Ing. David Córdova Rojas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica

TEORIA DE ELASTICIDAD APLICADA A LA

MECANICA DE ROCAS

SID

AD

UN

IVE

R

GE

SC

BO

IAN

IER

718 6R

ONNA

IA

NT

IE

CI AL

DE

LA

ET IN

La teoría de la elasticidad está restringida a materiales sólidos, con las

siguientes propiedades elásticas idealizadas:

TEORIA DE ELASTICIDAD APLICADA A LA

MECANICA DE ROCAS

INTRODUCCION

Isotropia

Homogeneidad

Continuidad

Linearidad entre esfuerzo y deformación (Ley de

Hooke)

-

-

-

-

El modo más simple de relacionar los esfuerzos y las deformaciones es por

linearidad directa. Esta es la base fundamental de la teoría de elasticidad , la

cual postula un medio elástico en la cual todas las deformaciones son

instantáneamente y totalmente recuperables, cuando se renueven los esfuerzos.

Un medio elástico es una idealización de las propiedades del material.

Cuando el material es menos ideal (incluyendo las rocas) habrá menor

recuperación que la recuperación total. Por consiguiente es necesario, en las

consideraciones de reacción de la roca bajo acción de las cargas, definir

inicialmente su elasticidad y compararlo con el ideal, a fin de definir las

limitaciones de análisis por la teoría elástica.

Aparte de un cambio en la

convención de signos, no hay diferencia

en los efectos de compresión o tensión

sobre la deformación elástica, excepto

que en compresión (tomado como

positivo), el límite de la deformación

elástica (eL) es considerablemente mayor

que en tensión. Desde que en materiales

frágiles, este límite representa el punto

de fractura o “resistencia” (s) del

material, ésta tiene una considerable

importancia en rocas.

En un medio elástico el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación

(Figura 1) y los dos están linealmente relacionados en la ley de Hooke: E = s/e ,

donde “E” es una constante conocida como el “módulo de elasticidad o módulo

de Young” en una dirección simple.

Relaciones Esfuerzo/Deformación en un medio elástico

-sc

eL

-s

s

t

eeL

Tensión negativa

Comprensiónpositiva

Pendiente E

Es/e

Figura 1: Relación esfuerzo/deformación

Si consideramos un cubo cargado verticalmente, como se necesita en la Figura 2,

se asume que, como consecuencia de esta carga, la roca es libre para expandirse

lateralmente y se comporta elásticamente como la mayoría de las rocas más

duras a niveles de esfuerzo debajo de su resistencia compresiva. La dimensión

vertical disminuirá por una cantidad w, mientras que la dimensión lateral

aumentará por una cantidad u = v.

a

Z

YX

sZ

sZ

w

uv

Figura 2

La deformación unitaria vertical (lineal) será ez = w/a , aplicando la ley de Hooke:

ez = sz /E ; mientras que la deformación lateral será ex = ey = - u/a . La relación

inversa entre la deformación en la dirección del esfuerzo aplicado y la

deformación inducida en una dirección perpendicular constituye otro parámetro

importante en la teoría elástica denominada “relación de Poisson” n ; es decir

Entonces, la deformación lateral estará relacionado al esfuerzo vertical del

siguiente modo:

El “modulo de Young” y la “relación de Poisson” son propiedades del material

referidas como “constantes elásticas”, para una típica roca dura E varía en el

rango de 5 a 15 x 106 lb / plg2 (35 – 105 x 103 Mpa) y v varía de 0.15 - 0.30.

z

y

z

x

e

e

e

en

Ev z

yx

see

Si en vez de tener libertad para deformarse lateralmente el cubo de roca es

contenida en la dirección X, por la aplicación de un esfuerzo normal sx, las

deformaciones lineales serían:

