4 Series de Tiempo Presentation_COMPLETA

ContenidoMotivacion

Vectores Autorregresivos (VAR)Priors

Series de Tiempo I

Alvaro J. Riascos VillegasUniversidad de los Andes y Quantil

Febrero de 2012

Metodos Bayesianos - Banco de Guatemala Alvaro Riascos

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1 Motivacion

2 Vectores Autorregresivos (VAR)

3 Priors


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Motivacion

Algunos problemas de interes en macroeconoma requieren depronosticar variables economicas.

Para esto resulta valiosos contar con la mayor cantidad deinformacion disponible (series de tiempo).

Modelos tradicionales que han resultado ser utilies pararealizar pronosticos y son a la vez bastante flexibles son losmodelo de vectores autorregresivos.

Al utilizar muchas variables se corre el riesgo de sobreparametrizar y es necesario reducir la incertidumbre de losparametros (shrink).


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Vamos a discutir modelos VAR Bayesianos con diferentespriors.

1 No informativa.2 Natural conjugada.3 Minnesota.4 Independinte Normal - Wishart.

Modelos lineales de esapcio estado (un caso particular siendolos modelos con parametros cambiantes TV-VARS)

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VAR

Un VAR es un proceso estocastico multivariado Yt (Kdimensional) tal que:

Yt = + A1Yt1 + ...+ ApYtp + t (1)

que se puede expresar de forma equivalente como:

yt = (IK Z ) + t (2)

donde yt es la vectorizacion de Y , Z es una matriz K T ,t = N(0, IT ) y es el producto directo o producto deKronecker de dos matrices.


VAR

Dadas dos matrices A,B (sin importar las dimensiones) elproducto de Kronecker se define como:

A B = C (3)Cij = aijB (4)

Observese que Cij es una matriz.

La distribucion muestral es: p(yt |,)La funcion de verosimilitud se puede expresar como elproducto de dos.

1 La condicional de dado y y es normal.2 La condicional de 1 dado y es Wishart.

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Cuatro ideas para evaluar la conveniencia de los priors.

1 Los VARs son modelos que tpicamente utilizan muchosparametros. Las distribuciones iniciales sirven para imponerrestriciones flexibles en forma de distribuciones.

2 Algunos priors permiten obtener distribuciones posteriores deforma analitica y disminuir el peso computacional de ejercicioscomo estimadores puntuales o pronosticos.

3 Pueden evaluarse con respecto a la flexibilidad que lepermiten a los parametros del modelo: parametros que varianen el tiempo, correlaciones entre variables, etc.

4 Demanda computacional. Por ejemplo, si el interes es hacerpronosticos recursivos el esfuerzo computacional es grande.


Priors

Vamos a considerar cuatro tipos de distribuciones iniciales.

1 Minnesota.

2 No informativa.

3 Natural conjugada.

4 Independiente Normal - Wishart.

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Prior natural conjugadaPrior no informativa

Prior Normal - Wishart independientePronosticos y analisis de impulso respuesta

Modelos de Espacio Estado

Series de Tiempo II

Alvaro J. Riascos VillegasUniversidad de los Andes y Quantil

Febrero de 2012


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1 Minnesota

2 Prior natural conjugada

3 Prior no informativa

4 Prior Normal - Wishart independiente

5 Pronosticos y analisis de impulso respuesta

6 Modelos de Espacio Estado


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Minnesota

La prior de Minnesota consiste en una simplificacion sustancialdel problema motivada por su simplicidad pero nocompletamente fiel al espritu Bayesiano.

En esta se sustituye la matriz varianza - covarianza por unestimador putual. Por ejemplo el estimador clasico.

En ese caso basta con definir una prior para . Por ejemplo:

N(M0 ,VM0 ) (1)


Minnesota

Para determinar la media de la prior recordemos que lasvariables explicativas contienen una constante, rezagos de lavariable dependiente y posiblemente otras variables exogenas.

Si las variables estan en tasas de crecimiento y se sospechauna perisitencia baja, lo natural es hacer cero la media de laprior.

Si la prior es en niveles es natural poner en uno la prior en losrezagos de la variable dependiende sugiriendo caminatasaleatorias en niveles.

Minnesota

La matriz de varianza covarianza tpicamente se suponediagonal (vease pagina 7 de Koops y Korobilis).

La gran ventaja de esta prior es que la posterior es normal:

p( |y) N(M ,VM) (2)

donde existen exiten formulas explcitas para la media yvarianza covarianza posterior.

En cualquier caso desonocer que la matriz de varianzacovarianza es una variable aleatoria es una sobre simplificacionde esta escogencia.

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Prior natural conjugada

La prior natural conjugada (sobre todos los parametros) se definecomo:

1 La condicional de dado es normal.

2 La prior de 1 es Wishart.

La posterior tiene la misma estructura.

1 La posterior condicional de dado y y es normal.

2 La posterior condicional de 1 dado y es Wishart.

Para este modelo se puede demostrar que la distribucion predictivaun paso adelante es t. Para un horzionte mas largo se desconoceuna forma analtica.


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Prior no informativa

La prior no informativa se escoge seleccionando de forma adecuadalos hiperparamteros de la prior natural conjugada.

El procedimiento es completamente analogo al caso de la prior noinformativa en el modelo normal gamma.

El resultado e usar la prior no informativa es que otenemosactualizaciones de los parametros que coinciden con losestimadores clasicos.

En este sentido no hay un shrinkage que mitigue el problema desobre parametrizacion del modelo VAR.


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Prior Normal - Wishart independiente

A diferencia del caso de la prior conjugada donde se usa unadistribucion condicional normal para los parametros , en este casose supone los parametros y son independientes siendo normaly Wishart (1).

De la misma forma que la el modelo de regresion lineal con priornormal - gamma indpendiente, la posterior no es facil de simular yes necesario apelar metodo de muestroe de Gibbs.


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Pronosticos y analisis de impulso respuesta

Consideramos dos formas de evaluar pronosticos. MSFE yevaluacion de la distribucion pronosticadas. En ambos casos seusan pronosticos recursivos.

MSFE es el tradicional usando pronosticos puntuales.

Para el segundo caso se evalua el valor de la distribucion predictivaen el valor observado. Una medida de rendimiento es entonces lasuma del logaritmo del valor de la densidad predictiva en el valorobservado (condicional a los datos).



bayesian vars.pdf

seen that for this empirical example, which involves a moderately large dataset, the prior is having relatively little impact. That is, predictive means andstandard deviations are similar for all six priors, although it can be seen that thepredictive standard deviations with the Minnesota prior do tend to be slightlysmaller than the other priors.

Table 3. Predictive mean of yT+1 (st. dev. in parentheses)PRIOR T+1 uT+1 rT+1

Noninformative3.105(0.315)

4.610(0.318)

4.382(0.776)

Minnesota3.124(0.302)

4.628(0.319)

4.350(0.741)

Natural conjugate3.106(0.313)

4.611(0.314)

4.380(0.748)

Indep. Normal-Wishart3.110(0.322)

4.622(0.324)

4.315(0.780)

SSVS - VAR3.097(0.323)

4.641(0.323)

4.281(0.787)

SSVS3.108(0.304)

4.639(0.317)

4.278(0.785)

True value, yT+1 3.275 4.700 4.600

Figures 2 and 3 present impulse responses of all three of our variables to allthree of the shocks for two of the priors: the noninformative one and the SSVSprior. In these gures the posterior median is the solid line and the dotted linesare the 10th and 90th percentiles. These impulse responses all have sensibleshapes, similar to those found by other authors. The two priors are givingsimilar results, but a careful examination of them do reveal some dierences.Especially at longer horizons, there is evidence that SSVS leads to slightly moreprecise inferences (evidenced by a narrower band between the 10th and 90th

percentiles) due to the shrinkage it provides.

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likelihooh bayesian vars.pdfTable 4: MSFEs as Proportion of Random walk MSFEsSums of log predictive likelihoods in parenthesesVariable Minnesota Prior SSVS Prior SSVS+Minnesota

M = 3 M = 20 M = 3 M = 20 M = 3 M = 20Forecast Horizon of One Quarter

GDP0:650(206:4)

0:552(192:3)

0:606(198:40)

0:641(205:1)

0:698(204:7)

0:647(203:9)

CPI0:347(201:2)

0:303(195:9)

0:320(193:9)

0:316(196:5)

0:325(191:5)

0:291(187:6)

FFR0:619(238:4)

0:514(229:1)

0:844(252:4)

0:579(237:2)

0:744(252:7)

0:543(228:9)

Forecast Horizon of One Year

GDP0:744(220:6)

0:609(214:7)

0:615(207:8)

0:754(293:2)

0:844(221:6)

0:667(219:0)

CPI0:525(209:5)

0:522(219:4)

0:501(208:3)

0:772(276:4)

0:468(194:4)

0:489(201:6)

FFR0:668(243:3)

0:587(249:6)

0:527(231:2)

0:881(268:1)

0:618(228:8)

0:518(233:7)

3 Bayesian State Space Modeling and Stochas-tic Volatility

3.1 Introduction and Notation

In the section on Bayesian VAR modeling, we showed that the (possibly re-stricted) VAR could be written as:

yt = Zt + "

for appropriate denitions of Zt and . In many macroeconomic applications,it is undesirable to assume to be constant, but it is sensible to assume that evolves gradually over time. A standard version of the TVP-VAR which will bediscussed in the next section extends the VAR to:

yt = Ztt + "t,

where

t+1 = t + ut:

Thus, the VAR coe cients are allowed to vary gradually over time. This is astate space model.Furthermore, previously we assumed "t to be i.i.d. N (0;) and, thus, the

model was homoskedastic. In empirical macroeconomics, it is often importantto allow for the error covariance matrix to change over time (e.g. due to theGreat Moderation of the business cycle) and, in such cases, it is desirable to

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response bayesian vars.pdf

Figure 2: Posterior of impulse responses - Noninformative prior.

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Considere el siguiente modelo:

yt = Xt + Ztt + t (3)

t+1 = Ttt + t (4)

donde: X es 1 k, Z es 1 p, Tt es 1 T , t iid N(0, h1) yt iid N(0,H1). X ,Z ,T son conocidos pero el modelo se puedeextender facilmente al caso en el que T es desconocido.

se llama la variable de estado y su dinamica se denominaecuacion de estado. y es la variable de observacion y su ecuacionse denomina la ecuacion observacion.

Muchos modelos de series de tiempo se pueden representar de estaforma.



Observese que si los parametros t son conocidos entonces elmodelo se puede representar como:

y = Xt + t (5)

donde yt Xt.Esto reduce el modelo a uno de regresion lineal estandar y sugieroel algoritmo de Gibbs para simular la posterior ya que si definimosuna distribucion para p(1, ..., T |y , , h,H) bastara conespecificar p(, h,H |y , 1, ..., T ) y basicamente se podra apelara la teora del caso de regresion lineal.


Especficamente supongamos que las priors son independientes, es normal, h es normal gamma, H es Wishart y la distribucion dep(1, ..., T |y , , h,H) la determina la ecuacion de estado.Entonces:

p(, h,H, 1, ..., T ) = p()p(h)p(H)p(1, ..., T |H) (6)

La prior de los parametros alpha se determina de forma jerarquicausando la dinamica de las variables de estado:

p(1, ..., T |H) = p(1 |H) p(2 |1,H) ... (7)

donde p(t+1 |t ,H) es normal y p(1 |H) es normal.

4 series de tiempo presentationMotivacinVectores Autorregresivos (VAR)Priors

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