73520420-Control-Pid

APUNTES DE CONTROL PID

2Salida

1 Control

0.1

Td

1

s +3s +3s+13 2

Proceso

3

K

s

1

Integrador

du/dt

Derivador

1/2

1/Ti

1Referencia

Ing. Mauricio Amstegui Moreno

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES LA PAZ BOLIVIA

ENERO DE 2001

RESUMEN El controlador PID (Proporcional, Integral y Derivativo) es un controlador realimentado cuyo propsito es hacer que el error en estado estacionario, entre la seal de referencia y la seal de salida de la planta, sea cero de manera asinttica en el tiempo, lo que se logra mediante el uso de la accin integral. Adems el controlador tiene la capacidad de anticipar el futuro a travs de la accin derivativa que tiene un efecto predictivo sobre la salida del proceso. Los controladores PID son suficientes para resolver el problema de control de muchas aplicaciones en la industria, particularmente cuando la dinmica del proceso lo permite (en general procesos que pueden ser descritos por dinmicas de primer y segundo orden), y los requerimientos de desempeo son modestos (generalmente limitados a especificaciones del comportamiento del error en estado estacionario y una rpida respuesta a cambios en la seal de referencia). Los fabricantes proporcionan los controladores PID de variadas formas. Existen sistemas del tipo stand alone con capacidad para controlar uno o varios lazos de control. Estos dispositivos son fabricados en el orden de cientos de miles al ao. El controlador PID es tambin un ingrediente importante en los sistemas de control distribuido, ya que proporciona regulacin a nivel local de manera eficaz. Por otro lado, pueden tambin venir empotrados, como parte del equipamiento, en sistemas de control de propsito especial, formando as parte integrante de la aplicacin. Su uso extensivo en la industria es tal que el 95% de los lazos de control que existen en las aplicaciones industriales son del tipo PID, de los cuales la mayora son controladores PI, lo que muestra la preferencia del usuario en el uso de leyes de control muy simples. En general, el usuario no explota todas las caractersticas de estos controladores, quizs por falta de una mejor comprensin desde el punto de vista de la teora de control. En la actualidad, el control PID dispone de una serie de prestaciones, que en el pasado han sido consideradas como secretos de los fabricantes. Un par de ejemplos tpicos de este tipo de prestaciones son las tcnicas de conmutacin de modos de control y el antiwindup del integrador. Los algoritmos actuales se combinan con funciones lgicas y secuenciales y una seire de mecanismos y funciones adicionales para adecuarse a los requerimientos de los modernos sistemas de control y automatizacin industrial, lo que da lugar a dispositivos especializados para el control de temperatura, velocidad, distribucin de energa, transporte, mquinas-herramientas, reaccin qumica, fermentacin, entre otros. Los controladores PID son generalmente usados en el nivel de control ms bajo, por debajo de algunos dispositivos de mediano nivel como PLCs, supervisores, y sistemas de monitoreo. Sin embargo, su importancia es tal que se convierte en el pan de cada da del ingeniero de control. Los controladores PID han sobrevivido a muchos cambios en la tecnologa a lo largo de su historia. Desde los antiguos reguladores de Watt, de la poca de la revolucin industrial, pasando por los controladores neumticos, los controladores anlogicos

elctricos y electrnicos (primero implementados con vlvulas y luego con circuitos integrados) hasta los modernos controladores basados en microprocesadores, que proporcionan una mayor flexibilidad debido a su programabilidad. El microprocesador ha tenido una influencia dramtica sobre el desarrollo del controlador PID; ha permitido brindar nuevas oportunidades para implementar funciones adicionales como el ajuste automtico de parmetros y los cambios de modos de control. Para los efectos de estos apuntes, se considera la frase ajuste automtico en el sentido de que los parmetros del controlador se ajustan automticamente en base a la demanda de un operador o de una seal externa, desactivando para ello el controlador. Esto hace que esta funcin sea diferente a la funcin de adaptacin, propias de los controladores adaptivos, que ajustan en lnea (o de manera continua) los parmetros del controlador. El desarrollo de los sistemas de control PID est tambin influenciado por el desarrollo en el campo de la comunicacin de datos de campos, lo que ha permitido su insercin como mdulos importantes en los esquemas de control distribuido. En este sentido, la capacidad de comunicacin de estos dispositivos con otros dispositivos de campo como PLCs y otros sistemas de control de niveles superiores, es una funcin necesaria en los modernos controladores PID. Si bien a nivel industrial existen grupos de ingenieros de procesos e instrumentacin que estn familiarizados con los controladores PID, en el sentido de que llevan una prctica continua de instalacin, puesta en marcha y operacin de sistemas de control con lazos PID, tambin es cierto que existe mucho desconocimiento acerca de los detalles involucrados en la construccin de los algoritmos. Prueba de ello es que muchos controladores son puestos en modo manual y, entre aquellos que estn en el modo automtico, frecuentemente la accin derivativa se encuentra desactivada. La razn es obvia, el ajuste de los controladores es un trabajo tedioso y requiere de cierta intuicin basada en los principios de funcionamiento tanto de los procesos fsicos controlados como de la misma teora de control. Otras razones del pobre desempeo tienen que ver con problemas en la instrumentacin y los equipos y accesorios utilizados en el lazo de control, como son los sensores, actuadores, dispositivos de comunicacin, interfaces de adquisicin de datos, etc. Los principales problemas de los actuadores estn generalmente relacionados con fallas de dimensionamiento (en general estn subdimensionados) y los problemas de histresis que introducen no linealidades importantes. Por su parte, los dispositivos asociados con la medicin de las seales de la planta (sensores, dispositivos de adquisicin de datos, adecuacin de seales y sistemas de comunicacin de datos de campo) a menudo se encuentran mal calibrados y, es frecuente que estn dotados de mecanismos inadecuados de filtraje pobre o bien de filtraje excesivo (producido en los llamados sensores inteligentes). Ms an, muchos sistemas de control no cumplen con las condiciones mnimas para su operacin en tiempo real. Es as que quedan por hacer muchas mejoras sustanciales con respecto al desempeo de los procesos industriales. Por su parte, la industria, a medida que la demanda de productos requiere una mejor calidad, est obligada a mejorar sus lazos de control, lo que a su vez requiere un mayor conocimiento acerca de los procesos y de sus mecanismos de regulacin. En estos apuntes se presenta un captulo dedicado al controlador PID, desde el punto de vista de sus principios de funcionamiento, as como los detalles de su implementacin.

Se incluyen aspectos como la limitacin de la ganancia derivativa, el antiwindup del integrador, la mejora del desempeo a partir del anlisis esttico y dinmico de los sistemas de control. El controlador PID puede ser estructurado de diferentes maneras. Las formas comnmente usadas son las formas serie y paralelas. En este sentido, se discuten las diferencias entre stas desde el punto de vista de sus parmetros. Tambin se discute la implementacin de los controladores PID usando computadoras digitales. Al respecto, se tratan los conceptos fundamentales del proceso muestreo, la eleccin del periodo de muestreo y los filtros antialiasing. Finalmente, se discuten las limitaciones del control PID, considerando un par de casos tpicos donde los controladores ms sofisticados tienen una mayor ventaja. Particularmente se presentan ejemplos de sistemas de control retardo de tiempo considerable y sistemas de control con procesos de alto orden. Todas las simulaciones estn documentadas con modelos de simulacin desarrollados en Simulink, que muestran la manera en que se han obtenido las curvas de varias figuras del captulo de Control PID. Tambin se presenta otro captulo dedicado a una revisin de las tcnicas de ajuste de controladores, enfatizando las clsicamente disponibles reglas de Ziegler y Nichols (los mtodos de la Respuesta al Escaln y de la Ganancia Ultima). Se concluye el captulo describiendo la tcnica de ajuste automtico de los parmetros del PID basada en el experimento de control realimentado con relevador ideal. Con el propsito de contrastar las tcnicas aprendidas con las disponibles en un controlador comercial, en el siguiente captulo se presenta la descripcin del controlador T48 10107 de Red Lion Controls. Este es un controlador de temperatura con posibilidad de efectuar ajuste automtico. El captulo concluye con la descripcin un sistema de monitoreo de temperatura desarrollado en Visual Basic, el mismo que hace uso del puerto de comunicacin serial para enviar comandos al controlador y recibir los valores de sus seales de entrada y salida. En los anexos se proporciona informacin complementaria sobre tres temas no discutidos en los captulos: Aproximaciones de controladores continuos, el Predictor de Smith, y el procedimiento de diseo de un filtro Butterworth (utilizado generalmente como filtro antialiasing). Tambin se presenta informacin complementaria de las hojas de datos del controlador de temperatura T48, las caractersticas temperatura voltaje de varias termocuplas, y las hojas de datos del adaptador de comunicacin serial utilizado en el sistema de monitoreo de temperatura.


Ing. Mauricio Amstegui M. Enero de 2001

CONTENIDO RESUMEN CONTROL PID

1. INTRODUCCION 2. EL PRINCIPIO DE REALIMENTACION

o CONTROL ON-OFF o CONTROL PROPORCIONAL o ANALISIS ESTATICO DE LOS SISTEMAS REALIMENTADOS

Control Proporcional 3. CONTROL PID

o ACCION PROPORCIONAL o ANALISIS ESTATICO o ACCION INTEGRAL o ACCION DERIVATIVA

4. MODIFICACIONES DEL ALGORITMO PID

o REPRESENTACIONES ALTERNATIVAS o PONDERACION DE LA REFERENCIA o LIMITACION DE LA GANANCIA DERIVATIVA o CONTROLADORES DE ERROR CUADRATICO o SALIDAS ESPECIALES DEL CONTROLADOR

Tiristores y Triacs Modulacin por Ancho de Pulso

o ALGORITMOS DE VEOLOCIDAD Una Dificultad de los Algoritmos de Velocidad

5. WINDUP DEL INTEGRADOR

o EJEMPLO 1. ILUSTRACION DEL WINDUP DEL INTEGRADOR o LIMITACION DE LA REFERENCIA o ALGORITMOS INCREMENTALES o RECALCULO Y SEGUIMIENTO o CONTROLADORES CON MODO DE SEGUIMIENTO o LA BANDA PROPORCIONAL o INTEGRACION CONDICIONAL o IMPLMENTACION SERIE o ESQUEMAS COMBINADOS

6. IMPLEMENTACION DIGITAL



o MUESTREO o PREFILTRADO o EJEMPLO2. SELECCION DEL ANCHO DE BANDA DEL PREFILTRO o DISCRETIZACION

Accin Proporcional Accin Integral Accin Derivativa

o FORMA INCREMENTAL o CUANTIZACION Y LONGITUD DE PALABRA

7. ASPECTOS OPERACIONALES

o TRANSFERENCIA SUAVE ENTRE MODOS MANUAL Y AUTOMATICO o TRANSFERENCIA SUAVE EN EL CAMBIO DE PARAMETROS o CODIGO DE COMPUTADORA

8. CONTROLADORES COMERCIALES 9. CUANDO SE PUEDE USAR UN CONTROLADOR PID?

o CUANDO UN CONTROL PI ES SUFICIENTE? o CUANDO UN CONTROL PID ES SUFICIENTE? o CUANDO ES NECESARIO UN CONTROL MAS SOFISTICADO?

