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ANÁLISIS DEL RENDIMIENTO DE UNA MUESTRA DE ALUMNOS DE LA ETSI DE LA US

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4.METODOLOGÍA DE APLICACIÓN

ntes de tratar de evaluar cualquier tipo de eficiencia, se deben tener claro algunos conceptos

básicos y definiciones, fundamentales para la explicación y comprensión de los modelos a

estudiar.

4.1. Conceptos básicos

4.1.1. Unidad productiva

Una unidad productiva es cualquier tipo de organización, empresa, departamento, escuela, hospital,

proceso productivo, etc., que, a partir de ciertas entradas o recursos, generan y producen ciertas salidas

o productos, con la capacidad y posibilidad de poder modificar tanto las entradas como las salidas.

Figura 4-1. Unidad productiva

Fuente: Elaboración propia

Esto último resulta de gran importancia, ya que evaluar la productividad de una unidad productiva es

útil cuando esta puede decidir o responder ante los resultados obtenidos. Es por ello que a la unidad

productiva se le conoce como “Decision Making Unit” (DMU).

4.1.2. Productividad

La productividad de una determinada unidad productiva se define como la relación existente entre los

resultados que obtiene y los recursos involucrados en su producción. La expresión matemática

introducida por Farrell (1957) reduce la definición al siguiente cociente:

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 =𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎

𝑅𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜=

𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 (4.1)

A

DMU

4. METODOLOGÍA DE APLICACIÓN

28

donde salida y entrada hacen referencia respectivamente al resultado obtenido y al recurso utilizado.

En la realidad, se pueden encontrar multitud de casos en donde son varios los resultados a obtener y

también varios los recursos que posibilitan la obtención de dichos resultados. Es aquí donde aparecen

algunas dificultades a la hora de evaluar la productividad. (Villa Caro. G. 2003)

Para solucionar el problema de agrupar recursos y resultados de distinta naturaleza, aparecen los

conceptos de entrada y salida virtual, es decir, la agregación de las salidas y entradas escaladas

mediante un peso para que el resultado sea adimensional y por tanto independiente de la escala

utilizada.

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 =𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠

𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 (4.2)

Por lo tanto, se denota como xij a la cantidad de entrada o recurso ‘i’ utilizado por la unidad ‘j’, y como

ykj a la cantidad de salida o resultado ‘k’ que produce la misma unidad, se obtiene la expresión:

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑗 = ∑ 𝑢𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗𝑚𝑖=1 (4.3)

𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑗 = ∑ 𝑣𝑘𝑗 𝑦𝑘𝑗𝑠𝑘=1 (4.4)

Donde los términos uij y vkj son respectivamente los pesos correspondientes a la entrada y a la salida,

m el número total de entradas consideradas y s el número de salidas de la unidad. Con estos nuevos

conceptos se define la productividad como:

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑗 =∑ 𝑣𝑘𝑗 𝑦𝑘𝑗𝑠

𝑘=1

∑ 𝑢𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗𝑚𝑖=1

(4.5)

Pero lo interesante, no es medir la productividad sino tener algún índice que nos permita comparar

unas unidades productivas con otras similares, y para eso se determina la eficiencia.

4.1.3. Eficiencias

Se puede abarcar el concepto de eficiencia desde una perspectiva macro o microeconómica. La

relevante, en este caso, es la segunda ya que se están analizando comportamientos de unidades

productivas. La idea que subyace en el término eficiencia económica es que no exista desperdicio. Se

distingue habitualmente entre eficiencia relativa y otras eficiencias. Se hará hincapié en la primera,

pues será la que se tratará de medir en esta aplicación empírica, y simplemente se mencionarán,

someramente, las demás.

La eficiencia relativa es el concepto de eficiencia más usado habitualmente. Se logra si se alcanza el


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coste mínimo de obtener un nivel dado de producción o servicio, con una combinación concreta de

factores de producción (orientación input). El punto esencial, y que la distingue de otras eficiencias es

que se parte de una proporción concreta de factores cuyo coste se minimiza o cuya producción se

maximiza. Es un concepto tecnológico que se concentra básicamente en los procesos productivos y

en la organización de tareas.

𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐽 =𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐽

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑎𝑥=

𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙 𝐽

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙 𝐽𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑥

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑥

(4.6)

donde el subíndice "J" indica la unidad que se estudia, y el subíndice "max" la unidad de máxima

productividad. Se pueden distinguir varios tipos de eficiencias relativas en función de la unidad de

referencia que se utilice:

Eficiencia global: para el cálculo de esta eficiencia, se escoge como unidad de referencia la

de mayor productividad de entre las que están en estudio.

Eficiencia técnica: se utiliza cuando se elige como unidad de referencia la de mayor

productividad de entre las unidades de su tamaño.

Eficiencia de escala: se define como el cociente entre la eficiencia global y la eficiencia

técnica.

Como se observa en la definición, la eficiencia relativa de cualquier DMU será menor o igual a la

unidad. Aquella DMU cuya eficiencia relativa sea igual a la unidad recibe el nombre de eficiente; en

caso contrario, la DMU recibe el nombre de ineficiente.

Si la eficiencia de escala es igual a la unidad, la relativa y la global coinciden. Lo que quiere decir que

la eficiencia de la unidad que se evalúa es de mismo tamaño que la unidad de mayor productividad.

Por este motivo se dice que dicha unidad tiene el tamaño de escala más productivo (MPSS).

Una vez aclarado qué tipo de eficiencia es la que se quiere estudiar, el siguiente paso consiste en

medirla. Se considera el trabajo de Farrell (1957) como el punto de partida de los intentos de medición

de la eficiencia.

La metodología para la medición de la eficiencia se puede clasificar en primer lugar entre aquellas

técnicas que no emplean función de producción frontera (índice de productividad parcial, índice de

productividad global y los modelos econométricos) y las que sí que realizan análisis de frontera

(García Valderrama y Calzado, 1996, pág.197). El presente estudio emplea la metodología DEA que

se engloba en los modelos de análisis de frontera, una clasificación de los mismos puede verse en la

figura 4-2.


30

Figura 4-2. Métodos de análisis de frontera.

Fuente: Albi; Glez-Páramo, J.M y López Casasnova (1997)

4.2. Introducción a la técnica DEA

La metodología del Análisis por Envoltura de Datos (DEA, siglas de la traducción anglosajona) surge

a raíz de la tesis doctoral de Rhodes (1978), y puede considerarse como una extensión del trabajo de

Farrell1 (1957). En 1978, A. Charnes, W. Cooper y E. Rhodes, desarrollan y aplican por primera vez

esta técnica para el análisis de la eficiencia del programa de educación “Follow-Through”2 de las

escuelas públicas de los Estados Unidos. El programa fue un experimento desarrollado entre 1968 y

1977 y financiado por el gobierno norteamericano, fue el experimento más grande y caro de la

educación, realizado para estudiantes desfavorecidos acogidos en las escuelas públicas

estadounidenses.

Este método seguía principalmente los conceptos básicos de eficiencia de Farrell (1957), buscando

una generalización de los estudios y los métodos desarrollados por él, puesto que solo utilizó el método

de optimización de la programación matemática de entrada y salida simple y única.

Por lo tanto, DEA nace como una técnica para evaluar la eficiencia de una serie de elementos,

denominados Unidades Productivas (DMUs), empleando para dicha evaluación diferentes entradas y

salidas para cada DMUs considerada.

1 Los principales desarrollos de los métodos de estimación de la eficiencia productiva fueron sugeridos por Farrell en

la discusión de su trabajo. Forsund (1999) plantea las ideas originales de Farrell (1957) y establece las conexiones con

la aproximación paramétrica determinista, la aproximación estocástica y DEA. 2El programa de educación pretendía analizar diferentes centros escolares para comparar la eficiencia de los que seguían

un programa de educación para estudiantes desaventajados, con aquéllos que no seguían el programa.

Métodos de análisis de frontera

Paramétricos

Regresión

Determinista Estocástica

No paramétricos

Subjetivos o ad hoc

Determinísticos

Análisis Envolvente de

Datos


31

4.2.1. Metodología DEA

La metodología de Análisis Envolvente de Datos, DEA, es una técnica no paramétrica que permite

determinar la eficiencia relativa de un conjunto de unidades tomadoras de decisiones (conocidas como

DMUs) y la construcción de una frontera eficiente, de forma tal que las DMUs que determinan la

frontera son denominadas eficientes y aquellas que no permanecen sobre la misma son consideradas

ineficientes. Una DMU será eficiente si, y solo si, no es posible incrementar las cantidades de producto

manteniendo fijas las cantidades de insumos utilizadas, ni es posible disminuir las cantidades de

insumos empleadas sin alterar las cantidades de producto obtenidas (Cooper, Seiford y Zhu, 2004, 3).

Adicionalmente, DEA permite comparar cada DMU ineficiente con aquellas que son eficientes, con

el fin de establecer la cuantía, en términos absolutos o relativos, de la reducción de entradas y/o

incremento de las salidas, que la unidad ineficiente debería tratar de promover para convertirse en

eficiente.

1. Las unidades deben ser comparables, en el sentido de que todas ellas consumen los mismos

insumos, en diferentes cantidades, para producir el mismo conjunto de producto, en distintas

cantidades.

2. Una DMU es cualquier unidad que puede evaluarse en términos de sus habilidades para

convertirse en insumo o producto.

Algunas de las principales ventajas de DEA son las siguientes:

No requiere establecer a priori una forma funcional entre las entradas y salidas para hallar la

función de frontera, ni requiere una distribución de la ineficiencia.

Permite considerar modelos con múltiples entradas (insumos) y salidas (productos),

expresadas en distintas unidades de medida.

