1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE

Matemticas II

Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular, Ingeniero Captulo 4: Algebra de Nmeros Complejos

INDICE

21.NMEROS COMPLEJOS.

1.1.Conjunto de nmeros.32.PLANO COMPLEJO.42.1.Parametros de un nmero complejo.43.FORMAS DE ESCRIBIR NMEROS COMPLEJOS.53.1.Forma binmica.53.2.Forma de Par ordenado.53.3.Forma trigonomtrica.53.4.Forma exponencial.53.5.Forma polar.54.FUNCIONES TRIGONOMTRICAS EN FORMA EXPONENCIAL.75.CASOS ESPECIALES DE NMEROS COMPLEJOS.75.1.Nmero real puro.75.2.Nmero imaginario puro.75.3.Complejo conjugado85.4.Complejo opuesto.86.OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS.96.1.Suma y Resta de dos nmeros complejos.96.2.Desigualdad Triangular.116.3.Ley del paralelogramo para nmeros complejos.136.4.Multiplicacin de nmeros complejos.156.5.Divisin de nmeros complejos.186.6.Potencia de nmeros complejos.206.7.Radicacin de nmeros complejos.226.8.Potencias de la unidad imaginaria.277.MISCELNEA DE EJERCICIOS.28

1. NMEROS COMPLEJOS.

Al operar con nmeros reales no se pueden tratar cantidades del tipo o ecuaciones del tipo: , esta es la ecuacin que dio origen a los Nneros Complejos.

Algo parecido les ocurri a los pitagricos al intentar medir la diagonal de un cuadrado de lado 1, se dieron cuenta que no haba ningn nmero (slo conocan los nmeros naturales y fraccionarios) que midiese la diagonal. Esto dio origen a los nmeros irracionales y luego a los Reales.

Se introduce el concepto de nmero complejo: , es un nmero que consta de una parte real y de una parte imaginaria , se define la unidad imaginaria .

Forma general de un nmero complejo: .

Ecuacin que dio origen a los Nneros Complejos: .

Unidad imaginaria:

.Ejercicio 4.1. Ejemplos de Nmeros Complejos:

1.1. Z = 3 i4.

Re{Z} = 3

Im{Z} = 4.

1.2. Z = 2 + i4.

Re{Z} = 2

Im{Z} = 4.

1.3. Z = 3.

Re{Z} = 3

Im{Z} = 0.

1.4. Z = i4.

Re{Z} = 0

Im{Z} = 4.

1.5. Z = i.

Re{Z} = 0

Im{Z} = 1.

1.1. Conjunto de nmeros.

P:Conjunto de los nmeros Primos: nmeros que son divisibles por si mismos y por la unidad.

N: Conjunto de los nmeros Naturales.

0:El cero, y a su izquierda el conjunto de los nmeros negativos.

NN: Conjunto de los Nmeros Negativos.

E:Conjunto de los nmeros Enteros.

Q:Conjunto de los nmeros Racionales: nmeros que pueden escribirse como el cociente de dos nmeros que pertenecen a los enteros.

Q:Conjunto de los nmeros Irracionales.

R:Conjunto de los nmeros Reales. Hasta aqu todos los nmeros pueden representarse sobre la recta Real.

C:Conjunto de los nmeros Complejos.

2. PLANO COMPLEJO.

Los nmeros reales se representan como puntos de la recta real. Los nmeros complejos son puntos del Plano complejo o Plano de Argand. Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (X; Y). Cuando representamos un nmero complejo de esta forma decimos que est en forma cartesiana. Esta interpretacin de los nmeros complejos (considerarlos puntos en un plano) se debe a Gauss y a Hamilton.

2.1. Parametros de un nmero complejo.

Para . Definimos:

Afijo de Z: Es el par ordenado (X; Y).

Norma de : . Mdulo de Z: .

Fase TC \l3 "6.3.1. MDULO Y FASE.o argumento de Z: ngulo formado por la recta que va del origen al afijo y el semi eje positivo X:

.

Ejercicio 4.2. Si conocemos las componentes X e Y (son los catetos de un Tringulo Rectngulo) de un Nmero Complejo, aplicando el Teorema de Pitgoras podemos calcular: Mdulo y Fase.

Mdulo:

.

Fase:

( .

