5° laboratorio de fisica 2015 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA PETROLEO GAS NATURAL

INFORME

Quinto Laboratorio de FísicaDINÁMICA DE ROTACIÓN

Integrantes:

Chuquiyauri León Enrique Brayan 20150431A

Pisco Jiménez Junior 2015

LIMA – PERÚ 2015 – I

1



EXPERIMENTO (TRABAJO Y ENERGIA)OBJETIVOS

Observar el movimiento de rodadura de una rueda de Maxwell y a partir de las mediciones efectuadas determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad.

Fundamento TEORICOMomento de inercia

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo, refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

Ecuaciones del momento de inercia

Para un sistema de partículas y un eje arbitrario

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

2



Energía cinética rotacional

La energía rotacional es la energía cinética de un cuerpo rígido, que gira en torno a un eje fijo. Esta energía depende del momento de inercia y de la velocidad angular del cuerpo. Mientras más alejada esté la masa del cuerpo respecto al eje de rotación, se necesitará más energía para que el cuerpo adquiera una velocidad angularUn cuerpo que rota en torno al eje x con velocidad angular posee la energía rotacional:

Donde:

: Momento de inercia del cuerpo en torno al eje x. : Velocidad angular

Momento de inercia de una varilla

Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre “x” y “x+dx” es

El momento de inercia de la varilla es

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MATERIALES A USAR Un par de rieles paralelos (como plano inclinado) Una rueda de Maxwell Un cronómetro digital Un pie de rey Una regla milimetrada Una balanza Un nivel

PROCEDIMIENTO1. Usando el nivel de burbuja, nivele el plano que sirve de soporte a los rieles.2. Marque en los rieles los puntos A0, A1, A2, A3, A4, separados unos 10cm entre sí.3. Mida con el pie de rey el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los rieles. Tenga

en cuenta que el eje ha sufrido desgaste desigual.4. Fija la inclinación de los rieles de manera que la rueda experimente un movimiento de

rodadura pura (sin patinaje).5. Coloque la rueda en reposo en la posición A0, suéltela y simultáneamente comience a

medir el tiempo (es decir, t0 = 0); mida los intervalos de tiempo t1, t2, t3, t4 correspondientes a los tramos A0A1, A0A2, A0A3, A0A4, respectivamente. Tome tres mediciones para t1, t2, t3 y diez mediciones para t4.

6. Mida la masa de la volante y la diferencia de las alturas entre las posiciones G0 y G4.

7. Modifique la inclinación de los rieles (teniendo cuidado de evitar el deslizamiento de la rueda) y mida 3 veces t4 y la nueva diferencia de alturas entre G0 y G4.

4



TABLA DE DATOS experimentales1° INCLINACION

A0

10cm A1

10cm A2

10cm A3

10cm A4

…………NR …………........NR

tramo 𝝙x(cm) t(s)

t1(s) t2(s) t3(s) tp(s) tp(s)2

A0A1 10 4.77 5.02 4.93 4.91 24.11

A0A2 20 7.36 7.44 7.31 7.37 54.32

A0A3 30 9.14 9.19 9.24 9.19 84.46

Para el tramo A0A4, el tiempo promedio lo calculamos con su respectiva desviación estándar (dicha desviación lo calcularemos más adelante en cálculos y resultados, por ahora solo mostramos el tiempo promedio de los 10 tiempos tomados en el tramo A0A4)

tramo ��x(cm)t(s)

t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) t6(s) t7(s) t8(s) t9s) t10(s) tp(s) tp(s)2

5

11.30cm

3.70cm5.62cm



A0A4 40 10.71 10.47 10.59 10.52 10.82 10.80 10.47 10.50 10.34 10.85 10.61 112.57

2° INCLINACION

A0

10cm A1

10cm A2

10cm A3

10cm A4

…………NR …………........NR

tramo 𝝙x(cm) t(s)

t1(s) t2(s) t3(s) tp(s) tp(s)2

A0A4 40 11.86 11.83 11.73 11.81 139.48

6

R= 0.31cm

9.29cm

3.14cm



Otros datos importantes son:

Masa del disco = 0.3469Kg

Diámetro del eje del disco = 0.62cm

CALCULOS Y RESULTADOS1) De los 10 tiempos tomados en el tramo A0A4, de la 1° inclinación procederemos a calcular la respectiva desviación estándar de dichos datos, para ello calculamos:

a) Primero la media aritmética de los 10 datos y para ello usamos:

tm = ∑i=1

10

ti ( 110

)

Entonces operamos:

7

tm = 110∑i=1

10

(ti¿)¿

tramo A0A4

i tiempo(ti) en (seg)

1 10.71

2 10.47

3 10.59

4 10.52

5 10.82

6 10.80

7 10.47

8 10.50

9 10.34

10 10.85



tm =10.71+10.47+…+10.85

10 = 106.110

tm = 10.61……….(1)

b) Luego procedemos a calcular la desviación promedio (ʆi ) de cada medida y el cuadrado de dichas desviaciones, para ello usamos:

ʆi = ti - tm

Entonces operamos y completamos el siguiente cuadro:

t(s) ʆi (ʆi )2

1 10.71 0.10 0.0100

2 10.47 -0.14 0.0196

3 10.59 -0.02 0.0004

4 10.52 -0.09 0.0081

5 10.82 0.21 0.0441

6 10.80 0.19 0.0361

7 10.47 -0.14 0.0196

8 10.50 -0.11 0.0121

9 10.34 -0.27 0.0729

10 10.85 0.24 0.0576

8

ʆi = ti - tm



c) Después hallamos la desviación estándar (ʆms), con ayuda de los datos obtenidos en el cuadro, y para ello usamos:

Entonces operamos:

ʆms = [0.0100+0.0196+…+0.0576

10 ]1/2 = [0.2805

10 ]1/2

ʆms = 0.16748 ʆms = 0.17……….(2)

d) Finalmente de (1) y (2), el mejor valor estimado del tiempo (tmejor) que se demora el disco en recorrer el tramo A0A4 en la 1° inclinación es:

tmejor = tm + ʆms

tmejor = (1.061 ± 0.017).101 s

2) De la primera inclinación procederemos a calcular los momentos de inercia I3 y I4 en los puntos A3 y A4 respectivamente, para ello aplicamos la conservación de energía mecánica entre los puntos “A0 y A3”; y “A0 yA4” respectivamente, debido a que se desprecia el rozamiento:

A0

10cm A1

10cm A2

10cm A3

10cm A4

…………NR …………........NR

9

ʆms = [ 110∑i=1

10

¿¿i)2]1/2

11.30cm

3.70cm5.62cm



a) Primero hallamos las velocidades angulares en los puntos A3 y A4 para ello consideramos que el movimiento es uniformemente acelerado, y usamos:

Entonces despejando V se tiene:

También para hallar las velocidades angulares usamos

Entonces operamos:

V3 = 2(0.3m)

9.19 s = 0.0653m/s

V3 = (ω3)(r) 0.0653m/s = (ω3)(0.0031m) ω3 = 21.0645rad/s

V4 = 2(0.4m)10.61 s

= 0.0754m/s

V4 = (ω4)(r) 0.0754m/s = (ω4)(0.0031m) ω4 = 24.3226rad/s

V0 = 0m/s……….( dado que se suelta de ese punto) ω0 = 0rad/s

b) Luego aplicamos la conservación de energía mecánica entre los puntos “A0 y A3” y “A0 y A4” para hallar “I3” y “I4” para ello debemos tener en cuenta:

Dónde: EM = Energía mecánica ECT = Energía cinética traslacional ECR = Energía cinética rotacional EPG = Energía potencial gravitatoria

10

Vi = (ωi)r

mD(masa del disco) = 0.3469Kgr(radio del eje del disco) = 0.0031m

x = 12at2 V = at

EM = ECT + ECR +EPG

V = 2dΔt

EPG = (m)(g)(h)

ECT = 12mVi

2

ECR = 12ω2Ii



Para nuestro caso:

1° (entre los puntos A0 y A3):

……….conservación de la energía mecánica

………. (1)

………. (2)

Entonces de (1) y (2) operamos:

EM (A0) = EM (A3)

12

mDV02 + 1

2ω0

2I0 + mD(g)(h0) = 1

2mDV3

2 + 12

ω32I3

+ mD(g)(h3)

12

(0.3469Kg)(0m/s)2 + 12

(0rad/s)2(I0) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.113m) =

12(0.3469Kg)(0.0653m/s) 2 +

12(21.0645rad/s)2(I3) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.0562m)

0 + 0 + 0.3845Kg.m2/s2 = (7.3961)10-4Kg.m2/s2 + 221.8566(rad/)2(I3) + 0.1913m2/s2

I3 = (8.6750x10-3)Kg.m2

11

EM (A0) = EM (A3)

EM (A0) = 12mDV0

2 + 12ω0

2I0 + mD(g)(h0)

EM (A3) = 12mDV3

2 + 12ω3

2I3 + mD(g)(h3)

mD = 0.3469KgV3 = 0.0653m/sω3 = 21.0645rad/sV0 = 0m/sω0 = 0rad/s



2° (entre los puntos A0 y A4):


………. (1)

………. (2)


EM (A0) = EM (A4)

12

mDV02 + 1

2ω0

2I0 + mD(g)(h0) = 1

2mDV3

2 + 12

ω42I4

+ mD(g)(h4)

12

(0.3469Kg)(0m/s)2 + 12

(0rad/s)2(I0) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.113m) =

12(0.3469Kg)(0.0754m/s) 2 +

12(24.3226rad/s)2(I4) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.037m)

0 + 0 + 0.3845Kg.m2/s2 = (9.8609)10-4Kg.m2/s2 + 295.7944(rad/)2(I3) + 0.1259m2/s2

I4 = (8.7092x10-3)Kg.m2

3) De la segunda inclinación procederemos a calcular el momento de inercia I4´ en el punto A4

respectivamente, para ello aplicamos la conservación de energía mecánica entre los puntos “A0 y A4” respectivamente, debido a que se desprecia el rozamiento:

A0

10cm A1

10cm A2

10cm A3

10cm A4

…………NR …………........NR

12

EM (A0) = EM (A4)

EM (A0) = 12mDV0

2 + 12ω0

2I0 + mD(g)(h0)

EM (A4) = 12mDV4

2 + 12ω4

2I4 + mD(g)(h4) mD = 0.3469Kg

V4 = 0.0754m/sω4 = 24.3226rad/sV0 = 0m/sω0 = 0rad/s

9.29cm

3.14cm



a) Primero hallamos la velocidad angular en el punto A4 para ello consideramos que el movimiento es uniformemente acelerado, y usamos:


También para hallar las velocidades angulares usamos

Entonces operamos:

V4´ = 2(0.4m)11.81 s

= 0.0677m/s

V4´ = (ω4)(r) 0.0677m/s = (ω4)(0.0031m) ω4´ = 21.8387rad/s

V0 = 0m/s……….( dado que se suelta de ese punto) ω0 = 0rad/s

b) Luego aplicamos la conservación de energía mecánica entre los puntos “A0 yA4” para hallar “I4´” para ello debemos tener en cuenta:

Dónde: EM = Energía mecánica ECT = Energía cinética traslacional ECR = Energía cinética rotacional EPG = Energía potencial gravitatoria

Para nuestro caso:

13

mD(masa del disco) = 0.3469Kgr(radio del eje del disco) = 0.0031m

EM = ECT + ECR +EPG

EPG = (m)(g)(h)

ECT = 12mVi

2

ECR = 12ω2Ii

Vi = (ωi)r

x = 12at2 V = at V =

2dΔt



(Entre los puntos A0 y A4):


………. (1)

………. (2)


EM (A0) = EM (A4)

12

mDV02 + 1

2ω0

2I0 + mD(g)(h0) = 1

2mDV4´2 + 1

2ω4

2I4´ + mD(g)(h4´)

12

(0.3469Kg)(0m/s)2 + 12

(0rad/s)2(I0) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.0929m) =

12(0.3469Kg)(0.0677m/s) 2 +

12(21.8387rad/s)2(I3) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.0314m)

0 + 0 + 0.3161Kg.m2/s2 = (7.9497)10-4Kg.m2/s2 + 238.4644(rad/)2(I3) + 0.1069m2/s2

I4´ = (8.7395x10-3)Kg.m2

RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE LA GUIA14

EM (A0) = EM (A4)

EM (A0) = 12mDV0

2 + 12ω0

2I0 + mD(g)(h0)

mD = 0.3469KgV4´ = 0.0677m/sω4´= 21.8387rad/sV0 = 0m/sω0 = 0rad/s

EM (A4) = 12mDV4´

2 + 12ω4

2I4´ + mD(g)(h4´)



1. Considerando los tiempos promedios para t1, t2, t3 y t4, grafique los puntos (0,0), (t1,A0A1),…, (t4, A0A4). ¿Es el movimiento de traslación uniformemente acelerado?

Sí, como podemos observar, la gráfica (d vs t) es una curva que corresponde a un movimiento uniformemente variado (MRUV), o sea que el movimiento de traslación es uniformemente acelerado, por tanto hablamos que la aceleración es constante.

2. Grafique también d vs t2

3. Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la desviación estándar y propagación de errores, calcular:

15



a) La aceleración del centro de masa aG

La ecuación del movimiento en general: Como: V0 = 0m/s y “y0” = 0m

Entonces nos queda: yf = 12(a)t2, luego al realizar el grafico“d vs t2” de esta ecuación

obtenemos la ecuación de la recta L: y = 0.0034t2 + 0.017, donde su pendiente viene a

ser igual a 0.0034 y eso a la vez es igual a “12(a)”, donde “a” es la aceleración del

centro de masa (aG)

Entonces operamos

12

(a) = 0.0034

a = (6.8)10-3m/s2

como a = aG, entonces aG = (6.8)10-3m/s2

b) La velocidad de traslación, V4, del centro de masa en el punto A4

A0

0.4m A4

…………NR …………........NR

1° Para hallar la velocidad de traslación “V4”, consideramos que el movimiento es uniformemente acelerado, y usamos:


16

yf = y0 + V0t + 12(a)t2

x = 12at2 V = at V =

2dΔt



Luego el mejor tiempo estimado en recorrer el tramo A0A4, ya fue calculado al inicio de “Cálculos y Resultados”, y dicho valor fue:

t = (10.61 ± 0.17) s

Como la distancia del tramo A0A4 (d) es:

d = (0.4 ± 0.1) m

Procedemos a calcular la velocidad del centro de masa en el punto A4 usando

Entonces operamos:

V4 = 2(0.4m)10.61 s

= 0.0754m/s

V4 = 0.0754m/s………(1)

2° Para hallar la incertidumbre de la velocidad de traslación de “V4” (𝝙V), tomamos el error relativo a la siguiente formula: V4 = 2d (𝝙t)-1, para ello usamos:

Entonces operamos:

ΔV 4

(0.0754) = 2(0.1)0.4

+ 1(0.17)10.61

𝝙V4 = 0.0389081m/s……….(2)

3° Finalmente de las ecuaciones (1) y (2), la velocidad de traslación, V4, del centro de masa en el punto A4 es:

V4(CENTRO DE MASA) = V4 + 𝝙V4

V4(CENTRO DE MASA) = 0.0754m/s ± 0.038908m/s V4(CENTRO DE MASA) = (7.54 ± 3.8908)10-2m/s

17

ΔV 4V 4 = 2(Δd )

d + 1(Δt )t

Solo puede tener dos decimales



V4(CENTRO DE MASA) = (7.54 ± 3.89) 10-2m/s

4. La velocidad angular de la rueda en el instante t4

Primero hallamos la velocidad lineal en el punto 4 (V4) y para ello usamos:

Entonces operamos:

V4 = 2(0.4m)10.61 s

= 0.0754m/s

V4 = 0.0754m/s

Luego hallamos la velocidad angular en el punto 4 (ω4) y para ello usamos:

V4 = (ω4)(r) 0.0754m/s = (ω4)(0.0031m)

ω4 = 24.3226rad/s

5. El momento de inercia de la volante, usando la siguiente ecuación, donde aplicamos la conservación de energía entre el punto A0 y A3

18

Vi = (ωi)rr(radio del eje del disco) = 0.0031m

V4 = 2dΔt

12mDV0

2 + 12ω0

2I0 + mD(g)(h0) =

12mDV3

2 + 12ω3

2I3 + mD(g)(h3)



A0

0.3m A3

10cm A4

…………NR …………........NR

Entonces operamos:

EM (A0) = EM (A3)

12

mDV02 + 1

2ω0

2I0 + mD(g)(h0) = 1

2mDV3

2 + 12

ω32I3

+ mD(g)(h3)

12

(0.3469Kg)(0m/s)2 + 12

(0rad/s)2(I0) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.113m) =

12(0.3469Kg)(0.0653m/s) 2 +

12(21.0645rad/s)2(I3) + (0.3469Kg)(9.81m/s2)(0.0562m)

0 + 0 + 0.3845Kg.m2/s2 = (7.3961)10-4Kg.m2/s2 + 221.8566(rad/)2(I3) + 0.1913m2/s2

I3 = (8.6750x10-3)Kg.m2

Donde “I3” es el momento de inercia de la volante

6. ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del momento de inercia?

Las mediciones de la altura son las que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del momento de inercia, dado que unos milímetros de más o de menos, hará que el momento de inercia varia su valor en las centésimas.

19

11.30cm

5.62cm



Otra medición que introduce incertidumbre en el cálculo del momento de inercia es la longitud recorrida.

7. ¿Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de I?

A0

10cm A1

10cm A2

10cm A3

10cm A4

…………NR …………........NR

El momento de inercia en el punto A3 es: I3 = (8.6750x10-3)Kg.m2

El momento de inercia en el punto A4 es: I4 = (8.7092x10-3)Kg.m2

Entonces observamos que la longitud recorrida influye sobre el valor de “I” de la siguiente manera:

A mayor longitud recorrida, el momento de inercia aumenta pero ligeramente pero como observamos lo hace en las centésimas, de lo que podemos considerar que prácticamente se mantiene constante.

8. ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de I?

De los resultados obtenidos, hallamos los momentos de inercia en el mismo punto A4 pero distintas inclinaciones:

20

11.30cm

3.70cm5.62cm



1° inclinación:

El momento de inercia en el punto A4: I4 = (8.7092x10-3)Kg.m2

2° inclinación:

El momento de inercia en el punto A4: I4´ = (8.7395x10-3)Kg.m2

Entonces observamos que la inclinación de los rieles influye sobre el valor de “I” de la siguiente manera:

A mayor inclinación, el momento de inercia aumenta pero ligeramente que prácticamente podemos considerar que se mantiene constante.

Observaciones Y CONCLUCIONES

En la 1° inclinación, el momento de inercia en el punto A4 denotado por I4 fue de: (8.7092x10-3)Kg.m2 y en la segunda inclinación que fue mayor que la primera, dicho momento de inercia en el mismo punto A4 denotado por I4´ fue de: (8.7395x10-3)Kg.m2 , como podemos ver, según nuestros resultados concluimos que a mayor inclinación en un mismo punto(a una misma altura) el momento de inercia aumenta pero en las centésimas, o sea que el momento de inercia aumenta ligeramente.Pero estos resultados pudieron variar, o sea que la relación que encontramos pudo ser la inversa, que a mayar inclinación menor momento de inercia para una misma altura, debido al error que pudimos cometer al momento de medir las alturas respectivas.Pero ya sea que el momento de inercia aumente o disminuya, lo hace en una cantidad muy pequeña, que prácticamente podemos considerar que a una misma altura, aunque variemos la inclinación, dicho momento de inercia no cambia o sea que se mantiene constante.

Entonces concluimos que el momento de inercia se mantiene prácticamente constante en dos casos: 1° cuando mantenemos la inclinación constante y la longitud recorrida cambia,

21

OJO: 2° inclinación > 1° inclinación



y 2° cuando mantenemos la misma altura o sea cuando nos encontramos en un mismo punto y variamos la inclinación.

BIBLIOGRAFIA http://www.ecured.cu/index.php/Trabajo_(Fisica) http://elmundodelafisicaylasmatematicas.blogspot.com/2011/11/trabajo-mecanico-

realizado-por-una.html https://www.google.com/imghp?hl=es-419&gws_rd=ssl

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http://elmundodelafisicaylasmatematicas.blogspot.com/2011/11/trabajo-mecanico-realizado-por-una.html

http://elmundodelafisicaylasmatematicas.blogspot.com/2011/11/trabajo-mecanico-realizado-por-una.html

http://www.ecured.cu/index.php/Trabajo_(Fisica)

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