades; sigue la curva de retención cuando se encuentra encima del nivel freático; su forma está ligada al movimiento del nivel freático.

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2.7.5. Ecuación de flujo; ecuación de Richards. Recordemos la expresión de la ecuación del flujo:

( ) ( )masa de aguaflujo de masa de agua 0

t∂

+ ∇ =∂

Donde el primer término representa la variación de almacenamiento. La masa de agua es: ρl sl Φ El flujo de masa de agua es: ρl ql = ρl (-k · ∇h) O sea que la ecuación del flujo se escribe:

( ) ( )l ll l

s q 0

t∂ ρ Φ

+ ∇ ρ =∂

• Sea la ecuación de flujo en función de θ = Sl Φ, y suponiendo ρl constante tenemos que:

1ρ( )

1t∂ θ

+ ρ∂

( )( )k h 0∇ − θ ∇ =

Recordemos los niveles en función de la altura capilar:

( ) cc c

hh z h z h z ∂∇ = ∇ − = ∇ − ∇ = ∇ − ∇θ

∂θ

Reemplazando ∇h por la expresión anterior en nuestra ecuación, tenemos que:

( ) ( ) chk z 0t

∂ θ ⎛ ⎞∂⎛ ⎞+ ∇ − θ ∇ − ∇θ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂θ⎝ ⎠⎝ ⎠

Finalmente llegamos a la ecuación de Richards:

( ) ( )( ) ( ) chk z k 0t

∂ θ ∂⎛ ⎞+ ∇ − θ ∇ + ∇ θ ∇θ =⎜ ⎟∂ ∂θ⎝ ⎠

Esta ecuación define matemáticamente el flujo en un medio parcialmente saturado. Esta ecuación presenta dificultades: - no sirve en suelos saturados, porque en suelos saturados θ = Φ.

Ecuación de Richards

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- θ, el contenido volumétrico, no es continuo si el suelo no es homogéneo. En cuanto a los términos de esta ecuación, se parecen a los términos de la ecuación del flujo saturado: - El primer término es una derivada temporal y es un término de

almacenamiento. - El segundo término es complejo y su estudio no es objeto de este curso. - El tercer término es una derivada segunda y es el término de difusividad en

el terreno.

• Consideremos ahora la ecuación del flujo en función del nivel piezométrico h. Partiremos desde la ecuación del flujo que hemos visto al principio de este párrafo, que es una ecuación conservativa:

( ) ( )l ll l

sq 0

t∂ ρ Φ

+ ∇ ρ =∂

derivando y desarrollando tenemos que:

Un caso particular a esta ecuación sería en suelo saturado:

( )yhS k h 0t

∂+ ∇ − ∇ =

∂

El coeficiente de almacenamiento específico se expresa de la siguiente forma:

( )ly

l

1Sh

∂ ρ Φ= ⋅

ρ ∂

y se expresa en unidades de inverso de longitud (m-1).

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

l ll l l l

ll l y l l

ll y l

ss k s h 0t t

s hsS k s h 0h t

s hsS k s h 0h t

∂ ρ Φ ∂+ ρ Φ + ρ ∇ − ∇ =

∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ρ + θ + ρ ∇ − ∇ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞+ θ + ∇ − ∇ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

En un suelo saturado, sl = 1.

Coeficiente de almacenamiento específico.

Curva de retención, este término desaparece cuando el suelo está saturado.

Conductividad hidráulica saturada en un suelo saturado.

θ contenido volumétrico de agua φ porosidad

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• Soluciones analíticas Dado su carácter no lineal, es difícil encontrar soluciones analíticas exactas para la ecuación de Richards. No obstante, en ciertos casos pueden obtenerse soluciones muy próximas a las exactas. Estas soluciones generalmente suponen medio homogéneo, geometrías sencillas y condiciones de contorno simplificadas. Por ello, su aplicabilidad al análisis de problemas reales es limitada. A pesar de ello, estas soluciones son útiles para comprender el complejo funcionamiento del flujo en medios parcialmente saturados y sobre todo sirven como elementos de contraste y verificación de los programas de cálculo numérico. • Soluciones numéricas La resolución de la ecuación del flujo en problemas reales requiere la utilización de métodos numéricos que permiten simular el flujo bajo condiciones generales. Los métodos numéricos utilizados incluyen diferencias finitas, diferencias finitas integradas y elementos finitos.

2.7.6. Estimación del tiempo de ascenso de agua en un suelo no saturado.

La ley de Darcy generalizada establece que:

1ccz

hk p k gq gz

ρρμ μ ζ

⎛ ⎞∂⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

siendo ζ la altura de ascenso del agua y hcc el nivel de presión capilar en la zona seca.

Por continuidad resulta que: zdq ndtζ

=

siendo n la porosidad. Esta continuidad expresa que el flujo de agua es igual a la variación de almacenamiento de agua.

Igualando las anteriores:

1cchd k gndtζ ρ

μ ζ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

se puede despejar:

lncc cc

cc cc

nh htk g h h

μ ζρ ζ

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟−⎝ ⎠⎣ ⎦

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En esta expresión se observa que cuando t→∞ resulta que ζ→hcc.

Se puede expresar esta ecuación como: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

φ=

cc

c

ccc

cccchh

hhh

lnKh

t siendo φ la

porosidad.