7 Ecuaciones de primer y segundo grado - Anaya …€¦ · seguir en la resolución de ecuaciones...

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Presentación de la unidad

•La unidad comienza recordando el concepto de ecuación, sus elementos y la nomenclatura asociada. A partir de ahí, se puede dividir en dos partes con sendos objetivos bien definidos:

– La primera, imprescindible, es procedimental, y comprende las técnicas y procesos de cálculo algebraico para resolver ecua-ciones, y el camino que se ha de recorrer para conseguir el do-minio ágil de esos procesos.

– La segunda comprende el objetivo fundamental: rentabilizar las ecuaciones como herramienta para resolver problemas.

•Se recuerdan y justifican, primero, las técnicas básicas para trans-poner términos, y se indican los pasos generales que conviene seguir en la resolución de ecuaciones de primer grado. Será el momento de realizar numerosos ejercicios prácticos, secuencia-dos desde las ecuaciones más sencillas hasta las que presentan paréntesis y denominadores.

•Pasamos, después, a las ecuaciones de segundo grado, comen-zando por las más sencillas, las incompletas, que los alumnos y las alumnas pueden resolver “con lo que ya saben”.

•Para las ecuaciones completas, se ofrece la fórmula sin entrar en su justificación, por la dificultad que entraña para la mayoría de los estudiantes. No obstante, se puede tratar, como ampliación, con los alumnos y las alumnas más avanzados.

•Se incluye, también, la discusión del número de soluciones se-gún el signo del discriminante.

•La unidad termina presentando algunos problemas resueltos utili-zando ecuaciones, con la pretensión de que sirvan de modelo, comienzo y motor del principal objetivo de todo este aprendizaje: conseguir la utilidad práctica de todos los contenidos anteriores.

Conocimientos mínimos

Consideramos que, como mínimo, al final de la unidad los estu-diantes deben dominar los contenidos siguientes:

•Comprender el concepto de ecuación y la nomenclatura y signi-ficado de sus elementos.

•Buscar la solución de una ecuación por tanteo u otros métodos no algorítmicos.

7 Ecuaciones de primer y segundo grado

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Esquema de la unidad

ECUACIONES

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS– Elección de la incógnita– Codificación algebraica de los datos y la pregunta– Planteamiento y resolución de la ecuación– Interpretación de la solución en el contexto del enunciado

CASOS ESPECIALES

• 0x = b

• 0x=0

INCOMPLETAS

•ax 2 + c=0

•ax 2 + bx=0

COMPLETAS

•ax 2 + bx + c=0

– Fórmula para su resolución

Procedimiento general de resolución

ECUACIONES EQUIVALENTES

– Reglas para la transposición de términos en una ecuación

CONCEPTO Y ELEMENTOS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

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•Resolver ecuaciones de primer grado.

•Plantear y resolver problemas en los que intervengan ecuaciones de primer grado.

•Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas sin aplicar la regla general.

• Identificar los elementos de una ecuación de segundo grado completa.

•Resolver una ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula.

•Plantear y resolver problemas en los que intervengan ecuaciones de segundo grado.

Anticipación de tareas

•Revisar la prioridad de las operaciones y el uso del paréntesis.

•Repasar la operativa con fracciones (reducción a común denomi-nador, suma y resta, producto por un número, simplificación…).

•Operar con monomios y polinomios. Simplificar expresiones al-gebraicas.

•Traducir enunciados verbales a lenguaje algebraico.

Adaptación curricular

En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación curricular de esta unidad 7 del libro del alumnado, para cuya ela-boración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que aquí se proponen.

La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáti-cas: el práctico y el intelectual.

Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no han sufrido cambio alguno, o bien se han modificado ligeramente para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se proponen.

Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha su-primido, o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exi-gidos.

Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la uni-dad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la autoevaluación.

APRENDIZAJE COOPERATIVO PENSAMIENTO COMPRENSIVO PENSAMIENTO CRÍTICO

Pág. 87. Actividad sugerida en esta P.D. (*) Pág. 85 Actividad 2 (*) Pág. 85. Actividad 1

Pág. 91. Actividad sugerida en esta P.D. (*) Págs. 87, 88 y 89. Modelos resueltos de ecua-ciones de primer grado

Pág. 93. Actividad 2 (*)

Pág. 92. Actividad sugerida en esta P.D. (*) Págs.90,91y92.Modelosresueltosdeecua-ciones de segundo grado


Págs. 93, 94 y 95. Modelos de problemas re-sueltos con ecuaciones

Pág. 97. Curiosidades matemáticas: “Leyenda china” (*)


INTERDISCIPLINARIEDAD TIC EMPRENDIMIENTO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Pág. 97. Actividad sugerida en esta P.D.

Pág. 84. Actividad suge-rida en esta P.D.

Pág. 97. Curiosidades matemáti-cas: “Usa la equis” (*)

Todos los problemas propuestos en el L.A. están en-cuadrados en este apartado. Aquí se señalan algu-nos que tienen especial interés.


Pág.95.Actividades10y11

Pág.97.Actividades12,15(*),17y20(*)

Pág. 97. Curiosidades matemáticas (*)

En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensa-miento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, las TIC, el emprendimiento y la resolución de pro-blemas. Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la actividad, y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.).

Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*).

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Al iniciar la unidad

• A lo largo de la historia, los procedimientos algebraicos fueron ganando en eficacia y generalidad, ayudados por la evolución de la notación. En estas lecturas se pone de manifiesto ese hecho.

• Como es natural, vuelven a aparecer los grandes impulsores del álge-bra:DiofantodeAlejandríay,sobretodo,Al-Jwarizmi(780-850),quefueel precursor de las primeras reglas del cálculo algebraico: la transposi-ción de términos de uno a otro miembro de la ecuación y la anulación de términos idénticos en ambos miembros.

TIC

Se sugiere la siguiente actividad:

Buscar información en Internet sobre la historia de las técnicas empleadas en la antigua China para la resolución de problemas mediante ecuaciones (Los nueve libros; Liu Hui; Sunz-zi; Quin Jiu-shao…).

Sugerencias

• Presentamos el concepto de ecuación como la búsqueda de la respues-ta a la pregunta ¿Para qué valor de x ocurre tal cosa? Los alumnos y las alumnas deben aprender y asimilar que los números que responden a esa pregunta son las soluciones de la ecuación, y si no hay ningún valor de x para el cual la igualdad sea cierta, entonces la ecuación no tiene solución. Por todo esto, la ecuación se define como una propuesta de igualdad.

• Los conceptos de ecuación, incógnita y solución son fundamentales en toda esta unidad. Es importante que los estudiantes sepan comprobar si un número es o no solución de una ecuación y resolver la actividad recíproca: escribir una ecuación cuya solución conocemos.

• Se muestran algunos tipos de ecuaciones con el objetivo de que los es-tudiantes sepan que hay muchas ecuaciones que no aprenderán a resol-ver este curso, pero que siempre tendrán el recurso del tanteo para bus-car o aproximarse a la solución.

• Se sugiere resolver ecuaciones por tanteo mediante cálculo mental, ex-plicando cada paso para llegar a la solución, como, por ejemplo:

( )x31 2+

–10=2

( )x31 2+

tienequevaler12,porque12–10=2.

(x + 1)2 tiene que ser igual a 36, porque 36 : 3 = 12.

x + 1 puede ser igual a 6 → x = 5

x + 1 puede ser igual a – 6 → x = –7

• En otros casos será necesario recurrir a la calculadora para resolver el problema. La reflexión inicial sobre el número por el que se debe iniciar el tanteo es una buena actividad para fomentar la estimación y la apro-ximación de la solución.

Refuerzo y AmpliaciónSe recomiendan:

• Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicio 1 de la pág. 3. Ejercicio 2 de la pág. 11. Ejercicios 3, 4 y 5 de la pág. 12.

Soluciones de “Piensa y practica”

1 Es solución de las ecuaciones b) y d).

2 a) x = 3 b) x = 3 c) x = 6 d) x = 35

7UNIDAD

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7 Ecuaciones de primer y segundo grado Idea de ecuación

Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene, al menos, una letra llamada incógnita.

La solución de la ecuación es el valor o valores de la incógnita (o de las incóg-nitas) que hacen que la igualdad sea cierta.Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclu-sión de que no tiene.

Ejemplo

Las alturas de tres árboles son números enteros consecutivos y su suma es 33. Halla la altura del árbol más bajo.Llamamos x a la altura del árbol más bajo. Las alturas de los otros dos árboles serán x + 1 y x + 2.Los datos del problema se pueden relacionar mediante lenguaje algebraico, con la siguiente igualdad:

x + (x + 1) + (x + 2) = 33Esta igualdad es una ecuación y su significado es: “Queremos que x + (x + 1) + + (x + 2) sea igual a 33. ¿Para qué valor de x es cierta esa propuesta?”.Es decir: ¿Para qué valor de x se cumple la igualdad?

Decir que la solución es x = 10 equivale a decir que “cuando x vale 10, enton-ces es cierto que x + (x + 1) + (x + 2) es igual a 33”.

Tipos de ecuaciones y resolución por tanteo

A lo largo de tu formación matemática, te encontrarás con ecuaciones de muy diversos tipos. Por ejemplo:

3(x – 5) + 2x = 6 x 2 – 5 = 4x 2x = 16 x = 5 x1 = 3

En algunos casos las podremos resolver tanteando, buscando “a ojo” la solución. Por ejemplo:

2x = 16 → Para que 2 elevado a un número dé 16, ese número tiene que ser 4. La solución de la ecuación es x = 4.

Pero, a veces, puede que la ecuación tenga más de una solución o que no seamos capaces de resolverla “a ojo”. Por eso necesitamos aprender métodos que nos permitan resolver ecuaciones más complejas. Es lo que haremos en esta unidad.

Etimología

Incógnita significa desconocida. Vie-ne del latín:— in, partícula negativa.— cognoscere, que significa conocer.Aunque es usual utilizar la x como incógnita, puede usarse para ello cualquier otra letra.

Incógnitas

Hay ecuaciones con más de una in-cógnita.En la próxima unidad nos ocupare-mos de las ecuaciones con dos incóg-nitas.

Nomenclatura

Las expresiones que hay a ambos la-dos del signo “=” se llaman miem-bros. En la ecuación de la derecha, x + (x + 1) + (x + 2) es el primer miembro, y 33, el segundo miem-bro.

1 Ecuaciones

1. ¿Es x = 5 solución de alguna de estas ecuaciones?a) 7x + 1 = 34 b) x 2 – 10 = 15c) 1x = 5 d) 2x = 32Justifica tu respuesta.

2. Obtén “a ojo” una solución de cada una de estas ecuaciones:a) 2x – 1 = 5 b) x

33

= 9

c) x 2 – 1 = 35 d) x 1+ = 6

Piensa y practica

Papiro de Ahmes (o Rhind). Fue escrito en el siglo xvi a. C. y contiene 84 problemas matemáticos.

Sello ruso en honor de Al-Jwarizmi.

Tanteos inicialesLa búsqueda de métodos para resolver ecuaciones fue un empeño de los matemáticos de la Antigüedad. Los primeros intentos, como es natural, fueron titubeantes, poco sólidos: resoluciones por tanteo o mediante pro-cedimientos solo válidos para casos particulares, pero no generalizables.Por ejemplo, en un papiro egipcio de 1550 a. C. aparece resuelto el si-guiente problema:“El montón más un séptimo del montón es igual a 24. ¿Cuántos hay en el montón?”.

Se inicia el camino teóricoEl primero que lo afrontó de forma rigurosa fue el griego Diofanto, en el siglo iii. En su libro Aritmética trató las resoluciones de ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado. Además, los problemas que pro-puso prepararon el terreno para consolidar la teoría de ecuaciones, que se desarrolló siglos más tarde.

En su obra aparecen proble-mas de este tipo:“Si al número de elefantes que beben en el río le sumo el número de colmillos y el número de patas, obtengo su cuadrado. ¿Cuántos ele-fantes son?”.

Avances significativosEn el siglo ix, en Bagdag aparece un personaje clave, el árabe Al-Jwarizmi, que dio otro importantísimo paso. Su libro Al-jabr wa-l-muqabala es un referente fundamental en la historia del álgebra. Fue estudiado y traducido a todos los idiomas en siglos posteriores. El título viene a ser “transposición y cancelación” y alude a los trasiegos que se realizan con los coeficientes para despejar la incógnita. El libro acabó siendo denominado, simplemen-te, Al-yabr, y este nombre finalmente designó la ciencia que contenía (al-jabr ∼ álgebra).

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Sugerencias• En la página 86 se recuerda un concepto fundamental en la justificación

de las técnicas de resolución de ecuaciones: las ecuaciones equivalen-tes. Y a continuación se revisan razonadamente los procedimientos bá-sicos para la transposición de términos entre los miembros de una ecua-ción.

• Es conveniente que el alumnado, al comienzo, resuelva algunas ecua-ciones razonando y explicando la transformación efectuada en cada pa-so para llegar a despejar la x, antes de aplicar las reglas prácticas que se convertirán en automatismos. De esta forma, se evitarán errores que

suelen observarse, como, por ejemplo, en la ecuación 2x – x3

= 5, “pa-

sar el 3 multiplicando a la derecha” (2x – x = 15), o en la ecuación –3x = 5, “pasar el 3 sumando a la derecha” (x = 3 + 5).

• El epígrafe que comienza en la página 87 aclara cuándo una ecuación es de primer grado, y se detiene en el análisis de los casos especiales (identidades y ecuaciones incompatibles), indicando la forma de abor-darlos.

• La definición de ecuación de primer grado, como aquella que se puede reducir a la forma ax + b=0cona≠0,nosllevaalaconclusióndequeexpresionesdelaforma0·x=bobien0·x=0nosonauténticasecuaciones porque en ellas no se cumple la condición a≠0.

•Noesdifícilcomprenderquehayinfinitassolucionesenelcaso0·x=0yquenohayningunasoluciónenelcaso0·x = b. Sin embargo, inicial-mente las trataremos como si fueran ecuaciones, puesto que, antes de simplificarlas, no es posible saber si responden a estas características.

Refuerzo y AmpliaciónSe recomiendan:


Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la pág. 13.

Aprendizaje cooperativo Para las páginas destinadas a reforzar las técnicas de resolución de ecua-ciones, se sugiere la siguiente metodología:

– Los estudiantes, distribuidos en parejas o en tríos, resuelven una serie de ejercicios individualmente y, después, contrastan las soluciones y los procesos.

– Si hay discrepancias, deben descubrir los errores. Si no saben resolver las dudas o no se ponen de acuerdo, actuará el docente.


1 a) x = 3 b) x = –2 c) x = –5

d) x = 5 e) x = 1/3 f ) x = –5

g) x=0 h)Sinsolución. i)Infinitassoluciones.

2 a) x = 1/2 b) x = 1/2 c) x = 1/2 d) x = 2

Son equivalentes las ecuaciones a), b) y c).

3 Las soluciones aparecen en el libro del alumnado.

7UNIDAD

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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución.

Ejemplo

Las dos ecuaciones que siguen tienen por solución x = 10:

a) 5x – 4 = 66 – 2x → 5 · 10 – 4 = 66 – 2 · 10b) 3x – 7 = 23 → 3 · 10 – 7 = 23

a) y b) son equivalentes.

Transformaciones que mantienen la equivalencia de ecuaciones

Para resolver una ecuación, hemos de despejar la x mediante una serie de pasos. Cada paso consiste en transformar la ecuación en otra equivalente en la que la x esté más próxima a ser despejada. Recordemos algunas reglas para obtener ecua-ciones equivalentes:•Sumar o restar la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación.

Ejemplo

La ecuación 3x – 5 = 1 tiene por solución x = 2 (3 · 2 – 5 = 1).Sumamos 5 a los dos miembros:

3x – 5 + 5 = 1 + 5 → 3x = 6 → Solución: x = 2 (3 · 2 = 6)3x – 5 = 1 ↔ 3x = 6 (son equivalentes)

•Multiplicar o dividir los dos miembros de la ecuación por el mismo núme-ro distinto de cero.

Ejemplo

La ecuación x3

= x – 4 tiene por solución x = 6 36 6 4–=d n.

Multiplicamos por 3 los dos miembros:

3 · x3

= 3 · (x – 4) → x = 3x – 12 → Solución: x = 6 (6 = 3 · 6 – 12)

x3

= x – 4 ↔ x = 3x – 12 (son equivalentes)

Reglas prácticas para obtener ecuaciones equivalentes más sencillas:•Lo que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro. Y

viceversa.•Lo que está multiplicando a todo lo demás de un miembro, pasa dividiendo

al otro. Y viceversa.

Ejemplos

Aplicamos las reglas a las ecuaciones anteriores:3x – 5 = 1 → 3x = 1 + 5 → 3x = 6x3

= x – 4 → x = 3(x – 4) → x = 3x – 12

No lo olvides

pasa sumando

• 15x – 5 = 2x + 4 → pasa restando

→ 15x – 2x = 4 + 5

pasa dividiendo

• 3 (x + 4) = 8 → x + 4 = 38

A las ecuaciones polinómicas de primer grado se las llama, simplemente, ecua-ciones de primer grado. En ellas, la x solo aparece elevada a 1 (x1 = x).

Una ecuación de primer grado es una expresión que se puede reducir a la forma ax + b = 0, siendo a ≠ 0. Tiene una única solución: x =

ab–

Por ejemplo, son de primer grado: 3x + 5 = 8 x – 2,5 = 4 43 x + 7 = 4 – 2x

No son de primer grado: (3x + 5)2 = 8 x3 + 2 = x x3 + 1 = 5x

Casos especiales

Existen expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin embargo, no tienen solución o tienen infinitas soluciones. Por ejemplo:•3x – 5 = 3(x + 1) → 3x – 5 = 3x + 3 → 3x – 3x = 3 + 5 → 0x = 8

No puede ser 0x = 8. Por tanto, la ecuación no tiene solución.

•3x – 5 = 3(x – 2) + 1 → 3x – 5 = 3x – 5 → 3x – 3x = –5 + 5 → 0x = 0La igualdad 0x = 0 es cierta para cualquier valor de x. Por tanto, la ecuación tiene infinitas soluciones.

Realmente, estas igualdades no son ecuaciones, pues carecen del término en x. Sin embargo, puesto que antes de simplificar no sabemos en qué van a quedar, las trataremos como ecuaciones.Recuerda, a continuación, cómo se resuelven las ecuaciones más sencillas.

Observa

La ecuación

x3 + 2 = x

no es de primer grado.Si se multiplican sus miembros por x, se obtiene 3 + 2x = x 2, que es de grado dos.Comprueba que ambas tienen dos soluciones:

x = 3 x = –1Es decir, son equivalentes.

No lo olvides

Al intentar resolver una ecuación, a veces llegamos a:• 0x = b, con b ≠ 0

La ecuación no tiene solución.• 0x = 0

La ecuación tiene infinitas solu-ciones. Es una identidad.

2 Ecuaciones de primer grado

1. Resuelve mentalmente. Indica, si es el caso, cuándo la ecuación no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

a) 5x = 15 b) 3x = – 6 c) –2x = 10

d) – 4x = –20 e) 3x = 1 f ) –2x = 10

g) 6x = 0 h) 0x = 6 i) 0x = 0

2. Resuelve estas ecuaciones. ¿Son equivalentes?

a) 4x – x = 1 + x b) 10 – 7x – 6x = 5 – 3x

c) 4x + 6 – x = 5x + 5 d) 9 = 9x – x – 3 – 2x

3. Resuelve y comprueba que tus soluciones coinciden con las que se ofrecen debajo.a) 11x – 3 + x = 10x – 13b) x – 3 – 4x = 3x – 4 + xc) 9 – 3x – 2 – 3x = 1 – 3x + 3 – xd) 8x = 6x – 4x – 3 + x + 7 + 5x – 2e) 7x + 12 – 4x – 3 = 10 + 2x – 1 + xSoluciones: a) –5; b) 1/7; c) 3/2; d) Sin solución;

e) Infinitas soluciones.

Piensa y practica

Ejercicio resuelto

Resolver esta ecuación:

8 – 3x + 11x – 6 = 4x – 7 – x – 1

8 – 3x + 11x – 6 = 4x – 7 – x – 1 ← Reducir los polinomios 2 + 8x = 3x – 8 ← Transponer términos y reducir 8x – 3x = –8 – 2 ↔ 5x = –10 ← Despejar x

x = 510– ↔ x = –2

En la web Iniciación. Resuelve ecuaciones con denominadores muy sencillas.

ANOTACIONES

80

Sugerencias

• Aclarados los aspectos teóricos en la página anterior, atendemos ahora a los procedimentales. Se proponen los pasos generales que se han de seguir al abordar la resolución de ecuaciones, aclarando que no se trata de un proceso rígido y que se pueden saltar o cambiar de orden algu-nas etapas.

• Conviene averiguar cuál es el nivel de competencia de los alumnos y las alumnas en la resolución de ecuaciones de primer grado, para seleccio-nar la cantidad y la dificultad de las actividades que trabajaremos en la unidad.

• En los ejercicios resueltos, los estudiantes encontrarán modelos para su-perar las situaciones y dificultades más características en los procesos de resolución, como gestionar los paréntesis o quitar denominadores, especialmente cuando algunos numeradores son binomios. En este últi-mo caso se atenderá especialmente al signo que precede a cada fracción.

• La comprobación de la solución, que los estudiantes deben hacer siste-máticamente, es más eficaz si se maneja con soltura tanto el uso del paréntesis como la tecla de fracción en la calculadora.

Refuerzo y Ampliación

Se recomiendan:


Refuerzo: Ejercicio 3 de la pág. 13.

Ejercicios 4 a 13 de las páginas 14 a 17.

Ampliación: Ejercicios 14 y 15 de la pág. 17.

Ejercicio 1 de la pág. 18.



5 a) 2x + 5 = 2x + 5

b) En la primera casilla, un 2. En la segunda, cualquier número distinto de 5.

6 a = 3

7 a) b = 11/5 b) a = 16/3



7UNIDAD

8988

Pasos para resolver ecuaciones de primer grado

Seguramente, aprendiste a resolver ecuaciones de primer grado sencillas durante los cursos pasados. Ahora vamos a entrenarnos para resolver ecuaciones de pri-mer grado algo más complejas.En general, los pasos que conviene dar para ir despejando la x son:

1. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican los dos miembros de la ecuación por un múltiplo común de los denominadores; preferible-mente, por su mínimo común múltiplo.

2. Quitar paréntesis, si los hay.3. Pasar los términos en x a un miembro y los números al otro miembro.4. Simplificar cada miembro.5. Despejar la x. Se obtiene, así, la solución.6. Comprobación: sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial

para comprobar que coinciden los resultados.

Esta secuencia no hay que tomarla como algo rígido, pues habrá ocasiones en que convenga saltarse algún paso o cambiar el orden. El entrenamiento y el sentido común te orientarán sobre cuándo conviene hacer una cosa u otra.

Resuelve por tanteo

a) x3

+ 1 = x2

b) 8 – x2

= x5

+ 1

c) x2

+ x3

+ x4

= 13

Ayuda: todas las soluciones son nú-meros enteros.

4. Resuelve y comprueba que tus soluciones coinciden con las que se ofrecen debajo.a) 2x + 3(3x – 2) + x = 10(x – 3) + 14b) x – 3 – 4x = 3(x – 1) + x – 1c) 6 = 8x – (x – 5) – 10xd) 9 – 4x – 2(1 – x) = 1 – 3(x – 1) – xe) – 4 = 5(1 – x) – x – 3(1 + 7x)f ) 8x = 6x – 4x – 3 + x + 7 + 5x – 2g) 7x – 2(x – 1) – 4 = 10 – 4(3 – x) + xSoluciones: a) –5; b) 1/7; c) –1/3; d) –3/2; e) 2/9;

f ) Sin solución; g) Infinitas soluciones.

5. ¿Qué números pondrías en cada casilla para que la ecuación x + 5 = 2x + …a) … tenga infinitas soluciones?b) … no tenga solución?

6. Busca el valor que debe tomar la a en la igualdad3x – a(x + 1) = 5

para que la ecuación no tenga solución.

7. Considera la igualdad 5a – 2(a + b) = 7 – 3(a – b).a) Calcula el valor de b cuando a = 3.b) Calcula el valor de a cuando b = 5.

Piensa y practica8. Quita denominadores y resuelve.

a) x21

3+ = x – x x

2 103+

b) 2 – x4

+ x = x85 + 1

c) x x x2 4 5

2–+ = 1

d) x – x x51

32

1513–= + 1

e) 1 – x x95

6+ = x –

32

Soluciones: a) 15/14; b) –8; c) 20/7; d) 1; e) 6/5

9. Calcula el valor de x en cada caso:

a) x x5

143– + = x – x

102 1–

b) x6

231–+ = x – x

41 3–

c) ( )x x8

3 1 22

–+ = 1 – x4

3 –

d) ( )x x x10

28

3 15

2 1– – – = + – 1

e) ( ) ( )x x x9

4 22

3 18

21 11247– – – – –=

Soluciones: a) 2; b) 3/19; c) Sin solución; d) 7/9; e) –52/49

Piensa y practica

Ejercicio resuelto

Resolver la ecuación siguiente:

5x – 3(2x + 1) = 6(x – 4) – 7

5x – 3(2x + 1) = 6(x – 4) – 7 ← Quitar paréntesis 5x – 6x – 3 = 6x – 24 – 7 ← Reducir – x – 3 = 6x – 31 ← Transponer términos – 3 + 31 = 6x + x ← Reducir 28 = 7x ← Despejar x

7

28 = x → x = 4

· ( · ) ·( ) ·

5 4 3 2 4 1 20 3 9 20 27 76 4 4 7 6 0 7 7

– – – –– – – –

+ = = == =

4 ← Comprobación

Ejercicios resueltos

1. Resolver esta ecuación:

x2 5

1+ = 1 – x x5 10

3+

x2 5

1+ = 1 – x x5 10

3+ ← Quitar denominadores multiplicando...

· ·x x x2 5

1 15 10

310 10 –+ +=d dn n ← … por 10, que es el mín.c.m. de 2, 5 y 10

5x + 2 = 10 – 2x + 3x ← Transponer términos, reducir y despejar

4x = 8 → x = 48 → x = 2

+ = = =22

51

1010 2

1012

56

52

103 2

52

53

55 2 3

56· –

+

+1 1– –+ = + = =

_

`

a

bb

bb ← Comprobación

2. Calcular el valor de x:

( )x x20

3 15

2 3– – + =

= x15

4 2+ – 5

x x x20

3 –1 –5

2( 3)15

4 2+ = + – 5 ← Quitar denominadores multi-plicando…

· ( ) ·x x x6020

3 15

2 315

4 2 560– – –+ +=e do n ← … por 60, que es el mín.c.m. de 20, 5 y 15

3(3x – 1) – 24(x + 3) = 4(4x + 2) – 300 ← Quitar paréntesis y reducir

9x – 3 – 24x – 72 = 16x + 8 – 300 ← Transponer términos, reducir y despejar

–31x = –217 → x = 31217–– → x = 7

3– – –= =( )20

3 7 15

2 7 32020

520

154 7 2

1530

· –

·

+

+ 5 5 3– – –= =

_

`

a

bb

bb ← Comprobación

ANOTACIONES

81

Sugerencias

• Se tratan en este epígrafe las ecuaciones de segundo grado comenzan-do por las incompletas, mostrando mediante ejemplos que se pueden abordar “con lo que ya se sabe”.

• Antes de entrar en el método general para la resolución de las comple-tas, se pueden presentar ecuaciones sencillas del tipo (x – 2)2=0;(x + 3)2 = 1; x 2–9=0;x 2+4=0,quelosestudiantespodránresolvermentalmente de manera intuitiva. De esta forma no les será difícil com-prender que una ecuación de segundo grado puede tener una, dos o ninguna solución.

• Después, al aplicar la fórmula general, hemos de tener presente la difi-cultad que entraña inicialmente la notación general ax 2 + bx + c=0enla identificación de los coeficientes a, b y c. Para evitar errores, con-viene ejemplificar distintos casos, recorriendo los posibles signos de los coeficientes.

• La demostración de la fórmula de resolución es una decisión del profe-sor o de la profesora según las características de su alumnado.

• Es conveniente que los estudiantes lleguen a la conclusión de que, aun-que las ecuaciones incompletas también pueden resolverse con la fórmula general, los procedimientos específicos son más eficaces y con ellos se cometen menos errores.


Se recomiendan:


Refuerzo: Ejercicios 1 a 6 de las páginas 19 a 21.

Ampliación: Ejercicios 1 a 4 de las páginas 23 y 24.

Aprendizaje cooperativo Para las páginas destinadas a reforzar las técnicas de resolución de ecua-ciones, se sugiere la siguiente metodología:

– Los estudiantes, distribuidos en parejas o en tríos, resuelven una serie de ejercicios individualmente y, después, contrastan las soluciones y los procesos.

– Si hay discrepancias, deben descubrir los errores. Si no saben resolver las dudas o no se ponen de acuerdo, actuará el docente.


1 a) x1 = – 1; x2 = 1 b) Sin solución.

c) x1 = – 4; x2 = 4 d) x1=0;x2 = 9

e) x1=0;x2 = 3 f ) x1 = –1; x2=0

g) x1=0;x2 = 2 h) x1 = –3; x2 = 3

i ) Sin solución. j ) x1 = –1; x2=0

2 a) x1 = 1; x2 = 5 b) x1 = –7; x2 = 1

c) x1 = – 4; x2 = 3 d) x1 = –3; x2 = –1

e) x = 5 f ) Sin solución.

g) x = –1 h) x1 = 2; x2 = 3

i ) x1 = –7; x2 = 1 j ) x = –1

7UNIDAD

9190

Una ecuación de segundo grado es de la forma:

ax 2 + bx + c = 0, con a ≠ 0

Por ejemplo, son ecuaciones de segundo grado las siguientes:•3x 2 – 3x – 6 = 0 → a = 3, b = –3, c = – 6•2x 2 – 8 = 0 → a = 2, b = 0, c = –8•x 2 – 6x = 0 → a = 1, b = – 6, c = 0En la primera ecuación, a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0. Este tipo de ecuaciones se deno-minan completas.

En la segunda, b = 0; y en la tercera, c = 0. Este otro tipo de ecuaciones se llaman incompletas.

Veamos cómo resolver cada una de ellas.

Ecuaciones incompletas con b = 0

Por ejemplo: 2x 2 – 8 = 0Para resolverla, despejamos x 2:

2x 2 – 8 = 0 → 2x 2 = 8 → x 2 = 4Ahora, obtenemos los valores de x teniendo en cuenta que hay dos números cuyo cuadrado es 4. Son 2 y –2. Es decir:

x 2 = 4 → x = ± 4 xx

22–

==3 Hay dos soluciones.

Ecuaciones incompletas con c = 0

Por ejemplo: x 2 – 6x = 0Para resolverla, sacamos x factor común:

x 2 – 6x = 0 → x · (x – 6) = 0Ahora, tenemos en cuenta que, para que un producto de dos factores sea igual a cero, es necesario que sea cero alguno de ellos. Es decir:

x · (x – 6) = 0 8xx x

06 0 6–

== =

3 Hay dos soluciones.

Resolver: a) 5x 2 – 15x = 0 b) 2x 2 + 8 = 0

a) Incompleta con c = 0 → Sacamos x factor común:

5x 2 – 15x = 0 → x(5x – 15) = 0 8xx x

05 15 0 3–

== =

b) Incompleta con b = 0 → Despejamos x 2:2x 2 + 8 = 0 → 2x 2 = –8 → x 2 = – 4 → x = ± 4– No tiene solución

Ejercicio resuelto

Así se hace

ax 2 + c = 0↓

Despejamos x 2 y obtenemos fácil-mente los valores de x.

Así se hace

ax 2 + bx = 0↓

Sacamos x factor común e igualamos a cero cada factor.

Ten en cuenta

No hay ningún número que al elevar-lo al cuadrado dé – 4.

Ecuaciones completas

Para resolver la ecuación ax 2 + bx + c = 0 en la que a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0 (ecua-ción completa), aplicamos la siguiente fórmula:

soluciones de una ecuación de segundo grado x a

b b ac2

4– –2!=

Como ejemplo, vamos a resolver la ecuación x 2 – 5x + 6 = 0.En ella, a = 1, b = –5 y c = 6.Aplicamos la fórmula:

·x ab b ac

24

2 15 25 24

25 1– – –2! ! != = = =

25 1!=

x

x26 3

24 2

= =

= =

Hay dos soluciones: x1 = 3, x2 = 2Comprobación: 32 – 5 · 3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0 22 – 5 · 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0

Resolver las ecuaciones siguientes:

a) x 2 – 4x + 4 = 0 b) 2x 2 + 4x + 10 = 0

a) x 2 – 4x + 4 = 0 → a = 1, b = – 4, c = 4. Es completa, luego:

x ab b ac

24

24 16 16

24 0

24 2– – –2! ! != = = = =

Hay una solución: x = 2

b) 2x 2 + 4x + 10 = 0 → a = 2, b = 4, c = 10. Es completa, luego:

x ab b ac

24

44 16 80

44 64– – – – – –2! ! != = =

No tiene solución, pues no existe 64– (ningún número elevado al cuadrado da –64).

Ejercicio resuelto

Reflexiona

Las ecuaciones incompletas tam-bién se pueden resolver aplicando la fórmula, pero es mucho más sencillo resolverlas como vimos en la página anterior.

Ten en cuenta

Al aplicar la fórmula:

x = a

b b ac2

4– ± –2

•Si lo que va debajo de la raíz sale cero, la ecuación tiene una única solución.

•Si lo que va debajo de la raíz sale negativo, la ecuación no tiene solu-ción.

3 Ecuaciones de segundo grado

1. Resuelve estas ecuaciones sin aplicar la fórmula:a) 5x 2 – 5 = 0 b) 5x 2 + 5 = 0c) 2x 2 + 3 = 35 d) x 2 – 9x = 0e) 2x 2 – 6x = 0 f ) 5x 2 + 5x = 0g) 8x 2 – 16x = 0 h) 4x 2 = 36i) x 2 + 1 = 0 j) x 2 + x = 0

2. Resuelve estas ecuaciones aplicando la fórmula:a) x 2 – 6x + 5 = 0 b) x 2 + 6x – 7 = 0c) 2x 2 + 2x – 24 = 0 d) x 2 + 4x + 3 = 0e) x 2 – 10x + 25 = 0 f ) x 2 – x + 1 = 0g) x 2 + 2x + 1 = 0 h) –x 2 + 5x – 6 = 0i) –2x 2 – 12x + 14 = 0 j) –x 2 – 2x – 1 = 0

Piensa y practica

Clasificación de ecuaciones de segundo grado.

En la web

Practica las ecuaciones incomple-tas con b = 0.

En la web

Practica las ecuaciones incomple-tas con c = 0.

En la web

Ayuda para resolver ecuaciones de segundo grado.

En la web

ANOTACIONES

82

Sugerencias• En los problemas de tipo algebraico, que son los que vamos a resolver

en esta unidad, los pasos que hay que seguir son los que se indican de manera muy breve en el texto. A dichos pasos podríamos añadir las si-guientes puntualizaciones:

– En primer lugar, se requiere una lectura minuciosa y comprensiva del enunciado, buscando la información explícita e implícita, los datos re-levantes, lo que queremos calcular y la elección adecuada de la in-cógnita.

– En segundo lugar, hay que traducir del lenguaje verbal del enunciado al lenguaje algebraico para llegar a una ecuación. Para esto, pueden ser de gran utilidad algunas de las técnicas siguientes:

• Construirunatablaenlaqueseorganicelainformación.

• Hacerundibujo,gráficoodiagramaconlosdatosdelproblema.

• Plantearyresolvercasosmássencillos.

• Los enunciados de muchos de los problemas que vamos a resolver en esta unidad presentan situaciones en las que aparecen fracciones, pro-porcionalidad, porcentajes... que ya se resolvieron numéricamente en las unidades de aritmética. Se trata ahora de combinar aquellos apren-dizajes con los conseguidos en esta unidad para potenciar la competen-cia en el quehacer matemático en general y en la resolución de proble-mas en particular.


1 Lostresnúmerosbuscadosson20,40y60.

2 El videojuego cuesta 11 €;elcómic,2,20€,yelhelado,1,10€.

3 Elprimeralbañildebecobrar400€,yelsegundo,1000€.

4 Los lados iguales miden 12 cm cada uno. El lado desigual mide 16 cm.

Sugerencias• En ocasiones, los estudiantes encontrarán ecuaciones de segundo gra-

do con una fisonomía más complicada que la que han manejado en la página anterior. Los pasos que hay que dar para llegar a la expresión que nos permite aplicar la fórmula general son básicamente los mismos que se han aplicado en la resolución de ecuaciones de primer grado: suprimir denominadores y paréntesis, desarrollar potencias de binomios, efectuar productos, reducir términos semejantes, transponer términos...



Ampliación: Ejercicio 7 de la pág. 22. Ejercicio 1 de la pág. 25.

Aprendizaje cooperativo Para las páginas destinadas a reforzar las técnicas de resolución de ecua-ciones, se sugiere la siguiente metodología: Los estudiantes, distribuidos en parejas o en tríos, resuelven una serie de ejercicios individualmente y, después, contrastan las soluciones y los procesos. Si hay discrepancias, deben descubrir los errores. Si no saben resolver las dudas o no se ponen de acuerdo, actuará el docente.


3 a) y b) Sin solución. c) x1 = 2; x2 = 4 d) x1=0;x2 = 1

e) x1 = –1; x2 = 1/2 f ) x1 = –1; x2 = 1 g) x1=0;x2 = 16

4 a) x1 = –25 ; x2=0 b)x1 =

31 ; x2 =

21 c) x1 = –

52 ; x2=0

d) x1 = 6

3 33–; x2 =

63 33+

e) x1 = 1; x2 = 5

7UNIDAD

9392

Otras ecuaciones de segundo grado

En general, una ecuación de segundo grado se presentará en forma no reducida y será necesario simplificarla, transformándola en otra equivalente, con la forma que has visto en la página anterior, para poder aplicar la fórmula.

Ten en cuenta

En la ecuación de la derecha, recha-zamos como solución x = 0, que es solución para la ecuación final, 2x 2 + x = 0, pero no para la ecuación propuesta, ya que

·20 3

01

00 3

2 04 0– – – 2+ = +

carece de sentido por tener algunos denominadores nulos.

Compruébalo

10 – (x – 2)2 = 2x(x – 1) + 3x•Para x = 2:

10 – (2 – 2)2 = 2 · 2 · (2 – 1) + 3 · 2•Para x = –1:

10 – (–1 – 2)2 = 2 · (–1) · (–1 – 1) + + 3 · (–1)

Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir a lenguaje algebraico las condiciones que relacionan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Con-viene proceder de forma organizada, por lo que es útil seguir estos pasos:

1. Identificar los datos conocidos, lo que deseamos conocer y dar nombre a la incógnita.

2. Relacionar mediante una igualdad (ecuación) lo conocido con lo descono-cido.

3. Resolver la ecuación.4. Interpretar la solución en el contexto del enunciado.

Problema 1

Elvira tiene 8 años menos que Carlos y este tiene 2 años más que Lourdes. Sumando las edades de los tres, obtenemos 17 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?1. Llamamos x a la edad de Lourdes. De acuerdo con esto, tenemos que:

— Edad de Lourdes → x— Edad de Carlos → x + 2— Edad de Elvira → x + 2 – 8 → x – 6

2. Obtenemos la ecuación que relaciona lo conocido con lo desconocido:x – 6 + x + 2 + x = 17

↑ ↑ ↑ Elvira Carlos Lourdes

3. Resolvemos la ecuación:x – 6 + x + 2 + x = 17 → 3x = 21 → x = 7

4. Interpretamos la solución ajustándola al enunciado:— Lourdes tiene 7 años.— Carlos tiene 7 + 2 = 9 años.— Elvira tiene 7 – 6 = 1 año.

Observación

En la próxima unidad, al estudiar sistemas de ecuaciones, podrás utili-zar más de una incógnita. Verás que, así, se simplifica la tarea de traducir enunciados a ecuaciones.

Compruébalo

•Lourdes → 7 años•Carlos → 9 años•Elvira → 1 año

7 + 9 + 1 = 17

3. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) (x – 3)x + 1 = x 2 – 5x(x + 1)

b) 3(x – 1) – 4x = 2(x + 1)(x – 1) + 2

c) 3x 2 – (x + 3)2 = x 2 – 17

d) 2x 2 – (x – 5)2 = 11 – (x – 6)2

e) 5x(x 2 – x) + 1 = x 2(5x – 3) + x

f ) 10x + (2x – 3)(2x + 3) = 5 – 2(x – 1)2

g) 8x – [x 2 + (x – 2)2] = –(x + 2)2

4. Reduce, resuelve y comprueba las soluciones:

a) x + x3

2 3+ = 1 – x3

2 2

b) x x x2 6 4 12

1– –2

=

c) x x x x3

552

23

32 2

+ = +

d) xx2

3 123– =

e) x3

– 1 + x1 = 1 –

x32

Piensa y practica

4 Resolución de problemas mediante ecuaciones

1. Calcula tres números sabiendo que:— El primero es 20 unidades menor que el segundo.— El tercero es igual a la suma de los dos primeros.— Entre los tres suman 120.

2. Por un videojuego, un cómic y un helado, An-drés ha pagado 14,30 €. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y este cuesta el doble que el helado. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

3. Dos albañiles que trabajan asociados reciben 1 400 como pago de cierto trabajo. ¿Cuánto debe cobrar ca-da uno si el primero trabajó las dos quintas partes de lo que trabajó el otro?

4. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 4 cm más que cada uno de sus lados iguales. Halla la lon-gitud de los lados sabiendo que su perímetro es de 40 cm.

Piensa y practica

1. Resolver la ecuación 10 – (x – 2) 2 = 2x(x – 1) + 3x.

10 – (x – 2)2 = 2x(x – 1) + 3x ← Desarrollar (x – 2)2

10 – (x 2 – 4x + 4) = 2x(x – 1) + 3x ← Eliminar paréntesis

10 – x 2 + 4x – 4 = 2x 2 – 2x + 3x ← Transponer y reducir

0 = 3x 2 – 3x – 6 → x 2 – x – 2 = 0 ← Resolver con la fórmula

(a = 1, b = –1, c = –2)

x = ± ±2

1 1 82

1 3+ = xx

21–

==

2. Resolver la ecuación xx x

xxx

23 1 3

24– – – 2+ = +

xx x

xxx

23 1 3

24– – – 2+ = + ← Multiplicar por 2x para…

2x xx2

3 1–+d n = 2x x

xxx3

24– – 2

+e o ← … eliminar los denominadores

x(x + 3) – 2 = 2(x – 3) + (4 – x 2) ← Eliminar paréntesis

x 2 + 3x – 2 = 2x – 6 + 4 – x 2 ← Transponer y reducir

2x 2 + x = 0 ← Resolver la ecuación de segundo grado incompleta

x(2x + 1) = 0 21

no válida8x 0=

8x x2 1 0 –+ = =

Ejercicios resueltos

x

x + 4

En la web Practica la resolución de ecuaciones de segundo grado.

83

Refuerzo y ampliaciónSe recomiendan:


Refuerzo: Ejercicios 1 a 8 de las páginas 36 a 37. Ejercicios 1 y 2 de la pág. 44.

Ampliación: Ejercicios 12 a 18 de las páginas 38 y 39.


5 El autobús tenía 54 plazas.

6 Elnúmerobuscadoes60.

7 Tengo3,80€.Larevistacuesta5,60€.

8 Han de pasar 15 años.

9 Elnúmerobuscadoes40.

10 Lacamisetacostaba20€,ylablusa,30€.

11 Mezclo 8 kg de miel.

12 La segunda clase de arroz cuesta 1,56 €/kg.

7UNIDAD

9594

Problema 2

Varias amigas, compañeras de trabajo, se reparten el premio de una quiniela y les tocan 15 € a cada una. Si hubieran sido cuatro amigas más, hubieran tocado a 3 € menos. ¿Cuántas eran para repartir?1. Llamamos x al número de amigas:

— x amigas a 15 € cada una → Valor del premio: 15x

— Si hubieran sido 4 amigas más, habrían tocado a 3 € menos (15 – 3 = 12 €). Esto nos permite obtener una nueva expresión del premio:(x + 4) amigas a 12 € cada una → Valor del premio: 12(x + 4)

2. Obtenemos la ecuación igualando las dos expresiones del valor del premio:15x = 12(x + 4)

Valor del premio3. Resolvemos la ecuación:

15x = 12(x + 4) → 15x = 12x + 48 → 3x = 48 → x = 164. Interpretamos la solución ajustándola al enunciado:

Eran 16 amigas que se repartieron un premio de 16 · 15 = 240 €.

Problema 3

María tiene 5 años más que su hermano Luis, y su padre tiene 41 años. Dentro de 6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Qué edad tiene cada uno?1. Llamamos x a la edad de Luis:

edad de … hoy dentro de 6 años

luis x x + 6maría x + 5 x + 11padre 41 47

2. La suma de las edades de los hermanos dentro de seis años debe ser igual a 47:x + 6 + x + 11 = 47

3. Resolvemos la ecuación:x + 6 + x + 11 = 47 → 2x + 17 = 47 → 2x = 30 → x = 15

4. Interpretamos la solución ajustándola al enunciado:Luis tiene 15 años, y María, 15 + 5 = 20 años.

Compruébalo

•16 amigas, a 15 € cada una, hacen un premio de:

16 · 15 = 240 €•4 amigas más, es decir, 20 amigas,

tocarían a:240 : 20 = 12 €

Es decir, a 3 euros menos.

Compruébalo

•Si Luis tiene 15 años, y María, 20, dentro de 6 años tendrán 21 y 26, respectivamente.

•21 + 26 = 47 años, que es la edad que tendrá el padre dentro de 6 años.

Problema 4

Aumentando un número en un 10 % y sumándole 4 unidades, se obtiene el mismo resultado que sumándole su quinta parte. ¿De qué número se trata?1. Llamamos x al número que buscamos. Tenemos que:

— El número aumentado en un 10 % y en 4 unidades → 1,1x + 4

— El número aumentado en su quinta parte → x + x5

2. Obtenemos la ecuación:

1,1x + 4 = x + x5

3. Resolvemos la ecuación:

1,1x + 4 = x + x5

→ 5,5x + 20 = 5x + x → 0,5x = 20 → x = 40

4. Interpretamos la solución ajustándola al enunciado:El número buscado es 40.

Problema 5

Se mezclan 30 kg de café de 6 €/kg con cierta cantidad de café superior, de 8 €/kg, resultando una mezcla de 7,25 €/kg. ¿Qué cantidad de café superior se ha utilizado?

Cantidad(kg)

PreCio(€/kg)

Coste(€)

1.er Café 30 6 180Café suPerior x 8 8x

MezCla 30 + x 7,25 7,25(30 + x)

coste 1.er café + coste café superior = coste mezcla180 + 8x = 7,25(30 + x)

180 + 8x = 217,5 + 7,25x → 0,75x = 37,5 → x = 50Solución: Se han utilizado 50 kg de café superior.

Compruébalo

40 + 10 % de 40 + 4 = 40 + 4 + 4 = = 48

40 + 540 = 40 + 8 = 48

Compruébalo

Coste primer café → 180 €

Coste café super. → 50 · 8 = 400 €

Coste mezcla → 80 · 7,25 = 580 €

180 € + 400 € = 580 €

5. Una peña deportiva contrató un autobús para seguir a su equipo. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno habría pagado 8,50 €; pero quedaron 3 plazas vacías, y el viaje costó 9 €. ¿Cuántas plazas tenía el autobús?

6. Si divido un número entre 5, el resultado es dos uni-dades mayor que si lo divido entre 6. ¿Qué número es?

7. Me faltan 1,80 para comprar una revista. Si tuviera el doble de lo que tengo ahora, me sobrarían 2 €. ¿Cuánto tengo? ¿Cuánto cuesta la revista?

8. José tiene 15 años; su hermano Juan, 13, y su padre, 43. ¿Cuántos años han de pasar para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?

Piensa y practica

9. Si un número se aumenta en un 30 % y se le suman 12 unidades, se obtiene el mismo resultado que si a su doble se le quita un 20 %. ¿Qué número es?

10. Marta compra una camiseta rebajada un 10 %. Des-pués, en otra tienda, compra una blusa que costaba 10 € más, pero estaba rebajada un 40 %. Así, paga lo mismo por ambas prendas. ¿Cuánto costaba cada prenda sin rebajar?

precio → x precio → x + 10rebaja 10 % rebaja 40 %

11. Teo ha mezclado 12 kg de azúcar, de 1,10 /kg, con cierta cantidad de miel, de 4,20 €/kg. La mezcla sale a 2,34 €/kg. ¿Cuánta miel mezcló?

12. Mezclando 15 kg de arroz de 1 €/kg con 25 kg de arroz de otra clase, se obtiene una mezcla que sale a 1,30 €/kg. ¿Cuál será el precio de la segunda clase de arroz?

15 kg1 €/kg

25 kg? €/kg

40 kg1,30 €/kg

Piensa y practica

En la web Resuelve el problema “Los pájaros”.

Refuerza la resolución de problemas mediante ecuaciones.

En la web

ANOTACIONES

ANOTACIONES

84

Soluciones de “Ejercicios y problemas”

1 a) x = 2 b) x = 4 c) x = 1

d) x = 2 e) x = 4 f ) x = 2

2 a) x = 9 b) x = 2

c) x = 6 d) x = 15

e) x = 17 f ) x = 2

g) x = 4 h) x = 8

3 a) x = 126 b) x = 8

c) x = 7 d) x = 5

e) x = 4 f ) x = 5

g) x = 24 h) x = 2

4 a) x = 6 b) x = –1

c) x = –2 d) x = –3

5 a) x = 1 b) x = 2 c) x = –1

d) x = 3 e) x=0 f) x = 1

6 a) x = 1 b) x = 5 c) x = 31/17

d) x = 15/2 e) x = 7 f ) x = –5

7 a) x = –11/5 b) x = –1/21 c) x=10/9

8 a) x1=0;x2 = 3 b) x1 = –1/2; x2=0

c) x1=0;x2 = 7 d) x1=0;x2 = 8

e) x1 = – 6; x2 = 6 f ) x1 = –7; x2 = 7

9 a) x1 = 1; x2 = 2 b) x1 = –1; x2 = 2

c) x = –2 d) Sin solución.

e) x = 9 f ) x1 = –3, x2 = 8

g) x1 = 2; x2 = 7 h) Sin solución.

10 a) x1 = –17; x2 = 1

b) x1 = –1/2; x2 = 2

c) x1 = –2/5; x2 = 2

d) x1 = 2

5 337– –; x2 =

25 337– +

e) x1 = 10

1 41–; x2 =

101 41+

7UNIDAD

96 97

Ejercicios y problemas

Piensa y resuelve11. Calcula un número cuya mitad es 20 unidades

menor que su triple.

12. Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número?

13. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruple del menor. ¿De qué números se trata?

14. El producto de un número natural por su si-guiente es 31 unidades mayor que el quíntuplo de la suma de ambos. ¿Cuál es ese número?

15. En un rectángulo de 74 cm de perímetro sabemos que la altura mide 7 cm menos que la base. Halla sus dimensiones.

16. El mayor de los ángulos de un triángulo mide 50º más que el mediano; y este mide 20º más que el pequeño. ¿Cuánto mide cada ángulo?

Los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180º.

17. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años. El padre tiene 6 años más que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

18. Con 12 € que tengo, podría ir dos días a la pis-cina, un día al cine y aún me sobrarían 4,50 €. La entrada de la piscina cuesta 1,50 € menos que la del cine. ¿Cuánto cuesta la entrada del cine?

19. Se ha vertido un bidón de aceite de orujo, de 1,60 €/litro, en una tinaja que contenía 400 litros de aceite de oliva de 3,20 €/litro. Sabiendo que el litro de la mezcla cuesta 2,60 €/litro, ¿cuántos litros había en el bidón?

Consulta el problema 5 de la página 95.

20. Un coche sale de una ciudad A hacia otra B, distante 315 km, a una velocidad de 105 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A un camión que tarda en cruzarse con el coche una hora y cuarenta y cinco minutos. ¿Cuál era la velocidad del camión?

Si x es la velocidad del camión, este y el coche se acercan a una velocidad de (x + 105) km/h.

Transforma una hora y cuarenta y cinco minutos en ho-ras. Con esto, ya puedes aplicar la fórmula t = d/v.

21. Un ciclista que va a 18 km/h tarda 45 minutos en alcanzar a otro que le lleva una ventaja de 6 km. ¿Qué velocidad lleva el que iba delante?

22. Un ciclista sale a la carretera a una velocidad de 15 km/h. ¿Qué velocidad deberá llevar otro ciclista que sale media hora después si pretende alcanzar al primero en hora y media?

23. Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm menos que la altura y la diago-nal mide 10 cm.

La diagonal del rectángulo, junto con la base y la altura, forman un triángulo rec-tángulo. Recuerda lo que dice el teorema de Pitágoras.

PracticaEcuaciones: soluciones, tanteo…

1. Comprueba cuál de los números 1, 2 o 4 es la solución de las siguientes ecuaciones:

a) 3x – 5 = 1 b) x2

– 3x = –10

c) x 3 – 1 = 0 d) 2x = 4

e) x = 2 f ) x1

21=

2. Resuelve mentalmente y explica el proceso seguido.

a) x4

5– = 1 b) 5x + 1 = 11

c) 3(x – 2) = 12 d) x3

+ 1 = 6

e) x3

1+ = 6 f ) x 3 = 8

g) 3x = 81 h) x2 = 4

3. Resuelve por tanteo.

a) x2

4+ = 65 b) x2

– 1 = 3

c) 2(x + 1) = 16 d) x 2 = 25e) x 3 = 64 f ) 2x = 32

g) x 1+ = 5 h) x2 = 1

Ecuaciones de primer grado

4. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 12x – 8 = 34 + 5xb) 4(2 – x) – (4 – x) = 7(2x + 3)c) 2[x + 3(x + 1)] = 5xd) 5(x – 2) – 2(x – 5) = 2x – (12 + 3x)

5. Elimina los denominadores y resuelve.

a) x x3 5

215

1– –= b) x x x2 3 6

134

+ + =

c) x x2

14

3 1–+ + = –1 d) x5

3 1+ – x + 1 = 0

e) ( )x x3

2 12

3 161–+ + =

f ) ( )x7

3 1– – 2(x + 3) + 8 = 0

6. Simplifica y resuelve estas ecuaciones:

a) 21

31+ x = x –

61

b) x x4

3 33

4– = +

c) ( )x2

3 3+ – 2(2x – 2) = 8x – 1 – 2(x + 3)

d) ( )x x x4

3 33

3 261

123– –+ = + +

e) x x x2

76

712

7– – –+ = + 7

f ) x x x4

55

54

1– –+ = + – 1

7. Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla su solución:a) (x + 1)(x – 1) – 3(x + 2) = x(x + 2) + 4b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 = x(x + 3) – (x 2 + 1)

c) x x31

31– +d dn n – x x

61+d n =

31 (x – 2)

Ecuaciones de segundo grado

8. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula de resolución:a) 7x 2 – 21x = 0 b) 2x 2 + x = 0c) 2x 2 – 14x = 0 d) 4x 2 – 32x = 0e) x 2 – 36 = 0 f ) 3x 2 – 147 = 0

9. Resuelve estas ecuaciones:a) 2x 2 – 6x + 4 = 0 b) 3x 2 – 3x – 6 = 0c) 4x 2 + 16x + 16 = 0 d) x 2 + x + 3 = 0e) x 2 – 18x + 81 = 0 f ) x 2 – 5x – 24 = 0g) x 2 – 9x + 14 = 0 h) x 2 – 6x + 10 = 0

10. Reduce, resuelve y comprueba las soluciones.a) 5x 2 – 3x(x – 4) = (x – 2)2 + 13b) 3x(x – 2) – 6 = (x + 1)(x – 4)

c) x – x22

= x5

2–

d) x x65

3–

2 = 11 – x

22

+ 2

e) 5x – x x

x3 1–=

Curiosidades matemáticas

Leyenda china

Un genio que vivía en un estrecho desfiladero ofrecía a los viajeros el siguiente trato:— Para pasar, has de pagar la cantidad de cuatro ve-

ces cuatro monedas. Después, como prueba de amistad, yo doblaré el dinero de tu bolsa.

Un campesino algo ambicioso, enterado del caso, reu nió sus ahorros y se empeñó en atravesar muchas veces el des filadero. Sin embargo, se encontró que a la cuarta, su bol sa estaba vacía. ¿Con cuántas mone-das se presentó por primera vez ante el genio?

Usa la equis

Has de completar cada casilla de forma que suman-do los números de dos consecutivas obtengas el nú-mero de la siguiente.Si, por ejemplo, la segunda casilla tiene un valor x, la tercera valdrá...

5 81

x

x – 210

ANOTACIONES

85

11 Elnúmeroquebuscamoses–120.

12 Es el número 18.

13 Los números que buscamos son 3, 4 y 5.

14 Es el número 12.

15 La base del rectángulo mide 22 cm, y la altura, 15 cm.

16 Elángulomenormide30º;elmediano,50º,yelmayor,100º.

17 La madre tiene 38 años; el padre, 48 años, y los gemelos, 11 años ca-da uno.

18 Laentradadelcinecuesta3,50€.

19 Enelbidónhabía240litrosdeaceite.

20 La velocidad del camión era de 75 km/h.

21 Elciclistaquevadelantellevaunavelocidadde10km/h.

22 Elciclistadeberállevarunavelocidadde20km/h.

23 La base del rectángulo mide 8 cm, y la altura, 6 cm.

Interdisciplinariedad

Se sugiere la siguiente actividad:

Escribe tres situaciones en las que crees que el álgebra puede ser útil en otros aspectos de la ciencia, aparte de las matemáticas.

Después, discútelas con las que hayan pensado tus compañeras y compa-ñeros.


• Se incluyen en este apartado una serie de problemas o retos, indepen-dientes de formulaciones teóricas, cuyo objetivo es practicar estrategias de elaboración personal en la resolución de problemas de lógica mate-mática. El alumnado recurrirá, por supuesto a sus conocimientos mate-máticos, pero también a la experimentación, al tanteo, al descubrimien-to por ensayo-error, o a cualquier otro camino que le lleve a la solución. Se pretende, además, ofrecer un espacio, fuera de programa, en el que, mediante actividades o situaciones más distendidas, experimentar el placer de razonar y superar retos.

Soluciones

• Leyendachina:Laprimeravezsepresentóanteelgeniocon30mone-das.

•Usa la equis:

5 817 12 19 31 50

7UNIDAD

96 97

Ejercicios y problemas

Piensa y resuelve11. Calcula un número cuya mitad es 20 unidades

menor que su triple.

12. Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número?

13. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruple del menor. ¿De qué números se trata?

14. El producto de un número natural por su si-guiente es 31 unidades mayor que el quíntuplo de la suma de ambos. ¿Cuál es ese número?

15. En un rectángulo de 74 cm de perímetro sabemos que la altura mide 7 cm menos que la base. Halla sus dimensiones.

16. El mayor de los ángulos de un triángulo mide 50º más que el mediano; y este mide 20º más que el pequeño. ¿Cuánto mide cada ángulo?

Los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180º.

17. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años. El padre tiene 6 años más que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

18. Con 12 € que tengo, podría ir dos días a la pis-cina, un día al cine y aún me sobrarían 4,50 €. La entrada de la piscina cuesta 1,50 € menos que la del cine. ¿Cuánto cuesta la entrada del cine?

19. Se ha vertido un bidón de aceite de orujo, de 1,60 €/litro, en una tinaja que contenía 400 litros de aceite de oliva de 3,20 €/litro. Sabiendo que el litro de la mezcla cuesta 2,60 €/litro, ¿cuántos litros había en el bidón?

Consulta el problema 5 de la página 95.

20. Un coche sale de una ciudad A hacia otra B, distante 315 km, a una velocidad de 105 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A un camión que tarda en cruzarse con el coche una hora y cuarenta y cinco minutos. ¿Cuál era la velocidad del camión?

Si x es la velocidad del camión, este y el coche se acercan a una velocidad de (x + 105) km/h.

Transforma una hora y cuarenta y cinco minutos en ho-ras. Con esto, ya puedes aplicar la fórmula t = d/v.

21. Un ciclista que va a 18 km/h tarda 45 minutos en alcanzar a otro que le lleva una ventaja de 6 km. ¿Qué velocidad lleva el que iba delante?

22. Un ciclista sale a la carretera a una velocidad de 15 km/h. ¿Qué velocidad deberá llevar otro ciclista que sale media hora después si pretende alcanzar al primero en hora y media?

23. Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm menos que la altura y la diago-nal mide 10 cm.

La diagonal del rectángulo, junto con la base y la altura, forman un triángulo rec-tángulo. Recuerda lo que dice el teorema de Pitágoras.

PracticaEcuaciones: soluciones, tanteo…

1. Comprueba cuál de los números 1, 2 o 4 es la solución de las siguientes ecuaciones:

a) 3x – 5 = 1 b) x2

– 3x = –10

c) x 3 – 1 = 0 d) 2x = 4

e) x = 2 f ) x1

21=

2. Resuelve mentalmente y explica el proceso seguido.

a) x4

5– = 1 b) 5x + 1 = 11

c) 3(x – 2) = 12 d) x3

+ 1 = 6

e) x3

1+ = 6 f ) x 3 = 8

g) 3x = 81 h) x2 = 4

3. Resuelve por tanteo.

a) x2

4+ = 65 b) x2

– 1 = 3

c) 2(x + 1) = 16 d) x 2 = 25e) x 3 = 64 f ) 2x = 32

g) x 1+ = 5 h) x2 = 1

Ecuaciones de primer grado

4. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 12x – 8 = 34 + 5xb) 4(2 – x) – (4 – x) = 7(2x + 3)c) 2[x + 3(x + 1)] = 5xd) 5(x – 2) – 2(x – 5) = 2x – (12 + 3x)

5. Elimina los denominadores y resuelve.

a) x x3 5

215

1– –= b) x x x2 3 6

134

+ + =

c) x x2

14

3 1–+ + = –1 d) x5

3 1+ – x + 1 = 0

e) ( )x x3

2 12

3 161–+ + =

f ) ( )x7

3 1– – 2(x + 3) + 8 = 0

6. Simplifica y resuelve estas ecuaciones:

a) 21

31+ x = x –

61

b) x x4

3 33

4– = +

c) ( )x2

3 3+ – 2(2x – 2) = 8x – 1 – 2(x + 3)

d) ( )x x x4

3 33

3 261

123– –+ = + +

e) x x x2

76

712

7– – –+ = + 7

f ) x x x4

55

54

1– –+ = + – 1

7. Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla su solución:a) (x + 1)(x – 1) – 3(x + 2) = x(x + 2) + 4b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 = x(x + 3) – (x 2 + 1)

c) x x31

31– +d dn n – x x

61+d n =

31 (x – 2)

Ecuaciones de segundo grado

8. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula de resolución:a) 7x 2 – 21x = 0 b) 2x 2 + x = 0c) 2x 2 – 14x = 0 d) 4x 2 – 32x = 0e) x 2 – 36 = 0 f ) 3x 2 – 147 = 0

9. Resuelve estas ecuaciones:a) 2x 2 – 6x + 4 = 0 b) 3x 2 – 3x – 6 = 0c) 4x 2 + 16x + 16 = 0 d) x 2 + x + 3 = 0e) x 2 – 18x + 81 = 0 f ) x 2 – 5x – 24 = 0g) x 2 – 9x + 14 = 0 h) x 2 – 6x + 10 = 0

10. Reduce, resuelve y comprueba las soluciones.a) 5x 2 – 3x(x – 4) = (x – 2)2 + 13b) 3x(x – 2) – 6 = (x + 1)(x – 4)

c) x – x22

= x5

2–

d) x x65

3–

2 = 11 – x

22

+ 2

e) 5x – x x

x3 1–=


Leyenda china

Un genio que vivía en un estrecho desfiladero ofrecía a los viajeros el siguiente trato:— Para pasar, has de pagar la cantidad de cuatro ve-

ces cuatro monedas. Después, como prueba de amistad, yo doblaré el dinero de tu bolsa.

Un campesino algo ambicioso, enterado del caso, reu nió sus ahorros y se empeñó en atravesar muchas veces el des filadero. Sin embargo, se encontró que a la cuarta, su bol sa estaba vacía. ¿Con cuántas mone-das se presentó por primera vez ante el genio?

Usa la equis

Has de completar cada casilla de forma que suman-do los números de dos consecutivas obtengas el nú-mero de la siguiente.Si, por ejemplo, la segunda casilla tiene un valor x, la tercera valdrá...

5 81

x

x – 210

ANOTACIONES

7 Ecuaciones de primer y segundo grado - Anaya …€¦ · seguir en la resolución de ecuaciones...

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