13. Ecuaciones diferenciales de orden superior

( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

2Ecuaciones lineales: teora bsica

Un problema de valor inicial de n-simo orden consiste en resolver la EDO lineal:

sujeta a las n condiciones iniciales:

Resolverlo consiste en encontrar una funcin y(x) en definida en un intervalo I que contiene a x0 , donde se cumplen la ecuacin y las condiciones iniciales.

)()()()()( 0111

1 xgyxadxdyxa

dxdxa

dxydxa n

n

nn

n

n =++++

"

10)1(

1000 )(,,)(,)( === nn yxyyxyyxy "

3Existencia de una solucin nica (Condicin suficiente)

Sea an (x), an-1 (x), , a0 (x), y g(x) continuas en I, con an (x)

0 para todo x de I. Si x = x0 es

cualquier punto de este intervalo, entonces existe una solucin y(x) del problema anterior en I y es nica.

Ejemplo:

posee la solucin trivial y(x) = 0. Como es una ED de tercer orden lineal con coeficientes constantes, y(x) = 0 es la nica solucin en cualquier intervalo que contenga a x = 1.

0)1(,0)1(,0)1(,0753 ====+++ yyyyyyy

4 Ejemplo: Comprueba que y = 3e2x + e2x 3x es la nica solucin de

La ED es lineal, los coeficientes y g(x) son todos funciones continuas, y a2 (x) = 1 es distinto de 0 en cualquier intervalo que contenga x = 0. La solucin propuesta cumple la EDO y es nica en I.

1)0(',4)0(,124" === yyxyy

Comprueba que y = cx2 + x + 3 es solucin del PVI:

en toda la recta real. Este PVI tiene infinitas soluciones. Observa que el

coeficiente de la derivada a2 (x) = x2 ms alta se hace cero en x = 0 y ese punto necesariamente tiene que estar incluido en I porque lo imponen las condiciones iniciales.

1)0(,3)0(,6222 ===+ yyyyyx

5Problemas de valores en la frontera

Resolver:

sujeta a :

se llama problema de valor en la frontera (PVF) y a las restricciones se conocen como condiciones de contorno o condiciones en la frontera.

Nota: Las condiciones de contorno

pueden ser tambin sobre las derivadas.

)()()()( 0122

2 xgyxadxdyxa

dxydxa =++

10 )(,)( ybyyay ==

6Vimos que x = c1 cos 4t + c2 sin 4t era solucin de

(a) Supongamos el PVF

Si x(0) = 0, entonces c1 = 0, y x(t) = c2 sen 4t. Si x(/2) = 0, obtenemos 0 = 0 independientemente de c2 . De modo que tenemos infinitas soluciones.

(b) Si

tenemos que c1 = 0, c2 = 0:x(t) = 0, solucin nica.

016" =+ xx0

2,0)0(,016 =

==+ xxxx

08

,0)0(,016 =

==+ xxxx

(c) Si tenemos que c1 = 0, y 1 = 0 (contradiccin). No hay solucin.

12

,0)0(,016 =

==+ xxxx

7La siguiente EDO lineal de orden n:

se dice que es no homognea.

si g(x) = 0 la ecuacin es homognea.

Veremos que para resolver una ecuacin no homognea tendremos que resolver tambin la ecuacin homognea asociada.

0)()()()( 0111

1 =++++

yxadxdyxa

dxydxa

dxydxa n

n

nn

n

n "

)()()()()( 0111

1 xgyxadxdyxa

dxydxa

dxydxa n

n

nn

n

n =++++

"

8 Sea Dy = dy/dx. Al smbolo D se le llama operador diferencial. Definimos a un operador diferencial de n-simo orden u operador polinominal como

El operador diferencial L es un operador lineal:

Podemos escribir las EDOs anteriores simplemente como

L(y) = 0 y L(y) = g(x)

Operadores diferenciales

)()()()( 011

1 xaDxaDxaDxaLn

nn

n ++++= "

))(())(()}()({ xgLxfLxgxfL +=+

9Principio de superposicin (ecuaciones homogneas)

Sean y1 , y2 , , yk soluciones de una ecuacin diferencial homognea de n-simo orden en un intervalo I. Entonces la combinacin lineal

y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + + ck yk (x)donde ci , i = 1, 2, , k, son constantes arbitrarias, tambin es una solucin en el intervalo.

Nota: (A) y(x) = cy1 (x) tambin es solucin si y1 (x) es una solucin.(B) Una ED lineal homognea siempre posee la solucin trivial y(x) = 0.

Ejemplo: Las funciones y1 = x2, y2 = x2 ln x son ambas soluciones en (0, ) de Luego y = x2 + x2 ln x tambin es una solucin en (0, ).

0423 =+ yyxyx

10

Dependencia e independencia linealUn conjunto de funciones f1 (x), f2 (x), , fn (x) es linealmente dependiente en un intervalo I, si existen ciertas constantes c1 , c2 , , cn no todas nulas, tales que:

c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + + cn fn (x) = 0

Si el conjunto no es linealmente dependiente, entonces es linealmente independiente.En otras palabras, si el conjunto es linealmenteindependiente, cuando:

c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + + cn fn (x) = 0entonces necesariamente c1 = c2 = = cn = 0.

11

Son estas funciones linealmente independientes?

c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0

12

Ejemplo: Las funciones f1 = cos2 x, f2 = sin2 x, f3 = sec2 x, f4 = tan2 x son linealmente dependientes en el intervalo (-/2, /2) porque

c1 cos2 x +c2 sin2 x +c3 sec2 x +c4 tan2 x = 0

con c1 = c2 = 1, c3 = -1, c4 = 1.

Ejemplo: Las funciones f1 = x + 5, f2 = x + 5x, f3 = x 1, f4 = x2 son linealmente dependientes en el intervalo (0, ), porquef2 = 1 f1 + 5 f3 + 0 f4

13

)1()1()1(

21

21

1

21

'''),...,(

=n

nnn

n

n

n

fff

ffffff

ffW

"###

""

WronskianoSupongamos que cada una de las funciones f1 (x), f2 (x), , fn (x) posee al menos n 1 derivadas. El determinante

se llama el Wronskiano de las funciones.

14

Sean y1 (x), y2 (x), , yn (x) soluciones de unaED homognea de n-simo orden en un intervalo I. Este conjunto de soluciones es linealmente independiente si y slo si W(y1 , y2 , , yn )

0 para

todo x en el intervalo.

TEOREMA Criterio para solucioneslinealmente independientes

Cualquier conjunto y1 (x), y2 (x), , yn (x) de n soluciones linealmente independientes de una ED homognea de n-simo orden se llama conjunto fundamental de soluciones.

DEFINICINConjunto fundamental de soluciones

15

CH3_15x

Existe un conjunto fundamental de soluciones para una ED lineal homognea de orden n en un intervalo I.

TEOREMAExistencia de un conjunto fundamental

Sea y1 (x), y2 (x), , yn (x) un conjunto fundamental de soluciones de nuestra ED lineal homognea en un intervalo I. Entonces la solucin general es

y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + + cn yn (x) donde ci son constantes arbitrarias.

TEOREMA

Solucin general (ecuaciones homogneas)

16

Las funciones y1 = e3x, y2 = e-3x son soluciones de

y 9y = 0 en (-, ) Observa que

para todo x. Luego son independientes. As que y = c1 y1 + c2 y2 es la solucin general.

0633

),( 3333

33 ==

xx

xxxx

eeeeeeW

Por ejemplo, la funcin y = 4 sinh(3x) - 5e3x

es una solucin. Observemos que

= 4 sinh 3x 5e-3xx

xxxxx eeeeeey 3

33333 5

24522

===

17

Las funciones y1 = ex, y2 = e2x , y3 = e3x son soluciones de y 6y + 11y 6y = 0 en (-, ). Como

para todo valor real de x.

y = c1 ex + c2 e2x + c3 e3x es la solucin general en (-, ).

029432),,( 6

32

32

32

32 == xxxx

xxx

xxx

xxx eeeeeeeeee

eeeW

18

y = c1 y1 + c2 y2 + + ck yk + yp = yc + yp= funcin complementaria + una solucin particular

Solucin General (Ecuaciones no homogneas)

Sea yp cualquier solucin particular de una EDO no homognea en un intervalo I. Y sea y1 (x), y2 (x), , yk (x) un conjunto fundamental de soluciones de su EDO homognea asociada, entonces la solucin general de la ecuacin en el intervalo es

y= c1 y1 + c2 y2 + + ck yk + ypdonde las ci , i= 1,2,.,n son constantes arbitrarias

TEOREMA

19

La funcin yp = -(11/12) x es una solucin particular de

La solucin general es

xyyyy 36116 =+

xecececyyy xxxpc 21

12113

32

21 ++=+=

20

Dadas k EDOs

con i = 1, 2, , k. Si ypi denota una solucin particular de la ED i-sima correspondiente a gi (x), tenemos que

es una solucin particular de

TEOREMA

)()()()()( 01)1(

1)( xgyxayxayxayxa i

nn

nn =++++ "

)()()(21

xyxyxyykpppp +++= "

