4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

31
4. Modelos Multivariantes Curso 2011-2012 Estadística Distribución conjunta de variables aleatorias

Transcript of 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

Page 1: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

4. Modelos Multivariantes

Curso 2011-2012

Estadística

Distribución conjunta de

variables aleatorias

Page 2: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

3Modelos Multivariantes

Definiciones (v. a. discretas)

� Distribución de probabilidad conjuntade dos variables aleatorias X, Y

� Función de distribución conjunta:

��

��

===

∀≥==

==� �

∞=

−∞=

∞=

−∞=

�����

�������

����������

������

���

������ ���������� ≤≤=

4Modelos Multivariantes

Lanzamiento de dos dados

1 2 3 4 5 6

1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

���

� ��

�������

X = “ Resultado de dado ROJO”

Y = “ Resultado de dado AZUL”

Distribución conjunta de probabilidad

P ( X=i , Y=j ) =1/36, (i,j de 1 a 6)

Page 3: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

5Modelos Multivariantes

Ejemplo

S : SUMA DE DOS DADOS

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

1 1/18 1/18 1/18 1/18 1/18

D : DIFERENCIA 2 1/18 1/18 1/18 1/18

DE DOS DADOS 3 1/18 1/18 1/18

4 1/18 1/18

5 1/18

��������������������������������������������������

���� ������!"�����������������! ������������#�������

��������!� ����

��� ���!#�$��%�&!� ��'��(�)���(���

6Modelos Multivariantes

Distribuciones Marginales

S : SUMA DE DOS DADOS

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36

1 1/18 1/18 1/18 1/18 1/18 10/36

D : DIFERENCIA 2 1/18 1/18 1/18 1/18 8/36

DE DOS DADOS 3 1/18 1/18 1/18 6/36

4 1/18 1/18 4/36

5 1/18 2/36

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

*��+�������� *��+��������

Page 4: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

7Modelos Multivariantes

Distribuciones Marginales

∞=

−∞=

∞=

−∞=

====

====

��������

��������

�����

�����

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

�!"����

����

8Modelos Multivariantes

Distribuciones condicionadas

S : SUMA DE DOS DADOS

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36

1 1/18 1/18 1/18 1/18 1/18 10/36

D : DIFERENCIA 2 1/18 1/18 1/18 1/18 8/36

DE DOS DADOS 3 1/18 1/18 1/18 6/36

4 1/18 1/18 4/36

5 1/18 2/36

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

D | S = 8

0 1/5

1 0

2 2/5

3 0

4 2/5

5 0

1

��� ���!#�$�������������#���

�� ���������#��#�������

,!������!"�����-�

'��(���.��(-��(�'��(����(-��/�'��(-�

Page 5: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

9Modelos Multivariantes

Independencia

P(X=i, Y=j) = P( X= i ) × P( Y= j )

�������

1 2 3 4 5 6

1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

���

� ��

Las variables aleatorias ��son independientes si y sólo si

10Modelos Multivariantes

Variables aleatorias continuas

�#!"0���,!�

#�&!� �����������!�#�$�������������

������

���

��������� ����

��

� ��� �=≤≤≤≤

�����1

��������

=

∀≥

� �∞

∞−

∞−�������

�����

��

��

Page 6: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

11Modelos Multivariantes

Variables aleatorias continuas

� Función de distribución

� Funciones de densidad marginales

� �∞− ∞−=

� ����� ���������� ������

�∞

∞−

∞−

=

=

�������

�������

���

���

�����

�����

12Modelos Multivariantes

Las variables aleatorias X, Y tienen como función de densidad conjunta

������2��� 1 <<<<= ���������

1 1 3

� �

1

� �1

� �

�1

�1 1

�� � � � 2

1� � �� 2

�2

4

3� *��+������

� � 2 1 � � �

� � 2 3 � � �

� �

� �

� � � � � �� ���� � �

� � � �� ����

�� ����

� � �� �� � �

� � �� �� � �

+ ≤

≤ ≤ = =

+ ≤ =

= =

= = < <

= = < <

� �

��

� �

)�(��5�

Page 7: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

13Modelos Multivariantes

Independencia

����$�������� �����0������������� ������������������

�������������

��

���� =

��

��

<<=

<<=

�<<<<=

���3��

���1��

������2�����1

1

����

����

�������

��

6��0����� ��

��

��

<<−==

<<==�≤≤≤=

�����+��

��

�����

�����

�����1

�����

��

����

����

����

��

��

��

7����0����� ���

�� �

14Modelos Multivariantes

Funciones de densidad

condicionadas

.

.

� � �� . � � #!��� � � �

� �

� � �� . � � #!��� � � �

� �

��� � �

��� � �

� � �� � � � �

� �

� � �� � � � �

� �

= >

= >

Page 8: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

15Modelos Multivariantes

Independencia -II

1

1

1

. 1

� � 1 � � �

�� � � � 2 � � �� � �

� � 3 � � �

2� . � 1 � � �

3

��

� �

� � � �

� � � �� � �

� � � �

��� � � � �

= < <��

= < < < < � �� = < <�

= = < <

6��0����� ��

���

���

����

���

�����

��

����

����

����

��

��

��

��

≤≤=

≤≤−=

��

��

<<−==

<<==�≤≤≤=

���

�.�

����+�

��.�

�����+��

��

�����

�����

�����1

.

.

7����0����� ��

16Modelos Multivariantes

Independencia -III

���������

���������

��

���

���

=

=

.

.

����$�������� �����0������������� ������������������

.

.

Page 9: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

17Modelos Multivariantes

Ejemplo

���

>+

≤+=

111

111

��

����

���

��� ���

������

���

�������

��

��

≤≤−−=

=

=

=

−+

−−

∞−

�1

������1

��

��

11

1

1

1

11

11

π

π

π

18Modelos Multivariantes

Ejemplo (cont.)

1111

11.

11

1

1

�1

��

����.��8

�1

������3

11

11

���������

������

������

���

�������

���

��

��

−≤≤−−−

==

≤≤−−=

=

=

�−+

−−

∞−

π

π

����� ���������

Page 10: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

19Modelos Multivariantes

Independencia

����$�������� �����0������������� ������������������

�������������

��

���� =

��

��

<<=

<<=

�<<<<=

���3��

���1��

������2�����1

1

����

����

�������

��

6��0����� ��

��

��

≤≤−−=

≤≤−−=

���

��

>+

≤+=

������

��

������

��

���

�������

�1

��

�1

��

��

��

����1

11

1

11

1

111

111

1

π

ππ

7�6��0����� ��

20Modelos Multivariantes

Esperanza de g(X,Y)

� �

� �

∞−

∞−

∞=

−∞=

∞=

−∞=

=

===

������������������

���

���

����������������

���

���

��

������

�#"�����!�#�$����������0������

����������#� ��!�������� �����������������������

������

�#"�����!�#�$����������0������

������������#�� �������� �����������������������

Page 11: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

21Modelos Multivariantes

Propiedades de E[g(X,Y)]

( )

9:;<9:=<;<9:=

�9&�"0�

�<�:�<�:

��������

����������

������

���

#!"0��������;�+�=����

1�

1�

1�

1�

1�1�

1�

+=+

+=

+=

�� +�

�� =

+=

+=+

+=

��

� �� �

� �� �

� �

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

������

������������

������������������

����������������������

��������������������������

�������

��

����

����

��

22Modelos Multivariantes

Covarianza

( )

����������

���������������

������������������

�������

��

��

��

��

==

−−=

−−=

� �∞

∞−

∞−

y donde

:como define se y

por denota se , aleatorias variables dos de covarianza La

�� ==−−=

−−=

� �������

��

�������������

������������������

���

:discretas son sv.a' las Si

Page 12: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

23Modelos Multivariantes

Propiedades de la covarianza

��������

> ������������� ��������

>!����"���!�����"!�����"#�������

���#������������!���"����������0����#������������ ���

������������������������������������������������ ��

����������

( )

( )

( ) ���

��

=−−=

−−=

−−=

� �

� �

� �

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

����������������

����������������

����������������������

����

����

��

24Modelos Multivariantes

Medias y Matriz de Varianzas

��

���

=

��

���

=

��

���

=

1

1

<:

������������*� ���

<:

"������?�# ��

@����� ��?�# ��

���

���

$!��

$�

σσ

σσ

µ

µ

�� ���������������� �����#���!�#�$����������#�&!� ��

�����

���

<:<�:���

<:<�:���

1

1

�����

�!�������

�!�������

��

���

���

=

==→

==→

σ

σµ

σµ

Page 13: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

25Modelos Multivariantes

Correlación

�����

���

#"������ ����

��������������� �����#�����#�$����#���#��� ���������

�!���!��

���������

��

ρ

��������

> 5��≤ ρ����≤ A�

> ���� ��� ������0����� ������ �#������%�

> ���"��⇔ ρ�����&��'%��ρ����� &��(%�

26Modelos Multivariantes

n variables aleatorias

������ )� �����1�

'����B�#���#C�#!����0�������������!���!#���������

,!���� �����+�������������������� �����=���=1�������=�����

0��#���#�#�������� ���!#�$����0���������#�&!� ��

��������������������#� ��!�������"0��������!�#�$����

������#�&!� �

�����

�����

=

)�

1

)

� � �

))

)

�*�*�****�����

����

) )

�� 1�1�1�

1�

� �

����������������

����������#�&!� �$���� ���!#����!�#�$�������

� � �∞− ∞− ∞−

= ��

Page 14: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

27Modelos Multivariantes

Vector de variables aleatorias

)

� � �

))

)

)

)

�*�*�****�����

����

����

)���

) )

�� 1�1�1�

1�

1�

1�

� �

����������������

����������#�&!� �$���� ���!#����!�#�$�����0���

����������#�&!� ����������!�#�$���!�

0�����#���# �����������#�&!� ���0���������$���� ���!#��!�

#� ��!��������������# ���%�&!� ��������

� � �∞− ∞− ∞−

=

→=

��

28Modelos Multivariantes

Distribuciones marginales

))��

��

)

������������

��

)���

�� 1�1�

1�

����������

������=���"��+�������������!�#�$�����

#� ��!��������������# ���%�&!� ��������

� � �∞

∞−

∞−

∞−=

→=

D���"������

))����

������

�������������

�����

�� 1�1� �����������

�����������"��+�������������!�#�$�����

� � �∞

∞−

∞−

∞−= �

D���"������� ��

Page 15: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

29Modelos Multivariantes

Esperanza

1�1��11�

1�1�1�1�

1�1�

1�1�1�

1�

������

������������<��:

��

��������<:

��"� ������C#���9�

�����������������<�:

���������+����9�0������

����������

�����������������

�����

�������������

����������������

����

))

����

))��

)))

)

� �

� � �

� � �

� � �

∞∞−

∞∞−

∞∞−

∞∞−

∞∞−

∞∞−

∞∞−

∞∞−

∞∞−

∞∞−

∞∞−

∞∞−

=

=

=

=

=

=

��

��

��

��

30Modelos Multivariantes

Vector de Medias y Matriz de

Varianzas

��

���

≠=

=→

�����

�����

=

��

��

=

=

=

�����

�����

=

→=

�������

�!��!��

��

��

��

)���

����

��

)))

)

)

)))

+

)

σ

σ

σσσ

σσσ

σσσ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

���

��<:

<:

<:

<:

<:

���� ��������������?�# �����������

1

1

1�

1

1

1�1

��1

1

11

��

1

1�

����

��

Page 16: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

31Modelos Multivariantes

Independencia

������

����$������

�� �����0������������������ ������������������

11��1�

1�

������������������

���

)))

)

�=

32Modelos Multivariantes

Transformaciones Lineales

))

))

+

)

+

)

������

�������

)���

)���

µµµ +++==

=+++=

→=

→=

11��

11��

1�

1�

<:<:

#�� �� �����?�# �����������

���� �����������������?�# �����������

��

��

( )

�����

�����

�����

�����

==

))))

)

)

)

���!���!���

����

�1

1

1�

1

1

1�1

��1

1

1�<:<:

σσσ

σσσ

σσσ

����

Page 17: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

33Modelos Multivariantes

Transformaciones Lineales

Caso General

�����

�����

�����

�����

�����

�����

=

=

=→=

�����

�����

�����

�����

=

�����

�����

×→

�����

�����

=

→=

,)))

,

,

)))

)

)

,),,

)

)

+

),),,

)

)

,

,),,

)

)

+

)

���

���

���

���

���

���

!���!��

���

���

���

���

),

���

���

���

)���

����

����

����

����

����

1�

111�1

�1���

1

1�

1

1

1�1

��1

1

1�

1111�

��1��

1

1�

1111�

��1��

1

1�

1111�

��1��

1�

<:<:

<:<:

#�� �� ������*� ���

���� �����������������?�# �����������

σσσ

σσσ

σσσ

���

����

34Modelos Multivariantes

Transformaciones Lineales

(Independencia)

( )

111

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1�

11��

1�

1�

��

��

��

<:

#�� �� �����?�# �����������

� �����0��������� �����������������?�# �����������

))

))

)

))

+

)

+

)

���

����!��

�������

)���

)���

σσσ

σ

σ

σ

+++=

�����

�����

�����

�����

=

+++=

→=

→=

����

Page 18: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

35Modelos Multivariantes

Ejemplo:

%��#!�������"������������������������!"�����1�����������

���� ��������0����� ���#���� ���!#�$��!����"����������

�<:<:

2<:<:

����

�1/�<:

1/�<:

������

�1

�1

�11�

�1

1

=

=

==

==

+++=

��

��

==

=

�����

�����

=

��

$!���!��

$���

$$$�

$$���

$!��

$�

$)����,-$

$

$

$

$

36Modelos Multivariantes

Ejemplo

Se dispone de n sobres con sus correspondientes cartas. Se extraen las cartas de los sobres, se sortean y se vuelven a introducir de forma aleatoria cada una en un sobre. ¿Cuál es el número esperado de cartas que coinciden con su sobre inicial?

�����

<:<:<:<:

���#���������!�#���#��#�����#�� ������������

���#���������!�#���#��#�����#�� ������������

���#��#���#���7E"���

1�

1�

=+++=

+++=

���

=

+++=≡

)))

��������

��

�����

)

)

��

Page 19: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

37Modelos Multivariantes

Ejemplo

� Un proceso fabrica una proporción p de tornillos defectuosos. Se define X como la variable “número de tornillos extraídos del proceso hasta que aparecen r defectuosos”. Se pide E[X] y Var[X].

����

<:<:<:<:

<:<:<:<:

/���<:

/�<�

11�

1

1

1

1

.

.��!���!���!���!��

.

��������

..�!��

.�

��

��

−=+++=

=+++=

���

−=

=

+++=

1

i

1

X

E[X geométrica aleatoria variable

XX

defectuoso ésimo-i el aparece que hasta extraídos tornillos de Número

defectuoso 2º el aparece que hasta extraídos tornillos de Número

defectuoso primer el aparece que hasta extraídos tornillos de Número

�����

�����

38Modelos Multivariantes

Media de n variables

aleatorias independientes

��

��

=

=

�+++

=

∀=∀=

��

��

+++=

+++=

+++=

→=

)�!��

��

)

����

��!����������

)

�!���!���!���!��

)

��������

)

����

)���

)

��

)

)

)

+)

11�

1

11�

1�

1�

1�

<:

<:

<:<:<:<:

<:<:<:<:

���������

σ

µ

σ

varianza y media misma la tienen variables las Si

ntesindependie aleatorias variables de Vector�

Page 20: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

39Modelos Multivariantes

Teorema Central del Límite

�� C�������"�������$���� ���!#����!�#�$��������

1

�� �

�/�����

���/

9� �#�����������������"�����

��0���������$���� ���!#��"��"����#���� �����0����

����� �������������������#!��#���!�������

1/

1�

1

1�

1

� ∞−−

∞→

+++=

∞<<∞−Φ=�

��

∞<

* �

)

)

)

��-

)����

***)

��/�,

000���

π

σ

µ

σµ

40Modelos Multivariantes

Teorema Central del Límite

:(aprox.) Entonces

varianza

y media de adprobabilid de óndistribuci misma la con

ntes,independie aleatorias variables Sea

2 �

1�

∞<σ

µ

)000���

���1

)1�

σµ→

Page 21: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

41Modelos Multivariantes

)

5��1 � ��1 ��8 ��2 ��- � ��1

��4

��4

*����(���4

?���(����-

5��1 � ��1 ��8 ��2 ��- � ��1

1

3

8

4

*����(���4

?���(����-/����

��1� ����

+++=

��

42Modelos Multivariantes

Binomial-Poisson-Normal

F��"����

���

'�������

λλλλ

7�"������

µµµµ�σσσσ

�� →∞→ .)

).=λ

λσ

λµ

λ

=

=

∞→

���

1/�

.).

).

.

)

−=

=

∞→

σ

µ

Page 22: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

43Modelos Multivariantes

Aproximación Binomial-Normal

n=25, p=1/2

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

44Modelos Multivariantes

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

� 4 �� �4 1� 14 3� 34 8� 84 4�

Aproximación Binomial-Normal n = 50, p=0.5

Page 23: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

45Modelos Multivariantes

7�"�����'�=�≤ ���4�

F��"�������'�=�≤ ���

Corrección por continuidad

46Modelos Multivariantes

Corrección por continuidad

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

F��"�����������'�=�≤ ���

7�"����������'�=�≤ ���4�

Page 24: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

47Modelos Multivariantes

���B�� "��!���"!�� �����84�0��������!��0�#���,!�������#��

!��0�"�����14G���0�������!��������0�#���#�#�$��

�3 31

��H%!C��������0�����������,!��������"!�� ���B�����)�# �"�� ��

�3����"�� �����# !��I

%C�#!���)�# �� F��"��� 84 � 14

84�3 � 14 � J4 � ���

�3

�0�)�"�#�$��7�"���� �� 14 1

� �) . 0 �

��� � 0 0 0

� 1� 0 0

→ = =

= = =� �

→ K

�3 �1 4 �3 4 � ��81

1��H%!C��������0�����������,!�����"!�� ���#� ��+��

�3��"C��0���������# !���I

� �3 �3 �8 84 � 314

�1 4 �� 14� �1 4 � � � � 83�� �

1 K

��� � �� 0 � 0 � 0

� ��� � ��� � ��� � ��� � 0

0 02 ��� 0 � 3 � 3� 0 � 0

0

= = ≤ ≤ =

≥ = = + = + + = =

≥ = = − =

333

48Modelos Multivariantes

Aplicación a Control de Recepción

Page 25: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

49Modelos Multivariantes

Plan de muestreo simple por atributos

Una compañía recibe lotes con un gran número de piezas.

Según el contrato cada lote debe tener como máximo una proporción de piezas defectuosas igual pA (AQL).

Un plan de muestreo simple por atributos consiste en

determinar

n: número de piezas muestreadas

c: número máximo de piezas defectuosas en

la muestra

De forma que si X es el número de piezas defectuosas en la

muestra se aplica la siguiente regla:

x ≤ c se acepta el lote

x > c se rechaza el lote

50Modelos Multivariantes

Riesgos del vendedor y comprador

� Riesgo del vendedor: Probabilidad de rechazar un lote bueno (con porcentaje de defectuosas igual al pA (AQL))

α=P( X > c| p = pA).

� Riesgo del comprador: Probabilidad de aceptar un lote malo (con un porcentaje de defectuosas pR>> pA)

β = P( X≤ c| p = pR).

Page 26: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

51Modelos Multivariantes

Planteamiento del problema

4�-5*��

6�*-

)

�2+7�8

.2�296α8:�-5���-)�-���

.:�:96β8:�-5�� �,.�����

7;<�+=!78

)8*�,�>�,�-5*��/

8,?��,��-�- *��5�5

52Modelos Multivariantes

Ecuación del vendedor

����%�#�

��

�������

���

����������F��"����

���"!�� ���!����������# !���0��������7E"���

� ������������# !���0��������'�0�#�$��

22

2

22

2

22

22

2

.).

). @

@A�

.).

).

.).

).����. �.���B

..

.).).1.)�

)�

.

−=�

≥=

−>

−==>=

=

−≈→

α

α

α

%

1�%&�

α

@& α

Page 27: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

53Modelos Multivariantes

Ecuación del comprador

����%�#�

��

�������

����

::

:

::

:

::

::

:

.).

). @

@A�

.).

).

.).

).����. �.���

..

−=�

≤=

−≤

−==≤=

=

β

β

β

β

1�����β

@β �

54Modelos Multivariantes

Valores de n y c

��� ::

:

.).

). @

−=β

����

22

2

.).

). @

−=−α

���

������

1

222

2:

::22

.).@).

..

..@..@)

−+=

��

��

−−−=

α

βα

Page 28: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

55Modelos Multivariantes

).2

).:

α

β

2 -.*��6�*- :- C�@��6�*-

6�*-;�-)�

.�.2

'�����������

�#�0 ���!��� ��

�!��

6�*-4�/�

.�.:

'�����������

��#B�����!��� ��

"��

56Modelos Multivariantes

Ejemplo: plan de muestreo

����L��� !�� 0���� �� "!�� ��� 0���� � ��� �� ������

!������ #�� !�� �M�� �+!��� ��� ���1�� �M�� �+!��� ��

���-�� ����+� �� #"0���� �� ����� �� ��� � ������

�+!���������4�

8K-���1��K324���1��K3

K3�1���-��

K1���-��1-��K-���1��24��

1-����������28����4���'���

1

5�

≈××+×=

≈��

���

×+×=

−=�==�=

)

βα βα

Page 29: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

57Modelos Multivariantes

Distribución normal multivariante

�0�� �������"��������*� ���

��������

��������

����1

��)0

�1�

���������

<:@<:@

1�

1�

1/�1/1�

1

1�

1

1

1�1

��1

1

1

1

))

���

4����

�!����

)+

)

)+

)

+

))

)))

)

)

))

×∈

ℜ∈=

ℜ∈=

���

���

−−−=

�����

�����

==

�����

�����

==

�����

�����

=

µµµµ

µµπ

σσσ

σσσ

σσσ

µ

µ

µ

µ

����

��

58Modelos Multivariantes

Distribución normal bivariante

��

�����

���

���

−��

���

−−

��

��

��

��

���

−+��

���

−−

−=

�����

�����

−=−=

��

��

=�

��

=

ℜ∈=

ℜ∈=

���

���

��

���

−−−−=

1

11

��

1

1

11

1

��11

1�

1�

111�

1�1�

1

111

1�

111�

1�1�

11�1

�11�

11�

11�

11

���11��1/�1�

1

���1

��)0

�1

����

���

�����

@���

���

��1

��)0

1

����

σ

µ

σ

µρ

σ

µ

σ

µ

ρρσπσ

σσσ

ρσσ

ρ

σ

ρρσσ

σσρσ

σρσσ

σσ

σσ

µµµ

µ

µµµ

π

��

�����

��

���

4���

+

+

!��

Page 30: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

59Modelos Multivariantes

60Modelos Multivariantes

-2 0 2

-2

0

2

rho= 0

-2 0 2

-2

0

2

rho= 0.5

-2 0 2

-2

0

2

rho= 0.9

-2 0 2

-2

0

2

rho= -0.2

-2 0 2

-2

0

2

rho= -0.5

-2 0 2

-2

0

2

rho= -0.9

Page 31: 4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables ...

61Modelos Multivariantes

Propiedades

� Las dist. marginales son normales N(µi,

σi).

� Las dist. condicionadas son normales.

� ρ=0 ⇔ Las variables son independientes

� Transformaciones lineales:

Y = AX

X es N(µµµµ, M) � Y es N(A µµµµ, AMAT)

62Modelos Multivariantes

Ejemplo

( )2��

�2

�2

��

���

��

2������<:

�3�1���<:

I��H

��

8��

���

���

������������"� ������3���1��������"����������� ���"�����"����=�=��=�������

31�31�

31�

31�

31�

31�

Φ−=

≥−

=

≥=

≥−+=+≥+

��

��

=++=

=−+=

→−+=

+≥+

���

���

=

��

��

������������

�!���!���!���!��

��

1��,�/����

������