Por el principio de superposición, las deformaciones normales resultantes en el

cubo, sujeto a esfuerzos sx, sy y sz uniformemente distribuidos en los lados,

serán:

zxy

xzz

yzxx

E

E

1

0E

1

ssn

e

nsse

snsse

yxzz

xzyy

zyxx

E

1

E

1

E

1

ssnse

ssnse

ssnse

para

……… Ecuación 1

Si el cubo estuviera sometido a tres esfuerzos compresivos principales s1 , s2 y

s3 las deformaciones principales e1 , e2 y e3 asumiendo elasticidad serían:

Considerando una cara del cubo o elemento rectangular, paralelo a los ejes XY,

sobre el cual actúan esfuerzos de corte txy y tyx , los esfuerzos normales sobre

los lados del otro elemento rectangular a 45º del elemento original son:

xy'y'x tss

Módulo de rigidez G

2133

1322

3211

E

1

E

1

E

1

ssnse

ssnse

ssnse

Figura 3: Diagrama de deformación

para la derivación de la relación entre

E y G.

Desde que sx’ y sy’ son iguales en magnitud pero de signo opuesto, el

alargamiento del segmento OB es igual al acortamiento de OA.

El ángulo ABC disminuirá en magnitud al aplicar el esfuerzo de corte txy . Esta

disminución puede ser calculada del triángulo OBA.

Y'

t

Y

X'

B'B

C'C

xy

A

X

O

y'

yxt

xyt

yxt

A'

45°

s

sx'

Después de la aplicación de los esfuerzos:

De la ecuación (1) y los valores de sx’ y sy’ dados, las deformaciones ex’ y ey’serán:

Para una pequeña expansión la será:

'x

'yXY

1

1

24Tan

'OB

'OA

e

e

xy

'x'x'y'y

xy'x

'y'x'x

E

1

E

1

E

1

E

1

E

1

E

1

tnsn

nsse

tnsn

nsse

24tan

2

xyXY

21

21

2tan4tan1

2tan6tan

24Tan

xy

xy

xy

xyxy

A partir de las cuatro ecuaciones anteriores se puede obtener la siguiente

relación:

Simplificando esta ultima ecuación tenemos:

donde

Las consideraciones para el esfuerzo de corte tyz y tzx resultan de manera similar

a la ecuación (2). Luego, las relaciones entre los componentes de esfuerzo de

corte y deformación de corte son:

G se denomina “MODULO RE RIGIDEZ” o MODULO DE CORTE. Las 6 relaciones

de las ecuaciones (1) y (4) enlazan los componentes del esfuerzo a los

componentes de la deformación y son conocidos como las ecuaciones de las

leyes de Hooke para un sólido isotrópico.

XY

XY

xy

xy

E11

E11

21

21

tn

tn

GE

12 XYXYXY

tt

n

n

12

EG

G,

G,

Gzx

zx

yz

yz

xy

xy

t

t

t

……… Ecuación 3

……… Ecuación 2

……… Ecuación 4

Una de las invariantes de los esfuerzos y de las deformaciones, respectivamente

son:

Siendo “e” la dilatación. A partir de las ecuaciones (1) y usando las ecuaciones

(5) y (6) tenemos:

Para un campo de esfuerzos hidrostático P :

Por consiguiente la ecuación (7) será:

Donde K es el módulo bulk o de expansión (o compresibilidad).

zyx

zyx

e eee

sss

n

E

21e

Pzyx sss

Módulo de Bulk o expansión (o compresibilidad) K

……… Ecuación 5

……… Ecuación 6

n

n

213

EK

K

PP

E

213e

……… Ecuación 7

……… Ecuación 8

……… Ecuación 9

Las 6 relaciones de las ecuaciones (1) y (4) pueden también ser escritos en

término de las deformaciones, luego:

zz

yy

xx

E1

Ee

211

E

E1

Ee

211

E

E1

Ee

211

E

nnn

ns

nnn

ns

nnn

ns

zxzxyzyzxyxy12

E,

12

E,

12

E

nt

nt

nt

La cantidad vE/(1+v)(1-2v) es conocida como la constante de LAMÉ (l). Usando l y

G las ecuaciones (10) quedarían así:

zxzxzz

yxyxyy

xyxyxx

G,G2e

G,G2e

G,G2e

tels

tels

tels

……… Ecuación 10

……… Ecuación 11

Las relaciones esfuerzo/deformación de las ecuaciones (1) y (4) son algunas

veces escritas como:

Se puede notar que para un material isotrópico hay solo 2 constantes elásticas

independientes. Si cualquiera de los dos son conocidas, los otros pueden ser

calculados.

La relación de Poisson (relación entre la deformación directa e inducida), puede

también ser expresada en términos de la constante de Lamé (l) y el módulo de

rigidez (G) de la siguiente forma:

zxzxzz

yzyzyy

xyxyxx

E

12,1

E

1

E

12,1

E

1

E

12,1

E

1

tn

nnse

tn

nnse

tn

nnse

n

l

l

e

e

GZ

X

2

El problema en la teoría de elasticidad es determinar dentro de un cuerpo

elástico, en cada dirección y en cada punto, las 6 componentes de esfuerzos (sx ,

sy , sz , txy , tyz , tzx ) y las 6 componentes de deformaciones (ex , ey , ez , xy , yz ,

zx), dado:

- Las constantes elásticas del cuerpo.

- Las medidas y forma del cuerpo.

- Las condiciones de borde.

Las condiciones de borde pueden ser ordenadas conforme se apliquen las

cargas, o los desplazamientos o ambas.

Ecuaciones básicas en teoría elástica

Las condiciones necesarias y suficientes que deben satisfacer los componentes

de esfuerzos, deformaciones y desplazamientos, a fin de obtener una solución de

un problema de elasticidad, son las siguientes:

- Relaciones esfuerzo / deformación.

- Relaciones deformación / desplazamiento.

- Condiciones de equilibrio.

- Condiciones de compatibilidad.

- Condiciones de borde en la superficie exterior del cuerpo.

Las cuatro primeras condiciones deben ser satisfechas en cada punto del cuerpo,

la última solo en la superficie exterior.

La elasticidad es una propiedad de un material ideal. Es una propiedad de

materiales ingenieriles, incluyendo rocas, en una mayor o menor extensión,

dependiendo que tan cercanamente se aproximan a la ideal. En la práctica esto

depende de 3 factores principales: La homogeneidad, la isotropía y la

continuidad los cuales pueden ser cada uno de ellos definidos en ciertos limites.

Es una medida de la propiedad direccional del material, por ejemplo en un

concenso estadístico un cuerpo granular será isotrópico si todos sus granos

tienen orientación aleatoria y un plano de igual dimensión intersectando el

cuerpo en cualquier dirección expone un numero igual de granos.

Luego, desde que las rocas tienen orientaciones de partículas y cristales

preferenciales, ellos son anisotrópicos estrictamente hablando y se espera que

reaccionen diferentemente a las fuerzas en distintas direcciones, dependiendo

del grado de anisotropía.

ELASTICIDAD EN ROCAS

Isotropía:

Es una medida de la continuidad física de un cuerpo. Luego en un material

homogéneo, los constituyentes son distribuidos de tal modo que un fragmento

cortado de cualquier parte del cuerpo tendrá constituyente y por lo tanto

propiedades representativas del todo. La homogeneidad es por consiguiente

dependiente de la escala y podría ser posible describir un macizo rocoso de

grano fino como un cuerpo homogéneo, mientras una roca de granos grandes y

con dimensiones limitadas debe ser considerado como no homogéneo.

Puede ser tomado para referirse a la cantidad de junturas, grietas y espacios

porosos en un cuerpo rocoso particular. El grado de continuidad afectará su

cohesión y por consiguiente la transmisión de esfuerzos a través del cuerpo. Los

extremos en la consideración de continuidad rocosa podría ser una masa de roca

fracturada, la cual es completamente discontínua y un cuerpo macizo de roca del

grano fino, masivo, con pocas junturas, sería un medio cercanamente continuo.

Homogeneidad:

Continuidad:

De las definiciones dadas, es posible llegar a una estimación somera de la

probable elasticidad de la roca, siempre recordando que con las posibles

excepciones de los casos extremos de la obsidiana o un metal nativo, todas las

rocas son en alguna extensión anisotrópicas, no homogéneas y discontinuas, por

consiguiente son menos que perfectamente elásticos. Sin embargo algunas

rocas se aproximan en grados variados a alguna propiedad elástica,

particularmente con cargas de deformación bajas.

Obviamente la mayoría de las rocas elásticas serán de grano fino, masivas y

compactas. Una propiedad característica de las rocas ígneas extensivas e

hipabisales y algunas rocas metamórficas de grano fino. Estas rocas (ver Figura

4a ) se aproximan de gran modo a las propiedades de un material elástico frágil,

teniendo una relación esfuerzo/deformación cercanamente linear hasta el punto

de ralla y pueden ser denominados “ roca cuasi-elasticas”

Rocas cuasi-elásticas

Las rocas ígneas de grano grueso y los sedimentos compactados de grano fino

son menos elásticos, teniendo baja porosidad y una razonable cantidad de

cohesión, a estas rocas se les denominan “rocas semi-elasticas”.

Estas tienen una relación esfuerzo/deformación (ver Figura 4b) en la cual la

pendiente de la curva (equivalente al módulo de elasticidad bajo la condición de

carga definida) disminuye con el incremento del esfuerzo.

Rocas semi-elásticas

Figura 4: Relaciones esfuerzo / Deformación típicas para rocas

ea. Cuasi-elástica

Ei = 6-11 x 10 Kg /cm25

eb. Semi-elástica

Ei = 4-7 x 10 Kg /cm25

ec. No-elástico

Ei < 5 x 10 Kg /cm25

Este tipo de curva, obtenido de ensayos sobre especimenes rocosos de

laboratorio, acentúan la homogeneidad y la anisotropía del material y puede de

hecho dar una figura de la “inelasticidad” de este tipo de rocas, los cuales a gran

escala – tal como un deposito o estrato masivo – puede ser gobernado por el

análisis elástico. Esto ilustra uno de los peligros de los ensayos de laboratorio

como un método para obtener datos para análisis a gran escala.

Un peligro similar existe en la obtención de datos para un tercer tipo de

esfuerzo/deformación por métodos de laboratorio. Esta categoría incluye las

rocas menos cohesivas, con espacios porosos grandes (mayoría de rocas

sedimentarias débiles) (ver Figura 4c). Sin embargo hay una evidencia inelástica

y cualquier análisis basado en la elasticidad podría ser peligroso. La curva

general exhibe, una zona inicial (0), la pendiente va incrementándose con el

aumento de carga lo cual indica la compactación y cierre de grietas antes que

ocurra una deformación cercanamente lineal. Tales rocas tienden a exhibir

características de variables de esfuerzo/deformación.

Rocas no elásticas

Las principales rasgos en las relaciones esfuerzo/deformación para una roca

competente puede ser generalizada en forma de una curva con una zona

aproximadamente lineal de máxima pendiente (Figura 5) dando lugar a una curva

de descenso de pendiente con el incremento del esfuerzo conforme se alcanza el

punto de falla.

Curva generalizada Esfuerzo/Deformación para rocas

La curva representa una roca en

compresión uniaxial (positivo). En

tracción la curva es similar en forma, pero

la falla ocurre a esfuerzos más bajos.

Si bien la curva puede ser formada como

representativa de una deformación tipo

elástica de una roca, ellos adolecen de

una dificultad en la obtención de un valor

satisfactorio del módulo de elasticidad.