)()()()()()()(

21

01)1(

1)(

xgxgxgyxayxayxayxa

k

nn

nn

+++=++++

""

Principio de superposicin(ecuaciones no homogneas)

21

Observemos que yp1 = -4x2 es una solucin particular de

yp2 = e2x es una solucin particular de

yp3 = xex es una solucin particular de

Entonces es una solucin de

824164'3" 2 +=+ xxyyy

xeyyy 224'3" =+

xx exeyyy =+ 24'3"

321 ppp yyyy ++=

N )()(

2

)(

2

321

228241643xg

xx

xg

x

xg

exeexxyyy +++=+

22

Reduccin de orden

Sabemos que la solucin general de

es y = c1 y1 + c2 y1 . Supongamos que y1 (x) denota una solucin conocida (no trivial). Puesto que la solucin y2 es linealmente independiente, supongamos que y2 (x) = u(x) y1 (x). Nuestro objetivo ser encontrar una tal u(x). El mtodo se conoce como reduccin de orden.

0)()()( 012 =++ yxayxayxa

23

Dada y1 = ex solucin de y y = 0, hallar la segunda solucin y2 por el mtodo de reduccin de orden.Solucin Si y(x) = u(x)ex, entonces

que sustituyendo en la EDO:Como ex

0, nuestra EDO se convierte en:

Ahora "reduciremos" el orden de la ED gracias al cambio:w = uque integrando por separacinde variables y deshaciendo el cambio, nos proporciona:

ueueueyueuey xxxxx ++=+= 2,0)'2"(" =+= uueyy x

uecw x == 212

212/1 cecu

x +=

0'2" =+ uu

02' =+ ww

24

Hemos hallado la segunda solucin y2 por el mtodo de reduccin de orden:

Recordemos que tenamos y1 = ex como primera solucin de y y = 0. Si tomamos c2 = 0, c1 = -2 para nuestra segunda solucin, tenemos y2 = e-x. Observa que W(ex, e-x)

0 para todo x, de

modo que las soluciones son independientes.

xxx ececexuy 212)( +==

25

Caso general Escribimos la EDO en la forma estndar

Sea y1 (x) una solucin conocida de la EDO e y1 (x) 0 para todo x en el intervalo. Si definimos y(x) = u(x)y1 (x), tenemos

0)()( =++ yxQyxPy

uyuyyuyuyyuy ++=+= 11111 2,

0)2(][ 111cero

111 =+++++=++

uPyyuyQyyPyuQyyPy

26

empleando el cambio w = u.

0)2( 111 =++ uPyyuy

0)2( 111 =++ wPyywy

Pdxdxyy

wdw =+

1

12

+= cPdxwy ||ln 21 = Pdxecwy 121Luego

Tomando c1 = 1, c2 = 0, obtenemos

221

1 cdxyecu

Pdx

+=

= dxxyexyydxxP

)()( 2

1

)(

12

0)2( 111 =++ wPyydxdwy

Dividiendo entre y1 wy multiplicando por dx:

cPdxdxyy

wdw +=+

1

12

27

La funcin y1 = x2 es una solucin de

Hallar la solucin general en (0, ).Solucin: La forma estndar es

Dando los pasos anteriores, demuestra que:

La solucin general es:

04'3"2 =+ yxyyx

043 2 =+ xyxy

xxdxx

exyxdx

ln24/3

22 ==

xxcxcy ln222

1 +=

28

La ecuacin diferencial ay + by = 0 se resuelve ya sea mediante separacin de variables o mediante la ayuda de un factor integrante.

Observa que si despejamos y de la ecuacin diferencial ay + by = 0 se obtiene y = ky, donde k es una constante.

Esto nos revela la "naturaleza" de la solucin: la nica funcin elemental no trivial cuya derivada es una mltiplo de si misma es la funcin exponencial, y(x) = emx. Lo que resta ser determinar el valor de m...

29

Ecuaciones lineales homogneas con coeficientes constantes

donde ai son constantes, an 0.

Ecuacin o polinomio auxiliar : Para n = 2,

Si probamos y(x) = emx,

obtenemos la ecuacin auxiliar.

0012)1(

1)( =+++++ yayayayaya nnnn "

0=++ cyybya

0)( 2 =++ cbmamemx 02 =++ cbmam

30

Las dos races del polinomio auxiliar son:

(1) b2 4ac > 0: reales y distintas, m1 m2 . (2) b2 4ac = 0: reales e iguales, m1 = m2 = -b/(2a). (3) b2 4ac < 0: complejas conjugadas,

aacbbm 2/)4( 21 +=aacbbm 2/)4( 22 =

02 =++ cbmam

imim =+= 21 ,

31

Caso 1: Races reales y distintas La solucin general es

Caso 2: Races reales repetidas

La solucin general es

xmey 11 =

=== xmxmxm xmxm xedxedxeeey 1111

12

2

2

xmxm xececy 11 21 +=

xmececy xm 21 21 += Por qu?

Para obtener la segunda solucin utilizamos el mtodo de reduccin de orden, recordando quem1 = m2 = -b/(2a).

32

Caso 3: Races complejas conjugadas Escribimos , una solucin general es Usando la frmula de Euler:

imim =+= 21 ,xixi eCeCy )(2

)(1

+ +=

sincos iei +=xixe xi sincos += xixe xi sincos =xee xixi cos2=+ xiee xixi sin2=

33

Como es solucin general, tomando C1 = C2 = 1 y C1 = 1, C2 = -1 , tenemos dos soluciones:

As, ex cos x y ex sen x son un conjunto fundamental de soluciones y la solucin general es

xixi eCeCy )(2)(

1 + +=

xeeeey xxixix cos2)(1 =+= xieeeey xxixix sin2)(2 ==

( ))sin()cos()sin()cos(

21

21

xcxceyxecxecy

x

xx

+=+=

34

Resolver las EDs siguientes:(a)

(b)

(c)

03'5"2 = yyy3,1/2,)3)(12(352 21

2 ==+= mmmmmmxx ececy 32

2/1 +=

025'10" =+ yyy5,)5(2510 21

22 ===+ mmmmmxx xececy 52

51 +=

07'4" =++ yyyimimmm 32,32,074 21

2 =+==++)33cos(,3,2 21

2 xsencxcey x +===

35

ResolverSolucin:

2)0(',1)0(,017'4"4 ===++ yyyyy

,01744 2 =++ mm im 21/21 =)2sin2cos( 21

2/ xcxcey x += ,1)0( =y ,11 =c ,2)0(' e =y 3/42 =c

36

Para la primera ecuacin :

Para la segunda ecuacin :

Como

Luego

,02 =+ yky 0 ,02 >= kyky

kxckxcy sincos 21 +=kxkx ececy += 21

)sinh()cosh( 21 kxckxcy +=

)cosh()(1/21 kxeeykxkx =+=

)sinh()(1/22 kxeeykxkx ==

Resolver las ecuaciones:

37

Ecuaciones de orden superior

Dada la EDO:

La ecuacin asociada

se llama su ecuacin auxiliar .

0012)1(

1)( =+++++ yayayayaya nnnn "

0012

21

1 =+++++ amamamama nnnn "

38

ResolverSolucin:

043 =+ yyy

2223 )2)(1()44)(1(43 +=++=+ mmmmmmm232 == mm

xxx xecececy 232

21 ++=

ResolverSolucin:

02 22

4

4

=++ ydxyd

dxyd

0)1(12 2224 =+=++ mmmimmimm ==== 4231 ,

ixixixix xeCxeCeCeCy +++= 4321xxcxxcxcxc sincossincos 4321 +++=

39

Si m1 = + i es una raz compleja de multiplicidad k, entonces m2 = i es tambin una raz compleja de multiplicidad k. Las 2k soluciones linealmente independientes son :

Races complejas repetidas

xexxexxxexe xkxxx cos,,cos,cos,cos 12 "xsenexxsenexxsenxexsene xkxxx 12 ,,,, "

40

Coeficientes indeterminadosSi queremos resolver

Tenemos que hallar y = yc + yp . Veamos cmo hacerlo, en este caso general, mediante el mtodo conocido como de coeficientes indeterminados.

)(01)1(

1)( xgyayayaya nn

nn =++++ "

41

Simplemente haremos una conjetura sobre la forma de la posible solucin particular a partir de la g(x) que deber ser un polinomio, seno o coseno, exponencial o combinacin lineal de todas ellas...

Gracias a que las derivadas de las combinaciones lineales de estas funciones vuelven a ser ellas mismas, parece razonable que busquemos soluciones particulares de la misma forma...