Ejercicio 4.3. Si conocemos el mdulo (Z(y la fase de un Nmero Complejo, podemos calcular las componentes X e Y aplicando ecuaciones trigonomtricas.

.

.

3. FORMAS DE ESCRIBIR NMEROS COMPLEJOS.

Podemos escribir un nmero complejo Z de las siguientes formas:

3.1. Forma binmica.

.

: Parte real de Z.

: Parte imaginaria de Z.

.

3.2. Forma de Par ordenado.

Z = (X; Y).

Primer elemento:

Segundo elemento .

3.3. Forma trigonomtrica.

.

.3.4. Forma exponencial.

Forma mdulo argumento. Se basa en la frmula de EULER:

Frmula de Euler:

,

.

Identidad de Euler:

.

.

3.5. Forma polar.

(

Dos nmeros complejos en forma polar son iguales si tienen iguales sus mdulos y si sus argumentos son iguales o difieren en un nmero entero de circunferencias.

' = 2k

k: entero.k = 0; 1; 2; 3 ......

k: = 0; 1; 2; 3 ......Ejercicio 4.4. Escribir el nmero complejo Z = 3 + i4, en forma:4.1. Forma de Par Ordenado.Z: (3; 4).4.2. Forma Polar.

;

( ; .

.4.3. Forma Exponencial.

.Ejercicio 4.5. Dado: Z = 4 + i5. Escribirlo en forma:5.1. Forma de Par Ordenado.Z: ( 4; 5).5.2. Forma Polar.

; .

.5.3. Forma Exponencial.

.

Ejercicio 4.6. Dado: Z = 3 + i3, expresarlo en:

6.1. Forma de Par Ordenado. Z = ( 3; 3).

6.2. Forma Polar.

4,24(135.

6.3. Forma exponencial.

.

Ejercicio 4.7. Dado: , Expresarlo en:

7.1. Forma binmica.

.

7.2. Forma de par ordenado.

.

7.3. Forma exponencial.

.

Ejercicio 4.8. Dados los nmeros complejos, expresarlos en forma binmica:

8.1. .Z = 1.Nmero Real Puro.

8.2. .Z = i.

Unidad imaginaria.

Ejercicio 4.9. Dados los nmeros complejos expresarlos en forma binmica:9.1. .

.

.

Z = 3,53 + i3,53.9.2. .

.Ejercicio 4.10. Conversin de la forma rectangular a polar.

10.1. .10.2. .10.3. .4. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS EN FORMA EXPONENCIAL.

Dada la Frmula de Euler, escribimos en forma exponencial:

.

.

.

.

.

.

5. CASOS ESPECIALES DE NMEROS COMPLEJOS.5.1. Nmero real puro.

Es un nmero complejo que tiene nula la parte imaginaria.TC \l2 "6.2. CASOS GENERALES DE NMEROS COMPLEJOS. Z = (a; 0) = a + i0 = a. Representa un nmero real puro.

5.2. Nmero imaginario puro.

Es un nmero complejo que tiene nula la parte real. A = (0; b) = 0 + ib = ib. Es un nmero imaginario puro. Z = (0; 1) es la unidad imaginaria. .5.3. Complejo conjugado

Dado: el complejo conjugado del mismo sera: .

.

.Ejercicio 4.11. Encontrar el complejo conjugado de: .

.

( .5.4. Complejo opuesto.

Dado el complejo opuesto sera .

Ejercicio 4.12. Dado un nmero complejo, determinar su conjugado y su opuesto:

12.1. .

Conjugado: .Opuesto: .12.2. Z = 5 i3.

Conjugado: .Opuesto: .

12.3. Z = 5 i3.

Conjugado: .Opuesto: .

6. OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS.

6.1. Suma y Resta de dos nmeros complejos.

Tenemos dos nmeros complejos: y . Definimos la suma:

Definimos la resta:

Para calcular la suma o la diferencia de dos nmeros complejos deben expresarse los mismos en forma binmica, y se suman (o se restan) por separado sus partes real e imaginaria.

Ejercicio 4.13. Para los nmeros complejos: A = 5 i10 y B = 3 + i9; Calcular:

13.1. La suma.

S = A + B = (5 i10) + ( 3 + i9) = (5 3) + i(10 + 9) = 2 i.

13.2. La diferencia.

D = A B = (5 i10) ( 3 + i9) = (5 + 3) + i(10 9) = 8 i19.