La información con la que se construye la frontera eficiente resulta de optimizaciones

individuales de cada DMU, lo que permite aceptar comportamientos de selección de

tecnologías distintas para cada DMU evaluada.

No requiere información referente a las ponderaciones de entradas y salidas para generar el

índice de eficiencia. Sin embargo, se considera que esta flexibilidad en la elección de los

pesos, puede ser tanto una fortaleza como una debilidad de la metodología.

4.2.2. Clasificación de los modelos DEA

Los modelos DEA pueden ser clasificados, básicamente, en función de:


32

a) El tipo de medida de eficiencia que proporcionan: modelos radiales3 y no radiales4.

b) La orientación del modelo: Input orientado, Output orientado o Input-Output orientado.

c) La tipología de los rendimientos a escala que caracterizan la tecnología de producción,

entendida ésta como la forma (procedimientos técnicos) en que los factores productivos

(Inputs) son combinados para obtener un conjunto de productos (Outputs)5, de tal forma que

esa combinación de factores puede caracterizarse por la existencia de rendimientos a escala:

constantes o variables a escala6.

En cuanto al primer aspecto, los modelos DEA que van a ser estudiados, aquellos a los que recurre

Frontier Analyst7 para evaluar la eficiencia, proporcionan medidas de eficiencia de tipo radial

(proporcional). Por lo que respecta a las otras dos cuestiones, la orientación del modelo y la tipología

de los rendimientos a escala, son tratadas seguidamente con mayor detalle.

Antes de empezar a analizar los modelos, se requiere el conocimiento de varios conceptos:

Retorno de escala constante (CRS):

Se denomina al hecho de considerar que cualquier unidad puede alcanzar la productividad de las

eficientes, independientemente de su tamaño. Por tanto, la eficiencia que se calcula en el estudio es la

global, ya que todas las DMUs tienen como unidades de referencia a las de mayor productividad.

Esto genera el siguiente conjunto:

𝑇𝐶𝑅𝑆 = {(�⃗�, �⃗�): ⱻ 𝜆 ≥ 0; 𝜆𝑋 ≤ �⃗�; 𝜆𝑌 ≥ �⃗�} (4.7)

donde 𝜆 es un vector con tantas componentes como DMUs tenga el problema. Por otra parte, X e Y

son respectivamente las matrices de las entradas y las salidas observadas en las unidades del problema.

Ambas matrices tienen tantas filas como DMUs. Para X existen tantas columnas como entradas se

consideren en el problema. De la misma manera, Y tiene tantas columnas como salidas.

3 Debreau (1951); Farrell (1957).

4De Borger y Kerstens (1996)

5 La representación formal de una tecnología es la función de producción, que en DEA es estimada a partir de las

mejores prácticas observadas.

6Aplicable a unidades productoras, hace referencia a cuanto se incrementa el producto cuando se amplía la escala de

producción, considerando todos los factores productivos. Específicamente, alude a la proporción en que aumenta el

volumen de producto en relación al incremento de los factores de producción.

7 De esta forma fueron obtenidas las medidas de eficiencia en los apartados anteriores.


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Gráfico 4.1. Tecnología CRS para una entrada y una salida.

Donde los puntos son las unidades reales observadas en el problema y el conjunto TCRS es la zona a la

derecha de la línea. El conjunto se extiende hasta el infinito. Los puntos que pertenecen al conjunto se

dice que tienen tecnologías admisibles.

Retorno de escala variable (VRS):

Se denomina al hecho de considerar que algunas unidades de tamaño diferente al de las eficientes

pueden no ser capaces de conseguir la productividad de éstas. Así pues, el estudio se realizará mediante

la eficiencia técnica (referir cada DMU a la de productividad mayor de entre las de su tamaño).

En conjunto generador de la tecnología se define:

𝑇𝑉𝑅𝑆 = {(�⃗�, �⃗�): ⱻ𝜆 ≥ 0; 𝜆𝑋 ≤ �⃗�; 𝜆𝑌 ≥ �⃗�; 𝜆 𝑒𝑇 = 1} (4.8)

Gráfico 4.2. Tecnología VRS para una entrada y una salida.

La orientación de entrada se refiere al hecho de que una unidad alcance la productividad de la unidad

de referencia a costa de reducir la cantidad de recurso que consume.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12

Salid

a (y

)

Entrada (x)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12

Salid

a (y

)

Entrada (x)


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Orientación de entrada (Input Orientation)

Se refiere al hecho de que una unidad alcance la productividad de la unidad de referencia a costa de

reducir la cantidad de recursos que consume.

Orientación de salida (Output Orientation)

Hace referencia al hecho de que una unidad consiga la productividad de la unidad con la que se

compara mediante el aumento de la cantidad de salidas que produce.