Vamos a ilustrar la idea con algunos ejemplos

Coeficientes indeterminados

42

Resolver Solucin: Ya sabemos cmo obtener una solucin yc de la ecuacin homognea asociada. Ahora, queremos hallar yp. Como el lado derecho de la ED es un polinomio, supondremos entonces, tras sustituir:

2A + 8Ax + 4B 2Ax2 2Bx 2C = 2x2 3x + 6

6322'4" 2 +=+ xxyyy

,2 CBxAxyp ++=,2' BAxyp += Ayp 2"=

6242,328,22 =+== CBABAA9,5/2,1 === CBA 9

252 = xxyp

43

Hallar una solucin particular de

Solucin: Probemos yp = A cos(3x) + B sen(3x) Tras sustituir,

Luego

)3(2'" xsenyyy =+

)3sin(2)3sin()83()3cos()38( xxBAxBA =+

16/73,6/73 == BA)3(

7316)3cos(

736 xsenxyp =

44

Resolver Solucin:

Probemos Tras sustituir,

Luego

xxexyyy 26543'2" +=xx

c ececy3

21 +=

xxp EeCxeBAxy

22 +++=

x

xx

xex

eECCxeBAAx2

22

654

)32(3323

+=+

4/3,2,23/9,4/3 ==== ECBAxx

p exexy22

342

923

34 +=

xxx exxececy 2321 342

923

34

+++=

Solucin homognea

Pensando en el principio de superposicin:

45

Determinar una yp de

Solucin: Probemos: yp = Aex

Tras sustituir: 0 = 8ex (conjetura incorrecta)

Probemos como alternativa: yp = Axex.

Tras sustituir: -3Aex = 8ex

Entonces: A = -8/3,

yp = (8/3)xe2x

xeyyy 84'5" =+

El problema est en que la funcin complementaria es:Y la suposicin ya est presente en yc .

xxc ececy

421 +=

46

Si ninguna funcin en la supuesta yp es parte de yc En la siguiente tabla se muestran soluciones particulares de prueba.

)(xg Forma de py 1. 1(una constante) A

2. 75 +x BAx + 3. 23 2 x CBxAx ++2 4. 13 + xx ECxBxAx +++ 23 5. xsen 4 xsenBxA 44cos + 6. x4cos xsenBxA 44cos + 7. xe5 xAe5 8. xex 5)29( xeBAx 5)( + 9. xex 52 xeCBxAx 52 )( ++ 10. xsene

x 43 xsenBexAexx 44cos 33 +

11. xsenx 45 2 xsenGFxExxCBxAx 4)(4cos)(22 +++++

12. xxe x 4cos3 xseneECxxeBAx xx 4)(4cos)( 33 +++

47

Hallar la forma de yp de (a) Solucin: Tenemos que y probamos con

No hay duplicacin entre los trminos yp e yc

(b) y + 4y = x cos xSolucin: Probamos con Tampoco hay duplicidad entre los trminos yp y yc .

xx eexyyy =+ 7525'8" 3

xexxg = )75()( 3x

p eECxBxAxy+++= )( 23

xECxxBAxxp sin)(cos)( +++=

48

Hallar la forma de yp de

Solucin: Para 3x2:

Para -5 sen 2x:

Para 7xe6x:

Ningn trmino de duplica un trmino de yc

xxexsenxyyy 62 7253149 +=+

CBxAxyp ++= 21xFsenxEyp 22cos2 +=

xp eHGxy

6)(3

+=

321 pppp yyyy ++=

49

Si alguna yp contiene trminos que duplican los trminos de yc , entonces esa yp se debe multiplicar por xn, donde n es el entero positivo ms pequeo que elimina esa duplicacin.

As que la regla formal en este caso es que la solucin particular es una combinacin lineal de las funciones linealmente independientes que se generan mediante diferenciaciones repetidas de g(x).

Y cul es la regla si la solucin particular as propuesta es tambin una solucin de la ecuacin homognea asociada?

50

Resolver Solucin:

Primero probamos: yp = Ax + B + C cos x + E sen x

Pero hay una duplicacin. Entonces probamos con

yp = Ax + B + Cx cos x + Ex sen x

Tras sustituir y simplificar, A = 4, B = 0, C = -5, E = 0

Luego y = c1 cos x + c2 sen x + 4x 5x cos x

Como y() = 0, y() = 2, tenemos y = 9

cos x + 7 sen x + 4x 5x cos x

2)(',0)(,104" ==+=+ yysenxxyysenxcxcyc 21 cos +=

51

Resolver Solucin:

yc = c1 e3x + c2 xe3x

Tras sustituir y simplificar, A = 2/3, B = 8/9, C = 2/3, E = -6

Luego

xexyyy 32 12269'6" +=+

N21

32

pp y

x

yp EeCBxAxy +++=

xxx exxxxececy 322323

1 632

98

32 ++++=

Este trmino est duplicado, aparece ya en yc.