Procesos de Alto Orden Ejemplo 3. Control de un Proceso de Alto Orden Sistemas con Largos Tiempos de Retardo Ejemplo 4. Compensacin de Tiempo Muerto

CONCLUSIONES

MODELOS DE SIMULACION EN SIMULINK UTILIZADOS EN EL CAPITULO DE CONTROL PID

o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 7 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 9 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 11 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 13 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 18 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 20 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 21 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LAS FIGURAS 24 Y 25 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 26 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 29 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 37 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 38



AJUSTE AUTOMATICO DE PARAMETROS

1. INTRODUCCION 2. CONTROL PID 3. METODOS DE AJUSTE DE PARAMETROS BASADOS EN LA RESPUESTA

TRANSITORIA o METODO DE LA RESPUETA AL ESCALON DE ZIEGLER Y NICHOLS o CARACTERIZACION DE UNA RESPUESTA AL ESCALON

4. METODO DE AJUSTE DE PARAMETROS BASADO EN

REALIMENTACION CON RELEVADOR o LA IDEA CLAVE o IDENTIFICACION DE PARAMETROS ESENCIALES DEL PROCESO POR

EL METODO DE BALANCE HARMONICO o METODO DE LA GANANCIA ULTIMA DE ZIEGLER Y NICHOLS BASADO

EN LA IDENTIFICACION DE LOS PARAMETROS ESENCIALES DEL PROCESO OBTENIDOS MEDIANTE EL METODO DE BALANCE HARMONICO o OBTENCION DE ESTIMADOS MEJORADOS

CONTROLADOR DE TEMPERATURA T4810107

1. DESCRIPCION GENERAL 2. OPERACION DEL CONTROLADOR 3. MODOS DE CONTROL

o CONTROL MANUAL o CONTROL ON/OFF o CONTROL PID

Banda Proporcional Constante de Tiempo Integral Constante de Tiempo Derivativa Offset de la Salida del Controlador

o AJUSTE AUTOMATICO DE PARAMETROS 4. CONFIGURACION DE LOS PARAMETROS DEL CONTROLADOR 5. INTERFAZ DE E/S

o ENTRADAS

Entrada de Medicin de la Temperatura del Proceso Entrada del Usuario

o SALIDAS



6. INTERFAZ DE COMUNICACION SERIAL

o LEER VALOR o ESCRIBIR VALOR o ESCRIBIR VALORES DE ALARMA o EJECUTAR ACCIONES DE CONTROL o LECTURA DE BLOQUES DE DATOS

7. UN SISTEMA DE MONITOREO DE TEMPERATURA USANDO

COMUNICACION SERIAL o DESCRIPCION DEL SISTEMA DE MONITOREO o INTERFAZ CON EL USUARIO DEL SISTEMA DE MONITOREO o LISTADO DEL PROGRAMA DEL SISTEMA DE MONITOREO EN VISUAL

BASIC REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ANEXOS

A. APROXIMACION DIGITAL DE CONTROLADORES CONTINUOS

B. PREDICTOR DE SMITH

C. DISEO DE UN FILTRO BUTTERWORTH

D. HOJAS DE DATOS DEL CONTROLADOR DE TEMPERATURA T48 E. CARACTERISTICAS DE VOLTAJE VS. TEMPERATURA DE VARIAS

TERMOCUPLAS F. MODULO CONVERTIDOR DE RS-232 A RS-485

CONTROL PID

Ing. Mauricio Amstegui M. Pg. 1 Enero de 2001

CONTROL PID 1. INTRODUCCION El controlador PID, de lejos, es el algoritmo de control ms comn. Numerosos lazos control utilizan este algoritmo, que puede ser implementado de diferentes maneras: como controlador stand-alone, como parte de un paquete de control digital directo o como parte de un sistema de control distribuido. Su estudio puede ser abordado desde mltiples puntos de vista. Puede ser tratado como un dispositivo que puede ser operado utilizando unas cuantas reglas prcticas, pero tambin puede ser estudiado analticamente. 2. EL PRINCIPIO DE REALIMENTACION La idea de la realimentacin es bastante simple y muy poderosa. A lo largo de su historia, ha tenido una fuerte influencia en la evolucin de la tecnologa. Las aplicaciones del principio de realimentacin han tenido xito en los campos del control, comunicaciones e instrumentacin. Para entender el concepto, asuma que el proceso es tal que cuando el valor de la variable manipulada se incrementa, entonces se incrementan los valores de las variables del proceso. Bajo este concepto simple, el principio de realimentacin puede ser expresado como sigue:

Incrementar la variable manipulada cuando la variable del proceso sea ms pequea que la referencia y disminuirla cuando sta sea ms grande.

Este tipo de realimentacin se llama realimentacin negativa debido a que la variable manipulada se mueve en la direccin opuesta a la variable del proceso. El principio puede ser ilustrado por el diagrama de bloques que se muestra en la Fig. 1. En este diagrama el proceso y el controlador estn representados por cajas negras y las flechas denotan las entradas y salidas a cada bloque. Note que existe un smbolo especial que denota una suma de seales. El diagrama de bloques muestra que el proceso y el controlador estn conectados en un lazo realimentado. La presencia del signo en el bloque de retorno indica que la realimentacin es negativa.

Controlador Proceso

-1

S

Fig. 1: Diagrama de bloques del sistema de control de un proceso.

CONTROL ON-OFF El mecanismo de realimentacin ms simple se puede describir matemticamente como sigue:

CONTROL PID


=0eu

0e

min

maxuu (1)

donde yye -= sp (diferencia entre la referencia especificada por el operador y la salida medida del proceso) es el denominado error de control. Esta ley de control implica que siempre se usa la accin correctiva mxima. De esta manera, la variable manipulada tiene su valor ms grande cuando el error es positivo y su valor ms pequeo cuando el error es negativo. La realimentacin de este tipo se llama control on-off. Es simple y no tiene parmetros que configurar, aparte de las acciones mnima y mxima que se ejecutan en el clculo de la seal de control. El control on-off muchas veces es apropiado para mantener la variable controlada del proceso cerca del valor de la referencia que fue especificada, pero tpicamente resulta en un sistema donde las variables oscilan. Note en la ecuacin (1) que la variable de control no est definida cuando el error es cero. Es comn tener algunas modificaciones ya sea introduciendo histresis o una zona muerta como se muestra en la Fig. 2.

A B Cu u u

e e e

Fig. 2: (A) Caracterstica de un controlador on-off ideal y modificaciones con (B) zona muerta y (C) histresis. CONTROL PROPORCIONAL La razn por la que el control on-off resulta en oscilaciones es que el sistema sobreacta cuando ocurre un pequeo cambio en el error que hace que la variable manipulada cambie sobre su rango completo. Este efecto se evita en el control proporcional, donde la caracterstica del controlador es proporcional al error de control cuando stos son pequeos. La Fig. 3 muestra la caracterstica de un controlador proporcional. De esta manera, el controlador est caracterizado por la funcin no lineal )(efu c= , dependiente del error de control, que se muestra en la figura.

CONTROL PID


Banda Proporcional

K Pendiente

minu

bu

maxu

u

e

Fig. 3: Caracterstica de un controlador proporcional. La entrada es el error de control e y la salida es la seal

de control u . Para describir la caracterstica del controlador proporcional se debe dar los lmites maxu y

minu de la variable de control. El rango lineal puede ser especificado, ya sea, por la pendiente dada en la curva caracterstica (ganancia K del controlador) o, bien, por el rango donde la curva caracterstica es lineal (conocida como banda proporcional bP ). Este rango est normalmente centrado alrededor de la referencia. La banda proporcional y la ganancia del controlador estn relacionadas a travs de:

bKPuu =- minmax (2) Normalmente se asume que %100minmax =- uu , lo cual implica que

bPK

100=

(3)

Note que un controlador proporcional acta como un controlador on-off cuando los errores de control son grandes. ANALISIS ESTATICO DE LOS SISTEMAS RELIMENTADOS Algunas propiedades de un sistema de control se pueden comprender mediante un anlisis esttico simple. Para esto, se introduce la caracterstica esttica del proceso, que es una curva que muestra el valor estacionario de su salida y como funcin de su entrada u (ver la Fig. 4). Note que la curva tiene una interpretacin fsica slo si el proceso es estable. La caracterstica esttica del proceso es importante para determinar el rango de las seales de control que son requeridas para cambiar la salida del proceso sobre un rango deseado. Tambin es usada para dimensionar el tamao de los actuadores, seleccionar la resolucin del sensor, as como para evaluar qu tan grandes son las variaciones en la ganancia esttica. Todas estas consideraciones se deben tomar en cuenta a la hora de disear el sistema de control.

CONTROL PID


y

u Fig. 4: Caracterstica esttica del proceso. Muestra la salida del proceso y como una funcin de su entrada,

bajo consideraciones estticas. Control Proporcional Considere un proceso bajo control proporcional. Sea la caracterstica del controlador dada por:

( )yyfu spc -= (4) Introduciendo la caracterstica inversa del controlador 1-cf , la ecuacin (4) se puede escribir como:

)(1 ufyy csp-=-

Ms an, introduciendo la caracterstica esttica del proceso,

)(ufy p= (5)

se encuentra que el valor de equilibrio de u satisface la ecuacin:

)()(1 ufufy pcsp =-- (6)

Esta ecuacin puede ser resuelta encontrando la interseccin de las grficas de las funciones )(uf p y )(

1 ufy csp-- como se muestra en la Fig. 5.