4.2.2.1. Modelos DEA con retorno de escala constante

Estos modelos toman como DMUs de referencia las de mayor productividad de entre las observadas

a la hora de calcular su eficiencia relativa.

4.2.2.1.1. Modelo Ratio

La metodología DEA deja libertad para que cada unidad escoja los valores de los pesos que optimicen

su eficiencia, teniendo en cuenta que, una vez elegidos, serán utilizados por las restantes unidades. Por

tanto, cada unidad va a comparar su productividad con el resto de las que están en estudio utilizando

en cada comparación los pesos con los que su eficiencia es la mejor. Este modelo se basa en lo

anteriormente descrito. Analíticamente se expresa de la siguiente forma:

𝑀𝐴𝑋 [ℎ𝐽 =∑ 𝑣𝑘𝑗 𝑦𝑘𝑗𝑆

𝑘=1


] (4.9)

𝑠. 𝑎. ∑ 𝑣𝑘𝑗 𝑦𝑘𝑗𝑠

𝑘=1


≤ 1 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (4.10)

𝑢𝑖𝑗 ≥ 𝜀 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (4.11)

𝑣𝑘𝑗 ≥ 𝜀 𝑘 = 1,2, …,s (4.12)

Donde,

ε es un número real estrictamente positivo. Este valor representa una constante no arquimediana

(menor que cualquier número real positivo), y, por tanto, en las restricciones donde aparece, se les

obliga a los pesos a que nunca puedan ser nulos. A la variable que está en estudio se la denota con el

subíndice J.

J = 1, 2, …, n subíndice para las DMUs

i = 1, 2, …, m subíndice para las entradas

k = 1, 2, …, s subíndice para las salidas

xij cantidad de entrada i consumida por DMUJ

ykj cantidad de salida k producida por DMUJ


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𝜀 es una constante estrictamente positiva y cercana a cero.

Una vez resueltos los n problemas se tendrá un conjunto de unidades que serán consideradas eficientes,

todas ellas con un valor en la función objetivo igual a 1. Estas unidades productivas cumplirán la

primera de las restricciones de este modelo con signo de igualdad, el resto obtendrán un valor inferior

a la unidad. Como inconveniente a este modelo, se puede decir que su función objetivo es un cociente,

esto complica su resolución, ya que no es un problema lineal.

4.2.2.1.2. Modelo CCR-Input

Para linealizar el modelo Ratio, se sustituye la función objetivo por una equivalente que sea lineal.

Para poder hacer esto se tiene que saber que existe un grado de libertad en la elección de los pesos. Se

demuestra que si el par de vectores de pesos (v,u) es solución del modelo ratio también lo es (av,au),

por lo comentado anteriormente del grado de libertad. De este modo, si:

∑ 𝑢𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 = 1𝑚𝑖=1 (4.13)

Se comprueba que queda reducido el conjunto de infinitas soluciones optimas alternativas a un par de

vectores de peso. Considerando la ecuación (4.13) en la función objetivo del modelo Ratio esta queda

reducido al numerador. La primera restricción del modelo citado también se modifica ya cuando un

cociente es menor que la unidad es porque el numerador es menor que el denominador. Teniendo esto

último en cuenta, la transformación de la función objetivo, el modelo que queda es conocido como

forma multiplicadora y se muestra a continuación.

𝑀𝑎𝑥 ∑ 𝑣𝑘𝑗 𝑦𝑘𝑗𝑠𝑘=1 (4.14)

𝑠. 𝑎. ∑ 𝑣𝑘𝑗 𝑦𝑘𝑗 − ∑ 𝑢𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 ≤ 0 𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑚𝑖=1

𝑠𝑘=1 (4.15)

∑ 𝑢𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 = 1 𝑚𝑖=1 (4.16)

𝑢𝑖𝑗 ≥ 𝜀 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (4.17)

𝑣𝑘𝑗 ≥ 𝜀 𝑘 = 1,2, …,s (4.18)

Se ha conseguido un problema lineal con n+1 restricciones y s+m cotas.

La restricción adicional (4.9) establece como medida de referencia la entrada virtual. Así se asegura

que se maximiza la eficiencia cuando se maximizan las salidas.

Es más frecuente utilizar la forma dual de (4.14), conocida como forma envolvente del modelo CCR-

Input, para analizar los resultados. Se presenta a continuación:


36

𝑀𝑖𝑛 𝜃𝐽 − 𝜀[∑ 𝑡𝐾

𝑠

𝑘=1

+ ∑ 𝑠𝑖

𝑚

𝑖=1

]

(4.19)

𝑠. 𝑎. ∑ 𝜆𝑛𝑗=1 𝑗 𝑥𝑖𝑗 = 𝜃𝑗 𝑥𝑖𝑗 − 𝑠𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (4.20)

∑ 𝜆𝑗 𝑦𝑗𝑘 = 𝑦𝑘𝑗 + 𝑡𝐾 𝑘 = 1,2, … , 𝑠𝑛𝑗=1 (4.21)

𝜆𝑗 ≥ 0 ∀𝑗 𝑠𝑖, 𝑡𝐾 ≥ 0 ∀𝑖, 𝑘 (4.22)

𝜃𝑗 𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒

Las variables si representan las holguras de los inputs y las variables tk corresponden a los valores

obtenidos para las holguras de los outputs. Si una DMU alcanza un valor ϴj=1 y sus holguras son cero,

la unidad es eficiente.

Se va a representar el caso de una entrada y una salida para seis DMUs. En la gráfica 4.3. se muestra

que la DMU3 es la de mayor eficiencia. La línea trazada desde el origen hasta dicha DMU son todos

los puntos posibles que tendrían la misma eficiencia que DMU3. Esta sería la frontera eficiente que

como se observa envuelve a todas las demás DMUs. Al resolverse el problema para cada unidad J,

gráficamente se están calculando las proyecciones horizontales de las unidades en estudio sobre la

frontera eficiente.

Gráfico 4.3. Tecnología CCR-Input para una entrada y una salida.

Las proyecciones calculadas representan la unidad en la que debería convertirse cada DMUJ para que

fuera considerada eficiente es el lugar geométrico de las unidades con eficiencia igual a uno.

Un modelo DEA se dice que es invariante a la traslación, si haciendo una traslación de las entradas o

salidas originales, resulta un nuevo problema que para cada DMU tiene la misma solución óptima en

la forma envolvente del modelo, que antes de la traslación. Pues bien, el modelo CCR-Input es

invariante frente a las variaciones de salida.


37

Un modelo invariante respecto a las unidades de medida si, cambiando la escala a cualquiera de las

dimensiones de entrada o salida, la solución que se obtiene es la misma. Se puede afirmar también que

el modelo tratado es invariante respecto a las unidades de medida en la dimensión de las entradas.

4.2.2.1.3. Modelo CCR-Output

Si operamos de forma similar al caso anterior, a partir de la forma Ratio del problema podemos

formular el modelo CCR-Output como:

𝑀𝑖𝑛 ∑ 𝑢𝑖𝐽 𝑥𝑖𝐽𝑚𝑖=1 (4.23)

𝑠. 𝑎. ∑ 𝑣𝑘𝐽 𝑦𝑘𝐽 − ∑ 𝑢𝑖𝐽 𝑥𝑖𝑗 ≤ 0 𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑚𝑖=1

𝑠𝑘=1 (4.24)

∑ 𝑣𝑘𝐽 𝑦𝑘𝐽 = 1 𝑠𝑘=1 (4.25)

𝑢𝑖𝑗 ≥ 𝜀 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (4.26)

𝑣𝑘𝑗 ≥ 𝜀 𝑘 = 1,2, …,s (4.27)

Donde la función objetivo representa ahora el inverso de la eficiencia relativa de la unidad J, y por

tanto siempre será mayor o igual a uno en un problema con retorno de escala constante.

Igual que en el caso anterior se construye el dual del problema donde se traen las siguientes

expresiones:

𝑀𝑎𝑥 𝑌𝐽 − 𝜀[∑ 𝑡𝐾

𝑠

𝑘=1

+ ∑ 𝑠𝑖

𝑚

𝑖=1

]

(4.28)

𝑠. 𝑎. ∑ 𝜆𝑛𝑗=1 𝑗 𝑥𝑖𝑗 = 𝑥𝑖𝐽 − 𝑠𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (4.29)

∑ 𝜆𝑗 𝑦𝑗𝑘 = 𝑌𝐽 𝑦𝑘𝐽 + 𝑡𝐾 𝑘 = 1,2, … , 𝑠𝑛𝑗=1 (4.30)

𝜆𝑗, 𝑠𝑖 𝑡𝐾 ≥ 0 (4.31)

𝑌𝐽 𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒

Si se representa el mismo caso anterior, una entrada y una salida para seis DMUs, se obtiene la gráfica

siguiente:


38

Gráfico 4.4. Tecnología CCR-Output para una entrada y una salida

Una solución admisible del problema asociada a cada DMUj, es la forma:

YJ=1

λJ=1

λj=0 ∀𝑗≠J

si=tK=0 ∀𝑖, 𝑘

y al igual que antes, corresponden a los valores que toman estas variables en el caso de unidades

eficientes.

Igual que el modelo anterior este es invariante frente a las unidades de medida de las salidas. Respecto

a las traslaciones, el modelo CCR-Output es invariante frente a las traslaciones de entradas.

4.2.2.2 Modelos DEA con retorno de escala variante

Los modelos anteriores no pueden ser utilizados en los casos donde el problema se plantee con retornos

de escala variable. De esta forma aparecen nuevos modelos para solucionar dichos casos. A

continuación, se exponen los modelos BCC-Input y BCC-Output, pertenecientes a esta clase de

modelos, iniciales de Banker, Charnes y Cooper.

4.2.2.2.1. Modelo BCC-Input

La diferencia con el caso CCR es que en este modelo las unidades productivas se comparan con las

de su mismo tamaño, por lo tanto, hay que añadirle más restricciones.

Se parte del modelo Ratio linealizado y se añade alguna restricción que tenga en cuenta el retorno de

escala variable. Esta restricción le indicara al modelo que cada DMUJ tiene que ser comparada con

aquellas de su tamaño y no con todas las unidades presentes.

Modificando la forma envolvente del modelo CCR-Input (forma dual), se observa que aparece una


39

restricción adicional, ∑ 𝜆𝑗𝑛𝑗=1 = 1 , que obliga a que la proyección de la unidad se produzca sobre el

hiperplano que forman las unidades más productivas de su tamaño. En este modelo suele aumentar el

número de unidades eficientes respecto al modelo de igual orientación y retorno constante.

El modelo BCC-Input queda como se muestra a continuación:

𝑀𝑖𝑛 𝜃𝐽 − 𝜀[∑ 𝑡𝐾𝑠𝑘=1 + ∑ 𝑠𝑖𝑚

𝑖=1 ] (4.32)

𝑠. 𝑎. ∑ 𝜆𝑛𝑗=1 𝑗 𝑥𝑖𝑗 = 𝜃𝑗 𝑥𝑖𝐽 − 𝑠𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (4.33)

∑ 𝜆𝑗 𝑦𝑗𝑘 = 𝑦𝑘𝐽 + 𝑡𝐾 𝑘 = 1,2, … , 𝑠𝑛𝑗=1 (4.34)

∑ 𝜆𝑗 = 1 𝑛𝑗=1 (4.35)

𝜆𝑗, 𝑠𝑖, 𝑡𝑘 ≥ 0 (4.36)

𝜃𝐽 𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒

La solución admisible de este modelo siempre será tipo:

𝜃J=1 ; λJ=1 ; λj=0 ∀𝑗≠J ; si=tK=0 ∀𝑖, 𝑘

Donde la eficiencia relativa de cada unidad es 𝜃J. La interpretación referente a las proyecciones sobre

la frontera que se realizó en el apartado del modelo CCR-Input siguen siendo válidas aquí. Como se

puede ver el problema solo tiene orientación de entrada porque la reducción radial solo es permitida a

través de las entradas.

El conjunto de puntos admisibles del problema serán los que se sitúen en la frontera eficiente y los que

sean envueltos por esta.

Ahora la frontera eficiente no es una línea recta como en el caso de retorno de escala constante para

única entrada y salida, sino que es una línea quebrada que une todas las DMUs eficientes, como se

muestra a continuación:

Gráfico 4.5. Tecnología BCC-Input para una entrada y una salida.


40

La frontera eficiente es la frontera quebrada DMU2-DMU3-DMU5-DMU6. Se define “peer group” al

conjunto de unidades eficientes de una determinada combinación lineal. Por ejemplo, para la DMU7

su “peer group” son las unidades DMU3 Y DMU5. Se puede decir que la DMU analizada se debe

compara con su proyección para conseguir alcanzar una eficiencia igual a uno, y esta proyección puede

ser una unidad que no existe en la realidad, pero cuyo tamaño de escala es del mismo orden que las

unidades que conforman su “peer group”.

La unidad de máxima productividad para este problema sería la DMU3, es un caso particular en el que

solo existe una unidad con esa característica, pero en general se pueden presentar más de una. Esta

unidad opera con retornos de escala constante (CRS). La DMU2 opera con retornos de escala

crecientes (IRS), ya que se encuentra en una zona de la frontera eficiente en la que para conseguir el

tamaño de la mayor productividad (DMU3) tendrían que aumentar su entrada. La DMU5 opera con

retornos de escala decrecientes (DRS), por motivos análogos a los anteriores.

El dual del problema es el siguiente:

𝑀𝑎𝑥 ∑ 𝑣𝑘𝐽 𝑦𝑘𝐽 − 𝜉𝑠𝑘=1 𝐽 (4.37)

𝑠. 𝑎. ∑ 𝑣𝑘𝐽 𝑦𝑘𝑗 − ∑ 𝑢𝑖𝐽 𝑥𝑖𝑗 + 𝜉𝐽 ≤ 0 𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑚𝑖=1

𝑠𝑘=1 (4.38)

∑ 𝑢𝑖𝐽 𝑥𝑖𝐽 = 1 𝑚𝑖=1 (4.39)

𝑢𝑖𝐽 ≥ 𝜀 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (4.40)

𝑣𝑘𝐽 ≥ 𝜀 𝑘 = 1,2, …,s (4.41)

𝜉𝐽 𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒

Considerando los pesos uiJ y vKj son los vectores directores del hiperplano que constituye la frontera

eficiente, se puede observar como la función objetivo permite que el hiperplano optimo, solución del

problema, pueda no pasar por el origen con la introducción de la nueva variable, 𝜉 J.

4.2.2.2.2. Modelo BCC-Output

Si en lugar de orientación a la entrada, se tiene orientación a la salida se obtiene un modelo semejante

al anterior. A continuación, se puede observar dicho modelo:

𝑀𝑎𝑥 𝑌𝐽 + 𝜀[∑ 𝑡𝐾𝑠𝑘=1 + ∑ 𝑠𝑖𝑚

𝑖=1 ] (4.42)

𝑠. 𝑎. ∑ 𝜆𝑛𝑗=1 𝑗 𝑥𝑖𝑗 = 𝑥𝑖𝐽 − 𝑠𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (4.43)

∑ 𝜆𝑗 𝑦𝑘𝑗 = 𝑌𝐽 𝑦𝑘𝐽 + 𝑡𝐾 𝑘 = 1,2, … , 𝑠𝑛𝑗=1 (4.44)

𝜆𝑗, 𝑠𝑖, 𝑡𝐾 ≥ 0 (4.45)

𝑌𝐽 𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒


41

Si se resuelve el modelo de manera gráfica, para una entrada y una salida, como los casos

anteriores, se tiene:

Gráfico 4.6. Tecnología BCC-Output para una entrada y una salida.

Se observa que la frontera eficiente es la misma que para el caso de BCC-Input. Las proyecciones se

realizan amplificando de forma radial las salidas.

El modelo dual se muestra a continuación, del cual también se extrae que es invariante frente a las

traslaciones de entrada, puesto que no existen disminuciones radiales:

𝑀𝑖𝑛 ∑ 𝑢𝑖𝐽 𝑥𝑖𝐽 − 𝜉𝑚𝑖=1 𝐽 (4.46)

𝑠. 𝑎. ∑ 𝑣𝑘𝐽 𝑦𝑘𝑗 − ∑ 𝑢𝑖𝐽 𝑥𝑖𝑗 + 𝜉𝐽 ≤ 0 𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑚𝑖=1

𝑠𝑘=1 (4.47)

∑ 𝑣𝑘𝐽 𝑦𝑘𝐽 = 1 𝑠𝑘=1 (4.48)

𝑢𝑖𝐽 ≥ 𝜀 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (4.49)

𝑣𝑘𝐽 ≥ 𝜀 𝑘 = 1,2, …,s (4.50)

𝜉𝐽 𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒

4.3. Análisis de regresión

Un análisis de regresión genera una ecuación para describir la relación estadística entre uno o más

predictores y la variable de respuesta y, para predecir nuevas observaciones. Los tipos de regresión se

pueden clasificar según diversos criterios.

En primer lugar, en función del número de variables independientes:

Regresión simple: Cuando la variable Y depende únicamente de una única variable X.


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Regresión múltiple: Cuando la variable Y depende de varias variables (X1,X2,X3, …Xr)

En segundo lugar, en función del tipo de función f(X):

Regresión lineal: Cuando f(X) es una función lineal.

Regresión no lineal: Cuando f(X) no es una función lineal.

En tercer lugar, en función de la naturaleza de la relación que exista entre las dos variables:

La variable X puede ser la causa del valor de la variable Y.

Puede haber simplemente relación entre las dos variables.

En este caso, se pondrá mayor importancia en la regresión según el tipo de función f(X),

concretamente en la regresión lineal. Se comienza definiendo qué es dicha regresión lineal, y a

continuación se desglosan los distintos tipos.

4.3.1. Regresión lineal

La regresión lineal, o también conocido como el ajuste lineal, es un modelo matemático usado

para aproximar la relación de dependencia entre una variable dependiente Y, las variables

independientes Xi y un término aleatorio ε.

4.3.2. Regresión lineal simple

La regresión lineal simple examina la relación lineal entre dos variables continuas: una respuesta (y)

y un predictor (x). Cuando las dos variables están relacionadas, es posible predecir un valor de

respuesta a partir de un valor predictor con mayor exactitud.

La regresión ofrece la línea que "mejor" se ajusta a los datos. Esta línea se puede utilizar después para:

Examinar cómo cambia la variable de respuesta a medida que cambia la variable predictora.

Predecir el valor de una variable de respuesta (y) para cualquier variable predictora (x).

𝑌𝑖 = 𝛽𝑜 + 𝛽𝑖 𝑋𝑖 + ᶓ (4.51)

i=1,…n


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Donde ᶓ es el error asociado a la medición del valor Xi, y se supone que ᶓ ~𝑁(0, 𝜎2) y n es el

número de observaciones.

4.3.3. Regresión de mínimos cuadrados

En la regresión de cuadrados mínimos ordinarios (OLS), la ecuación estimada se calcula cuando se

determina la ecuación que minimiza la suma de las distancias elevadas al cuadrado entre los puntos

de datos de la muestra y los valores pronosticados por la ecuación.

4.3.4. Regresión lineal múltiple

La regresión lineal múltiple o regresión múltiple ocurre cuando se analiza la relación entre dos o

más variables a través de ecuaciones.

Constantemente en la práctica de la investigación estadística, se encuentran variables que de

alguna manera están relacionadas entre sí, por lo que es posible que una de las variables pueda

relacionarse matemáticamente en función de otra u otras variables.

Por tanto, la regresión lineal múltiple examina las relaciones lineales entre una respuesta continua

y dos o más predictores. Si el número de predictores es grande, antes de ajustar un modelo de

regresión con todos los predictores, se deben utilizar las técnicas de selección de modelo paso a

paso o de los mejores subconjuntos para excluir predictores que no estén asociados con las

respuestas.

Este modelo se expresa de la siguiente forma:

𝑌𝑖 = 𝛽𝑜 + ∑ 𝛽𝑖 𝑋 + ᶓ (4.52)

i=1,…n

Donde ᶓ es el error asociado a la medición i del valor Xip y se supone que ᶓ ~𝑁(0, 𝜎2), n es el

número de observaciones, Y será el vector de observaciones de variables dependientes y X es la

matriz de observaciones de variables independientes.

4.4. Contraste de White

Es una prueba de heterocedasticidad. En este contraste la idea es determinar si las variables

explicativas del modelo, sus cuadrados y todos sus cruces posibles no repetidos sirven para


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determinar la evolución del error al cuadrado. Es decir; si la evolución de las variables

explicativas y de sus varianzas y covarianzas son significativas para determinar el valor de la

varianza muestral de los errores, entendida ésta como una estimación de las varianzas de las

perturbaciones aleatorias.

El proceso a seguir para realizar este contraste sería el siguiente:

1. Estimar el modelo original por MCO, determinando la serie de los errores.

2. Estimar un modelo en el que la endógena sería los valores al cuadrado de los errores

obtenidos previamente (paso 1) con todas las variables explicativas del modelo inicial,

sus cuadrados y sus combinaciones no repetidas.

3. El valor de la Re de este segundo modelo (paso 2) dirá si las variables elegidas sirven o

no para estimar la evolución variante del error al cuadrado, representativo de la varianza

estimada de las perturbaciones aleatorias. Evidentemente, si la varianza de éstas fuera

constante (homocedasticidad), el carácter no constante de las variables explicativas

implicadas en el modelo no serviría para explicar la endógena, luego la Re debiera ser

muy pequeña.

Otro modo de contrastar la existencia de heterocedasticidad en el modelo a partir de la validez o

no de los parámetros incluidos en la regresión propuesta por White vendría dado por el valor del

contraste de significación conjunta F. Si dicho contraste afirmara que, en conjunto, las variables

explicitadas tienen capacidad explicativa sobre la endógena, estaríamos afirmando la presencia

de heterocedasticidad en el modelo.

4.5. Análisis de Cluster

El análisis Cluster es un conjunto de técnicas multivariantes utilizadas para clasificar a un conjunto de

individuos en grupos homogéneos.

Pertenece, al igual que otras tipologías y que el análisis discriminante, al conjunto de técnicas que tiene

por objetivo la clasificación de los individuos. La diferencia fundamental entre el análisis Cluster y el

discriminante reside en que en el análisis Cluster los grupos son desconocidos a priori y son,

precisamente, lo que se quieren determinar; mientras que, en el análisis discriminante, los grupos son

conocidos y lo que se pretende es saber en qué medida las variables disponibles nos discriminan esos

grupos y nos pueden ayudar a clasificar o asignar los individuos en/a los grupos dados. Así pues, el

objetivo es obtener clasificaciones (clusterings), teniendo, por lo tanto, el análisis un marcado carácter

exploratorio. Como puede comprenderse el análisis Cluster tiene una extraordinaria importancia en la


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investigación científica, en cualquier rama del saber. Téngase presente que la clasificación es uno de

los objetivos fundamentales de la ciencia. Y en la medida en que el análisis Cluster nos proporciona

los medios técnicos para realizarla, se nos hará imprescindible en cualquier investigación.

Este análisis trata, fundamentalmente, de resolver el siguiente problema:

Dado un conjunto de individuos (de N elementos) caracterizados por la información de n variables

Xj , (j = 1,2,..., n), se plantea el reto de ser capaces de clasificarlos de manera que los individuos

pertenecientes a un grupo (cluster) (y siempre con respecto a la información disponible) sean tan

similares entre sí como sea posible, siendo los distintos grupos entre ellos tan disimilares como sea

posible.

Con el análisis Cluster se pretende encontrar un conjunto de grupos a los que ir asignando los distintos

individuos por algún criterio de homogeneidad. Por lo tanto, se hace imprescindible definir una

medida de similitud o bien de divergencia para ir clasificando a los individuos en unos u otros grupos.

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