4 Integracion+Por+Partes+ Metodo+Tabular+Para+IP

Lcdo Eliezer Montoya Integracion por partes

1

Métodos y técnicas de integración

El siguiente tema sugerido para tratar en clases es el método de integración por

partes veamos de donde surge y algunos ejemplos propuestos

( 2º ) Método de Integración por partes: ∫ ∫−= duvvudvu ...

La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir de la regla de la

derivada de un producto de funciones. Veamos:

Es conocida la dificultad que encuentra el estudiante al aplicar la formula de

integración por partes . . .u dv u v v du= −∫ ∫ tal dificultad comienza con la elección

las funciones u y v. Además se sabe que existen integrales que no pueden ser

resueltas por partes como por ejemplo

22 4

;sin

arcsin ; ; ; sin 1x

x xe xe xdx dx e dx dx x dx y x dx

x x

−+∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Para ello se usa la palabra nemotécnica ILATE para la elección de u , donde :

I: Funciones Inversas trigonométricas

L: Funciones Logarítmicas

A: Funciones Algebraicas

T: Funciones Trigonométricas

E: Funciones Exponenciales

se toma la primera función que ocurra de izquierda a derecha en correspondencia

con la palabra ILATE, esta elección apoya la experiencia de lograr que la

segunda integral sea más fácil

Veamos ahora algunos ejemplos de integración por partes, tomados de los

ejercicios propuestos por Louis Lehithold en el capítulo 7.1; apoyándonos del


2

trabajo realizado por el profesor Luís Beltrán en su solucionario del libro;

evalúe la integral indefinida. Verifique la respuesta mediante diferenciación.

2. .cos . ( )

Solución.

Sea:

( )cos

aplicando la fórmula de integraci

Elie

ón por partes; . . . ,

con los datos de ( ) en ( ) se obtine:

.cos . . . co

zerMo

s

1

ntoya

1

x

x x dx

u x du dx

dv dx v senx

u dv u v v du

x x dx x senx senxdx x senx x c

= ⇒ =

= ⇒ =

= −

= − = + +

⇒

♣

♣

∫

∫ ∫

∫ ∫

( )

Verificacíón ´( ) ( )

. co

.cos .

s .cos .cos

. cos

F x f x

dx senx x c senx

x dx x s

x x

e

senx x

nx c

xdx

x

=

+ + = + − =

= + +∫


3


4

. .3

Solución:

.3 (

Sea:

ln( ) recuerde :33

ln3

Aplicando la fórmula de integración por partes, u.dv = u.v- v.du

con los datos de

Eliezer M

4

1

1

ontoya

(

x

x

uu

xx

u u

x dx

x dx

au x du dxa du c

aquedv dx v

e du e c

)

= ⇒ = = +

= ⇒ = =

♣

+

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

( ) 2

2 2

2

3 3.3 .

ln 3 (ln

) en ( ) se obtiene:

3 3 3 1 3 3.3 . . 3 .

ln 3 ln3 ln3 ln 3 ln3 (ln 3)

3 3 3 .3 ln3 3 ln3. 0 .3ln 3 (ln 3) ln 3 ln 3 (ln 3

)

:

)

3

x x x x

x x

xx x

x

x

x x x xx

x dx x dx x dx x C

Ve

x dx

rificación

d xx C x

d

x C

x

∴ = −

= − = − = − +

− + = + − + =

♣

+

∫ ∫ ∫

∫

. ln 5

:

ln 5 ( )

(5 )´ln 5

5 ( ) : (ln )

int : . ,

:

( ) ( )

5

1

1

xx

xdx

Solución

xdx

x dxu x du dx D t

x x recuerde que D tt

dv dx dv dx v x c

aplicando la formula de egración por partes udv u v vdu

con los datos de en se obtiene

Eliezer Montoya

Sea

♣

♣

= ⇒ = ==

= ⇒ = ⇒ = +

= −

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫:

ln 5 (ln 5 ) . . ln 5 ln 5

( ln 5 ) ln 5 .(5 / 5 ) 1 0 ln 5 1 1 l

ln 5 ln 5

:

n 5x

xdx x x x

dxxdx x x x dx x x dx x x x c

x

D x x x c

c

Veri

x x x

ficació

x x

n

= − = − = − +

− + = + − + = + −

∴ = − +

=

∫ ∫ ∫

∫


5


6

( )

2

2

2 32 3

3

2

13

3

(ln ).

Solución:-

(ln )

Usando sustitución o cambio devariable:

ln

(ln ) 1nos que

7

Eliezer Montoya

(

da: .

Verific

(ln )3 3

1 1

ln ) 1(ln )

( (ln ) ) 3

ación:

l3

3

n .3

td

tdt

t

tdt

t

dtu t du

t

t udt u du C t C

t

d dt C t

d

t

x

t t C

−

=

=

= ⇒ =

= = + =

∴

+

=

+

+

=

∫

∫

∫ ∫

∫

22 1 (ln )

(ln ) 0 (ln ) .t

t tdx t t

+ = =

Veamos otra forma de resolver el problema número 7 usando integración por

partes.

2

2

2 2

( ln ).

:

( ln ) (ln ).( ln )(

s in

ln

( )ln ln (ln )

2 2

in t :

7

1

td t

t

S o lu c ió n

t t td t d t

t t

u sem o teg ra c ió n po r p a r

E lie ze r M o n

te s

d tu t d u

t

t t w td v d t d v d t v w dw c c

t t

a p lica n do la fo rm u la d e eg ra c ió n

to ya

po r p a r te s u

=

−

= )

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = = +

♣

= +

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

2 2 2 3 2

2 2 3

2 3

2

( ) ( ) :

( ln ) (ln ) (ln ) (ln ) 1 (ln )ln .

2 2 2 2

in t

(ln ) 1 ( ln ) (ln )

2 2

3 (ln ) (ln )

2 2

(ln )

1

d v u v vdu

con lo s d a to s d e en se o b tien e

t t t d t t td t t d t

t t t

s i p a sam o s a l p r im er m iem b ro e l eg ra nd o

t t td t d t C

t t

t td t C

t

td

t

= −

= − = −

⇒ + = +

⇒

♣

= +

⇒

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫3

23

32 (ln ) 1(ln )

3 2 3

(ln ) 1(ln )

3

tt C t C

td t t C

t

= + = +

∴ = +∫


7

2

2

2

2

. . s e c

:

. s e c ( )

:

( )s e c ta n

in t , ,

( ) ( ) :

. s e c ta n ta n

s inta n

c o

8

1

1

s

x x d x

s o lu c ió n

x x d x

S e a

u x d u d x

d v x d x v x

a p l ic a n d o la fo rm u la d e e g ra c io n p o r p a r te s u d v u v v d u

c o n lo s d a to s d e e n s e o b t ie n e

x x d x x x x d x

xx d x d x

x

= ⇒ =

= ⇒ =

= −

= − =

⇒

♣

♣

=

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

( )

2

1

2 2

c o sln

ta n ln c o s ln c o s ln s e c

:

:

s e c . ta n. ta n ln s e c ta n s e c

. s e c . ta n ln s e c

0 . s e c

x x

t x d tt C

d t s e n x d x t

x d x x C x C x C

lu e g o

v e r i f i c a c ió n

d x xx x x c x x x x x

d x s e

d x x x

c

c

x

x

−

= ⇒ ⇒ − = − +

= −

⇒ = − + = + = +

− + =

= +

+ − + =

−

∫

∫

∫


8

�

2

2

2

2

22 2

2

. ln( 1)

:

int : ln( 1) . ( )

2ln( 1)

( 1): ( )

( ) ( )

10

1

2

ln( 1) .ln( 1) 2( 1)

2 1

dvu

x dx

Solución

Aplicando egración por partes en x dx u v vdu

xu x du dx

xtenemos que

dv dx v x

sustituyendo en

xx dx x x dx c

x

+

+ = −

= + ⇒ =

+ = ⇒ =

+ = + − ++

∫

∫ ∫

∫ ∫

��

1

21

22

2 2 1

2

22 2 2 1

2

2

( )

( )

12 2 1 2 2 tan( 1) 1

ln( 1) .ln( 1

ln( 1) .ln( 1) 2 2 t

) 2 .ln( 1) 2 2 tan1

:

( .ln( 1)

3

an

3

x

resolviendo el segundo miembro de

xdx dx x x c

x x

xx dx x x dx x x x x C

x

Verificación

D x

x dx x x x C

x

x

−

−

−

= − = − +

+ +

⇒ + = + − = + − + ++

∴ + = + +

+

− +

∫ ∫

∫ ∫

∫

1 2

2 2

2 22 2

2 2

2 22 2 tan ) ln( 1) . 2 0

1 1

2 2 2 2ln( 1) ln( 1)

1 1

xx x C x x

x x

x xx x

x x

−− + + = + + − + + =

+ +

− += + + − = +

+ +


9

El método Tabular:

Muchas veces nos vemos obligado a repetir varias veces el método de integración

por partes, para esto es mucho mejor utilizar un atajo conocido como el método

Tabular .Para ver como este método trabaja suponga que u y v son funciones y

considere la tabla:

1 1

1 2 2 1

1 1

1 1

n n n n

n n n n

u v

derivada de u u v antiderivada de v




− −

+ +

→ ←

→ ←

→ ←

→ ←

� � �

Multiplique cada función –en forma horizontal- la primera columna por la función

correspondiente en la segunda columna, cambie el signo de cada dos productos

(alternándolos comience con + luego – y asi sucesivamente) y agregue los

términos resultantes para obtener una suma S :

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1

p o r ( )

p o r ( )

p o r ( )

u p o r v ( )

p o r ( )s u m a

p o r

n nn n

n n

u v u v

u v u v

u v u v

u v

u vu v

S

u v+ +

+ +

− −

+ +

− +

←

��

��

� ��

� ��

∓∓��

��

El mismo puede ser probado usando el principio de inducción matemática

1 1 2 2 3 3 1 1

1 1

. ... n n

n n

udv u v u v u v u v u dv

udv S u dv

+ +

+ +

= − + − + ±

= ±

∫ ∫

∫ ∫

Donde el signo más (+) es usado si n es impar y menos (-) si n es par.

** Si u es un polinomio de grado n , entonces la (n+1)derivada de u es cero , por

lo tanto ,

u n+1 = 0 y el método tabular nos produciría la formula simple:

udv S C= +∫

Donde C es la constante de integración.


10

Visualiza los 4 casos, cuando podemos usar este método:

(A) Integrales de la forma

1. ( )sin

2. ( )cos

3. ( )

( )

n

n

ax

n

n

p x axdx

p x axdx

p x e dx

donde p x es un polinomio

de grado n

∫

∫

∫

Usando la palabra “ILATE” se hace

u = Pn (x) en todas estas integrales,

pues es la función Algebraica. La

derivada de (n+1)-ésima de u es 0.

(B) Integrales de la forma

4. sin

5. cos

ax

ax

e bxdx

e bxdx

∫

∫

Para este caso usando la palabra ILATE

u= sin bx (cos bx), Como puedes notar

la derivada de u nunca podrá ser 0, para

esto nos detendremos cuando el

producto de la diagonal sea igual al

integrando, salvo el factor constante.

(C) Integrales de la forma

6. sin .cos

7. sin .sin

8. cos .cos

ax bxdx

ax bxdx

ax bxdx

donde a b≠

∫

∫

∫

Estos casos se tratan de la misma

manera que el caso B, u puede ser

cualquiera de las dos funciones seno o

coseno, como u nunca podrá ser 0,

para esto nos detendremos cuando el

producto de la diagonal sea igual al

integrando, salvo el factor constante.

(D) Integrales de la forma

( )9.( )

( )

.

n

r

n

p xdx

ax b

donde p x es un polinomio

y r no es un entero positivo

+∫

Igual que para el caso A considera u =

Pn (x) y ( )r

dxv dv

ax b= =

+∫ ∫

Ejemplo Nº 11 Use el método tabular para evaluar 4 3 3(2 8 ) xx x e dx−−∫

Solución:


11

4 3 3

4 3 3

4 3 3

3 3

0 0

3 3

0

(2 8 )

2 8

: (2 8 ) .

31 1 1

33 3 3

3

1

3

x

x

x

Por Sustitución

x t t x

x x

x x e dx

Sea u x x y dv e dx

tenemos x x e dx u dv

t x

de aqui v dv e dx dt dx e dt e c e c

dtdx

v e dx e c

−

−

−

− −

− −

−

= − =

− =

= −

= = ⇒ = − ⇒ − = − + = − + − =

= = − +

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

��

(por) ( )

4 3 3 4 3 3

(por) ( )3 2 3 3 2 3

1 1

(por) ( )2 3 2 3

2 1 2

(por) ( )3

3 2 3

1 12 8 (2 8 )( )

3 3

1 1´ 8 24 (8 24 )( )

9 9

1 1´ 24 48 (24 48 )( )

27 27

1 1´ 48 48 (48 48)(

81

x x

x x

x x

x

u x x v e x x e

u u x x v e x x e

u u x x v e x x e

u u x v e x

+− −

−− −

+− −

−−

= − = − + − −

= = − = − −

= = − = − + − −

= = − = − −

→ →

→ →

→ →

→ →3

(por) ( )3 3

4 3 4

(por) _____________________________________________3

5 4 5

)81

1 1´ 48 (48)( )

243 243

1´ 0

729

x

x x

x

e

u u v e e

u u v e S

−

+− −

−

= = = − + −

= = =

→ →

→

Sumando los términos de la columna obtenida S y simplificado

tenemos4 3 3

4 3 3 3 2 3 2 3 3 3

4 3 3 2 2 3

4 3 2

(2 8 )

1 1 1 1 1(2 8 )( ) (8 24 )( ) (24 48 )( ) (48 48)( ) (48)( )

3 9 27 81 243

2 8 8 8 8 16 16 16 16

3 3 9 3 9 9 27 27 81

2 16 16 32

3 9 9 27

x

x x x x x

x

x x e dx S C

x x e x x e x x e x e e C

x x x x x x x e C

x x x x

−

− − − − −

−

− = +

⇒+ − − − − + − − − − + − +

⇒ − + − + − + − + − +

⇒ − + + + +

∫

4

3

3 3 4 3 2 32 16 16 32 32(2 8 )

3

32

81

9 9 27 81

x x

x

x x e dx x

e C

x x x e C− −

−

∴ − = − + + + + +

+

∫


12

Ejemplo Nº 11 2(6 3 5) xx x e dx+ +∫

Solución:

( ) ( )

2 2

( ) ( )

1 1

( ) ( )

2 1 2

( ) ( )

3 2 3

_____________________________________________

6 3 5 (6 3 5)( )

´ 12 3 (12 3)( )

´ 12 (12)( )

´ 0 0

porx x

porx x

porx x

porx

u x x v e x x e

u u x v e x e

u u v e e

u u v e

S

+

−

+

−

= − + = + − +

= = − = − −

= = = +

= = =

→ →

→ →

→ →

→ →

Sumando los términos de la columna obtenida S y simplificado tenemos

�

( )

( )2

2

2

2

2

2

(6 3 5)

(6 3 5) (12 3

(6 3 5) 6 1

) 12

6 3 5 12 3 12

6 15 2

5 20

0

x

dvu

x

x

x x

x

x

x

x x e dx udv S C

x x e x e e C

x x e dx x x e C

x x x e C

x x e C

− + = = +

= − + − − + +

= − + − + + +

= − + +

∴ − + = − + +

∫ ∫

∫

��

Ejemplo Nº 12 45 sinh 2x xdx∫

Solución:

�2(6 3 5)

como es un polinomio y

usando el método tabular

x

dvu

x x

x x e dx

u

v dv e dx e c

− + =

= = = +

∫

∫ ∫

��


13

4

4

0

1 1

5 sinh 2

5 (es derivable)

1sinh 2 cosh 2

2

1 1cosh 2 sinh 22 4

x xdx

u x

v dv xdx x c

v x x c

=

= = = +

= = +

∫

∫ ∫

∫

Usemos el método tabular ( ) ( )

4 4 4

( ) ( )3 3 3

1 1

( ) ( )2 2 2

2 1 2

( )

3 2 3

1 1 55 cosh2 (5 )( cosh2 ) cosh2

2 2 2

1 1´ 20 sinh2 (20 )( sinh2 ) 5 sinh2

4 4

1 1 15´ 60 cosh2 (60 )( cosh2 ) cosh2

8 8 2

1´ 120 sinh2

16

por

por

por

por

u x v x x x x x

u u x v x x x x x

u u x v x x x x x

u u x v

+

−

+

= = + =

= = = − = −

= = = + =

= = =

→ →

→ →

→ →

→( )

( ) ( )

4 3 4

( ) ( ) _____________________________________________

5 4 5

1 15(120 )( sinh2 ) sinh2

16 2

1 1 15´ 120 cosh2 (120)( cosh2 ) cosh2

32 32 4

1´ 0 sinh2

64

por

por

x x x x x

u u v x x x

u u v x S

−

+

−

− = −

= = = + =

= = =

→

→ →

→ →

45 sinh 2x xdx =∫ S + C

4 3 2

4 2 3

5 15 15 15cosh2 5 sinh2 cosh2 sinh2 cosh2

2 2 2 4

5 3 33 cosh2 5 sinh2

2 2 2

x x x x x x x x x C

x x x x x x C

= − + − + +

= + + − + +

Ejemplo Nro 132

5

12 36

3 2

xdx

x

+

+∫ , este problema lo resolvemos utilizado repetidas

veces integración por partes

Solución:


14

2

5

2

4 / 51/ 5 4 / 5

1/ 55 5

4 / 5

5

12 36

3 2

12 36 24

3 21 1 1 5

33 3 3 4 /5 123 2 3 2

3

5(3 2)

123 2

Por sustitución

xdx

x

u x du xdx

t xdx dx dt t

dv v dv dt dx t dt c t ctx x

dtdx

dxv x c

x

−

+

+

= + ⇒ =

= +

= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = + = + + +

=

= = + ++

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

��

Usemos el método tabular

2 4 / 5 2 4 / 5

9 / 5 9 / 5

______ _______________ _________________________ ____________

5 512 36 ( ) (3 2) ( ) (12 36) (3 2)

12 12

25 2524 ( ) (3 2) ( ) (24 ) (3 2)

324 324

12524 ( )

1360

n n n nu v u v

x por x x x

x por x x x

por

+ + + + + +

+ − − +

��

��

��14 / 5 14 / 5

________________________________________________________________________________________________

125(3 2) ( ) (24) (3 2)8 13608

0

x x

S

+ + + +��

Sumando los términos de la columna obtenida S y simplificado tenemos

2

5

12 36

3 2

xdx

x

+

+∫ = S+C

2

2 4 / 5 9 / 5 14 / 5

5

2 4 / 5 9 / 5 14 / 5

2 4 / 5 4 / 5 2 4 / 5

12 36 5 25 125(12 36)(3 2) 24 . (3 2) 24. (3 2)

12 324 136083 2

50 125(5 15)(3 2) (3 2) (3 2)

27 567

50 125(5 15)(3 2) (3 2)(3 2) (3 2) (3 2)

27 567

(3

xdx x x x x x C

x

x x x x x C

x x x x x x x C

+= + + − + + + + =

+

= + + − + + + +

= + + − + + + + + +

=

∫

4 / 5 2 2

4 / 5 2 2

/ 2

2

4 5

50 1252) 5 15 (3 2) (3 2)

27 567

50 100 125 500 500(3 2) 5 15

9 27 63 189 56

10 200 9005(3 2)

7 189 567

7

x x x x x C

x x x x

x x

x

C

x

x

C

+ + − + + + +

= + + − − + + + +

+ − + +

=


15

Ejemplo 14: cosaxe bxdx∫

Por SustituciónoCambiodeVariable

cos como

Aqui: cos .sin

1 1 1

ax

ax t t ax

e bxdx a b

u bx du b bx

t ax

v dv e dx dt adx e dt e ea a a

dtdx

a

≠

= ⇒ = −

= = = ⇒ = ⇒ = = =

∫

∫ ∫ ∫

��

Usemos el método tabular (como la derivadas de u no son cero nos

detendremos cuando el producto de la diagonal sea igual al integrando, salvo

el factor constante.) (por) ( )

(por) ( )

1 1 2 2 2

( )21

2 2

_____________________________________________

1 1 1cos (cos )( ) cos

1 1´ .sin ( sin )( ) sin

cos ?

ax ax ax

ax ax ax

u bx v e bx e e bxa a a

bu u b bx v e b bx e e bx

a a a

duu b bx v

dx

S

+

−

+

= = + = +

= = − = − − = +

= = − =

→ →

→ →

→↙

1 12

2

2 2

2

2 2

1co s cos s in

1 1co s s in ( )( co s )

1cos s in co s )

, m i

co s

ax ax ax

ax ax ax

ax ax ax

ax

be bxdx e bx e bx v d u C

a a

be bx e bx e b bx C

a a a

b be bx e bx e b bx C

a a a

P asando a l p r im er m iem bro Sum ando tér nos sem ejan tes y s im p lificando

e

= + + + +

= + + + − +

= + + − +

∫ ∫

∫

∫

2

2 2

2 2

2 2

2

1co s co s sin

1cos co s s in

co s

ax ax ax

ax ax ax

ax

b bbxdx e b bx e bx e bx C

a a a

a b be bxdx e bx e bx C

a a a

ae bxdx

+ = + +

+= + +

=

∫ ∫

∫

∫ 2 2

1

a b a

+

2

co sax ae bx +

2 2 2

b

a b a

+

[ ]

2

2 2

2 2 2 2

2 2

s in

co s .co s s in

co s .co s .s in

ax

ax axax

axax

ae bx C

a b

e ee bxdx a bx b bx C

a b a b

ee bxdx a bx b bx C

a b

+

+

= + +

+ +

= + +

+

∫

∫


16

Como: [ ]2 2

cos .cos .sinax

ax ee bxdx a bx b bx C

a b

= + +

+ ∫

Quedará como ejercicio y verificar la fórmula de recurrencia siguiente:

[ ]2 2

sin sin cosax

ax ee bxdx a bx b bx

a b

= −

+ ∫

(con estas formulas de recurrencia puedes resolver los problemas 53 y 54

En fin la integración por partes se aplica para calcular las primitivas de las

funciones siguientes:

*El producto de una función polinómica por una función exponencial

*El producto de una función polinómica por una función seno o por un coseno

*El producto de una función exponencial por un seno o por un coseno

*El producto de una función polinomica por una función logarítmica.

*Funciones trigonométricas inversas: Arc sin , Arc cos , Arc tan, Arc sinh , Arc

cosh, Arc tanh

*Ciertas raíces cuadradas


17

Ejercicios propuestos

En los problemas 1 al 12 , use integración por partes para evaluar cada integral.

1) ∫ xdxx 2cos. 2) ∫ kxdxx sin.

3) ∫ dxex x3. 4) ∫− dxex x4.

5) ∫ xdx5ln 6) ∫ xdxx 2ln.

7) ∫− xdx1cos 8) ( )∫ dxxx 23 ln

∫− xdx1sec)9 10) ∫

− xdx1sin

11) ∫ dtttt .tan.sec. 12) ∫− xdx1tan

En los problemas 13 al 22 use repetidas veces integración por partes para evaluar

cada integral

13) ∫ dxxx .3sin.3 14) ∫ xdxx 22 sin.

15) ( )∫ +− xdxxx cos.123 2 16) ( )∫−

+− dxexx x.232

17) ∫

+ dxex

x x22

.2

18) ∫ xdxxx tan.sec.2

19) ∫− xdxe x 2cos 20) ∫ xdxe x sin.2

***21) ∫ xdx3csc 22) ∫ dxbxeax .sin.

En los problemas 23 al 26 use una sustitución conveniente para expresar la

integral en una forma tal que la integración por partes sea aplicable .Entonces

evalué la integral:

23) ∫ dxex x 2.3 24) ∫ dxxx .2sin. 23

25) ∫ + dxx 21 26) ( )1cos . tan sinx x dx−

∫

En los problemas 27 al 46 evalué cada integral:

27) ∫−

− dxex x).12( 28) ∫ xdxx sinh.

**29) ∫ xdxex x sin. 30) ∫ + dtt )1ln( 2

**31) ( )∫ dxx2

ln 32) dxx∫ sin

33) ∫ dxxx .csc. 2 34) ∫− xdx1cosh


18

35) ∫−

dxx

x

2

3

1 36) ∫

−dx

x

x

12

2

37) ∫ dxxx 411 cos. 38) ∫ dxxx .cos2/3

39) / 9

2

04 sin3 .x x dx

π

∫ 40) ∫+

1

0 2.

)1(

.dx

x

ex x

41) ∫−

3

2

1sec dx ver el ejercicio Nº 09 y luego evaluar

42) ∫−−

1

1

1cos xdx ver el ejercicio Nº 07 y luego evaluar

43) ∫ +−4/

0

2 .sin)125(π

dxxxx 44) ( )∫e

dxx0

lnsin.

45) ∫2/

0

2sin.π

xdxx 46) 3

1

0.tanx xdx−

∫

En los problemas 47 al 50, use el método tabular para evaluar cada integral.

47) ∫ xdxx 2cos.4 48) ( )∫ +− dxexxx x.2 23

49) ∫− dtet t ..4 50) ( ) dxexxx x ..35 −

∫ +−

51) ( )3 22 3 .coshx x x xdx− +∫ 52) ( )3 28 5 .sinh5x x xdx−∫

53) 6 sin5xe xdx∫ 54) 4 cos3xe xdx−

∫

1 Munem M.A. Foulis D.J. (1984) Calculus with Analytic Geometry . II edicion.Edit. Worth Publishers, Inc. USA.

4 Integracion+Por+Partes+ Metodo+Tabular+Para+IP

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