8° - intervalos
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Intervalos: Un intervalo es un subconjunto de los números reales, el que se representa gráficamente en la recta numérica, definiéndose: Intervalo cerrado:
[a,b] = { x ∈ IR / a ≤ x ≤ b } Intervalo abierto:
]a,b[ = { x ∈ IR / a < x < b }
Otros intervalos:
[a,b[ = { x ∈ IR / a ≤ x < b }
]a,b] = { x ∈ IR / a < x ≤ b }
[a,+∞[ = { x ∈ IR / x ≥ a }
]−∞,b]= { x ∈ IR / x ≤ b }
]a,+∞[ = { x ∈ IR / x > a }
]−∞,b[ = { x ∈ IR / x < b }
Ejercicios:
1) Escriba en forma conjuntista y represente en la recta:
(a) [3,7] { x ∈ IR / } (b) ]5,9[ { x ∈ IR / } (c) [-2,4[ { x ∈ IR / } (d) ]-5,3] { x ∈ IR / } (e) [4,+∞[ { x ∈ IR / } (f) ]-∞,3] { x ∈ IR / } (g) ]2,+∞[ { x ∈ IR / } (h) ]−∞,5[ { x ∈ IR / }
(1)
Depto. de Matemática
Nombre:
St. John’s School
Fecha:
INTERVALOS E INECUACIONES
2) Escriba en forma conjuntista y como intervalo:
{ x ∈ IR / }
{ x ∈ IR / }
{ x ∈ IR / }
{ x ∈ IR / }
{ x ∈ IR / }
{ x ∈ IR / }
{ x ∈ IR / }
{ x ∈ IR / }
Desigualdades: Una desigualdad es toda expresión en la que se encuentran los símbolos > , < , ≥ , ≤. Al ser > o < la desigualdad es absoluta , a diferencia de ser ≥ o ≤ donde la desigualdad será relativa.
Ejemplos:
-3 -7 71
83
3π 3π
53
− 72
− 23− 25− 237
237
son ejemplos de desigualdades.
Propiedades de las desigualdades: 1) Al sumar o restar un mismo número real a ambas partes de una desigualdad,
esta conserva su sentido.
Ejemplos: 7 > -3 /+5 -8 < 6 /-3
2) Al multiplicar o dividir ambas partes de una desigualdad por un mismo real positivo, la desigualdad conserva su sentido.
Ejemplos: 4 > -5 /.6 -9 < 15 /:3
(2)
3) Al multiplicar o dividir ambas partes de una desigualdad por un mismo real negativo, la desigualdad cambia su sentido por el contrario.
Ejemplos: 7 ≥ -4 /.-5 -8 ≤ 12 /:-4
4) Al tener una desigualdad entre dos cantidades de igual signo, sus valores recíprocos son desiguales en sentido contrario.
Ejemplos: 4 ≥ 3 -8 ≤ -4 valor reciproco: valor reciproco:
5) Al tener una desigualdad entre dos cantidades de distinto signo, sus valores recíprocos son desiguales en el mismo sentido.
Ejemplos: 6 > -2 -5 < 8 valor reciproco: valor reciproco:
Inecuaciones: Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas, desigualdad que se cumple sólo para determinados valores de tal(es) incógnita(s) Ejemplo: Sea x + 3 > 5 ; esta es una inecuación de incógnita x, la que posee por solución { x ∈ IR / x > 2 } o bien ]2,+∞[.
Resolución de una inecuación: Para resolver toda inecuación de primer grado con una incógnita, se procede de igual forma que para resolver una ecuación de primer grado, manteniéndose el sentido de la desigualdad, a no ser que se multiplique o divida esta por una cantidad negativa, donde cambia el sentido de la desigualdad por el contrario.
a) 5x - 12 > 2x – 3
(b) 3x - 14 ≥ 7x – 2
(3)
Ejemplos: Dados los siguientes pares de inecuaciones, determine la solución para el "∧" como para el "∨" entre ellas:
(a) Sean (1) x - 8 < 12 y (2) x - 6 ≥ 4 ; sus soluciones son: x x Representando sus soluciones en la recta numérica:
La solución para (1) ∧ (2) = La solución para (1) ∨ (2) =
(b) Sean (1) 29 - (5x - 6) ≤ 5 y (2) 7x > 59 - (12x + 21) Representando sus soluciones en la recta numérica:
La solución para (1) ∧ (2) = La solución para (1) ∨ (2) =
(5)
Ejercicios:
1. 4x ≤ 8
2. 5x ≤ 35
3. 7x < 63
4. 3x > 102
Determina la solución de cada una de las siguientes inecuaciones y representalas como;intérvalo y de manera gráfica.
Ejercicios Propuestos:
1) Anote en forma de intervalo los
siguientes conjuntos:
(a) { x ∈ IR / -2 < x ≤ 5 } =
(b) { x ∈ IR / x ≤ 3 } =
(c) { x ∈ IR / -3 ≤ x < 0 } =
(d) { x ∈ IR / x > 5 } =
(e) { x ∈ IR / -7 < x < 1 } =
(f) { x ∈ IR / x < -5 } =
(g) { x ∈ IR /-7 ≤ x ≤ 9 } =
(h) { x ∈ IR / x ≥ 3 } =
2) Anote en forma de intervalo las siguientes representaciones:
5. −4x− 28 > 116
6. 8x + 29 ≥ 71
7. −6x− 45 ≤ 45
8. 2x + 1 < 3
9. 4− 3x > 10
10. 23x− 4 ≤ 4
11. 23x−
53 ≥ 1