21

322

pp y

x

yp eExCBxAxy +++=Debemos probar con:

52

Resolver Solucin:

m3 + m2 = 0, m = 0, 0, -1 yc = c1 + c2 x + c3 e-x

Probamos como solucin particular: yp = Aex cos x + Bex sen x

Tras sustituir y simplificar, A = -1/10, B = 1/5

Luego

xeyy x cos"=+

senxexeecxccyyy xxxpc 51cos

101

321 +++=+=

53

Hallar la forma de yp de

Solucin: yc = c1 + c2 x + c3 x2 + c4 e-x

Prueba:

Como aparece repetido en la solucin homognea, necesitaremos multiplicar A por x3 y (Bx2e-x + Cxe-x + Ee-x) por x. Prueba ahora:

xexyy =+ 2)4( 1

N 21

2

pp y

xxx

yp EeCxeeBxAy

+++=

N 21

233

pp y

xxx

yp ExeeCxeBxAxy

+++=

54

Mtodo del anulador

Sigue los apuntes de Jose Olarrea.

55

Mtodo de variacin de parmetros

)()()()( 012 xgyxayxayxa =++)()()( xfyxQyxPy =++

donde P(x), Q(x) y f(x) son continuas en I.Conocidas y1 (x) e y2 (x) soluciones l. i. de la ec. homognea asociada, probaremoscomo solucin particular:

)()()()( 2211 xyxuxyxuyp +=

56

Sustituimos yp , yp en la EDO:

)()()()( 2211 xyxuxyxuyp +=

ppp yxQyxPy )()( ++][][ 22221111 QyyPyuQyyPyu +++++=

2211221122221111 22][ uyuyuyuyPyuuyyuuy ++++++++

221122112211 ][][][ uyuyuyuyPuydxduy

dxd +++++=

)(][][ 221122112211 xfuyuyuyuyPuyuydxd =+++++=

0 0

57

Necesitaremos dos ecuaciones para encontrar valores de u1 y u1 . Exijamos que: y1 u1 + y2 u2 = 0, para obtener una ecuacin adicional y de paso que la EDO se reduzca a: y1 u1 + y2 u2 = f(x).De modo que nos queda el sistema de ecuaciones:

y1 u1 + y2 u2 = 0

y1 u1 + y2 u2 = f(x)

)(][][ 221122112211 xfuyuyuyuyPuyuydxd =+++++

58

Expresado en trminos de determinantes

y

donde

De donde encontraremos, por integracin, las soluciones.

Wxfy

WWu )(211 == W

xfyWWu )(122 ==

)(0

,)(

0,

1

12

2

21

21

21

xfyy

Wyxfy

Wyyyy

W ===

59

Resolver xexyyy 2)1(4'4" +=+

022

),( 422222

22 =+=x

xxx

xxxx e

exeexeexeeW

xxx

xx

xx

x

exexe

eWxexxeexxeW 422

2

24

22

2

1 )1()1(20,)1(

2)1(0 +=+=+=+=

1)1(,)1( 44

22

4

4

1 +=+==+= xeexuxx

exexu x

x

x

xW

xfyWWu )(211 == W

xfyWWu )(122 ==

Solucin: m2 4m + 4 = 0, m = 2 (cero doble) y1 = e2x, y2 = xe2x,

Como f(x) = (x + 1)e2x, entonces:

60

Luegou1 = (-1/3)x3 x2, u2 = x2 + x

xxxxp exexxexxexxx

222322223

21

61

21

21

31 +=

++

=

xxxxpc exexxececyyy

222322

21 2

161 +++=+=

1, 22

1 +== xuxxu

Recordemos que: )()()()( 2211 xyxuxyxuyp +=y1 = e2x, y2 = xe2x

61

ResolverSolucin:

y + 9y = (1/4) csc 3x m2 + 9 = 0, m = 3i, -3i y1 = cos 3x, y2 = sin 3x, f(x) = (1/4) csc(3x)

Como

xyy 3csc36"4 =+

33cos33sin3

3sin3cos)3sin,3(cos == xx

xxxxW

xx

xxx

Wxxx

W3sin3cos

41

3csc4/13sin303cos

,41

3cos33csc4/13sin0

21 ====

62

1211

1 == WWu

xsenx

WWu

33cos

1212

2 ==

,12/11 xu = |3|ln36/12 xsenu =

|3|ln)3(3613cos

121 xsenxsenxxyp +=

|3|ln)3(3613cos

12133cos 21 xsenxsenxxxsencxcyyy pc ++=+=

Entonces

63

ResolverSolucin:

m2 1 = 0, m = 1, -1 y1 = ex, y2 = e-x, f(x) = 1/x, y W(ex, e-x) = -2

Luego

xyy 1" =

==x

x

txdt

teuxeu

011 21,

2)/1(

==x

x

txdt

teuxeu

022 21,

2)/1(

= xx xxt

xt

xp dtt

eedtteey

0 021

21

+=+= xx xxt

xt

xxpc dtt

eedtteeecyyy

0 021

21

1

64

Para las EDs de n-simo orden de la forma

tomamos yp = u1 y1 + u2 y2 + + un yn , donde yi , i = 1, 2, , n, son la familia de soluciones independientes que forman yc . As:

Que nos lleva a las ecuaciones solucin uk = Wk /W con k = 1, 2, , n. Donde W es el wronskiano de la y's y Wk es el determinante que se obtiene de sustituir en W la k-sima columna por (0, 0,..., f(x)).