CONTROL PID


y

u

K1

Pendiente

)(1 ufy csp--

)(uf p

minu bua

maxu

spy

y

0y

Fig. 5: Determinacin del equilibrio a partir de las caractersticas estticas del proceso y del controlador.

La interseccin es nica si la caracterstica esttica es monotnica. El valor de equilibrio de la salida del proceso y se obtiene simplemente como la coordenada y de la interseccin. En la construccin grfica es fcil ver cmo el equilibrio est influenciado por la referencia y la ganancia del controlador. El equilibrio concuerda con la referencia slo si:

)(0 bpsp ufyy == (7)

Para todos los valores de la referencia existir una desviacin. Si la caracterstica del proceso se aproxima por una lnea recta con pendiente pK esta desviacin puede ser calculada fcilmente. Introduciendo el parmetro a mostrado en la Fig. 5, se encuentra que:

aK

Kyy psp

+=-

10

y

aK

yy sp1

=-

Esto implica que el error en estado estacionario est dado por:

( )011

yyKK

yye spp

sp -+=-=

(8)

Note que, cuanto ms pequea es la desviacin, ms grande es la ganancia de lazo

KK p .


3. CONTROL PID

En la seccin anter ior se vio que el control proporcional tiene la desventaja de que, en la mayora de los casos, resulta en un error esttico o de estado estacionario diferente de cero. Los algoritmos de control usados en la prctica son, por tanto, normalmente ms complejos que el del controlador proporcional. Se puede mostrar empricamente que el llamado controlador PID es una estructura til. Dentro de la banda proporcional el comportamiento del algoritmo PID en su versin de libro de texto se puede describir como:

++= dt

tdeTde

TteKtu d

t

i

)()(

1)()(

0

tt

(9)

donde u es la variable de control y e es el error de control dado por yye sp -= . De esta manera, la variable de control es una suma de tres trminos: el trmino P, que es proporcional al error; el trmino I, que es proporcional a la integral del error; y el trmino D, que es proporcional a la derivada del error. Los parmetros del controlador son: la ganancia proporcional K , el tiempo integral iT y el tiempo derivativo dT .

ACCION PROPORCIONAL

En el caso de un control proporcional puro, la ley de control de la ecuacin (9) se reduce a

butKetu += )()( (10)

La accin de control es simplemente propor cional al error de control. La variable bu es una seal de polarizacin o un reset. Cuando el error de control e es cero, la variable de control toma el valor butu =)( . La polarizacin bu a menudo se la fija en ( ) 2/minmax uu + , pero, algunas veces, puede ser ajustada manualmente de forma que el error de control en estado estacionario sea cero en una referencia dada.

ANALISIS ESTATICO

Muchas de las propiedades del control proporcional se pueden entender mediante el siguiente argumento, que est basado en consideraciones estticas puras. Considere un lazo realimentado simple, como el mostrado en la Fig. 6, que consiste de un proceso y un controlador, sometidos a perturbaciones.

Controlador Proceso

-1

S S Sspy

e u

l n

y

Fig. 6: Diagrama de bloques de un lazo de realimentacin simple

CONTROL PID


Asuma que el controlador tiene accin proporcional y que el proceso est representado por un modelo esttico:

)( luKx p += (11)

donde x es la variable del proceso, u es la variable de control, l es una perturbacin de carga y pK es la ganancia esttica del proceso. Las siguientes ecuaciones se obtienen a partir del diagrama de bloques:

nxy += )( luKx p +=

( ) bsp uyyKu +-=

(12)

La eliminacin de las variables intermedias da la siguiente relacin entre la variable del proceso x , la referencia spy , la perturbacin de carga l y el ruido de medicin n :

( ) ( )bp

psp

p

p ulKK

Kny

KK

KKx +

++-

+=

11

(13)

Compare con la ecuacin (8) de la seccin anterior. El producto pKK es un nmero sin dimensiones llamado ganancia de lazo. De la ecuacin (13) se pueden leer muchas propiedades interesantes del sistema en lazo cerrado. Primero asuma que n y bu son cero. La ganancia de lazo debe ser alta para asegurar que la salida del proceso x sea cercana a la referencia spy . Un valor alto de la ganancia de lazo permitir hacer que el

sistema sea insensible a la perturbacin de carga l . Sin embargo, si n es diferente de cero, de la ecuacin (13) se sigue que el ruido de medicin n influye sobre la salida del proceso de la misma forma que lo hace la referencia spy . Para evitar que el sistema sea sensible al ruido de medicin, la ganancia de lazo no debe ser muy grande. Ms an, la polarizacin bu del controlador influye en el sistema de la misma forma en que lo hace la perturbacin de carga. Por tanto, es obvio que el diseo de la ganancia de lazo debe ser considerado como un compromiso entre dos objetivos de control diferentes, por lo que no existe una respuesta simple que permita encontrar una frmula que determine la mejor ganancia de lazo a ser aplicada en el sistema. Esto depender de cul objetivo de control es ms importante para la aplicacin en cuestin. Tambin, de la ecuacin (13) se puede ver que el controlador proporcional normalmente producir un error en estado estacionario. Esto puede ser deducido intuitivamente a partir de la observacin de la ecuacin (12), donde el error de control es cero slo cuando

buu = en estado estacionario. Por tanto, el error puede hacerse cero en una condicin de operacin dada manipulando la polarizacin bu del controlador. El anlisis esttico anterior est basado en la suposicin de que el proceso se puede describir mediante un modelo esttico. Cuando se considera la dinmica del sistema se introducen otras propiedades sobre el comportamiento del sistema en lazo cerrado. La

CONTROL PID


ms importante es que el sistema en lazo cerrado normalmente ser inestable si se eligen altas ganancias de lazo. En la prctica, es la dinmica del sistema la que determina la mxima ganancia de lazo que puede ser utilizada. Un ejemplo tpico del control proporcional se ilustra en la Fig. 7. La figura muestra el comportamiento de la salida del proceso y de la seal de control, despus de un cambio al escaln en la seal de referencia. El error en estado estacionario puede ser calculado a partir de la ecuacin (13). El trmino de polarizacin bu , la perturbacin de carga l y el ruido de medicin n son cero en la simulacin. Con una ganancia del controlador 1=K y una ganancia esttica del proceso 1=pK , se obtiene un error de control del 50%. La figura muestra que el error en estado estacionario decrece a medida que se incrementa la ganancia del controlador, tal como se predice en la ecuacin (13). Note tambin que la respuesta se vuelve ms oscilatoria al incrementar la ganancia del controlador. Esto se debe a la dinmica del proceso.

5=K

5=K

2=K

1=K

1=K

2=K

Fig. 7: Simulacin de un sistema de control en lazo cerrado con control proporcional. La funcin de

transferencia del proceso es ( ) 31)( -+= ssG . El diagrama muestra la referencia 1=spy y la salida del proceso y para diferentes valores de la ganancia del controlador K . El diagrama inferior muestra la seal

de control u para las respectivas ganancias del controlador.

CONTROL PID


ACCION INTEGRAL La funcin principal de la accin integral es asegurar que la salida del proceso concuerde con la referencia en estado estacionario. Con el controlador proporcional, normalmente existira un error en estado estacionario. Con la accin integral, un pequeo error positivo siempre producir un incremento en la seal de control y, un error negativo siempre dar una seal decreciente sin importar cun pequeo sea el error. El siguiente argumento simple muestra que el error en estado estacionario siempre ser cero con la accin integral. Asuma que el sistema est en estado estacionario con una seal de control constante, 0u , y un error constante, 0e . De la ecuacin (9) se tiene que la seal de control est dada por:

+= t

T

eeKu

i

000

Como se tiene que 00 e , claramente se contradice el supuesto de que la seal de control 0u se mantiene constante. Por tanto, como resultado de esto, un controlador con accin integral siempre dar un error en estado estacionario cero. La accin integral tambin puede ser vista como un dispositivo que automticamente restablece el trmino de polarizacin bu de un controlador proporcional. Esto se ilustra en el diagrama de bloques de la Fig. 8, que muestra un controlador proporcional con un reset que se ajusta automticamente. El ajuste se hace realimentando una seal, que es un valor filtrado de la salida del controlador, a un punto de suma. El reset automtico fue el que dio origen a la accin integral del controlador del tipo PID.

eK S

u

I

isT+11

Fig. 8: Implementacin de la accin integral concebida como un reset automtico, como tambin fue llamada. La implementacin mostrada en la Fig. 8 todava es usada por muchos fabricantes de controladores. Sin embargo, a partir del diagrama de bloques, se pueden deducir las siguientes ecuaciones:

IKeu +=

uIdtdI

Ti =+

de donde, la eliminacin de u entre estas ecuaciones produce:

CONTROL PID


IKeIdtdI

Ti +=+

y, de aqu:

KedtdI

Ti =

que muestra que el controlador de la Fig. 8 es, en los hechos, un controlador del tipo PI. Las propiedades de la accin integral se ilustran en la Fig. 9, que muestra la simulacin de un sistema de control PI. La ganancia proporcional es 1=K en todas las curvas. El caso =iT corresponde a un control proporcional puro, que es idntico al de 1=K de la Fig. 7, donde el error final es del 50%. El error es eliminado cuando iT toma valores

finitos. Para valores grandes de iT , la respuesta se desliza lentamente hacia la referencia.

El acercamiento es aproximadamente exponencial con constante de tiempo pi KKT / y es

ms rpido para valores pequeos de iT ; pero es, tambin, ms oscilatorio.

1=iT

2=iT5=iT

=iT

1=iT

2=iT

5=iT

=iT

Fig. 9: Simulacin de un sistema en lazo cerrado con control proporcional e integral. La funcin de

transferencia del proceso es ( ) 31)( -+= ssG , y la ganancia del controlador es 1=K . El diagrama superior muestra la referencia spy y la salida del proceso y para diferentes valores del tiempo integral iT . El

diagrama inferior muestra la seal de control u para los respectivos valores del tiempo integral.

CONTROL PID


ACCION DERIVATIVA El propsito de la accin derivativa es mejorar la estabilidad de lazo cerrado. El mecanismo de inestabilidad puede ser descrito intuitivamente como sigue. Debido a la dinmica del proceso, pasa algn tiempo antes de que la variable de control se note en la salida del proceso. De esta manera, el sistema de control tarda en corregir el error. La accin de un controlador con accin proporcional y derivativa puede ser interpretada como si el control proporcional fuese hecho para predecir la salida del proceso. La prediccin se hace por la extrapolacin del error de control en la direccin de la tangente a su curva respectiva, como se muestra en la Fig. 10.

e

t

)(te

( )dTte +

dt

tdeTte d

)()( +

Fig. 10: Interpretacin geomtrica de la accin derivativa como un control predictivo, donde la prediccin se

obtiene mediante extrapolacin lineal. La estructura bsica de un controlador PD est dada por:

+=

dttde

TteKtu d)(

)()(

La expansin en series de Taylor de )( dTte + da:

( )dt

tdeTteTte dd

)()( ++

De esta manera, la seal de control es proporcional a un estimado del error de control en el un tiempo dT hacia adelante, donde el estimado se obtiene mediante extrapolacin lineal, como fue mostrado en la Fig. 10. Las propiedades de la accin derivativa se ilustran en la Fig. 11, que muestra la simulacin de un sistema con control PID. La ganancia del controlador y el tiempo de estimacin se mantienen constantes con 3=K y 2=iT , y se vara el tiempo derivativo

dT . Para 0=dT se tiene un control PI puro. El sistema de lazo cerrado es oscilatorio con

CONTROL PID


los parmetros elegidos. Inicialmente el amortiguamiento se incrementa con el incremento del tiempo derivativo, pero disminuye cuando el tiempo derivativo se vuelve ms grande.

1.0=dT

1.0=dT

7.0=dT

7.0=dT

5.4=dT

5.4=dT

Fig. 11: Simulacin de un sistema en lazo cerrado con control proporcional, integral y derivativo. La funcin de

transferencia del proceso es ( ) 31)( -+= ssG , la ganancia del controlador es 3=K y el tiempo integral es 2=iT . El diagrama superior muestra la referencia 1=spy y la salida del proceso y para diferentes

valores del tiempo derivativo dT . El diagrama inferior muestra la seal de control u para los respectivos valores del tiempo derivativo.

4. MODIFICACIONES DEL ALGORITMO PID El algoritmo PID fue dado en la ecuacin (9) en la seccin anterior. Este algoritmo de libro de texto no es muy usado en la prctica debido a que se puede obtener un mejor funcionamiento mediante las modificaciones que se discuten en esta seccin. REPRESENTACIONES ALTERNATIVAS El algoritmo dado en la ecuacin (9) puede ser representado por la siguiente funcin de transferencia:

CONTROL PID


++= d

i

sTsT

KsG1

1)(

(14)

Una versin ligeramente diferente es ms comn en muchos controladores comerciales. Este controlador est descrito por:

( )di

sTsT

KsG '1'

11')(' +

+=

(15)

Las dos estructuras del controlador son presentadas en forma de diagrama de bloques en la Fig. 12. El controlador dado por la ecuacin (14) se llama no interactivo y el dado por la ecuacin (15) interactivo. La razn para esta nomenclatura es que en el controlador (14) el tiempo integral iT no influye en la parte derivativa, y el tiempo derivativo dT no influye en la parte integral y, de esta forma, las partes no interactan entre s. En el controlador interactivo, el tiempo derivativo dT ' influye en la parte integral. Por tanto, las partes son interactivas.

e

P

I

D

S

SSe

u

u

P I

D

Fig. 12: Formas interactiva y no interactiva del algoritmo de control PID.

El controlador interactivo de la ecuacin (15), se puede representar siempre como un controlador no interactivo. En este caso, sus coeficientes estn dados por:

i

di

T

TTKK

'

'''

+=

dii TTT '' +=

di

did TT

TTT

''

''

+=

(16)

CONTROL PID


Un controlador interactivo de la forma (15), que corresponde a un controlador no interactivo (14) se puede encontrar slo si:

di tTT Entonces

( )id TTKK /4112' -+=

( )idii TTTT /4112' -+=

( )idid TTTT /4112 --=

(17)

El controlador no interactivo dado por la ecuacin (14) es ms general. Sin embargo, se dice que el controlador interactivo es ms fcil de ajustar manualmente. Existe tambin una razn histrica para la preferencia del controlador interactivo. Los primeros controladores neumticos fueron ms fciles de construir usando la forma interactiva. Cuando los fabricantes de controladores cambiaron de tecnologa mantuvieron esta forma por razones de tipo comercial. Como consecuencia, es ms comn entre los controladores de un solo lazo. Es importante tener en mente que los diferentes controladores tienen diferentes estructuras. Esto significa que en un cierto lazo de control, donde el controlador de un cierto tipo, se reemplaza por otro tipo de controlador, los valores de los parmetros del nuevo controlador deben ser nuevamente ajustados de acuerdo a la dinmica del proceso. Note, sin embargo, que las formas interactivas y no interactivas son diferentes slo cuando las partes I y D del controlador son usadas. Si slo se usa el controlador como un P, PI o PD, las dos formas son equivalentes. Otra representacin muy popular del algoritmo PID est dada por la siguiente ecuacin:

di sk

s

kksG ++=)(''

(18)

Los parmetros estn relacionados con la forma estndar a travs de las siguientes ecuaciones:

dd

ii

KTk

TK

k

Kk

=

=

=

La representacin (18) es equivalente a la forma estndar, pero los valores de los parmetros son bastante diferentes. Esto puede causar grandes dificultades para cualquiera que no perciba las diferencias, particularmente si el parmetro ik/1 es llamado

CONTROL PID


tiempo integral y dk tiempo derivativo. La forma dada por la ecuacin (18) a menudo es til en clculos analticos, debido a que los parmetros aparecen en forma lineal. La representacin tambin tiene la ventaja de que es posible obtener acciones proporcional, integral o derivativa puras mediante valores finitos de los parmetros. Resumiendo lo anterior, se puede ver que existen tres formas diferentes al considerar un controlador del tipo PID:

o La forma estndar o no interactiva dada por la ecuacin (14). o La forma serie o interactiva dada por la ecuacin (15). o La forma paralela dada por la ecuacin (18).

La forma estndar algunas veces es llamada algoritmo ISA, o algoritmo ideal. Las acciones proporcional, integral y derivativa son no interactivas en el dominio del tiempo. Este algoritmo admite ceros complejos, lo que es til cuando se controla sistemas con polos oscilatorios. La forma serie es tambin llamada forma clsica. Esta representacin es obtenida fcilmente cuando el controlador es implementado como un dispositivo analgico, basado en un sistema neumtico. El nombre clsico refleja este hecho. La forma serie tiene una interpretacin atractiva en el dominio de la frecuencia, ya que los ceros corresponden a los valores inversos de los tiempos derivativo e integral. Todos los ceros del controlador son reales. Las acciones integral o proporcional puras no pueden ser obtenidas con valores finitos de los parmetros del controlador. La mayora de los controladores usan esta forma. La forma paralela es la ms general, debido a que se pueden obtener acciones proporcional, integral y derivativa puras con parmetros finitos. El controlador puede tambin tener ceros complejos, siendo, por tanto, la forma ms flexible. Sin embargo, es tambin la forma donde los parmetros tienen poca interpretacin fsica. PONDERACION DE LA REFERENCIA Un esquema comn de un sistema de control se muestra en la Fig. 6. El sistema est caracterizado por la formacin de un error, que es la diferencia entre la referencia y la salida del proceso. El controlador genera una seal de control que se obtiene mediante el procesamiento del error y es aplicada luego al proceso. Este sistema es llamado sistema con error realimentado debido a que el controlador opera sobre la seal de error. Una estructura ms flexible se obtiene mediante el tratamiento de la referencia y de la salida del proceso de manera separada. Un controlador PID de esta forma est dado por:

++= dt

deTdsse

TeKtu dd

t

ip

0

)(1

)(

(19)

donde el error en la parte proporcional es:

ybye spp -= (20)

y el error en la parte derivativa es:

CONTROL PID


ycye spd -= (21)

Para evitar errores de control en estado estacionario, el error en la parte integral debe ser el verdadero error de control:

yye sp -= Los controladores obtenidos para diferentes valores de b y c responden a perturbaciones de carga y ruido de medicin de manera similar. La respuesta a los cambios en la referencia dependern, sin embargo, de dichos valores. Esto se ilustra en la Fig. 13, que muestra la respuesta de un controlador PID con respecto a cambios en la referencia, perturbaciones de carga y errores de medicin, para diferentes valores de b . La figura muestra claramente el efecto de cambiar b . El sobrepaso con respecto a los cambios en la referencia es ms pequeo para 0=b , que es el caso donde la referencia slo es introducida en el trmino integral y se incrementa cuando se incrementa b . Note que una simulacin como la de la Fig. 13 es muy til para hacer una rpida evaluacin de las respuestas del sistema en lazo cerrado con respecto a los cambios en la referencia, las perturbaciones de carga y los errores de medicin.

1=b

1=b

5.0=b

5.0=b

0=b

0=b

Fig. 13: Respuesta con respecto a cambios en la referencia, perturbaciones de carga y errores de medicin

para diferentes valores de la ponderacin de la referencia b .

CONTROL PID


El parmetro c normalmente se elige igual a cero para evitar grandes transitorios en la seal de control debido a cambios repentinos en la referencia. Una excepcin es cuando el controlador es el controlador secundario en un acoplamiento en cascada. En este caso, la referencia cambia suavemente, debido a que es dada por la salida del controlador primario. El controlador con 0=b y 0=c se llama algunas veces controlador I-PD y el controlador con 1=b y 0=c se llama algunas veces controlador PI-D. En general, se prefiere el genrico uso de PID y dar los parmetros de b y c . En general, un sistema de control tiene diferentes requerimientos. Se debe tener una buena respuesta transitoria con respecto a cambios en la referencia y rechazar las perturbaciones de carga y el ruido de medicin. Un sistema con solamente error realimentado, que pretende satisfacer todas las demandas en el mismo mecanismo, se le conoce como sistema de un grado de libertad. Teniendo trayectos diferentes para las seales de referencia y salida del proceso se consigue una mayor flexibilidad para satisfacer el compromiso de diseo. A estos ltimos se los conoce como sistemas de dos grados de libertad. Este tipo de sistemas se implementan mucho ms en sistemas de control ms sofisticados. En el diagrama de bloques de la Fig. 6, la salida del controlador es generada a partir del error yye sp -= . Note que este diagrama ya no es vlido cuando se usan la ley de control dada por la ecuacin (19) y las definiciones de error de las ecuaciones (20) y (21). Un diagrama de bloques para un sistema con control PID se muestra ahora en la Fig. 14.

Proceso

-1

spy

u y

ffG

cG S

Fig. 14: Diagrama de bloques de un lazo de realimentacin simple con un controlador PID que tiene una

estructura de dos grados de libertad. Note que la funcin de transferencia desde la referencia spy a la seal de control u est dada por:

++= d

iff csTsT

bKG1

y que la funcin de transferencia desde la variable del proceso y a la variable de control u est dada por:

CONTROL PID


++= d

ic sTsT

KG1

1

Note, tambin, que ambas funciones de transferencia son diferentes. LIMITACION DE LA GANANCIA DERIVATIVA La accin derivativa puede producir en dificultades, si existe ruido de medicin de alta frecuencia. Un ruido de medicin senoidal:

)sin( tan w= da la siguiente contribucin al trmino derivativo de la seal de control:

)cos( taKTdtdn

KTu ddn ww==

De esta manera, la amplitud de la seal de control puede ser arbitrariamente grande si el ruido tiene una frecuencia suficientemente alta. La ganancia de alta frecuencia del trmino derivativo, por tanto, debe ser limitada, para evitar esta dificultad. Esto se puede hacer implementando el trmino derivativo como se describe en la siguiente ecuacin:

dtdy

KTdtdD

N

TD d

d --=

(22)

De esta ecuacin se deduce que el trmino derivativo modificado puede ser implementado como sigue:

yNsT

sKTD

d

d

/1+-=

La modificacin puede ser interpretada como la derivada filtrada por un sistema de primer orden con constante de tiempo NTd / . La aproximacin acta como una derivada para componentes de baja frecuencia de la seal. La ganancia, sin embargo, est limitada a KN . Esto significa que el ruido de medicin de alta frecuencia es amplificado a lo ms por este factor. Los valores tpicos de N son 8 a 20. Note tambin que el trmino D puede ser implementado sin derivadores. CONTROLADORES DE ERROR CUADRATICO En la forma estndar del control PID, el error de control ingresa linealmente en el algoritmo, ver ecuacin (9). Algunas veces es deseable tener ganancias altas en el controlador, sobre todo cuando el error de control es grande. Otras veces se requiere pequeas ganancias, cuando el error de control es pequeo. Una forma comn de obtener esta propiedad es usar el cuadrado del error de control, es decir, el error de control sustituido por:

CONTROL PID


eee =cuadrtico El error cuadrtico es ms comnmente usado slo en el trmino proporcional, algunas veces en el trmino integral, pero raras veces en el trmino derivativo. Una razn para el uso de controladores de error cuadrtico es la capacidad para reducir los efectos de las perturbaciones de baja frecuencia en la seal de medicin. Esta perturbaciones no pueden ser filtradas, pero con el uso del control cuadrtico se da una amplificacin muy pequea del ruido, cuando el error de control es pequeo y un control ms efectivo, en cuanto a velocidad de respuesta, cuando el error de control es grande. Otra aplicacin de los controladores de error cuadrtico emerge del problema de control de tanques. Aqu, el objetivo de control principal es mantener una seal de control suave que evite transitorios bruscos. Por otro lado, el nivel no se debe desviar demasiado con respecto a la referencia. Todo esto es posible obtener eficazmente con el uso de un control de error cuadrtico. SALIDAS ESPECIALES DEL CONTROLADOR Las entradas y salidas de un controlador son normalmente seales analgicas, tpicamente de 0-20 mA o de 4-20 mA. La razn principal para el uso de 4 mA en vez de 0 mA, como lmite inferior, es que muchos transmisores estn diseados para su conexin con dos hilos. Esto significa que el mismo hilo es usado tanto para manejar el sensor como para transmitir la informacin desde el sensor hasta el controlador. En este caso, no sera posible manejar el sensor con una corriente de 0 mA. Por otra parte, la razn principal del uso de corriente en vez de voltaje es evitar la influencia de las cadas de voltaje, debidas a la resistencia a lo largo del recorrido del hilo (tal vez muy largo). Tiristores y triacs En los controladores de temperatura es una prctica comn integrar el amplificador de potencia con el controlador. El amplificador de potencia podra ser un rel, un rel de estado slido, un tiristor o un triac. Con los dos primeros, un voltaje de CA se conmuta a la carga cada vez que se energiza la bobina de control de un switch, el cual permite circular la corriente desde la fuente de alimentacin a la carga. Con un tiristor, un voltaje de CA se conmuta a la carga en un ngulo dado del voltaje de CA. Puesto que la relacin entre ngulo y potencia es no lineal, es importante usar alguna transformacin para mantener una relacin lineal en el mecanismo de actuacin de la seal de control. Un triac tambin es usado para implementar la conmutacin de la seal de CA, pero slo en los instantes de cruce por cero. Modulacin por ancho de pulso En algunos casos, como con el triac, existe una cuantizacin extrema en el sentido de que el actuador slo acepta dos valores, on u off. En estos casos, se especifica un tiempo de ciclo cicloT y el controlador proporciona un pulso cuyo ancho est dado por:

ciclominmax

minpulso

)()( T

uu

ututT

--

=

(23)

CONTROL PID


Una situacin similar, pero ligeramente diferente, ocurre cuando el actuador tiene tres niveles: mximo, mnimo y cero. Un ejemplo tpico es una vlvula manejada por un motor, donde el motor puede parar, ir adelante o ir hacia atrs. La Fig. 15 ilustra la modulacin por ancho de pulso. La figura muestra la salida de un controlador P con modulacin por ancho de pulso para diferentes valores del error de control.

u

e

cicloT

t

t0%

0%

100%

100%

Fig. 15: Ilustracin de la salida de un controlador basado en la modulacin por ancho de pulso.

ALGORITMOS DE VELOCIDAD Los algoritmos descritos anteriormente son llamados algoritmos de posicin debido a que su salida es la propia variable de control. En ciertos casos, el sistema de control est configurado de forma que la seal de control est manejada directamente por un integrador, por ejemplo un motor. Por tanto, es natural acondicionar el algoritmo de forma que proporcione la velocidad de la variable de control. En este caso, la variable de control se obtiene mediante la integracin de su velocidad. Un algoritmo de este tipo se llama algoritmo de velocidad. El diagrama de bloques de un algoritmo de velocidad para un controlador PID se muestra en la Fig. 16. Los algoritmos de velocidad fueron muy comunes en los primeros controladores que se construyeron para el control de motores. En muchos casos, las estructuras fueron mantenidas por los fabricantes cuando cambi la tecnologa, con el propsito de mantener la compatibilidad funcional con los modelos anteriores. Otra razn es que muchos aspectos prcticos, como la proteccin contra el wind-up y la transferencia suave con respecto a los cambios en los parmetros, son ms fciles de implementar usando este algoritmo. Es importante tambin notar que, en las implementaciones digitales, los algoritmos de velocidad son tambin llamados algoritmos incrementales.

CONTROL PID


IntegradorExterno

NsTKTs

d

d

/1

2

+

sK

iT

K

Sdt

du

s1

u

Fig. 16: Diagrama de bloques de un algoritmo PID en la forma de velocidad.

Una dificultad de los algoritmos de velocidad Un algoritmo de velocidad no puede ser usado directamente en un controlador sin la accin integral, debido a que dicho controlador no puede mantener un valor estacionario. Esto se puede entender a partir del diagrama de bloques mostrado en la Fig. 17 A, que ilustra un controlador proporcional en la forma de velocidad. La estacionaridad puede ser obtenida para cualquier valor diferente de cero del error de control e , puesto que la salida del bloque de derivacin se hace cero para cualquier entrada constante. Este problema de implementacin puede ser evitado con la modificacin mostrada en la Fig. 17 B. Aqu la estacionaridad slo es obtenida cuando buKeu += .

e

e

K

K

s

s

s1

s1

u

u

A

B

S

S

a

++-

bu Fig. 17: (A) Ilustra la dificultad con un controlador proporcional en la forma de velocidad y (B) una forma de

evitarla. Si se utiliza un controlador PID muestreado, una versin simple del mtodo ilustrado en la Fig. 17 B se obtiene implementando el controlador P como:

)()()()()( htuutKehtututu b --+=--=D donde h es el periodo de muestreo.

CONTROL PID


5. WINDUP DEL INTEGRADOR Aunque muchos de los aspectos de un sistema de control se pueden entender a partir de la teora de control lineal, algunos efectos no lineales deben ser tomados en cuenta a la hora de implementar un controlador. Todos los actuadores tienen limitaciones: un motor tiene limitada su velocidad, una vlvula no puede abrirse ms de completamente abierta y no puede cerrarse ms de complemente cerrada, la fuente de alimentacin de energa de un dispositivo elctrico es finita, etc. Para un sistema de control con un amplio rango de condiciones de operacin, puede suceder que la variable de control alcance los lmites prefijados del actuador. Cuando esto pasa, el lazo realimentado permanece en su lmite independientemente de la salida del proceso. Si se usa un controlador con accin integral, el error continuar siendo integrado, incrementando an ms su valor. Esto significa que el trmino integral puede volverse muy grande o, coloquialmente, hacer windup. Entonces, se requiere que el error tenga el signo opuesto por un periodo de tiempo suficientemente largo, antes de que las cosas regresen a las condiciones normales de operacin. La consecuencia es que cualquier controlador con accin integral puede dar transitorios grandes cuando el actuador se satura. EJEMPLO 1. ILUSTRACION DEL WINDUP DE UN INTEGRADOR El fenmeno wind-up se ilustra en la Fig. 18, que muestra el control de un proceso con un controlador PI. El cambio inicial de la referencia es tan grande que hace que el controlador se sature en el lmite alto. El trmino integral se incrementa inicialmente, debido a que el error es positivo; alcanza su valor ms grande en el tiempo 3=t cuando el error pasa por cero. La salida permanece saturada en este punto, debido a que el valor del trmino integral es todava grande. El controlador no abandona el lmite de saturacin hasta que el error haya sido negativo por un tiempo suficientemente largo, de forma que permitir que el valor de la parte integral baje a un nivel pequeo. El efecto neto es un gran sobrepaso y una oscilacin amortiguada, donde la seal de control flucta de un extremo a otro como en un rel de oscilacin. La salida finalmente se aproxima a la referencia y el actuador no se satura. Entonces el sistema se comporta linealmente y se establece en el estado estacionario.

CONTROL PID


y

spy

u

I

Fig. 18: Ilustracin del windup del integrador. Los diagramas muestran la salida del proceso y , la referencia

spy y la seal de control u .

El windup del integrador puede ocurrir en conexin con cambios grandes en la referencia o puede ser causado por perturbaciones o malfuncionamiento del equipamiento del sistema de control. El windup tambin puede ocurrir cuando se usan selectores de varios controladores que manejan un actuador. Un caso digno de mencionar es el control en cascada, donde el windup puede ocurrir en el controlador primario cuando el controlador secundario se conmuta a modo manual, usa su referencia local, o si su seal de control se satura.

CONTROL PID


El fenmeno de windup era bien conocido por los fabricantes de controladores analgicos quienes inventaron numerosos trucos para evitarlo. Estos fueron descritos bajo etiquetas como preloading, batch unit, etc. Aunque el problema fue comprendido, existieron limitaciones para resolverlo, debido a las implementaciones de naturaleza analgica. Las ideas, a menudo, se mantuvieron en secreto y no se hablaron mucho de ellas. El problema del windup fue redescubierto cuando los controladores fueron implementados en forma digital y numerosos mtodos para evitarlo fueron presentados en la literatura. En la siguiente seccin se describen varias de las ideas. LIMITACION DE LA REFERENCIA Una forma de evitar el windup del integrador es introducir limitadores en las variaciones de la referencia tal que la salida del controlador nunca alcance los lmites del actuador. Esto, a menudo, produce cotas conservativas y lmites en el funcionamiento del controlador. Ms an, no evita el windup causado por las perturbaciones. ALGORITMOS INCREMENTALES En la primera poca del control realimentado, la accin integral fue integrada con el actuador, teniendo un motor manejando directamente una vlvula de control. En este caso, el windup fue manejado automticamente, debido a que la integracin para cuando la vlvula de control para. Cuando los controladores fueron implementados mediante tcnicas analgicas, y ms tarde con computadoras, muchos fabricantes usaron una configuracin anloga al viejo diseo mecnico. Esto condujo a los llamados algoritmos de velocidad descritos en la seccin 4. En este algoritmo, primero se calcula la tasa de cambio de la seal de control y luego se la alimenta a un integrador. En algunos casos este integrador es directamente un motor conectado al actuador. En otros casos el integrador es implementado internamente en el controlador. Con este mtodo es fcil manejar los cambios de modo de control y el windup. A su vez, el windup se evita inhibiendo la integracin cuando se satura la salida. Este mtodo es equivalente al de reclculo, que se describe a continuacin. Si la salida no es medible, se puede usar un modelo que calcula la salida saturada. Es tambin fcil limitar la tasa de cambio de la seal de control. RECALCULO Y SEGUIMIENTO El reclculo trabaja como sigue: cuando la salida se satura, la integral es recalculada tal que su nuevo valor proporciona una salida en el lmite de la saturacin. Tiene la ventaja de no reinicializar el integrador instantneamente, pero s dinmicamente con una constante de tiempo tT . La Fig. 19 muestra el diagrama de bloques de un controlador PID con antiwindup basado en la tcnica de reclculo.

CONTROL PID


S

S

S

Actuador

y-sKTd

yre -=

iTK

K

s

1

iT1

v u

se

+-

S

S

S

Modelo delActuador

y-sKTd

yre -=

iT

K

K

s1

iT1

v u

se

+-

Fig. 19: Controlador con antiwindup. En (A) se muestra un sistema donde se mide la salida del actuador y, en (B) se muestra un sistema donde la salida del actuador es estimada a partir del modelo matemtico mostrado. El sistema tiene un trayecto de realimentacin extra, generado por la medicin de la salida real del actuador y la formacin de una seal de error (se ), que es la diferencia entre las

salidas del controlador (v ) y del actuador (u ). La seal se es alimentada a la entrada del

integrador a travs de la ganancia tT1 . La seal es cero cuando no existe saturacin. En este caso, no tiene efecto alguno sobre la operacin normal. Sin embargo, cuando el actuador se satura, la seal se es diferente de cero. El trayecto de realimentacin normal alrededor del proceso es roto debido a que la entrada al proceso permanece constante en su valor saturado. Existe, sin embargo, un trayecto de realimentacin alrededor del integrador. Debido a esto, la salida del integrador es llevada a un valor tal que la entrada al integrador se vuelva cero. En este caso, la entrada al integrador es:

eTK

eT i

st

+1

donde e es el error de control. De tal forma que en estado estacionario se tiene:

eT

KTe

i

ts -=

Puesto que vues -= , se sigue que:

CONTROL PID


eT

KTuv

i

t+= lim

donde limu es el valor de saturacin de la variable de control. Puesto que las seales e y limu tienen el mismo signo, se sigue que v es siempre ms grande, en magnitud, que limu . Esto impide que el integrador entre en windup. La tasa a la que la salida del controlador es puesta en reset, est gobernada por la ganancia de realimentacin, tT1 , donde tT puede ser interpretada como la constante de tiempo que determina cun rpidamente la integral es puesta en reset. Por esta razn se la denimina constante de tiempo de seguimiento. Frecuentemente pasa que la salida del actuador no puede ser medida. El esquema anti-windup, como fue descrito, puede ser aplicado incorporando un modelo matemtico de la saturacin del actuador, como se ilustra en la Fig. 19 B. La Fig. 20 muestra lo que pasa cuando un controlador con antiwindup se aplica al sistema simulado en la Fig. 18. Note que la salida del integrador es rpidamente puesta en reset a un valor tal que la salida del controlador est en el lmite de la saturacin y la integral tiene un valor negativo, durante la fase inicial, que es cuando el actuador est saturado. Este comportamiento es drsticamente diferente al de la Fig. 18, donde la integral tiene un valor positivo durante el transitorio inicial. Tambin note la mejora en el desempeo comparado con el controlador PID ordinario usado en la Fig. 18.

CONTROL PID


spyy

u

I

Fig. 20: Controlador con antiwindup aplicado al sistema de la Fig. 18. El diagrama muestra la salida del

proceso y , la referencia spy y la seal de control u . El efecto de cambiar los valores de la constante de tiempo de seguimiento se ilustra en la Fig. 21. De acuerdo a la figura, parece conveniente elegir siempre un valor pequeo de la constante de tiempo, debido a que el integrador se pone rpidamente en reset. Sin embargo, se debe tener cuidado cuando se introduzca antiwinups en los sistemas con accin derivativa. En este caso, si la constante de tiempo se elige muy pequea, falsos errores en la seal de medicin pueden causar saturacin de la salida del controlador, que accidentalmente pueden poner al integrador en reset. La constante de tiempo de

CONTROL PID


seguimiento tT debe ser ms grande que dT y ms pequea que iT . Una regla prctica

que ha sido sugerida en la literatura es elegir dit TTT = .

3=tT 2=tT

1=tT1.0=tT

3=tT

2=tT

1=tT

1.0=tT

3=tT 2=tT

1=tT

1.0=tT

Fig. 21: Respuesta al escaln del sistema de la Fig. 18 para valores diferentes de la constante de tiempo de

seguimiento tT . Las curvas en la parte superior muestran la salida del proceso y y la referencia spy . Las curvas del medio muestran la seal de control u , y las curvas en la parte inferir muestran el comportamiento

del trmino integral.

CONTROL PID


CONTROLADORES CON MODO DE SEGUIMIENTO Un controlador con reclculo puede ser interpretado como aquel que tiene dos modos: el modo de control normal, cuando el controlador opera como un controlador ordinario, y el modo de seguimiento, cuando el integrador est en seguimiento acoplando las entradas y salidas del controlador. Puesto que un controlador con seguimiento puede operar en dos modos, se espera tener una seal lgica para conmutar de modo. Sin embargo, esto no es necesario puesto que el seguimiento es automticamente inhibido cuando la seal de seguimiento w es igual a la salida del controlador. Esto puede ser usado con gran ventaja cuando se construyen sistemas complejos con selectores y control en cascada. La Fig. 22 muestra un mdulo PID con seal de seguimiento. El mdulo tiene tres entradas: la referencia, la salida medida y una seal de seguimiento. La nueva entrada TR se llama seal de seguimiento, debido a que la salida del controlador seguir a dicha seal. Note que el seguimiento est inhibido cuando vw = .

S

SS

S

S

spy

spy

y

y

e

w

w

b

1-

iT

K

iT

1

K

NsT

sKT

d

d

/1+

s

1

P

I

D

v

-+

SP

MV

TR

PIDv

Fig. 22: Diagrama de bloques y representacin simplificada de un mdulo PID con seguimiento de seal.

Haciendo uso del mdulo de la Fig. 22, el sistema mostrado en la Fig. 19 puede ser representado como se muestra en la Fig. 23.

A SPMV

TR

PID Actuador

SP

MV

TR

PID Actuador

B

Fig. 23: Representacin de los controladores con antiwindup de la Fig. 19, usando el mdulo de control bsico

con seguimiento de la Fig. 22.

CONTROL PID


LA BANDA PROPORCIONAL La nocin de banda proporcional es til para entender el efecto windup y explicar esquemas para antiwindup. La banda proporcional es un intervalo tal que si la salida del proceso o su valor predicho est dentro, entonces el actuador no se satura. Para un control PID sin limitacin en la ganancia derivativa, la seal de control est dada por:

( )dtdy

KTIybyKu dsp -+-=

(24)

Resolviendo para la salida predicha del proceso:

dtdy

Tyy dp +=

se obtiene la banda proporcional ( )hl yy , dada por:

K

K

min

max

uIbyy

uIbyy

sph

spl

-+=

-+=

(25)

donde minu y maxu son los valores de la seal de control a partir de los cuales el actuador se satura. El controlador opera en el modo lineal, si la salida predicha est en la banda proporcional. La seal de control se satura cuando la salida predicha est fuera de la banda proporcional. Note que la banda proporcional puede ser corrida cambiando el trmino integral. Para ilustrar que la banda proporcional es til en el entendimiento del windup, en la Fig. 24 se muestra la banda proporcional del sistema discutido en Ejemplo 1. La figura muestra que la banda proporcional empieza a moverse en forma ascendente debido a que el trmino integral se incrementa. Esto implica que la salida no alcanza la banda proporcional hasta que sea mucho ms grande que la referencia. Cuando la banda proporcional es alcanzada, la seal de control disminuye rpidamente. Sin embargo, la banda proporcional cambia tan rpidamente que la salida se mueve muy rpidamente a travs de la banda y, este proceso, se repite muchas veces.

CONTROL PID


hy

ly

y

u

Fig. 24: Banda proporcional para el sistema del ejemplo 1. El diagrama superior muestra la salida del proceso

y la banda proporcional. El diagrama inferior muestra la seal de cotrol. La Fig. 25 muestra la banda proporcional del sistema con seguimiento para diferentes valores de tT . La figura muestra que esta constante de tiempo tiene una influencia significativa sobre la banda proporcional. Debido al seguimiento, la banda proporcional se mueve ms cerca de la salida del proceso. Cun rpido se hace esto, est gobernado por la constante tT . Note que puede ser una desventaja moverla rpidamente, puesto que la salida predicha puede luego moverse en la banda proporcional debido a la influencia del ruido de medicin, y causar que la seal de control disminuya innecesariamente.

CONTROL PID


1.0=tT 3.0=tT

0.1=tT 4.1=tT

y y

yy

Fig. 25: Banda proporcional y salida del proceso para diferentes valores de la constante de tiempo de

seguimiento. INTEGRACION CONDICIONAL La integracin condicional es una alternativa al reclculo o seguimiento. En este mtodo la integracin se conmuta a off, cuando el control est muy lejos del estado estacionario. De esta manera, la accin integral slo es usada cuando se satisfacen ciertas condiciones; de otra manera, el trmino integral se mantiene constante. El mtodo tambin es llamado Amarre del Integrador. Las condiciones para inhibir la integracin pueden ser expresadas de diferentes maneras. La Fig. 26 muestra una simulacin del sistema del ejemplo 1, considerando integracin condicional tal que el trmino integral se mantenga constante durante la saturacin. Una comparacin con la Fig. 25 muestra que, en este caso particular, existe muy poca diferencia en el desempeo del sistema de control cuando se implementa ya sea la integracin condicional o bien el seguimiento. Sin embargo, se puede ver que los diferentes esquemas windup mueven las bandas proporcionales en forma diferente.

CONTROL PID


y

u

I

Fig. 26: Simulacin del sistema del ejemplo 1 con integracin condicional. Los diagramas muestran la banda

proporcional, la salida del proceso, la seal de control y la parte integral del controlador. Ahora, se consideran unas cuantas condiciones de conmutacin diferentes. Un mtodo simple es conmutar a off la integracin cuando el error de control es grande. Otro mtodo es conmutar a off la integracin durante la saturacin. Ambos mtodos tienen la desventaja de que el controlador puede llegar a obstruirse en un error de control no cero si el trmino integral tiene un valor grande en el tiempo de conmutacin a off. Un mtodo sin esta desventaja es el siguiente. La integracin es conmutada a off cuando el controlador se satura y la actualizacin del integrador es tal que causa que la seal de

CONTROL PID


control se vuelva ms saturada. Suponga, por ejemplo, que el controlador se satura por arriba. Entonces, la integracin es conmutada a off si el error es positivo, pero no si es negativo. IMPLEMENTACION SERIE En la Fig. 8 se mostr una implementacin especial de un controlador en forma interactiva. Para evitar el windup, en este controlador, se puede incorporar un modelo de la saturacin en el sistema como se muestra en la Fig. 27 A. Note que en esta implementacin la constante de tiempo de seguimiento tT es la misma que el tiempo de

integracin iT .

S

isT+11

Ke u

I

S

isT+11

Ke u

I

A

B

Fig. 27: Dos formas de proporcionar antiwindup en el controlador de la Fig. 8, donde la accin integral est

generada como un reset automtico. En la Fig. 27 A, el modelo de la saturacin limitar a la seal de control directamente. Es importante, por tanto, tener un buen modelo de la saturacin fsica. Una limitacin muy dura causar el windup del integrador. Se proporciona mayor flexibilidad si se posiciona la saturacin de acuerdo a la Fig. 27 B. En este caso, la saturacin no influir sobre la parte proporcional para forzar a la parte integral a asumir otros valores de precarga durante la saturacin. Esto se logra reemplazando la funcin de saturacin por la no linealidad mostrada en la Fig. 28. Este procedimiento antiwindup se llama algunas veces unidad batch y puede ser considerado como un tipo de integracin condicional. Principalmente es usado para el ajuste de el sobrepaso durante el arranque que es cuando existe un cambio grande en la referencia. En los controladores antiguos la unidad batch era suministrada como un hardware especial adicional.

CONTROL PID


minu maxu

maxu

minu

maxprecarga

minprecarga

u

Fig. 28: Unidad batch usada para proporcionar antiwindup en el controlador de la Fig. 8.

ESQUEMAS COMBINADOS El seguimiento y la integracin condicional se pueden tambin combinar. Para esto, se sugiere manipular la banda proporcional explcitamente para el control batch. Esto se hace introduciendo los llamados puntos de recorte. El recorte alto est por encima de la referencia y el recorte bajo, por debajo. El integrador es retenido cuando la salida predicha del proceso est fuera del intervalo de recorte. La integracin se ejecuta con una constante de tiempo de seguimiento, cuando la salida del proceso est entre los puntos de recorte. Los puntos de recorte son considerados como parmetros del controlador, que son ajustados para influenciar la respuesta con respecto a cambios grandes en la referencia. En un mtodo similar, la integracin condicional se combina con el reclculo. En otro mtodo, el integrador proporciona un valor prescrito 0ii = durante la saturacin. El valor de 0i se ajusta para dar un sobrepaso satisfactorio en el arranque. Este ltimo mtodo tambin es llamado de mtodo de precarga. 6. IMPLEMENTACION DIGITAL Los controladores PID fueron originalmente implementados usando tcnicas analgicas. Los antiguos sistemas usaban rels neumticos, y otros dispositivos. Los motores elctricos con rels, circuitos realimentados y amplificadores operacionales fueron usados con posterioridad. Muchas de las caractersticas como el windup y las derivaciones de la salida del proceso, en lugar del error de control, fueron incorporadas como trucos en la implementacin. En la actualidad, es una prctica comn implementar controladores PID usando microprocesadores, tal que algunos de los viejos trucos han sido redescubiertos. Muchos aspectos deben ser considerados con respecto a las implementaciones digitales. Los ms importantes tienen que ver con el muestreo, la discretizacin y la cuantizacin. MUESTREO Cuando se usa una computadora digital para implementar una ley de control, todo el procesamiento de seales se hace en instantes de tiempo discretos. La secuencia de operaciones es como sigue:

1. Esperar una interrupcin proveniente de un reloj de tiempo real. 2. Leer la entrada analgica a travs del puerto de entrada/salida.

CONTROL PID


3. Calcular la seal de control, utilizando el algoritmo de control preestablecido. 4. Enviar la salida analgica al puerto de entrada/salida. 5. Actualizar las variables del controlador que sern utilizadas en el siguiente instante

de muestreo. 6. Ir al paso 1

Las acciones de control estn basadas en los valores de la salida del proceso, obtenidos solamente en instantes discretos en el tiempo. Este procedimiento se llama muestreo. El caso normal es que las seales son muestreadas peridicamente con periodo h . El mecanismo de muestreo introduce algunos fenmenos no esperados que deben ser tomados en cuenta en una buena implementacin digital de un controlador PID. Para explicar stos, considere las seales:

( )ttnts s ww = cos)( y

( )ttsa wcos)( = donde hs /2pw = rad/seg es la frecuencia de muestreo. Frmulas bien conocidas de la funcin coseno establecen que los valores de las seales en los instantes de muestreo [ ],...2,1,, okkh = tienen la propiedad:

( ) ( ) ( )khskhkhnkhkhs as wwww === coscos)( De esta manera, las seales s y s tienen los mismos valores en los instantes de muestreo. Esto significa que no existe forma de separar las seales si slo se conocen sus valores en los instantes de muestreo. La seal as es, por tanto, llamada un alias de la seal s . Esto se ilustra en la Fig. 29. Una consecuencia del efecto aliasing es que una perturbacin de alta frecuencia despus del muestreo aparece como una seal de baja frecuencia.

s

as

Fig. 29: Ilustracin del efecto aliasing. El diagrama muestra la seal s y su alias as .

CONTROL PID


En la Fig. 29 el periodo de muestreo es 1 seg. y la perturbacin senoidal tiene un periodo de 6/5 seg. Despus del muestreo, la perturbacin aparece como una sinusoide con frecuencia:

Hz 61

65

1 =-=af

Esta seal de baja frecuencia con periodo de 6 seg. es la que se muestra en la figura. PREFILTRADO El efecto aliasing puede crear dificultades significativas si no se toman precauciones apropiadas. Las altas frecuencias, que en los controladores analgicos normalmente son eficazmente eliminadas por filtros pasabajos, pueden, debido al aliasing, parecer como seales de baja frecuencia en el ancho de banda del sistema de control. Para evitar estas dificultades, se debe introducir un prefiltro analgico (que eficazmente elimine todas las componentes de la seal con frecuencias por arriba de la frecuencia de muestro). Este filtro es llamado filtro antialiasing. Un filtro antialiasing comn es un filtro Butterworth de segundo orden o mayor. Se usa un filtro de alto orden cuando se trata de aplicaciones crticas. Una implementacin de este filtro, usando amplificadores operacionales, se muestra en la Fig. 30. La seleccin del ancho de banda del filtro se ilustra mediante el siguiente ejemplo.

-

+

-

+

-

+

Fig. 30: Diagrama del circuito de un filtro Butterworth de segundo orden.

EJEMPLO 2. SELECCION DEL ANCHO DE BANDA DEL PREFILTRO Asuma que se desea que el prefiltro atene seales por un factor de 16 a la mitad de la frecuencia de muestreo. Si el ancho de banda del filtro es bw y la frecuencia de muestreo

es sw , se obtiene:

( ) 162/ 2 =bs ww De aqu,

sb ww 81

=

Note que la dinmica del prefiltro ser combinada con la dinmica del proceso.

CONTROL PID


DISCRETIZACION Para implementar una ley de control de tiempo continuo, como un controlador PID, en una computadora digital, es necesario aproximar las derivadas y las integrales que aparecen en la ley de control. A continuacin se describen algunas de las maneras de hacerlo. Accin proporcional El trmino proporcional est dado por:

( )ybyKP sp -= que se implementa, en forma digital, simplemente reemplazando las variables continuas con sus versiones muestreadas. Entonces:

( ))()()( kkspk tytbyKtP -= (26) donde la secuencia { }kt denota los instantes de muestreo; es decir, los instantes de tiempo en los que la computadora lee la entrada analgica. Accin Integral El trmino integral est dado por:

=t

i

dsseTK

tI0

)()(

Se sigue que:

eTK

dtdI

i

=

(27)

Existen varias formas de aproximar esta ecuacin. Diferencias hacia adelante: La aproximacin de la derivada mediante diferencias hacia adelante da:

( ) ( ) ( )ki

kk teTK

h

tItI=

-+1

Esto produce la siguiente ecuacin recursiva para el trmino integral:

( ) ( ) ( )ki

kk teTKh

tItI +=+1

(28)

CONTROL PID


Diferencias hacia atrs: Si la derivada en la ecuacin (27) se aproxima por una diferencia hacia atrs, se obtiene lo siguiente:

( ) ( ) ( )ki

kk teTK

h

tItI=

- -1

Esto conduce a la siguiente ecuacin recursiva para el trmino integral:

( ) ( ) ( )11 ++ += ki

kk teTKh

tItI

(29)

Aproximacin de Tustin y equivalencia rampa: Un mtodo de aproximacin simple, debido a Tustin, est dado por:

( ) ( ) ( ) ( )2

11

kk

ikk

tete

TKh

tItI+

+= ++

(30)

Otro mtodo, que da salidas exactas en los instantes de muestreo, es llamado equivalencia rampa. Esto se produce si la seal de entrada es continua y lineal a pedazos entre los instantes de muestreo. El mtodo de equivalencia rampa da la misma aproximacin del trmino integral como la aproximacin de Tustin, es decir la ecuacin (30). Note que todas las aproximaciones tienen la misma forma, es decir:

( ) ( ) ( ) ( )kikikk tebtebtItI 2111 ++= ++ (31) pero con valores diferentes de los parmetros 1ib y 2ib . Accin derivativa El trmino derivativo est dado por la ecuacin (22), es decir por:

dtdy

KTDdtdD

N

Td

d -=+

(32)

Esta ecuacin puede ser aproximada de la misma manera que el trmino integral. Diferencias hacia adelante: Aproximando las derivadas por diferencias hacia adelante se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )h

tytyKTtD

h

tDtD

N

T kkdk

kkd --=+- ++ 11

Esto se puede volver a escribir como:

CONTROL PID


( ) ( ) ( ) ( )( )kkkd

k tytyKNtDTNh

tD --

-= ++ 11 1

(33)

Diferencias hacia atrs: Si la derivada de la ecuacin (32) se aproxima por diferencias hacia atrs, se obtiene la siguiente ecuacin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )h

tytyKTtD

h

tDtD

N

T kkdk

kkd 11 -- --=+-

Esto se puede volver a escribir como:

( ) ( ) ( ) ( )( )11 -- -+-

+

= kkd

dk

d

dk tytyKNNhT

NKTtD

NhT

TtD

(34)

Aproximacin de Tustin: Usando la aproximacin de Tustin para aproximar el trmino de la derivada, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( )11 22

2

2-- -+

-+-

= kkd

dk

d

dk tytyNhT

NKTtD

NhT

NhTtD

(35)

Equivalencia rampa: Finalmente, la aproximacin equivalencia rampa est dada por:

( ) ( ) ( ) ( )( )111

-

-

-

--

-

-= kk

TNh

d

kT

Nh

k tytyh

eKTtDetD

d

d

(36)

Todas las aproximaciones tienen la forma:

( ) ( ) ( ) ( )( )11 -- --= kkdkdk tytybtDatD (37) pero con diferentes valores de los parmetros da y db . Las aproximaciones del trmino derivativo son estables slo cuando 1 . La aproximacin se

vuelve inestable para valores pequeos de dT . Sin embargo, note que la aproximacin de

Tustin y la aproximacin por diferencias hacia adelante dan valores negativos de da si dT es pequeo. Esto no es deseable debido a que la aproximacin exhibir un cierto comportamiento resonante. La aproximacin por diferencias hacia atrs da buenos resultados para todos los valores de dT . Tambin es ms fcil de calcular que la aproximacin de equivalencia rampa y, por tanto, es el mtodo ms comn.

CONTROL PID


La aproximacin por diferencias hacia adelante es la menos usada debido a sus problemas de inestabilidad para valores pequeos del tiempo derivativo dT . El algoritmo de Tustin es usado muy frecuentemente debido a su acercamiento con la funcin de transferencia de tiempo continuo. La aproximacin por diferencias hacia atrs es usada cuando es necesario un algoritmo que se comporte bien con pequeos valores de dT . Todas las aproximaciones del controlador PID se pueden representar como:

)()()()()()( khyqSkhyqTkhuqR sp -= (38)

donde q es el operador de corrimiento hacia adelante, y los polinomios R , S y T son de segundo orden. Los polinomios R , S y T tienen las formas:

212

0

212

0

)(

)(

))(1()(

tqtqtqT

sqsqsqS

aqqqR d

++=

++=

--=

(39)

lo que significa que la ecuacin (38) puede ser escrita como:

)()()1(

)2()()(

)2()()()(

210

210

hkhuahkhua

hkhyshkhyskhys

hkhythkhytkhytkhu

dd

spspsp

---++-+-+-

-+-+=

Los coeficientes en los polinomios S y T estn dados por:

( )

( )did

idid

i

didid

didid

di

abKbat

babaKbt

bKbt

bbabKas

bbabaKs

bbKs

22

211

10

222

211

10

1

21

-=+-+-=

+=++-=

-+-+-=++=

(40)

Los dems coeficientes, dependientes de cada mtodo de aproximacin, estn dados en la Tabla 1.

CONTROL PID


Tabla 1: Coeficientes de las diferentes aproximaciones digitales del controlador PID continuo en el tiempo.

Diferencias hacia adelante

Diferencias hacia atrs

Tustin Equivalencia rampa

1ib 0

iTKh

iT

Kh2

iT

Kh2

2ib

iTKh

0

iTKh2

iT

Kh2

da

dTNh

-1 NhT

T

d

d

+

NhT

NhT

d

d

+-

2

2 d

TNh

e-

db KN

NhT

NKT

d

d

+

NhT

NKT

d

d

+22

h

eKT dTNh

d

-

-1

FORMA INCREMENTAL Los algoritmos descritos anteriormente se llaman algoritmos de posicin, debido a que proporcionan directamente la salida del controlador. En implementaciones digitales es comn tambin usar algoritmos de velocidad. La versin discreta en el tiempo de dichos algoritmos se llama algoritmo incremental, que se obtiene calculando las diferencias de tiempo de la salida del controlador y aadiendo luego los incrementos.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkkkkk tDtItPtututu D+D+D=-=D -1 En algunos casos, la integracin se ejecuta externamente. Esto es natural cuando se usa un motor a pasos. Entonces, la salida del controlador representa los incrementos de la seal de control y el motor implementa el integrador. Los incrementos de la parte proporcional y de la parte derivativa son fciles de calcular a partir de las ecuaciones (26), (31) y (37):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2111

1211

111

2 ----

--

---

+--D=-=D+=-=D

+--=-=D

kkkdkdkkk

kikikkk

kkspkkspkkk

tytytybtDatDtDtD

tebtebtItItI

tytbytytbyKtPtPtP

Una ventaja del algoritmo incremental es que la mayora de los clculos se hacen usando slo incrementos. Frecuentemente, se pueden usar clculos de corta longitud de palabra. Slo es, en la etapa final, cuando los incrementos se ajustan a la precisin que sea necesaria. Otra ventaja es que la salida del controlador est manejada directamente a partir de un integrador. Esto hace que sea ms fcil el tratamiento del windup y la conmutacin de modos de control. Un problema del algoritmo incremental es que no puede ser usado en controladores que dispongan de slo acciones P o PD. Por tanto, cuando la accin integral no es usada, PD tiene que ser calculada de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )( ) ( )1--+-=D kbkkspk tuutytbyKtP

CONTROL PID


CUANTIZACION Y LONGITUD DE PALABRA Una computadora digital permite slo precisin finita en los clculos. Algunas veces es difcil implementar el trmino integral en computadoras con longitud de palabra corta. Esta dificultad se entiende a partir de la ecuacin (31). Los trminos de correccin

( ) ( )kiki tebteb 211 +- son normalmente pequeos en comparacin con ( )ktI , y pueden ser redondeadas a cero, a menos que la longitud de palabra sea suficientemente grande. Este efecto de redondeo a cero da lo que se conoce como offset de integracin. Para llegar a apreciar los rdenes de magnitud involucrados, asuma que se usa la aproximacin de diferencias hacia atrs y que todas las seales estn normalizadas de tal

forma que la magnitud ms grande sea 1. Entonces, el trmino de correccin eTKh

i en

la ecuacin (29) tiene la magnitud ms grande iT

Kh . Sea el periodo de muestreo

seg 02.0=h , el tiempo integral seg 1200min 20 ==iT y la ganancia 1.0=K . Entonces,

2.196 2107.1 -- ==iT

Kh

Para evitar el redondeo a cero de

73520420-Control-Pid

Documents

Transcript of 73520420-Control-Pid