Ejercicio 4.14. Tenemos dos nmeros complejos y; encontrar

14.1. El mdulo de ambos.

.

.14.2. La fase de ambos.

.14.3. El complejo conjugado de ambos.

.

14.4. La suma .

.14.5. La diferencia

.Ejercicio 4.15. Para los nmeros complejos: y ; Calcular:

15.1. El mdulo y fase de ambos.

.

.15.2. El complejo conjugado de ambos.

.15.3. El complejo opuesto de ambos.

.

15.4. La suma .

.

15.5. La diferencia .

.

6.2. Desigualdad Triangular.

En todo tringulo la longitud de un lado ser siempre menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos lados: .

Ejercicio 4.16. Verificacin de la Desigualdad Triangular:

.

Elevamos al cuadrado.

Es verdadero, para cualquier valor de X e Y. Luego volvemos hacia arriba para llegar a la desigualdad del tringulo. 16.1. En todo tringulo la longitud de un lado ser siempre mayor o igual que la diferencia de las longitudes de los otros dos lados.

.

.

de donde se verifica que:

.

Tenemos las formas alternativas de la Desigualdad triangular. Si cambiamos:

Z2 por ( Z2). .

.

Ejercicio 4.17. Generalizacin de la desigualdad triangular: En todo trayecto, la distancia menor entre dos puntos es la lnea recta: .

.

Verificacin por el Mtodo de la Induccin Completa:

Para n = 2: Ya verificamos que se cumple.

Suponemos vlida para n = k, un entero cualquiera:

.

Y verificamos para n = k + 1, para cualquier nmero entero:

por la Desigualdad Triangular ya verificada podemos escribir:

.

Y volviendo a aplicar la Desigualdad Triangular tenemos:

.

La Desigualdad Triangular se cumple para cualquier entero.

Formas de la Desigualdad Triangular: .

.

.

.

.6.3. Ley del paralelogramo para nmeros complejos.

La suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos diagonales de ste.

Ejercicio 4.18. Ley del Paralelogramo. Dados dos nmeros complejos y ; Demostrar que: .

.

Diagonal Mayor del parelogramo es .

.

diagonal menor del parelogramo es .

.

.

.

.

Ejercicio 4.19. Para el paralelogramo dado probar que las diagonales se dividen en partes iguales.

La Diagonal Mayor del parelogramo es .

La diagonal menor del parelogramo es .

En el punto P se cortan ambas diagonales:

El segmento OP es una porcin de D: OP = n(D) = n(Z1 + Z2)

0 ( n ( 1.

El segmento AP es una porcin de d: AP = m(d) = m(Z2 Z1)

0 ( m ( 1.

Ecuacin vinculante para ambas diagonales: AP = OP Z1,

AP = m(Z2 Z1) = n(Z1 + Z2) Z1

n(Z1 + Z2) Z1 = m(Z2 Z1).

nZ1 + nZ2 Z1 mZ2 + mZ1 = 0.

Z1(n + m 1) + Z2(n m) = 0.

Como Z1 y Z2 deben ser diferentes de cero, pues en caso contrario no habra paralelogramo, para que se cumpla la igualdad los coeficientes deben ser nulos:

(n + m 1) = 0 (1)

(n m) = 0

(2)(m = n

LCDD.

6.4. Multiplicacin de nmeros complejos.

Multiplicamos dos nmeros complejos expresados en Forma binmica:

y .

Aplicamos la Propiedad distributiva del producto:

Producto en forma binmica:

.

Producto en forma de par ordenado:

.

Producto en forma trigonomtrica: y .

.

.

Utilizamos las igualdades trigonomtricas:

y .

.

Producto en forma exponencial: y

.

Da como resultado otro nmero complejo cuyo mdulo es el producto de los mdulos de los factores y cuyo argumento es la suma de las fases de los factores.

Para multiplicar nmeros complejos es ms fcil colocar todos los factores en forma polar o exponencial, pero tambin se pueden utilizar las formas cartesiana y binmica.Ejercicio 4.20. Calcular el producto de los nmeros complejos: y .

Forma binmica: .

Forma polar: ;

.Ejercicio 4.21. Dado el nmero complejo , Calcular:

.

.

Ejercicio 4.22. Calcular X e Y, que satisfagan la ecuacin: .

Aplicamos la propiedad distributiva del producto en el trmino de la derecha y agrupamos parte real e imaginaria:

.

Aplicamos la propiedad de igualdad de nmeros complejos:

1 = X 2 ( X = 3

Y = (2X + 1) = 7.

Y = 7.

Ejercicio 4.23. Encontrar un nmero complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.

Si: ; entonces: y .

(

Igualamos entre si las partes real e imaginaria:

(1)

(2) ( ; reemplazamos X en (1):

.

Existen dos nmeros complejos que cumplen con la condicin dada:

y

.

Ejercicio 4.24. Probar que:

.

.

Ejercicio 4.25. Demostrar que multiplicar un nmero complejo por i equivale a rotar el radio vector en sentido anti horario.

Tomamos un nmero complejo: con una posicin arbitraria dada por ( . La unidad imaginaria se escribe: .

, ac se nota que la fase roto 90 en sentido antihorario.

Ejercicio 4.26. Inverso Aditivo y Multiplicativo. Dado el nmero complejo :26.1. Determinar el inverso aditivo (IA).

El inverso aditivo: cumple con la condicin: .

, esta ecuacin significa:

(1)(

.

(2)(

.

El inverso aditivo de , es .

26.2. Determinar el inverso multiplicativo (IM).

El inverso multiplicativo: cumple con la condicin:

, esta ecuacin significa:

(1)

(2)

.

El inverso multiplicativo de , es .

6.5. Divisin de nmeros complejos.

Para y , calculamos el cociente:

; para racionalizar el denominador multiplicamos, por su conjugado, numerador y denominador :

.

Clculo del cociente de dos nmeros complejos en forma exponencial:

y

.

Forma polar: ;

.

Da como resultado otro nmero complejo cuyo mdulo es el cociente de los mdulos de los factores y cuyo argumento es la diferencia de las fases de los factores.

Para dividir nmeros complejos la forma ms fcil es colocar todos los factores en la forma exponencial o forma polar, pero tambin se pueden utilizar las formas cartesiana y binmica.

ADVANCE \d4Ejercicio 4.27. Calcular el cociente de los nmeros complejos: y .

;

Forma binmica: .

Forma polar: ;

.

.

Forma exponencial: y . .Ejercicio 4.28. Calcular el cociente de los nmeros complejos:

28.1. .

.

28.2. .

.

Ejercicio 4.29. Dado el nmero complejo .

29.1. Determinar X para que Z sea un imaginario puro.

Multiplicamos y dividimos Z por el conjugado del denominador:

.

.

Z imaginario puro ( 12 6X = 0

(X = 2.

29.2. Determinar X para que Z sea un real puro.

Z real puro ( 9 + 8X = 0

(X = 9/8.

Ejercicio 4.30. Encontrar dos nmeros complejos, no nulos, de modo que la suma de ambos sea (1 + i6) y el cociente de ambos sea imaginario puro. Considerar que la parte real del divisor (para calcular el cociente) es igual a 1.

(1 + a) = 1 ( a = 0.

.

( bd = 0; b no puede ser cero pues en ese caso A = 0, entonces debe ser:

d = 0, y los nmeros sern:

A = i6; B = 1.6.6. Potencia de nmeros complejos.

Dado un nmero complejo: el resultado de elevar dicho nmero a la potencia n, ser:

.

Aplicamos la Frmula de Euler: .

Consideramos la Frmula de Euler:

Igualando los trminos de la derecha tendremos:

, esta es la Frmula de De Moivre.

Ejercicio 4.31. Para el nmero complejo , calcular .

.

Ejercicio 4.32. Elevar al cuadrado: A = 3 i2.

.

Ejercicio 4.33. Para el nmero complejo , calcular .

.

Ejercicio 4.34. Elevar al cubo: A = 5 + 6i.

.

Ejercicio 4.35. Dado el nmero complejo: Z = 7 + i 8.

35.1. Identificar su parte real e imaginaria:Re{Z} = 7

Im{ Z } = 8.35.2. Calcular su mdulo y su fase.

10,63((49).35.3. Encontrar su conjugado y su opuesto.

35.4. Calcular Z2.

.Ejercicio 4.36. Demostracin del Teorema de De Moivre.

Utilizamos el Teorema de la Induccin completa:

Paso 1: Consideramos n = 1 y vemos que el Teorema es claramente vlido:

.

Paso 2: Suponemos vlido para n = k: .

Paso 3: Multiplicamos ambos lados por: {cos( + isen(}.

(cos( + i sen()k{cos( + i sen(} = {cos(k() + i sen(k()}{cos( + i sen(}

(cos( + i sen()(k +1) = cos(k() cos( + i cos(k()sen( + i sen(k()cos( sen(k() sen( =

= cos(k() cos( sen(k() sen( + i{sen(k()cos( + cos(k()sen(} =

= cos{(k() + (} + i sen{(k() + (} = cos{(k + 1)(} + i sen{(k +1)(}.

(cos( + i sen()(k +1) = cos{(k + 1)(} + i sen{(k +1)(}.

Ser vlido para todo (k + 1) que es un entero positivo.Ejercicio 4.37. Verificar la Ley de De Moivre para n = 2:

(cos + i sen )n = cos(n) + i sen(n)]

(cos + i sen )2 = cos(2) + i sen(2)]

cos2 + i2cos sen sen2 = cos(2) + i sen(2)

cos(2) = cos2 sen2

sen(2) = 2 sencos

Frmulas del ngulo doble de Trigonometra.

Ejercicio 4.38. Anlisis de la frmula de De Moivre para n = 3:

(cos( + isen()3 = cos(3() + isen(3().

cos3( + 3cos2((isen() + 3cos((isen()2 + (isen()3 = Agrupamos parte real e imag.

(cos3( 3cos(sen2() + i(3cos2(sen( sen3() =

cos(3() = cos(( + 2() = cos(cos(2() sen(sen(2() =

= cos({cos2( sen2(} sen({2cos(sen(} =

= cos3( cos(sen2( 2cos(sen2(} = cos3( 3cos(sen2(

sen(3() = sen(( + 2() = sen(cos(2() + sen(2()cos( =

= sen({cos2( sen2(} + {2cos(sen(}cos( =

= sen(cos2( sen3( + 2cos2(sen( = 3cos2(sen( sen3(

(cos( + isen()3 = (cos3( 3cos(sen2() + i(3cos2(sen( sen3() = cos(3() + isen(3().

6.7. Radicacin de nmeros complejos.

Si a la fase de un nmero complejo le sumamos un nmero entero de vueltas: el mismo no varia.

Para todo k = 0; 1; 2; 3; .

Para calcular la raz n-sima de un nmero complejo hacemos:

;

.Ejercicio 4.39. Calcular la raz cuarta de: .

.

k = 0, 1, 2, 3.

Z1 = 0,92(11,25

Z2 = 0,92(101,25

Z3 = 0,92(191,25

Z4 = 0,92(281,25.

Ejercicio 4.40. Resolver la ecuacin: .

( Z6 = 729(180

EMBED Equation.3 k = 0; 1; 2; 3; 4; 5.

k012345

3090150210270330

Z1 = 3(30

Z2 = 3(90

Z3 = 3(150

Z4 = 3(210

Z5 = 3(270

Z6 = 3(330Ejercicio 4.41. Dado el nmero complejo: .

41.1. Calcular .

( .41.2. Calcular: .

;

Para k = 0: .

Para k = 1: .Ejercicio 4.42. Para el nmero complejo: .

42.1. Calcular: .

.42.2. Calcular: .

k = 0; k = 1.

.

.

Ejercicio 4.43. Para: y . Calcular:43.1. La suma.

A + B = 5 + i6.43.2. La resta.

A B = 1 i14.43.3. El producto.

.43.4. El cociente.

.43.5. .

.43.6. .

.Ejercicio 4.44. Dado el nmero complejo: , encontrar:

44.1.

,

k = 0; 1; 2.

.

.

.44.2. .

k = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

k0123456

859,43110,85162,28213,71265,14316,57

Ejercicio 4.45. Resolver la ecuacin: A2 + A + 1 = 0.

.

Ejercicio 4.46. Resolver la ecuacin: Z4 + Z2 + 1 = 0.

Hacemos un cambio de variable: Z2 = A, la ecuacin queda: A2 + A + 1 = 0.

k = 0:

;k = 1

.

k = 0:

.Ejercicio 4.47. Resolver la ecuacin: Z2 2Z + 4 = 0.

.

.Ejercicio 4.48. Resolver la ecuacin: 5Z2 + 2Z + 10 = 0.

Z1 = 0,2 + i1,4Z2 = 0,2 i1,4.Ejercicio 4.49. Resolver la ecuacin: w4 + 81 = 0.

w4 = 81 = 81(.

k = 0, 1, 2, 3.

.Ejercicio 4.50. Resolver la ecuacin: .

w6 = 2(120

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

.

.6.8. Potencias de la unidad imaginaria.TC \l2 "6.4. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA.

;

;

; ; . A partir de ac se repite.

A partir de la cuarta potencia se repiten cclicamente. Todas las potencias de exponente natural de la unidad imaginaria dan como resultado uno de estos valores.

Para graficar potencias elevadas de i hacemos lo siguiente:

(D = dC + R.

Si hacemos d = 4

.Ejercicio 4.51. Graficar: .

(

( C = 76.R = 1(

.Ejercicio 4.52. Graficar: .

(

( C = 76.R = 2(

.Ejercicio 4.53. Encontrar el equivalente de .

D = 4.C + R

R = 3

.7. MISCELNEA DE EJERCICIOS.

Ejercicio 4.54. Calcular la parte Re y la parte Im de:

54.1. .

Debemos racionalizar el denominador, para eso multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador.

.

Re{Z} = 1; Im{Z} = 1.

54.2. .

.

; .

Ejercicio 4.55. Calcular a para que sea un nmero real puro.

,

(

(

.

Ejercicio 4.56. Calcular a y b para que: sea real y de mdulo la unidad.

(1)

(2)

;

. Ejercicio 4.57. Hallar el lugar geomtrico y trazar las grficas correspondientes:

57.1. Circunferencia con centro en el origen y radio 7:

57.2. Circunferencia con centro en y radio 5:

57.3. Regin externa a la Circunferencia con centro en y radio 4:

Ejercicio 4.58. Encontrar el valor de .

.Ejercicio 4.59. Encontrar el valor de .

.Ejercicio 4.60. Encontrar el valor de .

.Ejercicio 4.61. Encontrar el valor de .

.Ejercicio 4.62. Encontrar el valor de .

.

Ejercicio 4.63. Encontrar el valor de .

.

;k = 0;k = 1;k = 2.

.

Ejercicio 4.64. Probar que:

64.1.

LCDD.

64.2.

LCDD.

Ejercicio 4.65. Probar que Z es un nmero real puro si y solo si .

Z ( R ( .

Si:

( , igualando las partes real e imaginaria entre si vemos que + Y no puede ser igual a Y; por lo tanto Y debe ser igual a 0; por lo tanto Z = X + i0 es un nmero real puro.

Ejercicio 4.66. Probar que Z es Real puro o Imaginario puro, si , para Z no nulo.

( Z ( R o Z ( Im; Z = X + i0oZ = 0 + iY,

Si: Z = X + iY(

,

(1)

(2)

Para que debemos tener que la parte imaginaria de ambas expresiones (1) y (2) debe anularse pues no podemos tener: 2XY = 2XY. Para esto podemos tener

X = 0 en cuyo caso Z = 0 + iY = iY es imaginario puro o

Y = 0 en cuyo caso Z = X + i0 = X es un nmero real puro.

Ejercicio 4.67. Para , tomar y encontrar el valor de w para k = 0, rama principal de w.

Dado que ;

:

Ln(Z) lineariza la ecuacin:

Para K = 0:

Rama Principal de w (para k = 0):

.

Ejercicio 4.68. Para , encontrar el valor de w = Ln(Z) para k = 0, rama principal de w.

.

Ejercicio 4.69. Para , encontrar el valor de w para k = 0, rama principal de w.

.Ejercicio 4.70. La suma de: y ; dividida por su diferencia es un N imaginario puro. Probar que los dos, z y w, han de tener el mismo mdulo.

Imaginario Puro.

(

( .Ejercicio 4.71. Dados dos nmeros complejos y . Demostrar:

71.1. .

71.2.

, se verifica que:

.

71.3.

.71.4. .

.

B

P

C

A

Z2

Z1

O

EMBED PBrush

i

i2

i3

i4 = 1

C

R

Q

Q

E

NN