31 Matematicasiii Examen2 Copia (2)

Secundaria. Guía de

Matemáticas3er. grado

SECRETARÍA DE EDUCACIÓNPÚBLICA

Miguel Limón RojasINSTITUTO NACIONAL PARA LA EDUCACIÓN

DE LOS ADULTOSJosé Antonio Carranza

PalaciosDIRECCIÓN ACADÉMICALuz María Castro Mussot

UNIDAD DE PRODUCCIÓNDE MEDIOS

Claudia Giménez Mercado

AUTORASSilvia Alatorre Frenk, Natalia de Bengoechea Olguín, Elsa Mendiola Sanz, Mariana Sáiz RoldánProfesoras de la UniversidadPedagógica NacionalCOORDINACIÓN GRÁFICA Y CUIDADO DE LA EDICIÓNGreta SánchezDISEÑOAbel Alonso VillagránDolores Marcela CervantesInés OlivaresILUSTRACIONESJorge Mora SuárezFrancisco CarrilloRicardo Aguilar

Guía de Matemáticas. Tercer grado secundaria.D.R. © 1999, Instituto Nacional para la Educación de los Adultos, INEA. FranciscoMárquez Núm. 160, Col. Condesa, México, D.F., C.P. 06140. 060499

ISBN en trámite

Esta obra es propiedad intelectual de su autor y los derechos de publicación hansido legalmente transferidos al INEA. Prohibida su reproducción parcial o totalpor cualquier medio, sin autorización escrita de su legítimo titular de derechos.

ÍndicePresentación

Unidad I: Aritmética

Lección 1: Números reales 10Los números irracionales 10Aproximaciones 14

Lección 2: Notación exponencial 20Números grandes 20Números pequeños 24Operaciones con números en notación exponencial 27

Lección 3: Orden e intervalos 32La recta real 32Intervalos de números reales 35

Lección 4: Proporcionalidad 42Proporcionalidad directa 44Regla de tres 48Proporcionalidad inversa 52Variaciones proporcionales y no proporcionales 55

Lección 5: Porcentajes 60

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GUÍA DE MATEMÁTICAS III

Lección 6: Repartición proporcional 71Lección 7: Propiedades de las operaciones

con números reales 75Propiedades de la suma 76La resta 79Propiedades de la multiplicación 81La división 84Potencias y raíces 85Combinaciones de varias operaciones 88Aplicaciones de las propiedades en la solución de ecuaciones 91

Unidad II: Álgebra

Lección 8: Potencias con exponentes enteros 102Operaciones con potencias 103Propiedades de la potenciación 108

Lección 9: Polinomios 111Definiciones 111Operaciones con polinomios 114

Lección 10: Representación gráfica de algunasexpresiones algebraicas 125

Lección 11: Ecuaciones lineales con dos incógnitas 132Ecuaciones con dos incógnitas 132Gráfica de una ecuación lineal 136

Lección 12: Sistemas de ecuaciones lineales 143Resolución gráfica 143Sistemas sin solución y sistemas con infinitas soluciones 148

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Lección 13: Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones 152

Lección 14: Problemas que se resuelven por sistemas de ecuaciones lineales 162

Unidad III: Geometría

Lección 15: Escalas 176Lección 16: Lectura de dibujos a escala 183Lección 17: Semejanza 188

Unidad IV: Estadística y probabilidad

Lección 18: Utilidad de la estadística 194Lección 19: Histogramas 203Lección 20: Medidas descriptivas de

un conjunto de datos 212Lección 21: Probabilidad 225

Respuestas a los ejercicios

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233

PresentaciónEste libro se diseñó para adultos que estudian la secundaria en un sistema abierto; es la continuación de los libros "MatemáticasI" y "Matemáticas II" de esta misma serie. Para facilitar el uso deeste material hemos incluido los contenidos principales que serequieren para abordar este curso.

El libro está formado por cuatro unidades: "Aritmética","Álgebra", "Geometría" y "Estadística y Probabilidad". Las unidadesestán formadas por lecciones y cada una de ellas trata un tema distinto del contenido de esa unidad. Las lecciones tienen, en general, una explicación del tema con ejemplos y al final de cada sección una serie de ejercicios y problemas para el adulto.Al final del libro se encuentran las soluciones a los ejercicios yproblemas para que usted pueda comparar sus resultados.

En todos los temas se explica desde lo más simple y se llega a los contenidos propios del curso. Como este material estáhecho para adultos, se hace referencia a situaciones cotidianas y también se reflexiona sobre la lógica de los contenidos.

Las siete lecciones iniciales corresponden a aritmética; sonprincipalmente un repaso del curso anterior, aunque se incorporanalgunos contenidos nuevos y ejercicios diversos. La parte másfuerte de este curso es álgebra, que fue introducida

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informalmente en el primer curso y abordada con algo más de formalidad en el segundo; en este curso se ahonda en su estudio, principalmente, con polinomios y sistemas de ecuacioneslineales. Las tres lecciones de geometría abordan principalmenteel uso y construcción de figuras a escala. La unidad dedicada a laestadística y la probabilidad es un avance sobre los contenidostratados en los cursos anteriores.

Le hacemos algunas sugerencias que creemos facilitarán suestudio:

• Vea todo. Lea con particular atención las partes en las que se sienta inseguro o sean nuevas para usted. Puede ser también recomendable leer las partes que ya domine: las leerá rápido, le servirán como recordatorio y le permitirán acostumbrarse al estilo de este texto y a la notación que usamos.

• Siempre, al leer, busque si se ilustra con ejemplos o dibujos lo que se está explicando y si se hace, identifique lo que lea en la ilustración.

• No avance si no está seguro de poder hacer usted solo las operaciones o trazos que se hacen en el texto; si para lograrlo necesita hacer varias veces un ejercicio, hágalo.

• Procure resolver al menos algunos incisos de todos los ejercicios, aun de los temas que ya domina. Después verifique sus respuestas con las que se dan al final del libro y, cuando ya se sienta seguro, pase al siguiente ejercicio. Se han incluido muchos ejercicios para aquellos estudiantes que requieren más práctica para comprender; quienes no la necesiten pueden hacer sólo unos cuantos de ellos.

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Unidad I

Aritmética

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Lección 1: Números reales

Los números irracionales

En los grados anteriores estudiamos distintas clases de números:

• Vimos en primer lugar: los naturales, que son aquellos que sirven para contar. Ejemplos de los números naturales son:

0, 1, 2, 3, 4, ......, 37, ......, 186, ......, 1999, ......

• Después, estudiamos los números enteros, que están formados por los naturales y por los números negativos. Con ellos podíamos indicar pérdidas, temperaturas bajo cero o distancias bajo el mar o la tierra. Ejemplos de los números enteros son:

• Posteriormente, conocimos a los números racionales,que están formados por los enteros, las fracciones (que siempre se pueden presentar en forma decimal), y los decimales. Ejemplos de los números racionales son:

10


......, -154, ......, -13, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ......, 18, ......, 189723, ......

......, - , ....., -2.2, ....., -1, ....., -0.5, .....0,

......, 0.5, ...... , ....., 1, ......, , .....

Cuando estudiamos fracciones y decimales, vimos que paraconvertir fracciones a decimales se divide el numerador entre eldenominador. Por ejemplo:

= 1 ÷ 2 = 0.5 = 621 ÷ 13 = 47.769230769230...

A veces el cociente tiene una infinidad de cifras, pero hemosvisto que estas cifras en algún momento empiezan a aparecerrepetidas en un mismo orden, así que, aunque sean infinitas, esposible escribir el número indicando el conjunto de cifras que serepite, y que se llama período, poniendo una curvita arriba de las cifras que lo forman. Por ejemplo:

= 0.33333… pero escribimos 0.3,y la curvita arriba del 3 indica que éste se repite;

= 0.1666… pero escribimos 0.16,y la curvita arriba del 6 indica que es el período;

= 0.285732857328573… pero escribimos 0.28573, y la curvita arriba de 28573 indica que es el período, o sea las cifras que se repiten.

11

12

62113

13

16

27

LECCIÓN 1

1875

621

13

3

4

Con los números racionales ya podemos representar casitodas las cantidades que encontramos en la vida cotidiana. Sinembargo, hay otra clase de números, que se escriben con unainfinidad de decimales pero que no tienen un período, es decir,no tienen cifras que se repitan en el mismo orden. Los númerosde esta clase reciben el nombre de irracionales y, a diferencia delos racionales, no pueden ponerse en forma de fracción, sino sóloen forma decimal. Los racionales y los irracionales juntos formanel conjunto de los números reales y son los números con los quetrabajaremos en este curso.

Hay una infinidad de números irracionales, pero en este cursotrabajaremos sólo con algunos de ellos, que son los más usados.Tal vez usted se pregunte cómo vamos a escribir la infinidad decifras que tienen los números irracionales. La respuesta es quecuando trabajamos con números irracionales, nos conformamoscon una aproximación, o bien utilizamos algunos símbolos especiales.

El primer número irracional que presentaremos es un númeroque de hecho ya conoce. Usted ha usado el número π (pi) paraexpresar las fórmulas de la longitud de la circunferencia, del áreadel círculo y del volumen de la esfera. El número π representa las veces que cabe el diámetro de un círculo en la longitud de la circunferencia. Es decir, si tuviéramos las medidas exactas de la longitud (C) de una circunferencia y de su diámetro, (d),podríamos decir que π = C ÷ d, pero si quisiéramos hacer ladivisión no terminaríamos nunca: podríamos tener tantas cifras decimales como quisiéramos, pero nunca llegaríamos a un residuoigual a cero, ni encontraríamos cifras que formen un período. Estoes, si intentáramos escribir π exactamente, nunca terminaríamosde escribir cifras decimales, por lo que decimos que π es un

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número irracional. A continuación se expresa el número π con susprimeras 54 cifras decimales:

π = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820...

En la práctica, sin embargo, cuando queremos calcular longitudes de circunferencias, áreas de círculos, volúmenes deesferas o para hacer cualquier otro cálculo, en el que aparezca π,podemos usar la aproximación π = 3.1416 o bien, como lo hemoshecho en los dos libros anteriores de este curso, la aproximaciónπ = 3.14.

Otro número irracional es √2. El número √2 es la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyoscatetos miden una unidad delongitud.

Si necesitamos hacer cálculos con √2, utilizamos 1.41,que es una aproximación. (Usted puede verificar que 1.412 = 1.9881, que se acerca bastante a 2.)

Otros números irracionales son √3 y el número e. Una manera de encontrar aproximaciones a estos números es utilizando la calculadora. Para encontrar el primero sacamos la raíz cuadrada de 3, y para encontrar el segundo pulsamos la tecla ex que tienen algunas calculadoras y encontramos así la aproximación e = 2.7182818.

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LECCIÓN 1

1 u√2 u

1 u

a) En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, 2 y 3; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla que son aproximaciones para los números irracionales √5, √7, √2 y √3.

b) Si su calculadora tiene la tecla π, oprímala para ver con qué aproximación representa este número irracional.

c) Exprese en forma decimal, indicando en cada caso el período, los siguientes números racionales:

, , , , , , .

Aproximaciones

En la sección anterior hemos dicho que cuando se trabaja connúmeros irracionales se usan con aproximaciones, ya que esimposible escribir todas sus cifras decimales pues son unainfinidad. A veces también es conveniente usar aproximaciones

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37

19

47

615

34

89

56

Ejercicio 1

con los números racionales. Hay dos maneras de hacer las aproximaciones: por truncamiento y por redondeo.

El método del truncamiento consiste en considerar sólo lascifras decimales que nos interesan y "eliminar" las demás. Primerodebemos saber con cuántas cifras decimales queremos trabajar ocuántas nos están pidiendo.

Supongamos que necesitamos efectuar una multiplicación dedecimales y nos piden que expresemos el resultado con tres cifras decimales,usando truncamiento. Por ejemplo, la multiplicación que se muestra a laderecha.

El resultado tiene cinco cifras decimales y sólo queremos tres, así que "eliminamos" los ochos y escribimos 0.124 x 2.37 ≈ 0.293.

Observe que en lugar del signo "=" hemos escrito el signo "≈"porque el producto 0.124 x 2.37 no es exactamente igual a 0.293,es casi igual, una aproximación. Esto se indica usando el signo "≈",que se lee "aproximadamente igual a".

De manera que "truncar" números es deshacerse de las cifras que no interesan. Para comprender mejor esto, veamos dos ejemplos más, en los que realizaremos operaciones y expresaremos los resultados con las cifras decimales que se indican.

Resolvamos la suma 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42.235 y expresemos el resultado con dos cifras decimales mediante truncamiento. El resultado exacto de la suma

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LECCIÓN 1

0.124x 2.37

08680372

02480.29388

es 62.3297, y al truncar para quedarnos con dos cifras decimales eliminamos las dos últimas, esto es, al 9 y 7. Escribimos entonces:

12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42. 235 ≈ 62.32

Resolvamos ahora la división 1.971 ÷ 8 y expresemos el resultado con tres cifras decimales mediante truncamiento. Al hacer la división obtenemos 1.971 ÷ 8 = 0.246375, pero como sólo queremos tres cifras decimales eliminamos el 375 que aparece al final y nos quedamos con 1.971 ÷ 8 ≈ 0.246.

Otra manera de aproximar números es el redondeo. Paracomprender este método regresemos a nuestro ejemplo de lamultiplicación 0.124 x 2.37 = 0.29388. Si utilizamos la rectanumérica para representar este resultado, obtenemos un esquema como el siguiente, en el que la ubicación del númeroque nos interesa está señalada con una flecha vertical:

Si queremos utilizar solamente tres cifras decimales paraexpresar el número 0.29388, vemos que este número está entre0.293 y 0.294, pero está mucho más cerca de 0.294 que de 0.293.Es decir, si decimos que 0.124 x 2.37 ≈ 0.293 mentimos, y si

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0.293 0.2931 0.2932 0.2933 0.2934 0.2935 0.2936 0.2937 0.2938 0.2939 0.294

decimos que 0.124 x 2.37 ≈ 0.294 también mentimos, pero mentimos menos en el segundo caso que en el primero. Entoncesla aproximación por redondeo de 0.29388 es 0.294, y escribimos0.29388 ≈ 0.294: hemos utilizado tres cifras decimales pero a latercera le hemos aumentado 1.

Veamos otro ejemplo. Consideremos ahora la multiplicación0.124 x 2.38 = 0.29512, y representemos este resultado en unesquema como el anterior:

Si queremos utilizar tres cifras decimales para expresar elnúmero 0.29512, vemos que este número está entre 0.295 y0.296, pero que está mucho más cerca de 0.295 que de 0.296.Ahora la aproximación por redondeo de 0.29512 es 0.295 yescribimos 0.29512 ≈ 0.295: hemos utilizado tres cifras decimalesy a la tercera no le hemos aumentado nada.

Vemos entonces que con el método de aproximación porredondeo se "eliminan" cifras, pero a veces hay modificaciones en las cifras originales y a veces no. El método se puede resumirde acuerdo con las siguientes reglas:

• Se cuentan las cifras que interesa dejar y se observa la primera cifra que se va a eliminar.

• Si la primera cifra que se va a eliminar es menor que 5 no hay modificaciones en las cifras que se dejan.

• Si la primera cifra que se va a eliminar es igual o mayor que 5, la última cifra no eliminada aumenta en 1.

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LECCIÓN 1

0.295 0.2951 0.2952 0.2953 0.2954 0.2955 0.2956 0.2957 0.2958 0.2959 0.296

Veamos unos ejemplos más de redondeo:

Al hacer la suma 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42.235 encontramos como resultado 62.3297. Si queremos redondeareste resultado a dos cifras decimales, nos fijamos en la tercera, que es 9; como 9 es mayor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es 2, aumenta en 1. Escribimos entonces:

12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42. 235 ≈ 62.33

Observe que este resultado difiere del que habíamos obtenidocuando hicimos la aproximación por truncamiento.

Al hacer la división 1.971 ÷ 8 tenemos como resultado0.246375. Si queremos redondear este número a tres cifras decimales, nos fijamos en la cuarta, que es 3; como 3 es menor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es 6,permanece como está. Escribimos entonces 1.971 ÷ 8 ≈ 0.246.Observe que en este caso el resultado es el mismo del quehabíamos obtenido cuando hicimos la aproximación por truncamiento.

Redondeemos ahora el número 15.3129635401 a seis cifrasdecimales. Nos fijamos en la séptima cifra, que es 5; como 5 esigual o mayor que 5, entonces le aumentamos 1 a la última cifrano eliminada, que es 3. Tenemos entonces que 15.3129635401 ≈15.312964.

Por último, redondeemos el número7.4296085 a tres cifras decimales. Nosfijamos en la cuarta, que es 6; como esmayor que 5 le aumentamos 1 a la última

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7.429

+ 0.001

7.430

cifra no eliminada, que es 9. Pero como 9 + 1 = 10, ahora tenemos que aumentar 1 a la penúltima cifra no eliminada, que es 2. Tenemos entonces que 7.4296085 ≈ 7.430.

Trunque los siguientes números a tres cifras decimales:

a) 0.356783258 c) 897.46789 e) 7.00006 g) 10009.9001

b) 11.1111111 d) 3.145578 f) 235.654 h) 0.189675872

En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, 2 y 3; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla (que sonaproximaciones para los números irracionales √5, √7, √2 y √3), truncando a 5 cifras decimales.

Redondee a tres cifras decimales los números de los incisos del ejercicio 2. Compare los resultados con los que obtuvo en el ejercicio 2.

Redondee a cinco cifras decimales las raíces del ejercicio 3 y compare los resultados con los obtenidos ahí.

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Ejercicio 2

Ejercicio 5

Ejercicio 3

Ejercicio 4

LECCIÓN 1

Lección 2: Notación exponencialEn la lección anterior hemos visto cómo trabajar con númerosreales y cómo para facilitar el trabajo con ellos es convenienteutilizar aproximaciones, usando el redondeo o el truncamiento.

En esta lección estudiaremos otra manera de trabajar con números reales. Para ello utilizaremos lo que se conoce como notación exponencial. Esta notación permite escribir abreviadamente números muy grandes o muy pequeños, o susaproximaciones. Para ello se escribe el número como un númerocon una cifra entera, multiplicado por una potencia de 10.Abordaremos este tema, dividiendo la discusión en dos casos:

Números grandes

Consideremos la velocidad de la luz: 300 000 Km/seg. (es decir,la luz viaja 300 000 kilómetros cada segundo). Este número esgrande, tiene muchos ceros a la derecha. Exactamente tiene 5ceros, de hecho es igual a 3 x 100 000 y como 100 000 = 105,tenemos que 300 000 = 3 x 105.

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La regla general es que un número que termina en cerospuede expresarse como el producto del número sin ceros multiplicado por 10 elevado a una potencia que es igual a la cantidad de ceros del número original.

Veamos otros ejemplos:

23 000 000 = 23 x 106 (seis ceros en el número original)

1 870 000 000 000 = 187 x 1010 (diez ceros en el número original)

Algunas calculadoras dan sus resultados en forma exponencial, sólo que por lo general usan una sola cifra entera.En los ejemplos anteriores nosotros hemos usado enteros con másde una cifra; sin embargo, con potencias de 10 también podemosexpresarlos usando una sola cifra entera y las demás en decimal.Así:

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23 000 000 = 23 x 106 = 2.3 x 10 x 106 = 2.3 x 107

1 870 000 000 000 = 187 x 1010 = 1.87 x 102 x 1010 = 1.87 x 1012

LECCIÓN 2

De estos ejemplos podemos obtener la regla general paraexpresar un número grande en notación exponencial:

• Se cuenta cuántas cifras tiene el número.• Al resultado se le resta uno y se usa como el

exponente de 10. • Entonces el número que va a multiplicar a la potencia

de 10 es un número que se forma quitando los ceros del número original y poniendo el punto decimal de modo que quede una cifra a la izquierda del punto.

Por ejemplo, 23 000 000 tiene ocho cifras. Como 8 – 1 = 7,éste es el exponente que debe llevar el 10 y quitando los cerosqueda 23, a 23 le dejamos una cifra entera y da 2.3. De modo que 23 000 000 = 2.3 x 107. Observe que con esta notación estamos expresando que hemos recorrido el punto decimal 7lugares a la izquierda:

Análogamente, 1 870 000 000 000 tiene trece cifras. Como 13 – 1 = 12, ése es el exponente que llevará el 10. El número original sin ceros es 187, con una cifra entera queda 1.87. Así, se tiene que 1 870 000 000 000 = 1.87 x 1012.

22


23 000 000 = 2.3 x 107

7 lugares

1 870 000 000 000 = 1.87 x 1012

12 lugares

Cuando los números no aparecen en notación exponencial,decimos que están en forma desarrollada. En el último ejemplo 1 870 000 000 000 es la forma desarrollada de 1.87 x 1012.También podemos pasar de la notación exponencial a la formadesarrollada:

Utilice notación exponencial con una sola cifra entera paraescribir los siguientes números:

a) 12567.8 b) 325.61902c) 23.1452308 d) 1102400e) 31.164 f) 3648912g) 7 324 561 987 h) 1999

Escriba en forma desarrollada los siguientes números reales:

a) 1.001 x 103 c) 5.421023 x 103

b) 7.9 x 107 d) 3.00005 x 102

e) 6.3 x 104 g) 5.8 x 102

f) 1.010101 x 108 h) 2.33 x 101

23

1.87 x 1012 = 1 870 000 000 000

12 lugares

LECCIÓN 2

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Números pequeños

Cuando decimos aquí números pequeños nos referimos a númerosmenores a 1. Consideremos para empezar 0.1: este número se lee un décimo, pero ya sabemos que un décimo se escribe como fracción, así: ; también sabemos que 0.01 se lee un centésimoy la fracción que lo representa es y así sucesivamente.

Si ahora tenemos 0.0120, este número se lee ciento veintediezmilésimos, lo que se escribe , mientras que a 0.00023 le corresponde la fracción .

En todos estos ejemplos tenemos fracciones cuyos denominadores son potencias de 10, así que pueden escribirse así:

0.1 = 0.01 = =

0.0120 = = 0.00023 = =

Estas fracciones se pueden escribir también como divisiones:

0.1 = = 1 ÷ 10 0.01 = = = 1 ÷ 102

0.012= = =120 ÷ 104

0.00023 = = = 23 ÷ 105

24


12010000 23

100 000

1

10

1

10

120

10000

120

104

1

100

1

102

23

100 000

23

105

1

10

120

10000

120

104

1

100

1

102

23

100 000

23

105

1

100

Para seguir con el modelo de notación exponencial de los números grandes, escribiremos las divisiones como productos. Esto se hace usando exponentes negativos.

Los exponentes negativos sirven para expresar como producto potencias que están dividiendo. Por ejemplo puede escribirse como 1 x 10–2. Esto es, un divisor con exponente positivo se puede escribir como factor con exponentenegativo. Así, los ejemplos con los que hemos venido trabajandoquedan:

0.1 = = 1 x 10–1 0.01 = = =1 x 10–2

0.012 = = = 120 x 10–4

0.0023 = = = 23 x 10–5

Los dos últimos ejemplos tienen la parte entera con dos cifras, pero también podemos escribirlos con una cifra entera.

Notemos que 120 es igual a 1.2 x 102.

Entonces 0.0120 = = 120 x 10-4 = 1.2 x 102 x 10–4.

Pero por otra parte, tenemos que 102 x 10-4 = = =10–2.

Entonces, podemos escribir 0.0120 como 1.2 x 10–2.

En el otro ejemplo, tenemos que 0.00023 = = 23 x 10–5 = 2.3x 10 x 10–5.

Pero como 10 x 10–5 = = =10–4, entonces 0.00023 = 2.3 x 10–4.

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LECCIÓN 2

120

10000120

104

1

100

1

102

23

100 000

23

105

1

102

120

104

100

10000

1

100

23

105

10

100000

1

10000

1

10

Para escribir en forma exponencial números pequeñosseguimos esta regla:

• Recorremos el punto decimal a la derecha para que quede después de la primera cifra que sea distinta de 0.

• Contamos cuántos lugares recorrimos el punto y esa cantidad será el exponente negativo de 10.

Por ejemplo, para escribir con notación exponencial losnúmeros 0.000034 y 0.00176, hacemos lo siguiente:

Como en el caso de los números grandes, también se puedepasar de notación exponencial a forma desarrollada. Por ejemplo:

Utilice notación exponencial con una sola cifra entera paraescribir los siguientes números:

a) 0.124 c) 0.005 e) 0.0564 g) 0.875b) 0.000675 d) 0.000011 f) 0.009742 h) 0.0491

26


1.583 x 10–6 = 0.000001583

6 lugares

4.02587 x 10–2 = 0.0402587

2 lugares

Ejercicio 3

0.000034 = 3.4 x 10–5

5 lugares

0.00176 = 1.76 x 10–3

3 lugares

Escriba en forma desarrollada los siguientes números reales:

a) 6.3 x 10–4 c) 1.82 x 10–10

b) 3.12 x 10–6 d) 3 x 10–15

e) 52.210 x 10–7 g) 4.001 x 10–2

f) 0.03 x 10–4 h) 6687 x 10–2

Operaciones con números en notación exponencial

Una de las ventajas de usar la notación exponencial es que facilita la realización de algunos cálculos con números reales,especialmente el producto y la división. Esto es lo que veremosenseguida.

Para multiplicar dos números con notación exponencial, por ejemplo 12.07 x 107 y 1.02 x 104, escribimos el producto:

(12.07 x 107) x (1.02 x 104)

Por la propiedad conmutativa del producto de númerosreales, que se puede expresar como "el orden de los factores no altera el producto", escribimos:

(12.07 x 1.02) x (107 x 104)

27

LECCIÓN 2

Ejercicio 4

El producto de la izquierda se efectúa como ya hemos aprendido y nos da 12.07 x 1.02 = 12.3114. El producto de laderecha indica que multipliquemos 10 elevado a la 7, o sea 10multiplicado 7 veces por sí mismo, por 10 multiplicado 4 vecespor sí mismo, en total tenemos 10 multiplicado 11 veces por símismo. Es decir, 107 x 104 = 1011. El resultado de la operación es entonces:

(12.07 x 1.02) x (107 x 104) = 12.3114 x 1011

En general lo que se hace es que se multiplican los númerosdados sin contar la potencia de 10 y el resultado se multiplicapor 10 elevado a la suma de los exponentes de los números iniciales. En el ejemplo 12.07 x 1.02 = 12.3114 y al sumar losexponentes tenemos 7 + 4 = 11 que es el exponente de 10 en el resultado final. Es decir:

Esta forma de realizar las multiplicaciones se aplica también cuando los exponentes son negativos, o cuando hay una mezcla de exponentes positivos y negativos. Por ejemplo:

Vale la pena hacer un par de comentarios acerca de los últimos dos ejemplos. En el primero de los dos aparece 101.Como hemos visto:

101 = 10

28


(1.45 x 10–6) x (1.12 x 10–2) = (1.45 x 1.12) x 10–6+(–2) = 1.624 x 10–8

(2.7 x 10–4) x (3.1 x 107) = (2.7 x 3.1) x 10–4 +7 = 8.37 x 103

(6.6 x 104) x (2.2 x 10–3) = (6.6 x 2.2) x 104+(–3) = 14.52 x 101

(12.4 x 103) x (1.3 x 10–3) = (12.4 x 1.3) x 103+ (–3) = 16.12 x 100

(12.07 x 107) x (1.02 x 104) = (12.07 x 1.02) x 107+4 = 12.3114 x 1011

Y en el último ejemplo aparece 100. Este número es igual a 1:

100 = 1

Por lo tanto, los resultados de los últimos dos ejemplos sepueden expresar como:

En el caso de la división se procede de manera parecida, sólo que ahora en lugar de sumar los exponentes, se restan. Esdecir, se dividen los números sin considerar la potencia de 10, y el resultado se multiplica por 10 elevado a la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor.

Veamos algunos ejemplos:

En el caso de la suma y la resta de números reales expresados en notación exponencial no se pueden aplicar estasreglas. La única manera de realizar estas operaciones es expresarambos números con el mismo exponente, sumarlos o restarlos sinconsiderar la potencia de 10 y al resultado multiplicarlo por 10elevado al exponente común.

29

(6.6 x 104) x (2.2 x 10–3) = (6.6 x 2.2) x 104+(–3) =14.52 x 101 = 14.52 x 10(12.4 x 103) x (1.3 x 10–3) = (12.4 x 1.3) x 103+(–3) = 16.12 x 100 = 16.12

(12.5 x 104) ÷ (2 x 102) = (12.5 ÷ 2) x (104 ÷ 102) = 6.25 x 104 – 2 = 6.25 x 102

(18.6 x 104) ÷ (3 x 105) = (18.6 ÷ 3) x 104 –5 = 3.2 x 10–1

(15.3 x 10–2) ÷ (3 x 10–5) = (15.3 ÷ 3) x 10–2 –(–5) = 5.1 x 103

(10.92 x 10–3) ÷ (2.1 x 107) = (10.92 ÷ 2.1) x 10–3 – 7= 5.2 x 10–10

(–12.4 x 107) ÷ (4 x 107) = (–12.4 ÷ 4) x 107 – 7 = –3.1 x 100 = –3.1

L 2

Por ejemplo, para sumar 12.07 x 103 y 3.19 x 102, podemosempezar expresando el primer sumando de la siguiente manera:12.07 x 103 = 120.7 x 102. Después sumamos 120.7 + 3.19 =123.89, y a ese resultado lo multiplicamos por 102. Entonces tenemos que:

(12.07 x 103) + (3.19 x 102) = 123.89 x 102

Otra manera de realizar esta misma operación es expresandoel segundo sumando multiplicado por 103, así: 3.19 x 102 = 0.319 x103. Entonces se puede sumar 12.07 + 0.319 = 12.389, y a eseresultado se le multiplica por 103. Entonces el resultado es:

(12.07 x 103) + (3.19 x 102) = 12.389 x 103

Una tercera forma de hacer la operación es transformandolos dos números a su forma desarrollada. Así, hacemos 12.07 x 103 = 12070, y 3.19 x 102 = 319, y luego sumamos 12070 + 319 =12389. Tenemos entonces que:

(12.07 x 103) + (3.19 x 102) = 12389

Los tres resultados son equivalentes, puesto que:

123.89 x 102 = 12.389 x 103 = 12389

30


Realice las siguientes operaciones:

a) (1.85 x 10–6) x (3.12 x 105)

b) (8.5 x 10–2) x (5.7 x 104)

c) (8.06 x 10–3) x (1.3 x 10–2)

d) (4.33 x 107) x (6.1 x 106)

e) (2.4 x 10–5) ÷ (4 x 10–7)

f) (3.64 x 106) ÷ (1.4 x 104)

g) (3.25 x 10–1) ÷ (1.3 x 107)

h) (13.02 x 104) ÷ (4.2 x 104)

Realice las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma desarrollada:

a) (2.5674 x 103) + (13.17 x 102)

b) (5.47 x 102) + (1.2 x 10–1)

c) (5.47 x 102) + (–1.2 x 10–1)

d) (6.52103 x 104) – (652.103 x 102)

e) (–523.106 x 10–4) – (4.17x 10–1)

f) (1.1 x 10–3) – (–1.1 x 103)

31

Ejercicio 5

Ejercicio 6

LECCIÓN 2

Lección 3: Orden e intervalos

La recta real

En la lección anterior presentamos los números reales y vimos que éstos están constituidos por los números racionales y los irracionales. En grados anteriores vimos que a veces es conveniente representar números usando una recta. Así, una manera de representar números naturales era la siguiente:

Al estudiar los enteros también se utilizó esta representacióny la recta se veía ahora así:

Posteriormente estudiamos los racionales y también losagregamos a la recta:

32


0 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

–5 –4 -3.5 –3 –2 –1 - 0 1 1.5 2 3 3.8 4 5 5.134

12

Ahora, si en la recta pudiéramos representar todos losnúmeros racionales y los números irracionales, tendríamos unmodelo de los números reales, que se llama recta real. Cadapunto de la recta representa un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta.

Una utilidad de esta recta es ayudarnos cuando requerimoscomparar números reales. Como sucedía con los naturales,enteros y racionales, tenemos que de dos números, el mayor es el que aparece más a la derecha en la recta real. Así, de nuevo se tiene que cualquier número positivo y el cero, son mayores que cualquier negativo. Observando la recta vemos por ejemploque –1 < - porque - aparece, en la recta real, más a laderecha que –1.

Esto nos recuerda la regla que habíamos utilizado para comparar enteros y racionales. De dos números negativos elmayor es el que tiene menor valor absoluto, esto es, el menorcuando comparamos sus correspondientes positivos. Usando estemismo ejemplo se tiene que es menor que 1, entonces - esmayor que –1.

Para comparar dos reales positivos hacemos lo mismo que conlos racionales. Primero comparamos la parte entera: el que tienemayor parte entera es el mayor, por ejemplo 123.65 es mayor que99.874 porque 123 es mayor que 99; π es mayor que √2 porque laparte entera de π es 3 y es mayor que la de √2 que es 1.

Cuando los números tienen partes enteras iguales, se compara la primera cifra decimal a la derecha del punto: esmayor el número que tiene la mayor cifra decimal en el primerlugar a la derecha del punto. Por ejemplo 25.6 es mayor que

33

3

4

3

4

3

4

3

4

L 3

25.090 porque la primera cifra decimal del primero es 6, que es mayor que la primera cifra decimal del segundo, que es 0.

Si las partes enteras y las primeras cifras decimales de ambos números son iguales, entonces se procede a compararentre sí las segundas cifras decimales en ambos números. Y así, sucesivamente.

Como ya se ha dicho, los números irracionales se trabajan engeneral mediante una aproximación ya que no es posible escribirtodas sus cifras decimales. Una vez establecida la aproximacióncon la que queremos trabajar podemos compararla con otrosnúmeros como ya se ha explicado aquí.

Escriba los símbolos < , = , > según corresponda:

34


Ejercicio 1

a) 2.098 1.567

b) –π –1.9

c) –3.467 3.45

d) 12.97 12.098

e) π 1.9

f) 0.098 –1.001

g) 2 √2

h) –1.4 -√2

Intervalos de números reales

Una manera de utilizar los números reales, que se usará en otraslecciones de este libro, es mediante intervalos. Un intervalo denúmeros reales es un conjunto de números reales, también puedeverse como un "pedacito" de la recta real, es decir como un segmento de la recta. Por ejemplo, el que dibujamos aquí:

Para referirnos a este segmento de recta usamos lo que sellama intervalo. En este caso se trata del intervalo "de dos a trespunto cinco" y podemos representarlo encerrando los extremoscon un paréntesis y separados por una coma, así (2, 3.5). Comopodemos observar, identificamos el intervalo mencionando susextremos, primero el izquierdo, que corresponde al menor de los extremos y luego el derecho.

El intervalo "de dos a tres punto cinco" que hemos indicado es el conjunto de todos los números que están entre 2 y 3.5, esdecir, todos los números más grandes que 2 y más chicos que 3.5.Decimos que (2, 3.5) es un intervalo abierto. Por ejemplo 3.6 noestá en este intervalo porque es mayor que 3.5. Tampoco el 0está en este intervalo porque es más chico que dos. Podemos preguntarnos si 3.490 estará en el intervalo y la respuesta es sí, porque es mayor que 2 y menor que 3.5. Los extremos de unintervalo abierto no están en él: 2 no está en el intervalo porqueno es mayor que 3, y 3.5 tampoco porque no es menor que 3.5.

35

2 3.5

L 3

Para saber si un número está en un intervalo dado necesitamos comprobar dos condiciones:

• Que sea mayor que el extremo izquierdo• Que sea menor que el extremo derecho

Si no se cumple cualquiera de las dos condiciones, el númerodado no estará en el intervalo. Por ejemplo. Pensemos en elintervalo "de cero a nueve décimos":

¿Cuáles de los siguientes números están en este intervalo?

1, 0.91, 1000, 0.899, –5, –0.4, 3, –115.

Debemos decidir cuáles de estos números cumplen las doscondiciones:

Ser mayor que 0Ser menor que 0.9

Rápidamente podemos descartar a 1000, por ser mayor que0.9. Por la misma razón descartamos a 3 y al 1. Como cualquiernegativo es menor que 0 y queremos números mayores que 0,salen todos los negativos. Quedan por decidir:

0.91 y 0.899.

Ambos cumplen la primera propiedad, son mayores que 0.Pero es necesario que también cumplan la segunda. Ahora 0.91

36


0 0.9

y 0.9 tienen iguales sus primeras cifras decimales, debemos comparar las segundas. Aunque 0.9 no tiene segunda cifra decimal, podemos agregarle un 0 ya que 0.9 = 0.90. Comparando0.91 con 0.90 vemos que 0.91 > 0.90. Así que 0.91 no cumple la segunda condición, se "sale" del intervalo. Analicemos ahora el segundo número: vemos que 0.899 < 0.9, porque la primera cifra decimal del primero es 8 que es menor que la primera cifra decimal del segundo, que es 9. Entonces 0.899 está en el intervalo.

Cuando un número está en un intervalo decimos que"pertenece" al intervalo, de otra manera decimos que "nopertenece" al intervalo.

Para trabajar con intervalos son útiles los símbolos > y <. Así,si queremos saber si un número x está en el intervalo (–1.3, 1.1)necesitamos comprobar dos cosas:

Si x > –1.3 ySi x < 1.1.

Por ejemplo, nos preguntamos cuáles de los siguientesnúmeros pertenecen al intervalo (-1.3, 1.1):

2.8, 0.98, –0.5, 0.5, –4, 1.2, 1.09, 1.10.

2.8 >–1.3 pero no es menor que 1.1, así que 2.8 no pertenece a (–1.3, 1.1).

0.98 > –1.3, y también 0.98 < 1.1, así que 0.98 sí pertenece al intervalo (–1.3, 1.1).

37

LECCIÓN 3

Al revisar los otros números encontramos que:

Los intervalos que hemos considerado hasta ahora en nuestrosejemplos son intervalos abiertos: en ellos no están incluidos losextremos. Algunas veces queremos que el intervalo sí incluya asus extremos. Por ejemplo, si queremos referirnos al conjunto de números formado por el 2, el 5 y todos los números que están entre los dos, escribimos [2, 5] y decimos que [2, 5] es unintervalo cerrado. Observe que la diferencia en la notación estádada por la forma de los paréntesis: aquí usamos paréntesiscuadrados, también llamados corchetes. Podemos representar un intervalo cerrado así:

Para comprobar si un número x está en un intervalo cerrado, digamos el intervalo [-2.3, -1.4], necesitamos comprobar dos cosas:

38


–0.5 pertenece a (–1.3, 1.1) porque –0.5 > –1.3 y –0.5 < 1.10.5 pertenece a (–1.3, 1.1) porque 0.5 > –1.3 y 0.5 < 1.1–4 no pertenece a (–1.3, 1.1) porque –4 < –1.31.2 no pertenece a (–1.3, 1.1) porque 1.2 > 1.11.09 pertenece a (–1.3, 1.1) porque 1.09 > –1.3 y 1.09 < 1.11.10 no pertenece a (–1.3, 1.1) porque 1.10 = 1.1

Que x sea mayor o igual que el extremo inferior.Esto lo escribimos así: a ≥ –2.3Que x sea menor o igual que el extremo inferior.Esto lo escribimos así: a ≤ –1.4

2 5

Por ejemplo, veamos si los siguientes números pertenecen alintervalo [–2.3, –1.4]:

–1.8, 0, 1.2, –1.2, –2.3, –2.6, –1.4, –1.5

Al analizar cada uno observamos que:

Combinando las notaciones anteriores podemos escribir intervalos semi-abiertos, es decir intervalos que contienen sóloun extremo. Por ejemplo, el intervalo

• [3, 7) contiene al número 3, y a todos los números mayores que 3 y menores que 7. Es decir, xpertenece al intervalo [3, 7) si x ≥ 3 y si x < 7. Decimos que [3, 7) es un intervalo abierto por la derecha.

• (3, 7] contiene a todos los números mayores que 3 y menores que 7 y también al número 7. Es decir,x pertenece al intervalo (3, 7] si x > 3 y si x ≤ 7. Decimos que (3, 7] es un intervalo abierto por la izquierda.

39

LECCIÓN 3

–1.8 pertenece a [–2.3, –1.4] porque –1.8 ≥ –2.3 y –1.8 ≤ –1.40 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque 0 > –1.41.2 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque 1.2 > –1.4–1.2 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque –1.2 > –1.4–2.3 pertenece a [–2.3, –1.4] porque –2.3 ≥ –2.3 y –2.3 ≤ –1.4–2.6 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque –2.6 < –2.3–1.4 pertenece a [–2.3, –1.4] porque –1.4 ≥ –2.3 y –1.4 ≤ –1.4–1.5 pertenece a [–2.3, –1.4] porque –1.5 ≥ –2.3 y –1.5 ≤ –1.4

En cada inciso, indique si el número de la izquierda pertenece alintervalo de la derecha:

a) 0.9 (1.7, 2.3)

b) –1.56 (–1.5, 1.5)

c) 1.31 (1.3, 2)

d) 2.08 (2.079, 2.081)

En general, si llamamos a y b a dos números cualesquiera y a< b, tenemos:

40


Contiene

x pertenece al

intervalo si:x > ax < b

x ≥ ax ≤ b

x ≥ ax < b

x > ax ≤ b

A todos losnúmeros mayores que a ymenores que b.Los extremos a yb no pertenecenal intervalo.

A los números a, b y a todoslos que son mayores que a ymenores que b.Los extremos ay b pertenecenal intervalo.

Al número a, y a todos losque son mayoresque a y menoresque b.El extremo apertenece alintervalo, b nopertenece a él.

A todos losnúmeros mayores que ay menores que by al número b.El extremo ano pertenece alintervalo, b sípertenece a él.

Representación

en símbolos

Representación

gráfica

(a, b) [a, b] [a, b) (a, b]

Intervalo abierto Intervalo

cerrado

Intervalo abierto

por la derecha

Intervalo abierto

por la izquierda

a b a b a b a b

Ejercicio 2

e) –3.5 (–5, 5)

f) –0.00001 (0, 0.5)

g) 9.0001 (–15, 9.01)

h) π (3.1, 3.2)

i) –π (–4, 2)

j) π (–π, π)

k) √2 (0, π)

l) –2.38 (–2.3, –1.8)

m) 5 (5, 10]

n) 8 [8, 24]

o) –6 [–6, 0)

p) 0 [–6, 0)

q) –3.28 (–3, 3)

r) 1/2 [0, 1]

s) -5/2 (–1, 0)

t) 3.5 [3, 3.5)

u) –2.7 (–3, –2)

v) 1.799 (1, 1.8)

w) 3.0001 (3, 4)

x) –128.16 (–345.12, –128.17]

41

LECCIÓN 3

42


Lección 4: ProporcionalidadLa proporcionalidad es un tema que hemos venido estudiandodesde el primer grado de secundaria, sobre todo en la lección 7del segundo curso. La idea de proporcionalidad se sitúa dentro de una relación entre dos clases de cantidades o medidas. Unavez que se establece la relación es posible decir si en ella existe proporcionalidad o no. Veamos algunos ejemplos.

Mayra y Lety fueron a comprar dulces, Mayra compró 6 caramelos y pagó $0.15. Lety se llevó 12 caramelos y pagó $0.30.

Como vemos, en este ejemplo hay una relación entre la cantidad de dulces y lacantidad de dinero que se pagapor ellos. Además esta relacióncumple una propiedad que lacaracteriza de manera especial.Observemos que Lety compró eldoble de caramelos que Mayra,ya que 12 es el doble de 6, perotambién Lety pagó 30 centavos,que es el doble de lo que pagó

43

Mayra. En esta relación vemos que a más caramelos, más es lo que hay que pagar y no sólo esto, sino que el aumento es proporcional.

Otros ejemplos de este tipo de relaciones son las tablas de precios que tienen algunas taquerías o tortillerías, o los negocios de fotocopiadoras. A las relaciones de este tipo se les llama relaciones directamente proporcionales.

Nacho y Manuel tienen cada uno un tanque para almacenar agua, y ambos tanques son idénticos. Para llenarlos tienen que caminar al pozo, llenar sus cubetas y regresar a su casa para vaciarlas en su tanque. Nacho tiene una cubeta de 10 litros, Manuel tiene una cubeta de 20 litros. Por esta razón, cuando el tanque está vacío, para llenarlo Nacho da 10 vueltas mientras que Manuel sólo da 5 vueltas.

Al analizar este ejemplo observamos que hay una relaciónentre la capacidad de las cubetas y el número de vueltas que hay que dar para llenar tanques iguales. Cuando las cubetas sonmás grandes se requiere dar menos vueltas. En esta relación, a diferencia de la del primer ejemplo, a más capacidad de las cubetas menos vueltas hay que dar. Por esto decimos que es una relación inversa, pero además el aumento en la capacidad se relaciona con la disminución en el número de vueltas proporcionalmente, ya que cuando la capacidad de las cubetas es el doble, el número de vueltas se reduce a la mitad. En cadaviaje Nacho acarrea 10 litros, mientras que Manuel lleva 20 litros,el doble. Así mismo Nacho da 10 vueltas mientras que Manuel da5 vueltas, la mitad.

LECCIÓN 4

Otro ejemplo de este tipo de relaciones sucede cuando dosvehículos recorren una misma distancia a diferentes velocidades.El que viaja a mayor velocidad se llevará menos tiempo en hacerel recorrido, el que viaja a menor velocidad tardará más en llegar. A este tipo de relaciones se les llama inversamente proporcionales.

En las siguientes secciones estudiaremos algunas propiedadesde relaciones tanto directa como inversamente proporcionales.Presentaremos ejemplos y situaciones cuyo conocimiento nospuede facilitar la resolución de problemas. Conviene aclarar queno cualquier relación es directa o inversamente proporcional: hayrelaciones que no son proporcionales. El siguiente es un ejemplode relación que no es proporcional:

El área de un círculo está dada por la fórmula A = πr2.Entonces si tenemos un círculo de radio 3 cm y usando para π la aproximación 3.1416, el área es igual a 28.2744 cm2.Si tomamos una circunferencia del doble de radio, esto es de radio 6 cm, al sustituir en la fórmula y hacer los cálculosresulta que el área es 113.0976 cm2, que no es el doble de28.2722. Si bien es cierto que a mayor radio, mayor área, el aumento no es proporcional al aumento del radio.

Proporcionalidad directa

El primer ejemplo de la sección anterior es un ejemplo de proporcionalidad directa. Para estudiar las propiedades de estetipo de relación vamos a ver el caso de la venta de caramelos y completaremos los datos que faltan en esta tabla.

44


Observemos que hay tres columnas completas: las que relacionan 6 caramelos con 15 centavos, 12 caramelos con 30 centavos y 60 caramelos con 150 centavos (o, lo que es lo mismo, con $1.50).

Si consideramos el cociente de cantidad a pagar entre el número de caramelos comprados, tenemos Como podemos observar, todos estos números son el mismo: están expresados como fracciones distintas peroequivalentes. De hecho todas corresponden al decimal 2.5.

En cualquier relación directamente proporcional se cumpleeste hecho: que el cociente de dos cantidades relacionadas essiempre el mismo, en este caso 2.5. A este cociente se le llamavalor unitario o constante de proporcionalidad. En este ejemplola constante de proporcionalidad representa el precio en centavosde cada caramelo. Como ya se sabe que cada caramelo cuesta 2.5 centavos, para encontrar cuánto se debe pagar por 18caramelos sólo se requiere multiplicar el valor 2.5 por 18. Al hacer la multiplicación encontramos que 18 x 2.5 = 45. Hay que pagar 45 centavos.

Otra manera de razonar es la siguiente: 18 es el triple de 6, entonces hay que pagar el triple de lo que se pagó por 6 caramelos, esto es, 3 x 15 = 45.

Con cualquiera de estos procedimientos podemos completarla tabla para 90 y 120 caramelos. Como 90 x 2.5 = 225.0, por 90

45

Caramelos

A pagar encentavos

6

15 30 0 60 90

12 18 9060 120

150($1.50)

270($2.70)

LECCIÓN 4

15

6

30

12150

60= = .

caramelos se pagan 225 centavos (es decir, $2.25), mientras quepor 120 caramelos se pagan 120 x 2.5 = 300 centavos (es decir,$3.00).

Existe otra relación importante que cumplen las relacionesdirectamente proporcionales. Al dividir dos cantidades en unamisma clase, el cociente obtenido es el mismo que al dividir suscorrespondientes en la otra clase. Por ejemplo, si nos fijamos en la clase de los caramelos y dividimos 12 ÷ 6 = 2, también sus correspondientes precios, que son 30 y 15, dan 2 al dividirse. Lo que estamos comprobando aritméticamente es algo que yasabíamos: como 12 es el doble de 6, 30 es el doble de 15.

Veamos otro caso, tomemos dos cantidades en el renglón de los caramelos y dividamos una entre otra: 120 ÷ 90 = 1.333…,ahora consideremos los correspondientes precios: 300 y 225, altomar su cociente resulta 300 ÷ 225 = 1.333… Lo que se tiene aquí es que como 120 es 1.333… veces 90, lo que se paga por 120 es 1.333 veces lo que se paga por 225.

Para completar los datos que faltan en la tabla, que son lacantidad de caramelos que se pueden comprar con 60, 90 y 270 centavos, podemos utilizar el valor unitario. Si cadacaramelo cuesta 2.5 centavos, con 60 centavos se pueden com-prar 60 ÷ 2.5 = 24 caramelos.

Para resumir lo que se ha discutido aquí observemos que:

• El número de caramelos multiplicado por 2.5 nos da la cantidad que se pagará.

• La cantidad pagada entre 2.5 nos da la cantidad de caramelos comprados.

46


• Cualquier cantidad pagada entre el número de caramelos comprados con ella da 2.5.

Termine de completar la tabla de los caramelos del primer ejemplo.

La siguiente tabla se refiere a la cantidad de sacos de abono quese requieren para abonar diferentes áreas de cultivo de acuerdo con su medida en metros cuadrados. Complete la tabla y obtengala constante de proporcionalidad.

47

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Cantidad detierra en m2

Cantidad deabono en sacos

1

3 5

2 10 15 50

25

75

13.5 42

LECCIÓN 4

Regla de tres

En esta sección veremos una manera corta de resolver algunosproblemas de proporcionalidad directa, llamada la regla de tres.Cuando se sabe que una relación entre dos clases de objetos esde proporcionalidad directa y se conocen tres datos, es fácilencontrar el cuarto. Veamos algunos ejemplos.

Cuatro camisas cuestan $300. ¿Cuánto cuestan cincocamisas?

Podemos acomodar la información de la siguiente manera:

Camisas: 4 5Costo: 300 ?

Llamemos x al costo de las 5 camisas. Entonces tenemos:

Camisas: 4 5Costo: 300 x

A este acomodo lo podemos leer de la siguiente manera:"cuatro es a trescientos como cinco es a x". Podemos encontrar x buscando primero la constante de proporcionalidad, que es el precio de una camisa, así: 300 ÷ 4 = 75, y luego multiplicandoese resultado por 5, así: 75 x 5 = 375. Entonces, cinco camisas

48


cuestan $375. Observe que el resultado de 375 se obtuvo de hacerlas operaciones x 5 y que otra manera de expresar las operaciones es así: .

Dicho de otra manera, si consideramos nuestro acomodo inicial,

Camisas: 4 5Costo: 300 x

podemos encontrar el valor de x multiplicando los dos datos existentes en la diagonal en la que no está la x y dividiendo entre el tercero:

x = = = 1500 ÷ 4 = 375

Veamos otro ejemplo.

¿Cuánto recorre un automóvil en 90 minutos si viaja a 80 kilómetros por hora?

Si ahora llamamos x a lo que el automóvil recorre en 90 minutos, podemos acomodar la información así:

49

300 x 54

3004

300 x 5

4

1500

4

LECCIÓN 4

Distancia: x 80Tiempo: 90 60

Entonces encontramos el valor de x multiplicando los dos datos existentes en la diagonal en la que no está la xy dividiendo entre el tercero:

x = = = 7200 ÷ 60 = 120

El automóvil recorre 120 kilómetros en 90 minutos.

Observe que con esta regla no importa cuál es el cuarto dato faltante. Por ejemplo, podemos preguntarnos cuánto tiempotarda el mismo automóvil del ejemplo anterior en recorrer 50kilómetros. Entonces tenemos:

Distancia: 50 80Tiempo: x 60

Y ahora la regla de tres se resuelve así:

x= = = 37.5

El automóvil tarda 37 minutos y medio en recorrer los 50kilómetros.

También podemos preguntarnos a qué velocidad viaja unautomóvil que recorre 125 Km en una hora y cuarto. Podemosresolver este problema de dos maneras. O bien traducimos todo a minutos, entonces tenemos que una hora y cuarto son 60 + 15 = 75 minutos, y la regla de tres queda así:

50


50 x 60

80

3000

80

90 x 80

60

7200

60

Distancia: 125 xTiempo: 75 60

y la solución es:

x= = =100,

o bien expresamos todo en horas y la regla de tres queda así:

Distancia: 125 xTiempo: 1 1

y la solución es:

x = = = ÷ = x = = = 100.

De cualquier modo, encontramos que la velocidad delautomóvil era de 100 kilómetros por hora. Observe que pararealizar la regla de tres, necesitamos que las unidades de los elementos de la misma clase fueran siempre las mismas: todas las distancias en kilómetros y todos los tiempos o bien en minutos o bien en horas.

Encuentre, por regla de tres, el valor de x en los siguientes arreglos:

a) 15.6 x b) 91 3.9 c) x 1700 d) 548 1537.2 8.4 x 2.4 25 510 8.1 x

51

125 x 60

75

7500

75

125 x 11

41

1255

4

125

1

125 x 4

1x5

125

1

5

4

4

5500

5

Ejercicio 3

LECCIÓN 4

1

4

Resuelva, por regla de tres, los siguientes problemas de proporcionalidad directa:

a) Si dos tacos cuestan $3.00, ¿cuántos tacos podrán comprarse con $36.00?

b) Si una llave de agua llena tres cuartas partes de un tanque en 24 minutos, ¿cuánto tardará el tanque en llenarse?

c) Si un mantel mide 1.20 m de ancho por 1.80 m de largo, ¿qué ancho tendrá un mantel de la misma proporción si de largo mide 1.50 m?

d) Si 46 personas caben en dos autobuses, ¿cuántos autobuses se necesitan para transportar a 115 personas?

Proporcionalidad inversa

En esta sección profundizaremos en algunos aspectos de las relaciones de proporcionalidad inversa. Para ello volveremos al segundo ejemplo de la primera parte de esta lección, el de las cubetas. Mostraremos la información conocida en una tabla y dejaremos algunos datos sin revelar para irlos obteniendo deacuerdo con las propiedades que encontremos.

52


Capacidad decada cubeta

No. de vueltas

1

12.5 10 5

2 10 20 40 50

4

Ejercicio 4

En esta relación ya no se cumple lo que pasaba con loscaramelos de la sección anterior. Por ejemplo tomamos en elrenglón de capacidad de las cubetas y dividimos 20 ÷ 10 = 2, las correspondientes vueltas son 5 y 10, respectivamente, pero 5 ÷ 10 = , que no es igual a 2. Esto sucede porque la relación es proporcional pero no directa, sino inversa, y podemos decirque los cocientes o razones obtenidos son inversos: 2 y .

Otra relación que se puede encontrar es que al multiplicar lacapacidad de las cubetas por el número de vueltas es el mismo,por ejemplo aquí tenemos 10 x 10 = 20 x 5 = 100. Este dato nosda información acerca de lo que acarrea cada cubeta en total,esto es 100 litros por cubeta. Con este dato ya es fácil completarla tabla, por ejemplo con la cubeta de 1 litro, se necesitan 100 ÷ 1 = 100 vueltas. Para la de 2 litros se requieren 100 ÷ 2 = 50vueltas.

También podemos saber la capacidad de las cubetas deacuerdo al número de vueltas, si se usaron 4 vueltas para llevar

53

12

12

LECCIÓN 4

100 litros, en cada vuelta se llevaron 100 ÷ 4 = 25 litros. La capacidad de la cubeta es 25 litros.

En resumen tenemos:

• El cociente de 100 entre el número de vueltas nos da la capacidad de cada cubeta.

• El cociente de 100 entre la capacidad de una cubeta nos da el número de vueltas.

• Al multiplicar la capacidad de una cubeta por su correspondiente número de vueltas, se obtiene siempre 100.

Cabe señalar que en las relaciones de proporcionalidad inversa no se puede aplicar la regla de tres como fue expuesta en la sección precedente.

Complete la tabla de las cubetas y las vueltas.

La siguiente tabla muestra las velocidades de distintos vehículos y el tiempo que tardan en viajar de Cuitzeotlán a Mirabampo.Complete la tabla y encuentre la distancia entre Cuitzeotlán yMirabampo.

54


Velocidad delvehículo

Tiempo quetarda

24 8 4

20 45 8075 100 120

3.2 2.4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Variaciones proporcionales y no proporcionales

Consideraremos ahora otros ejemplos.

En la tienda de abarrotes de don Hilario aparece un letrero que dice "Ventas al mayoreo y menudeo, pregunte por nuestros precios". Un cliente que quiere comprar arroz pide a don Hilario que le dé 9 kilos de arroz. Don Hilario le dice que son $45, pero que por esta misma cantidad de dinero se

55

LECCIÓN 4

puede llevar 10 kilos. El cliente no entiende nada y pide a don Hilario que le explique. Para ello don Hilario le muestra una tabla como ésta:

Don Hilario explica a su cliente que a partir de 10 kilos élconsidera que es compra al mayoreo y baja el precio por kilo. Si observamos bien, al dividir el precio entre la cantidad en lasprimeras 9 columnas, siempre obtenemos el mismo resultado, 5, por ejemplo 30 ÷ 6 = 40 ÷ 8 = 5, etc. Éste es el precio por kilo si se compran de 1 a 9 kilos. Para estas cantidades existe proporcionalidad.

En cambio, a partir de 10 tenemos otras relaciones:

45 ÷ 10 = 4.5, 132 ÷ 30 = 4.40, 200 ÷ 50 = 4,88 ÷ 20 = 4.40, 160 ÷ 40 = 4, 400 ÷ 100 = 4.

Esto es, el precio del kilo de arroz varía según se compre máso menos.

Esta relación no es directamente proporcional por lo que acabamos de ver. También podemos notar que no es directamente proporcional si observamos que por 10 kilos sepagan $45, mientras que por 20 kilos, que es el doble de 10, no se paga el doble, que sería 90, sino $88.

Otro ejemplo de una proporción que no es directamente proporcional es el siguiente.

56


1

5 10 15 20 25 30 35 40 45 45 88

2 3 4 5 6 7 8 9 10 20

132

30

160

40

200

50

400

100

El volumen de un tanque cilíndrico se calcula sacando el áreade la base por la altura. De hecho, si r es el radio del círculo que es la base del tanque y h es la altura, el volumen está dado por la fórmula

V = π x h x r 2

Con esta fórmula vamos a obtener algunos volúmenes de cilindros de 50 cm de altura y de diferentes radios, y vamos a mostrar esta información en una tabla. Para π usaremos la aproximación 3.14 y redondearemos los resultados a una cifra decimal.

Para ver que no se trata de una relación directamente proporcional, observaremos un solo caso. Por ejemplo para 25 cmde radio el volumen del cilindro es 98125 cm3; mientras que paraun radio del doble de tamaño, esto es, de 50 cm, el volumen es392500, que no es el doble de 98125. Con esto basta para saberque la relación no es directamente proporcional.

Las siguientes tablas muestran distintas relaciones entre cantidades de dos clases, algunas son proporcionales y otras no.Entre las proporcionales, algunas son directas y otras son inversas.

57

LECCIÓN 4

r encm

10 20 25 30

141300

35

192325

40

251200

48

361730

50

392500

75

883125V encm3 15700 62800 98125

Ejercicio 7

Identifique de qué tipo es cada relación y justifique su respuesta.Cuando la relación sea directamente proporcional, indique cuál esla constante de proporcionalidad.

a) Se sabe que la reproducción de cierta célula es por biparticióny que el proceso se repite cada 24 horas. La siguiente tabla muestra la cantidad de células después de diferentes cantidades de días.

b) La cantidad de harina que se requiere para hacer 20 galletas es una taza. La siguiente tabla muestra la cantidad de harina necesaria para que, con la misma receta, se hagan diferentes cantidades de galletas.

c) El perímetro de un cuadrado varía de acuerdo al lado y la fórmula para calcular el perímetro es P = 4l . La tabla siguiente muestra el perímetro de algunos cuadrados de acuerdo al lado en metros.

58


Días

Cantidadde células

1

2

2

4

3

8

4

16

5

32

6

64

7

128

8

256

9

512

Harina entazas

Cantidadde galletas

10

1

20 30

2

40 50

3

60 70

4

80

5

100

12

121

122

123

l

P

0.10

0.40

0.20

0.80

0.30

1.20

0.40

1.60

0.50

2.00

1.00

4.00

1.20

4.80

1.40

5.60

1.50

6.00

d) La cantidad de gasolina que gasta un automóvil varía de acuerdo con la velocidad a la que viaja el automóvil. La siguiente tabla muestra cuántos kilómetros por litro de gasolina rinde cierto automóvil, según la velocidad a la que viaja (en kilómetros por hora).

e) Para almacenar las cajas en las que se vende cierto producto, se pueden acomodar los lotes sobre rectángulos que tienen diverso ancho y largo. La siguiente tabla muestra las dimensiones (en metros) que ocupan distintos lotes.

f) El uso del polvo de hornear varía según la altitud sobre el nivel del mar a la que se utiliza. La siguiente tabla muestra la cantidad de polvo de hornear (en cucharaditas) que se debeutilizar para hornear cierto pastel, de acuerdo con la altitud sobre el nivel del mar (en metros).

59

LECCIÓN 4

Velocidad

Rendimiento

40

9.8

60

10.7

80

17.5

100

16.8

120

12.3

140

11.1

Largo

Ancho

4

3

5

2.4

6

2

8

1.5

10

1.2

12

1

Altitud

Polvo dehornear

0

2

500 1000 1500 1000 2500 3000 3500 4000

1781

341

581

121

381

141

181

60


Lección 5: PorcentajesEn las lecciones anteriores estudiamos relaciones de proporcionalidad directa e inversa. En esta lección estudiaremos una relación de proporcionalidad directa especial: los porcentajes.

Encontramos los porcentajes en muchas facetas de nuestravida, como los descuentos, los impuestos, los intereses del banco,las estadísticas en general y otras muchas situaciones. En estalección estudiaremos cómo usar y resolver problemas en los queintervienen porcentajes. Para ello, veremos algunos ejemplos.

Muchas veces, en los productos que se venden en las tiendas podemos leer sus contenidos en porcentajes. Por ejemplo algunas mermeladas tienen leyendas como 30% de fruta natural, o 25% de fruta. ¿Qué significa esto?

El porcentaje es una proporción. El número 25%, que se lee"veinticinco por ciento", significa 25 de cada 100. Pero, ¿de cuáles100? En general, en los productos alimenticios, el 100 se refiere a100 gramos: si una mermelada tiene 25% de fruta eso significaque de cada 100 gramos de mermelada, 25 gramos son de fruta ylo demás son agua, azúcar y otros ingredientes. En lugar de 25%

de fruta, el envase podría decir 25 gramos de fruta por cada 100gramos de mermelada. Si otra mermelada tiene el 30% de nuevosignifica que de cada 100 gramos, 30 corresponden a fruta.

Pero, ¿por qué no poner simplemente 30 gramos de fruta, enlugar de decir 30% de fruta? En parte esto se debe a que en casoscomo éste, los porcentajes son usados como una medida de lacalidad: la mermelada que más fruta contiene proporcionalmente,será de mayor calidad y al hablar en porcentajes, no importa eltamaño del envase y es más fácil comparar calidades.

Supongamos que queremos decidir entre una mermelada que tiene 30% de fruta, como la del ejemplo anterior, y una mermelada en envase de 200 gramos que dice tener 40 gramos de fruta. En un primer momento podríamos pensar que ésta es de mejor calidad que la primera que vimos porque tiene másfruta, sin embargo también tiene más agua y azúcar, porque son200 gramos. Para hacer la comparación necesitamos considerar cantidades iguales, por ejemplo 100 gramos de mermelada.Tomaremos entonces sólo la mitad del envase de la segunda mermelada, es decir 100 gramos, por lo tanto tenemos la mitad de fruta, es decir 20 gramos de fruta. En realidad esta mermelada tiene 20% de fruta, o sea que es de menor calidad que la que contiene 30% de fruta.

61

LECCIÓN 5

Veamos otro ejemplo:

Una tienda departamental anuncia que todos sus productos lácteos están con un 40% de descuento. Esto significa que de cada 100 pesos de compra de estos productos, se van a descontar $40. Como sabemos que el porcentaje es una relación directamente proporcional, si gastamos el doble, la cantidad de dinero descontada es el doble, si gastamos $200, el monto del descuento se duplica: $80. Si se compra sólo $50, la mitad de 100, el monto del descuento será de la mitad, es decir,$20. Vamos a presentar estos resultados en una tabla:

Podemos observar que 50 x 0.40 = 20; 100 x 0.40 = 40; 200 x 0.40 = 80. Lo que vemos es que para obtener el 40% de descuentos de una cantidad, debemos multiplicar ésta por 0.40o, lo que es lo mismo, por . El valor 0.40 también puedeobtenerse al dividir cada descuento entre la cantidad original correspondiente: 20 ÷ 50 = 40 ÷ 100 = 80 ÷ 200 = 0.40. Yahabíamos visto en la lección de proporcionalidad directa, que este resultado, que siempre es el mismo, es el valor unitario oconstante de proporcionalidad. Así, para obtener el 40% de 10, podemos realizar la multiplicación 0.40 x 10 = 4. Esto es, el 40%de 10 es 4.

Otra manera de resolver este tipo de problemas es medianteuna regla de tres, puesto que tenemos una proporcionalidaddirecta. Así, por ejemplo, para obtener el 40% de 10, podemosdecir "40 es a 100 como x es a 10":

62


40100

Precio

40% de descuento

10

6

28 50

20

100

40 48

140

64

200

80

Descuento: 40 xPrecio: 100 10

y entonces tenemos que:

x = = = 4

Lo que acabamos de ver es que hay dos maneras de calcularel "tanto por ciento" de un número: o bien se multiplica esenúmero por el tanto por ciento dividido entre cien, o bien serazona mediante una regla de tres. Veamos con las dos manerascómo calcular el 40% de 28, cantidad a la que llamaremos t:

t = 0.40 x 28 Descuento: 40 tt = 11.20 Precio 100 28

t = = 11.20

También se puede utilizar cualquiera de las dos maneraspara encontrar que el 40% de 140 es 56.

Otra clase de problemas que se presentan cuando se trabajacon porcentajes, es cuando se conoce el resultado de aplicar elporcentaje pero no la cantidad inicial. Tenemos esa situacióncuando conocemos la cantidad descontada correspondiente al 40% de una cantidad original pero esa cantidad original esdesconocida. Por ejemplo en la tabla vemos que 6 es el 40% de descuento pero no sabemos de qué cantidad. Veamos dos maneras distintas de resolver este problema.

63

LECCIÓN 5

28 x 40

100

40 x 10

100

400

100

64


Podemos plantear una ecuación, como se hizo en gradosanteriores. Si llamamos x a la cantidad desconocida, lo que tenemos es que el 40% de x es 6, es decir:

0.40 x x = 6

Para resolver la ecuación necesitamos despejar la incógnita,x. Para ello hay que dejarla "sola" de un lado de la ecuación, loque se logra "deshaciendo" el efecto de las operaciones que laestán afectando. Aquí aparece multiplicada por 0.40, así que para"deshacer" este efecto dividimos entre 0.40, y aplicamos estaoperación en ambos lados de la igualdad para que no se altere:

=

y de ahí obtenemos x = 15.

La otra manera de resolver el problema es nuevamente usando una regla de tres: ahora el razonamiento es "40 es a 100 como 6 es a x":

Descuento: 40 6Precio: 100 x

Y entonces podemos resolver la regla de tres:

x = = = 15

Hemos entonces resuelto de dos maneras distintas que 6 es el 40% de 15. Veamos en paralelo cómo se resuelve con las dosmaneras el siguiente problema: ¿de cuánto es 40% la cantidad de 36? Llamemos y a esa cantidad.

0.40 x x

0.406

0.40

100 x 6

40

600

40

0.40 x y = 36 Descuento: 40 36Precio 100 y

=

y = 90 y = =90

También se puede utilizar cualquiera de las dos maneraspara encontrar que 48 es el 40% de 120.

Aquí tenemos la tabla del 40% de descuento completa:

Como hemos visto en el ejemplo, para obtener el 40%podemos multiplicar por 0.40, o lo que es lo mismo, , esto es 40 centésimos. Para obtener el 50% debemos multiplicar por 0.50 ó , para obtener el 24% por 24 centésimos, 0.24, para obtener el 4% se debe multiplicar por 4 centésimos, esto es por 0.04. Así, por ejemplo,

El 65% de 35 es igual a 0.65 x 35 = 22.75El 3% de 284 es igual a 0.03 x 284 = 8.82

Veamos por último otra clase de problemas que se presentancon frecuencia con respecto a los porcentajes. En este caso nosinteresa saber qué porcentaje es una cantidad de otra.Consideremos un ejemplo:

65

LECCIÓN 5

40

100

50

100

0.40 x y

0.4036

0.40

36 x 100

40

Precio

40% dedescuento

10

4

15

6

28

11.20

50

20

100

40

120

48

140

56

160

64

200

80

66


En una comunidad tienen 400 hectáreas, de las que 60 son de bosque y 150 de pastizal. ¿Qué porcentaje del terreno ocupa el bosque? ¿Qué porcentaje del terreno ocupa el pastizal?

Como en los casos anteriores, resolveremos el problema delbosque de dos maneras. De acuerdo con la primera, plantearemosuna ecuación: supongamos que w es el porcentaje del terreno queocupa el bosque. Entonces, tenemos que 60 es el w % de 400, loque se puede expresar de la manera siguiente:

x 400 = 60

Para despejar esta ecuación debemos "deshacer" las operaciones que afectan a w, que son una multiplicación por

w

100

400 y una división entre 100, y debemos aplicar las operacionesinversas de ambos lados de la igualdad para que ésta se conserve:

x 400 ÷ 400 = 60 ÷ 400

=

= 0.15

= 0.15 x 100

w = 15

Encontramos entonces que las 60 hectáreas de bosque son el 15% del total de las 400 hectáreas que tiene la comunidad.

La segunda manera en que podemos resolver este problemaes utilizando una regla de tres. Como ahora queremos saber 60 de 400 qué porcentaje es, nuestro razonamiento es "60 es a 400como w es a 100":

Bosque: 60 wTerreno: 400 100

Y entonces resolvemos la regla de tres:

w = = = 15

Con lo que obtenemos el mismo resultado que con el otrométodo.

Veamos con los dos procedimientos cómo resolver el problema del pastizal: ahora diremos que las 150 hectáreas de pastizal son el z% de las 400 hectáreas del terreno.

67

LECCIÓN 5

W x 100

100

W

100

W

100

60

400

W

100

60 x 100

400

6000

400

x 400 = 150 Pastizal 150 z

x 400 ÷ 400 = 150 ÷ 400 Terreno 400 100

= 0.375 z = = = 37.5

= 0.375 x 100

z = 37.5

Es decir, el pastizal constituye el 37.5% del terreno de lacomunidad.

Haga una tabla para encontrar el 26% de 10, 20, 30, hasta 100.

Haga una tabla para encontrar el 4% de 15, 30, 45, 60, 75, 90,105, 120, 135, 150.

Utilice el procedimiento que prefiera para encontrar:a) el 21% de 143 c) el 15% de 620 e) el 95% de 52b) el 5% de 218 d) el 8% de 18973 f) el 1% de 872

68


z

100

z

100

z

100

z X 100

100

150 X 100

400

15000

400

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Utilice el procedimiento que prefiera para encontrar:

a) De qué cantidad es 56 el 7%.b) De qué cantidad es 328 el 42%.c) De qué cantidad es 0.5 el 20%.d) De qué cantidad es 3.2 el 87%.e) De qué cantidad es 42.7 el 2%.f) De qué cantidad es 12 el 12%.

Utilice el procedimiento que prefiera para encontrar:

a) Qué porcentaje es 60 de 1200.b) Qué porcentaje es 893.5 de 1512.c) Qué porcentaje es 75 de 56400.d) Qué porcentaje es 12 de 12.e) Qué porcentaje es 15 de 150000.f) Qué porcentaje es 260 de 130.

En una tienda ofrecen el 35% de descuento en todas las lámparas.Complete las celdas vacías de la siguiente tabla.

69

LECCIÓN 5

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

En una tienda de abarrotes venden jalea de frutas. La marca"Frutita" ofrece la misma calidad en todas sus presentaciones. En el frasco de 500 g la etiqueta dice: "contiene 45% de fruta".

a) ¿Qué porcentaje de fruta tendrá el frasco de 250 g?b) ¿Qué cantidad de fruta tendrá el frasco de 250 g?

Como usted sabe, el Impuesto al Valor Agregado (IVA) es de 15%.a) ¿Cuánto se debe pagar de IVA por un artículo que cuesta $56?b) Si por un artículo se pagó $4.50 de IVA, ¿cuánto cuesta el artículo sin IVA y cuánto cuesta con IVA?c) Por un artículo se pagó $716.45 con todo e IVA. ¿Cuánto costó el artículo sin IVA y cuánto se pagó de IVA? (Sugerencia:el precio del artículo con todo e IVA es el 115% del precio sin IVA.)

¿En qué porcentaje aumentaron el precio de un producto si antesvalía $26.50 y ahora vale $29.90?

70


Precio delartículo en

pesos

35% dedescuento

38 52

21

84

31.50

95 120

Cantidad apagar

45.50 65

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Lección 6: Repartición proporcionalLa repartición proporcional es un tipo de problemas que se presentan cuando hay que repartir una cantidad proporcionalmentea otra. Para ver cómo es esto, consideremos el siguiente ejemplo:

Juan, Pedro y Camilo aceptaron un trabajo y decidieron que cada uno cobraría de acuerdo con las horas trabajadas. Cuando terminaron, habían anotado: "Juan 20 horas, Pedro 12 horas y Camilo 8 horas". Cuando recibieron $800 como pago total debían hacer una repartición proporcional, de manera que cada uno recibiera una cantidad conforme al tiempo trabajado.

71

LECCIÓN 6

Considerando que les habían pagado $800 por un total de 40horas, elaboraron la siguiente tabla:

En la tabla, lo que debe cobrar cada cual está representadocon las letras c, p y j. Para poder completar la tabla, o sea sustituir esas letras por sus respectivos valores, podemos considerar el caso de cada trabajador por separado.

Tenemos una variación directamente proporcional, puestoque el pago en pesos está proporcionalmente relacionado con las horas trabajadas. Es decir, se están relacionando cuatro cantidades que son proporcionales. Conocemos tres de ellas ydebemos encontrar el valor de la cuarta. Podemos entonces usar la regla de tres. Entonces, para Camilo tenemos:

Horas trabajadas 8 40 c = = 160Pago en $ c 800

Por lo que Camilo recibe de pago $160.

De igual manera se pueden obtener las cantidades correspondientes a Juan y a Pedro.

72


Horas trabajadas

Camilo

8

Pedro

12

Juan

20

Total

40

Pago en $

c p j 800

8 x 800

40

Obtenga el pago que les corresponde a Juan y Pedro y con esosdatos complete la tabla del ejemplo.

En una secundaria han destinado la franja posterior del terrenopara hacer una huerta que tendrá 90 m de largo. Deciden repartirla huerta, a lo largo, en tres franjas proporcionales al número degrupos por grado escolar, para que cada grupo sea responsable desus parcelas.

a) Complete la siguiente tabla.

b) Obtenga la constante de proporcionalidad. ¿Qué significa en este contexto? ¿Cómo se utiliza para calcular las longitudes de las parcelas?

Don Fulgencio desea repartir entre sus tres nietos, en forma proporcional a sus edades, las 36 ovejas que tiene. ¿Cuántas

73

LECCIÓN 6

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Grado

Grupos

1º

6

2º

5

3º

4

Total

Longitud dela parcela

90 m

ovejas recibirán Erandi, Emilio y Julio si tienen respectivamente 8, 6 y 4 años?

Además, don Fulgencio repartió, del mismo modo, entre suscuatro hijos el importe de venta de un terreno. Si Federico de 48 años, recibió $1776, ¿cuántos años tiene Lupe que recibió $1480?

74


Ejercicio 4

Lección 7: Propiedades de las operaciones con númerosrealesEn las lecciones de aritmética de este curso y los dos anterioreshemos visto las propiedades que tienen las operaciones entrenúmeros naturales, enteros y racionales. Los números realestienen en sus operaciones las mismas propiedades, y en esta lección haremos un resumen de ellas como una manera de concluir el estudio de la aritmética.

Es conveniente señalar que lo importante de estaspropiedades no es que usted las aprenda de memoria, sino que las pueda utilizar cuando sea necesario, por ejemplo paraabreviar algunos cálculos o para despejar ecuaciones y que sepatambién qué tipo de operaciones no se pueden hacer.

En esta lección, lea las propiedades que se enuncian y sigalos ejemplos. Los contenidos que aquí se abordan serán utilizadosen las lecciones de la siguiente unidad, y siempre podrá ustedregresar a esta lección para consultarlos.

75

LECCIÓN 7

Propiedades de la suma

La suma de números reales, también llamada adición, es unaoperación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí. La suma tiene las siguientes propiedades:

• Conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los sumandos no altera la suma". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así:

a + b = b + a

Ejemplos:

• 3.25 + 1.04 = 4.29, y también 1.04 + 3.25 = 4.29

• 15.87 + (–2.35) = 13.52, y también –2.35 + 15.87 = 13.52

• + = = , y también + = =

• Asociatividad. Si se tienen más de dos sumandos, da igualcuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres númerosreales, la asociatividad dice que:

a + (b + c) = (a + b) + c

76


2

51

2

4 + 5

10

9

10

1

2

5 + 4

102

5

9

10

Ejemplos:

• 0.021 + (0.014 + 0.033) = 0.021 + 0.047 = 0.068,y también (0.021 + 0.014) + 0.033 = 0.035 + 0.033 = 0.068

• –186.3 + (–223.6 + 202.1) = –186.3 + (–21.5) = –207.8,y también [–186.3 + (–223.6)] + 202.1 = –409.9 + 202.1 =–207.8

• +( + )= +( )= + = = ,

y también ( + )+ =( )+ = + = =

Como da igual en qué orden se efectúen las sumas, lo usuales prescindir de los paréntesis, y marcar sólo a + b + c. En nuestros ejemplos, tenemos entonces 0.021 + 0.014 + 0.033,

o bien –186.3 + (–223.6) + 202.1, o bien + + .

Las propiedades de la conmutatividad y la asociatividad sonutilizadas cuando en una suma "acomodamos" los sumandos parafacilitar el proceso. Por ejemplo, cuando compramos pan de dulceen una panadería, la dependienta va sumando los precios de lasdistintas piezas de tal modo que los resultados intermedios sean"cómodos". Digamos que las piezas que tenemos en la charola cuestan $1.50, $0.70, $0.80, $1.30, $0.50 y $1.20.

77

LECCIÓN 7

3

4

1

2

2

3

3

43 + 4

6

3

4

7

6

9 + 14

1223

12

3

4

1

2

2

3

3 + 2

4

2

3

5

4

15 + 8

12

23

12

3

4

1

2

2

3

2

3

Una manera en que se puede efectuar la suma mentalmentees esta:

1.50 + 0.70 + 0.80 + 1.30 + 0.50 + 1.20

2 + 2 + 2 = 6

Veamos otras propiedades de la suma:

• Elemento neutro. El número real 0 sumado a cualquiernúmero lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces

a + 0 = a

Ejemplos:

• 8763.218 + 0 = 8763.218

• 0 + (–56.41) = –56.51

• + 0 =

• Elemento inverso. Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0: si a es un número real, entonces

a + (–a) = 0

Ejemplos:

• El inverso aditivo de 87.36 es –87.36, porque 87.36 + (–87.36) = 0

78


8

1418

141

• El inverso aditivo de –4.13 es 4.13, porque –4.13 + 4.13 = 0

• El inverso aditivo de es - porque + ( - ) = 0

La resta

La resta es la operación inversa de la suma, es una operaciónentre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar; por ejemplo:

12.3 – 18.7 = –6.4

minuendo sustraendo resta

Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de losnúmeros. Las siguientes reglas pueden recordarle cómo es esto:

• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendoes mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo. Por ejemplo: 28.7 – 11.2 = 17.5

• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendoes menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo. Por ejemplo: 11.2 – 28.7 = –17.5

• Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos. Por ejemplo: –28.1 – 11.2 = –39.3

79

LECCIÓN 7

7

167

16

7

16

7

16

• Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo. Por ejemplo: 28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5

• Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo. Por ejemplo:28.7 – (–11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3

–28.7 – (–11.2) = –28.7 + 11.2 = 11.2 – 28.7 = –17.5

Observe que en el último ejemplo hicimos varias transformaciones. Al efectuar la conversión -28.7 – (–11.2) = –28.7 + 11.2 utilizamos el hecho de que restar un número negativo(-11.2) es lo mismo que sumar su positivo. Después consideramosla suma entre dos números, –28.7 y 11.2, y por la conmutatividadde la suma la expresamos como 11.2 + (-28.7). Posteriormenteutilizamos el hecho de que sumar un número negativo (-28.7) es lo mismo que restar su positivo, por lo que 11.2 + (–28.7) =11.2 – 28.7. Finalmente, tenemos una resta en que el minuendo y el sustraendo son positivos, así que efectuamos la resta y como28.7 es mayor que 11.2 le ponemos al resultado signo negativo.

Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tienetodas las propiedades de la suma. Por ejemplo, la resta no es unaoperación conmutativa:

52.4 – 31.2 = 21.2, y ese resultado es distinto de 31.2 – 52.4 = –21.2

80


Propiedades de la multiplicación

La multiplicación de números reales es una operación que seefectúa entre dos números, pero se pueden considerar tambiénmás de dos factores. Siempre que se tengan dos números reales,se pueden multiplicar entre sí. Al efectuar multiplicaciones hayque tener cuidado con los signos:

• El producto de dos números de igual signo siempre es positivo;

• El producto de dos números de distinto signo siempre es negativo.

La multiplicación tiene las siguientes propiedades:

• Conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así:

a x b = b x a

Ejemplos:

• 3.25 x 1.04 = 3.38, y también 1.04 x 3.25 = 3.38

• 15.87 x (–2.35) = –37.2945, y también –2.35 x 15.87 = –37.2945

• x = = , y también x = =

81

LECCIÓN 7

2

5

1

2

2 x 1

5 x 2

2

10

1

22

5

1 x 2

2 x 5

2

10

• Asociatividad. Si se tienen más de dos factores, da igualcuál de las multiplicaciones se efectúe primero. Si a, b y c sontres números reales, la asociatividad dice que:

a x (b x c) = (a x b) x c

Ejemplos:

• 0.021 x (0.014 x 0.033) = 0.021 x 0.00462 = 0.000009702,y también (0.021 x 0.014) x 0.033 = 0.000294 x 0.033 = 0.000009702

• –186.3 x (–223.6 x 202.1) = –186.3 x (–45189.56) = 8418815.028, y también [–186.3 x (–223.6)] x 202.1 = 41656.68 x 202.1 = 8418815.028

• x( x )= x ( x )= x = = =

y también ( x )x =( )x = x = =

=

Como en el caso de las sumas, da igual en qué orden se efectúen las multiplicaciones, y por eso lo usual es prescindir delos paréntesis. En nuestros ejemplos, tenemos entonces: 0.021 x0.014 x 0.033, o bien –186.3 x (–223.6) x 202.1, o bien x xCuando se usan letras, se marca sólo a x b x c, o bien, para evitar que el signo x se confunda con la letra x, se marca ab c, o bien se usa un punto en vez de la cruz: a·b·c. Es tambiéncomún prescindir del signo x cuando se señalan productos con losnúmeros entre paréntesis: por ejemplo, en vez de escribir (–5) x

82


3

4

1

2

2

3

3

4

1

22

3

3 x 2

4 x 6

6

24

3

4

2

6

1

4

3

41

2

2

3

3 x 1

4 x 2

2

3

3

8

2

3

6

241

4

3

4

1

22

3

3 x 2

8 x 3

.

(–3), podemos escribir (–5)(–3), y en vez de escribir 3 x 4 podemosescribir 3(4).

Es decir, cuando no se señala ninguna operación entre dosnúmeros, se efectúa una multiplicación.

Otras propiedades de la multiplicación son:

• Elemento neutro. El número real 1 multiplicado acualquier número lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces:

a x 1 = a

Ejemplos:

• 8763.218 x 1 = 8763.218

• 1 x (–56.41) = –56.51

• 1 x 1 = 1

• Elemento inverso. Todo número real distinto de cero tieneun inverso multiplicativo, lo que quiere decir que si se multiplicanel número y su inverso, el resultado es 1: si a es un número realdistinto de cero, entonces

a x = 1

Recuerde que escribir es lo mismo que escribir 1 ÷ a.

83

LECCIÓN 7

8

148

14

1

a

1

a

Ejemplos:

• El inverso multiplicativo de 87.36 es , porque 87.36 x= 1

• El inverso multiplicativo de –4.13 es - , porque –4.13 x

(- ) = 1

• El inverso multiplicativo de es porque x = 1

• El inverso multiplicativo de es 9, porque x 9 = 1

La división

La división es la operación inversa de la multiplicación, es unaoperación entre dos números: el dividendo y el divisor. Con unaexcepción, siempre que se tengan dos números reales, se puedendividir; por ejemplo:

1.86 ÷ 3.1 = 0.6

dividendo divisor cociente

La excepción es que el divisor no puede ser cero. Esto es,no se puede dividir entre cero.

84


1

87.361

87.36

1

4.13

1

4.13

7

1616

7

1

9

1

9

7

16

16

7

Observe que el dividendo sí puede ser cero, y cuando estoocurre el resultado o cociente siempre es cero. Por ejemplo, 0 ÷ 5.41 = 0

Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación:

• el cociente de dos números de igual signo siempre es positivo;

• el cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo.

Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la multiplicación. Por ejemplo, la división no es una operación conmutativa:

6.42 ÷ 3 = 2.14, y ese resultado es distinto de 3 ÷ 6.42 ≈ 0.467

La división no es tampoco una operación asociativa:

(8 ÷ 4) ÷ 2 = = = 1, mientras que 8 ÷ (4 ÷ 2) = = = 4

Potencias y raíces

Las propiedades de las operaciones con exponentes serán vistascon mayor detalle en la siguiente lección, pero aquí adelantamosalgunos hechos.

85

LECCIÓN 7

4

2

8

2

28

4

2

8

2

Elevar un número real a una potencia equivale a multiplicarlopor sí mismo tantas veces como indica el exponente. Así,

34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81–53 = (–5) x (–5) x (–5) = –125

La operación inversa es la raíz, que puede ser cuadrada, raíztercera, cuarta o quinta, etc. Por ejemplo, como 81 es igual a 3elevado a la cuarta potencia, la raíz cuarta de 81 es 3, y como–125 es igual a –5 elevado a la tercera potencia, la raíz tercera de –125 es –5:

4√8 1 = 33√- 1 2 5 = -5

La raíz más utilizada es la raíz cuadrada. La raíz cuadrada deun número a es el número que elevado al cuadrado da a. Cuandose usa raíz cuadrada no se suele poner el 2 arriba del símbolo √.Por ejemplo,

√441 = 2√441 = 21, porque 212 = 441

No todos los números reales tienen raíz cuadrada. Todos losnúmeros reales positivos y el cero tienen raíz cuadrada, pero nose puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo.

Para calcular una raíz cuadrada existen procedimientos que son algo complicados. La mejor manera es utilizar una calculadora, o bien intentar encontrar, por aproximación, un número cuyo cuadrado se parezca lo suficiente al número original. Veamos esto con un ejemplo: intentemos encontrar la raíz cuadrada de 87.

√87= ?

86


Es decir, buscamos un número que multiplicado por sí mismodé 87. Lo primero que podemos observar es que ese número estáentre 9 y 10, porque 92 = 81 (le falta) y 102 = 100 (le sobra).Intentemos entonces con el número que está exactamente entreesos dos: 9.5. Vemos que

9.52 = 9.5 x 9.5 = 90.25

o sea que le sobra también. Intentemos ahora con númerosentre 9 y 9.5, digamos 9.2, 9.3 y 9.4 :

9.22 = 84.64, 9.32 = 86.49 y 9.42 = 88.36.

Vemos ahora que la raíz cuadrada de 87 es un número queestá entre 9.3 y 9.4, porque al cuadrado de 9.3 le falta un pocopara llegar a 87 y al cuadrado de 9.4 le sobra un poco. Entoncespodemos repetir el procedimiento, buscando ahora el número que está exactamente entre esos dos: 9.35. Vemos que

9.352 = 87.4225

o sea que le sobra también. Entonces el número que buscamos está entre 9.3 y 9.35, y podemos buscar, por ejemplo:

9.322 = 86.8624 y 9.332 = 87.0489

Ahora sabemos que el número que buscamos está entre 9.32 y 9.33, más cerca del segundo que del primero. De hecho, la diferencia entre 9.332 y 87 es muy pequeña, y podemosquedarnos con esta aproximación:

√87 ≈ 9.33

87

LECCIÓN 7

o bien podemos seguir el proceso para encontrar una aproximación con más cifras decimales. Si usamos una calculadora, encontraremos una aproximación con bastantes cifras decimales:

√87 ≈ 9.327379053

Combinaciones de varias operaciones

Es común que en una misma expresión aparezcan varias operaciones. Aquí mencionaremos dos propiedades.

• Prioridad de las operaciones. Cuando en una expresiónaparecen varias operaciones, no necesariamente se efectúan en el orden en el que están escritas, sino que se deben efectuar en este orden:

PRIMERO las operaciones con exponentes y raícesSEGUNDO las multiplicaciones y las divisionesTERCERO las sumas y las restas

La única manera de revertir este orden es utilizando paréntesis. Cuando aparecen paréntesis, se efectúan primero las operaciones dentro del paréntesis, siguiendo las reglas reciénmencionadas, y después las que aparecen fuera del paréntesis. Si aparecen varios pares de paréntesis, unos dentro de otros, se efectúan primero las operaciones dentro de los paréntesisinternos y de ahí se procede de adentro hacia fuera.

88


Ejemplos:

• 2 + 3 x 4 = 2 + 12 = 14• (2 + 3) x 4 = 5 x 4 = 20• 5.26 – 2.12 = 5.26 – 4.41 = 0.85• (5.26 – 2.1)2 = 3.162 = 9.9856• –5.36 – [2.04 x 1.172 ÷ (8.16 + 3.12)] = –5.36 –

[2.04 x 1.172 ÷ 11.28] = -5.36 – [2.04 x 1.3689 ÷ 11.28] = –5.36 – [2.792556 ÷ 11.28] ≈ -5.36 - 0.247567 = –5.607567

Observe que en el último ejemplo fuimos efectuando lasoperaciones paso a paso, pero que cada vez repetimos el resto de la expresión. Esto es con el fin de que la igualdad se conservesiempre.

Cabe anotar que cuando se usa una raya para denotar una división, ésta sirve también como los paréntesis: se debenefectuar primero por separado las operaciones en el numerador y en el denominador, y luego efectuar la división. Por ejemplo:

= = = 116.6

Veamos ahora la segunda propiedad:

• Distributividad. La multiplicación distribuye a la suma y ala resta. Esto quiere decir que si un número multiplica a una suma(o resta), el resultado es el mismo que si se multiplica el númeropor cada uno de los sumandos y luego se suman ambos productos.Es decir, si a, b y c son tres números reales, la distributividad dela multiplicación con respecto de la suma y a la resta dice que:

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)a x (b – c) = (a x b) – (a x c)

89

LECCIÓN 7

5 + 32

12 x 0.12

5 + 9

12 x 0.01

14

0.12

Ejemplos:

• 5.01 x (3.18 + 2.21) = 5.01 x 5.39 = 27.0039, y también (5.01 x 3.18) + (5.01 x 2.21) = 15.9318 + 11.0721 = 27.0039

• –1.1 x [–6.3 – (–2.4)] = –1.1 x [–6.3 + 2.4] = –1.1 x (–3.9) = 4.29, y también [–1.1 x (–6.3)] – [–1.1 x (–2.4)] = 6.93 – 2.64= 4.29

• x ( - )= x ( ) = x = = ,

y también ( x ) - ( x ) = - =

- = =

La distributividad es una propiedad que utilizamos algunasveces para facilitar algunos cálculos. Por ejemplo, multiplicar por90 puede ser engorroso, pero no lo es así multiplicar por 100 nimultiplicar por 10, y como 90 = 100 – 10, podemos transformaruna multiplicación por 90 en una multiplicación por 100 menosuna multiplicación por 10. Así, por ejemplo:

126.15 x 90 = 126.15 x (100 – 10) = = 126.15 x 100 – 126.15 x 10 == 12615 – 1261.5 = = 11353.5

90


1

2

4

5

2

3

1

212 - 10

15

1

2

2

151 x 2

2 x 15

2

30

1

2

4

5

1

2

2

31 x 4

2 x 5

4

10

2

6

1 x 2

2 x 3

2

3012 - 10

30

Aplicación de las propiedades en la solución de ecuaciones

En lecciones y grados anteriores ya hemos trabajado con ecuaciones. Hemos visto que una ecuación es una igualdad en la que se desconocen uno o más valores. A los valores desconocidos se les llama incógnitas y se representan generalmente con letras. Solucionar una ecuación es encontrar el valor de la incógnita, para lo cual se despeja ésta, dejándolasola de un lado de la igualdad y efectuando las operaciones quequedan en el otro lado de la igualdad. Este proceso se puederealizar gracias a las propiedades de las operaciones que hemosresumido aquí.

A continuación veremos tres ejemplos de ecuaciones, queresolveremos como usted aprendió a hacer en las lecciones 23a 25 del curso anterior e iremos marcando en cada paso quépropiedades estamos utilizando.

El primer ejemplo es el siguiente:

Araceli compró un vestido que le costó $79.90 y le quedaron $20.10, ¿cuánto dinero traía Araceli?

Una manera de expresar esta situación usando lenguaje algebraico es, en primer lugar, elegir una letra para representarel valor que nos interesa conocer, en este caso la cantidad dedinero que Araceli traía en la bolsa y la vamos a llamar z. ComoAraceli traía z pesos, gastó $79.90 y le quedaron $20.10, podemosexpresar esta transacción algebraicamente con la expresión:

91

LECCIÓN 7

z – 79.90 = 20.10

La igualdad que aparece arriba es una ecuación y la incógnitao valor que queremos encontrar es z. Como usted sabe, paradespejar el valor de z en la ecuación "pasamos sumando" el 79.90 que se encuentra restando del lado izquierdo:

z = 20.10 + 79.90

92


Cuando despejamos la incógnita y "pasamos sumando", hemos puesto en juego muchas de las propiedades de las operaciones que hemos enunciado. A continuación repetiremoseste proceso paso a paso y haremos del lado derecho de la páginauna reflexión acerca de las propiedades que estamos utilizando en cada momento.

Hemos encontrado así que Araceli tenía $100.00 antes decomprar el vestido.

Veamos otro ejemplo.

93

LECCIÓN 7

z - 79.90 = 20.10

(z - 79.90) + 79.90 = 20.10 + 79.90

Ésta es la ecuación original.

Estamos sumando un mismonúmero de los dos lados de la igualdad, para que ésta

se conserve.

[z + (- 79.90) + 79.90 = 20.10 + 79.90

Hemos aplicado el hecho de querestar un número positivo es lomismo que sumar su negativo.

z + [(- 79.90) + 79.90] = 20.10 + 79.90

Hemos aplicado la asociatividadde la suma.

z + [- 79.90 + (- 79.90)] = 20.10+ 79.90

Hemos aplicado la conmutatividad de la suma.

z + 0 = 20.10 + 79.90Hemos aplicado la propiedad

del inverso aditivo.

z = 20.10 + 79.90Hemos aplicado la propiedad

del elemento neutro de la suma.

z = 100Hemos resuelto la operación del

lado derecho de la igualdad.

Rodolfo compró una caja de latas de leche. La caja trae 18 latas y costó $150.30, ¿cuánto cuesta cada lata?

Para plantear este problema llamaremos c al costo de cada lata. Tenemos que:

18 x c = 150.30

Para despejar esta ecuación "pasamos dividiendo" el 18 quese encuentra multiplicando del lado izquierdo, así:

c = 150.30 ÷ 18

Veamos, paso por paso, en qué consiste este "pasar dividiendo"; como en el caso anterior iremos reflexionando sobre las propiedades que entran en juego:

94


18 x c = 150.30

(18 x c) ÷ 18 = 150.30 ÷ 18


Estamos dividiendo entre unmismo número de los dos ladosde la igualdad, para que ésta se

conserve.

(c x 18) ÷ 18 = 150.30 ÷ 18Hemos aplicado la conmutatividad de la multiplicación.

(c x 18) ÷ = 150.30 ÷ 18

Hemos aplicado el hecho de quedividir entre un número es lomismo que multiplicar por su

inverso multiplicativo.

118

Hemos encontrado así que cada lata de leche cuesta $8.35.

Por último, veamos otro ejemplo.

Ramona compró un mantel a $162.50 y seis servilletas; en total pagó $269.90. ¿A cuánto salió cada servilleta?

Si llamamos s al precio de cada servilleta, la ecuación correspondiente al problema se puede plantear así:

6 s + 162.50 = 269.90

Para despejar esta ecuación, tenemos que "deshacer" dosoperaciones que afectan a la incógnita s: una multiplicación y unasuma (recuerde que 6s es lo mismo que 6 x s). Si conociéramos elvalor de s, primero efectuaríamos la multiplicación por 6 y alresultado le sumaríamos 162.50, pero como estamos deshaciendooperaciones, empezamos en orden inverso: primero deshacemosla suma, para lo cual "pasamos restando" el 162.50:

6 s = 269.90 – 162.50

95

LECCIÓN 7

c x (18 x ) = 150.30 ÷ 18Hemos aplicado la asociatividad

de la multiplicación.

c x 1 = 150.30 ÷ 18Hemos aplicado la propiedad

del inverso multiplicativo.

c = 150.30 ÷ 18Hemos aplicado la propiedad

del elemento neutro de la multiplicación.

c = 8.35Hemos resuelto la operación del

lado derecho de la igualdad.

118

y después deshacemos la multiplicación, para lo cual"pasamos dividiendo" el 6:

s =

Veamos nuevamente, paso a paso, qué propiedades intervienen en este despeje:

96


269.90 - 162.50

6

6 s + 162.50 = 269.90

(6 s + 162.50) – 162.50 =269.90 – 162.50


Estamos restando un mismonúmero de los dos lados de la

igualdad, para que ésta se conserve.

(6 s + 162.50) + (–162.50) =269.90 – 162.50

Restar un positivo es lo mismoque sumar su negativo.

6 s + [162.50 + (–162.50)] =269.90 – 162.50

Asociatividad de la suma.

6 s + 0 = 269.90 – 162.50 Inverso aditivo.

6 s = 269.90 – 162.50 Neutro aditivo.

(6 s ) ÷ 6 =

Estamos dividiendo entre unmismo número de los dos ladosde la igualdad, para que ésta se

conserve.

(s x 6)÷ 6 =Conmutatividad de la

multiplicación.

269.90 - 162.506

269.90 - 162.506

97

LECCIÓN 7

(s x 6) x =Dividir entre un número es lomismo que multiplicar por su

inverso multiplicativo.

s x (6 x ) =Asociatividad de la

multiplicación.

s x 1 = Inverso multiplicativo.

16

269.90 - 162.506

16

269.90 - 162.506

269.90 - 162.506

Cada servilleta valía, entonces, $17.90

s = Neutro multiplicativo.

s =Para realizar las operaciones del lado derecho, empecemos

por el numerador.

s = 17.90Hemos resuelto la operación

final del lado derecho de la igualdad.

269.90 - 162.506

107.406

Con estos tres ejemplos hemos pretendido poner de manifiesto todas las propiedades de las operaciones que entran en juego cuando se realiza el despeje de la incógnita en una ecuación. Sin embargo, esto no significa que al despejaruna incógnita sea necesario guardar conciencia de todas laspropiedades. Las propiedades son las que justifican el hecho de que se pueda "pasar" sumando o restando, multiplicando o dividiendo, pero en la práctica simplemente se procede al despeje sin tenerlas necesariamente en cuenta.

Encuentre con dos cifras decimales las siguientes raícescuadradas:

a) √879 b) √11 c) √14.2 d) √1624

Realice las siguientes operaciones:

a) 15.38 – 2.13 ÷ 3 d) 8 x ( - )+

b) e) [2.2 x (5.1 – 4.7)2 – 1.7] x 4.3

c) 216.2 x (14.2 – 3.22) + 135.1 f) x

98


Ejercicio 1

Ejercicio 2

18.3 - 2.12

5.2

5

42

36

7

2

34

35

5

99

LECCIÓN 7

Plantee los siguientes problemas en forma de ecuación y despejela incógnita usando el procedimiento que usted prefiera:

a) Un terreno de forma rectangular tiene 15 m de frente y 357 metros cuadrados de superficie. ¿Cuánto mide el terreno de fondo?

b) Pablo compró 5 manzanas y 12 naranjas y pagó $24.00. Si cada manzana costó $3.60, ¿cuánto pagó por cada naranja?

c) Mauricio compró un televisor anunciado con el 35% de descuento. Si pagó $1949.35 por el aparato ¿cuánto costaba originalmente?

d) Alejandra depositó $7830 pesos en el banco. Un año después retiró su dinero del banco y le dieron $8847.90. ¿Cuánto ganó por los intereses? ¿Qué porcentaje representa la ganancia que obtuvo en el año?

Ejercicio 3

Unidad II

Álgebra

101

Lección 8: Potencias con exponentesenterosCuando queremos indicar productos de factores iguales, generalmente usamos la notación exponencial. Por ejemplopodemos expresar 11 x 11, como 112 (11 al cuadrado), delmismo modo 8 x 8 x 8 x 8 x 8, puede expresarse como 85

(8 a la quinta). Para referirnos a expresiones como las anteriores,también decimos que "el 11 está elevado al cuadrado" o que el "8 está elevado a la quinta potencia". Usted ya ha usado estanotación en los cursos anteriores y en algunas lecciones de este libro. Ahora trataremos de profundizar más en el conceptode potenciación.

En la notación exponencial, la base es el factor que debemultiplicarse por sí mismo tantas veces como lo indica el exponente. Así en la expresión 95, tenemos:

Exponente95

base

102


95 = 9 x 9 x 9 x 9 x 9

5 veces

En general, si tenemos un número real cualquiera que llamamos a y un número natural que llamamos n, entonces:

an = a x a x a x a x ..... x a

n veces

La expresión anterior nos dice que an significa que hay quemultiplicar a x a x a..., n veces.

Cuando la base de una potencia es un número positivo, elresultado siempre es positivo. Si la base es negativa, el signo delresultado depende del exponente, si el exponente es un númeropar, el resultado es positivo; si es impar el resultado es negativo.

Ejemplos:

• (–5)4 = (–5) (–5) (–5) (–5) = 625• (–5)5 = (–5) (–5) (–5) (–5) (–5) = –3125

Observe que el signo del resultado es consecuencia de lasreglas de multiplicación de los números racionales.

Operaciones con potencias

Para poder operar con exponentes hay que tener en cuenta, que:

103

LECCIÓN 8

• Si a es un número cualquiera, entonces:

a1 = a

Esto significa que si el exponente es uno el resultado es iguala la base de la potencia.

Ejemplos:

• 13281 = 1328• 0.041 = 0.04• (–2456)1 = –2456• (–0.378)1 = –0.378

• ( ) =

Si a es un número cualquiera distinto de cero, entonces:

a0 = 1

Esto significa que si el exponente es 0 (cero), el resultado de la potencia siempre es igual a 1.

Ejemplos:

• 13280 = 1• (–0.375)0 = 1• 2.180 = 1• (–4.30)0 = 1

• ( ) = 1

104


34

59

34

59

34

59

0

1

Aquí hay que considerar la condición a ≠ 0, ya que

no se puede resolver la potencia 00.

Hasta ahora hemos hablado de exponentes que son númerosnaturales, es decir 0 ó cualquier número entero positivo; pero elexponente de una potencia también puede ser un número enteronegativo. En este caso

• Si a es un número cualquiera distinto de cero, y n es unnúmero natural, entonces:

a-n = ( ) =

Esto significa que cuando el exponente es negativo se debe transformar la potencia en otra cuya base sea el inversomultiplicativo de la base dada, cuyo exponente sea el inverso aditivo del que se tenía.

Ejemplos:

• 2–3 = ( ) = = =

• (–2)–3 = (- ) =- =-

• (- ) = (–2)3 = –8

• ( ) = ( ) =

Hemos dicho que en matemáticas es útil el uso de letras paraexpresar un número cualquiera, para representar una cantidad

105

LECCIÓN 8

1

a

1

an

n

1

2

3 1

23

1

2 x 2 x 2

1

8

1

2

3 1

23

1

8

1

2

-3

2

3

-4 3

2

4 81

16

que no conocemos o para expresar relaciones entre números;entonces, así como usamos los exponentes para indicar productosentre números, también los usamos cuando los números estánrepresentados por letras. De este modo podemos escribir 2x2, z–3,etc.

Por otro lado es importante recordar que si una expresiónestá encerrada entre paréntesis y elevada a una potencia, estosignifica que toda la expresión debe elevarse a la potencia indicada.

Por ejemplo:

• (5 + – 2)2 = 3.52 = 12.25• (x + 2 y)3 = (x + 2 y) (x + 2 y) (x + 2 y)

Ahora veremos ciertas reglas que nos permiten hacer operaciones con potencias.

• Producto de potencias de igual base. Al multiplicar dospotencias que tienen la misma base, se obtiene como resultadootra potencia cuya base es la misma que tienen los factores, ycuyo exponente es igual a la suma de los exponentes dados. Esdecir, si a es un número cualquiera, y m y n son números enteros:

an·am = an + m

Ejemplos:

• 56 x 57 = 513

• 103 x 10–3 = 100

• (–14.5)–9 x (–14.5)7 = (–14.5)–2

106


1

2

• Cociente de potencias de igual base. Al dividir dospotencias que tienen la misma base, se obtiene como resultadootra potencia cuya base es la misma que tienen el dividendo y eldivisor, y cuyo exponente es igual a la resta del exponente deldividendo menos el exponente del divisor. Es decir, si a es unnúmero cualquiera distinto de cero, y m y n son números enteros:

an ÷ am = an – m

Ejemplos:

• 85 ÷ 83 = 82

• 62 ÷ 6–5 = 67

• (–7.03)–4 ÷ (–7.03)–3 = (–7.03)–1

• Potencia de otra potencia. Al elevar una potencia a otrapotencia, se obtiene como resultado una potencia cuya base es la misma de la potencia original y cuyo exponente es el productode los dos exponentes. Es decir, si a es un número cualquiera, y m y n son números enteros:

(an)m = an·m

Ejemplos:

• (186)2 = 1812

• (–95)–3 = –9–15

• (6.3–2)–3 = 6.36

107

LECCIÓN 8

Calcule las siguientes potencias:

a) 3.53 f) (–1.02)3 k) (–5.4)–1 p) 109

b) 0.50–2 g) (–28)2 l) 0.42 q) 18760

c) –3.20 h) 0.53 m) (1.25)–3 r) 1165

d) 1.281 i) 10–12 n) (–1.25)3 s) (–4.2)2

e) (- ) j) ( ) o) ( ) t) (- )

Exprese como potencias cuyos exponentes sean números naturales los resultados de las siguientes operaciones:

a) 105 x 10–2 e) (53)4 i) (w 2)–4

b) 26 x 2–10 x 25 f) [(–4)3]2 j) (–2h)3 (–2h)–4 (–2h)c) 128–3 ÷ 1283 g) (3x)5 (3x)2 k) a18 ÷ a–12

d) –344 ÷ (–34)6 h) z8 · z2 ÷ z4 l) [(u3)–5]–2

Propiedades de la potenciación

Así como la suma y la multiplicación tienen propiedades, tambiénla operación de potenciación tiene propiedades, que son las queveremos a continuación.

108


Ejercicio 1

Ejercicio 2

3

4

-4 7

9

-2 4

5

-2 2

3

5

• La potenciación es distributiva con respecto alproducto. Si a y b son dos números cualesquiera y m es unnúmero entero, entonces:

(a · b)m = am · bm

Ejemplo:

• (2 x 5)3 = 103 = 1000, y también 23 x 53 = 8 x 125 = 1000

Esta propiedad nos dice que si tenemos que elevar una multiplicación a una potencia dada, podemos seguir cualquiera de los dos procesos siguientes:

• Resolver primero la multiplicación y después elevar el producto a la potencia indicada.

• Elevar a la potencia dada cada uno de los factores y después resolver la multiplicación.

• La potenciación es distributiva con respecto de ladivisión. Si a y b son dos números cualesquiera, con b distinto de cero, y m es un número entero, entonces:

(a ÷ b)m = am ÷ bm

Ejemplo:

• (6 ÷ 3)2 = 22 = 4, y también 62 ÷ 32 = 36 ÷ 9 = 4

Esta propiedad nos dice que si tenemos que elevar unadivisión a una potencia dada, podemos seguir cualquiera de los dos procesos siguientes:

109

LECCIÓN 8

• Resolver primero la división y después elevar el cociente a la potencia indicada.

• Elevar a la potencia dada el dividendo y el divisor y después resolver la división.

• La potenciación no es distributiva con respecto de lasuma o la resta. Si a y b son dos números cualesquiera y m es un número entero, entonces en general:

(a + b)m ≠ am + bm

(a – b)m ≠ am – bm

Ejemplos:

• (3 + 5)2 = 82 = 64, pero este resultado es diferente de 32 + 52 = 9 + 25 = 34

• (3 – 5)2 = (–2)2 = 4, pero este resultado es diferente de 32 – 52 = 9 – 25 = –16

Esto significa que si debemos elevar a una potencia dada unasuma o una resta debemos:

• Resolver primero la operación indicada y después elevar el resultado a la potencia dada.

Resuelva los siguientes ejercicios:

a) (5 x 4)3 h) (–8.6 ÷ 4.3)5 o) (r · s · t)4

b) (103 ÷ 102)4 i) (7.23 + 2.77)6 p) (x · 5y)2

110


Ejercicio 3

Lección 9: PolinomiosNosotros ya hemos trabajado con distintas expresiones algebraicas desde el primer curso de secundaria y sabemos que en las expresiones algebraicas, las letras representannúmeros. Ahora veremos algo más referente a estas expresiones y cómo podemos operar con ellas recordando las propiedades que hemos visto para las operaciones aritméticas.

Definiciones

Comenzaremos por conocer algunos nombres con los que se identifican algunas expresiones algebraicas.

• Se llama monomio a una expresión algebraica en la que no hay sumas ni restas. Por ejemplo:

3xz2, 5y, - w, ab, etc.

111

LECCIÓN 9

c) (8 + 3)3 j) [–19.56 – (–19.56)]8 q) (3a x 2b)3

d) (3 – 5)4 k) (6z)2 r) [k–10 ÷ (k5 · k3)]2

e) (2.1 ÷ 0.3)2 l) (y · z)3 s) (v2 ÷ u3)4

f) (–5)3 + (–4)3 m) (c ÷ d)7 t) (p + q)2

g) (10 x 0.23)2 n) (g7 ÷ g3)2

1

2

• Se llama binomio a la suma o resta de dos monomios. Por ejemplo:

–4m + 2n, 7x + 5xy, – 5x + 8, etc.

• Se llama trinomio a la suma y/o resta de tres monomios. Por ejemplo:

m + n + 4.5n, 7.8x – 5x + x, 9y – 2xy – 17, etc.

• Se llama polinomio a un binomio, a un trinomio o a la suma y/o resta de más de tres monomios. Por ejemplo:

8a2 – 27b + 4c – 25, –2k + 0.5k2 – , etc.

• A los monomios que conforman un binomio, trinomio o polinomio también se los llama términos.

• Un término o un monomio está compuesto por un número que multiplica a una o varias variables; este número se llama coeficiente. Por ejemplo, en el término –5 mn el coeficiente es –5 y las letras m y n son variables. En general, cuando el coeficiente es 1, no se escribe: por ejemplo, en el monomio ab el coeficiente es 1.

Cuando dos monomios tienen la misma parte literal, es decir,las mismas letras con los mismos exponentes, se dice que son términos semejantes. En los ejemplos anteriores tenemos lossiguientes términos semejantes:

8, 17 y 25n, 4.5n y 2n;

112


1

2

1

2

3

4

3

7

5

k

5y, –5y y 9y;2xy y 5xy;

m y –4m;

7x, 7.8x, 5x y x.

Observe que los términos -2k, 0.5k2 y no son términos semejantes, porque aun cuando en todos aparece la letra k, éstaestá elevada a distintos exponentes en cada uno de los monomios:en –2k, el exponente es 1, en 0.5k2 es 2 y en el exponente es–1.

Diga si las siguientes expresiones son monomios, binomios, tri-nomios o polinomios. En el caso en que no sean monomios,indique cuáles son los términos que las componen.

a) 67d + 12.4 ed c) 58.7wqyhk e) 78s – 12r + 41u –34v + 87b) a – ab + abc – 4 d) t + e + f f) –5h + 5h

En los siguientes polinomios indique los términos semejantes:

a) 5 ab4 + a2b – a2b c) –4r – 2s + 28r2

b) m – 7nm + 2m + 2mn d) 6xy + 3x2y – 7xy2 + 2x2y2

113

LECCIÓN 9

3

4

5

k

5

k

Ejercicio 1

Ejercicio 2

3

7

3

4

Operaciones con polinomios

En esta sección veremos cómo se opera con polinomios.Empezaremos revisando la suma y resta de polinomios, continuaremos con la multiplicación de polinomios y finalizaremos con la división de un polinomio entre un monomio. Conviene tener presente en estas operaciones que los términos de un polinomio están compuestos de coeficientes numéricos y de letras que representan números, por lo que estaremos aplicando continuamente las propiedades de las operaciones entre números reales que revisamos en la lección 7, así como las propiedades de las operaciones con exponentes que vimos en la lección 8.

La suma o resta de dos o más polinomios es la suma o resta de los monomios o términos que los conforman. Por ello, el problema de suma o resta de polinomios se reduce a conocercómo se opera con monomios.

Sólo se pueden resolver las sumas o restas de monomiossemejantes, para lo cual se utilizan las propiedades de la suma yresta entre números que usted ya ha visto desde primer grado desecundaria. Cuando tenemos sumas de términos no semejantes, ladejamos indicada, ya que no se puede avanzar en su resolución.

Veamos los siguientes ejemplos:

Si queremos sumar los monomios 3mn y 4mn, al escribir lasuma ya tenemos un binomio:

3mn + 4mn =

114


Para resolver la suma indicada podemos pensar del siguientemodo, por un lado tenemos 3 veces el producto mn, y por otrolado lo tenemos 4 veces, si hacemos la suma podemos decir quetenemos 7 veces el producto mencionado. Entonces:

3mn + 4mn = 7mn

Un modo más formal de explicar este modo de resolver laoperación, es recordando la propiedad distributiva del productocon respecto de la suma. Volvamos a nuestro ejemplo:

3mn + 4mn = (3 + 4) mn,

porque si aplicamos la propiedad distributiva al segundo miembrose obtiene el primero. Como 3 + 4 es 7, llegamos al resultadoanterior. Esta forma de "ver al revés" la propiedad distributiva se conoce como sacar factor común. Se llama factor común alnúmero o letra que está como factor (es decir multiplicando), en distintos términos de un polinomio. En nuestro ejemplo, my n son factores comunes.

El procedimiento que hemos seguido en este ejemplo puedegeneralizarse a la suma y a la resta de dos términos semejantescualesquiera:

• El resultado de la suma de términos semejantes es otro monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los sumandos.

• El resultado de la resta de dos términos semejantes es otro monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente es la diferencia entre los coeficientes del minuendo y el sustraendo.

115

LECCIÓN 9

• Como los coeficientes son números reales, al sumarlos o restarlos se tendrán en cuenta las reglas de operaciones de esos números.

Veamos otro ejemplo. Supongamos que tenemos unaoperación como la siguiente:

el monomio 3x más el binomio 5y – 4x

Primero escribimos el trinomio resultante:

3x + 5y – 4x

y luego reordenamos los sumandos para poder operar con lostérminos semejantes:

3x + 5y – 4x = 3x – 4x + 5y = (3 – 4) x + 5y = –1x + 5y

Finalmente, como en general no se escribe el coeficiente 1,tenemos que

3x + 5y – 4x = –x + 5y

Cuando se resuelven sumas o restas entre términos de unpolinomio, se dice que se reducen términos.

Si queremos sumar dos polinomios simplemente reordenamosy agrupamos los términos semejantes de cada uno de ellos paraefectuar, como en los ejemplos anteriores, las operaciones quesean posibles. Si en el polinomio aparecen restas es útil escribirlas como sumas considerando los inversos aditivos, de esta forma será más fácil reagrupar los términos.

116


A modo de ejemplo, vamos a efectuar la suma de los siguientes tres polinomios:

2x + 4y – 5; 3x – y + 16; 7y + 3

Primero vamos a convertir las restas que aparecen en elprimer polinomio y en el segundo, en sumas

2x + 4y – 5 = 2x + 4y + (–5);3x – y + 16 = x + (–y) + 16;

Para expresar la suma podemos acomodar los sumandos uno a continuación de otro y después reordenar para agrupar los términos semejantes o podemos acomodar los polinomios enposición vertical de modo que los términos semejantes queden en la misma columna. Veamos los dos modos:

Primer modo:

2x + 4y + (–5) + 3x + (–y) + 16 + w + 7y + 3 =

= (2x + 3x) + [4y + (–y) + 7y] + w + [(–5) + 16 + 3]= (2 + 3) x + (4 – 1 + 7) y + w + 14= 5 x + 10 y + w + 14

Segundo modo:

2x + 4y + (–5)3x + (–y) + 16

w + 7y + 3

w + 5x + 10y + 14

117

LECCIÓN 9

+

Si quisiéramos restar dos polinomios actuamos de forma muysimilar, más aún, podemos convertir la resta entre los polinomiosen una suma considerando el inverso aditivo de cada uno de lostérminos del sustraendo. Por ejemplo vamos realizar la siguienteresta:

Al polinomio 8a + 5b – 4ab, le vamos a restar el polinomio3ab –2a + 8. Entonces tenemos que:

(8a + 5b – 4ab) – (3ab –2a + 8) = (8a + 5b – 4ab) + [–3ab –(–2a) + (– 8)]

Como ahora se tiene una suma usted puede resolverla del mismo modo en que lo hicimos en el ejemplo anterior y seguramente llegará al resultado: 10a + 5b – 7ab – 8.

Veamos a continuación cómo efectuar la multiplicación de polinomios. Aquí se pueden presentar tres situaciones queanalizaremos por separado: el producto de dos monomios, el producto de un polinomio por un monomio y el producto de dos polinomios.

Para multiplicar dos monomios no es necesario que éstos sean semejantes. Veamos el siguiente ejemplo

(4 x2) (2 xy)

Como cada monomio expresa una multiplicación, tenemos 4por x2 que multiplica a 2 por x por y, y nosotros sabemos por laspropiedades conmutativa y asociativa del producto que podemoscambiar el orden de los factores y agruparlos como nos convenga,

118


para poder multiplicar como ya sabemos hacerlo. La expresiónanterior se nos convierte entonces en:

(4) (2) (x 2) (x) (y) = 8x3y

Habrá observado que al multiplicar (x2) (x), usamos la regla de producto de dos potencias de igual base, es decirsumamos los exponentes.

Veamos algunos ejemplos más:

( x) (–3x4) =( ) (–3) (x) (x4) =- x5

(–4pq2) (–p3q5) = 4p4q7

(–0.5k) (7kr) (–2k2r) = 7k4r2

La segunda situación que veremos es el producto de un polinomio por un monomio. En este caso aplicamos la propiedaddistributiva y cada vez tenemos el producto de dos monomios. Por ejemplo:

(3g + 2h) (c) = 3gc + 2hc

Veamos otro ejemplo:

(5x + 3xz – 2z2) (xz) = (5x) (xz) + (3xz) (xz) – (2z2) (xz) = 5x2z + 3x2z2 – 2xz3

119

LECCIÓN 9

1

2

3

2

1

2

Como el resultado es un polinomio cuyos términos no sonsemejantes, no podemos reducir términos, por lo que hemos terminado la operación.

Finalmente, para multiplicar dos polinomios aplicamos también la propiedad distributiva, recordando que debemos multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro.

Veamos un primer ejemplo: multipliquemos los polinomios (5w + 2) y (z + 3). Primero distribuiremos el binomio z + 3 multiplicándolo por el binomio 5w + 2, y después distribuiremoseste último multiplicándolo por cada uno de los términos delprimero:

(5w + 2) (z + 3) = (5w + 2) (z) + (5w + 2) (3) == (5w) (z) + (2) (z) + (5w) (3) + (2) (3) == 5wz + 2z + 15w + 6

Veamos un segundo ejemplo.

(ab2 + b3) (2a – b) =

Antes de hacer la multiplicación, tal vez resulte más sencillosi expresamos la resta del segundo binomio como suma para poderaplicar la ley de los signos de la multiplicación:

(ab2 + b3) (2a – b) = ab2 + b3) [ 2a + (– b) ]

Ahora procederemos a la multiplicación y haremos las dosdistribuciones de una sola vez:

120


(ab2 + b3) [ 2a + (–b) ] = (ab2) (2a) + (b3) (2a) + (ab2)(–b) + (b3) (–b) =

= 2a2b2 + 2ab3 – ab3 – b4

En este caso, como el segundo y el tercer término son semejantes, podemos resolver la resta:

2a2b2 + 2ab3 – ab3 – b4 = 2ab3 – ab3 = ab3.

Entonces el resultado final de la multiplicación es

(ab2 + b3) (2a – b) = 2a2b2 + ab3 – b4

En general para multiplicar polinomios entre sí, se procedede la siguiente manera:

• El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores, y la parte literal está formada por todas las letras que aparecen en los factores; cada letra tendrá como exponente la suma de los exponentes que tenía en cada factor.

• Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva de modo que cada término de un polinomio quede multiplicado por cada uno de los términos del otro. Si es posible se reducen términos.

• Si en los factores aparecen restas es útil escribir éstas como sumas usando el inverso aditivo.

• Se debe aplicar la regla de los signos que se ha visto para la multiplicación de números.

121

LECCIÓN 9

Por último para dividir un polinomio entre un monomioseguimos un proceso muy similar al que aplicamos en la multiplicación. Para poder aplicar más fácilmente la regla de ladivisión de potencias de igual base, resulta útil que cada términodel dividendo tenga todas las letras del divisor. Cuando esto noocurre podemos agregarlas con exponente cero, ya que comocualquier número elevado a la cero es uno, la expresión no cambia aunque la escribamos de distinta forma.

Veamos el siguiente ejemplo:

(3b2 + b3c) ÷ (2bc) =

Como en el primer término no aparece la letra c que sí estáen el divisor la agregamos con exponente 0, y nuestra expresiónse convierte en:

(3b2c0 + b3c) ÷ (2bc)

Ahora aplicamos la propiedad distributiva y dividimos comoya sabemos hacerlo:

(3b2c0 + b3c) ÷ (2bc) = (3b2c0) ÷ (2bc) + (b3c) ÷ (2bc)

= b1c–1 + b2c0

= b1c–1 + b2

Entonces, nuestra división queda así:

(3b2 + b3c) ÷ (2bc) = b1c–1 + b2

122


3

2

3

21

2

1

2

3

2

1

2

Y también se puede expresar así:

3b2 + b3c = 3b + b2

2bc 2c 2

Observe que a este último resultado podíamos llegar tambiéndel siguiente modo:

3b2 + b3c = 3b2+ b3c = 3b2

+ b32c = 3b + b2

2bc 2bc 2bc 2bc 2bc 2c 2

Lo que hicimos aquí fue expresar la división como una sumade fracciones en la que cada una tiene en el numerador y en el denominador sólo un término (es decir, no aparecen sumas ni restas dentro de ninguna fracción), y después tachamos los factores comunes en cada fracción: en la primera tachamos arribay abajo el factor b, y en la segunda tachamos arriba y abajo losfactores b y c. Esto es similar al proceso de simplificación defracciones que usted estudió en la lección 5 del segundo curso.

En general podemos decir que:

• El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente del coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor, y cuya parte literal está formada por todas las letras que aparecen en la operación, en la que cada letra tendrá como exponente la resta del exponente que tenía en el dividendo menos el que tenía en el divisor.

• Para dividir un polinomio entre un monomio se aplica la propiedad distributiva de modo que cada término del polinomio quede dividido entre el divisor.

123

LECCIÓN 9

• Si en el polinomio aparecen restas es útil escribir éstas como sumas usando el inverso aditivo.• Se debe aplicar la regla de los signos que se ha visto

para la división de números.

Resuelva las siguientes sumas y restas de polinomios:

124


Ejercicio 3

Ejercicio 4

a) (x – 7z + 4) + (5x + 4z – ) f) ( w+ z)-[(- )z+ y]-[(- )y- w]

b) (2x – 3v + 5) – (4y + 6u – 5) g) (5a – 3b) + (–6a – 2b) – (3a + 4b) – (–a–b)c) (n + hg – 2nhg) + (nhg – n + 1) h) (8x3 – 40x2 + 50x) + (–20x2 + 100x – 125)d) (–6d + 4 – 2e) – (6d – 5f + 3) i) (2t4 – t2 + t – 1) + (t5 – t3 + 3 + 2t)e) (3a + 2b – 4) – (–3a + 4b) j) (–7k + 2s – 3q) – (–2q – 3k) + (4k + q – 2s)

1

4

5

72

3

1

3

9

5

4

52

7

a) (2x2y) (3x3y 2) g) (2x2 – 5xy + 6y2 ) (2x2 – 5xy + 6y2)b) (8wz2 – 5z + 4) (3w) h) (x4 – 5x3 –10x2 + 15x) ÷ (– 5x)c) (x3 – 2x2 + 2) (x3 – 2x + 3) i) (12q2d – 6qd2 + 24qd) ÷ (3qd)d) (3a + 2b2) (a – b) j) (4rt + 5e2 – 3e) (2e – 4 + rt)e) (g + h) (g – h) k) (–8x – 3x2 – 2x3 – 4) (– 5x3 – 2x2 – 3x – 5)f) (2w – 3v) (2w – 3v) l) (7w2 – 3wz2 + 11z3 – 5y) ÷ (2w4z5)

Resuelva las siguientes operaciones de polinomios:

Lección 10: Representación gráfica de algunas expresiones algebraicasEn la lección 18 del curso anterior usted aprendió a representarpuntos en el plano cartesiano y en la lección 24 del mismo cursoaprendió a usar ciertas expresiones algebraicas para referirse arelaciones numéricas. En esta lección vamos a ver cómo representar gráficamente algunas relaciones algebraicas.

Recuerde que para representar puntos en el plano se consideran dos ejes perpendiculares: uno horizontal (eje de las x)que se llama eje de las abscisas, y otro vertical (eje de las y),que es el eje de las ordenadas.

Cada eje representa una recta numérica; donde se cortanambos ejes se ubica generalmente el punto (0, 0) y la ubicaciónen el plano de cualquier otro punto queda determinada por dosvalores o coordenadas: el valor de x y el valor de y.

Por ejemplo, veamos la representación de los puntos A, B, Cy D, cuyas coordenadas son:

125

LECCIÓN 10

A = (0, 0)B = (2, 4)C = (–3, 6)D = (–6, –5)

Algunas veces nos interesa representar conjuntos de puntoscuyas coordenadas están relacionadas de algún modo entre sí.

Para ver cómo es esto analizaremos un ejemplo. Vamos a representar algunos de los puntos cuyas coordenadas presentan la siguiente relación: para cada punto el valor de y es el dobledel valor de x. Esta relación puede expresarse de la siguientemanera:

y = 2x

Observe que en este caso no hay nada que nos diga cuál debeser el valor de las letras que están en la expresión; cuando estoocurre significa que se está hablando de cualquier par de valoresque cumpla la relación establecida; aquí decimos que la letra x yla letra y son variables. Algunos de los valores que pueden tomarlas letras x y y que mantengan la relación mencionada son:

x = 2, y = 4; x = –1, y = –2; x = 5, y = 10

Para encontrar otras parejas de valores que cumplan esarelación, le damos un valor cualquiera a x y calculamos el valorde y multiplicando por 2 ese valor. Por ejemplo si decimos que x vale 4, encontramos que y = 2 x 4 = 8.

126


2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

4

4

6

6

8

8

y

xA

BC

D

Para registrar los valores de x yde y, puede utilizarse una tabla como la que se muestra a la derecha. En laprimera columna se ponen los valores de x (aquí se puede poner cualquier valor), y en la segunda columna los valores que calculamos para y, a partir de los que escogimos para x. En la tablahemos puesto las parejas de valores quehemos mencionado ya y algunas más.

Cada una de las parejas de valores (x, y) así encontradas puede tomarse como las coordenadas de un punto en el plano cartesiano. Las parejas de valores que aparecen en la tabla se pueden entonces representar como puntos: esto se muestra en la gráfica siguiente.

127

LECCIÓN 10

x y = 2x

2 x 2 = 4

2 x (-1) = -2

2 x 5 = 10

2 x 4 = 8

2 x 0 = 0

2 x (- )= -1

2 x =

2

-1

5

4

0

- 12

34

12

34

32

1

1

00

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

9

10

11

8

y

x

Si colocamos una reglasobre los puntos de la gráfica,es fácil ver que todos quedansobre una misma recta, como se muestra en la gráfica de laderecha.

Nosotros sólo hemos encontrado algunos pares de valores que cumplen la relaciónplanteada pero hay infinidad de ellos, de hecho las coordenadas de cualquier puntoque pertenezca a la recta cumplen con la relación dada, ycualquier punto cuyas coordenadas cumplan esa relación está en la recta.

La relación que acabamos de describir y representar gráficamente es una función, y decimos que la recta es la representación gráfica de esa función.

Veamos un ejemplo de una relación que también es funciónpero cuyos puntos no pertenecen a una recta. Ahora diremos queel valor de y es igual al cubo de x, es decir:

y = x3

Para encontrar los valores vamos a construir una tabla comola anterior, eligiendo algunos valores de x y encontrando cuántovale la y correspondiente a cada uno.

128


1

1

00

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

9

10

11

8

y

x

Con los valores encontrados podemos ubicar los puntos del plano:

Es fácil ver que los puntos representados no pertenecen a una recta. Incluso, si unimos los puntos de izquierda a derecha en el orden que aparecen, podemos ver que pertenecen a una curva. Esa curva representa gráficamente a la función

y = x3

129

LECCIÓN 10

x y = x3

-2 (-2)3 = -8

-1.6 (-1.6)3 = -4.096

-1.3 (-1.3) = -2.197

-1 (-1)3 = -1

-0.5 (-0.5)3 = -0.125

0 03 = 0

0.5 0.53 = 0.125

1 13 = 1

1.3 1.33 = 2.197

1.6 1.63 = 4.096

2 23 = 8

1

1

00

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

2

2

3

3

4

5

6

7

8

9 y

x

Cuando en la expresión algebraica lasvariables tienen exponente uno (recuerdeque en ese caso el exponente no se escribe),la representación corresponde a una recta, ysi el exponente es distinto de uno, se obtieneuna curva.

Si sabemos que la gráfica es una recta,para dibujarla sólo necesitamos encontrardos puntos, pero si la gráfica es una curvapara poder trazarla debemos ubicar variospuntos, y cuantos más puntos encontremosmás fácil será dibujar la curva.

Escriba en lenguaje algebraico las siguientes relaciones entre losvalores de la variable x y de la variable y.

a) Un número es igual a la suma de 4 más el doble de otro. (Llame y al primer número mencionado.)

b) La suma de dos números es igual a 3.c) Un número es igual al cuadrado de otro.

(Llame y al primer número mencionado.) d) Un número menos la mitad de otro es 2.

(Llame y al primer número mencionado.)e) Un número es igual al cuadrado de la suma de otro

número más 1. (Llame y al primer número mencionado.)

130


1

1

00

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

2

2

3

3

4

5

6

7

8

9 y

x

Ejercicio 1

Para cada una de las relaciones del ejercicio 1, encuentre al menos seis parejas de números que cumplan esa relación, represente gráficamente los puntos y trace la recta o curva que pasa por ellos. Utilice un par de ejes distintos para graficarlos puntos correspondientes a cada función.

NOTA: Aunque se puede dar cualquier valor a x, para queusted pueda verificar sus resultados con las soluciones del libro,le sugerimos que en cada uno de estos ejercicios le asigne a x losvalores que se dan a continuación:

–2, –1, - , 0, , 1, 2;

además de éstos, usted puede asignar los valores que quiera.

Indique para qué relaciones del ejercicio anterior el conjunto depuntos queda sobre una misma recta y para cuáles no.

131

LECCIÓN 10

Ejercicio 2

Ejercicio 3

1

2

1

2

Lección 11: Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Ecuaciones con dos incógnitas

Existen muchos problemas que pueden plantearse a través de ecuaciones con más de una incógnita. Veamos el siguienteejemplo:

María recorrió 10 Km siempre en la misma dirección, una parte del recorrido lo hizo a pie y el resto en camión. ¿Cuántos kilómetros caminó y cuántos recorrió en camión?

Es claro que la pregunta anterior da lugar a muchas respuestas. Podríamos decir por ejemplo, que María recorrió:

• 5 Km a pie y 5 Km en camión, porque 5 + 5 = 10• 1 Km a pie y 9 Km en camión, porque 1 + 9 = 10• 2.5 Km a pie y 7.5 Km en camión, porque 2.5 + 7.5 = 10• 0.8 Km a pie y 9.2 Km en camión, porque 0.8 + 9.2 = 10

132


Usted puede encontrar otras parejas de números que puedenser solución del problema. Pero no cualquier pareja de númeroses solución del problema. Por ejemplo

• Los números 3 y 8 no son solución, porque 3 + 8 = 11 ≠ 10• Los números –1 y 11 tampoco son solución, porque aunque

–1 + 11 = 10, María siempre caminó en la misma dirección yentonces no pudo recorrer –1 Km a pie.

133

LECCIÓN 11

Si llamamos x a la cantidad de kilómetros que María caminó y si llamamos y a la cantidad de kilómetros recorridos en camión,podemos describir el problema anterior del siguiente modo:

x + y = 10

A expresiones de este estilo se las denomina ecuaciones deprimer grado con dos incógnitas o ecuaciones lineales con dosincógnitas.

Ya dijimos que este problema tiene muchísimas soluciones delas que hemos encontrado sólo algunas. Las soluciones que hemosencontrado:

x = 5, y = 5 x = 1, y = 9 x = 2.5, y = 7.5 x = 0.8, y = 9.2

pueden ser expresadas como parejas ordenadas:

(5, 5) (1, 9) (2.5, 7.5) (0.8, 9.2)

Y estas parejas ordenadas nos pueden servir para representargráficamente las soluciones quehemos encontrado. Para ello consideramos los valores de x comoabscisa, y los de y como ordenadas.Así, las primeras soluciones quedaránrepresentadas por los siguientes puntos.

134


1

1

00

-1-1

-2

-2

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

9

10

11y

x

a) Copie la gráfica anterior.b) Encuentre otras parejas de números que sean solución de

la ecuación x + y = 10 y represéntelas en la gráfica, con puntos.

c) Trace una recta que pase por dos puntos cualesquiera de la gráfica. Los demás puntos de la gráfica ¿quedan en la recta o fuera de ella?

d) Encuentre dos parejas de números que NO sean solución de la ecuación x + y = 10 y represéntelas en la gráfica.

e) Los dos puntos recién trazados ¿quedan en la recta o fuera de ella?

Considere la ecuación –2x + y = –4.

a) Verifique que las parejas (–1, –6), (0, –4), (2, 0), y (5, 6) son solución de la ecuación.

b) Verifique que los puntos que representan a esas parejas de números están en la gráfica de la derecha.

c) Encuentre las coordenadas de los puntos A, B y C que están en la gráfica.

d) Verifique que las parejas de númerosencontradas en el inciso anterior sonsolución de la ecuación.

135

LECCIÓN 11

Ejercicio 1

Ejercicio 2

1

1

00

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

x

y

A

B

C

Gráfica de una ecuación lineal

Regresemos a nuestra ecuación:

x + y = 10

Nosotros hemos representado sólo algunas parejas ordenadasy usted ha podido observar (al realizar los ejercicios anteriores)que todos los puntos que representan soluciones están sobre una

línea recta. Sabemos que la ecuación anterior tieneinfinidad de soluciones, y puede demostrarse que todos los puntos quepertenecen a la siguienterecta, son solución de laecuación.

Observe que hay puntos que pertenecen a la recta y son solución de la ecuación, pero no son respuesta al problemaplanteado.

Por ejemplo la pareja (-1, 11) es solución de la ecuación,porque -1 + 11 = 10, pero no puede ser respuesta al problema porque no tiene sentido decir que María caminó –1 Km.

Lo que hemos observado con la ecuación x + y = 10, ocurrecon todas las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

136


1

1

00

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

9

10

11

12

8 9 10 11 12

y

x

(también llamadas ecuaciones lineales), y se puede enunciar delsiguiente modo:

• Toda ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

• Los puntos que representan todas las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas forman una línea recta.

Veamos ahora cómo trazar esa recta. Ya sabemos que para trazar una recta sólo necesitamos dos puntos, entonces siqueremos representar todas las soluciones de una ecuación lineal,basta con que localicemos los puntos que representan a dos desus soluciones.

Por ejemplo, si queremos obtener la recta que representatodas las soluciones de la ecuación:

x – y = 6,

buscamos dos parejas de números que sean soluciones y las representamos gráficamente; si trazamos la recta que pasa por esos dos puntos, encontramos la gráfica de soluciones de la ecuación.

Podemos ver que las parejas:

(9, 3) y (2, –4)

son soluciones de la ecuación porque:

9 –3 = 6 y 2 – (– 4) = 6.

137

LECCIÓN 11

Los puntos que representan a estas dos parejas se muestran en la gráfica de la derecha.

Ahora podemos trazar la recta quebuscábamos.

En los dos ejemplos que hemos manejado, ha sido fácil encontrar parejas de números que sean solución dela ecuación. En algunos casos esto puedeser un poco menos sencillo. Veamos otroejemplo:

Se quiere encontrar la recta que representa a todas las soluciones de la ecuación:

3x + 2y = 30.

Sabemos que sólo necesitamos dos puntos para determinar larecta, entonces bastará con encontrar dos parejas de números.Para ello podemos dar un valor cualquiera a x, por ejemplo 4 yhacer la sustitución correspondiente. Así obtenemos la ecuación3(4) + 2y = 30 que tiene una sola incógnita y que usted ya saberesolver.

3(4) + 2y = 3012 + 2y = 30

2y = 30 – 12 y = 18 ÷ 2y = 9

138


2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-8

4

4

6

6

8

8 10

y

x

2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-8

4

4

6

6

8

8 10

y

x

Del mismo modo, si decimos que x = 10, tenemos:

3(10) + 2y = 3030 + 2y = 30

2y = 30 – 30 y = 0 ÷ 2y = 0

Usted puede verificar que las parejas (4, 9) y (10, 0), sonsoluciones de la ecuación.Y la recta trazada, quepasa por los puntos decoordenadas (4, 9) y (10,0), representa a todas lassoluciones a la ecuación 3x+ 2y = 30.

Finalizaremos esta sección haciendo una reflexión acerca de la diferencia entre las soluciones de un problema y las soluciones a laecuación. Consideremos el siguiente problema:

Juan decidió no gastar las monedas de $2 y $5. Al cabo de un tiempo su ahorro ascendía a $120. ¿Cuántas monedas de $2 y cuántas de $5 juntó Juan?

139

LECCIÓN 11

1

1

00

-1-1

-2

-2

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

8 9 10 11 12

y

x

Si llamamos x a la cantidad de monedas de $2 y llamamos y a la cantidad de monedas de $5 podemos describir la situaciónplanteada con la siguiente ecuación lineal

2x + 5y = 120

Esta ecuación tiene una infinidad de soluciones, y para trazar la gráfica de ellas podemosencontrar como en el ejemplo anterior dos soluciones; por ejemplo,para x = 0 encontramos y =120 ÷ 5 = 24, y para x = 40 encontramos y = (120 – 80) ÷ 5 = 8. Entonces podemos trazar la recta que pasa por los puntos (0, 24) y (40, 8):

Observe que la recta contiene a todas las soluciones de laecuación, sin embargo no todas ellas son respuestas al problemaplanteado, ya que por tratarse de cantidad de monedas sólopueden considerarse como posibles respuestas las parejas denúmeros naturales.

140


5

5

00

-5-5

-10

-10

10

10

15

15

20

20

25

25

30

30 35 40 45 50 55 60

y

x

Es decir, la gráfica de la página anterior representa a todaslas soluciones a la ecuación, pero de todos los puntos que la conforman sólo unapequeña minoría son soluciones al problema.De hecho, si quisiéramosgraficar solamente las soluciones al problema,encontraríamos una gráficacomo la que se muestra a la derecha.

Para cada una de las siguientes ecuaciones, encuentre la rectaque representa a todas las soluciones.

a) –x + y = 4 b) x + y = –2

Considere la ecuación x – y = 3.

a) Encuentre la recta que representa todas las soluciones.b) Complete las siguientes parejas de números para que sean

soluciones de la ecuación.

• x = 5, y =• x = –1, y =

141

LECCIÓN 11

5

5

00

-5-5

-10

-10

10

10

15

15

20

20

25

25

30

30 35 40 45 50 55 60

y

x

Ejercicio 3

Ejercicio 4

• x = , y = 6• x = , y = –1• x = 2.5, y =• x = , y = 0• x = 0, y =

Trace la gráfica de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones lineales.

a) –2x + 2y = 14 b) 4x – 2y = –2

Un terreno rectangular tiene un perímetro de 74 m, y se quiere conocer su largo y su ancho.

a) Encuentre una ecuación que corresponda al enunciado del problema, en la que x sea el largo del terreno y ysea su ancho.

b) Trace la gráfica de soluciones de la ecuación.c) A partir de la gráfica, encuentre tres parejas de números

que sean solución del problema y dos parejas que sean solución de la ecuación pero no del problema.

142


Ejercicio 5

Ejercicio 6

Lección 12: Sistemas de ecuaciones lineales

Resolución gráfica

Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintosproblemas. Hemos observado que cada una de ellas admiteinfinidad de soluciones y hemos encontrado la recta que representa a todas las soluciones de una ecuación lineal. Hasta ahora hemos trabajado con situaciones en las cuales una sola ecuación permite expresar la condición que presenta el problema.

En muchos casos nos enfrentamos a problemas en los que seplantea más de una condición, por lo que es necesario plantearmás de una ecuación. Decimos que las ecuaciones que expresanlas condiciones de un problema forman un sistema deecuaciones.

A continuación veremos cómo resolver, gráficamente, un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Como lo hemos hecho en otras situaciones, empezaremos con un ejemplo:

143

LECCIÓN 12

La suma de dos números es 12 y su diferencia es 6. ¿Cuáles son esos números?

En este problema se nos pide que encontremos dos númerosque cumplan con dos condiciones:

• que su suma sea 12• que su diferencia (es decir la resta de estos dos números)

sea 6.

Si llamamos x a uno de los números y llamamos y al otro,podemos expresar cada condición por medio de una ecuación:

• x + y = 12• x – y = 6

A expresiones como la anterior, se las denomina sistema dedos ecuaciones lineales con dos incógnitas y suelen expresarsedel siguiente modo:

x + y = 12x – y = 6

Una forma de encontrar la solución de este problema es buscar pares de valores que cumplan una de las condiciones, porejemplo que su suma sea 12, y posteriormente ver cuál de elloscumple también con la segunda. Para comenzar es bueno tener en cuenta que el valor de x debe ser mayor que el de y, de locontrario la diferencia no sería positiva.

144


{

Al llenar la tabla anterior vemos que la pareja de valores x = 9, y = 3 es solución del problema ya que 9 + 3 = 12 y 9 – 3 = 6; es decir que estos números cumplen con las dos condicionesque se habían planteado. Podríamos preguntarnos si es la únicapareja de valores que cumplen ambas condiciones, pero esimposible pensar en "probar" con todos los números cuya suma sea 12, porque como vimos en la lección anterior, son infinitas las parejas de valores que cumplen una condición de ese estilo.

A continuación veremos un método más práctico que nos permite dar solución a este tipo de problemas. Este métodorecibe el nombre de resolución gráfica de sistemas de ecuaciones

Para resolver el sistema anterior:

x + y = 12x – y = 6

145

LECCIÓN 12

x y x + y x - y

7 5 12 2

8 4 12 4

8.5 3.5 12 5

9 3 12 6

10 2 12 8

11 1 12 10

12 0 12 12

13 -1 12 14

{

comenzaremos por encontrar la gráfica de soluciones de cadaecuación, es decir la recta que contiene a todas las soluciones de cada ecuación.

Como ya sabemos que cada gráfica es una recta, para encontrarla bastará con elegir dos puntos cualesquiera.

En este caso, para la ecuación x+ y = 12, podemos tomar los puntos delas parejas que anotamos en la tablaanterior. De este modo encontramos larecta que se muestra en la gráfica dela derecha.

Como ya dijimos, cada punto deesta recta es solución de la primeraecuación, o lo que es lo mismo, la suma de las coordenadas decualquiera de ellos es 12.

Del mismo modo procedemos para encontrar la recta querepresenta a todas las soluciones de la ecuación x – y = 6. Asíobtenemos la recta siguiente:

Todos los puntos de esta recta son solución de la segunda ecuación, es decir que la diferencia de sus coordenadas es igual a 6.

Cada ecuación tiene infinitas soluciones, pero nosotros buscamos una pareja de números que sea solución de ambas.

146


2

2

00

-2-2

-4

-4

4

4

6

6

8

8

10

10

12

12

14

14

16y

x

2

2

00

-2-2

-4

-6

-4

4

4

6

6

8

8

10

10

12

12 14

y

x

Si trazamos en el mismo par deejes las dos rectas podemos observarque se cruzan en un punto.

El punto A pertenece a ambas rectas, por lo que sus coordenadascumplen las dos condiciones o relaciones planteadas: por un lado lasuma de sus coordenadas es igual a 12(línea lisa), y por otro la diferencia desus coordenadas es igual a 6 (línea punteada). Es decir, si leemoslas coordenadas del punto A encontramos los valores de x y de y,que es la solución al problema planteado.

Entonces los números buscados son 9 y 3. Para verificar esteresultado sustituimos la x por 9 y la y por 3 en las dos ecuacionesque forman el sistema:

x + y = 12 x – y = 69 + 3 = 12 9 – 3 = 6

Observe que las rectas sólo se cortan en el punto A: podemos afirmar que (9, 3) es el único par de valores que satisface simultáneamente las dos ecuaciones ya que no hay otro punto que pertenezca a ambas rectas.

Resuelva gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

147

LECCIÓN 12

2

2

00

-2-2

-4

-6

-8

-4

4

4

6

6

8

8

10

10

12

12 14x

A

y

Ejercicio 1

a) 3x + 4y = 10 d) x + y – 3 = 02x + y = 0 10x – 2y – 6 = 0

b) x + y = 1 e) 4x + 6y = 6x + y = –5 2x + 3y = 12

c) 5x – 4y = 12 f) x – 2y = 1x + y = 6 5x –10y = 5

Sistemas sin solución y sistemas con infinitas soluciones

En el ejercicio anterior observamos dos situaciones que merecenuna consideración especial.

Seguramente al resolver el inciso e, habrá llegado a la conclusión de que esas rectas no tienen punto de intersección, no se cortan por ser paralelas. Esto significa que en las rectas no hay puntoalguno que pertenezca a las dos rectaspor lo que el sistema no tiene solución.Cuando esto ocurre se dice que es un sistema inconsistente. En un caso así,aunque cada una de las ecuaciones delsistema tiene un número infinito de soluciones, no hay ninguna pareja de valores que sean solución de ambas ecuaciones: el sistema no tiene solución.

148


{ {

{ {

{ {

1

1

00

-1-1

-2

-2-3-4

2

2

3

3

4

4

5

6

7y

x

1

2

En cambio al resolver el inciso f, nosencontramos con que las gráficas de solucióncoinciden, todos los puntos de una rectapertenecen también a la otra. Aquí tenemos un sistema que tiene una infinidad de soluciones:

Si observamos los dos sistemas mencionados, podremos notar en ellos características que se presentan en general cuando tenemos sistemas inconsistentes o de infinitas soluciones.

Un sistema tiene infinitas soluciones cuando una ecuación se obtiene multiplicando o dividiendo por un mismo número,todos los números que aparecen en la otra, respetando signos y operaciones. En el sistema del inciso f, tenemos:

1ª ecuación 1 x – 2 y = 1

2ª ecuación 1 x 5 x – 2 x 5 y = 1 x 55 x – 10 y = 5

Los sistemas de ecuaciones, que presentamos a continuación,tienen infinitas soluciones. Usted puede verificarlo encontrandolas rectas correspondientes.

• 2x + 4y = 3 • 3x – 4y = 3x + 2y = 1.5 –9x + 12y = –9

• 2x + 10y = –10 • –x + 0.6y = –2.4x + 5y = –5 2x – 1.2y = 4.8

149

LECCIÓN 12

2

2

00

-2-2

-4

-4-6

4

4 6

y

x

{ {

{ {

Si observamos ahora el sistema del inciso e, que no tienesolución, podemos notar que los coeficientes de x y de y de unade las ecuaciones se pueden obtener multiplicando por un mismonúmero los coeficientes correspondientes de la otra, pero esto noocurre con el término independiente (el que no está acompañadopor letra).

1ª ecuación 4 x + 6 y = 6

2ª ecuación 4 x 0.5 x + 6 x 0.5 y = 6 x 0.52 x + 3 y = 12

Otros ejemplos de sistemas de ecuaciones que no tienen solución son los siguientes. Usted puede verificarlo encontrandolas rectas correspondientes.

• 2x + 4y = 10 • 0.3x – 4y = 02x + 4y = 0 0.9x – 12y = 10

• 2x + 1y = 4 • –x + 6y = 24x + 0.5y = –5 2x – 12y = 8

150


{ {

{ {

Resuelva gráficamente los siguientes sistemas. Exprese en cadacaso los valores de x y de y que satisfacen ambas ecuaciones eindique, si fuera el caso, los sistemas inconsistentes o de infinitassoluciones.

a) –2x + y = 3 d) 2x + 2y =x + 2y = – 4 4x + 4y =

b) y – 4x = 2 e) 3x – 4y =2y – 8x = 4 2y + x =

c) 3x – y = 7 f) x – y – 1 =2x + 3y = 1 2x – 3y + 2 =

151

LECCIÓN 12

Ejercicio 2

{ {

{ {

{ {

Lección 13: Resolución algebraica de sistemas de ecuacionesEn la lección anterior hemos visto cómo resolver gráficamente un sistema de ecuaciones. Si bien ese método es relativamentesencillo de aplicar, no siempre es fácil leer las coordenadas de un punto. Además del método gráfico, hay varios métodos algebraicos que permiten obtener la solución de un sistema sinnecesidad de recurrir a la representación gráfica. En general estos métodos tratan de obtener a partir del sistema de dos ecuaciones una sola ecuación de primer grado con una incógnita,aplicando las propiedades de las ecuaciones que ya conocemos.En esta lección veremos uno de ellos, llamado método de reducción por suma y resta.

En la aplicación de este método se aplican las siguientespropiedades:

• Si sumamos (o restamos) cantidades iguales a los dos miembros de una ecuación, obtenemos otra ecuación que tiene las mismas soluciones que la primera.

• Si multiplicamos (o dividimos) los dos miembros de una ecuación por un mismo número, obtenemos otraecuación que tiene las mismas soluciones que la primera.

152


A modo de ejemplo vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

2x + y = 8x – y = 3

Si escribimos la segunda ecuación como x + (–y) = 3, es fácil observar que (–y) es el inverso aditivo de y que figura en laprimera ecuación. Como queremos llegar a una ecuación con unasola incógnita, aprovechamos la presencia de los inversos aditivospara quedarnos sólo con la x, pero manteniendo las relaciones deigualdad establecidas.

Para ello vamos a sumar (x – y) (o su igual 3) a ambos miembros de la primera ecuación. Debemos recordar que sólopuede resolverse la suma de términos semejante, así que sumaremos:

2 x + x , y + (– y) y 8 + 3.

Tenemos entonces que:

2x + y = 8x – y = 3

3x + 0 = 11

El resultado de la suma es una ecuación de primer grado conuna incógnita que podemos resolver fácilmente, para encontrarde este modo uno de los dos valores que buscábamos.

153

LECCIÓN 13

{

+

3x + 0 = 113x = 11x =

Conociendo este valor, sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales a la x por . Así obtendremos otraecuación de primer grado con una incógnita que nos permitiráencontrar el valor de y :

x – y = 3– y = 3– y = 3 – – y = -

y =

Podemos decir entonces que los números y son la solución del sistema de ecuaciones. También se dice que son las raíces del sistema.

Veamos otro ejemplo. Queremos resolver el siguiente sistema:

3x + y = 10x + y = 4

Aquí no tenemos inversos aditivos por lo que no servirá efectuar la suma como lo hicimos en el caso anterior, pero si en lugar de sumar restamos el efecto será el mismo. Restaremos(x + y) (o su igual 4), a ambos miembros de la ecuación 3x + y =10, considerando también aquí que la operación debe efectuarseentre términos semejantes:

154


11

3

11

3

11

3 11

32

32

3

{

2

311

3

3x + y = 10x + y = 4

2x + 0 = 6

tenemos entonces:

2 x = 6x =x = 3

Sustituyendo la x por este valor en la segunda ecuación,obtenemos:

x + y = 43 + y = 4

y = 4 – 3y = 1

Hemos encontrado los dos números que buscábamos:podemos afirmar que la pareja (3, 1) es la solución del sistema.

Observe que en las dos ecuaciones de los sistemas anteriores,los coeficientes de las y eran iguales (en cuyo caso restamos) oeran inversos aditivos (en cuyo caso sumamos). Podríamos actuarde modo equivalente si los coeficientes de las x fuesen de eseestilo. Por ejemplo si queremos resolver el sistema:

3x + 4y = 183x + 2y = 12

155

LECCIÓN 13

-

6

2

{

Efectuamos una resta como en el último ejemplo y obtenemos una ecuación en la que sólo aparece la y:

3x + 4y = 183x + 2y = 12

0 + 2y = 6

Ahora sólo falta despejar la y para obtener su valor:

0 + 2y = 62y = 6y =y = 3

Reemplazando y por 3 en cualquiera de las dos ecuacionesoriginales, obtenemos el valor de x:

3x + 4 y = 183x + 4 (3) = 18

3x = 18 – 123x = 6x =x = 2

Entonces, las raíces del sistema de ecuaciones son la pareja(2, 3).

Cuando no se presenta ninguna de estas situaciones, debemosmultiplicar una o ambas ecuaciones por un número conveniente,para conseguir que una de las incógnitas quede con el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, o con coeficientes que sean

156


-

6

2

6

3

inversos aditivos. De este modo podremos eliminar por suma oresta a esa incógnita y despejar fácilmente a la otra. Veamos en el siguiente ejemplo cómo proceder en estos casos.

3x + 4y = 124x + 5y = 15

Aquí de nada nos serviría sumar o restar estas ecuacionescomo están, porque seguiríamos teniendo dos incógnitas. Para igualar los coeficientes de las x, multiplicamos la primeraecuación por 4 (que es el coeficiente de la x en la segundaecuación), y la segunda por 3 (que es el coeficiente de la xen la primera ecuación). Para igualar los coeficientes de la y, multiplicaríamos la primera ecuación por 5 y la segunda por 4. Recuerde que multiplicar una ecuación por un número es multiplicar por ese número ambos miembros de la igualdad.

4 (3x + 4y) = 4 x 123 (4x + 5y) = 3 x 15

Así obtenemos un nuevo sistema, que es equivalente al queplanteamos originalmente:

12x + 16y = 4812x + 15y = 45

En este nuevo sistema, los coeficientes de las x son iguales,por lo que podemos efectuar la resta:

12x + 16y = 4812x + 15y = 450 + 1y = 3

157

LECCIÓN 13

{

{

-

Observe que en este caso no tenemos que despejar la y,porque aquí se ve directamente que y = 3. Entonces hacemos lasustitución correspondiente en cualquiera de las dos ecuacionesoriginales (en general se elige aquélla en la cual nos parece queresultará más sencillo el proceso).

3x + 4y = 123x + 4(3) = 123x + 12 = 12

3x = 12 – 123x = 0x =x = 0

Ahora podemos afirmar que la pareja (0, 3) es la solución delsistema.

El método que acabamos de ver es el más general y puedeservir en cualquier caso. Usémoslo, por ejemplo, para volver aresolver el primer ejemplo de esta lección:

2x + y = 8x – y = 3

Aquí multiplicaremos por 2, que es el coeficiente de la x enla primera ecuación, la segunda ecuación y multiplicaremos por 1,que es el coeficiente de la x en la segunda ecuación, la primera;esto es, dejaremos la primera ecuación sin cambiar:

2x + y = 82(x – y) = 2 x 3

158


0

3

{

Obtenemos entonces:

2x + y = 82x – 2y = 6

restamos:

2x + y = 82x – 2y = 60 + 3y = 8 – 6

y despejamos:

3y = 2y =

Después sustituimos en una de las ecuaciones:

2x + y = 82x + = 8

2x = 8 –

2x =

2x =

x = ÷ 2

x =

159

LECCIÓN 13

-

2

3

2

3

2

3

24 - 2

3

22

3

22

3

11

3

y obtenemos que las raíces del sistema son y : exactamente las mismas que habíamos obtenido la primera vez.

Con esto hemos intentado mostrarle que no importa quémétodo se siga, de todos modos se llega a la misma solución alsistema de ecuaciones.

Verifique que las parejas de números obtenidas en los cuatroejemplos anteriores, son realmente solución de los sistemas considerados.

Utilice el método visto en la lección anterior, de resolución gráfica de un sistema de ecuaciones, para encontrar las soluciones del segundo ejemplo de esta lección:

3x + y = 10x + y = 4

Compare el resultado obtenido con el que se obtuvo en estalección. ¿Qué observa?

160


11

3

2

3

Ejercicio 1

Ejercicio 2

{

Aplique el método algebraico que acabamos de ver, para obtenerlas raíces de los sistemas que resolvió geométricamente, en elejercicio 2 de la lección anterior. ¿Qué observó en los casos desistemas inconsistentes o de infinitas soluciones?

Resuelva algebraicamente los siguientes sistemas y verifique susresultados.

a) –2x – y = 8 d) x + 3y = 10– x + 2y = 4 4x – 3y = –23

b) x + y = 10 e) –8x + y = –33x – y = 6 4x – y = –2

c) 3x + 4y = 10 f) –3x + y = 62x + y = 0 2x + 3y = 7

161

LECCIÓN 13

Ejercicio 3

Ejercicio 4

{ {

{ {

{ {

5

2

Lección 14: Problemas que se resuelven por sistemas de ecuaciones linealesA continuación veremos algunos problemas que se resuelven consistemas de ecuaciones y algunos ejemplos de cómo plantear lossistemas para poder resolver fácilmente los problemas.

Juan pagó $50 por 3 cajas de taquetes y 5 cajas de clavos. Pedro compró 5 cajas de taquetes y 7 de clavos y tuvo que pagar $74. ¿Cuál es el precio de cada caja de taquetes y de cada caja de clavos?

162


Para plantear la solución de este problema, identificamos en primer lugar aquello sobre lo que se nos pregunta, es decir:¿qué debemos averiguar? En este caso debemos encontrar doscantidades, el precio de una caja de taquetes y el precio de una caja de clavos.

En segundo lugar debemos identificar las relaciones (o condiciones) que sobre esas dos cantidades se plantean en elproblema. Si llamamos x al precio de una caja de taquetes y llamamos y al precio de una caja de clavos, podemos expresar lo que gastó Juan a través de una ecuación y lo que gastó Pedropor medio de otra. Para ello analicemos la información que nospresenta el problema y veamos cómo expresar algebraicamentelas relaciones.

Ahora ya podemos plantear y resolver el sistema:

3x + 5y = 505x + 7y = 74

163

LECCIÓN 14

Información Expresión algebraica

Precio de una caja de taquetes.Precio de 3 cajas de taquetes.Precio de 5 cajas de taquetes.

x pesos3x pesos5x pesos

Precio de una caja de clavos.Precio de 5 cajas de clavos.Precio de 7 cajas de clavos.

y pesos3y pesos5y pesos

Importe de la compra de Juan.Importe de la compra de Pedro.

3x + 5y = 505x + 7y = 74

{

Como los coeficientes son todos positivos, sabemos que debemos restar para eliminar una de las incógnitas y como todos son números distintos debemos efectuar primero las multiplicaciones convenientes. Por ejemplo si queremos eliminarla x, multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por5 y los dos miembros de la segunda por 3 (si se quiere eliminar la y, se debe multiplicar la primera ecuación por 7 y la segundapor 5).

15x + 25y = 25015x + 21y = 2220 + 4y = 28

Entonces y = =7, ahora sustituimos y por ese valor en laprimera ecuación y obtenemos el valor de x (también podríamoshaber sustituido en la segunda ecuación):

3x + 5y = 503x + 5(7) = 50

3x = 50 – 35x = = 5

Podemos entonces decir que la caja de taquetes cuesta $5 yla de clavos cuesta $7.

Enriqueta es costurera y quiere aprovechar una oferta de botones. El paquete de botones blancos cuesta $15 y el de botones negros $10. Si con $180.00 compró en total 14 paquetes, ¿cuánto gastó en botones blancos?

164


-

28

4

15

3

Veremos dos maneras de plantear un sistema de ecuacionespara este problema. Según la primera manera, podemos pensarque para responder a la pregunta planteada nos puede ser útilconocer cuántos paquetes de botones blancos compró Enriqueta.Llamemos entonces x a la cantidad de paquetes de botones blancos y, equivalentemente, llamemos y a la cantidad de paquetes de botones negros. Podemos entonces expresar algebraicamente la cantidad total de paquetes comprados, el costo de los paquetes de cada color y el total gastado, lo que nos permitirá encontrar el dato que necesitamos pararesolver el problema.

165

LECCIÓN 14

Ahora ya podemos plantear el sistema de ecuaciones:

x + y = 1415x + 10y = 180

Como a nosotros nos interesa conocer x, igualaremos los coeficientes de y. Es decir, para eliminar la y, multiplicamos la primera ecuación por 10.

10x + 10 y = 14015x + 10y = 180– 5x + 0 = – 40

Entonces despejamos la x:

–5x = – 40x = –40 ÷ (–5)x = 8

166



Cantidad de paquetes de botones blancos.Cantidad pagada por los botones blancos.

x15x

Cantidad de paquetes de botones negros.Cantidad pagada por los botones negros.

y10y

Total de paquetes comprados.Importe de la compra.

x + y = 1415x + 10y = 180

{

-

Ahora ya sabemos que Enriqueta compró 8 paquetes debotones blancos. Pero lo que queríamos averiguar es cuánto gastó en ellos. Como conocemos el costo de cada uno de esospaquetes, tenemos:

8 x 15 = 120

Hemos llegado a la solución: podemos afirmar que Enriquetagastó $120 en botones blancos. Observe que según esta manerade resolver el problema, la solución no está dada directamentepor el valor de x, sino que necesitábamos ese valor para poderrealizar la última operación que nos dio el resultado.

Planteemos ahora la segunda manera de resolver el problema. Aquí nos podemos plantear que, como lo que necesitamos es saber cuánto gastó Enriqueta en botones blancos,esa cantidad es la que podemos llamar x, y, equivalentemente,llamamos y a la cantidad que gastó en botones negros. Ahora lainformación que tenemos se puede traducir en la siguiente tabla:

167

LECCIÓN 14


Cantidad pagada por los botones blancos.Cantidad de paquetes de botones blancos.

x

Cantidad pagada por los botones negros.Cantidad de paquetes de botones negros.

y

Importe de la compra.Total de paquetes comprados.

x + y = 180+ = 14

x15

y10

x15

y10

Esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:

x + y = 180

+ = 14

Para eliminar la y ahora multiplicamos por 10 la segundaecuación:

x + y = 180+ y = 140

x – + 0 = 40

Y entonces despejamos la x:

x – = 40

= 40

= 40

= 40

x = 40 x 3 = 120

Ahora hemos llegado directamente a la solución: como enesta segunda manera la x representaba lo que Enriqueta gastó en botones blancos, tenemos que gastó $120.

168


x

15

y

10{

10x

15

10x

15

-

10x

15

15x - 10x

15

5x

15

x

3

Observe que las dos maneras dieron lugar a distintos sistemasde ecuaciones, pero que con ambas llegamos al mismo resultado.Y observe también que en ninguna de las dos tuvimos necesidadde encontrar el valor de y, que representaba en el primer caso la cantidad de paquetes de botones negros y en el segundo eldinero pagado por ellos; si lo hubiéramos deseado, también lohubiéramos podido calcular.

Veamos ahora un par de ejemplos más de cómo plantear unsistema de ecuaciones:

Con dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente de 3 y 4 toneladas, se hicieron en total 23 viajes para transportar 80 toneladas de madera. ¿Cúantos viajes realizó cada camión?

169

LECCIÓN 14

Si llamamos x a la cantidad de viajes que realizó el primercamión y y a la cantidad de viajes que realizó el segundo camión,podemos expresar algebraicamente la información que nos presenta el problema:

El sistema de ecuaciones es entonces:

3x + 4y = 80x + y = 23

Usted puede resolver el sistema y encontrar los valores de xy de y, para concluir que el primer camión realizó 12 viajes y elsegundo 11.

La edad de Camila y de su mamá suman 54 años y dentro de 9 años la edad de la mamá será el doble de la edad de Camila. ¿Cuántos años tiene cada una?

170



Cantidad de viajes del primer camión.Madera transportada por el primer camión.

x3x

Cantidad de viajes del segundo camión.Madera transportada por el segundo camión.

y

4y

Total de madera transportada.Total de viajes.

3x + 4y = 80x + y = 23

{

Si llamamos x a la edad de Camila y llamamos y a la edad dela mamá, podemos expresar algebraicamente las relaciones entrelas edades de ambas que nos presenta el problema.

171

LECCIÓN 14


Edad actual de Camila.Edad de Camila dentro de nueve años.

xx + 9

Edad actual de la mamá.Edad de la mamá de Camila dentro de nueve años.

y

y + 9

Suma de las edades actuales.Relación entre las edades dentro de nueve años.

x + y = 54

y = 2x

Ahora ya podemos plantear el sistema de ecuaciones queusted puede resolver:

x + y = 542x – y = 0

Seguramente llegó a la conclusión de que Camila tiene 15años y su mamá 39.

Plantee el sistema que permite resolver cada uno de los siguientes problemas y resuélvalo.

a) Jovita y Felipe hacen paletas de chocolate para vender.La materia prima necesaria para hacer una paleta grande les cuesta $5.00 y para una paleta chica $3.00. Si disponen de $570.00 y quieren hacer 150 paletas, ¿cuántas paletas de cada tamaño podrán hacer?

b) El costo de las entradas a una función de títeres es de $30 para los adultos y $20 para los niños. Si el sábado pasado asistieron 248 personas y se recaudaron $5930, ¿cuántos adultos y cuántos niños asistieron a la función el sábado?

c) Marta y sus amigos pagaron $109 por 5 hamburguesas y 7 refrescos. Si la semana anterior consumieron 8 hamburguesas y 11 refrescos y la cuenta fue de $173, ¿cuánto cuesta cada hamburguesa y cada refresco?

172


{

Ejercicio 1

d) El perímetro de un rectángulo es de 40 metros. Si se duplica el largo del rectángulo y se aumenta en 6 metros el ancho, el perímetro queda en 76 metros. ¿Cuáles son las medidas originales del rectángulo y cuáles las medidas del rectángulo agrandado?

e) Don José y don Tiburcio fueron a comprar semillas para sembrar. Don José compró cuatro sacos de maíz y tres sacos de frijol, y don Tiburcio compró tres sacos de maíz ydos de frijol. La carga de don José fue de 480 kilogramos y la de don Tiburcio de 340. ¿Cuánto pesaban cada saco de maíz y cada saco de frijol?

f) Encuentre dos números tales que su suma sea 40 y su diferencia sea 14.

g) En una fábrica tienen máquinas de tipo A y máquinas de tipo B. La semana pasada se dio mantenimiento a 5 máquinas de tipo A y a 4 del tipo B por un costo de $3405.La semana anterior se pagó $3135 por dar mantenimiento a 3 máquinas de tipo A y 5 de tipo B. ¿Cuál es el costo de mantenimiento de las máquinas de cada tipo?

h) Las edades de Pedro y de su papá suman 44 años. Hace 4 años la edad de Pedro era la octava parte de la de su papá. ¿Cuántos años tiene cada uno?

173

LECCIÓN 14

Unidad III

Geometría

175

Lección 15: EscalasCuando necesitamos hacer un dibujo que se vea como la realidadque queremos representar pero más pequeño o más grande hacemos un dibujo a escala, que es un dibujo proporcional a larealidad en longitudes. En el siguiente dibujo se representa unamuñeca plana de cartón que se usa para exhibir ropa de niña enun aparador; la muñeca mide en la posición en la que está 90 cmde alto y 60 cm de ancho. Un centímetro en el dibujo representa10 cm de la realidad y decimos que está hecho en una escala de 1 a 10. Esto también se suele escribir así: la escala es de 1:10.

176


Longitudes en el dibujo en cm0 1 2 3 4 5 6

0 10 20 30 40 50 60Longitudes en la realidad en cm

Del dibujo podemos recuperar las medidas de la muñeca.Pongamos algunas de ellas en una tabla:

Observe que todas las medidas que pusimos en la tabla estánen la misma proporción:

= = = =

Aquí la constante de proporcionalidad es un décimo, es decir . Cada longitud del dibujo es la décima parte de la longitud original; o bien, cada longitud en la muñeca es de diez veces la correspondiente longitud en el dibujo.

Para hacer el dibujo se consideran las medidas que conocemos de la muñeca, las relaciones entre sus partes, su posición y la escala a la que la queremos dibujar. Aquí, por ejemplo, se consideró para dibujar el brazo que vemos a laderecha que el codo está 10 cm arriba del nivel de la cintura y que del codo al hombro hay 25 cm, de esta manera en el dibujo el codo queda 1 cm arriba del nivel de la cintura y del codo al hombro hay 2.5 cm.

177

LECCIÓN 15

Ancho de la cintura

Altura del tronco

Ancho de las piernas

Largo de la falda

Largo del pie

2 cm

3 cm

1 cm

1.5 cm

1.1 cm

20 cm

dibujo muñeca

30 cm

10 cm

15 cm

11 cm

2

20

3

30

1

10

1.5

15

1.1

11

1

10

Podemos volver a dibujar la misma muñeca con otra escala si queremos un dibujo más grande o más chico. Hagamos unareducción del dibujo que tenemos: para ello tomamos una escalamás chica, es decir una constante de proporcionalidad que sea unnúmero menor que un décimo; probemos con un vigésimo, esdecir con una escala de 1 a 20. Con esta escala cada medida en el dibujo debe ser una vigésima parte de la medida de la muñeca.Consideremos las mismas medidas que antes y calculemos las quetendrá el dibujo dividiendo cada medida de la muñeca entre 20:

Observe que también aquí se tiene la misma proporción entre las medidas del dibujo y las de la muñeca y la constante de proporcionalidad es un vigésimo, es decir la escala que escogimos:

= = = =

También podemos calcular de antemano la altura que debetener el codo con respecto al nivel de la cintura y el largo delcodo al hombro: = = 0.5 y = = 1.25. Podemos ahora

178


Ancho de la cintura

Altura del tronco

Ancho de las piernas

Largo de la falda

Largo del pie

20 cm

30 cm

10 cm

15 cm

11 cm

1 cm

muñeca dibujo

1.5 cm

0.5 cm

0.75 cm

0.55 cm

1

20

1.5

30

0.5

10

0.75

15

0.55

11

10

20

1

2

25

20

5

4

dibujar la muñeca con esta nueva escala eligiendo el punto departida que queramos:

Las escalas son muy importantes y se usan mucho porque se necesita representar muchas cosas que no caben en un papel.Se hacen dibujos a escala como el croquis de un departamento o de un barrio, planos de ciudades, mapas de países, planos deaparatos, instructivos para armar muebles, etc. Lo fundamentalen un dibujo a escala es que se conservan las propiedades y características geométricas de los objetos en el dibujo: las longitudes son proporcionales y los ángulos son los mismos.

También se pueden hacer dibujos que no estén a escala pero no son tan útiles. A continuación le mostramos dos dibujosde la misma muñeca que presentamos antes pero que no están a escala:

179

LECCIÓN 15

Observe cómo en estos dibujos cambian las formas de losobjetos, por ejemplo la forma de la falda o la de la cabeza. Loque ha cambiado es que son distintos los ángulos en estas figuras.A partir de ellas no podemos saber cuáles son las medidas de lamuñeca original, porque no hay proporcionalidad.

a) Considere el dibujo de la muñeca en escala de 1 a 10 parallenar la tabla siguiente:

180


Ejercicio 1

b) Considere el dibujo de la muñeca en escala de 1 a 20 parallenar la tabla siguiente:

El siguiente croquis corresponde a un departamento. Está en unaescala de 1:100.

181

LECCIÓN 15

Ancho total del modelo.

Altura de la muñeca.

Boca de la manga.

Ancho del cuello.

Distancia entre los ojos.

dibujo muñeca

Ancho total del modelo.

Altura de la muñeca.

Boca de la manga.

Ancho del cuello.

Distancia entre los ojos.

dibujo muñeca

Ejercicio 2

a) ¿Cuánto mide de largo el departamento? ¿Y de ancho? ¿Qué área tiene en total?

b) ¿Qué dimensiones tiene la cocina?c) ¿Qué dimensiones tiene cada uno de los dos baños?d) ¿Qué dimensiones tienen los clósets?

¿Qué área tiene cada uno de ellos?e) ¿Cuál de las dos recámaras tiene mayor área?

¿Qué área tiene?f) ¿Qué longitud total tienen las ventanas del departamento?

(Nota: la puerta que da a la terraza y la que da a la azotehuela se consideran como ventanas también, por ser de vidrio.)

g) Si se desea poner contra una pared un mueble que mide 4 m de largo, ¿cabe en el departamento? Si sí, ¿dónde?

Simbología

Paredes normales

Paredes bajas (tipo balcón)

Ventanas

Puertas

Clóset

182


Sala-comedor

RecámaraRecámara

Baño

Baño

Cocina

Estudio

Lección 16: Lectura de dibujos a escalaEn esta lección le presentamos varios dibujos a diferentes escalas para que practique su lectura y se familiarice con diversas maneras de decir cuál es la escala utilizada.

En el siguiente dibujo se presenta una parte de la RepúblicaMexicana en una escala de 1 a 10 000 000, es decir en una escalade 1:10 000 000.

Esto significa que un centímetro del dibujo representa 10 000000 de centímetros de la realidad y como 10 000 000 cm = 100Km, tenemos que un centímetro del dibujo representa 100 Km dela realidad. Los datos que podemos obtener con una escala comoésta son aproximaciones un poco burdas pues aquí un milímetrorepresenta 10 Km.

183

LECCIÓN 16

Escala

0 100 200 400 Km

a)b)

c)

d)

e)f)

g)

Observe cómo se marcó la escala en el dibujo, esta forma dehacerlo es usual en mapas y planos, también es usual marcar laslongitudes que nos interesan con flechas de dos puntas.

Complete la siguiente tabla con las longitudes marcadas en elmapa anterior y los cálculos que necesite hacer para encontrar las medidas reales:

En la figura de la página siguiente el malabarista pequeño es una reproducción a escala del grande. A partir del dibujo llene latabla y conteste las preguntas.

184


Ejercicio 1

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

maparealidad

en cm en km

Ejercicio 2

185

LECCIÓN 16

a) ¿Cuál es la altura total del malabarista grande?b) ¿Cuál es la altura total del malabarista pequeño?c) ¿Cuál es el ancho total del malabarista grande?d) ¿Cuál es el ancho total del malabarista pequeño?e) ¿Cuánto mide de ancho la cadera del malabarista grande? f) ¿Cuánto mide de ancho la cadera del malabarista

pequeño?g) ¿Cuánto mide de alto la cabeza del malabarista grande? h) ¿Cuánto mide de alto la cabeza del malabarista pequeño?i) ¿Cuánto mide de ancho la cabeza del malabarista grande? j) ¿Cuánto mide de ancho la cabeza del malabarista

pequeño?

186


k) ¿A qué escala está dibujado el malabarista pequeño?l) Un centímetro en el dibujo pequeño

¿a cuántos centímetros del dibujo grande corresponde?

En la siguiente página le presentamos un plano de la ciudad deSan Cristóbal de las Casas en una escala de 1:10 000. Encuentreaproximaciones a las siguientes medidas:

a) ¿Cuánto hay que caminar para ir de la esquina noroeste del Zócalo a Bellas Artes?

b) ¿Qué longitud tiene la avenida Insurgentes - Gral. Utrilla?c) ¿Qué longitud tiene la calle de Guatemala?d) ¿Cuál es el ancho, en Km., de San Cristóbal?e) ¿Cuál es el largo, en Km., de San Cristóbal?f) ¿Cuáles son las dimensiones del ex-convento

de Santo Domingo?

Ejercicio 3

187

LECCIÓN 16

San Cristóbal de las Casas

Barrio demexicanos

zocalo

Guadalupe Victoria Real de Guadalupe

Banamex

Costa Rica

Nicaragua

Venezuela

Ex-Convento deSanto Domingo

Bellas Artes

Tonalá

Chiapa de Corzo

Comitán

Tapachula

Escuadron 201

28 de agosto

Primero de marzo Flavio A. Paniagua

5 de frebero Ma. Adelina Flores

Diego de Mazariegos Francisco I. Madero

Dr. José F. Flores

Francisco León

Julio M. CorzoTemploy Arco delCarmen

Fuente: Sna Jolobil, S.C. Organización de tejedoras de los Altos de Chiapas.

Lección 17: SemejanzaEn las dos lecciones anteriores hemos trabajado con figuras aescala y hemos hecho algunas observaciones sobre ellas, hemosvisto que en las reproducciones a escala las longitudes de laspartes que se corresponden son proporcionales y que los ángulosse conservan, es decir que son de la misma medida. Si tenemosdos polígonos que cumplen estas características se dice que sonsemejantes.

Hemos visto cómo leer dibujos a escala pero no nos hemosdetenido mucho a ver cómo se trazan. Cuando vemos un objeto, a veces más grande que nosotros mismos, al interior de nuestrosojos se forma una imagen semejante a él, y una situación muyparecida a la que ocurre con los rayos de luz en nuestros ojos nos permite trazar figuras semejantes. Veamos cómo es esto.

Trace una recta m y en ella un segmento AB. Sobre la mismarecta trace otro segmento del mismo tamaño a partir de B y endirección contraria a A; llame C al otro extremo de ese segmento.Trace una recta k que cruce a m en A. Trace sobre k dos segmen-tos AD y DE del mismo tamaño. Trace las rectas BD y CE.

Observe que se han formado dos triángulos, BAD y CAE. Estosdos triángulos tienen relaciones interesantes:

188


189

LECCIÓN 17

• CA mide el doble que BA: esto es porque así lo construimos;

• AE mide el doble que AD: esto es porque así lo construimos;

• También CE mide el doble que BD; esto no lo construimos así, pero usted puede verificar con su compás que así es;

• El ángulo del vértice A es parte de los dos triángulos, y por lo tanto ese ángulo es igual en los dos triángulos;

• Los ángulos de los vértices B y C son iguales porque BD y CE son paralelas;

• Los ángulos de los vértices D y E son iguales por la misma razón.

En resumen, tenemos dos triángulos con lados proporcionalesy ángulos iguales, entonces son dos triángulos semejantes, o bien,dos triángulos a escala uno del otro. Podemos expresar esta semejanza de las siguientes maneras:

• El triángulo chico está a una escala de 1 a 2 del grande, o,lo que es lo mismo:• Un centímetro del chico representa dos centímetros del

grande,

A

BC

D

E

m

k

• la constante de proporcionalidad es un medio, • el triángulo chico es una reducción del grande.

• El triángulo grande está a una escala de 2 a 1 del chico, o, lo que es lo mismo:• un centímetro del grande representa medio centímetro del

chico, • la constante de proporcionalidad es dos, • el triángulo grande es una ampliación del chico.

Dibuje ahora un triángulo FGH, elija un punto P fuera deltriángulo, y trace desde P las semi-rectas r, s, t que pasan por F,G y H.

En r trace un segmento FI del mismotamaño que PF, en strace un segmento GJdel mismo tamaño quePG, en t trace un segmento HK del mismotamaño que PH, todos ellos en dirección contraria a P.

Una con segmentos los puntos I, J y K.

Ahora ha formado un triángulo IJK semejante a FGH, enescala 2 a 1, y el triángulo IJK es una ampliación de FGH.

Este método para trazar figuras semejantes o a escala se puede usar con otras figuras y con otras constantes de proporcionalidad. Veamos cómo reducir un trapecio a uno en escala de 1 a 3 con respecto al grande.

190


P

H

F

K

G

J

st

r

I

Trace un trapecio ABCD,elija un punto Q fuera deltrapecio, y desde Q trace las semi-rectas a, b, c, d quepasen respectivamente por A, B, C y D.

Mida los segmentos QA, QB, QC, QD, calcule la tercera parte de cada uno deellos y márquela en la recta correspondiente a partir de Q; llame E, F, G y H a los puntos que obtiene.

Una con segmentos y en ese orden los puntos E, F, G y H. El polígono EFGH es una reducción en una escala de 1 a 3 del trapecio inicial.

a) Trace un hexágono regular y dibuje una ampliación en unaescala de 2 a 1 y una reducción en una escala de 1 a 2.

b) Trace un triángulo equilátero y dibuje una ampliación en una escala de 1 a 3.

191

LECCIÓN 17

Q

F

GH

E

B

CD

c ba

d

A

Ejercicio 1

Unidad IV

Estadística yprobabilidad

193

Lección 18: Utilidad de la estadísticaSiempre que hay interés por conocer cierta información, esainformación necesariamente se refiere a personas, animales, instituciones, cosas, etc. Supongamos que alguien nos dice que le interesa tener información sobre la "edad", seguramente le preguntaríamos sobre la edad de quiénes o de qué cosas tieneinterés en conocer; podría ser la edad de personas en cuyo caso interesaría saber de cuáles, o podría ser la edad de zonas arqueológicas, de edificios de alguna ciudad, o de los animales de un zoológico, etc. De hecho no tiene sentido referirse a unacaracterística de interés sin decir en quiénes o en qué cosas nosinteresa observar esa característica.

Algunas veces podemos conocer la información referente a todos los sujetos o cosas específicas que nos interesen, porejemplo cada diez años, cuando se realiza el censo general depoblación, se conocen varias características de todos y cada unode los habitantes del país. En este caso se dice que se tiene lainformación de toda la población.

Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones es muy difícil o imposible conocer la información de todos y cada uno de los sujetos que nos interesan, en estos casos se observa la

194


característica de interés sólo en una parte de la población;lo que se obtiene de este modo es una muestra.

Por ejemplo, durante las elecciones se hacen los sondeos de salida de casilla, que permiten estimar con buenas aproximaciones los resultados de la elección aún mucho antes del conteo de todos los votos. Estos sondeos consisten en preguntarles a algunas personas que acaban de votar por cuálcandidato votaron; la información que se registra en cada caso no es cómo votó cada individuo, sino cuántas personas votaronpor cada candidato.

Cuando se hace el sondeo se trabaja con una muestra, ya que sólo se conoce el voto de algunos de los votantes. Cuando se tiene el recuento de todos los votos se trabaja con toda lapoblación. En ambos casos nos podemos referir a poblaciones ymuestras distintas. Por ejemplo si hablamos de resultados a nivelnacional nos referimos al voto de todos los votantes del país, yesa es nuestra población; pero si nos interesan los resultados deuna región, un estado, una ciudad o un municipio, entonces laspoblaciones respectivas serán todos los votantes de esa región, de ese estado, ciudad o municipio; y las muestras consideradaspara predecir resultados deberán tomarse en cada caso de unaparte de esas poblaciones.

Además de permitir la organización de la información, laestadística aporta técnicas que nos indican cómo seleccionar unaparte de la población que nos interesa, para obtener una muestraa partir de la cual se puedan sacar ciertas conclusiones sobre lapoblación.

195

LECCIÓN 18

Hasta aquí nos hemos referido a dos aspectos importantes: auna (o varias) característica(s) de interés y a los sujetos o cosassobre los que se quiere conocer esa característica. La forma deconocer aquello que nos interesa es variada, por ejemplo si nosinteresara conocer la estatura de los niños que entran a primergrado en una escuela, usaríamos una cinta métrica o una regla; si nos interesara conocer la opinión de las personas sobre un cierto suceso, se lo preguntaríamos, si nos interesara saber quétipos de árboles hay en un parque podríamos ir y observar cadauno de ellos.

Aunque la forma de llevar a cabo la obtención de la información sea distinta, nos referimos a este proceso como "proceso de medición de la variable" y a los resultados obtenidosen ese proceso como a "los valores de la variable". Cada vez quemidiéramos la estatura de un niño, obtendríamos un valor de lavariable estatura; cada vez que una persona nos dijera lo quepiensa sobre el suceso en cuestión, obtendríamos un valor de la variable opinión; cada vez que conociéramos a qué clasepertenece un árbol, obtendríamos un valor de la variable clase de árbol.

Cuando hemos recolectado toda la información, tenemoscolecciones de datos que pueden ser pequeñas o muy grandes. En los cursos de primero y segundo grado usted vio algunas formas estadísticas de ordenar y de describir la información demodo que pueda visualizarse fácilmente, en tablas y gráficas. A modo de repaso vamos a revisar las gráficas que usted vio encursos anteriores. Para ello veremos un ejemplo:

Un asesor de matemáticas que apoyó a un grupo de estudiantes inscritos en el programa de secundaria

196


del INEA, aplicó un examen sobre los contenidos de los cursosde modo que cada alumno pudiera valorar su preparación para el examen formal. En la siguiente tabla se presenta la información correspondiente a los alumnos que estaban preparando el examen de tercer grado. En ella aparecen los datos registrados al considerar las siguientes variables:

• Tiempo en minutos que tardó cada alumno en resolver el examen;

• Sexo de cada alumno: 0 para femenino y 1 para masculino; • Opinión de cada estudiante respecto al nivel de dificultad

del examen: 1 fácil, 2 regular y 3 difícil; • Evaluación que hizo el asesor del examen de cada alumno:

MB (muy bien), B (bien), R (regular) y M (malo).

197

LECCIÓN 18

198


Estudiante tiempo sexo opinión evaluación

1 105 1 1 R

2 72 1 3 MB

3 85 1 3 B

4 96 0 1 B

5 75 0 2 R

6 95 1 2 R

7 65 0 2 MB

8 70 0 3 B

9 80 1 1 B

10 65 1 3 B

11 80 0 2 R

12 95 1 2 MB

13 106 0 2 B

14 80 0 3 B

15 95 1 2 M

16 110 1 3 R

17 95 1 2 MB

18 85 1 1 B

19 100 1 2 B

20 75 0 1 MB

Con los datos de la tabla podemos construir tabla de frecuencias y frecuencias relativas, y distintas gráficas. Veamos por ejemplo la tabla y gráfica de la variable opinión.

Tabla de frecuencias y frecuencias relativas

La gráfica de barras de la derecha muestra la distribución de las frecuencias correspondientes a los valores de la variableopinión.

Usted vio cómo realizar estetipo de gráficas en la lección 20del primer curso y en la lección20 del segundo curso de estaserie. Recuerde que para trazaruna gráfica de barras se consideran dos ejes. En el horizontal se colocan los valoresde la variable y en el vertical los valores de las frecuencias. A partir de cada valor de la variable levantamos una barra cuya altura coincida con el valor de la frecuencia correspondiente.

199

LECCIÓN 18

Valor FrecuenciaFrecuencia

relativa

1(fácil)

5 = 0.25 = 25%

2(regular)

9 = 0.45 = 45%

3(difícil)

6 = 0.30 = 30%

Total 20 = 1 = 100%

520

920

620

2020

2

1

0

4

6

8

2

10

12

3

Opinión

Frecuencia

Si en lugar de la distribución de frecuencias queremos una gráfica que muestre la relación entre los valores y sus frecuenciasrelativas correspondientes, procedemos de forma similar sólo queahora en el eje vertical ubicaremos los valores de frecuencias relativas, cuidando la escala. Este tipo de gráficas nos permitecomparar entre sí informacionesprovenientes de conjuntos dedatos con diferente cantidad de datos cada uno: la frecuencia relativa o porcentaje da unamedida común del total. Ustedvio cómo realizar este tipo degráficas en la lección 20 delsegundo curso.

Otra forma de presentar la misma información es usando una gráfica circular o de pastel. Aquí se

considera el círculo como el total y se hace una repartición proporcional (como las estudiadas en la lección 6 de este libro) de los 360º del círculo en sectores proporcionales a la frecuencia o a la

frecuencia relativa. Este tipo de gráficas seestudiaron en la lección 20 del primer curso.

Sea cual sea la manera de presentar gráficamente la información, lo más importante de una gráfica es su aspecto visual: debe permitir apreciar de un solo golpe de mirada losaspectos más relevantes de los datos. Por ejemplo, en cualquiera

200


5%

1

0%

10%

15%

20%

2

25%

30%

35%

40%

45%

50%

55%

60%

3

Opinión

Frecuencia relativa

30%

25%

45%

3 1

2

de estas tres gráficas podemos apreciar que hubo más alumnosque tuvieron la opinión "2" que alumnos con las otras opiniones.Es decir, la opinión más frecuente entre estos alumnos fue que el nivel de dificultad examen fue "regular". En general las gráficasno permiten conocer con precisión los números a los que hacenreferencia; por ejemplo, al ver la gráfica de barras de frecuenciasrelativas podemos tener la duda de si la frecuencia relativa correspondiente a la opinión 3 (difícil) es 30% exactamente o si es un porcentaje cercano a 30%; en este sentido es mejor utilizaruna tabla de frecuencias relativas, porque ahí sí aparecen losnúmeros con precisión. Pero lo que se gana con una gráfica es laimagen global, que permite apreciar, aunque sea sin precisión, lasrelaciones más importantes entre las frecuencias o las frecuenciasrelativas correspondientes a cada valor de la variable.

Construya la gráfica de barras de frecuencias para los datos de las siguientes variables y mencione algún aspecto relevante de las relaciones entre esas frecuencias que se pueda percibir al ver la gráfica:

a) Sexob) Evaluación

Construya las gráficas de barras de frecuencias relativas para losdatos de las siguientes variables y diga algún aspecto relevante

201

LECCIÓN 18

Ejercicio 1

Ejercicio 2

de las relaciones entre esas frecuencias relativas que se puedapercibir al ver la gráfica:


Construya las gráficas circulares de las frecuencias relativas de lassiguientes variables, y refiérase a algún aspecto relevante de lasrelaciones entre esas frecuencias relativas que se pueda percibiral ver la gráfica:


202


Ejercicio 3

Lección 19: HistogramasEn las lecciones anteriores representamos gráficamente algunosconjuntos de valores, ya sea con gráficas de barras o con gráficascirculares. Sin embargo con las variables numéricas continuas,estas formas de representación no son útiles, debido al tipo devalores que se presentan.

Al hablar de variables numéricas continuas nos referimos aaquellas que pueden tener entre sus valores cualquier númeroracional, por ejemplo si midiéramos en metros la estatura de personas adultas podríamos encontrar valores como 1.58, 1.47,1.60, 1.45, 1.72, 1.80, etc.; algo similar ocurre con el peso,en este caso los valores que podríamos encontrar en personas adultas al medir su peso en kilogramos serían como 60, 57.300,50, 83.500, etc.

Cuando en la práctica tenemos que hacer mediciones de esta naturaleza nos encontramos que la gran mayoría de ellas son distintas y las mediciones iguales se repiten muy pocas veces,entonces la frecuencia con que aparece cada valor es 1 o unnúmero muy pequeño. Además, como los valores varían mucho y debemos respetar la unidad de medida, necesitaríamos una gráfica muy larga y de barritas muy pequeñas que sería más difícilde leer que la misma colección de datos. Veamos un ejemplo:

203

LECCIÓN 19

204


En un grupo de 30 jóvenes de 18 a 20 años de una colonia del Distrito Federal, se midió la estatura y se obtuvieron los datos que se presentan a continuación, ordenados de menor a mayor:

1.43 1.58 1.64 1.70 1.73 1.761.49 1.59 1.65 1.70 1.73 1.771.52 1.63 1.65 1.71 1.74 1.821.55 1.63 1.68 1.72 1.75 1.831.57 1.63 1.69 1.73 1.75 1.84

Al calcular las frecuencias podemos observar que los únicosvalores que tienen frecuencias distintas de 1 son: 1.63 y 1.73, que tienen frecuencias iguales a 3, y 1.65, 1.70 y 1.75, que tienen frecuencias iguales a 2. La gráfica de barras correspondiente a estos datos es la que se muestra aquí.

Considerando que la finalidad de una gráfica es permitirnos visualizar, fácilmente, el conjunto de datos y percibir las relaciones entre valores y frecuencias, es claro que esta gráfica no cumple con su objetivo.

Aún puede ser más complicado tratarde leer una gráfica circular que contenga estos datos:

Para poder construir una gráficaque realmente aporte información, seagrupan los valores en intervalos, estoes consideramos juntos los valores quepertenecen a un mismo intervalo. Por ejemplo,si nos referimos a los valores que son mayores que 1.40 y menoreso iguales 1.50, estamos hablando de los dos primeros valores de lalista.

205

LECCIÓN 19

0

1

2

3

4

Estatura

Frecuencia

1.74

Veamos como construir una tabla de frecuencias para valoresagrupados en intervalos (que también se denominan clases).Primero tenemos que decidir cuáles serán los intervalos, es decir,dónde empieza y termina cada uno de ellos; aquí hay que teneren cuenta lo siguiente:

• Todos los intervalos deben tener la misma longitud, esto es las distancias entre los extremos de los intervalos deben ser las mismas en todos.

• Cada valor debe pertenecer sólo a un intervalo. Esto significa que ningún dato debe quedar fuera de la agrupación y que ningún dato puede pertenecer a dos intervalos distintos.

Para que nos quede cómodo nosotros vamos a agrupar losdatos de diez en diez centímetros: de 1.40 a 1.50, de 1.50 a 1.60,1.60 a 1.70, y así sucesivamente. Como las expresiones anterioresno nos dicen dónde ubicar algunos números, como por ejemplo el1.70; recurrimos a los intervalos semiabiertos que usted estudióen la lección 3 de este libro. Vamos a usar intervalos abiertos porla izquierda y cerrados por la derecha, por ejemplo el intervalo(1.40, 1.50]; como ya sabemos en este intervalo están todos los números mayores que 1.40 y menores o iguales a 1.50. De los datos que nosotros tenemos los que pertenecen al intervalo anterior son 1.43 y 1.49; sabemos también que 1.70 está dentrodel intervalo (1.60, 1.70].

Para calcular la frecuencia de cada intervalo contamos cuántos datos de los que tenemos pertenecen a ese intervalo. A continuación reproducimos la lista original de datos, pero ahora ponemos en columnas distintas los datos que pertenecen a distintos intervalos:

206


1.43 1.52 1.63 1.71 1.821.49 1.55 1.63 1.72 1.831.52 1.57 1.63 1.73 1.841.55 1.58 1.64 1.731.57 1.59 1.65 1.73

1.65 1.741.68 1.751.69 1.751.70 1.761.70 1.77

Veamos entonces cómo queda nuestra tabla de frecuencias:

A partir de la tabla de frecuencias construimos la siguientegráfica:

207

LECCIÓN 19

Intervalo oclase

FrecuenciaFrecuencia

relativa

(1.40, 1.50] 2 0.07 = 7%

(1.50, 1.60] 5 0.17 = 17%

(1.60, 1.70] 10 0.33 = 33%

(1.70, 1.80] 10 0.33 = 33%

(1.80, 1.90] 3 0.10 = 10%

Totales 30 1 = 100%

Una gráfica como ésta recibe el nombre de histograma. Puede observarque una vez establecidas lasclases (o intervalos) el procesode construcción es similar al de las gráficas de barras. Ladiferencia en el dibujo está

en la posición de las barras: en el histograma las barras estánpegadas, cada una comienza donde acaba la anterior, mientrasque en las quehabíamos elaborado anteriormente las barras vanseparadas unas de otras.

Con una gráfica de esta naturaleza es claro que perdemos la información de sobre los valores individuales, ya no sabemoscuáles fueron los valores obtenidos al medir la estatura de cadajoven, pero ganamos en información global. Por ejemplo, unasimple ojeada a la gráfica basta para detectar que la gran mayoría de los jóvenes midieron entre 1.60 m y 1.80 m.

Así como se construyó el histograma de frecuencias, tambiénpuede construirse el histograma de frecuencias relativas.

208


2

1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.900

4

6

8

10

12Frecuencia

Estatura

5%

1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.900

10%

15%

20%

25%

30%

35%Frecuencia relativa

Estatura

Considere los datos de la variable tiempo de la tabla de datos dela lección anterior y complete la siguiente tabla:

A partir de la tabla anterior, construya:

a) Un histograma de frecuencias. b) Un histograma de frecuencias relativas.

209

LECCIÓN 19

Ejercicio 1

clase FrecuenciaFrecuencia

relativa

(60, 70]

(70, 80]

(80, 90]

(90, 100]

(100, 110]

Totales

Ejercicio 2

Se les preguntó a los obreros de una fábrica cuánto tiempoempleaban para trasladarse desde su domicilio al lugar de trabajo. Con los datos obtenidos se construyó la tabla que se muestra a continuación.

Con los datos de la tabla construya:

a) Un histograma de frecuencias.b) Un histograma de frecuencias relativas.

210


Ejercicio 3

clase FrecuenciaFrecuencia

relativa

[45, 55) 4 0.03

[55, 65) 16 0.11

[65, 75) 36 0.24

[75, 85) 60 0.40

[85, 95) 31 0.21

[95, 105) 0 0

[105, 115) 3 0.02

Totales 150 1

Con base en la información de la tabla anterior conteste las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos obreros fueron consultados?b) ¿Cuántos obreros emplean entre 65 y 75 minutos en

trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?c) ¿Cuántos obreros emplean entre 55 y 75 minutos en

trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?d) ¿Cuántos obreros emplean entre 95 y 105 minutos en

trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?e) ¿Cuántos obreros emplean más de 85 minutos en

trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?f) ¿Cuántos obreros emplean menos de 75 minutos en

trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

211

LECCIÓN 19

Ejercicio 4

Lección 20: Medidas descriptivas de un conjunto de datosCuando se recolecta información generalmente se pretende sacar de ella algún tipo de conclusión, a través de uno o variosindicadores que permitan resumir o dar un panorama general de lo que la información aporta. Hasta ahora hemos visto cómodescribir un conjunto de datos a través de tablas y de gráficas,pero muchas veces se hace a través de números o de valores de la variable que se estudia. A estas maneras de resumir la información se les llama medidas descriptivas. Entre las medidasdescriptivas se encuentran la moda, que es el valor de la variableque se presenta con mayor frecuencia, y la media, que es elpromedio de los datos; también se usan mucho los porcentajespara referirse a algunas informaciones estadísticas. Ahora revisaremos estas nociones.

Para ver cómo se obtiene la moda, consideremos la gráfica de frecuencias de los valores correspondientes a la variablesopinión, presentada en la lección 18 de este libro. Recuerde queopinión, es la opinión de cada estudiante con respecto al nivel de dificultad del examen y sus valores son 1 = fácil, 2 = regular y 3 = difícil.

212


En esta gráfica vemos que elvalor de mayor frecuencia es 2 =regular, es decir, el valor que másse repite en el conjunto de datos es 2 = regular. Decimos que "regular" es la moda de este conjunto de datos.

Llamamos moda de un conjunto de datos al valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia, el que se repitemás veces. Hay conjuntos de datos que tienen más de una moda.

Esta medida describe al conjunto de datos en la siguientemanera: al decir que la moda es "regular" estamos diciendo que laopinión que más personas atrajo, en la que más se concentraronlas apreciaciones, en la que más personas están de acuerdo, esque el examen es de una dificultad regular. ¡Cuidado! No fue lamayoría la que opinó eso, porque el total de estudiantes es 20 ysólo 9 tienen esa opinión: para que fueran mayoría se necesitaríaque fueran más de la mitad, o sea 11 ó más.

Observe que aquí no podemos hablar de promedio porquenecesitaríamos poder sumar y en la variable opinión los númerosson sólo etiquetas o códigos para no escribir completas las palabras fácil, regular y difícil. Para trabajar con la media opromedio se necesita que la medición de la característica deinterés sea numérica. Veamos ahora un ejemplo del cálculo delpromedio.

Toño se está entrenando para correr los 100 metros planos en una competencia latinoamericana; esta semana hizo los siguientes tiempos:

213

LECCIÓN 20

2

1 2 30

4

6

8

10

12Frecuencia

Opinión

Lunes: 12.5 seg, Martes: 15.3 seg, Miércoles: 10.8 seg, Jueves: 11.4 seg, y Viernes: 10.1 seg.

El tiempo promedio de esta semana en el entrenamiento deToño fue de:

12.5 + 15.3 + 10.8 + 11.4 + 10.1 = 12.02 seg5

214


Ningún día de la semana hizo Toño un tiempo de 12.02 seg.en la carrera, pero el promedio es la suma del tiempo de cada díaentre el número de días y lo que nos dice es que si todos los díashubiera hecho el mismo tiempo en la carrera ese tiempo hubierasido de 12.02 seg.

La media o promedio hace una distribución pareja y se usamucho para comparar los datos individuales o por grupos con loque se tendría si la distribución fuera equitativa. Veamos másejemplos.

Los sueldos mensuales en una oficina son los siguientes: el director gana $15 000, los dos jefes de departamento $11 000, los tres analistas de cada departamento $7 000, la secretaria $2 500 y el mensajero $1 500. El sueldo promedio en esa oficina es:

15000 + 2(11000)0 + 6(7000) + 2500 + 1500 = 7545.4511

Observe que en esa oficina 2 personas ganan muy por encimadel sueldo promedio, 6 personas ganan un poco por encima delsueldo promedio y 3 personas ganan muy por debajo del sueldopromedio. Lo que nos dice el promedio es que si con el mismopresupuesto todos ganaran lo mismo, cada uno ganaría $7545.45.

Otra situación muy frecuente de uso de promedio se da cuando se quiere describir la velocidad con la que un móvil recorrió cierta distancia. Cuando decimos que José viajó aGuadalajara a un promedio de 90 Km por hora esto no significaque cada hora haya recorrido exactamente 90 Km, sino que sedivide el total de kilómetros recorridos entre el total del tiempo

215

LECCIÓN 20

en horas y se obtiene la velocidad constante a la que se tendríaque haber viajado para hacer el viaje en ese tiempo: esto permite describir globalmente la velocidad de traslado.

Al final del ciclo escolar un maestro debe concluir si un alumno tiene o no los elementos necesarios para cursar el siguiente grado; para llegar a esa conclusión cuenta con la información que fue registrando de uno u otro modo a lo largo del curso. Es decir que el resultado final de un curso es para cada alumno una síntesis de los resultados que fue teniendo a lo largo del ciclo escolar. Muchas veces el resultado final es el promedio de las calificaciones obtenidas, aunque éstas no hayan sido todas iguales.

Los porcentajes son especialmente útiles para describir unconjunto de datos. Regresemos un poco a la opinión sobre el examen de la que hablamos antes. Ya vimos que en ese conjuntode datos la moda es "regular", puesto que 9 estudiantes opinaronque la dificultad del examen era regular y ninguna otra opiniónatrajo más estudiantes que 9; pero esos 9 ¿son pocos o muchos?Eso depende del total de estudiantes; en este ejemplo tenemosque son 9 de 20 estudiantes, y lo podemos expresar como

= 0.45 = . Con estas operaciones estamos diciendo, de

varias maneras cuántos estudiantes y de un total de cuántostuvieron esa opinión. Según la primera manera lo estamos diciendo como son, o sea nueve vigésimas partes del total. Según la segunda, estamos considerando el total como unaunidad, y entonces tenemos son 45 centésimos de esa unidad.Según la tercera, estamos diciendo que si el total fueran cien, 45 de ellos tendrían esa opinión. Esta última expresión también

216


9

20

45

100

se puede leer como 45 de cada 100 o como 45 por ciento, es decir45%. En todos los casos estamos diciendo que son un poco menosde la mitad.

Los porcentajes, frecuencias relativas o proporciones nos permiten describir la distribución de un conjunto de datos relativizando al total. Así, 9 de 20, o 45%, es mucho más que 9 de 200, que serían 4.5%, y que 9 de 2000, que serían 0.45%.

Veamos ahora cómo estas tres medidas descriptivas nos permiten tener una idea global de un conjunto de datos y compararlo con otro.

Dos maestros de estadística del sistema escolarizado de laUniversidad Pedagógica realizaron una encuesta en los grupos queatienden del primer curso para conocer mejor a esta población.Entre lo que les interesaba de los alumnos estaba el ambientefamiliar en relación a los estudios. Sobre esto se preguntó elnúmero de años de escolaridad de ambos padres y del hermanomayor; a partir de esta información se construyó una variable de escolaridad familiar (calculada como la media de las tresprecedentes). Se preguntó también sobre la ocupación de lospadres y el gusto por las fiestas de cada estudiante. Los datos de dos de los grupos se presentan en las tablas de las siguientespáginas.

En estas tablas se usaron los siguientes códigos:

Ocupación de la madre (y del padre):1 = Gerente o, dueña(o) de empresa2 = Empleada(o)3 = Obrera(o)

217

LECCIÓN 20

4 = Ama de casa5 = Desempleada(o)6 = Trabajador(a) por su cuenta7 = Campesina(o)8 = Finada(o)9 = Otra

Gusto por las fiestas: 1 = nada 2 = poco 3 = regular 4 = mucho

218


Alumno

1 444444644224444844

1 0 0 16 5 42 3 6 6 16 9 23 2 6 6 9 7 14 2 6 9 11 9 25 3 2 6 12 7 26 6 2 2 12 5 37 6 7 6 8 7 38 9 3 3 16 7 39 9 9 17 12 13 210 6 16 14 12 14 311 8 6 10 13 10 312 5 9 9 18 12 313 9 6 9 15 10 414 1 6 0 16 7 415 9 12 15 17 15 216 9 1 2 12 5 417 2 6 4 6 5 418 7 0 1 6 2 1

Escolaridadfamiliar

Gusto porlas fiestas

Ocupación

Grupo A

Años de escolaridad

Madre Padre Madre PadreHermano

Mayor

219

LECCIÓN 20

1

Alumno

446446464424422244

3 2 1 20 8 42 3 0 2 9 4 13 6 6 6 18 10 24 9 9 9 12 10 45 2 6 6 12 8 16 2 6 9 15 10 47 6 9 12 14 12 18 3 1 9 12 7 19 3 9 10 0 6 210 8 1 9 9 6 211 6 11 17 16 15 412 8 4 10 7 7 113 2 1 4 12 6 414 9 11 9 16 12 115 9 10 1 14 8 116 7 6 6 12 8 117 2 7 0 19 9 118 2 7 0 19 9 1

419 9 6 6 17 10 2420 9 8 11 10 10 1421 9 6 6 17 10 2622 6 17 2 12 10 4223 6 9 9 9 9 1424 9 1 1 19 7 1525 9 11 9 12 11 1626 8 4 12 20 12 4

Escolaridadfamiliar

Gusto porlas fiestas

Ocupación Años de escolaridad

Madre Padre Madre PadreHermano

Mayor

Grupo B

A continuación se presentan las tablas de frecuencias y frecuencias relativas de la ocupación de la madre en ambos grupos y las respectivas gráficas de pastel.

220


Ocupación FrecuenciaFrecuencia

Relativa

2 2 0.11 = 11%

4 14 0.78 = 78%

6 1 0.06 = 6%

8 1 0.06 = 6%

Total 18 1 = 100%

Ocupación FrecuenciaFrecuencia

Relativa

2 5 0.19 = 19%

4 15 0.58 = 58%

5 1 0.04 = 4%

6 5 0.19 = 19%

Total 26 1 = 100%

Ama de casa 78%

Trabaja por sucuenta 6%

Finada 6%

Empleada 11%

Ama de casa 58%

Trabaja por sucuenta 19%

Desempleada 4%

Empleada 19%

Ocupación de la madre. Grupo A.

Ocupación de la madre. Grupo B.

Es pertinente hacer varias observaciones a propósito de estastablas y gráficas.

Aunque en ambos grupos la moda de la ocupación de lamadre es ama de casa, esta ocupación la tiene en el grupo A el 78% de las madres mientras que en el grupo B la tiene el 58%.Esto significa que en el grupo A predominan más las amas de casaque en el grupo B. Observe que esto ocurre a pesar de que haymás amas de casa en el grupo B (son 15) que en el A (donde sonsólo 14): esto es porque 14 de 18 son una proporción muchomayor que 15 de 26.

221

LECCIÓN 20

En ambos grupos ocurren valores con frecuencia de 1: en elgrupo A una persona declaró que su madre trabaja por su cuentay otra persona declaró que su madre es finada, mientras que enel grupo B un estudiante declaró que su madre está desempleada(lo que significa que usualmente tiene un trabajo remunerado adicionalmente a ser ama de casa). Sin embargo, en las gráficasde pastel las "rebanadas" correspondientes a estos valores son distintas: son más grandes las "rebanadas" correspondientes a losvalores con frecuencia igual a 1 en el grupo A que en el grupo B.Esto se debe a que, como el total de los estudiantes en el grupo A es de 18 y en el grupo B es de 26, una persona en el grupo A es un 6%, mientras que en el grupo B una persona es sólo un 4%.

En las tablas se han redondeado las frecuencias relativas ados decimales por lo que en la tabla del grupo A aparece en losrenglones de las ocupaciones 6 y 8 una frecuencia relativa de 0.06 = 6%. En realidad , y 0.06 es sólo un redondeo de0.055555.....; algo análogo ocurre en los demás renglones. Así, la suma de las frecuencias relativas y los porcentajes que ahí se registran son 1.01 = 101%; si se hubiera redondeado a tres decimales se tendría 0.056 = 56% y la suma sería 1.002 = 100.2%;como estas diferencias se deben al redondeo de los decimales nose registra en la tabla una suma distinta de 1 = 100%.

a) Haga la tabla de frecuencias y frecuencias relativas de ocupación del padre para los dos grupos.

b) Haga la gráfica de barras de porcentajes de ocupacióndel padre para los dos grupos.

222


1

8

Ejercicio 1

c) ¿Qué porcentaje de los padres del grupo A es campesino?d) ¿De cuántos de los padres del grupo B desconocemos la

ocupación?

Haga la gráfica de pastel de la distribución de porcentajes degusto por las fiestas de los dos grupos. Para ello, haga la tabla de frecuencias, frecuencias relativas y porcentajes y calcule elángulo para la gráfica. Anote en la gráfica cada categoría, elángulo correspondiente y el porcentaje.

223

LECCIÓN 20

Ejercicio 2

a) Encuentre la moda de años de escolaridad de la madre, del padre y del hermano mayor de los estudiantes de ambos grupos.

b) Compare las modas de años de escolaridad de la madre, del padre y del hermano mayor de los estudiantes del grupo A y ordénelas de menor a mayor.

c) Encuentre el promedio de años de escolaridad de la madre, del padre y del hermano mayor de los estudiantes de ambos grupos.

d) Compare los promedios de años de escolaridad de la madre, del padre y del hermano mayor de los estudiantes del grupo B y ordénelos de menor a mayor.

a) Encuentre la moda de las escolaridades familiares de ambos grupos y compárelas.

b) Encuentre el promedio de las escolaridades familiares de ambos grupos y compárelos.

224


Ejercicio 3

Ejercicio 4

Lección 21: ProbabilidadEn el curso anterior usted estudió ciertos conceptos básicos deprobabilidad y cómo calcular algunos valores de probabilidad apartir del conteo de los casos favorables y los casos posibles. Esta forma de calcular probabilidades se conoce con el nombre de Probabilidad clásica y es muy útil cuando todos los valores elementales tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Sinembargo, hay fenómenos aleatorios cuyos eventos elementales no son equiprobables, es decir en los que no todos los eventostienen la misma probabilidad de ocurrir, sino que es más fácil que ocurran unos eventos que otros. Por ejemplo si tiramos undado cargado, una cara va a quedar más fácilmente hacia arribaque las otras.

Cuando se tiene un fenómeno aleatorio, una forma de valorar la probabilidad de algún evento o de verificar si todos los eventos elementales son equiprobables, es a través de laexperimentación. Esto significa que se observa muchísimas vecesel fenómeno y de acuerdo a los resultados que se obtienen seestima el valor de la probabilidad de los eventos, esto es, seobtiene un valor aproximado de la probabilidad.

Nosotros sabemos que un valor de probabilidad adquiere sentido si pensamos en lo que ocurriría con ese fenómeno a la

225

LECCIÓN 21

larga; por ejemplo decimos que la probabilidad de obtener"águila" al tirar una moneda es 50%, esto significa que en unaserie muy larga de tiros aproximadamente la mitad de los resultados serán águila, pero no debemos pensar que esta proporción de águilas se dé en 10, 20, 50 o 100 tiros.

Considerando lo anterior, es claro que para poder hacer una estimación de probabilidades basándonos en los resultadosobtenidos, sea necesario repetir muchísimas veces el experimento.

La mejor forma de entender lo que estamos diciendo es haciéndolo, por lo que le propondremos que realice un experimento. Pero antes es necesario hacer algunas consideraciones sobre la forma de registrar lo que se va observando.

Supongamos que queremos estimar la probabilidad de obtener 5, al arrojar un dado. Si el dado estuviera muy bienhecho, las seis caras tendrían la misma probabilidad de quedarhacia arriba y podríamos usar la probabilidad clásica; así llegaríamos a la conclusión de que el valor buscado es .

226


1

6

Esto significa que a la larga aproximadamente la sexta parte de las veces que tiremos el dado, obtendríamos 5 en la cara superior. Para registrar los resultados usaremos una tabla como la siguiente:

La manera de llenar la tabla es la siguiente:

• En la primera columna de la tabla registramos los tiros de 10 en 10;

• en la segunda anotamos la cantidad de tiros que llevamos, contando los que acabamos de hacer y los anteriores;

• la tercera columna anotamos la cantidad de caras con el número 5 obtenidas en la última decena de tiros;

• en la cuarta la cantidad de caras con el número 5 que llevamos hasta ese momento;

• en la quinta columna anotamos la proporción de caras con el número 5 obtenidas hasta ese momento.

227

LECCIÓN 21

TirosNúmero de

tiros en total(n)

Cantidad decaras con elnúmero 5 enlos últimos 10

tiros

Cantidad decaras con elnúmero 5 en

todos los tirosrealizados (f)

Proporción de 5 en todos

los tiros realizados

( )1 al 10 10 a a

11 al 20 20 b a + b

20 al 30 30 c a + b + c

fn

a10

a+b20

a+b+c30

Observe que la cantidad de caras con el número 5 es la frecuencia, f, con la que se presentó este resultado en unnúmero, al que podemos llamar n, de observaciones realizadas; es decir que la proporción es lo mismo que la frecuencia relativa.

Aún sin hacer el experimento podemos afirmar que al avanzaren el número de tiros, las diferencias entre las frecuencias relativas de dos renglones seguidos, se irán haciendo cada vezmás pequeñas. Cuando los cambios entre las frecuencias relativasde tres o más renglones consecutivos sean muy pequeños,podemos decir que hemos encontrado un valor aproximado de laprobabilidad de ocurrencia del 5, es decir, de la probabilidad conla que queda hacia arriba la cara del dado que tiene el número 5.Entonces:

Si se realiza un experimento aleatorio n veces, con n suficientemente grande, y la frecuencia del evento A es f,podemos afirmar que la probabilidad del evento A, es aproximadamente igual al valor de la frecuencia relativa de A.Esto lo escribimos así:

P (A) ≈

A esta forma de calcular la probabilidad se la denominaProbabilidad frecuencial.

Con esta definición nosotros podemos estimar a partir de la frecuencia relativa, la probabilidad de que se presenten determinados valores de una variable cualquiera.

Por ejemplo, supongamos que nos interesara saber cuál es la probabilidad de que un programa de televisión determinado

228


f

n

resulte muy interesante para los jóvenes de cierta ciudad y que alconsultarlos se hayan obtenido los valores que se presentan en lasiguiente tabla:

Con los valores obtenidos podemos decir que la probabilidadde que un joven de esa ciudad encuentre muy interesante ese

programa de televisión es aproximadamente = 0.07 o 7%.

Esto nos permite esperar que en grupo grande de jóvenes de esa ciudad, 7 de cada 100 consideren el programa muy interesante.

Para realizar este experimento debe conseguir un dado.

a) Para estimar la probabilidad de obtener un 5 al tirar su dado, realice 200 tiros y registre los resultados en una tabla como se mostró. (En lugar de tirar 200 veces el dado

229

LECCIÓN 21

Valores FrecuenciaFrecuencia

relativa

Nada interesante. 14

Poco interesante. 32

Interesante 75

Bastante interesante 65

Muy interesante 14

Totales 200

14

200

Ejercicio 1

puede conseguir 10 dados iguales, arrojarlos todos juntos y considerar que el número de cincos que salieron corresponden cada vez a 10 tiros).

b) ¿Puede considerar que el dado está bien hecho?

Complete la tabla del ejemplo acerca del programa de televisión y responda las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un joven de esa ciudad encuentre poco interesante ese programa de televisión?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un joven de esa ciudad encuentre bastante interesante ese programa de televisión?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un joven de esa ciudad encuentre ese programa de televisión por lo menos interesante?

d) ¿Qué es más probable, que un joven de esa ciudad encuentre ese programa poco interesante o que lo encuentre bastante interesante?

230


Ejercicio 2

231

LECCIÓN 21

Respuestas alos ejercicios

233

RESPUESTAS

234


Lección 1

Ejercicio 1

a) El número de cifras decimales puede variar de calculadora a calculadora. √5 = 2.236067977; √7 = 2.645751311; √2 = 1.414213562; √3 = 1.732050808.

b) 3.141592654.

c) = 0.75; = 0.8; = 0.83;

= 0.428571; = 0.1;

= 0.571428; = 0.4.

Ejercicio 2

a) 0.356;b) 11.111;c) 897.467; d) 3.145; e) 7.000; f) 235.654; g) 10009.900;h) 0.189.

Ejercicio 3

√5 ≈ 2.23606; √7 ≈ 2.64575; √2 ≈ 1.41421; √3 ≈ 1.73205.

Ejercicio 4

a) 0.357; b) 11.111; c)897.468;d) 3.146; e) 7.000; f) 235.654;g) 10009.900; h) 0.190.

Son iguales los incisos b), e), f)y g). Son distintos los incisos a),c), d) y h).

Ejercicio 5

√5 ≈ 2.23607; √7 ≈ 2.64575; √2 ≈ 1.41421; √3 ≈ 1.73205.Sólo difiere la primera.

Lección 2

Ejercicio 1

a) 1.25678 x 104;b) 3.2561902 x 102;c) 2.31452308 x 10;

3

4

8

9

5

6

3

7

1

9

4

7

6

15

d) 1.1024 x 106;e) 3.1164 x 10; f) 3.648912 x 106;g) 7.324561987 x 109;h) 1.999 x 103.

Ejercicio 2

a) 1001; b) 79000000; c) 5421.023; d) 300.005; e) 63000; f) 101010100; g) 580; h) 23.3.

Ejercicio 3

a) 1.24 x 10–1; b) 6.75 x 10–4;c) 5 x 10–3; d) 1.1 x 10–5;e) 5.64 x 10–2; f) 9.742 x 10–3;g) 8.75 x 10–1; h) 4.91 x 10–2.

Ejercicio 4

a) 0.00063; b) 0.00000312; c) 0.000000000182; d) 0.000000000000003; e) 0.000005221; f) 0.000003; g) 0.04001; h) 66.87.

Ejercicio 5

a) 5.772 x 10–1;b) 48.45 x 102 ;c) 10.478 x 10–5;d) 26.413 x 1013;e) 0.6 x 102;f) 2.6 x 102;g) 2.5 x 10–8

h) 3.1.

Ejercicio 6

a) 3884.4; b) 547.12; c) 546.88; d) 0; e) -0.4693106; f) 1100.0011.

Lección 3

Ejercicio 1

a) 2.098 > 1.567; b) –π < –1.9; c) –3.467 < 3.45; d) 12.97 > 12.098;

235

RESPUESTAS

236


e) π > 1.9; f) 0.098 > –1.001; g) 2 > √2 ;h) –1.4 > -√2

Ejercicio 2

a) no; b) no; c) sí; d) sí;e) sí; f) no; g) sí; h) sí, i) sí; j)no; k) sí; l) no; m) no; n) sí, o) sí; p) no; q) no; r) sí, s) no; t) no; u) sí, v) sí, w) sí; x) no.

Lección 4

Ejercicio 1

Ejercicio 2

La constante de proporcionalidad es 0.5 ó .

Ejercicio 3

a) 18.2; b) 56; c) 83.3; d) aproximadamente 2.26.

Ejercicio 4

a) x = 24 tacos;

b) x = = 32 minutos;

c) x = = 1 metro;

d) x = = 5 autobuses.

Ejercicio 5

Ejercicio 6

La distancia entre Cuitzeotlán y Mirabampo es de 240 km.

1

2

2 x 36

3

24 x 1

0.75

1.20 x 1.50

1.80

115 x 2

46

Caramelos

A pagar

6

15 30 45 60 90 150 225 270 300

12 18 24 36 60 90 108 120

Tierra

Abono

1

0.5 1 3 5 7.5 13.5 25 37.5 42

2 6 10 15 27 50 75 84

Cubeta

Vueltas

1

100 50 12.5 10 5 4 2.5 2

2 8 10 20 25 40 50

Velocidad

Tiempo

10

24 12 8 5 4 3.2 3 2.4

20 30 45 60 75 80 100

2

120

13

Ejercicio 7

a)No es una tabla de variación proporcional. La relación es que mientras más días hay más células, pero no se trata de una proporcionalidad directa ya que por ejemplo en 4 días no hay el doble de células que en 2 días, porque 16 no es el doble de 4. También puede verse que los cocientes de la cantidad de células entre los respectivos días no son constantes.

b) Sí es una tabla de proporcionalidad directa. La constante de proporcionalidad es 20.

c) Sí es una tabla de proporcionalidad directa. La constante de proporcionalidad es 4.

d) No es una tabla de variación proporcional. De 40 a 80 km/h el rendimiento

aumenta con la velocidad, pero no de manera proporcional (por ejemplo, aunque 80 es el doble de 40, 17.5 no es el doble de 9.8), y de 80 km/h en adelante el rendimiento disminuye con la velocidad, pero no de manera proporcional inversa (por ejemplo, 80 x 17.5 = 1400, mientras que 140 x 11.1 = 1554).

e) Sí es una tabla de variación proporcional, y es de variación proporcional inversa. A mayor largo, menor ancho, y en cualquier columna el producto del largo por el ancho es 12, que es la superficie que ocupa el lote de cajas.

f) No es una tabla de variación proporcional. A mayor altitud menor cantidad de polvo de hornear, pero no de manera proporcional inversa (por ejemplo, 0 x 2 = 0, mientras que 4000 x 1 = 4000).

237

RESPUESTAS

238


Lección 5

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

a) 30.03; b) 10.9; c) 93; d) 1517.84; e) 49.4; f) 8.72.

Ejercicio 4

a) 800; b) 780.95 aproximadamente; c) 2.5; d) 3.68 aproximadamente, e) 2135; f) 100.

Ejercicio 5

a) 5%; b) 59% aproximadamente; c) 0.13% aproximadamente; d) 100%; e) 0.01%; f) 200%.

Ejercicio 6

Número

26%

10

2.6 5.2 7.8 10.4 13

20 30 40 50

Número

26%

60

15.6 18.2 20.8 23.4 26

70 80 90 100

Número

4%

15

0.6 1.2 1.8 2.4 3

30 45 60 75

Número

4%

90

3.6 4.2 4.8 5.4 6

105 120 135 150

Precio del

artículo

35% de

descuento

38

13.30 18.20 21

Cantidad a

pagar24.70 33.8 39

52 60

Ejercicio 7

a) El porcentaje es el mismo por que es la misma calidad, no importa el tamaño del frasco.

b)45% de 250, o sea 112.5 g.

Ejercicio 8

a)8.40; b)El artículo cuesta $30;

con todo e IVA cuesta $34.50; c) El artículo sin IVA cuesta

$623; se pagó $93.45 de IVA.

Ejercicio 9

En 12.83% aproximadamente.

Lección 6

Ejercicio 1

p = $240 y j = $400

Ejercicio 2

a)

b)La constante de proporcionalidad es 6 y significa la longitud de las parcelas correspondientes a cada uno de los 15 grupos. Se multiplica por el número de grupos de cada grado.

239

RESPUESTAS

Precio del

artículo

35% de

descuento

70

24.50 29.40 31.50

Cantidad a

pagar45.50 54.60 58.50

84 90

Precio del

artículo

35% de

descuento

95

33.25 35 42

Cantidad a

pagar61.75 65 78

100 120

Grado

Grupos

1°

6 5 4

Longitud de la

parcela36 m 30 m 24 m

2° 3°

15

90 m

Total

240


Ejercicio 3

Erandi recibe 16, Emilio 12 y Julio 8.

Ejercicio 4

Lupe tiene 40 años.

Lección 7

Ejercicio 1

a) 29.65; b) 3.32; c) 3.77; d) 40.30.

Ejercicio 2

a) 14.67, b) aproximadamente 2.67; c) 991.252; d) 5 = 5.523809524...; e) –5.7964; f) =5.555...

Ejercicio 3

a)Mide 23.8 m de fondo. b)Cada naranja cuesta 50

centavos o sea $0.50.c)La televisión costaba $2999. d)13%.

Lección 8

Ejercicio 1

a) 42.875; b) 4; c) 1; d) 1.28; e) = 0.31640625; f) –1.061208; g) 784; h) 0.125; i) 0.000000000001; j) 49 =1.6531; k) - = -0.185; l) 0.16; m) 0.512; n) –1.953125; o) = 1.5625;

3

7

100

18

81

256

81

491

5.4

25

16

p) 1000000000; q) 1; r) 1; s) 17.64; t) - = –0.131687.

Ejercicio 2

a) 103;b) 21 = 2; c) 1280 = 1; d) (-34)-2 = (- ) = ( ) ;e) 512;f) (–4)6 = 46;g) (3x)7;h) z6;i) w –8 = ( ) ;j) (–2h)0 = 1; k) a30;l) u30.

Ejercicio 3

a) 8000; b) 10000; c) 113 = 1331; d) (–2)4 = 16; e) 49; f) –125 + (–64) = –189; g) 5.29; h) –32;

i) 1000000, j) 08 = 0; k) 62 z 2 = 36 z 2;l) y 3·z 3;m) c 7 ÷ d 7;n) g 8;o) r 4·s 4·t 4;p) 25 x2y2;q) 216 a3b3;r) k–36;s) v8 ÷ u12;t) (p + q)2: ésta es la únicamanera de expresar el inciso t).

Lección 9

Ejercicio 1

a) es un binomio; sus términos son 67d y 12.4ed;

b) es un polinomio; sus términos son a, ab, abc y 4;

c) es un monomio; d) es un trinomio; sus términos

son t , e y f;e) es un polinomio; sus

términos son 78s, 12r, 41u,34v y 87;

f) es un binomio; sus términos son –5h y 5h.

241

RESPUESTAS

32

243

1

341

34

2 2

81

w

242


Ejercicio 2

a) a2 b y (– a2 b); b) m y 2 m; 7 nm y 2 mn;c) no hay términos semejantes; d) no hay términos semejantes.

Ejercicio 3

a) 6x – 3z +b) 2x – 3v – 4y – 6u +10c) hg – nhg – 1d) –12d – 2e + 5f + 1e) 6a – 2b – 4f) w + z – yg) –3a – 8bh) 8 x3 – 60 x2 + 150 x –125i) t5 + 2 t4 – t3 – t2 + 3 t + 2 j) 0

Ejercicio 4

a) 6x5 y3

b) 24 w2 z2 – 15 wz + 12wc) x6 – 2 x5 – 2 x4 + 9 x3 – 6 x2

– 4 x + 6d) 3a2 + 2ab2 – 3ab –2b3

e) g2 – h2

f) 4w2 – 12wv + 9v2

g) 4x4 – 20 x3 y + 49x2y2 – 60 x

y3 + 36 y4

h)- x3 + x2 + 2 x – 3i) 4q – 2d + 8j) 5ert +10e3 –26e2–16rt +12e +4r2t2 +5e2rtk) 10x6 + 19x5 +52x4 +55x3

+47x2 +52x + 20l) - + -

Lección 10

Ejercicio 1

a) y = 4 + 2xb) y + x = 3, y = 3 – xc) y = x2

d) y – x = 2, y = 2 + xe) y = (x +1)2

Ejercicio 2

a)

1

2

1

5

7

2w2z5

3

2w3z3

11

2w4z2

5y

2w4z5

1

2

1

2

x y = 4 + 2 x

-2 4 + 2 x (-2) = 0

-1 4 + 2 x (-1) = 2

-1/2 4 + 2 x (-1/2) = 3

0 4 + 2 x 0 = 4

1/2 4 + 2 x 1/2 = 5

1 4 + 2 x 1 = 6

2 4 + 2 x 2 = 8

15

4

b)

c)

d)

243

RESPUESTAS

x y = 3 - x

-2 3 - (-2) = 5

-1 3 - (-1) = 4

-1/2 3 - (-1/2) = 7/2

0 3 - 0 = 3

1/2 3 - 1/2 = 5/2

1 3 - 1 = 2

2 3 - 2 = 1

x y = x2

-2 (-2)2 = 4

-1 (-1)2 = 1

-1/2 (-1/2) = 1/4

0 02 = 0

1/2 (1/2)2 = 1/4

1 12 = 1

2 22 = 4

1

1

00

-1-1

-2

-2

-3

-3-4

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

1

1

00

-1-1

-2

-2

-3

-3-4

2

2

3

3

4

5

4

1

10 0

-1-1

-2

-2-3-4

2

2

3

3

4

4

x y = 2 + 1/2x

-2 2+ (-1) = 1

-1 2+ (-1/2) = 3/2

-1/2 2+(-1/4) = 7/4

0 2 + 0 = 0

1/2 2+1/4 = 9/4

1 2 +1/2 = 5/2

2 2 + 1 = 3

244


e)

Ejercicio 3

Pertenecen a una recta los puntos que cumplen las relaciones y = 4 + 2x, y = 3 – xy y = 2 + x.

Pertenecen a una curva los puntos que cumplen lasrelaciones y = x2, y y = (x +1)2.

Lección 11

Ejercicio 1

b) Se pueden encontrar muchasparejas de números que son solución de la ecuación. Por ejemplo, (2.3, 7.7), (0, 10), (10, 0), etcétera.

c) Los demás puntos quedan en la recta.

d) Se puede encontrar muchas parejas de números que no son solución de la ecuación. Por ejemplo, (7, 8), (1, 1), (–10, –10), etcétera.

x y =(x+1)2

-2 (-1)2 = 1

-1 02 = 0

-1/2 (1/2)2 = 1/4

0 12 = 1

1/2

(3/4)2 = 9/4

1 22 = 4

2 32 = 9

1

1

00

-1-1-2-3-4-5

2

2

3

3

4

4

5

5

6

7

8

9

10

1

1

00

-1

-1

-2

-2-3

2

2

3

3

4

1

2

e) Los puntos cuyas coordenadas no son solución de la ecuación quedan fuerade la recta.

Ejercicio 2

a) –2(–1) + (–6) = 2 + (–6) = –4;–2(0) + (-4) = 0 + (–4) = –4;–2(2) + 0 = –4 + 0 = –4;

–2(5) + 6 = –10 + 6 = –4b) A = (–2, –8); B = (1, –2);

C = (3, 2)c) -2(-2) + (–8) = 4+ (–8) = –4;

–2(1) + (–2) = –2 + (–2)= –4;–2(3) + 2 = –6 + 2 = –4

Ejercicio 3

a)

b)

Ejercicio 4

a)

245

RESPUESTAS

1

1

00

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-6-7

-8

-9

-10

-11

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

8

2

2

00-2-4-6

4

4

6

6

8

8

10

10

12

12

14

16

2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

4

4

6

6

8

8

2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

4

4

6

6

8

8 10 12

246


b)• x = 5 , y = 2• x = –1 , y = –4• x = 9 , y = 6• x = 2 , y = –1• x =2.5 , y = –0.5• x =3, y =0• x =0, y =-3• Se pueden encontrar muchasotras parejas de soluciones.

Ejercicio 5

a)

b)

Ejercicio 6

a) 2x + 2y = 74b)

c) Usted pudo haber encontrado distintas parejas de números. Para verificar si éstas son soluciones del problema tenga en cuenta que deben estar formadas por números en los que tanto x como y sean positivos (puesto que son longitudes) y en los que xsea mayor que y puesto que son respectivamente el largoy el ancho del terreno; es decir, y debe ser mayor que 0 y menor que 18.5, y xdebe ser mayor que 18.5 y

2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

-10

-10

-12

-12

4

4

6

6

8

8

10

10

12

12

2

2

00

-2-2-4-6-8

4

4

6

6

8

10

12

14

8

00

-5-5

-10

5 10 15 20 25 30 35 40 45

5

10

15

20

25

30

35

40

45

menor que 37. Para que las parejas sean solución de la ecuación pero no del problema, ambos números deben sumar 37 pero deben no satisfacer las condicionesrecién descritas.

Lección 12

Ejercicio 1

a) x = –2, y = 4.

b) x = –12, y = 7.

c) x = 4 , y = 2.

d) x = 1 , y = 2.

247

RESPUESTAS

2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

4

4

6

6 8 10 12

2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-6

-8

-8-10-12-14

4

4

6

8

2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

-10

-10

4

4

6

6

8

8

10

10

2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-8

4

4

6

6

8

8

10

10

12

14

16

18

248


e) No tiene solución.

f) Cada punto de la recta essolución del sistema.

Ejercicio 2

a) x = –2 , y = –1

b) Infinitas soluciones, todos lospuntos de la recta.

c) x = 2 , y = –1

d) El sistema es inconsistente:no tiene solución.

1

1

00

-1-1

-2

-2-3-4

2

2

3

3

4

4

5

6

7

2

2

00

-2-2

-4

-4-6

4

4 6

2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-6

4

4

6

6

8

2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-6

-8

-10

-12

4

4

6

6

8

10

12

2

20 0

-2-2

-4

-4

-6

-8

-10

4

4

6

6

8

8

10

2

2

00

-2-2

-4

-4

-6

-6

4

4

6

6

8

e) x = –1 , y = –1

f) x = 5 , y = 4

Lección 13

Ejercicio 1

• x = , y =

2( )+ = + = 8.

– = = 3.

• x = 3, y = 13(3) + 1 = 9 + 1 = 10.3 + 1 = 4.

• x = 2, y = 33 (2) + 4 (3) = 6 + 12 = 18.3 (2) + 2 (3) = 6+ 6 = 12.

• x = 0, y = 33(0) + 4(3) = 12.4(0) + 5 (3) = 15.

Ejercicio 2

Las dos rectas se cruzan en el punto (3, 1), que es lapareja solución que se había encontrado al analizar el ejemplo en la lección.

249

RESPUESTAS

1

1

00

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

2

2

3

3

4

4

2

2

00

-2-2

-4

-4

4

4

6

6

8

8

11

32

3

11

32

3

11

3

2

3

9

3

2

3

22

3

24

3

1

1

00

-1-1-2

2

2

3

3

4

4

5

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

250


Ejercicio 3

a) x= –2, y = –1; c) x = 2, y = –1 e) x= –1, y = –1; f) x = 5, y = 4

En el inciso b) se tiene un sistema de infinitas soluciones. Al igualar el coeficiente de unade las incógnitas y hacer laresta quedó 0 = 0.

En el inciso d) se tiene un sistema inconsistente. Aligualar uno de los coeficientesy hacer la resta se llega a unaigualdad en la que cero es iguala otro número, lo cual es unresultado absurdo.

Ejercicio 4

a) x = –4, y = 0; b) x = 4, y =6; c) x = –2, y = 4; d) x = –2, y = 5; e) x = , y = 7; f) x = –1, y = 3

Lección 14

Ejercicio 1

a) Si llamamos x a la cantidad de paletas chicas y y a la cantidad de paletas grandes,el sistema y la solución son:

x + y = 1503 x + 5 y = 570

Solución: 90 paletas chicas y 60 paletas grandes.

b) Si llamamos x a la cantidad de adultos, y y a la cantidadde niños, tenemos:

x + y = 24830 x + 20 y = 5930

Solución: 97 adultos y 151 niños.

c) Si llamamos x al precio de una hamburguesa, y y al precio de cada refresco, tenemos:

{

{

5

4

5 x + 7 y = 1098 x + 11y = 173

Solución: Una hamburguesa cuesta $12 y un refresco $7.

d) Si llamamos x al largo y llamamos y al ancho del rectángulo original, tenemos:

2 x + 2 y = 402 (2 x) + 2 (y + 6) = 76

Solución: medidas originales:12 metros de largo y 8 metros de ancho; medidas del rectángulo agrandado: 24 metros de largo y 14 metros de ancho.

e) Si llamamos x al peso de un saco de maíz, y y al peso de cada saco de frijol, tenemos:

4 x + 3 y = 4803 x + 2 y = 340

Solución: Cada saco de maíz pesa 60 Kg y cada saco de frijol 80Kg.

f) Si llamamos x al mayor de los números, y y al otro, tenemos:

x + y = 40x – y = 14

Solución: Los números son 27 y 13.

g) Si llamamos x al precio de mantenimiento de una máquina de tipo A, y y al precio de mantenimiento de una máquina de tipo B; tenemos:

5 x + 4 y = 34053 x + 5 y = 3135

Solución: el mantenimiento de las máquinas de tipo A cuesta $345 y el de las máquinas de tipo B cuesta $420.

h) Si llamamos x a la edad de Pedro y y a la edad del papá, tenemos:

x + y = 44x – 4 = (y – 4)

251

RESPUESTAS

{

{

{

{

{

{

252


Solución: Pedro tiene 8 años y su papá tiene 36.

Lección 15

Ejercicio 1

a)

b)

Ejercicio 2

a) 12 m de largo por 8 m de ancho; el área es 96 m2;

b) 4 m por 2.5 m; c) el grande mide 3 m por 1.5

m; el chico mide 1.5 m por 1 m;

d) 2.5 m por 0.5 m; 1.25 m2;e) la que no tiene terraza,

mide 11.75 m2 (la otra tiene 10 m2); f) 10.5 m;

g) sí, en la pared del estudio.

Escala 1 a 10 dibujo

Ancho total

del modelo6 cm

Altura de la

muñeca9 cm

Boca de la

manga1 cm

Ancho del

cuello2 cm

Distancia

entre los ojos0.6 cm

muñeca

60 cm

90 cm

10 cm

20 cm

6 cm

Escala 1 a 20 dibujo

Ancho total

del modelo3 cm

Altura de la

muñeca4.5 cm

Boca de la

manga0.5 cm

Ancho del

cuello1 cm

Distancia

entre los ojos0.3 cm

muñeca

60 cm

90 cm

10 cm

20 cm

6 cm

Lección 16

Ejercicio 1

Ejercicio 2

a) 9 cm; b) 3 cm; c) 7.5 cm; d) 2.5 cm; e) 1.6 cm; f) 0.53 cm; g) 2 cm; h) cm;

i) 2 cm; j) cm; k) de 1:3; l) a 3 cm.

Ejercicio 3

a) 550 m; b) 1630 m; c) 100 m; d) 1.35 Km; e) 1.63 Km; f) al sur 110 m, al este 230 m,

al norte 120 m, al oeste 220 m.

253

RESPUESTAS

mapa

a) 1 cm

b) 2 cm

c) 1.8 cm

d) 6.6 cm

e) 1.5 cm

realidad

en cm en km

10000000

20000000

18000000

66000000

15000000

f) 4 cm 40000000

g) 2.2 cm 22000000

100

200

180

660

150

400

220

2

3

2

3

Lección 17

Ejercicio 1

a)

b)

254


Lección 18Las relaciones que se anotanaquí no son necesariamente las únicas que se ven en lasgráficas.

Ejercicio 1

a) Hay más hombres (1) que mujeres.

b) Hay más alumnos con unaevaluación de "bien" (B) quecon los otros valores.

Ejercicio 2

a) El 60% de los alumnos son hombres (1) y el 40% son mujeres (0).

255

RESPUESTAS

2

0

4

6

8

10

M R B MB

Frecuencia relativa

Evaluación

2

1

0

0

4

6

8

10

12

14

Frecuencia

Sexo

0

0%

10%

20%

1

30%

40%

50%

60%

70%

Sexo

Frecuencia relativa

256


b) Casi la mitad de los alumnostuvieron una evaluación de "bien" (B)

Ejercicio 3

a) El 60% de los alumnos son hombres.

b) Casi la mitad del grupo obtuvo "B".

Lección 19

Ejercicio 1

0%

10%

20%

30%

40%

50%

Frecuencia relativa

M R B MB Evaluación

Mujeres40%

Hombres60%

5%

25%

25%

45%

M

R

B

MB

Clase

(60, 70]

(70, 80]

(80, 90]

(90, 100]

(100, 110]


relativa

3

6

2

6

3

Totales 20

.15

.30

.10

.30

.15

1

Ejercicio 2

a)

b)

Ejercicio 3

a)

b)

Ejercicio 4

a) 150; b) 36; c) 52; d) 0; e) 34; f) 56.

257

RESPUESTAS

1

60

0

2

70

3

4

80

5

6

90

7

8

100 110 Tiempo

Frecuencia

5%

60

0

10%

70

15%

20%

80

25%

30%

90

35%

100 110 Tiempo

Frecuencia relativa

45 55 65 75 85 95 105 115

10

45

0

20

55

30

40

65

50

60

75

70

85 95 105 115Tiempo detransporte

Frecuencia

5%0

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

Tiempo detransporte

Frecuencia relativa

258


Lección 20

Ejercicio 1

a)

b)

Ocupación del padre Grupo A.

Ocupación

Ocupación del padre Grupo A

1

2

3

5

6


relativa

2

3

2

1

3

7 1

0.11 = 11%

0.17 = 17%

0.11 = 11%

0.06 = 6%

0.17 = 17%

8 1

0.06 = 6%

9 5

0.06 = 6%

Total 18

0.28 = 28%

1 = 100%

Ocupación

Ocupación del padre Grupo B

2

3

6

7

8


relativa

5

4

5

1

3

9 8

0.19 = 19%

0.15 = 15%

0.19 = 19%

0.04 = 4%

0.12 = 12%

Total 26

0.31 = 31%

1 = 100%

5

10

10

2

15

3

20

4

25

5

30

6

35

7 8

%

Ocupación

Ocupación del padre Grupo B.

c) 6%; d) 8.

Ejercicio 2

Gusto por las fiestas. Grupo A

Gusto por las fiestas. Grupo B

259

RESPUESTAS

5

0

10

2

15

3

20

25

30

6

35

7 8 9

%

Ocupación

Gusto por

las fiestas

1

2

3

4

Total


relativa

1

5

7

5

18

0.06 = 6%

0.28 = 28%

0.39 = 39%

0.28 = 28%

1 = 100%

Ángulo

20°

100°

140°

100°

360°

Mucho28%

Nada6%

Poco28%

Regular39%

100º100º

140º

Mucho27%

Nada12%

Poco19%

Regular42%

97º

68º

152º

Gusto por

las fiestas

1

2

3

4

Total


relativa

3

5

11

7

26

0.12 = 12%

0.19 = 19%

0.42 = 42%

0.27 = 27%

1 = 100%

Ángulo

42°

69°

152°

97°

360°

260


Ejercicio 3

a) En el grupo A, la moda de escolaridad de la madre es 6 años, la del padre es 6 años y la del hermano mayores 12 años. En el grupo B, la moda de escolaridad de la madre es 6 años, la del padre es 9 años y la del hermano mayor es 12 años.

b) En el grupo A, lo más típico son las madres y los padres con 6 años de escolaridad (es decir, con la primaria concluida) y los hermanos mayores con 12 años de escolaridad (es decir, con el bachillerato concluido). Como moda, tienen tanta escolaridad las madres comolos padres, y ambos tienen menos que los hermanos mayores.

c) En el grupo A, las madres tienen en promedio 5.8 añosde escolaridad, los padres

6.7años y los hermanos mayores 12.6 años. En el grupo B, las madres tienen en promedio 6.9 años de escolaridad, los padres 7.1 años y los hermanos mayores13.5 años.

d) Las madres del grupo B tienen en promedio menos años de escolaridad que los padres, y éstos a su vez tienen menor escolaridad que los hermanos mayores.

Ejercicio 4

a) En el grupo A, la moda es 7; en el grupo B, la moda es 10. La escolaridad familiar más típica es más alta en el grupo B que en el grupo A.

b) En el grupo A, el promedio es 8.3; en el grupo B, el promedio es 9. Los alumnos del grupo B vienen de familias con mayor escolaridad que los del grupo A.

Lección 21

Ejercicio 1

a) Dependiendo del dado los resultados que obtenga pueden ser distintos. Lo que puede afirmarse es que las diferencias entre las frecuencias relativas serán cada vez más pequeñas.

b) Si el resultado que obtuvo en el inciso anterior es aproximado a = 0.167, puede considerar que el dado está bien hecho.

Ejercicio 2

a) 0.16 = 16%; b) 0.33 = 33%;c)154/200=.76; d) bastante.

261

RESPUESTAS

1

6

Valores

Nada

interesante

Poco

interesante

Interesante

Bastante

interesante

Muy

interesante


relativa

14

32

75

65

14

= 0.28 = 28%

= 0.16 = 16%

= 0.38 = 38%

= 0.33 = 33%

= 0.28 = 28%

Total 200 = 1 = 100%

14200

32200

75200

65200

14200

200200

262

GUÍA DE MATEMÁTICAS

Notas :

263

GUÍA DE MATEMÁTICAS

Notas :

Guía de Matemáticas. Tercer grado.

Para su edición se utilizaron los tipos

Goudy Old Style y Trebuchet MS.

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