Este puede ser determinada de 3 modos:

ePendiente E

Pendiente

Pendiente

i

sE

Et

Figura 5: Curva generalizada

esfuerzo/deformación para rocas

Como la secante (Es), módulo en un punto particular, dando un valor

promedio de E bajo un limite de esfuerzo especificado.

El módulo tangente (Et) en un punto particular de la curva, dando un valor

aparente de E a un esfuerzo especificado.

El módulo tangente inicial (Ei), la pendiente de la línea tangencial a la curva

pasando a través del origen, dando el valor de E bajo carga cero (0).

El valor de E obtenido en cualquier punto de la curva pueden ser cercanamente

relativos para el promedio de la roca, aunque sus valores actuales pueden

diverger hasta el 100%.

Por esta razón, el valor de E para una roca es nomalmente el “modulo tangente

inicial”, desde que esta es la más precisa obtenida bajo condiciones de ensayo.

El módulo tangente para una carga particular será de 100% a 50% del valor de Ei ,

dependiendo de las condiciones de carga; y, el modulo secante de falla será de

90% a 50% del modulo tangente inicial Ei dependiendo del tipo de roca. Luego

para una roca de grano fino, cercanamente elásticas: Es=Et=0.9i y para una roca de

grano grueso inelasticada en Et=0.9 Ei, para cargas elasticas ligeras, Et = 0.8 Ei

para cargas cercanas a la talla y Es=0.5 Ei para el punto de falla.

i -

Ii -

Iii-

Para definir cualquier material elástico se requiere dos constantes elasticas de

las 5 disponibles (E, v, k, G, l). En teoría los más convenientes son G y l, pero en

problemas de ingeniería, dónde se requiere una medida del a reacción directa de

una roca a las fuerzas, son más convenientes E y v. Sin embargo, en la mayoría

de las rocas cuasi-elasticas y semi–elasticas todas las constantes elásticas

pueden ser relacionados con un buen grado de precisión. En la siguiente tabla se

da una relación de valores de E y v para distintos tipos de rocas, tomados de

diferentes autores.

Constantes elásticas para rocas

Estos valores depende

grandemente de la

cohesión de la roca. En

la Figura 4 se dan los

rangos de valores de ei

para los 3 tipos de rocas

previamente definidos

según su elasticidad.

GranitoMicrogranitoSienitaDiorita

Dolerita

Gabro

BasaltoAreniscaPizarraLutita

Caliza

Dolomita

Carbón

2 - 63 - 86 - 87 - 108 - 117 - 116 - 100.5 - 81 - 3.52 - 51 - 84 - 8.41 - 2

0.250.250.250.250.250.250.25------------------------

Tipo de roca Ei (Kgcm ) x 10 v2 5

Constantes elásticas de rocas para carga cero)

Experimentalmente se ha demostrado (Judol y Huber) que existe una relación

directa entre E y G, y entre E y sc (la resistencia compresiva uniaxial) de una roca,

para todos los ensayos realizados. Cualquier relación entre E y G, E y K o l y G

podría sugerir que si la roca fuera, habría un valor constante de v para todas las

rocas, independiente de la magnitud de E. La figura 3.1 muestra ejemplos de las

diferentes relaciones.

Relaciones entre E y v

Figura 4: Relaciones entre E y v, , G y sc (según Judd y Nuber)

0

4

8

12

0.15 0.3

12

8

4

0 1.5 3.0

12

8

4

0 4 8

12

8

4

0 2 4

52

E x

10 K

g /

cm

E x

10 K

g /

cm2

5

E x

10 K

g /

cm2

5

E x

10 K

g /

cm2

5

nRel. Poisson Densidad (gr/cc) 5G x 10 Kg/cm 2 3c x 10 Kg/cms 2

Si bien es cierto que estas relaciones son ideales, puede ser una aproximación

en rocas con un alto E; valores de n para rocas de módulo bajo las cuales

representan rocas no elásticas muestran valores variables y bajos. Esto sugiere

que la reacción en este tipo de rocas no debería estar basada en la teoría de la

elasticidad y también sugiere que las mediciones de n en el laboratorio es menos

que preciso.

La relación entre G y E de forma aproximada es E = 2.5G y sugiere un valor

constante de v = 0.25 que debe ser necesariamente considerado, desde que esta

puede estar bien, algunas discrepancias en el gráfico E/v pueden deberse a

mediciones erráticas de v, las cuales son raramente satisfactorios en la práctica.

Ciertamente en los trabajos que involucran análisis elástico de rocas, hay

suficiente evidencia disponible para sugerir que un valor de v = 0.25 debe ser

asumido a menos que haya evidencia contraria. Si ésta suposición no fuera

asumida luego hay base para considerar a la roca como “anaelástica” en cuyo

caso v carecerá de valor.

26 cmKg10x1.29.0E

La relación E y sc toma la forma aproximada E = 350sc, y G = 140sc lo que

confirma que la resitencia de la roca está relacionada a la “esbeltez”

(representado por E) y rigidez (representado por G) de la estructura interna de la

roca.

Por otro lado la densidad aparente de un material puede ser usado como una

base para obtener una aproximación de E con la siguiente relación:

La precisión de E estará en el rango de para el diseño, por lo cual se

recomienda determinarlo a partir de un amplio rango de muestras y medidas.

%20

Un requisito en cualquier problema de diseño en materiales reales es la

suposición de ciertas simplificaciones de las propiedades del material para

asistir al análisis matemático. En problemas de diseño de estructuras rocosas

esto tradicionalmente implica asumir las propiedades elásticas de las rocas,

calculados en base a la teoría elástica. Tales diseños son algunas veces exitosos,

otros particularmente en casos de taludes y cimentaciones han introducido

considerable grado de error, por lo que es esencial definir los limites de

aplicabilidad de la teoría elástica a la roca claramente.

Se ha mostrado por definición de la elasticidad, que las rocas no son

verdaderamente elásticas, pero que algunas tienen propiedades deformacionales

aproximadas a la forma cuasi-elásticas, particularmente algunas rocas cohesivas

de grano fino y rocas masivas a bajos niveles de esfuerzos. Contra eso se debe

establecer el conocimiento de que las rocas por naturaleza son normalmente

discontinuas conteniendo varios tipos de discontinuidades geológicas

estructurales (diaclasas, fallas estratos, etc.) que además pueden contener agua

en cantidad variable.

Teoría elástica aplicado al diseño de estructuras rocosas

Este aspecto puede ser exacerbado en aplicaciones cercanas a la superficie,

donde las discontinuidades y el agua pueden jugar un papel considerable de

error en referencia a las condiciones óptimas de un análisis elástico.

Por otro lado en profundidad, habrá una tendencia al cierre de las

discontinuidades debido a los esfuerzos más altos y el agua estará ausente,

limitando la diferencia entre las propiedades de la muestra y las propiedades

masivas. Si bien el flujo depende del tiempo, tenderá a incrementarse con el

incremento de la carga y la temperatura.

Una actual decisión sobre los limites de la elasticidad es consiguientemente

extremadamente dificultoso y debe ser siempre aproximado con cierta

precaución, teniendo en mente factores externos de la estructura interna normal

de la roca.

Las estructuras rocosas cercanas a la superficie no deberá ser tratado como

un medio elástico continuo, no obstante que las propiedades del material

rocoso (muestra) pueden ser cercanamente elásticos, a menos que está

presente un mínimo de discontinuidades. El criterio de diseño debe estar

normalmente basado sobre la fricción en las discontinuidades estructurales.

Las estructuras rocosas severamente fracturados no deberán ser tratados

como un medio elástico continuo.

Las rocas con Ei < 5x105 Kg/cm2 no deberán ser considerados como un medio

de elástico excepto con extrema precaución.

La roca sometida a suficiente carga que induzca significante flujo no deberá

tratarse elásticamente.

-

-

-

-

Generalmente las siguientes reglas dan una guía: