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1. CONCEPTOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS • Porcentaje • Ganancias y pérdidas en transacciones comerciales • Valor del dinero en el tiempo • Interés • Tasa de interés • Equivalencia • Flujo de caja 2. INTERÉS SIMPLE • Cálculo de interés • Interés comercial y real • Calculo del número de días entre fechas • Valor futuro a interés simple • Desventajas del interés simple • Intereses moratorios • Valor presente e interés simple • Cálculo de la tasa de interés simple • Cálculo del tiempo de negociación • Operaciones de descuento 3. INTERÉS COMPUESTO • Valor futuro e interés compuesto • Definición de interés compuesto • Características del interés compuesto • Valor futuro con interés compuesto • Valor presente con interés compuesto • Tasa de interés compuesta • Tiempo de negociación • Valor futuro con tasa variable • Valor presente con tasa variable 4. TASAS DE INTERÉS • Tasa de interés nominal • Tasa efectiva periódica • Relación entre tasas de interés • Tasas equivalentes • De tasa efectiva a tasa efectiva • De tasa nominal a tasa efectiva • De tasa efectiva a tasa nominal • De tasa nominal a nominal • Tasas de interés anticipadas • Equivalencias entre tasas anticipadas y vencidas 5. ANUALIDADES O SERIES DE TIEMPO • Clases de anualidades • Valor presente anualidad vencida • Valor de la cuota en función del valor presente • Valor futuro de una anualidad vencida

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• Valor futuro de una anualidad vencida con tasa variable • Valor de la cuota en función del valor futuro • Cálculo del tiempo de negociación • Anualidad con interés global • Cálculo del saldo insoluto • Anualidades anticipadas 6. AMORTIZACIONES • Sistemas de amortización. • Clases de amortizaciones. • Sistema de amortización con pago único del capital al final del plazo • Sistema de cuota fija • Sistema de cuota fija con cuotas extraordinarias • Sistema de cuota fija con periodo de gracia. • Sistema de abono constante a capital con intereses vencidos • Sistema de abono constante a capital con intereses anticipados • Sistema de cuota fija con interés global • Sistemas de amortización de créditos de vivienda BIBLIOGRAFIA

PORCENTAJE La palabra por ciento significa una cierta cantidad de cada ciento de una cantidad cualquiera. Ejemplo: 8%, significa 8 unidades de cada 100 unidades. GANANCIAS Y PÉRDIDAS EN TRANSACCIONES COMERCIALES Las ganancias en las transacciones comerciales pueden expresarse en forma de porcentaje. Las pérdidas suelen expresarse en forma de un porcentaje del precio de costo, en tanto que las ganancias pueden expresarse como porcentaje del precio de costo o de venta. Ejemplo: Un artículo se compra en $100.000 y se vende en $120.000. La ganancia es de $20.000, que expresado en porcentaje será: Ganancia = %20

000.100100*000.20

= del precio de costo

Ganancia = %67.16000.120100*000.20

= del precio de venta.

Este resultado significa que la ganancia sobre la inversión ha sido del 20%, o bien que el 16.67% de los ingresos ha sido ganancia. Así mismo, si el artículo costó $100.000 y por circunstancias del mercado se vendió en $80.000, se obtuvo una pérdida de $20.000 sobre el costo, que representa:

Pérdida = %20000.100100*000.20

= sobre el costo

Para determinar el precio de venta de un artículo se añade al costo una cantidad suficiente para cubrir los gastos de operación y obtener una utilidad. Los gastos de operación son aquellos que la empresa invierte en el proceso de compra y venta del artículo, como por ejemplo: salarios, servicios públicos, publicidad, etc. La cantidad que se le agrega al costo del artículo o servicio para cubrir los gastos de operación y obtener una ganancia, se llama utilidad bruta. La ganancia, o sea, lo que queda después de cubrir los gastos de operación se llama utilidad neta. TALLER 1: PORCENTAJE DE GANANCIAS Y PÉRDIDAS 1. Convierta cada uno de los siguientes porcentajes en números decimales:

a) 10%, b) 83.54%, c) 0.56%, d) 850%, e) 250%

2. Convierta los siguientes números en porcentajes: a) 0.25, b) 0.032, c) 0.86,

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS ELEMENTALES

Precio de venta = costo del artículo + utilidad bruta Utilidad bruta = gastos de operación + utilidad neta Precio de venta = costo del artículo + gastos de operación + utilidad neta.

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d) 1.50, e) 0.75

3. Calcular los siguientes porcentajes: a) 20% de 4.728, b) 0.32% de 3.280, c) 3% de 15.600, d) 5% de 35.000, e) 12% de 234.890

4. Qué porcentaje de 120.000 es 86.000? 5. El arrendamiento de un edificio aumentó un 12%. Si actualmente se pagan $8.500.000, cuál era el valor del

arrendamiento? 6. En qué porcentaje se debe incrementar un salario de $500.000 para que se convierta en $ 680.000?. 7. Juan David compró una grabadora cuyo precio es de $380.000. Si le hicieron el 15% de descuento, cuánto

pagó? 8. Un comerciante compró un artículo en $200.000. Desea agregarle una utilidad bruta del 40% sobre el costo,

para cubrir los gastos de operación y utilidad neta. A qué precio de bebe vender el artículo? VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Significa que una cantidad de dinero ubicada en tiempos diferentes tendrá valores diferentes, así: $ 1.000.000 a un año tendrá valores diferentes en cada mes del año, esto debido a los siguientes factores: • La inflación. Este fenómeno económico hace que el dinero día a día pierda poder adquisitivo, es decir, que el

dinero se desvalorice. Dentro de un año recibirá el mismo $ 1.000.000 pero con menor poder de compra de bienes y servicios.

• Costo de oportunidad. Si se pierde la oportunidad de invertir el $ 1.000.000 en alguna actividad, logrando que no sólo se proteja la inflación sino que también produzca una utilidad adicional.

Este cambio de la cantidad de dinero en el tiempo determinado es o que se llama valor en el tiempo y se manifiesta a través del interés. Una cantidad de dinero en el presente vale más que la misma cantidad en el futuro. INTERÉS Para compensar el valor del dinero en el tiempo futuro se utiliza el interés. Entonces el interés es la medida o manifestación del valor del dinero en el tiempo. Si se presta hoy una cantidad de dinero; tiempo presente (P) y después de un tiempo determinado se recibe una cantidad mayor tiempo futuro (F), la variación del valor del dinero de P a F se llama valor del dinero en el tiempo, y la diferencia entre F y P es el interés (I). La operación se representa mediante la siguiente expresión. Ejemplo: Si se deposita en una cuenta de ahorros $ 500.000 y después de 6 meses se tiene un saldo de $ 580.000, calcular el valor de los intereses. I = F – P = $ 580.000 - $ 500.000 = $ 80.000 TASA DE INTERÉS La palabra tasa significa medir; la tasa de interés (i) se expresa en forma de porcentaje para un período de tiempo determinado; la tasa de interés en forma matemática se expresa mediante la siguiente relación:

I = F – P interés F = P + I valor futuro P = F – I valor presente

100*PIi =

iIP =

I = P*i

100*PPFi −

=

8

Ejemplo: Se deposita en una entidad financiera la suma de $1.000.000 y al cabo de 1 mes se retira $1.030.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés ganada. P = $ 1.000.000 F = $ 1.030.000 I= F – P = $1.030.000 - $ 1.000.000 = $ 30.000

100*PIi = = 100*

000.000.1000.30 = 0.03*100 = 3%

EQUIVALENCIA Dos cantidades diferentes ubicadas en fechas diferentes son equivalentes: aunque no sean iguales, si producen el mismo resultado económico. Esto es, $ 100.000 de hoy son equivalentes a $ 140.000 dentro de un año si la tasa de interés es del 40% anual. Un valor presente (P) es equivalente a un valor futuro (F) si el valor futuro cubre el valor presente más los intereses a la tasa exigida por los inversionistas. TALLER 2: INTERESES Y TASAS DE INTERÉS

1. Expresa como número decimal las siguientes tasas de interés: 20% anual, 3% mensual, 18,5% trimestral, 65%

semestral, 1% diario, 23.65% anual. 2. Una inversión inicial de $235.000 produce después de 6 meses un resultado de $ 389.560. Calcular: Valor de

los intereses ganados, tasa de interés de la operación. 3. Cuanto se debe invertir hoy para tener dentro de un año $ 10.500.000 y se ganen unos intereses por valor de $

250.000? 4. Calcular el valor de los intereses que produce un capital de $ 5.000.000 a las siguientes tasas de interés: 3%

mensual, 1.5% quincenal, 18% semestral, 0,25% diario, 25% anual. FLUJO DE CAJA Todas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos. Estos valores se pueden registrar sobre una recta que mida el tiempo de duración de la operación financiera. Al registro gráfico de entradas y salidas de dinero durante el tiempo que dura la operación financiera se conoce como flujo de caja o diagrama de línea de tiempo. Por sentido común se ha adoptado señalar los ingresos con flecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo. Para resolver los problemas de matemáticas financieras, el primer paso y quizá el más importante es la construcción correcta del flujo de caja, porque además de mostrar claramente el problema nos indica las fórmulas que se deben aplicar para la solución. Ejemplo: El señor Castro deposita en una entidad financiera el 1º de enero del 2008 la suma de $ 1.000.000 y después de 6 meses retira una cantidad de $ 1.075.000. Construir el flujo de caja. Solución: El problema se puede solucionar de desde dos puntos de vista: • Primero el flujo de caja para el prestamista (señor Castro) • Segundo para el prestatario (entidad financiera)

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1. Punto de vista del prestamista (señor Castro)

Julio/08 $1.075.000 1 Enero/08 $1.000.0000 2. Punto de vista de la entidad financiera (prestatario) $1.000.000 1 Enero/08 1 Julio/08 $1.075.000

TALLER 3: CONSTRUYA EL FLUJO DE CAJA

1. El señor Castro compra una casa por $ 100.000.000 y se compromete a pagarla de la siguiente manera: cuota inicial de $ 20.000.000 y el saldo en 3 cuotas iguales en los meses 3, 6, 9 por valor de $30.000.000 cada una. Construir el flujo de caja para el señor Castro.

2. El banco Ganadero le concede al señor Castro un crédito por valor de $10.000.000 con plazo de un año. Tasa de interés trimestral es de 9%. El banco le exige al señor Castro la restitución del capital al final del año. Construir el flujo de caja para el señor Castro.

3. Considerando el ejercicio anterior pero suponiendo que el banco le exige al señor Castro la restitución del capital en 4 cuotas trimestrales iguales además del pago de los intereses sobre los saldos. Construir el flujo de caja para el señor Castro.

4. Usted compra un electrodoméstico que tiene un valor de contado de $ 1.500.000 y lo paga de la siguiente forma: cuota inicial del 10% y el resto en 6 cuotas mensuales iguales de $ 300.000 cada una, usted puede decir que pagó por el electrodoméstico realmente $ 1.950.000?

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Se llama interés simple aquel en el cual los intereses devengados en un período no ganan intereses en los períodos siguientes, independientemente de que se paguen o no, únicamente sobre el capital se liquidan los intereses sin tener en cuenta los intereses precedentes causados. La liquidación de los intereses se hace sobre el saldo insoluto, es decir, sobre el capital no pagado. CÁLCULO DE INTERESES En interés simple, el interés a pagar por una deuda varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo, es decir, a mayor capital y mayor tiempo es mayor el valor de los intereses; para el cálculo de intereses se utiliza la siguiente expresión: Donde: I = valor de los intereses i. = tasa de interés expresada en decimales n. = tiempo Despejando las diferentes variables de la ecuación anterior se obtiene las expresiones siguientes: Ejemplo. Juan Pedro tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36% anual simple y el capital restante al 2% mensual. Calcular el valor de los intereses mensuales simple. El 60% de $ 2.000.000 = 0.60*2.000.000 = $ 1.200.000 o sea: $ 1.200.000 a una tasa del 36% anual simple. $ 800.000 a una tasa del 2% mensual simple. Cálculo del interés mensual simple de $ 1.200.000 I1 = 1.200.000* 000.36$1*

1236.0

=

Cálculo del interés mensual simple de $ 800.000 I2= 800.000*0.02*1 = $16.000 Interés total mensual. I = I1 + I2 = $ 36.000 + $ 16.000 = $ 52.000 INTERÉS COMERCIAL Y REAL Cuando se realiza cálculos financieros que involucren las variables tiempo y tasa de interés, surge la duda sobre qué números de días se toma para el año, es decir, si se toma 365 o 360 días. Esto da origen a dos tipos de interés: el interés ordinario o comercial, que es el que se calcula considerando el año de 360 días, y el interés real o exacto que se calcula considerando el año de 365 días, o 366 si se trata de año bisiesto.

I = P*i*n

niIP.

=

nPIi.

=

piIn.

=

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Ejemplo: Calcular el interés comercial y el interés real o exacto de $1.500.000 a una tasa de interés del 36% anual simple durante 45 días. 1. Interés comercial: año 360 días. I = P*i*n = 1.500.000* 500.67$45*

36036.0

=

2. Interés real o exacto: año 365 días. I = P*i*n = 1.500.000* 34.575.66$45*

36536.0

=

TALLER 1. Hallar el valor de los intereses y el valor futuro para los siguientes casos:

Valor presenta (P) Tasa de interés (i) Periodos de tiempo (n) $4.500.000 1.5%mensual 2, 3, 4, 5 y 6 meses

$14.800.000 1.2%, 1.3%, 1.4%, 1.5% mensual 10 meses $40.500.000 1.4% 1, 1.5, 2, 2.5, 3 anos $15.300.000 1.8% mensual 15, 40, 75, 80 130 días

2. Hallar el valor de los intereses comercial y real, y el valor futuro cuando un capital (P) de $21.000.000 se invierte en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 18% anual para un tiempo de: a) 15 días b) 50 días c) 75 días d) 450 días e) 720 días CALCULO DEL NÚMERO DE DIAS ENTRE FECHAS Al realizar operaciones financieras la variable tiempo no siempre se expresa en número de días, meses o años, sino que aparece la fecha de iniciación de la operación y la fecha de vencimiento. Para calcular el número de días transcurridos entre las fechas se manejan dos criterios: el cálculo aproximado que toma en cuenta el año comercial y el cálculo exacto (días calendario) considerando el año real, que se realiza con apoyo de las tablas para calcular el número exacto de días o de una calculadora financiera. Ejemplo. Calcular el número de días entre el 12 de enero y el 23 de octubre del 2007. Para el año comercial y el año real. Año comercial:

Año Mes Día Fecha final 2007 10 23 (-)Fecha inicial 2007 01 12 Resultado 0 09 11

Son 9 meses y once días: 9*30 +11 = 270 +11 = 281 días Año real: días calendario. Procedimiento con la tabla

Hasta el 23 octubre marca 296 días (-) 12 de enero 12 días Resultado 284 días

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Ejemplo: La guerra de los Mil días, denominada también Guerra Magna, se desarrolló entre el 18 de octubre de 1899 y el 21 de noviembre de 1902. Cuántos días realmente duró la guerra?. Año comercial y año real. Año comercial

Año Mes Día Fecha final 1902 11 21 (-)Fecha inicial 1899 10 18 Resultado 03 01 18

Son 3 años, un mes, 3 días: 3*360 + 1*30 + 3 = 1.113 días TABLA PARA CALCULAR EL NÚMERO EXACTO DE DÍAS Día mes Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 29 29 60 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 31 31 90 151 212 243 304 365

366

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Año real o exacto. 18 de octubre a 31 de Diciembre 1899 365 – 291 = 74 días Días del año 1990 365 días Días del año 1901 365 días Del 1 de Enero 1902 a 21 de Noviembre 325 días Resultado 1129 días

TALLER. Siguiendo un proceso ordenado y lógico hallar el tiempo real y comercial para las siguientes fechas a) Entre el día de hoy y el día de su cumpleaños b) Entre el día de hoy el 31 de Diciembre de este año c) Entre el día de hoy y el 7 de Agosto de este año d) Entre el día de hoy y el 11 de Noviembre de este año e) Entre el día de hoy y el 20 de Julio del próximo año f) Entre el 20 de Julio y el 11 de Noviembre de este año g) Entre el 6 de Enero y 31 de Octubre de este año h) Entre el 20 de Marzo y el 14 de Julio de este año i) Entre el 11 de Noviembre de este año y 7 de Agosto del próximo año j) Entre el 21 de Mayo de este año y 17 de Diciembre del próximo año k) Entre el 10 de Noviembre de este año y 27 de Diciembre del próximo año l) Entre el 15 de Junio de este año y 15 de Octubre del próximo año m) Entre el 1 de Febrero de este año y10 de Mayo del próximo año n) Entre el 2 de mayo del presente año y el 16 de Agosto dentro de tres años o) Entre el 5 de Abril del presente año y el 20 de Marzo dentro de 4 años VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE Consiste en calcular el valor futuro F, equivalente a un valor presente P, después de n períodos a una tasa de interés simple i. El valor futuro es igual al capital prestado más los intereses; su expresión es la siguiente: Una condición importante para utilizar la ecuación anterior, la tasa de interés y el período deben estar expresados en la misma unidad de tiempo; si esto no sucede hay que hacer transformaciones para que coincidan las unidades de tiempo. Desventajas del interés simple: • Su aplicación en el mundo financiero es limitado. • Desconoce el valor del dinero en el tiempo. • No capitaliza los intereses no pagados y, por lo tanto, estos pierden poder adquisitivo. Ejemplo. Cuál será el valor a cancelar dentro de 10 meses por un préstamo de $ 5.000.000 recibidos en el día de hoy, si la tasa de interés es del 35% mensual simple. F = P + P*i*n F = 5.000.000 + 5.000.000*0.35*10 F = 5.000.000 + 17.500.000 = 22.500.000 F = $ 22.500.000 INTERESES MORATORIOS Cuando una deuda no se paga en la fecha de vencimiento, comienza a ganar intereses llamados intereses de mora, los cuales se calculan con base al capital prestado sobre el saldo insoluto por el tiempo que demora el pago.

F = P + P*i*n = P(1+i*n)

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Por lo general, la tasa de interés moratorio es 1.50 veces la tasa de interés corriente vigente en el momento de presentarse el incumplimiento, sin que se exceda el límite máximo permitido por la ley. Ejemplo. Un pagaré por valor de $ 500.000 devenga intereses del 2% mensual simple y tiene un plazo de vencimiento de 45 días. Si se cancela 15 días después de su fecha de vencimiento, calcular el interés moratorio y la cantidad total a pagar. La tasa de interés moratoria es del 3% mensual simple. Si el pagaré se paga en la fecha de vencimiento, el valor a cancelar es de: F = P + P*i*n F = 500.000 + 500.000* =02.0*

3045 500.000 +15.000 = $ 515.000

F = $ 515.000 Al aplazarse el pago durante 15 días, se generan unos intereses moratorios a una tasa del 3% mensual. I = P*i*n Intereses moratorios I = 500.000* =03.0*

3015 $ 7.500

Cantidad total a pagar = F + intereses moratorios Cantidad total a pagar = $ 515.000 + $ 7.500 = $ 522.500 TALLER 4: USO DE LA EXPRESION I = P*i*n

1. Hallar el valor de los intereses (I) para un capital de $10.000.000 a una tasa de interés mensual del 10%; para

9 meses de tiempo (n) 2. Hallar el valor presente (P), cuando el valor de los intereses (I) es de $ 3.000.000, en un período de tiempo (n)

de 15 meses; cuando la tasa de interés (i) es del 2.5%. 3. Hallar la tasa de interés (i) para un capital (P) de $15.000.000 que ha producido unos intereses (I) de $

3.000.000 para un período de tiempo de 18 meses. 4. Calcular el período de tiempo (n) para un capital de $ 12.000.000 que produce unos intereses (I) de $

4.000.000, cuando la tasa de interés toma el valor del 4.0% mensual. 5. Calcular el valor del interés comercial y el interés real o exacto de $ 24.000.000 que sometido a una tasa de

interés del $ 36% anual simple; según los siguientes datos. a. Se depositó el día de hoy y se retiró el 30 agosto dos años después b. Se depositó el 9 de abril del 2008 y se retiró el 5 de diciembre tres años después

VALOR PRESENTE A INTERÉS SIMPLE Consiste en calcular un valor presente P equivalente a un valor futuro F, ubicado n períodos adelante a una tasa de interés simple i. F = P(1 + i*n) entonces el valor presente será

Ejemplo. El señor castro tiene que cancelar dentro de un año y medio un valor de $ 2.500.000: Si la tasa de interés es del 3% mensual simple. Cuál es el valor inicial de la obligación. La tasa de interés está en una unidad de tiempo diferente al número de períodos, por lo tanto, al aplicar la fórmula se deben convertir los años a meses. P =

)*1( niF+

= )03.0*181(

000.500.2+

= $ 1.623.376.62

P = $ 1.623.376.62 La respuesta indica que $ 1.623.376.62 de hoy son equivalentes a $ 2.500.000 dentro de un año y medio, a una tasa de interés del 3% mensual simple. La diferencia entre estos dos valores pertenece a los intereses.

P = )*1( ni

F+

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CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS SIMPLE Consiste en calcular la tasa de interés simple (i), que produce una inversión inicial (P) y después de (n) períodos se recibe una cantidad acumulada (F). Despejando (i) de F = P(1 + i*n), se obtiene la expresión correspondiente Ejemplo. Un inversionista en el día de hoy invierte en una corporación $ 1.000.000 y después de 6 meses retira $1.250.000. Calcular la tasa de interés simple ganada.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= 11PF

ni = ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −1000.000.1000.250.1

61 = 0.0417 = 4.17%

i. = 4.17% CÁLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACIÓN Consiste en determinar el número de períodos (n), que se requieren para que una inversión inicial (P) a una tasa de interés simple de (i) produzca un valor futuro (F). Despejando (i) de F = P(1 + in), se obtiene la expresión correspondiente. Ejemplo. Cuánto tiempo se debe esperar para que un capital de $1.000.000 se convierta en $ 2.500.000, si la operación se realiza al 4% mensual?.

n. = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −1000.000.1000.500.2

04.01 =37.5 meses

n. = 37 meses y 15 días OPERACIONES DE DESCUENTO Un descuento es una operación financiera que consiste en cobrar el valor de un título o documento el valor de los intereses en forma anticipada. Esta operación es frecuente en el mundo de los negocios cuando se tienen cuentas por cobrar o títulos valores y se necesita hacerlas efectivas antes de su fecha de vencimiento. En nuestro país esta operación es usual cuando se acude a créditos bancarios de corto plazo. En este caso, en el mismo momento en que recibe el préstamo se cobran los intereses por anticipado. Estos intereses cobrados en forma anticipada se llaman descuento y la cantidad de dinero que recibe el tenedor del título, una vez descontados los intereses, se llama valor efectivo del pagaré. El valor nominal es el monto que aparece en el pagaré. Al vender un pagaré antes de la fecha de vencimiento, el comprador aplica una tasa de descuento sobre el valor nominal del título (valor de vencimiento). Dependiendo de la forma como se aplique la tasa de descuento sobre el valor nominal, resultan dos tipos de descuento: • El descuento comercial • El descuento racional o justo. El descuento comercial. En una operación con descuento comercial los intereses simples se calculan sobre el valor nominal, que corresponde al monto que aparece en el pagaré. Para tal caso se utiliza la siguiente expresión:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= 11PF

ni

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= 11PF

in

16

Donde: Ve = valor efectivo Vn = valor nominal n. = período de tiempo i.= tasa de interés Ejemplo. Supóngase que se tiene un documento por cobrar dentro de 12 meses por un valor de $1.000.000, que ya tiene incluido los intereses, y se desea negociar en día de hoy. El intermediario financiero cobra una tasa de descuento del 2% mensual. Se desea conocer el valor efectivo (Ve) a recibir. Ve = Vn(1 – n*i)= 1.000.000 (1- 12*0.02) = 1.000.000*0.76 = $ 760.000 El valor efectivo a recibir es $ 760.000 El descuento racional o justo. En una operación con descuento racional los intereses simples se calculan sobre el valor efectivo. Para tal caso se utiliza la siguiente expresión: Donde: Ve = valor efectivo Vn = valor nominal n. = período de tiempo i.= tasa de interés Ejemplo. Utilizando los datos del ejemplo anterior el valor del descuento racional o justo será: Ve =

)1( *inVn+

= )02.0*121(

000.000.1+

= $ 806.451.61

El valor efectivo a recibir $ 806.451.61 Descuento comercial =$1.000.000 – 760.000 = $ 240.000 Descuento racional=$1.000.000 – 806.451.61 = $ 193.548.39 Se observa que para una misma operación financiera, es mayor el descuento comercial que el descuento racional. TALLER 5: USO DE LA EXPRESION F=P(1+i*n) 1. Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $15.550.000 sometido a una tasa de interés del 5%

mensual; en 16 meses de tiempo (n). 2. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $12.000.000 si la tasa de interés mensual es 8%; en 19 meses de

tiempo (n) 3. Encontrar el valor de un capital (P) que sometido a una tasa de interés (i) del 5% mensual produce una

cantidad de dinero (F) de $ 18.600.000 en un tiempo 14 meses. 4. Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 36.000.000, en un período de tiempo (n)

de 22 meses; si la tasa de interés (i) asignada es del 2.5% mensual

Ve = Vn(1 – n*i)

Ve = )*1( in

Vn+

17

5. Hallar el valor de la tasa de interés mensual (i) para un capital (P) de $14.000.000 que ha producido un nuevo capital equivalente de $ 24.250.000 para un período de tiempo de 30 meses

TALLER 6: INTERÉS SIMPLE 1. Por medio de un pagaré nos comprometimos a cancelar después de un año y medio un valor de $3.285.000. Si

la tasa de interés es del 1.5% mensual simple. Hallar el valor inicial de la obligación. Respuesta: $2.586.614.17

2. Un inversionista estima que un lote de terreno puede ser negociado dentro de 3.5 años por $85.000.000. Cuánto será lo máximo que el está dispuesto a pagar hoy, si desea obtener un interés del 18% semestral simple?. Respuesta $ 37.610.619.47

3. Hallar la tasa de interés mensual simple que obtenemos cuando invertimos $ 210.000.000 y al cabo de 10 meses podemos retirar $ 311.650.000. Respuesta 4.84%

4. Se compra un lote de terreno por valor de $ 9.000.000. Si se espera venderlo dentro de un año en $12.00.000. Cuál es la tasa de interés mensual simple que rinden los dineros allí invertidos?. Respuesta 2.78%

5. Una caja de ahorros reconoce el 5% trimestral simple. Si hoy deposito $ 250.000. Cuánto tiempo debo esperar para retirar $ 325.000?. Respuesta 6 trimestres

6. Se invirtieron $ 2.000.000 y después de 3 años se recibieron $ 3.600.000. Qué tasa trimestral simple produjo la operación financiera?. Respuesta 6.67% trimestral

7. hace 8 meses disponía de $ 2.000.000 y tenía las siguientes alternativas de inversión: a) Comprar un inventario de ropa por este valor, que a precios de hoy valen $ 3.300.000. b) Invertirlos en una entidad que me paga el 2.8% mensual simple. Después de consultarlo, me decidí por la primera alternativa. Fue acertada la decisión?. Respuesta sí; explique.

18

El interés compuesto (llamado también interés sobre interés), es aquel que al final del período capitaliza los intereses causados en el período, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses. Capitalización es el proceso mediante el cual los intereses que se van causando periódicamente se suman al capital anterior. El período de capitalización es período pactado para convenir el interés. CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS COMPUESTO. • El capital inicial cambia en cada período porque los intereses que se causan se capitalizan o sea, se convierten

en capital. • La tasa de interés siempre se aplica a un capital diferente. • Los intereses periódicos siempre serán mayores. VALOR FUTURO E INTERÉS COMPUESTO Consiste en calcular el valor equivalente de una cantidad P, después de estar ganando intereses por (n) períodos, a una tasa de interés (i). Por lo tanto, el valor futuro equivalente a un valor presente está dado por la siguiente fórmula: Esta fórmula es conocida como la fórmula básica de las matemáticas financieras debido a que, la mayoría de las operaciones financieras se realizan con su aplicación. El factor (1 + i )n se conoce con el nombre de factor de capitalización en pago único. TALLER Se invierten $ 10.000.000 durante 12 meses en una corporación que reconoce una tasa de interés del 3% mensual compuesta. Se desea saber, cuánto dinero se tendrá acumulado al final de cada mes?.

Valor presente 10.000.000 F = P(1 + i )n Intereses acumulados al

final de cada mes Final del primer mes F1 = Final del segundo mes F2 = Final del tercer mes F3 = Final del cuarto mes F4 = Final del quinto mes F5 = Final del sexto mes F6 = Final del séptimo mes F7 = Final del octavo mes F8 = Final del noveno mes F9 = Final del décimo mes F10 = Final del décimo primero mes F11 = Final del décimo segundo mes F12 =

F = P(1 + i )n

19

VALOR PRESENTE CON INTERÉS COMPUESTO Consiste en calcular el valor P, equivalente hoy a una cantidad futura F, ubicada (n) períodos adelante, considerando una tasa de interés compuesta i. Esta operación de calcular el valor actual de un capital equivale a lo pagado en el futuro, se presenta con mucha frecuencia en los negocios y se conoce como el procedimiento para descontar una deuda. F = P(1 + i )n ⇒ Ejemplo. Don Pedro necesita disponer de $3.000.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual, cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?.

niFP)1( +

= = 6)035.01(

000.000.3+

= 6)035.1(000.000.3 = 502.440.2

229255326.1000.000.3

=

P= $ 2.440.502 TASA DE INTERÉS COMPUESTA En algunos casos se conoce la cantidad invertida y la recibida después de un número de períodos determinado, y se desea conocer la tasa de interés. Cuando sólo existe una única cantidad invertida y una única recibida, la tasa de interés no se puede calcular por solución directa aplicando la ecuación F = P(1 + i )n; para este caso la ecuación se transforma en: Ejemplo. Si el día de hoy se invierten $ 10.000.000 y después de año y medio se tienen acumulados $ 30.500.000. Qué tasa de interés produjo la operación?.

i. = 1−nPF = 1

000.000.10000.500.30

18 − = 105.318 − = 1.063911606 – 1 = 0.063911606 = 6.39%

i. = 6.39% TIEMPO DE NEGOCIACIÓN Con frecuencia se hace una inversión inicial a una conocida tasa de interés con el propósito de obtener una cantidad futura determinada, y se desea conocer en cuánto tiempo se obtendrá esta cantidad futura. Desde el punto de vista matemático, se plantea el problema de la siguiente forma: conocidos el valor presente (P), el valor futuro (F) y la tasa de interés (i), se desea calcular el número de períodos (n). F = P(1 + i )n ⇒ Ejemplo. Si se realiza una operación financiera con una tasa de interés del 4% mensual, cuánto tiempo (n) se debe esperar para que $ 5.000.000 de hoy se conviertan en $ 7.116.560?.

)1( iLogLogPLogFn+

−=

==

+−

)04.01(000.000.5560.116.7

LogLogLog

niFP)1( +

=

1−= nPFi

)1( iLogLogPLogFn+

−=

20

0000.901733339.015330011.0

01733339.0698970004.6852270115.6

==−

n.= 9 meses VALOR FUTURO CON TASA VARIABLE Por lo general la tasa de interés para todos los períodos de cálculo no es siempre la misma. Por ejemplo, las tasas de interés que pagan los bancos por las cuentas de ahorros y los CDT son fluctuantes en períodos cortos de tiempo, por lo que los cálculos de rentabilidades realizados con la aplicación de la fórmula básica F=P(1+i)n

resultan irreales. La fórmula para calcular el valor futuro con interés compuesto, cuando la tasa de interés para cada período proyectado es diferente, queda de la siguiente forma: Donde .F=valor futuro P=valor presente i1=tasa de interés del primer período i2=tasa de interés del segundo período in=Tasa de interés del período n Ejemplo. Blanca Helena desea invertir $ 2.500.000 durante 6 meses. La tasa de interés inicial que le reconocen es del 1% mensual. Si se espera que cada mes la tasa de interés aumente 0.20%, cuánto recibirá al final del semestre. ? P = $ 2.500.000 i1 = 1.0%, i2 = 1.20%, i3= 1.40%, i4=1.60%, i5 = 1.80%, i6 = 2.00% Reemplazando estos valores se obtendrá: F = 2.500.000(1.010)(1.012)(1.014)(1.160)(1.180)(1.020)= $ 2.733.515.29 VALOR PRESENTE CON TASA VARIABLE Al hacer los cálculos del valor presente en la vida práctica las tasas de interés varían período a período lo que nos indica que la fórmula básica F = P(1 + i )n no es aplicable. Para este nuevo caso la fórmula matemática es: Donde .F=valor futuro P=valor presente i1=tasa de interés del primer período i2=tasa de interés del segundo período i3=tasa de interés del tercer período in=Tasa de interés del período n Ejemplo. Un padre de familia necesita tener disponibles $ 2.000.000 dentro de 6 meses. Calcular el valor del depósito inicial si se esperan las siguientes tasas de interés para los próximos 6 meses.

F = P(1+i1)(1+i2)(1+i3)…(1+in)

)1)...(1)(1)(1( 321 niiiiFP

++++=

21

Mes Mes1 Mes2 Mes3 Mes4 Mes5 Mes6 Tasa 0.50% 0.60% 0.70% 0.80% 0.90% 1.00%

)1)...(1)(1)(1( 321 niiiiFP

++++= =

)01.01)(009.01)(008.01)(007.01)(006.01)(005.01(000.000.2

++++++=

P = $ 1.912.332.52 TALLER 7: INTERÉS COMPUESTO F=P(1+i)n 1. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $10.000.000 sometido si tasa de interés mensual es el 10%; en un

tiempo (n) de 8 meses 2. Hallar el valor presente (P), cuando el valor futuro (F) es de $ 30.000.000, en un período de tiempo (n) de 15

meses; cuando la tasa de interés (i) toma el valor del 3.0% mensual 3. Hallar la tasa de interés compuesta (i) para un capital (P) de $15.000.000 cando su valor equivalente (F) es de $

63.000.000 para el período de tiempo de 46 meses 4. Calcular el período de tiempo (n) para un capital de $ 14.000.000 cuando su valor equivalente (F) es de

$120.000.000, cuando la tasa de interés compuesta toma el valor del 2.5.0% mensual 5. Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $12.550.000 sometido a una tasa de interés compuesta

del 6% mensual en el tiempo (n) 10 años. 6. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $18.000.000 si la tasa de interés mensual es del 9%; en un intervalo

de tiempo (n) de 48 meses 7. Encontrar el valor del capital que sometido a una tasa de interés (i) del 36% anual produce una cantidad de

dinero (F) de $28.600.000 en un tiempo de 26 meses. 8. Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 38.600.000, en un período de tiempo (n) de

20 meses; si la tasa de interés (i) es del 2.0% mensual 9. Hallar el valor de la tasa de interés mensual (i) para un capital (P) de $17.000.000 que ha producido un nuevo

capital equivalente (F) de $ 34.250.000 para un tiempo de 30 meses. 10. Calcular el período de tiempo (n) para un capital (P) de $ 18.000.000; que después de un tiempo el capital

equivalente (F) es $ 34.600.000, cuando la tasa de interés compuesta toma el valor del 48% anual

22

La tasa de interés es el precio del dinero tanto para el que lo necesita porque paga un precio por tenerlo, como para el que lo tiene porque cobra un precio por prestárselo al que lo requiere. El dinero es una mercancía que tiene un precio y, como tal, su valor lo fija el mercado como resultado de la interacción entre la oferta y la demanda. La tasa de interés está presente cuando se abre una cuenta de ahorros, se utiliza una tarjeta de crédito, o se hace un préstamo de dinero. Su nivel debe ser la preocupación diaria de cualquier persona o empresa, porque mide el rendimiento como el costo del dinero. El nivel de las tasas de interés está afectado por diversas variables, a saber: la inflación, la devaluación, la oferta y la demanda y el riesgo empresarial. Estas variables, en conjunto, o individualmente, determinan en un momento determinado el costo del dinero. TASA DE INTERES NOMINAL Es una tasa de referencia que existe solo de nombre porque no nos determina la verdadera tasa de interés que se nos cobra en una operación financiera. La tasa nominal se representa por ( j ); el número de veces o periodos que el interés se convierte en capital se denomina capitalización y se simboliza con (m) Ejemplos de tasas de interés nominal.

INTERES NOMINAL LECTURA CAPITALIZACION

J =15% NM se lee 15% nominal mensual donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12) J =18% NM se lee 18% nominal mensual donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12) J =24% NM se lee 24% nominal mensual donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12) J =30% NM se lee 30% nominal mensual donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12) J =36% NM se lee 36% nominal mensual donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12) J =24% NT se lee 34% nominal trimestral donde el interés se convierte 4 veces en capital (m=4) J =24% NB se lee 24% nominal bimestral donde el interés se convierte 6 veces en capital (m=6) J =30% ND se lee 30% nominal diaria donde el interés se convierte 360 veces en capital (m=360) J =12% NS se lee 12% nominal semestral donde el interés se convierte 2 veces en capital (m=2)

TASA EFECTIVA PERIODICA Es aquella tasa que en realidad se aplica a un capital en un periodo de tiempo que puede ser: un día, una semana, un mes, un bimestre, un trimestre, un semestre, un año. Ejemplos de tasa de interés periódica efectiva

TASA NOMINAL MENSUAL LECTURA TASA PERIODICA EFECTIVA MENSUAL

1 J =15% NM la tasa efectiva mensual correspondiente será i = J/m = 15%/12 = 1.25% 2 J =18% NM la tasa efectiva mensual correspondiente será i = J/m = 18%/12 = 1.50% 3 J =24% NM la tasa efectiva mensual correspondiente será i = J/m = 24%/12 = 2.00% 4 J =30% NM la tasa efectiva mensual correspondiente será i = J/m = 30%/12 = 2.50% 5 J =36% NM la tasa efectiva mensual correspondiente será i = J/m = 36%/12 = 3.00%

TALLER: Hallar la tasa efectiva periódica ( i ) para:

TASA NOMINAL MENSUAL LECTURA TASA PERIODICA EFECTIVA MENSUAL

1 J =12% NS 2 J =24% NT 3 J =24% NB 4 J =30% ND

23

RELACION ENTRE TASAS DE INTERES A diferencia de las tasas nominales, las tasas periódicas no se fraccionan (no se dividen entre el número de períodos), ni se pueden obtener multiplicando la tasa efectiva periódica de menor período por el número de períodos. La tasa efectiva periódica resulta de hacer capitalizaciones Real o virtual de los intereses periódicos. La forma de calcular una tasa efectiva periódica equivalente a otra efectiva periódica, corresponde a los casos de equivalencia de intereses, o tasas equivalentes. Para estas equivalencias se utilizará los siguientes símbolos: a) TEA = tasa efectiva anual b) TES = tasa efectiva semestral c) TET = tasa efectiva trimestral d) TEB = tasa efectiva bimensual e) TEM = tasa efectiva mensual f) TED = tasa efectiva diaria TASAS EQUIVALENTES Dos tasas son equivalentes cuando las dos, obrando en condiciones diferentes producen la misma tasa efectiva anual o el mismo valor futuro. El concepto de operaciones en condiciones diferentes hace referencia a que ambas capitalizan en períodos diferentes, o que una de ellas es vencida y la otra anticipada: en el sistema financiero actual se encuentran diferentes casos de tasas equivalentes: a) De tasa efectiva a tasa efectiva b) De tasa nominal a tasa efectiva c) De tasa efectiva a tasa nominal d) De tasa nominal a tasa nominal 1. DE TASA EFECTIVA A TASA EFECTIVA En este caso se pueden presentar dos alternativas: tasa efectiva de menor a una tasa efectiva mayor o tasa efectiva mayor a tasa efectiva menor. Donde n. = números de periodos de la nueva capitalización m = números de capitalizaciones dadas i2 = tasa efectiva dada i1. = ? nueva tasa efectiva Ejemplo 1. Hallar la tasa efectiva mensual (TEM) para una tasa del 15% efectiva anual (TEA) n = 12 nuevas capitalizaciones en un año m = 1 capitalización dada en un año TEA =i2 = 15% = 0.15 i1= ? nueva tasa efectiva Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TEM = ( ) 11121

−+ TEA = ( ) 115.01121

−+ = 1.011714917 – 1 = 0.011714917 = 1.17% efectivo mensual

( ) 11 21 −+=nm

ii

24

Ejemplo 2. Se tiene una tasa del 2.5% efectivo mensual (TEM) y desea convertir en una nueva tasa efectiva anual (TEA) n = 1 nuevo número de capitalizaciones en un año m = 12 número capitalizaciones dadas por año TEM = i2 = 2,5% = 0.025 i1. =? nueva tasa efectiva Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

( ) 11 21 −+=nm

ii

TEA = i1. = ( ) 11 −+nm

TEM = ( ) 1025.01 12 −+ = ( ) 1025.01 12 −+ =1.3449 – 1 = 0.3449 = 34. 49% efectivo anual. TALLER. 1. Hallar la tasa efectiva mensual para los siguientes casos:

a) Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 20% (TEA) b) Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 22% (TEA) c) Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 24% (TEA) d) Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 36% (TEA)

2. Se tiene una tasa efectiva anual 42% (TEA) y se desea convertir a las siguientes tasas: (escriba el nombre de cada tasa encontrada)

TEA = ( ) 11 −+nm

TEA =

TES = ( ) 11 −+nm

TEA =

TET = ( ) 11 −+nm

TEA =

TEB = ( ) 11 −+nm

TEA =

TEM = ( ) 11 −+nm

TEA =

TED = ( ) 11 −+nm

TEA = 3. Se tiene una tasa del 2.5% efectivo mensual (TEM), convertir en tasa efectiva: anual, semestral, trimestral, bimestral y mensual

TEA = ( ) 11 −+nm

TEM =

TES = ( ) 11 −+nm

TEM =

TET = ( ) 11 −+nm

TEM =

TEB = ( ) 11 −+nm

TEM =

25

TEM = ( ) 11 −+nm

TEM = 2. DE TASA NOMINAL A TASA EFECTIVA Conocida la tasa nominal del crédito se necesita conocer la tasa efectiva periódica equivalente. Esta situación se presenta con frecuencia en el sector financiero, debido a que las entidades financieras suelen expresar, por lo general, las tasas de interés de colocación en forma nominal y el deudor necesita conocer tanto la tasa efectiva periódica (que es la tasa que determina el valor de los intereses) como la tasa efectiva anual del crédito. n. = número de periodos de la nueva capitalización m = número de capitalizaciones dadas i. = nueva tasa efectiva Ejemplo 1. Se tiene una tasa nominal mensual del 36% (NM) y se desea convertir a una tasa efectiva anual (TEA) n. = 1 número de periodos de la nueva capitalización m = 12 número de capitalizaciones dadas en un año j = 36%NM = 0.36 Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TEA = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ = 1

1236.01

112

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ + = 0.4258 = 42.58 efectivo anual

Ejemplo 2. Se tiene una tasa nominal mensual de 36% (NM) y se desea convertir en una tasa efectiva bimensual (TEB) n. = 6 número de periodos de la nueva capitalización m = 12 número de capitalizaciones dadas en un año j = 36%NM = 0.36 Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TEB = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ = 1

1236.01

612

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ + = 0.0609 = 6.09% efectivo bimensual

Ejemplo 3. Se tiene una tasa nominal trimestral del 24% (NT) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM) n. = 12 número de periodos de la nueva capitalización m = 4 número de capitalizaciones dadas en un año j = 24%NM = 0.24 Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TEM. = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ = 1

424.01

124

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ + = ( ) 106.1124

− = 0.01961 = 1.96% efectiva trimestral

11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=nm

mJi

26

TALLER 1. Se tiene una tasa nominal mensual del 36% (NM) y se desea convertir en las siguientes tasas: (escriba el nombre de cada tasa encontrada)

TEA = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ =

TES = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ =

TET = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ =

TEB = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ =

TEM = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ =

2. Se tiene una tasa nominal semestral del 18% (NS) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)

TEM = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ =

3. Se tiene una tasa nominal bimestral del 8% (NS) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)

TEM = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ =

4. Se tiene una tasa nominal anual del 30% (NA) y se desea convertir en las siguientes tasas (escriba el nombre de cada tasa encontrada):

TEA = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ =

TES = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ =

TET = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ =

TEB = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ =

TEM = 11 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +nm

mJ =

3. DE TASA EFECTIVA A TASA NOMINAL Conocida una tasa efectiva se puede calcular una tasa nominal equivalente. Para este caso se utiliza la siguiente expresión.

27

n. = número de capitalizaciones dadas m = número de capitalizaciones nuevas en un año j = tasa nominal a buscar i = tasa efectiva periódica Ejemplo 1. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir en una tasa nominal trimestral (NT) n. = 12 números de capitalizaciones dadas en un año m = 4 números de capitalizaciones nuevas en un año j = ? tasa nominal i = 2.5% tasa efectiva periódica = 0.025 Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TNT. = ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+ 11 m

nim = ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+ 1025.014 4

12= ( )[ ]1025.14 3 − = 4(0.07689) = 0.3076 = 30.76% nominal

trimestral. TALLER. 1. Se tiene una tasa efectiva mensual del 1.8% y se desea convertir a las siguientes tasas: nominal semestral (NS), nominal trimestral (NT), nominal bimestral (NB) y nominal anual (NA)

TNS. = ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+ 11 m

nim =

TNT. = ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+ 11 m

nim =

TNB. = ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+ 11 m

nim =

TNA. = ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+ 11 m

nim =

2. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir a las siguientes tasas: nominal semestral (NS), nominal trimestral (NT), nominal bimestral (NB) y nominal anual (NA).

TNS = ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+ 11 m

nim =

TNT = ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+ 11 m

nim =

TNB = ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+ 11 m

nim =

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= 11 m

nimj

28

TNA = ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+ 11 m

nim =

3. Una entidad financiera ofrece pagar por los ahorros una tasa de interés del 22% capitalizable mensualmente, y otra ofrece pagar el 23% capitalizable semestralmente. Qué opción se debe elegir? 4. *A partir de una tasa nominal del 36% (TNA) calcular la tasa efectiva:

a) Mensual b) Bimestral c) Trimestral d) Semestral e) Anual del

3. *Se desea elegir entre estas dos opciones para aceptar un crédito bancario: 30%MV o 30% TV; realizar su proceso correspondiente. 4. DE TASA NOMINAL A TASA NOMINAL Muchas veces se necesita, por razones de liquidez u otra circunstancia, cambiar el período de capitalización de la tasa de interés nominal con que se pactó una operación financiera. Este caso conduce a calcular una tasa nominal conocida otra nominal mediante la siguiente expresión: Dónde: J1 = tasa nominal a buscar m1. = nuevos periodos de capitalización J2 = tasa nominal dada m2. = periodos de capitalización dados Ejemplo. Una entidad financiera aprueba a Don Pepe un crédito a una tasa del 36% con capitalización mensual (36%NM), quien solicita quiere que le conviertan esa tasa en una nueva tasa nominal pero capitalizable trimestralmente. Hallar esta nueva tasa equivalente. J1 = ? tasa nominal a buscar m1. = 4 nuevos periodos de capitalización en el año J2 = 36% tasa nominal dada = 0.36 m2. = 12 periodos de capitalización dados Reemplazando en la expresión correspondiente se tiene:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ += 11236.014

412

1j =4 ( )[ ]103.01 3 −+ =4 [ ]1092727.1 − =4(0.092727)=0.3709=37.09% tasa nominal capitalizable

trimestralmente J1 = 37.09%NT TALLER. 1. Dada una tasa nominal del 30%TNV calcular una tasa nominal TMV

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 11

1

2

2

211

mm

mJmJ

29

2 Se tiene una tasa del 30% con capitalización mensual (36%NM), se quiere convertir en una nueva tasa nominal capitalizable: a) Bimestral b) Trimestralmente c) Semestral d) Anual EQUIVALENCIAS ENTRE TASAS ANTICIPADAS Y VENCIDAS Cuando se cobra la tasa de interés en forma anticipada, primero se cobran los intereses y luego se permite utilizar el dinero, lo que en realidad significa que se presta una cantidad menor, y esto se traduce en un mayor costo del crédito. Las tasas anticipadas pueden ser Nominales o periódicas efectivas. Las tasas nominales son las que se capitalizan más de una vez en el año. 1. CONVERSIÓN DE TASA PERIODICA ANTICIPADA A TASA VENCIDA. Consiste en diseñar una expresión que permita calcular la tasa periódica vencida equivalente a una tasa periódica anticipada. La ecuación que permite realizar esta operación es la siguiente: Donde: iv = tasa efectiva periódica vencida ia = tasa efectiva periódica anticipada Ejemplo. Le ofrecen un préstamo de $ 100.000 que debe pagar después de un mes pero le cobran intereses del 5% mensual, pagaderos en forma anticipada. Como usted necesita la totalidad de los $100.000, le solicita a quien le presta el dinero que le cobre intereses mensuales vencidos, pues si son anticipados sólo recibirá $ 95.000. Se necesita conocer la tasa mensual vencida equivalente a una tasa del 5% mensual anticipado. ia. = 0.05

iv = )1( a

a

ii− = )05.01(

05.0− = 5.26%

iv = 5.26% mensual Al hacer la operación con esta tasa del 5.26% mensual, usted recibirá los $ 100.000 y al finalizar el mes entregaría $ 105.260, valor que se descompone en $ 100.000 de capital más $ 5.260 de interés (100.000*0.0526) 2. CONVERSIÓN DE TASA PERIODICA VENCIDA A TASA ANTICIPADA. Ahora estamos ante una situación contraria a la analizada anteriormente. Al conocerse una tasa periódica vencida se necesita calcular la tasa periódica anticipada equivalente. Donde iv = tasa efectiva periódica vencida

)1( a

av i

ii

−=

)1( v

va i

ii

+=

30

ia = tasa efectiva periódica anticipada Algunos autores simbolizan la tasa periódica vencida como: iv = i Ejemplo. Si usted le va a prestar a un cliente una determinada cantidad de dinero al 2% mensual y le exige el pago de intereses anticipados. Calcular esa tasa de interés. iv = 0.02

ia = )1( v

v

ii+ = )02.01(

02.0+ = 0.019607843 = 1.96%

ia = 1.96% anticipados 3. CONVERSIÓN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA EFECTIVA VENCIDA. Donde m. = número de capitalizaciones dadas en un año n. = número de capitalizaciones nuevas en un año j = tasa nominal dada iv = ? tasa efectiva vencida Ejemplo 1. Se tiene una tasa del 30% (TNMA) y se desea pasar a una tasa efectiva anual vencida (TEAV). m. = 12 número de capitalizaciones dadas en un año n = 1 número de capitalizaciones nuevas en un año j = 30% TNMA = 0.30 TEAV = ? Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 1

nm

jmmTEAV

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

130.012

12 112

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ 170.1112 12

= ( )[ ]1025641020.1 12 − =0.3550=35.50%,

TEAV = 35.50% tasa efectiva anual vencida Ejemplo 2. Se tiene una tasa del 32% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV). m. = 4 número de capitalizaciones dadas en un año n = 12 número de capitalizaciones nuevas en un año j = 32% TNTA = 0.32 Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 1

nm

jmmTEMV =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

132.04

4 124

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ 168.34 12

4

= ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −1086956522.1 12

4=0.02818=2.82%,

TEMV = 2.82% tasa efectiva mensual vencida

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 1

nm

v jmmi

31

TALLER. 1. Se tiene una tasa del 36% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva semestral vencida (TESV). 2. Se tiene una tasa del 48% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral vencida (TETV). 3. Se tiene una tasa del 18% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva bimestral vencida (TEBV). 4. Se tiene una tasa del 12% TNSA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV). 5. Se tiene una tasa del 15% TNBA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV). 6. Se tiene una tasa del 12% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV). 4. CONVERSIÓN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL VENCIDA. Donde m1. = número de capitalizaciones dadas en un año m2 = número de capitalizaciones nuevas en un año j1 = tasa nominal dada j2. = ? tasa nominal a buscar Ejemplo. Se tiene una tasa del 24% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV). m1. = 6 números de capitalizaciones dadas en un año m2 = 4 números de capitalizaciones nuevas en un año j1 = 24% TNTA = 0.24 j2. = ? Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 1

1

2

12

122

mm

jmmmJ =4

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

124.06

6 46

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ 176.564

46

=4 ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −1041666667.1 4

6=0.2525

J2=25.26%, TNTV = 25.26% tasa nominal trimestral vencida TALLER. 1. Se tiene una tasa del 12% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV). 2. Se tiene una tasa del 18% NTA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV). 3. Se tiene una tasa del 20% NBA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV). 5. CONVERSIÓN DE TASA EFECTIVA VENCIDA A TASA EFECTIVA ANTICIPADA. Donde n1. = número de capitalizaciones dadas en un año

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 1

1

2

12

122

mm

jmmmJ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−=2

1

)1(

11nn

v

a

ii

32

n2 = número de capitalizaciones nuevas en un año iv= tasa efectiva vencida dada ia. = ? tasa anticipada a buscar Ejemplo. Se tiene una tasa del 35% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada (TETA). n1. = 1 número de capitalizaciones dadas en un año n2 = 4 número de capitalizaciones nuevas en un año TEAV = iv = 35% = 0.35 ia. = ? Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−=2

1

)1(

11nn

TEAVTETA

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−41

)35.01(

11 =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

41

)35.1(

11 = 0.07228 = 7.23%

TETA = ia.= 7.23% tasa efectiva trimestral anticipada TALLER. 1. Se tiene una tasa del 20% TETV y se desea pasar a una tasa efectiva bimestral anticipada (TEBA). 2. Se tiene una tasa del 12% TESV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada (TETA). 3. Se tiene una tasa del 18% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva semestral anticipada (TESA). 6. CONVERSIÓN TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL ANTICIPADA. Donde m1. = número de capitalizaciones dadas en un año m2 = número de capitalizaciones nuevas en un año) j1 = tasa nominal mes anticipada j2= ? tasa nominal anticipada a buscar Ejemplo. Se tiene una tasa del 24% TNMA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada (TNTA). m1. = 12 números de capitalizaciones dadas en un año m2 = 4 números de capitalizaciones nuevas en un año TNMA =j1 = 24% = 0.24 TNTA = j2= ? Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

2

1

1

112 1

mm

mjmmTNTA =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

412

1224.01214 =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−412

1276.1114 = ( )[ ]941192.014 − = [ ]058808.04 =02352=23.52%

TNTA = 23.52% nominal trimestral anticipada

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

2

1

1

1122 1

mm

mjmmJ

33

TALLER. 1. Se tiene una tasa del 12% TNSA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada (TNTA). 2. Se tiene una tasa del 18% TNTA y se desea pasar a una tasa nominal bimestre anticipada (TNBA). 3. Se tiene una tasa del 28% TNSA y se desea pasar a una tasa nominal mensual anticipada (TNMA). TALLER FINAL 1. Hallar la tasa trimestral anticipada equivalente a:

a) Al 26% efectiva vencida anual b) Al 35% efectiva anticipada año c) Al 34% nominal trimestre vencida d) Al 4% anticipada de bimestre e) Al 31% efectivo vencido anual

2. Hallar la tasa efectiva mensual equivalente a:

a) Al 15% efectiva semestral b) Al 20% nominal bimestral c) Al 24% nominal trimestral anticipada d) Al 25% anticipada año

DESCUENTO POR PRONTO PAGO Los proveedores se constituyen en una importante fuente de financiamiento de corto plazo para cualquier empresa. Evidentemente, el crédito es un factor de demanda de un producto. Aunque lo ideal para las empresas comerciales y manufactureras sería vender los productos al contado, ya se ha constituido en una práctica comercial no exigirle a los compradores que paguen por las mercancías al momento de su entrega, sino que se les conceden un corto período de aplazamiento para hacerlo. Los proveedores plantean los descuentos por pronto pago de sus productos indicando los descuentos por medio de fracciones, cuyo numerador señala el porcentaje de descuento y denominador se refiere al tiempo dentro del cual el comprador tiene la opción de pagar, para tener derecho al descuento señalado en el numerador. Ejemplo. Un proveedor factura una mercancía por valor de $ 500.000 con el siguiente plan de descuento por pronto pago: 4/10 neto 30. Calcular el costo para el comprador si se acoge o no al descuento por pronto pago. La expresión 4/10 neto 30 significa que si el comprador paga la mercancía dentro de los primeros 10 días tendrá derecho a un descuento del 4%, de lo contrario pagará a los 30 días el valor neto de la factura. Descuento = i*500.00 = 0.04*500.000 = $ 20.000 Costo a pagar dentro de los 10 primeros días = 500.000 – 20.000 = $ 480.000 Si no se acoge al descuento pagará a los 30 días el valor neto de la factura $ 500.000

34

Una anualidad es un conjunto de pagos iguales (constantes) hechos a intervalos de tiempo. El término anualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente. En el sentido estricto de la expresión, esto no necesariamente es así. En matemáticas financieras, anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, que pueden ser anuales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc. El estudio de las anualidades es de mucha importancia en finanzas, entre otras razones, porque es el sistema de amortización más común en los créditos comerciales, bancarios y de vivienda. Este sistema de pagos permite que el financiador, cada vez que recibe el pago de la cuota, recupere parte del capital prestado. CLASES DE ANUALIDADES Las clases de anualidades más comunes son las siguientes: • Anualidad vencida • Anualidad con interés global • Anualidad anticipada ANUALIDAD VENCIDA. Es aquella en que los pagos se hacen al final del período: así, por ejemplo, el salario mensual de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la compra de vehículos y electrodomésticos, son casos de anualidades vencidas. Para hallar el valor de una anualidad (A) se utiliza la siguiente fórmula: Ejemplo. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor total pagado. Valor a financiar = $ 20.000.000 - $ 2.000.000 = $ 18.000.000

A = P⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−++

1)1()1(n

n

iii = 18.000.000 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

+

1)02.01()02.0.1(02.0

12

12= $ 1.702.072.74

A = $ 1.702.072.74 valor de la cuota mensual. Total a pagar = A*12+2.000.000=1.702.072.74*12+2.000.000=20.424.872.88+2.000.000= $22.424.872.88 Total a pagar = $ 22.424.872.88 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA El valor presente de una anualidad vencida es equivalente a una serie de pagos iguales y periódicos. Desde el punto de vista matemático, es la suma de los valores presentes de todos los pagos. Para hallar el valor presente de una anualidad vencida se utiliza la siguiente expresión:

A = P ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

+

1)1()1(n

n

iii

P = ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−+n

n

iiiA)1(1)1

35

Ejemplo. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales $500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo.

P= ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−+n

n

iiiA)1(1)1 = ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−+60

60

)025.01(025.01)025.01000.500 = ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

)399789748.4(025.0399789748.3000.500 =

P = $ 15.454.328.24 Valor del vehículo = $15.454.328.24 + $ 1.000.000 = $ 16.454.328.24 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA Es valor ubicado en la fecha del último pago, equivalente a toda la serie de pagos iguales y periódicos. En forma matemática, es el valor final que resulta de sumar todos los valores llevados al futuro. Su fórmula para este caso es: Ejemplo. Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 años, en una entidad financiera que paga una tasa de interés del 4% mensual. Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo?.

F = A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+ii n 1)1( = 400.000 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+04.0

1)04.01( 24= 400.000

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡04.0

)563304165.1( = $ 15.633041.65

F = $ 15.633041.65 VALOR DE LA CUOTA EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO Conocidos el valor futuro equivalente de una serie de pagos iguales (F), la tasa de interés efectiva periódica (i) y el número de pagos (n), se desea calcular el valor de la cuota igual y periódica. Su fórmula es la siguiente: Ejemplo. Dayana desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante dos años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 10% mensual para reunir la suma de $17.000.000?

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+ 1)1( niiF =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+ 1)1.01(1.0000.000.17 24

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

)849732676.8(1.0000.000.17 =$192.096.20

A= $192.096.20 CÁLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACIÓN Es el número de cuotas necesarias para amortizar una obligación. Para las anualidades vencidas, el tiempo de la operación, medido en número de períodos, algunas veces coincide con el número de pagos, lo cual no siempre se cumple. El número de cuotas o tiempo de negociación la podemos calcular a partir de la fórmula de valor presente o de la fórmula del valor futuro, dependiendo de qué valor de ellos se conocen en la operación. La fórmula es la siguiente:

F = A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+ii n 1)1(

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+ 1)1( niiF

n.= )1(

)( *

iLogLogAAiFLog

+

−+

36

Ejemplo. Cuántos depósitos mensuales vencidos de $560.000 se deben hacer en una institución financiera que paga el 12% mensual, para tener un valor acumulado de $ 15.000.000 n.=

)1()( *

iLogLogAAiFLog

+

−+ =)12.01(

000.560)000.56012.0000.000.15( *

+

−+

LogLogLog =

n.=)12.1(

000.560)000.360.2(Log

LogLog − = 049218022.0

748188027.5372912003.6 − =049218022.0624723975.0 =12.69299216

n. = 12.69299216 = 13 pagos mensuales. ANUALIDAD CON INTERÉS GLOBAL Las personas que prestan dinero al interés y las casas comerciales que financian electrodomésticos diseñan, en forma permanente sistemas de amortización de créditos que en últimas persiguen crear sobre costos invisibles en las negociaciones que realizan con sus clientes, al plantearles una tasa de interés y cobrarles en realidad una tasa mayor. Es el caso del sistema de amortización de créditos con interés global, que supone el pago de cuotas periódicas iguales, pero en el que los intereses se calculan sobre el capital prestado inicialmente, desconociendo el abono que se le hace a la deuda cada período. La fórmula para encontrar esta anualidad es la siguiente: Ejemplo. Al comprar una lavadora sin cuota inicial queda debiendo $ 5.000.000 que se los financian a una tasa de interés del 4% mensual por medio de 4 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cada pago con interés global. A = iP

nP

*+ = 04.0000.000.54000.000.5

*+ = 1.250.000 + 200.000 = 1.450.000

A= $ 1.450.000 cada cuota Valor total a pagar = 4*1.1450.000= $ 5.800.000 CÁLCULO DEL SALDO INSOLUTO El saldo que se debe de una obligación en cualquier momento de su plazo. Conocer su monto, es importante para efectos de control financiero y para el prepago de una deuda. Para estos casos se utiliza la siguiente fórmula: Donde: n. = número de pagos que o número de cuotas que faltan por pagar. Ejemplo. Un electrodoméstico que tiene un valor de contado de $ 4.500.000, se financia con 24 pagos mensuales de $ 265.713.37, cobrando una tasa de interés de financiación del 3% mensual. Calcular el saldo de la deuda después de cancelada la cuota 17. Procedimiento: El saldo de la deuda es igual al valor presente de una anualidad vencida conformada por 7 pagos mensuales iguales de $ 265.713.37, a una tasa del 3% mensual. Los 7 pagos corresponden al número de cuotas que faltan por pagar.

Saldo a cuota 17 =P = ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−+n

n

iiiA)1(1)1 = ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−+7

7

)03.01(03.01)03.0137.713.265 = 265.713.37

036896215.0229873865.0

A = iPnP

*+

P = ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−+n

n

iiiA)1(1)1

37

Saldo a cuota 17 = $ 1.655.469.48 TALLER 9: ANUALIDADES VENCIDAS 1. Una casa cuesta $80.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 15% de la cuota inicial y 180 cuotas

mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor total pagado. 2. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $500.000 y 72 cuotas mensuales iguales $600.000. La agencia

cobra el 3.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo. 3. Rosa María deposita $ 500.000 cada fin de mes, durante 2.5 años, en una entidad financiera que paga una tasa

de interés del 10% mensual. Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo?. 4. David desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante tres años, en una entidad financiera

que reconoce una tasa de interés del 11% mensual para reunir la suma de $38.000.000? 5. Cuántos depósitos mensuales vencidos de $380.000 se deben hacer en una institución financiera que paga el

60% mensual, para tener un valor acumulado de $ 150.000.000 6. Al comprar un carro sin cuota inicial queda debiendo $ 35.000.000 que se los financian a una tasa de interés del

3.5% mensual por medio de 60 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cada pago con interés global.

7. Un negocio que tiene un valor de contado de $ 45.000.000, se financia con 48 pagos mensuales de $ 1.000.000, cobrando una tasa de interés de financiación del 2% mensual. Calcular el saldo de la deuda después de cancelada la cuota: a) 12 b) 24 c) 36 d) 40 e) 45

ANUALIDADES ANTICIPADAS. Es aquella en cual los pagos se hacen al principio de cada período. Son ejemplos de anualidades anticipadas pos pagos de arrendamientos anticipados, pagos de cuotas por el financiamiento de electrodomésticos. Un ejemplo real de esta clase de anualidades se presenta en algunos créditos comerciales en los que se le manifiesta al cliente que no le cobrarán cuota inicial, pero en el mismo momento en que se hace la negociación se le exige el pago de la primera cuota del conjunto de cuotas que tiene que pagar. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA El valor presente de una serie de pagos iguales anticipados será el valor, que en el momento de realizada la operación financiera, sea equivalente a toda la serie, sus fórmulas para encontrar estos valores son: Ejemplo. Se tiene una obligación que en un momento se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de $15.000 cada mes una por cada mes por anticipado. Se decide, a última hora, cancelar de contado. Si la tasa de interés acordado es del 3% mensual, hallar este valor.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++= n

n

iiiiAP)1(1)1()1( =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++ 18

18

)03.01(03.01)03.01()03.01(000.15 = 212.449.78

P = $ 212.449.78 Comprobar con la segunda fórmula, si el resultado es igual o no. VALOR DE LA CUOTA EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA Corresponde al valor de la cuota, de una serie de cuotas, que se pagan al principio del período. La expresión que nos permite calcular su valor es la siguiente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++= n

n

iiiiAP)1(1)1()1(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++

=

n

n

iiii

PA

)1(1)1()1(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++

=

−

−

1

1

)1(1)1(1 n

n

iiiPA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++=

−

−

1

1

)1(1)1(

n

n

iiiAAP

38

Ejemplo. Se recibe un préstamo de $ 10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 4% de interés mensual, calcular el valor de las cuotas.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++

=

n

n

iiii

PA

)1(1)1()1(

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++ 12

12

)04.01(04.01)04.01()04.01(

000.000.10 = 1.024.540.12

A= $ 1.024.540.12 Comprobar el valor de la cuota para la segunda fórmula. CÁLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACION Es el número de pagos, pagaderos al principio de período, necesarios para amortizar una obligación. Se puede calcular en función del valor presente o del valor futuro. Sus fórmulas son las siguientes: Ejemplo. Una obligación de $ 2.000.000 se va cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de $358.441.75. Si se cobran una tasa de interés del 3% mensual, calcular el número de pagos necesarios para cancelarla.

[ ] 1)1(

)(+

+−−−

=iLog

APiALogLogAn =

n= [ ] 1)03.01(

)75.441.358000.000.2(03.075.441.35875.441.358+

+−−−

LogLogLog

n = 01284.0

49023.555442.5 − = 6

n = 6 número de cuotas. Realizar el mismo ejercicio utilizando la segunda fórmula. VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA Para encontrar este valor se utiliza la siguiente expresión: Ejemplo. Elena recibe al principio de cada mes la suma de $ 100.000 por concepto del arriendo de una bodega de su propiedad. En el mismo momento en que recibe el pago del arriendo deposita la mitad en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Ella desea saber cuánto tendrá disponible en la cuenta final del año.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+=

+

iiiAF

n )1()1( 1=

03.0)03.01()03.01(000.50

112 +−+ += 730.889.52

F = $ 730.889.52

[ ] 1)1(

)(+

+−−−

=iLog

APiALogLogAn

[ ] [ ])1(

)1()1(iLog

PiiALogiALogn+

−+−+=

iiiAF

n )1()1( 1 +−+=

+

39

TALLER 10: ANUALIDAD ANTICIPADA 1. Don Pedro tiene una obligación que había pactado cancelar con 36 cuotas iguales de $90.000 cada mes una

por cada mes por anticipado. Se decide, a última hora consigue unos dineros y decide cancelar de contado. Si la tasa de interés acordado es del 2.5% mensual, hallar este valor.

2. Don José se recibe un préstamo para compra de casa por valor de $ 90.000.000 para pagarlo en 180 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 2% de interés mensual, calcular el valor de las cuotas el valor futuro.

3. Según el caso anterior otras personas desean saber cuál será el valor de las cuotas y el valor futuro a pagar en: a) 10 años, b) 12 años, c) 20 años

4. Carlos adquiere una obligación de $ 18.000.000 y se compromete a cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de $ 1.433.767. Calcular el número de pagos necesarios para cancelar. Si se cobran una tasa de interés del: a) 3.5% mensual, b) 3.0% mensual

5. Doña María recibe al principio de cada mes la suma de $ 2.200.000 por concepto del arriendo de varios inmuebles. Ella deposita la mitad de sus ingresos en una cuenta de ahorros en donde le reconocen a una tasa de interés del 3% mensual. Ella desea saber cuánto tendrá disponible en su cuenta final de: a) 1 año, b) 2 años, c) 3 años, d) 4 años, e) 5 años

FORMULAS ANUALIDADES O SERIES DE TIEMPO

ANUALIDAD VENCIDA ANUALIDAD ANTICIPADA

1. VALOR DE LA CUOTA

A = P ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−++

1)1()1(n

n

iii

A = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+ 1)1( niiF

1. VALOR DE

LA CUOTA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++

=

n

n

iiii

PA

)1(1)1()1(

2. VALOR

PRESENTE P = ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+n

n

iiiA)1(1)1(

2. VALOR

PRESENTE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++= n

n

iiiiAP)1(1)1()1(

3. VALOR FUTURO

F = A⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+ii n 1)1(

3. VALOR FUTURO i

iiAFn )1()1( 1 +−+

=+

4. CÁLCULO DEL TIEMPO

n.= )1(

)( *

iLogLogAAiFLog

+

−+ 4. CÁLCULO DEL TIEMPO

[ ] 1)1(

)(+

+−−−

=iLog

APiALogLogAn

5. ANUALIDAD CON INTERÉS GLOBAL

A = iP

nP

*+

6. CÁLCULO DEL SALDO INSOLUTO O SALDO DE LA DEUDA P = ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+n

n

iiiA)1(1)1(

TALLER 11: COMPLEMENTARIO Para los siguientes casos hacer uso de las formulas pertenecientes a las anualidades o series de tiempo 1. En un Municipio Z se propone comprar un terreno para realizar un polideportivo que cuesta $820.000.000 la

propuesta de compra consiste de la siguiente manera; cuota inicial del 20% y 40 cuotas mensuales con una

40

tasa de interés del 1.5% mensual. Calcular el valor de las cuotas (A) y el valor total pagado; para: a) Una anualidad vencida, b) Una anualidad anticipada

2. Un Municipio X negocio maquinaria de trabajo pesado; y se comprometió cancelar una cuota inicial de $35.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales $1.750.000. La casa distribuidora cobra el 1.8% mensual sobre saldos. La administración desea saber el valor presente (P) de la maquinaria al pago de la última cuota para: a) Una anualidad vencida., b) Una anualidad anticipada,

3. Juanito realiza un depósito de $1 400.000 al final de cada mes, durante 6 años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 1.2% mensual. Juanito desea saber cuánto dinero tendrá acumulado (F) al final de este tiempo?, para: a) Una anualidad vencida. b) Una anualidad anticipada

4. Cuántos depósitos mensuales (n) vencidos de $5.600.000 se deben hacer en una institución financiera que paga el 1.8% mensual, para tener un valor acumulado de $ 1.500.000.000.

5. Don José adquiere una obligación (P) de $ 220.000.000 y se comprometió cancelar en cuotas mensuales iguales de manera anticipada por un valor de $3.580.000. Se cobra a una tasa de interés del 1.5% mensual. Don José desea calcular el número (n) de pagos que debe hacer para cancelar la obligación.

6. La Administración de un Municipio compra maquinaria sin cuota inicial y queda debiendo $ 2000.000.000 que son financiados a una tasa de interés del 1.2% mensual por medio de 40 cuotas mensuales iguales. La administración desea saber el valor de cada cuota con interés global.

7. Una entidad estatal compro material para construcción de contado por un valor de $ 450.000.000, se financia a 36 pagos mensuales de $ 2.650.000, cobrando una tasa de interés de financiación del 1.25% mensual. Calcular el saldo de la deuda después de cancelada la cuota número 28.

8. En los problemas siguientes hallar el valor presente de la anualidad vencida dada: a. $ 5.000.000 por año durante 5 años a la tasa del 8% compuesto. b. $ 1.000.000 cada 6 meses durante 4 años a la tasa del 10% compuesto semestralmente. c. $ 2.000.000 por trimestre durante 4.5 años a la tasa del 8% compuesto trimestralmente. d. $ 1.500.000 mensual durante 15 meses a la tasa del 9% compuesto.

9. En los problemas siguientes encuentre el valor presente de la anualidad anticipada dada. a. $ 8.000.000 pagaderos al inicio de cada 6 meses durante 6 años a la tasa del7% compuesto semestral. b. $ 10.000.000 pagadero al inicio de cada trimestre durante 5 años a la tasa del 6% compuesto

trimestralmente. 10. En los problemas siguientes encuentre el valor futuro de la anualidad vencida dada.

a. $ 2.000.000 mensual durante 3 años a la tasa de interés del 15% compuesto mensual. b. $ 6.000.000 por trimestre durante 4 años a la tasa del 8% compuesto trimestral. c. $ 5.000.000 por año durante 20 años a la tasa del 7% compuesto anual. d. $ 2.000.000 cada 6 meses durante 10 años a la tasa del 6% compuesto semestralmente.

11. En los siguientes problemas encuentre el valor futuro de la anualidad anticipada dada. a. $ 1.200.000 cada año durante 12 años a la tasa del 8% compuesto anual. b. $ 5.000.000 cada trimestre durante 5.5 años a la tasa del 9% compuesto trimestralmente.

41

Una amortización financiera se define como el proceso por medio del cual se cancela una deuda, junto con sus respectivos intereses, mediante una serie de pagos en un tiempo determinado. En términos concretos, amortizar una deuda es pagarla con sus respectivos intereses. Por lo general, cada cuota de pago que amortiza una deuda tiene dos componentes: intereses y abono a capital. Al diseñar un plan de amortización de una deuda se acostumbra construir la tabla de amortización, que registra período a período la forma como se va pagando la deuda. Una tabla de amortización debe contener como mínimo 5 columnas: la primera muestra los períodos de pago, la segunda muestra el valor de la cuota periódica, la tercera el valor los intereses, la cuarta muestra el abono a capital y la quinta columna muestra el saldo de cada período.

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO 0 1 2 4 5 6 7 8 9

10 11 12

TOTALES SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN Cuando se adquiere una obligación, su pago se pacta con una serie de condiciones mínimas que determina el comportamiento que debe asumir el deudor. Para que se pueda hablar de la existencia de un sistema de amortización, es necesario conocer cuatro datos básicos: • Valor de la deuda. P • Plazo durante el cual estará vigente la obligación n • Costo financiero que debe asumir el deudor en la cancelación de la deuda. Este costo financiero es la tasa de

interés cobrada en la operación financiera i. • El patrón de pago del crédito. Se debe especificar la forma de pago de las cuotas A. CLASES DE AMORTIZACIONES. 1. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN CON PAGO UNICO DEL CAPITAL AL FINAL DEL PLAZO En este sistema, se pagan periódicamente los intereses y al final del plazo del crédito se devuelve el capital prestado. Ejemplo. Una deuda de $20.000.000 se va a financiar a 6 meses a una tasa de interés del 2.5% mensual. Los pagos mensuales serán únicamente intereses y el capital se pagará al final del plazo del crédito. Construir la tabla de amortización. Calcular el valor de los intereses mensuales. I = P*i I = 20.000.000*0.025 = 500.000 I = $ 500.000

42

Abono capital = cuota – interés; Cuota = abono a capital + interés Amortización con pago único del capital al final del plazo 20.000.000,00 2,50%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 1 500.000,00 500.000,00 20.000.000,00 2 500.000,00 500.000,00 20.000.000,00 3 500.000,00 500.000,00 20.000.000,00 4 500.000,00 500.000,00 20.000.000,00 5 500.000,00 500.000,00 20.000.000,00 6 $ 20.500.000,00 $ 500.000,00 $ 20.000.000,00 0

2. SISTEMA DE CUOTA FIJA Este sistema, llamado también sistema de amortización simple o crédito plano, tiene la característica que los pagos son iguales y periódicos, o sea, que hace referencia a la anualidad o serie uniforme. En la vida práctica es el sistema más utilizado por los Bancos y casas comerciales para financiamiento de artículos de consumo, créditos bancarios y de vivienda. Tiene la particularidad que desde el pago de la primera cuota, el saldo de la deuda empieza a disminuir hasta llegar a cero, debido a que siempre el valor de la cuota sobre pasa el costo financiero. Ejemplo. Un electrodoméstico que vale de contado $ 5.000.000 se financia de la siguiente forma: una cuota inicial (Ci) de $ 500.000 y el saldo en 6 cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés de financiación que se cobra es del 30% capitalizable mensualmente, calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortización. P = 5.000.000 Ci = 500.000 i. = 0.30/12 = 0.025 = 2.5%

A = (P-Ci) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

+

1)1()1(n

n

iii

A = (5.000.000-500.000)⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−++

1)025.01()025.01(025.0

6

6= 4.500.000

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−1)025.1()025.1(025.0

6

6=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡159693418.0

55095.130465 = $ 816.974,87

A = Abono a capital + Intereses = $ 816.974,87 Tabla: sistema de cuota fija 5.000.000,0 2,50%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 500.000,00

4.500.000,00 1 816.974,87 112.500,00 704.474,87 3.795.525,13 2 816.974,87 94.888,13 722.086,74 3.073.438,39 3 816.974,87 76.835,96 740.138,91 2.333.299,48 4 816.974,87 58.332,49 758.642,38 1.574.657,09 5 816.974,87 39.366,43 777.608,44 797.048,65 6 816.974,87 19.926,22 797.048,65 0,00 $ 5.401.849,22 $ 401.849,22 $ 4.500.000,00

43

3. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON CUOTAS EXTRAORDINARIAS Básicamente casi es el mismo sistema de amortización con cuota fija, pero con la diferencia de que en el plazo del crédito se hacen abonos adicionales al capital, para lograr disminuir el valor de las cuotas periódicas. Ejemplo. Un vehículo que tiene un valor de contado $ 20.000.000 se piensa financiar de la siguiente forma: cuota inicial de $ 2.000.000 y el saldo en 12 cuotas mensuales iguales de $1.500.000 y 2 cuotas extraordinarias de 1.994.324.21 en los meses 6 y 12; construir la tabla de amortización.

Cuota fija con cuotas extraordinarias 20.000.000,0 3,00% 1.994.324

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 2.000.000,00

18.000.000,00 1 1.500.000 540.000 960.000 17.040.000 2 1.500.000 511.200 988.800 16.051.200 3 1.500.000 481.536 1.018.464 15.032.736 4 1.500.000 450.982 1.049.018 13.983.718 5 1.500.000 419.512 1.080.488 12.903.230 6 3.494.324 387.097 3.107.227 9.796.002 7 1.500.000 293.880 1.206.120 8.589.882 8 1.500.000 257.696 1.242.304 7.347.579 9 1.500.000 220.427 1.279.573 6.068.006

10 1.500.000 182.040 1.317.960 4.750.046 11 1.500.000 142.501 1.357.499 3.392.548 12 3.494.324 101.776 3.392.548 0 23.988.648 3.988.648 18.000.000,0

4. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON PERIODO DE GRACIA El período de gracia o tiempo muerto es un período en el cual no hay amortización de capital, pero si hay causación de intereses. Si los intereses se pagan periódicamente, el capital inicial permanece constante y sobre éste mismo se calculan las cuotas. Si los intereses causados no se pagan, estos se capitalizan y la deuda habrá aumentado al final del período de gracia y sobre este nuevo capital se calculan las cuotas de amortización. Ejemplo. Una deuda de $ 20.000.000 se va a cancelar con 4 pagos trimestrales iguales, a una tasa del 9% trimestral, con un período de gracia de 6 meses. Calcular el valor de las cuotas trimestrales y construir la tabla de amortización, suponiendo: 4.1 Durante el período de gracia los intereses causados se pagan periódicamente. En este caso, cada trimestre se debe pagar los intereses causados por la obligación inicial a la tasa de interés pactada. Como los intereses se pagan, el capital inicial no cambia. I = P*i I = 20.000.000*0.09 = 1.800.000 I = $ 1.800.000 trimestrales

A = P ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

+

1)1()1(n

n

iii

A = 20.000.000⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−++

1)09.01()09.01(09.0

4

4= 20.000.000 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−1)09.1()09.1(09.0

4

4=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡411581609.0

90.846.540.2 = 6.173.373.24

A = $ 6.173.373.24

44

Sistema de cuota fija con periodo de gracia 20.000.000,0 9,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0

20.000.000,00 1 1.800.000,00 1.800.000,00 - 20.000.000,00 2 1.800.000,00 1.800.000,00 - 20.000.000,00 3 6.173.373,24 1.800.000,00 4.373.373,24 15.626.626,76 4 6.173.373,24 1.406.396,41 4.766.976,83 10.859.649,93 5 6.173.373,24 977.368,49 5.196.004,75 5.663.645,18 6 6.173.373,24 509.728,07 5.663.645,17 0,01 $ 28.293.492,96 $ 8.293.492,97 $19.999.999,99

4.2 Los intereses causados durante el período de gracia se capitalizan. Este caso despierta confusión entre los usuarios de un préstamo, porque al no hacer el pago periódico de cuotas durante el período de gracia creen que siempre están debiendo el capital inicial. En verdad, al no pagar los intereses durante el período de gracia, estos se capitalizan aumentando nominalmente el valor del préstamo sobre el cual se hará el cálculo de las cuotas periódicas. En este caso los intereses causados durante el período de gracia se capitalizan de tal forma que, al final del mes 6 el capital inicial se ha transformado en: Construimos la tabla de amortización.

20.000.000,0 9,00% No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0

20.000.000,00 1

1.800.000,00 1.800.000,00 21.800.000,00

2 - 1.962.000,00 1.962.000,00 23.762.000,00 3 7.334.584,75 2.138.580,00 5.196.004,75 18.565.995,25 4 7.334.584,75 1.670.939,57 5.663.645,18 12.902.350,07 5 7.334.584,75 1.161.211,51 6.173.373,24 6.728.976,83 6 7.334.584,75 605.607,91 6.728.976,84 - 0,01

$ 29.338.339,00 $ 9.338.338,99 $ 20.000.000,01

F = P(1 + i)n F = 20.000.000 *(1 + 0.09)2 F = $ 23.762.000 Con este nuevo capital calculamos el valor de cada una de las cuotas trimestrales.

A = P ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

+

1)1()1(n

n

iii

= 23.762.000⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−++

1)09.01()09.0.1(09.0

4

4= $ 7.334.584.75

A = $ 7.334.584.75 5. SISTEMA DE ABONO CONSTANTE A CAPITAL Este es uno de los sistemas de amortización utilizados por los bancos para sus créditos ordinarios y de consumo, como también para la amortización de los créditos de vivienda. Aunque los intereses pueden ser cobrados en forma vencida o anticipada, la amortización al capital es constante, es decir, cada período se abona al capital una cantidad constante igual al monto del préstamo dividido entre el número de períodos de pago. En el siguiente ejemplo se analizará los intereses en forma vencida y en forma anticipada.

45

5.1 Con intereses vencidos Ejemplo. El Banco Ganadero concede un crédito por valor de $ 100.000.000 a una tasa de interés del 36% trimestre vencido, con un plazo de 1 año. La restitución del capital se hará en 4 cuotas trimestrales iguales. Calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortización. Calculamos las 4 cuotas, mediante la siguiente ecuación con intereses vencidos:

Ck = iPnP

*+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−nK 11 , donde: Ck = valor de cada una de las cuotas para: k = 1,2,3,4,…

La primera cuota: C1 = 09.0000.000.100

4000.000.100

*+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−4111 ,

C1 = 25.000.000 + 9.000.000 = 34.000.000 La segunda cuota: C2 = 09.0000.000.100

4000.000.100

*+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−4121 ,

C2 = 25.000.000 + 6.750.000 = 31.750.000 Con intereses vencidos

100.000.000,0 9,00% No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0

100.000.000,00 1 34.000.000,00 9.000.000,00 25.000.000,00 75.000.000,00 2 31.750.000,00 6.750.000,00 25.000.000,00 50.000.000,00 3 29.500.000,00 4.500.000,00 25.000.000,00 25.000.000,00 4 27.250.000,00 2.250.000,00 25.000.000,00 - $ 122.500.000,00 $ 22.500.000,00 $ 100.000.000,00

La tercera cuota: C3 = 09.0000.000.100

4000.000.100

*+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−4131 ,

C3 = 25.000.000 + 4.500.000 = 29.500.000 La cuarta cuota: C4 = 09.0000.000.100

4000.000.100

*+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−4141 ,

C4 = 25.000.000 + 2.250.000 = 27.250.000

5.2 Con intereses anticipados Este es el caso utilizado con mayor frecuencia por los bancos para amortizar los créditos a corto plazo. La amortización del capital se hace con cuotas constantes pagaderas al final del período, pero los intereses son cobrados en forma anticipada. Ejemplo. Con los datos del ejemplo anterior, calcular el valor de las cuotas, valor de intereses y construir la tabla de amortización, pero asumiendo una tasa del 36% trimestre anticipado.

46

Dividimos la tasa nominal: i. = j/m = 0.36/4 = 0.09 = 9% En el momento de hacer el desembolso del préstamo, momento 0, se cobran los intereses, cuyo valor es: I = p*i = 100.000.000*0.09 = $ 9.000.000 Luego calculamos las 4 cuotas mediante la siguiente ecuación:

Ck = iPnP

*+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −nK1 ,

Donde: Ck = valor de cada una de las cuotas para cada valor de k = 1,2,3,4,… La primera cuota:

C1 = 09.0000.000.1004000.000.100

*+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −411 ,

C1 = 25.000.000 + 6.750.000 = 31.750.000 La segunda cuota: C2 = 09.0000.000.100

4000.000.100

*+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −421 ,

C2 = 25.000.000 + 4.500.000 = 29.500.000 La tercera cuota: C3 = 09.0000.000.100

4000.000.100

*+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −431 ,

C3 = 25.000.000 + 2.250.000 = 27.250.000 La cuarta cuota: C4 = 09.0000.000.100

4000.000.100

*+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −441 ,

C4 = 25.000.000 + 0 = 25.000.000 La tabla de amortización será: Con intereses anticipados

100.000.000,0 9,00% No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0

9.000.000,00

100.000.000,00 1 31.750.000,00 6.750.000,00 25.000.000,00 75.000.000,00 2 29.500.000,00 4.500.000,00 25.000.000,00 50.000.000,00 3 27.250.000,00 2.250.000,00 25.000.000,00 25.000.000,00 4 25.000.000,00 - 25.000.000,00 -

$ 113.500.000,00 $ 13.500.000,00 $ 100.000.000,00

Cuotas fija mes anticipado

47

Ejemplo. Se obtiene una obligación de $ 212.491.72 y pacta cancelar con 18 cuotas iguales de $ 15.000 cada una por mes anticipado, construir la tabla de amortización correspondiente. Sistema de cuota fija mes anticipado

212.491,78 3,00% No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 15.000,00

197.491,78 1 15.000,00 5.924,75 9.075,25 188.416,53 2 15.000,00 5.652,50 9.347,50 179.069,03 3 15.000,00 5.372,07 9.627,93 169.441,10 4 15.000,00 5.083,23 9.916,77 159.524,33 5 15.000,00 4.785,73 10.214,27 149.310,06 6 15.000,00 4.479,30 10.520,70 138.789,37 7 15.000,00 4.163,68 10.836,32 127.953,05 8 15.000,00 3.838,59 11.161,41 116.791,64 9 15.000,00 3.503,75 11.496,25 105.295,39

10 15.000,00 3.158,86 11.841,14 93.454,25 11 15.000,00 2.803,63 12.196,37 81.257,88 12 15.000,00 2.437,74 12.562,26 68.695,61 13 15.000,00 2.060,87 12.939,13 55.756,48 14 15.000,00 1.672,69 13.327,31 42.429,17 15 15.000,00 1.272,88 13.727,12 28.702,05 16 15.000,00 861,06 14.138,94 14.563,11 17 15.000,00 436,89 14.563,11 0,00 $ 270.000,00 $ 57.508,22 $ 197.491,78

6. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON INTERÉS GLOBAL Este sistema de pagos consiste en abonar una porción al capital, los intereses se siguen cobrando sobre el capital prestado inicialmente. Lo importante es diseñar la tabla de amortización para observar el comportamiento del crédito. Ejemplo. Se propone prestar $ 10.000.000 para cancelar por medio de 4 cuotas trimestrales iguales con interés global del 6% trimestral. Calcular el valor de las cuotas y diseñar la tabla de amortización.

A = iPnP

*+ = 06.0000.000.104000.000.10

*+ = $ 3.100.000

Sistema de cuota fija (con interés global)

10.000.000,0 6,00% No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0

10.000.000,00 1 3.100.000,00 600.000,00 2.500.000,00 7.500.000,00 2 3.100.000,00 600.000,00 2.500.000,00 5.000.000,00 3 3.100.000,00 600.000,00 2.500.000,00 2.500.000,00 4 3.100.000,00 600.000,00 2.500.000,00 - $ 12.400.000,00 $ 2.400.000,00 $ 10.000.000,00

48

Ejercicio. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $ 1.000.000 y 12 cuotas mensuales iguales de $ 200.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor de vehículo y la tabla de amortización correspondiente.(PAGINA 210 E5.2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++= n

n

iiiACiP)1(1)1(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++= 12

12

)025.01(025.01)025.01(000.200000.000.1P = 3.051.552.92

TABLA DE AMORTIZACION

3.051.552,92 2,50% No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 1.000.000,00 2.051.552,92 1 200.000,00 51.288,82 148.711,18 1.902.841,74 2 200.000,00 47.571,04 152.428,96 1.750.412,79 3 200.000,00 43.760,32 156.239,68 1.594.173,11 4 200.000,00 39.854,33 160.145,67 1.434.027,43 5 200.000,00 35.850,69 164.149,31 1.269.878,12 6 200.000,00 31.746,95 168.253,05 1.101.625,07 7 200.000,00 27.540,63 172.459,37 929.165,70 8 200.000,00 23.229,14 176.770,86 752.394,84 9 200.000,00 18.809,87 181.190,13 571.204,71

10 200.000,00 14.280,12 185.719,88 385.484,83 11 200.000,00 9.637,12 190.362,88 195.121,95 12 200.000,00 4.878,05 195.121,95 0,00 $ 3.400.000,00 $ 348.447,08 $ 2.051.552,92

Ejercicio. Se compra un artículo con una cuota inicial de$ 3.387.108,42 y 24 cuotas mensuales de $ 800.000. La tasa de interés de financiación es del 3% mensual. Calcular el valor del artículo y la tabla de amortización correspondiente (PAGINA 214 E5.3)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++= n

n

iiiACiP)1(1)1(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++= 24

24

)03.01(03.01)03.01(000.80042.108.387.3P = 16.935.542,12

TABLA DE AMORTIZACION 16.935.542,12 3,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 3.387.108,42 13.548.433,70 1 800.000,00 406.453,01 393.546,99 13.154.886,71 2 800.000,00 394.646,60 405.353,40 12.749.533,31 3 800.000,00 382.486,00 417.514,00 12.332.019,31 4 800.000,00 369.960,58 430.039,42 11.901.979,89 5 800.000,00 357.059,40 442.940,60 11.459.039,29 6 800.000,00 343.771,18 456.228,82 11.002.810,46 7 800.000,00 330.084,31 469.915,69 10.532.894,78 8 800.000,00 315.986,84 484.013,16 10.048.881,62 9 800.000,00 301.466,45 498.533,55 9.550.348,07

49

10 800.000,00 286.510,44 513.489,56 9.036.858,51 11 800.000,00 271.105,76 528.894,24 8.507.964,27 12 800.000,00 255.238,93 544.761,07 7.963.203,19 13 800.000,00 238.896,10 561.103,90 7.402.099,29 14 800.000,00 222.062,98 577.937,02 6.824.162,27 15 800.000,00 204.724,87 595.275,13 6.228.887,14 16 800.000,00 186.866,61 613.133,39 5.615.753,75 17 800.000,00 168.472,61 631.527,39 4.984.226,36 18 800.000,00 149.526,79 650.473,21 4.333.753,16 19 800.000,00 130.012,59 669.987,41 3.663.765,75 20 800.000,00 109.912,97 690.087,03 2.973.678,72 21 800.000,00 89.210,36 710.789,64 2.262.889,08 22 800.000,00 67.886,67 732.113,33 1.530.775,76 23 800.000,00 45.923,27 754.076,73 776.699,03 24 800.000,00 23.300,97 776.699,03 - 0,00 $ 22.587.108,42 $ 5.651.566,30 $ 13.548.433,70

Ejercicio. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y la tabla de amortización. (PAGINA 217 E5.5)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

+=

1)1()1(n

n

iiiPA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

+=

1)02.01()02.01(02.0000.000.18 12

12

A = 1.702.072,74

TABLA DE AMORTIZACION 20.000.000,0 2,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 2.000.000,00

18.000.000,00 1 1.702.072,74 360.000,00 1.342.072,74 16.657.927,26 2 1.702.072,74 333.158,55 1.368.914,19 15.289.013,07 3 1.702.072,74 305.780,26 1.396.292,48 13.892.720,59 4 1.702.072,74 277.854,41 1.424.218,33 12.468.502,26 5 1.702.072,74 249.370,05 1.452.702,69 11.015.799,57 6 1.702.072,74 220.315,99 1.481.756,75 9.534.042,82 7 1.702.072,74 190.680,86 1.511.391,88 8.022.650,94 8 1.702.072,74 160.453,02 1.541.619,72 6.481.031,22 9 1.702.072,74 129.620,62 1.572.452,11 4.908.579,10

10 1.702.072,74 98.171,58 1.603.901,16 3.304.677,94 11 1.702.072,74 66.093,56 1.635.979,18 1.668.698,76 12 1.702.072,74 33.373,98 1.668.698,76 - 0,00 13 22.424.872,87 2.424.872,87 18.000.000,00

Ejercicio. Se tiene un crédito de $5.000.000 para pagarlo en 18 cuotas mensuales de $ 50.000 más dos cuotas extras de $ 2.802.277,50 pagaderos en los meses 6 y 12. Si la operación financiera se realiza con un interés del 3% mensual, construir la tabla de amortización. (PAGINA 219 E5.6)

50

TABLA DE AMORTIZACION 5.000.000,0 3,00% 2.802.277,50

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0

5.000.000,00 1 50.000,00 150.000,00 100.000,00 5.100.000,00 2 50.000,00 153.000,00 103.000,00 5.203.000,00 3 50.000,00 156.090,00 106.090,00 5.309.090,00 4 50.000,00 159.272,70 109.272,70 5.418.362,70 5 50.000,00 162.550,88 112.550,88 5.530.913,58 6 2.852.277,50 165.927,41 2.686.350,09 2.844.563,49 7 50.000,00 85.336,90 35.336,90 2.879.900,39 8 50.000,00 86.397,01 36.397,01 2.916.297,41 9 50.000,00 87.488,92 37.488,92 2.953.786,33

10 50.000,00 88.613,59 38.613,59 2.992.399,92 11 50.000,00 89.772,00 39.772,00 3.032.171,91 12 2.852.277,50 90.965,16 2.761.312,34 270.859,57 13 50.000,00 8.125,79 41.874,21 228.985,36 14 50.000,00 6.869,56 43.130,44 185.854,92 15 50.000,00 5.575,65 44.424,35 141.430,57 16 50.000,00 4.242,92 45.757,08 95.673,48 17 50.000,00 2.870,20 47.129,80 48.543,69 18 50.000,00 1.456,31 48.543,69 0,00

6.204.555,00 1.475.414,57 4.729.140,43

Ejercicio. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% de la cuota inicial y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor total pagado. Valor a financiar = $ 20.000.000 - $ 2.000.000 = $ 18.000.000

A = P ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

+

1)1()1(n

n

iii = 18.000.000 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

+

1)02.01()02.0.1(02.0

12

12= $ 1.702.072.74

A = $ 1.702.072.74 valor de la cuota mensual. Total a pagar = A*12+2.000.000=1.702.072.74*12+2.000.000=20.424.872.88+2.000.000= $22.424.872.88 Total a pagar = $ 22.424.872.88 PAGINA ANUAMORTIZA 1 UN LOTE DE TERRENO 20.000.000,0 2,00% 1.702.072,74

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 2.000.000,00 18.000.000,00 1 1.702.072,74 360.000,00 1.342.072,74 16.657.927,26 2 1.702.072,74 333.158,55 1.368.914,19 15.289.013,07 3 1.702.072,74 305.780,26 1.396.292,48 13.892.720,59 4 1.702.072,74 277.854,41 1.424.218,33 12.468.502,26 5 1.702.072,74 249.370,05 1.452.702,69 11.015.799,57 6 1.702.072,74 220.315,99 1.481.756,75 9.534.042,82 7 1.702.072,74 190.680,86 1.511.391,88 8.022.650,94 8 1.702.072,74 160.453,02 1.541.619,72 6.481.031,22 9 1.702.072,74 129.620,62 1.572.452,11 4.908.579,10

10 1.702.072,74 98.171,58 1.603.901,16 3.304.677,94

51

11 1.702.072,74 66.093,56 1.635.979,18 1.668.698,76 12 1.702.072,74 33.373,98 1.668.698,76 0,00

TOTAL 22.424.872,87 2.424.872,87 20.000.000,00 Ejercicio. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales $500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo.

P= ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−+n

n

iiiA)1(1)1 = ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−+60

60

)025.01(025.01)025.01000.500 = ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

)399789748.4(025.0399789748.3000.500 = $ 15.454.328.24

Valor del vehículo = $15.454.328.24 + $ 1.000.000 = $ 16.454.328.24 PAGINA ANUAMORTIZA 2 COMPRÓ VEHICULO 16.454.328,24 2,50%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 1.000.000,00 15.454.328,24 1 500.000,00 386.358,21 113.641,79 15.340.686,45 2 500.000,00 383.517,16 116.482,84 15.224.203,61 3 500.000,00 380.605,09 119.394,91 15.104.808,70 4 500.000,00 377.620,22 122.379,78 14.982.428,92 5 500.000,00 374.560,72 125.439,28 14.856.989,64 6 500.000,00 371.424,74 128.575,26 14.728.414,38 7 500.000,00 368.210,36 131.789,64 14.596.624,74 8 500.000,00 364.915,62 135.084,38 14.461.540,36 9 500.000,00 361.538,51 138.461,49 14.323.078,87

10 500.000,00 358.076,97 141.923,03 14.181.155,84 11 500.000,00 354.528,90 145.471,10 14.035.684,74 12 500.000,00 350.892,12 149.107,88 13.886.576,85 13 500.000,00 347.164,42 152.835,58 13.733.741,28 14 500.000,00 343.343,53 156.656,47 13.577.084,81 15 500.000,00 339.427,12 160.572,88 13.416.511,93 16 500.000,00 335.412,80 164.587,20 13.251.924,73 17 500.000,00 331.298,12 168.701,88 13.083.222,84 18 500.000,00 327.080,57 172.919,43 12.910.303,42 19 500.000,00 322.757,59 177.242,41 12.733.061,00 20 500.000,00 318.326,53 181.673,47 12.551.387,53 21 500.000,00 313.784,69 186.215,31 12.365.172,21 22 500.000,00 309.129,31 190.870,69 12.174.301,52 23 500.000,00 304.357,54 195.642,46 11.978.659,06 24 500.000,00 299.466,48 200.533,52 11.778.125,53 25 500.000,00 294.453,14 205.546,86 11.572.578,67 26 500.000,00 289.314,47 210.685,53 11.361.893,14 27 500.000,00 284.047,33 215.952,67 11.145.940,47 28 500.000,00 278.648,51 221.351,49 10.924.588,98 29 500.000,00 273.114,72 226.885,28 10.697.703,70 30 500.000,00 267.442,59 232.557,41 10.465.146,30 31 500.000,00 261.628,66 238.371,34 10.226.774,95 32 500.000,00 255.669,37 244.330,63 9.982.444,33 33 500.000,00 249.561,11 250.438,89 9.732.005,44 34 500.000,00 243.300,14 256.699,86 9.475.305,57 35 500.000,00 236.882,64 263.117,36 9.212.188,21

52

36 500.000,00 230.304,71 269.695,29 8.942.492,92 37 500.000,00 223.562,32 276.437,68 8.666.055,24 38 500.000,00 216.651,38 283.348,62 8.382.706,62 39 500.000,00 209.567,67 290.432,33 8.092.274,29 40 500.000,00 202.306,86 297.693,14 7.794.581,14 41 500.000,00 194.864,53 305.135,47 7.489.445,67 42 500.000,00 187.236,14 312.763,86 7.176.681,81 43 500.000,00 179.417,05 320.582,95 6.856.098,86 44 500.000,00 171.402,47 328.597,53 6.527.501,33 45 500.000,00 163.187,53 336.812,47 6.190.688,86 46 500.000,00 154.767,22 345.232,78 5.845.456,08 47 500.000,00 146.136,40 353.863,60 5.491.592,49 48 500.000,00 137.289,81 362.710,19 5.128.882,30 49 500.000,00 128.222,06 371.777,94 4.757.104,36 50 500.000,00 118.927,61 381.072,39 4.376.031,97 51 500.000,00 109.400,80 390.599,20 3.985.432,76 52 500.000,00 99.635,82 400.364,18 3.585.068,58 53 500.000,00 89.626,71 410.373,29 3.174.695,30 54 500.000,00 79.367,38 420.632,62 2.754.062,68 55 500.000,00 68.851,57 431.148,43 2.322.914,25 56 500.000,00 58.072,86 441.927,14 1.880.987,10 57 500.000,00 47.024,68 452.975,32 1.428.011,78 58 500.000,00 35.700,29 464.299,71 963.712,08 59 500.000,00 24.092,80 475.907,20 487.804,88 60 500.000,00 12.195,12 487.804,88 0,00

TOTAL 31.000.000,00 14.545.671,76 15.454.328,24 Ejercicio. Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 años, en una entidad financiera que paga una tasa de interés del 4% mensual. Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo?.

F = A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+ii n 1)1( = 400.000 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+04.0

1)04.01( 24= 400.000 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡04.0

)563304165.1( = $ 15.633041.65

F = $ 15.633041.65 PAGINA ANUAMORTIZA 3 CATALINA 4,00%

No   CUOTA   INTERES   DEPOSITO+INTERESES   SALDO  1 400.000,00 400.000,00 2 400.000,00 16.000,00 416.000,00 816.000,00 3 400.000,00 32.640,00 432.640,00 1.248.640,00 4 400.000,00 49.945,60 449.945,60 1.698.585,60 5 400.000,00 67.943,42 467.943,42 2.166.529,02 6 400.000,00 86.661,16 486.661,16 2.653.190,18 7 400.000,00 106.127,61 506.127,61 3.159.317,79 8 400.000,00 126.372,71 526.372,71 3.685.690,50 9 400.000,00 147.427,62 547.427,62 4.233.118,12

10 400.000,00 169.324,72 569.324,72 4.802.442,85 11 400.000,00 192.097,71 592.097,71 5.394.540,56 12 400.000,00 215.781,62 615.781,62 6.010.322,19 13 400.000,00 240.412,89 640.412,89 6.650.735,07 14 400.000,00 266.029,40 666.029,40 7.316.764,48

53

15 400.000,00 292.670,58 692.670,58 8.009.435,06 16 400.000,00 320.377,40 720.377,40 8.729.812,46 17 400.000,00 349.192,50 749.192,50 9.479.004,96 18 400.000,00 379.160,20 779.160,20 10.258.165,15 19 400.000,00 410.326,61 810.326,61 11.068.491,76 20 400.000,00 442.739,67 842.739,67 11.911.231,43 21 400.000,00 476.449,26 876.449,26 12.787.680,69 22 400.000,00 511.507,23 911.507,23 13.699.187,92 23 400.000,00 547.967,52 947.967,52 14.647.155,43 24 400.000,00 585.886,22 985.886,22 15.633.041,65

TOTAL 9.600.000,00 6.033.041,65 15.233.041,65 Ejercicio. Dayana desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante dos años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 10% mensual para reunir la suma de $17.000.000?

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+ 1)1( niiF =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+ 1)1.01(1.0000.000.17 24

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

)849732676.8(1.0000.000.17 =$192.096.20

A= $192.096.20 PAGINA ANUAMORTIZA 4 DAYANA 10,00%

No   CUOTA   INTERES   DEPOSITO+INTERESES   SALDO  0 1 192.096,20 192.096,20 2 192.096,20 19.209,62 211.305,82 403.402,02 3 192.096,20 40.340,20 232.436,40 635.838,42 4 192.096,20 63.583,84 255.680,04 891.518,45 5 192.096,20 89.151,85 281.248,04 1.172.766,50 6 192.096,20 117.276,65 309.372,85 1.482.139,35 7 192.096,20 148.213,93 340.310,13 1.822.449,48 8 192.096,20 182.244,95 374.341,15 2.196.790,62 9 192.096,20 219.679,06 411.775,26 2.608.565,88

10 192.096,20 260.856,59 452.952,79 3.061.518,67 11 192.096,20 306.151,87 498.248,07 3.559.766,74 12 192.096,20 355.976,67 548.072,87 4.107.839,61 13 192.096,20 410.783,96 602.880,16 4.710.719,77 14 192.096,20 471.071,98 663.168,17 5.373.887,94 15 192.096,20 537.388,79 729.484,99 6.103.372,93 16 192.096,20 610.337,29 802.433,49 6.905.806,42 17 192.096,20 690.580,64 882.676,84 7.788.483,26 18 192.096,20 778.848,33 970.944,52 8.759.427,79 19 192.096,20 875.942,78 1.068.038,98 9.827.466,77 20 192.096,20 982.746,68 1.174.842,87 11.002.309,64 21 192.096,20 1.100.230,96 1.292.327,16 12.294.636,80 22 192.096,20 1.229.463,68 1.421.559,88 13.716.196,68 23 192.096,20 1.371.619,67 1.563.715,87 15.279.912,55 24 192.096,20 1.527.991,25 1.720.087,45 17.000.000,00

TOTAL 4.610.308,75 12.389.691,25 17.000.000,00

54

Ejercicio. Cuántos depósitos mensuales vencidos de $560.000 se deben hacer en una institución financiera que paga el 12% mensual, para tener un valor acumulado de $ 15.000.000

n.=)1(

)( *

iLogLogAAiFLog

+

−+ =)12.01(

000.560)000.56012.0000.000.15( *

+

−+

LogLogLog =

n.=)12.1(

000.560)000.360.2(Log

LogLog − = 049218022.0

748188027.5372912003.6 − =049218022.0624723975.0 =12.69299216

n. = 12.69299216 pagos mensuales. PAGINA ANUAMORTIZA 5 n DEPOSITOS 12,00%

No   CUOTA   INTERES   DEPOSITO+INTERES   SALDO  0 1 560.000,00 560.000,00 2 560.000,00 67.200,00 627.200,00 1.187.200,00 3 560.000,00 142.464,00 702.464,00 1.889.664,00 4 560.000,00 226.759,68 786.759,68 2.676.423,68 5 560.000,00 321.170,84 881.170,84 3.557.594,52 6 560.000,00 426.911,34 986.911,34 4.544.505,86 7 560.000,00 545.340,70 1.105.340,70 5.649.846,57 8 560.000,00 677.981,59 1.237.981,59 6.887.828,16 9 560.000,00 826.539,38 1.386.539,38 8.274.367,53

10 560.000,00 992.924,10 1.552.924,10 9.827.291,64 11 560.000,00 1.179.275,00 1.739.275,00 11.566.566,64 12 560.000,00 1.387.988,00 1.947.988,00 13.514.554,63 13 560.000,00 1.621.746,56 2.181.746,56 15.696.301,19 14 560.000,00 1.883.556,14 2.443.556,14 18.139.857,33 15 560.000,00 2.176.782,88 2.736.782,88 20.876.640,21 16 560.000,00 2.505.196,83 3.065.196,83 23.941.837,04 17 560.000,00 2.873.020,44 3.433.020,44 27.374.857,48 18 560.000,00 3.284.982,90 3.844.982,90 31.219.840,38

TOTAL Ejercicio. Al comprar una lavadora sin cuota inicial queda debiendo $ 5.000.000 que se los financian a una tasa de interés del 4% mensual por medio de 4 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cada pago con interés global.

A = iPnP

*+ = 04.0000.000.54000.000.5

*+ = 1.250.000 + 200.000 = 1.450.000

A= $ 1.450.000 cada cuota Valor total a pagar = 4*1.1450.000= $ 5.800.000 PAGINA ANUAMORTIZA 6 INTERES GLOBAL LAVADORA 5.000.000,00 4,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 5.000.000,00 1 1.450.000,00 200.000,00 1.250.000,00 3.750.000,00 2 1.450.000,00 200.000,00 1.250.000,00 2.500.000,00 3 1.450.000,00 200.000,00 1.250.000,00 1.250.000,00 4 1.450.000,00 200.000,00 1.250.000,00 -

TOTAL 5.800.000,00 800.000,00 5.000.000,00

55

Ejercicio. Se tiene una obligación que en un momento se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de $15.000 cada mes una por cada mes por anticipado. Se decide, a última hora, cancelar de contado. Si la tasa de interés acordado es del 3% mensual, hallar este valor.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++= n

n

iiiiAP)1(1)1()1( =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++ 18

18

)03.01(03.01)03.01()03.01(000.15 = 212.449.78

P = $ 212.449.78 PAGINA ANUAMORTIZA ANTICIPADOS UNA OBLIGACIÓN 212.491,78 3,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 15.000,00 197.491,78 1 15.000,00 5.924,75 9.075,25 188.416,53 2 15.000,00 5.652,50 9.347,50 179.069,03 3 15.000,00 5.372,07 9.627,93 169.441,10 4 15.000,00 5.083,23 9.916,77 159.524,33 5 15.000,00 4.785,73 10.214,27 149.310,06 6 15.000,00 4.479,30 10.520,70 138.789,36 7 15.000,00 4.163,68 10.836,32 127.953,04 8 15.000,00 3.838,59 11.161,41 116.791,63 9 15.000,00 3.503,75 11.496,25 105.295,38

10 15.000,00 3.158,86 11.841,14 93.454,24 11 15.000,00 2.803,63 12.196,37 81.257,87 12 15.000,00 2.437,74 12.562,26 68.695,61 13 15.000,00 2.060,87 12.939,13 55.756,48 14 15.000,00 1.672,69 13.327,31 42.429,17 15 15.000,00 1.272,88 13.727,12 28.702,05 16 15.000,00 861,06 14.138,94 14.563,11 17 15.000,00 436,89 14.563,11 - 18

TOTAL 270.000,00 57.508,22 197.491,78 Ejercicio. Se recibe un préstamo de $ 10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 4% de interés mensual, calcular el valor de las cuotas.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++

=

n

n

iiii

PA

)1(1)1()1(

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++ 12

12

)04.01(04.01)04.01()04.01(

000.000.10 = 1.024.540.12

A= $ 1.024.540.12 PAGINA ANUAMORTIZA ANTICIPADOS RECIBE UN PRÉSTAMO 10.000.000,00 4,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 1.024.540,12 8.975.459,88 1 1.024.540,12 359.018,40 665.521,73 8.309.938,15 2 1.024.540,12 332.397,53 692.142,60 7.617.795,56 3 1.024.540,12 304.711,82 719.828,30 6.897.967,26 4 1.024.540,12 275.918,69 748.621,43 6.149.345,82 5 1.024.540,12 245.973,83 778.566,29 5.370.779,53 6 1.024.540,12 214.831,18 809.708,94 4.561.070,59 7 1.024.540,12 182.442,82 842.097,30 3.718.973,30 8 1.024.540,12 148.758,93 875.781,19 2.843.192,11

56

9 1.024.540,12 113.727,68 910.812,44 1.932.379,67 10 1.024.540,12 77.295,19 947.244,94 985.134,73 11 1.024.540,12 39.405,39 985.134,73 - 0,00

TOTAL 12.294.481,46 2.294.481,46 8.975.459,88 Ejercicio. Una obligación de $ 2.000.000 se va cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de $358.441.75. Si se cobran una tasa de interés del 3% mensual, calcular el número de pagos necesarios para cancelarla.

[ ] 1)1(

)(+

+−−−

=iLog

APiALogLogAn =

n= [ ] 1)03.01(

)75.441.358000.000.2(03.075.441.35875.441.358+

+−−−

LogLogLog

n = 01284.0

49023.555442.5 − = 6, n = 6 número de cuotas.

PAGINA ANUAMORTIZA ANTICIPADOS OBLIGACIÓN DE 2.000.000 2.000.000,00 3,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO

0 358.441,75 1.641.558,25 1 358.441,75 49.246,75 309.195,00 1.332.363,25 2 358.441,75 39.970,90 318.470,85 1.013.892,39 3 358.441,75 30.416,77 328.024,98 685.867,42 4 358.441,75 20.576,02 337.865,73 348.001,69 5 358.441,75 10.440,05 348.001,70 0,01 2.150.650,50 150.650,49 1.641.558,26

Ejercicio. Elena recibe al principio de cada mes la suma de $ 100.000 por concepto del arriendo de una bodega de su propiedad. En el mismo momento en que recibe el pago del arriendo deposita la mitad en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Ella desea saber cuánto tendrá disponible en la cuenta final del año.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+=

+

iiiAF

n )1()1( 1=

03.0)03.01()03.01(000.50

112 +−+ +

= 730.889.52

PAGINA ANUAMORTIZA ANTICIPADOS ELENA 3,00%

No   CUOTA   INTERES   DEPOSITO+INTERESES   SALDO  0 50.000,00 50.000,00 1 50.000,00 1.500,00 51.500,00 101.500,00 2 50.000,00 3.045,00 53.045,00 154.545,00 3 50.000,00 4.636,35 54.636,35 209.181,35 4 50.000,00 6.275,44 56.275,44 265.456,79 5 50.000,00 7.963,70 57.963,70 323.420,49 6 50.000,00 9.702,61 59.702,61 383.123,11 7 50.000,00 11.493,69 61.493,69 444.616,80 8 50.000,00 13.338,50 63.338,50 507.955,31 9 50.000,00 15.238,66 65.238,66 573.193,97

10 50.000,00 17.195,82 67.195,82 640.389,78 11 50.000,00 19.211,69 69.211,69 709.601,48 12 21.288,04 21.288,04 730.889,52

TOTAL 600.000,00 130.889,52 680.889,52

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• Meza Orozco Jhonny de Jesús. MATEMATICAS FINANCIERAS APLICADAS

• Haeussleir Jr. Ernest. MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION, ECONOMIA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA

VIDA

• Arévalo Niño José Abdenago. MATEMATICA FINANCIERA APLICADA A LA ADMINISTRACION PUBLICA