Ecuaciones de orden superior

)()()()( 01)1(

1)( xfyxPyxPyxPy nn

n =++++ "

02211 =+++ nnuyuyuy "

##"

02211 =+++ nnuyuyuy

)()1(2)1(

21)1(

1 xfuyuyuy nn

nnn =+++ "

Suposicionespara simplificarla EDO:

65

Ecuacin de Cauchy-EulerForma de ecuacin de Cauchy-Euler

Mtodo de solucin

Probamos y(x) = xm, donde debemos determinar m, pararesolver la ecuacin homognea asociada: Observa que:

)(0111

11 xgyadx

dyxadx

ydxadxydxa n

nn

nn

nn

n =++++

"

k

kk

k dxydxa kmkk xkmmmmxa

+= )1()2)(1( "m

k xkmmmma )1()2)(1( += "( ) 0...)1()2)(1( 01 =++++ mn xamanmmmma "

66

Ecuacin auxiliar

Para n = 2, y = xm, tenemos (am(m 1) + bm + c)xm = 0, o am2 + (b a)m + c = 0

Caso 1: Races reales y distintas

2121

mm xcxcy +=ResolverSolucin: Tenemos a = 1, b = -2 , c = -4

m2 3m 4 = 0, m = -1, 4, y = c1 x-1 + c2 x4

04222

2 = ydxdyx

dxydx

)(22

2 xgcydxdybx

dxydax =++

Observa que tenemos que ax2es igual a cero en x = 0. Para asegurar existencia y unicidad, tomaremosI = (0, ).

67

Dedujimos Luego

Caso 2: Races reales repetidas

xxcxcy mm ln11 21 +=xxy m ln12 =

ResolverSolucin: Tenemos a = 4, b = 8, c = 1

4m2 + 4m + 1 = 0, m = - , -

084 22

2 =++ ydxdyx

dxydx

xxcxcy ln2/122/1

1 +=

68

Orden superior: multiplicidad k

Caso 3: races complejas conjugadas m1 = + i, m2 = i, y = C1 x( + i) + C2 x( - i)

Como xi = (eln x)i = ei ln x = cos( ln x) + i sen( ln x) x-i = cos ( ln x) i sen ( ln x)

Luego y = c1 x cos( ln x) + c2 x sen( ln x) = x [c1 cos( ln x) + c2 sen( ln x)]

Caso 3: Races complejas conjugadas

12 )(ln,,)(ln,ln, 1111 kmmmm xxxxxxx "

69

ResolverSolucin: Tenemos a = 4, b = 0 , c = 17

4m2

4m + 17 = 0, m = + 2i

Aplicando y(1) = -1, y(1) = 0, tenemos que c1 = -1, c2 = 0,

21)1(',1)1(,0174 2 ===+ yyyyx

)]ln2sin()ln2cos([ 212/1 xcxcxy +=

)ln2cos(1/2 xxy =

70

ResolverSolucin: Sea y = xm,

Luego tenemos xm(m + 2)(m2 + 4) = 0 m = -2, m = 2i, m = -2i

y = c1 x-2 + c2 cos(2 ln x) + c3 sin(2 ln x)

0875 22

23

33 =+++ y

dxdyx

dxydx

dxydx

33

3

22

21

)2)(1(

,)1(,

=

==m

mm

xmmmdxyd

xmmdxydmx

dxdy

71

ResolverSolucin: Tenemos (m 1)(m 3) = 0, m = 1, 3

yc = c1 x + c2 x3Usando variacin de parmetros,

yp = u1 y1 + u2 y2 , donde y1 = x, y2 = x3

Escribimos la ED como

Luego P(x) = -3/x, Q(x) = 3/x2, f(x) = 2x2ex

xexyxyyx 42 23'3" =+

xexyx

yx

y 22 233 =+

72

As

Hallamos

xx

xx exex

xWex

xexxW

xxxxW

322

522

3

1

32

3

221

0,2

320

,231

====

==

,2

2 23

5

1x

xex

xexu == x

xe

xexu == 3

5

2 22

,2221xxx exeexu += xeu =2

xx

xxxxp

xeex

xexexeexyuyuy

22

)22(2

322211

=++=+=

xxpc xeexxcxcyyy 22

2321 ++=+=

73

Una ecuacin de Cauchy-Euler siempre se puede escribir como un lineal de coeficientes constantes haciendo el cambio de variable: x = et. Por ejemplo: Resuelve as:

xyyxyx ln2 =+

xtex t

ln==

=

+

=

+=

+=

=

==

dtdy

dtyd

xdtdy

xdtd

xdtdy

x

dxdy

dtd

xdtdy

xdtdy

dxd

xdtdy

xdtdy

xdxd

dxyd

dtdy

xdxdt

dtdy

dxdy

2

2

22

222

2

1111

11111

1

74

xyyxyx ln2 =+ty

dtdy

dtyd =+ 22

2

ttececy tt +++= 221

xxxcxcy ln2ln21 +++=

75

Unos ejemplos de ecuaciones no lineales

ResolverSolucin: Esta ecuacin no lineal carece de trmino en y. Sea u(x) = y, entonces du/dx = y,

(Se escribe en esta forma solo por conveniencia para luego integrar)

Como u-1 = 1/y,

Entonces,

2)'(2" yxy =

22xudxdu = dxx

udu 22 = 2121 cxu +=

21

21cxdx

dy+=

21

1

121

2 tan1 c

cx

ccxdxy +=+=

76

ResolverSolucin: Esta ecuacin no lineal carece de trmino en x. Sea u(x) = y, entoncesy = du/dx = (du/dy)(dy/dx) = u du/dy

o

ln|u| = ln|y| + c1 , u = c2 y (donde ) Como u = dy/dx = c2 y, dy/y = c2 dx

ln|y| = c2 x + c3 ,

2)'(" yyy =

2udyduuy =

ydy

udu =

xcecy 24=

12

cec =

77

Supongamos que existe solucin para:

Si adems suponemos que y(x) admite desarrollo en serie de Taylor centrado en 0:

Como y(0) = -1, y(0) = 1, de la ED original: y(0) = 0 + y(0) y(0)2 = 2. Derivando sucesivamente la ED original:

1)0(,1)0(,2 ==+= yyyyxy

"+++++= 4)4(

32

!4)0(

!3)0(

!2)0(

!1)0()0()( xyxyxyxyyxy

yyyyyxdxdxy +=+= 21)()( 2

78

... podemos utilizar el mismo mtodo para obtener y(3)(0) = 4, y(4)(0) = 8, etc.

Y encontrar una aproximacin en Taylor de la solucin:

2)4( )(22)21()( yyyyyyydxdxy =+=

"+++= 43231

321)( xxxxxy

79

Una ltima observacin: La ED de esteejemplo:

es equivalente (mediante cambio de variable) al sistema de ecuacionesdiferenciales:

==+=

=

1)0( ,1)0(

2

uy

yyxdxdu

udxdy

1)0(,1)0(,2 ==+= yyyyxy

3. Ecuaciones diferenciales de orden superiorEcuaciones lineales: teora bsicaExistencia de una solucin nica(Condicin suficiente)Slide Number 4Problemas de valores en la fronteraSlide Number 6Slide Number 7Operadores diferencialesPrincipio de superposicin (ecuaciones homogneas)Dependencia e independencia linealSlide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Reduccin de ordenSlide Number 23Slide Number 24Caso generalSlide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Ecuaciones lineales homogneas con coeficientes constantesSlide Number 30Slide Number 31Slide Number 32Slide Number 33Slide Number 34Slide Number 35Slide Number 36Ecuaciones de orden superiorSlide Number 38Races complejas repetidasCoeficientes indeterminadosSlide Number 41Slide Number 42Slide Number 43Slide Number 44Slide Number 45Slide Number 46Slide Number 47Slide Number 48Slide Number 49Slide Number 50Slide Number 51Slide Number 52Slide Number 53Slide Number 54Mtodo de variacin de parmetrosSlide Number 56Slide Number 57Slide Number 58Slide Number 59Slide Number 60Slide Number 61Slide Number 62Slide Number 63Ecuaciones de orden superiorEcuacin de Cauchy-EulerEcuacin auxiliarCaso 2: Races reales repetidasCaso 3: Races complejas conjugadasSlide Number 69Slide Number 70Slide Number 71Slide Number 72Slide Number 73Slide Number 74Unos ejemplos de ecuaciones no linealesSlide Number 76Slide Number 77Slide Number 78Slide Number 79