3 estrategias calculomulti

Noviembre 2006 • 2006ko Azaroa 11

SIG

MA

29ESTRATEGIAS DE CÁLCULO MENTAL CON MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES EN EL

2º CICLO DE PRIMARIA

José Ramón Gregorio Guirles (*)En este segundo artículo dedicado a las estrategias de cálculo mental en el 2º ciclo de Primaria, además de lo ya mencionado en el anterior, conviene destacar que lo verdaderamente impor-tante de este trabajo matemático es:

• que los alumnos trabajen en pareja, discutan, piensen y expresen sus ideas• que se haga un buen proceso de puesta en común y de recogida de las conclusiones

referidas a cada una de las estrategias (E1, E2, …)

En definitiva, que lo esencial es que crezcan en razonamiento numérico y operacional (a través de la reflexión y el debate con los demás), y no tanto que se aprendan de memoria las estra-tegias mentales que trabajamos (variante débil del trabajo).

Además, en el caso de las “actividades relacionadas con las estrategias” podemos convertir el trabajo en SESIONES DE INVENTAR (IN.1, IN.2, …): una vez entendida la actividad, los alum-nos/as inventan por parejas actividades de ese tipo para que luego las resuelva otra pareja.

Las sesiones tienen un carácter orientativo y, según el criterio de cada profesor y del grupo de alumnos/as que tenga, pueden ser fácilmente cambiadas de orden, divididas en varias sesio-nes, simplificadas o ampliadas.

A cada alumno/a se le da la ficha de la estrategia o actividad correspondiente a la sesión. Las estrategias se trabajan en parejas. Se les da un tiempo de resolución y debate, y se hace una puesta en común con las ideas que han tenido al respecto. Es interesante que el profesor/a siempre pregunte por el “por qué” de las respuestas que dan.

SESIÓN 1: ACTIVIDADES ESTRATÉGICAS DE CONCEPTUALIZACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN. CALCULA CON LA CALCULADORA SIN USAR LA TECLA DE LA MULTIPLICACIÓN

2 x 3 =

4 x 2 =

5 x 8 =

10 x 5 =

12 x 15 =

40 x 25 =

Inventad otras operaciones de multiplicar sin usar la tecla de la multiplicación. Esta actividad es interesante realizarla al trabajar los conceptos básicos de multiplicación (suma repetida), y se puede hacer con la ayuda de dinero para manipular, visualizar y representar las operaciones.

(*) Asesor de Infantil y Primaria del Berritzegune de Sestao.

SESIÓN 2: MULTIPLICAR DESCOMPONIENDO EL NÚMERO (E.1)

Distributiva de la multiplicación o multiplicación fraccionada acumulando resultados parcia-les. Sólo con números de 2 cifras por otro de una. Fíjate cómo se puede hacer 42 x 5:

42 x 5= (40 y 2) x 5= 40 x 5 + 2 x 5= 200 + 10= 210

Aplica esta estrategia en las siguientes operaciones:

12 x 2 =

12 x 3 =

14 x 2 =

13 x 3 =

14 x 5 =

18 x 2 =

16 x 2 =

15 x 5 =

12 x 6 =

24 x 8 =

Esta estrategia facilita la comprensión del algoritmo de la multiplicación. Además permite conectar esta forma de multiplicar con la historia de los algoritmos (así se multiplicaba en la antigua Grecia).

SESIÓN 3: MULTIPLICAR UN NÚMERO POR 10, 100, 1.000 (E.2)

INVESTIGACIÓN: ¿Cuál es el resultado de multiplicar cada número por 10? ¿ Y por 100? ¿Y por 1.000? Resuelve con la calculadora. ¿Cuál es la estrategia que podemos seguir para multiplicar fácilmente por 10, 100, 1.000 sin necesidad de usar la calculadora? Poned otros ejemplos.

Número x10 x100 x1.000 Conclusiones (1)

2

3

5

10

15

100

125

200

12

José Ramón Gregorio Guirles

SIGMA Nº 29 • SIGMA 29 zk.


Estrategias de cálculo mental con multiplicaciones y divisiones en el 2º ciclo de primaria

Número x10 x100 x1.000 Conclusiones (1)

456

891

SESIÓN 4: MULTIPLICAR NÚMEROS SENCILLOS QUE TIENEN CEROS (E.3)

INVESTIGACIÓN: ¿Cuál es el resultado de hacer estas multiplicaciones? Resuelve con la calculadora. ¿Cuál es la estrategia que podemos seguir para hacer fácilmente estas multipli-caciones sin necesidad de usar la calculadora? Poned otros ejemplos.

Operación Resultado Conclusiones (2)

30 x 20 =

50 x 40 =

600 x 30 =

15 x 20 =

40 x 5 =

80 x 70 =

SESIÓN 5: MULTIPLICAR UN NÚMERO POR 2, 4, 8 (E.4)

INVESTIGACIÓN: ¿Qué pasa si a un número le multiplicamos por 2, 4, 8? Resuelve con la calculadora. ¿Cuál es la estrategia que podemos seguir para multiplicar fácilmente por 2, 4, 8 sin necesidad de usar la calculadora? Poned otros ejemplos.

Nº x2 x4 x8 Conclusiones (3)

0

2

5

6

8

10

12

15

25

50

14



AMPLIACIÓN: ¿Cómo será la estrategia para multiplicar por 20? ¿Y por 200?

SESIÓN 6: MULTIPLICAR UN NÚMERO POR 3 (E.5)

INVESTIGACIÓN: ¿Qué pasa si a un número le multiplicamos por 3? Resuelve con la cal-culadora. ¿Cuál es la estrategia que podemos seguir para multiplicar fácilmente por 3 sin necesidad de usar la calculadora? Poned otros ejemplos.

Número x 1 x2 x 3 Conclusiones (4)

3

4

5

10

12

15

20

25

SESIÓN 7: MULTIPLICAR UN NÚMERO POR 5, 50 (E.6)

INVESTIGACIÓN: ¿Qué pasa si a un número le multiplicamos por 5? ¿ Y si lo multiplicamos por 50? Resuelve con la calculadora. ¿Cuál es la estrategia que podemos seguir para multi-plicar fácilmente por 5 y 50 sin necesidad de usar la calculadora? Poned otros ejemplos.

Nº x10 x5 x100 x50 Conclusiones (5)

0

6

8

12

18

22

24

36

180



SESIÓN 8: MULTIPLICAR UN NÚMERO POR 25 (E.7)

INVESTIGACIÓN: ¿Qué pasa si a un número le multiplicamos por 25? Resuelve con la cal-culadora. ¿Cuál es la estrategia que podemos seguir para multiplicar fácilmente por 25 sin

necesidad de usar la calculadora? Poned otros ejemplos.

Número x100 x50 x 25 Conclusiones (6)

4

8

28

32

12

16

20

36

SESIÓN 9: OTRAS ACTIVIDADES RELACIONADAS CON ESTAS PRIMERAS ESTRATEGIAS (INV.1)

• Eliminar números en la pizarra (Juego):

Se escribe una lista de números… y por turno hay que ir eliminado cada uno, diciendo

por qué factor hay que multiplicarlo para que de 1.000, 10.000, 100.000. Otra variante

es convertirlo en un juego oral: el profesor/a empieza preguntando, el que responde pre-

gunta a otro eligiendo uno de los números que no se han dicho, …. Tener en cuenta una

secuencia de trabajo de lo más fácil (1, 10, 100,...) a lo más difícil (5, 50, 25, ...).

– ¿Por qué número hay que multiplicarlo para que de 1.000?

10 1 100

5 20 50

– ¿Por qué número hay que multiplicarlo para que de 10.000?

100 10 1 1.000

5 20 4 40

– ¿ Por qué número hay que multiplicarlo para que de 100.000?

5.000 100 1.000 10.000

10 500 2.000 20

16



– ¿De cuántas maneras distintas podemos conseguir el número 1.000 mediante multipli-

caciones? Sólo podemos utilizar unidades, decenas, centenas, y millares exactos.

– ¿De cuántas maneras distintas podemos conseguir el número 10.000 mediante multi-

plicaciones? Sólo podemos utilizar unidades, decenas, centenas, millares y decenas de

millar exactos.

– ¿De cuántas maneras distintas podemos conseguir el número 100.000 mediante mul-

tiplicaciones? Sólo podemos utilizar unidades, decenas, centenas, millares, decenas y

centenas de millar exactos.

SESIÓN 10: OTRAS ACTIVIDADES RELACIONADAS CON LAS ESTRATEGIAS ANTERIORES: DESCOMPONER NÚMEROS DE DIFERENTES MANERAS (INV.2)

Inventad números en parejas para que los descompongan otras parejas.

DESCOMPOSICIÓN NÚMEROS VUESTROS NÚMEROS

Partiendo del 10, 100, … y de maneras diferentes

100 = 10 x 10 = 20 x 5 = ...

1.000 = 200 x 5 =

Descomponer un número en dos factores iguales

100 = 10 x 10

400 = 20 x 20

Descomponer un número con un o factor fijo

120 = 10 x …

40 = 10 x ...

SESIÓN 11: OTRAS ACTIVIDADES RELACIONADAS CON LAS ESTRATEGIAS ANTERIORES (INV.3)

• Relacionar descomposiciones equivalentes

10 x 50 32 x 100

25 x 100 100 x 5

80 x 40 250 x 10

30 x 40 12 x 100

Inventad por parejas otro ejemplo de relacionar descomposiciones equivalentes.



• Completar igualdades

35 x = 350

7 x = 560

x 20 = 5.000

x = 800

Inventad por parejas otro ejemplo de completar igualdades.

SESIÓN 12: DESCOMPONER SIEMPRE QUE SEA POSIBLE, CUALQUIER NÚMERO “DE LA TABLA DE MULTIPLICAR” EN PRODUCTO DE 2/3/4 FACTORES (E.8)

Fíjate cómo se puede descomponer un número en producto de otros

28 = 7 x 4 = 7 x 2 x 2 = 14 x 2 = 28 x 124= 4 x 6 = 6 x 4 = 6 x 2 x 2 = 3 x 2 x 2 x 2 = 12 x 2 = 8 x 3 = ...

Aplica esta estrategia en las siguientes operaciones

15 =

24 = 12 x 2 = 6 x 4 = 3 x 8 = 3 x 2 x 2 x 2 =

50 =

32 =

42 =

100 =

120 =

64 =

150 =

1000 =

88 =

45 =

SESIÓN 13: DESCOMPONER Y ASOCIAR PARA MULTIPLICAR MÁS FÁCILMENTE (E.9)

Fíjate cómo se puede facilitar una multiplicación descomponiendo los números y asociándo-los de forma diferente para multiplicar (flexibilidad para operar con números):

3 x 21= 3 x 3 x 7= 63

18



6 x 45 = 2 x 3 x 45 = 23 x 90 = 70

Aplica la siguiente estrategia a estas operaciones:

8 x 25 =

25 x 12 =

15 x 12 =

16 x 25 =

36 x 12 =

25 x 48 =

18 x 4 =

El objetivo es conseguir que a la hora de multiplicar dos números sencillos, puedan jugar fácil-

mente con dobles y mitades (triples y terceras partes…): en una multiplicación el producto no

cambia si a uno de los factores lo duplico y al otro lo dejo en la mitad (25 x 12 = 50 x 6 = 300).

SESIÓN 14: OTRAS ACTIVIDADES QUE IMPLICAN CONOCIMIENTOS

ESTRATÉGICOS DE MULTIPLICACIONES (INV.4).

Comparación de expresiones

Di sin operar si el resultado de la operación de la izquierda es MAYOR, MENOR O IGUAL que

el resultado de la operación de la derecha. Explica la razón (estrategias que has utilizado).

30 x 13 31 x 13

18 x 10 18 x 9

15 x 16 x 2 2 x 16 x 15

4 x 25 x 100 100 x 99

25 x 48 100 x 12

36 x 12 18 x 24

45 x 10 9 x 2 x 5 x 5

240 24 x 11

35 x 15 21 x 25



SESIÓN 15: OTRAS ACTIVIDADES QUE IMPLICAN CONOCIMIENTOS ESTRATÉGICOS DE MULTIPLICACIONES (INV.5).

Estrategias de aproximación del resultado de la operación (algo más que..., algo menos que...)

Para poder estimar el resultado, redondea primero uno o los dos números

OPERACIÓN Resultado aproximado

146 x 2 =

39 x 39 =

49 x 2 =

49 x 49 =

99 x 99 =

990 x 990 =

SESIÓN 16: ACTIVIDADES ESTRATÉGICAS DE CONCEPTUALIZACIÓN DE LA DIVISIÓN. CALCULA CON LA CALCULADORA SIN USAR LA TECLA DE LA DIVISIÓN

21 : 3 =

100 : 20 =

600 : 120 =

10 : 5 =

200 : 25 =

1.000 : 125 =

Inventad otras operaciones de dividir sin usar la tecla de la división. Esta actividad es inte-resante realizarla al trabajar los conceptos básicos de división (reparto y resta repetida), y se puede hacer con la ayuda de dinero para manipular, visualizar y representar los repartos.

SESIÓN 17: DIVIDIR DESCOMPONIENDO EL NÚMERO (E.10)

Distributiva de la división o división fraccionada acumulando resultados parciales. Fíjate cómo se pueden hacer estas divisiones:

604 : 2 = 600 : 2 y 4 : 2 = 300 y 2 = 302

105 : 5 = 100 : 5 y 5 : 5 = 20 y 1 = 21

20



Aplica esta estrategia en las siguientes operaciones:

248 : 2 =

864 : 2 =

468 : 2 =

102 : 2 =

63 : 3 =

396 : 3 =

1.050 : 5 =

Esta estrategia facilita la comprensión del algoritmo de la división. Además permite conectar

esta forma de dividir con la historia de los algoritmos (formas primitivas de dividir).

SESIÓN 18: DESCOMPONER CUALQUIER NÚMERO DE DOS CIFRAS

EN UN PRODUCTO DE DOS FACTORES O DE DOS FACTORES MÁS

UNA CIFRA LO MÁS PEQUEÑA POSIBLE, Y CONVERTIRLO EN UNA

DIVISIÓN (E.11)

Fíjate cómo se puede descomponer cualquier número de dos cifras y cómo se convierte en

una división:

24 = 4 x 6 24 : 4 = 6 24 : 6 = 4

47 = 6 x 7 + 5 47 : 6 = 7 resto: 5 47 : 7 = 6 resto 5

MULTIPLICACIÓN DIVISIONES

10

20

28

32

48

42

54



MULTIPLICACIÓN DIVISIONES

47 = 6 x 7 + 5 47:6 = 7 R = 5 47:7 = 6 R = 5

17 =

7 =

43 =

31 =

37 =

29 =

¿Qué tipo de números son estos?

SESIÓN 19: DIVIDIR UN NÚMERO ENTRE 10, 100, 1.000 (E.12)

INVESTIGACIÓN: ¿Cuál es el resultado de dividir cada número entre 10? ¿ Y entre 100? ¿Y

entre 1.000? Resuelve con la calculadora. ¿Cuál es la estrategia que podemos seguir para

dividir fácilmente entre 10, 100, 1.000 sin utilizar la calculadora? Poned otros ejemplos.

Número :10 :100 :1.000 Conclusiones (7)

200

300

500

1000

1.500

10.000

12.500

25.000

120.000

SESIÓN 20: DIVIDIR NÚMEROS SENCILLOS QUE TIENEN CEROS (E.13)

INVESTIGACIÓN: ¿Cuál es el resultado de hacer estas divisiones? Resuelve con la calcula-

dora. ¿Cuál es la estrategia que podemos seguir para hacer fácilmente estas divisiones sin

utilizar la calculadora? Poned otros ejemplos.

22



Operación Resultado Conclusiones (8)

40 : 20

160 : 40 =

600 : 30 =

1.800 : 20 =

400 : 50 =

10.000 : 500 =

SESIÓN 21: DIVIDIR UN NÚMERO ENTRE 2, 4, 8 (E.14)

INVESTIGACIÓN: ¿Qué pasa si a un número le dividimos entre 2, 4, 8? Resuelve con la cal-

culadora. ¿Cuál es la estrategia que podemos seguir para dividir fácilmente entre 2, 4, 8 sin

utilizar la calculadora? Poned otros ejemplos.

: 2 : 4 : 8 Conclusiones (9)

0

8

16

24

32

40

200

64

600

4.000

AMPLIACIÓN: ¿Cómo será la estrategia para dividir entre 20? ¿Y entre 200?

SESIÓN 22: DIVIDIR UN NÚMERO ENTRE 5, 50 (E.15)

INVESTIGACIÓN: ¿Qué pasa si a un número le dividimos entre 5? ¿ Y si lo dividimos entre 50?

Resuelve con la calculadora. ¿Cuál es la estrategia que podemos seguir para dividir fácilmente

entre 5 y 50 sin utilizar la calculadora? Poned otros ejemplos.



Nº : 10 : 5 : 100 : 50 Conclusiones (10)

70

100

200

500

1.500

3.000

6.000

12.000

180.000

SESIÓN 23: DIVIDIR UN NÚMERO ENTRE 25 (E.16)

INVESTIGACIÓN: ¿Qué pasa si a un número le dividimos entre 25? Resuelve con la calcula-dora. ¿Cuál es la estrategia que podemos seguir para dividir fácilmente entre 25 sin utilizar la calculadora? Poned otros ejemplos.

Número : 100 : 50 : 25 Conclusiones (11)

200

300

400

800

900

1.600

2.400

SESIÓN 24: OTRAS ACTIVIDADES RELACIONADAS CON ESTAS ESTRATEGIAS (INV.6)

• Eliminar números en la pizarra.

Se escribe una lista de números (10, 100, 1.000, … ), y por turno hay que ir eliminado cada uno, diciendo por que número hay que dividirlo para conseguir 1, 10, 100, 1.000 ... Variante: convertirlo en un juego oral (como en la multiplicación). Tener en cuenta una secuencia de trabajo de lo más fácil (1, 10, 100,...) a lo más difícil (5, 50, 25, ...)

– ¿Por qué número hay que dividirlo para que de 10?

24



10.000 100 10 1.000 5.000 20 50.000 150

– ¿Por qué número hay que dividirlo para que de 100?

100.000 100.000 100 10.000 500 200.000 500.000 5000

– ¿ Por qué número hay que dividirlo para que de 1.000?

30.000 200.000 5.000.000 10.000 46.000 35.000 1.000 150.000

• Conseguir el número a partir de una división

Inventad por parejas otros números y cómo conseguirlos a través de una división.

Número Operación Vuestros números y operaciones

25 = 25 = 250 : 10 = ...

200 = 200 = 400 : 2 = ...

100 = 100 =

SESIÓN 25: OTRAS ACTIVIDADES RELACIONADAS CON ESTAS PRIMERAS ESTRATEGIAS (INV.7)

• Relacionar descomposiciones equivalentes

100 : 5 15 x 1

1.500 : 100 200 : 10

800 : 20 8 x 2

160 : 10 80 : 2

Inventad por parejas otro ejemplo de relacionar descomposiciones equivalentes.

• Completar igualdades

250 : = 50

: = 1.500

: 10 =

16.000 : = 800

Inventad por parejas otro ejemplo de completar igualdades.



SESIÓN 26: DESCOMPOSICIONES NUMÉRICAS RELACIONADAS CON LAS DIVISIONES (E.17)

Fíjate cómo se puede simplificar una división de dos números, convirtiéndola en otra más fácil (flexibilidad para operar con números):

24 : 6 = Si a 24 y a 6 los dividimos por el mismo número (2), el resultado no cambia

24 : 6 = 12 : 3 = 4 : 1 = 4 (24 : 6 = 48 : 12= )

Aplica esta estrategia:

Operación Simplificación

36 : 4 =

72 : 4 =

96 : 8 :

54 : 6 =

100 : 4 =

120 : 12 =

240 : 6 =

SESIÓN 27: OTRAS ACTIVIDADES QUE IMPLICAN CONOCIMIENTOS ESTRATÉGICOS DE DIVISIONES (INV.8). COMPARACIÓN DE EXPRESIONES

Di sin operar si el resultado de la operación de la izquierda es MAYOR, MENOR O IGUAL que el resultado de la operación de la derecha. Explica la razón.

350 : 8 350 : 10

348 : 5 328 : 5

240 : 10 240 : 20

120 : 10 60 : 5

200 : 10 21

400 : 20 800 : 40

40 : 20 40 : 10

80 : 2 40 : 4

410 : 5 83

700 : 25 45

26



SESIÓN 28: OTRAS ACTIVIDADES QUE IMPLICAN CONOCIMIENTOS ESTRATÉGICOS DE DIVISIONES (INV.9). ESTRATEGIAS DE APROXIMACIÓN DEL RESULTADO DE LA OPERACIÓN (ALGO MÁS QUE ... ALGO MENOS QUE)

Para poder estimar el resultado, redondea primero uno o los dos números

OPERACIÓN Resultado aproximado

198 : 2 =

101 : 2 =

75 : 9 =

75 : 11 =

800 : 99 =

800 : 101 =

SESIÓN 29: OTRAS ACTIVIDADES QUE IMPLICAN CONOCIMIENTOS ESTRATÉGICOS DE MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES (INV.10)

• Elegir resultados sin operar: ¿qué estrategia has utilizado?

Operación Soluciones

94 x 7 = 630 63 638 658

25 x 6 = 125 100 150 200

45 x 100 3.000 4.000 450 4.500

28 x 4 = 120 132 125 100

39 x 5 = 200 300 190 195

80 x 45 = 3.600 360 3.601 361

58 x 6 = 580 300 348 345

287 250 300 341 301

41 x 7 = 400 300 280 287


108 : 9 = 20 19 12 10

500 : 20 = 250 30 25 100




410 : 5 = 80 83 205 82

7.000 : 50 = 150 1.500 1.400 140

200 : 25 = 400 10 8 6

180 : 12 = 20 15 25 12

SESIÓN 30: OTRAS ACTIVIDADES QUE IMPLICAN CONOCIMIENTOS

ESTRATÉGICOS DE MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES (INV.11)

Calcula las operaciones o números desconocidos

Número OPERACIÓN Número Igual a Resultado

21 + 45 =

8 x = 56

+ 25 = 50

55 32 = 23

142 155 =

45 9 =

125 35 = 90

5 X = 650

125 35 =

x 3 = 45

Número OPERACIÓN Número Igual a Resultado

21 : 3 =

56 : = 8

: 25 = 50

15 0,1 = 150

45 9 =

125 25 =

5 : = 50

28



NOTAS

(1) En la línea de que:

x 10 = añadir un 0 15 x 10 = 150 x 100 = añadir dos ceros 15 x 100 = 1.500 x1.000 = añadir 3 ceros 15 x 1.000 = 15. 000

(2) En la línea de que se multiplican los números diferentes de cero, y luego se añaden tantos ceros como ceros haya entre los dos números.

(3) En la línea de que: x 2 = sumar el número consigo mismo (hacer el doble): 15x2= 15+15 = 30 x 4 = el doble del doble (2x2) 15x4=30+30= 60 (mentalmente: 30-60) x 8 = hacer el doble 3 veces (2x2x2). o el doble de x4 15x8 = mentalmente 30-60-120

(4) En la línea de que x3 equivale a sumar el número y su doble: 15 x 3 = 15 + 30 = 45

(5) x5 = hacer la mitad y añadir un 0 (o al revés) 24x5 = mentalmente 12-120 x50 = hacer la mitad y añadir dos ceros 36 x 50 = mentalmente 18-1800

(6) En la línea de que como 25 es la cuarta parte de 100, entonces x 25 = dividir por 4 ( la mitad de la mitad) y añadir dos ceros 24 x25 = mentalmente 6-600

(7) En la línea de que:

: 10 = quitar un cero : 100 = quitar dos ceros : 1.000 = quitar tres ceros

(8) En la línea de que se quitan tantos ceros del dividendo como ceros haya en en divisor, y luego se hace la división que queda.

(9) En la línea de que

: 2 = la mitad : 4 = la mitad de la mitad : 8 = la mitad de la mitad de la mitad

(10) En la línea de que, como 5 es la mitad de 10:

: 5 = quitar un cero y hacer el doble : 50 = quitar dos ceros y hacer el doble

(11) En la línea de que como 25 es la cuarta parte de 100, entonces : 25 = quitar dos ceros y multiplicar por 4 (el doble del doble) (800:25= 8, 16, 32)

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