Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades

UNIDAD NOMBRE TEMAS

3 Funciones

vectorial de una variable real

3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.

Derivadas de una función vectorial respecto de una variable escalar.

(4.46)

No está definida la derivada respecto de una variable vectorial.

Derivada del producto escalar.

Derivada del producto vectorial.

Derivada de un vector respecto a un escalar

Sea a un vector cuyas componentes son función continua de una magnitud escalar t.

Entonces,

La derivada de un vector a respecto de un escalar t, es un vector, cuya dirección es tangente a la curva descrita por los extremos del vector a, en el punto considerado, y cuyas componentes son las derivadas, respecto del escalar, de las componentes de a.

Coordenadas Cartesianas

Sea a=axi+ayj+azk La derivada del vector a respecto del escalar t es:

Coordenadas intrínsecas:

Sea el vector a=aua, donde u es un vector unitario en la dirección de a. Derivemos dicha expresión, teniendo en cuenta que las reglas del cálculo diferencial se pueden aplicar formalmente, sin modificarse, en los casos de las funciones vectoriales:

Matemáticamente nos indica que la derivada de un vector se puede descomponer como suma de dos vectores, uno que lleva la dirección del vector sin derivar y el otro una dirección perpendicular. El significado físico es mucho más interesante, ya que dicha descomposición

nos permite separar las variaciones en el módulo de ; de las variaciones

en dirección : .

Derivada de un vector unitario:

De la misma forma, se demuestra que:

Principales reglas de derivación:

Bibliografía: Libro: Cálculo Tomo II Autor: Roland E. Hostetler Robert P. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano Libro: Cálculo con Geometría Analítica Autor: Swokowski Earl W. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano