8. La Regla de Multiplicación de Heisenberg

M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O D E 2 0 0 9

La regla de multiplicacin de Heisenberg

El modelo atmico planetario de Bohr, pese a su triunfo resonante en la explicacin y elclculo de las lneas espectrales de absorcin y emisin, adoleca de varias deficiencias,siendo la primera de ellas el hecho de que cuando la muestra bajo observacin era sometidaa un campo magntico o a un campo elctrico, apareca un desdoblamiento en las lneas queaumentaba conforme la intensidad del campo aplicado era incrementada (cuando el campoaplicado es un campo magntico, el desdoblamiento es conocido como el efecto Zeeman,mientras que cuando el campo aplicado es un campo elctrico, el desdoblamiento esconocido como el efecto Stark), algo que el modelo original de Bohr por s solo era incapazde explicar en forma satisfactoria. Para corregir esta deficiencia, fue necesario aplicar unremiendo agregndole al modelo de Bohr los efectos relativistas predichos por la TeoraEspecial de la Relatividad. Pero esto no fue suficiente, y empezaron a surgir seriasdiscrepancias entre lo predicho por la teora y lo obtenido en el laboratorio. Por otro lado,y aunque ya se haba confirmado experimentalmente que las intensidades relativas deciertas lneas espectrales eran diferentes (de 2 a 1, de 3 a 1, etc.), no haba forma alguna enla cual con el modelo de Bohr se pudieran predecir tales intensidades relativas. Las crticasno se limitaban a esto. El modelo de Bohr era una mezcla sui-gneris de leyes clsicas yprincipios cunticos que no estaba justificada sobre bases slidas, ya que suponaarbitrariamente que ciertas leyes de la electrodinmica clsica trabajaban mientras queotras no. Peor an, el modelo de Bohr manejaba como datos precisos ciertas cantidades enprincipio inobservables, tales como el radio del electrn en cualquiera de sus rbitas entorno al ncleo atmico, o como la velocidad orbital con la cual el electrn supuestamentese estaba desplazando en torno al ncleo. Y el hecho de que una carga elctrica como elelectrn pudiera estar circulando sin radiar energa manteniendo una rbita estable era unverdadero desafo a las leyes de la electrodinmica clsica, las cuales predicen que todacarga elctrica que sea acelerada radiar una energa conocida como Bremsstrahlung (anmanteniendo una velocidad tangencial constante en su rbita en torno al ncleo, el electrnes acelerado vectorialmente hacia el ncleo del tomo para poder ser sostenido en su rbitacircular sin salir disparado hacia el exterior). Y encima de todo esto, el modelo de Bohr eraaplicable nicamente a tomos hidrogenoides, no poda utilizarse para la descripcin deotros tipos de sistemas fsicos.

Haba ya algunas pistas de que el modelo de Bohr poda ser superado o reemplazado porotro modelo que prescindiera de las cantidades manejadas por el modelo de Bohr que eranen principio inobservables. En la obtencin de su modelo, Bohr haba hecho uso en 1913 dealgunas relaciones sobre las cuales se fundamenta el principio de correspondencia, el cualrequiere que para nmeros cunticos grandes las relaciones predichas por el modelo debenconcordar con las relaciones clsicas. Esto lo veremos a continuacin en mayor detalle.

De acuerdo al principio de correspondencia, se requiere que la frecuencia cuntica:

que designaremos como , en donde n y son enteros positivos, se corresponda con unafrecuencia clsica:

emitida de acuerdo con la teora clsica que predice dicha radiacin cuando una cargaelctrica est siendo acelerada. Se requiere que las dos relaciones entre la energa E y lafrecuencia se vayan aproximando ms y ms la una a la otra conforme el nmero cuntico nvaya aumentando. En pocas palabras, se requiere que:

S E G U I D O R E S

A R C H I V O D E L B L O G

2009 (136) agosto (136)

IndicePrlogoEl modelo atmico planetario de Bohr IEl modelo atmico planetario de Bohr IILa espectroscopa de rayos-XLa extraa ecuacin de Max BornVectores y matrices IVectores y matrices IIEl anlisis de FourierLa regla de multiplicacin de HeisenbergObservables compatibles e

incompatiblesOscilador armnico simple: solucin

matricialMatrices y probabilidadEl principio de incertidumbre IEl principio de incertidumbre IIEl experimento Stern-GerlachEl spin del electronMomento angular: tratamiento matricial

IMomento angular: tratamiento matricial

IIMomento angular: tratamiento matricial

IIILa energa rotacionalMatrices y sub-matricesSolucin matricial del tomo de

hidrgenoFunciones matricialesDe la mecnica clsica a la mecnica

matricialLa matriz momentum como generadora

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La Mecnica Cuntica

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Si tomamos como punto de partida el dato de que un quantum de energa est dado por:

entonces, haciendo a la energa cuntica E una funcin del nmero cuntico n, y haciendo asu vez la frecuencia una funcin de la energa clsica E, podemos suponer la existencia dealguna funcin desconocida f(n) que haga que el resultado cuntico se apareje con elresultado clsico, o sea:

Despejando:

Tomando la derivada de la funcin con respecto a n:

Por lo tanto, usando la comilla super-ndice para denotar la diferenciacin:

en donde se ha hecho:

Para valores grandes del nmero cuntico n, E/h tiende entonces a (E), o sea:

si el factor que est afuera de los parntesis cuadrados es igual a la unidad, o sea:

de traslacinLa matriz generadora de rotacinRotaciones de las matrices de PauliEl aspecto estadstico de la Mecnica

MatricialEvolucin temporal de los sistemas

fsicosMatrices continuasOndas de materiaLa ecuacin de SchrdingerSolucin matemtica de la ecuacin de

ondaSolucin numrica de la ecuacion de

SchrdingerInterpretacin probabilista de IInterpretacin probabilista de IIOperadores y esperanzas matemticas IOperadores y esperanzas matemticas IIOscilador armnico simple: solucin

ondulatoriaLa funcin delta de DiracTransmisin y reflexin de partculas ITransmisin y reflexin de partculas IITransmisin y reflexin de partculas IIITransmisin y reflexin de partculas IVEl potencial delta de DiracOndas de simetra circular y esfricaLa notacin bra-ket de DiracEl espacio de Hilbert IEl espacio de Hilbert IIOperadores HermitianosLos operadores escalera ILos operadores escalera IIEl principio de incertidumbre,

revisitadoEl acto de medicinMomento angular orbital: anlisis

ondulatorio IMomento angular orbital: anlisis

ondulatorio IIMomento angular orbital: funciones de

onda IMomento angular orbital: funciones de

onda IIPolinomios de Legendre: aspectos

matemticosLa funcin de onda radialLa funcin de onda del momento angular

del spinEl principio de exclusin de PauliEl proceso de construccin AufbauEl acoplamiento LSLa suma de momentos angularesLas reglas de seleccinTcnicas de aproximacin ITcnicas de aproximacin IITcnicas de aproximacin III


Siendo as, tenemos cualquiera de las siguientes expresiones a escoger:

Es posible entonces, en principio, poder calcular E(n) de (E), con la ayuda de unaconstante arbitraria de integracin. Si consideramos una serie de potencias, se tiene elresultado simple:

Esto d:

y por lo tanto:

Sin entrar en mayores detalles, se asentar aqu que para el caso del oscilador armnicosimple se tiene para la potencia r.=.0 con E.=.hn, mientras que para el rotor rgido (unamancuerna formada por dos partculas girando en torno al eje perpendicular al eje que lasune) se tiene para la potencia r.=.1/2 con E.=.hn/2, mientras que para una partculasometida a un campo de potencial central de naturaleza Coulmbica (elctrica) se tienepara la potencia r.=.3/2 con lo cual E.=.-hn/2.

Todo esto puede ser simplificado en forma considerable. La frecuencia:

que es radiada de acuerdo a la teora cuntica, puede ser escrita con la ayuda de lassiguientes aproximaciones:

de la siguiente manera:

para nmeros cunticos grandes. En el lmite, esto concuerda con la frecuencia clsica(E), si:

El mtodo de aproximacin WKB IEl mtodo de aproximacin WKB IIEl mtodo de aproximacin WKB IIIEl mtodo de aproximacin WKB IVEl enlace molecular IEl enlace molecular IILa hibridacin de los orbitales atmicosLa teora de los orbitales molecularesTeora del campo cristalinoOperadores clase TEl espacio-posicin y el espacio-

momentum IEl espacio-posicin y el espacio-

momentum IIEl espacio-posicin y el espacio-

momentum IIIEl espacio-posicin y el espacio-

momentum IVLa partcula libre ILa partcula libre IILa ecuacin de movimiento de

HeisenbergMecnicas Matricial y Ondulatoria:

equivalenciaEvolucin temporal de las ondas de

materia IEvolucin temporal de las ondas de

materia IIEl operador de traslacinEl operador de evolucin del tiempoLas representaciones de Heisenberg y

SchrdingerOperadores de rotacin IOperadores de rotacin IILos grupos de rotacin ILos grupos de rotacin IILos grupos de rotacin IIILa simetra como piedra angularRepresentaciones irreducibles IRepresentaciones irreducibles IILos coeficientes Clebsch-Gordan ILos coeficientes Clebsch-Gordan IILos coeficientes Clebsch-Gordan IIIOperadores tensorialesEl momento de cuadripoloEl teorema Wigner-Eckart IEl teorema Wigner-Eckart IIMecnica Estadstica Cuntica IMecnica Estadstica Cuntica IIMecnica Estadstica Cuntica IIIMecnica Estadstica Cuntica IVMecnica Estadstica Cuntica VMecnica Estadstica Cuntica VILa matriz densidad ILa matriz densidad IIEl lser


Esto ltimo es conocido en algunos textos como la condicin cuntica de Hasenhrl, enmemoria de Friedrich (Fritz) Hasenhrl (el cual varios estudiosos sostienen que se adelanta Einstein en el descubrimiento de la famosa frmula que d la equivalencia entre la masa yla energa, E.=.mc2 , aunque esta no fue una conclusin basada en la filosofa relativista conla cual es posible derivar tericamente no solo dicha equivalencia sino muchas otrasrelaciones importantes de carcter relativista que no se pueden obtener recurriendo a losargumentos de naturaleza termodinmica esgrimidos por Hasenhrl).

Con esto, Bohr pudo llevar a cabo la comparacin entre el conjunto de las frecuencias de unmovimiento peridico clsico con frecuencia (E) y las frecuencias de las lneasespectrales observadas:

en donde esta ltima expresin se va aproximando ms y ms a la forma:

para nmeros cunticos n grandes.

La lnea de razonamiento utilizada por Bohr no era muy diferente a la lnea de razonamientoque se requera para poder llegar a un nuevo modelo ms efectivo. Sin embargo, para poderdar el salto del modelo atmico planetario de Bohr a otro modelo ms satisfactorio eranecesario introducir un nuevo punto de vista conceptual, lo cual requera meter una nuevaperspectiva matemtica en el asunto. Y esta nueva visin sera dada precisamente por lasexpansiones de funciones en trminos de las series infinitas de Fourier, con lo cual se podallegar por la va directa a un nuevo tipo de Mecnica, la Mecnica Matricial.

La Mecnica Matricial tiene el atractivo innegable de que para poder entenderla no esnecesario recurrir a las herramientas del clculo infinitesimal. Basta con un conocimientoelemental de lgebra y del tema de los vectores y las matrices para poder desarrollarmuchas cosas dentro de este tipo de anlisis de los fenmenos mecnico-cunticos, lo cualhace a la Mecnica Matricial un candidato idoneo para una introduccin formal al tema sintener que involucrarse con infinitsimos. Sin embargo, para poder justificar las relacionesmatriciales fundamentales, especficamente, la extraa ecuacin de Max Born en su formamatricial, es necesario recurrir al anlisis de las series de Fourier (esta es la razn por lacual se introdujo en la entrada previa el tema del anlisis de Fourier), aunque una vez que seha proporcionado tal justificacin podemos prescindir del anlisis de Fourier entrando delleno en las aplicaciones prcticas de la Mecnica Matricial. Todo esto puede sercomprendido mejor llevando a cabo una reconstruccin de la historia sobre cmo se lleg ala relacin fundamental que conducira al descubrimiento de la extraa ecuacin de Born,la regla de multiplicacin de Heisenberg.

Luego de padecer un ataque severo de asma producida por el heno en el ambiente, el fsico-matemtico alemn Werner Heisenberg por recomendacin de Max Born se traslad a laisla de Helgoland, situada en el Mar del Norte. Durante su estancia en dicha isla, tuvo unmomento de inspiracin que lo llev al descubrimiento de algo que no haba sido detectadopreviamente por nadie, lo cual fue revelado al mundo en un papel considerado deimportancia histrica trascendental, publicado en julio de 1925. El descubrimiento dejuna impresin profunda en Heisenberg, segn nos lo relata el mismo Heisenberg en sussiguiente palabras tomadas del libro Alrededor del cuanto de L. Ponomariov:

Por fin lleg la tarde cuando pude abordar el clculo de energas de miembrosaislados en la tabla energtica o, como se suele decir ahora, en la matriz deenerga. Estaba tan excitadoque no poda concentrarme y comenc a haceren los clculos un error tras otro. Slo hacia las tres de la madrugada logr

El teorema virialEspectroscopas de resonancia

magntica IEspectroscopas de resonancia

magntica IIEspectroscopas de resonancia

magntica IIIEspectroscopas de resonancia

magntica IVEsparcimiento clsico de partculasEsparcimiento de las ondas de luzAspectos matemticos de las ondas

esfricasEl mtodo de las ondas parcialesLa aproximacin de Born ILa aproximacin de Born IIEl teorema pticoLa ecuacin Lippmann-SchwingerEl teorema adiabtico IEl teorema adiabtico IILa Mecnica Cuntica RelativistaRecursos de softwareConstantes fundamentales y factores de

conversinBibliografa

D A T O S P E R S O N A L E S

A R M A N D O M A R T N E ZT L L E Z

V E R T O D O M I P E R F I L


obtener el resultado final. En el primer instante me asustAl pensar quellegu a ser dueo de todos estos tesoros elegantes estructuras matemticasque la naturaleza haba abierto ante m- me falt la respiracin. Ni pensarpoda en dormir. Comenzaba a despuntar el alba. Sal de casa y me dirig alextremo sur de la isla, donde se adentraba en el mar una roca solitariaSingrandes esfuerzos venc la altura y en su cima esper la salida del Sol.

Desde un principio, Heisenberg rechaz las nociones clsicas de posicin y velocidad(momentum) aplicadas a los electrones de los tomos, nociones clsicas cuyo alcance habasido extendido por tericos como Bohr al mundo sub-microscpico, no slo porque talescantidades eran inobservables en el sentido de que, hasta la fecha, nadie haba podidoobservar ni medir directamente tales cosas como las distancias de los electrones al centrodel ncleo atmico o la velocidad de un electrn girando en torno al ncleo, sino tambinpor el fracaso prctico de cualquier teora que supona que esas cantidades clsicaspudieran ser observables. Fue as como Heisenberg abandon las cantidades propias de lacinemtica clsica, reemplazndolas con cantidades pticas observables tales como lafrecuencia (la cual es susceptible de poder ser medida con bastante precisin a travs de losespectrmetros) y como la intensidad (que tambin puede ser medida).

De cualquier manera, para poder llegar a los resultados que obtuvo, Heisenberg parti aligual que Bohr de la observacin que haba sido formulada por Bohr en 1913 como algo quetena que ser necesariamente cierto, el principio de correspondencia, el cualrepetiremos aqu dndole la importancia que merece:

En el lmite de los nmeros cunticos grandes, los clculos clsicosy los clculos cunticos deben producir los mismos resultados.

Esto debe ser cierto siempre, porque de no serlo, la Mecnica Cuntica proporcionara parael mundo macroscpico predicciones distintas que estaran en contraposicin directa conlo que hemos comprobado y hemos aprendido de los fenmenos fsicos macroscpicos ennuestra experiencia cotidiana. Las reglas para el mundo sub-microscpico podrn serdiferentes de las reglas para el mundo macroscpico, pero debe haber una transicinsuave que haga posible unir ambos mundos en la borrosa regin intermedia que lossepara. Es importante destacar que la extensin es posible en una sola direccin, es decir,para nmeros cunticos grandes es posible obtener de los resultados vlidos en el mundosub-microscpico resultados que coincidirn en todo con lo que predice la fsica clsica,pero no es posible ir de la fsica clsica vlida en el mundo macroscpico hacia la fsicacuntica vlida en el mundo sub-microscpico. No es posible obtener la Mecnica Cunticade la fsica clsica.

PROBLEMA: Sabiendo que los niveles de energa para un tomo de hidrgeno estndados por la siguiente expresin (en unidades CGS-Gaussianas):

siendo:

calclese la frecuencia de la radiacin emitida cuando un tomo salta del estado n+1 alestado n usando para ello la relacin de Bohr:

Aplicando directamente una relacin sobre la otra, tenemos lo siguiente:


Esto se puede simplificar con un poco de lgebra permitindonos llegar a la siguienteexpresin:

En el lmite de los nmeros cunticos grandes para los cuales podemos tomar n1, es fcilver que la expresin anterior se reduce a:

Pero esta es precisamente la misma frecuencia que esperaramos obtener clsicamente deuna carga elctrica no saltando de un nivel de energa discreto a otro sino de una cargaelctrica acelerada girando en rotacin alrededor de una rbita circular, o sea la frecuenciade rotacin (el nmero de vueltas por segundo en torno al ncleo atmico que d elelectrn), y es importante tener presente esta distincin en todo momento. La frecuencian designada como clsica (pese al hecho de estar referenciada a cierto nivel de energaEn asociado con cierto nmero cuntico grande n) es una frecuencia de rotacin orbital,mientras que la frecuencia n,n- designada como cuntica es la frecuencia de la radiacindel fotn luminoso emitido al caer de un estado n a un estado n-. Designando a lafrecuencia clsica de rotacin como n, esto nos permite establecer la siguientecorrespondencia entre el resultado cuntico y el resultado clsico:

PROBLEMA: Calclese la frecuencia de la radiacin emitida cuando un tomo salta delestado n+ al estado n usando para ello la relacin de Bohr.

La solucin de este problema reproduce los mismos pasos que los empleados para resolverel problema anterior, excepto que en el problema anterior tenamos el caso particular = 1,lo cual se aplica a un salto entre dos niveles de energa contiguos, y el cual est siendogeneralizado ahora para cualquier nmero entero positivo :

Nuevamente, en el lmite de los nmero cunticos grandes, la relacin obtenida se reduce a:


Obsrvese que lo subrayado con el corchete inferior es esencialmente la frecuencia clsicade radiacin que ya haba sido destacada en el problema anterior. El resultado nos dice quecuando el salto ocurre de cualquier nivel de energa n+ a cualquier otro nivel de energan el resultado cuntico ser igual al resultado clsico multiplicado por el factor entero . Deeste modo, para este problema en particular, podemos establecer la siguientecorrespondencia entre el resultado cuntico y el resultado clsico:

PROBLEMA: Calclese la frecuencia de la radiacin emitida cuando un tomo salta delestado n+ al estado n+ usando para ello la relacin de Bohr.

Para este problema suponemos implcitamente que el entero n+ es mayor que el enteron+.

La solucin de este problema reproduce los mismos pasos que los empleados para resolverlos dos problemas anteriores:

En el lmite de los nmeros cunticos grandes, que aqu equivale a suponer que n y conello ciertamente que n, tenemos entonces la siguiente correspondencia entre el resultadocuntico y el resultado clsico:

Como puede verse, del principio de correspondencia de Bohr podemos obtener variasrelaciones que a su vez pueden considerarse como principios de combinacin para losespectros atmicos, como la siguiente regla:

En la primera lnea empezamos con lo que es esencialmente una igualdad matemtica; en lasegunda lnea pasamos uno de los trminos del lado derecho hacia el lado izquierdo,teniendo en esencia una expresin clsica, mientras que en la tercera lnea tenemos elresultado de haber aplicado el principio de correspondencia de Bohr. Si se nos diese latercera lnea sin la forma en la cual fue obtenida (las dos lneas previas), el resultado podraparecer al principio algo desconcertante, pero repasando la forma en la que se obtuvo estaregla podemos ver que todas las dems reglas de este tipo no tienen misterio alguno.

En todo esto se daba por hecho que si los tomos interactuaban a travs de su radiacin conlas frecuencias cunticas n+,n producidas al saltar de un nivel de energa superior a un


nivel de energa inferior en el caso de emisin (o, lo que es lo mismo, a travs de lasfrecuencias cunticas n,n- que tambin representan un salto de un nivel de energasuperior a un nivel de energa inferior) y no con las frecuencias clsicas que eran usadaspara calcular los estados estacionarios, (E), esto tambin debera ser cierto entre losvarios niveles interiores de energa del tomo.

El mtodo de Bohr para convertir una cantidad clsica a una cantidad cuntica puede serextendido a funciones arbitrarias F(I) de acuerdo con la prescripcin:

Para cantidades F que no slo dependen de un nmero I (que podra denotar una intensidadrelativa) sino que tambin dependen de un entero positivo cuya contraparte cunticaestara asociada con una transicin atmica (n+,n), parece razonable establecer lacorrespondencia de la transicin de acuerdo con la siguiente receta:

en donde la cantidad cuntica M(n+,n) se corresponde con la cantidad clsica F(I,).

Heisenberg, desde luego, no se apoy nica y exclusivamente en el principio decorrespondencia de Bohr. Ya un ao atrs, en julio de 1924, el fsico holands Hendrik A.(Hans) Kramers haba formulado su teora de dispersin, sugieriendo que nicamentecantidades observables fuesen admitidas en dicha teora, nada de radios atmicos nivelocidades de rotacin alrededor del ncleo atmico. Esto fue formalizado en un trabajoconjunto publicado en diciembre de 1924 por Kramers y Heisenberg en donde se di aconocer la frmula de dispersin Kramers-Heisenberg. De aqu es de dondeHeisenberg sac la idea de basar su modelo nica y exclusivamente en cantidades capacesde ser observadas o medidas de alguna manera. El descubrimiento de la frmula dedispersin Kramers-Heisenberg fue considerado un logro importante cuando fue publicada,explicando la nocin de la absorcin negativa (emisin estimulada), todo lo cual fueencajado con la regla de sumacin Thomas-Reiche-Kuhn (tambin conocida comoregla de suma-f):

que afirma que la suma de los valores-f (o fuerzas relativas de los osciladores) de lastransiciones atmicas de absorcin de un tomo en cierto estado menos la suma de losvalores-f de las transiciones de emisin en ese estado es igual al nmero de electrones quetoman parte en estas transiciones (la frmula se ha dado arriba en la notacin moderna delos bra-kets de Dirac que sern estudiados posteriormente, los cuales resaltan la naturalezamatricial de la suma).

Si hemos de ser honestos y sinceros, es necesario reconocer que Heisenberg no parti(como acostumbran hacerlo los matemticos puros) de un conjunto finito de axiomas ypostulados combinndolos de modo tal que le permitieran obtener sus conclusiones finales.Heisenberg no obtuvo la Mecnica Matricial procediendo axiomticamente de una manerarigurosamente formal; por el contrario, cuando lleg a la isla de Helgoland su mente era unbullicio de ideas vagas e inconexas. Aunque Heisenberg no dej un recuento exacto y fielsobre cmo fue que lleg a su regla de multiplicacin con la cual se fund la MecnicaMatricial, podemos conjeturar que una de las primeras cosas que se le ocurri hacer fuealgo sencillo que posiblemente a otros ya se les haba ocurrido hacer sin sacar nada enfirme, empezando con la relacin de Bohr que proporciona la energa para cada nivel en eltomo de hidrgeno:


obteniendo a partir de la misma las energas de los fotones luminosos que se producen (enlos espectros de emisin) o que se absorben (en los espectros de absorcin) comoconsecuencia de las transiciones del electrn en el tomo de hidrgeno de un estadoenergtico a otro:

Lo que podemos conjeturar que hizo primero fue acomodar estas energas obtenidas de lastransiciones de un nivel energtico a otro en algo que hoy podramos llamar una tabla deHeisenberg:

De este modo, en el segundo rengln y en la primera columna se escribe la energa quecorresponde a la del fotn luminoso involucrado en una transicin del estado E1 al estadoE2 , o sea E1 2 , mientras que en el segundo rengln y en la cuarta columna se escribe laenerga que corresponde a la del fotn luminoso involucrado en una transicin del estadoE4 al estado E2 , o sea E42 . En el primer caso, podemos adoptar la convencin de que elvalor ser negativo como corresponde al hecho de que para poder elevar al electrn delestado n = 1 al estado n = 2 es necesario suministrar energa en la forma de un fotn,mientras que en el segundo caso el valor ser positivo como corresponde al hecho de queen su descenso del estado n = 4 al estado n = 2 el electrn liberar energa con la emisin deun fotn. Esto est de acuerdo con la insistencia de Heisenberg de hacer hincapi en darleprioridad a las observables que se pueden medir directamente (y en el caso de las energasstas se pueden medir con bastante precisin) ignorando por completo aquellas variablesdel modelo atmico planetario de Bohr que no son susceptibles de ser observadas (comolos radios de cada uno de los niveles energticos). Obviamente, una tabla de este tipo enprincipio vendra siendo una tabla infinitamente grande como infinito es el nmero deestados energticos posibles en el tomo de Bohr, y tenemos que contentarnos con elsiguiente paso lgico que consiste en poner algunos valores numricos en la tabla:

Esto, desde luego, no nos lleva a nada con lo que no hayamos estado familiarizadospreviamente, pero es un buen principio. El siguiente paso lgico consiste en escribir dentrode la tabla no las energas de los fotones sino sus frecuencias, lo cual tambin es vlidodentro de la filosofa de Heisenberg ya que las frecuencias de los fotones luminosos sontambin observables que podemos medir con bastante precisin cuando estamosequipados con un espectgrafo de alta resolucin:


Obviamente, al poner valores numricos en esta tabla confirmaremos que la tabla sernecesariamente simtrica con respecto a la diagonal principal, ya que:

f.42 = f.24

siendo la nica diferencia (no numrica) el que un valor representa la frecuencia que seobtiene del espectro de emisin mientras que el otro valor representa la frecuencia delfotn que se obtiene del espectro de absorcin. A diferencia de la tabla de Heisenberg paralas energas, en esta tabla todas las entradas sern positivas ya que no existen frecuenciasnegativas, excepto, tal vez... en las representaciones de Fourier de funciones peridicasmediante series trigonomtricas infinitas. Al llegar a este punto no encontramos en unaetapa crucial en la que la respuesta casi salta a hacia nuestra vista si tenemos la agudezapara establecer la conexin requerida.

Podemos conjeturar que una vez construda esta ltima tabla, la cual es infinitamentegrande al ser imposible meter en ella todos los valores posibles, Heisenberg intentdescubrir algn patrn matemtico sencillo que relacionara los valores. Al no obtenerlo,procedi a construr otras tablas a sabiendas de que en problemas clsicos sencillos comoen el caso del oscilador armnico simple las frecuencias de oscilacin del oscilador y lasenergas estn relacionadas mediante relaciones matemticas sencillas con eldesplazamiento de la partcula y el momentum de la misma. Esto result ser un trabajosumamente laborioso (en aquellos aos no haba calculadoras cientficas de bolsillo, lo msque se tenan eran reglas de clculo de precisin sumamente limitada) para el cualHeisenberg no habra tenido tiempo de no haber estado convalesciente de su fiebre de henoen la isla de Helgoland. Podemos estar seguros de que a partir de las tablas anteriores fueobteniendo otras tablas, hasta que en cierto momento se le ocurri representar algunos delos resultados obtenidos con la ayuda de series ortogonales infinitas, esto es, series deFourier, utilizando para ello series de Fourier sobre dos variables como se requiere para elcaso especfico de tablas con entradas verticales y horizontales. A partir de ese momento ycasi sin darse cuenta de ello, el problema estaba resuelto. Sin embargo, tal vez por la fatigay por la convalescencia, no se le ocurri en ese entonces a Heisenberg que la regla queobtendra como resultado de sus tablas pudiera ser obtenida considerando a las tablas nocomo simples tablas sino como matrices. El mrito de tal descubrimiento le corresponderaa otros. Sin embargo, tena suficiente material en su cabeza como para poder asentar lo queya haba hecho sobre bases ms firmes como las que veremos a continuacin.

Antes del advenimiento de la Mecnica Matricial, la vieja teora cuntica de Bohrdescriba el movimiento de una partcula mediante una rbita clsica poseyendo unaposicin X(t) y un momentum P(t) bien definidos, imponindose la restriccin de que laintegral de tiempo sobre un perodo del momentum deba ser un mltiplo entero de laconstante de Planck (la condicin de cuantizacin de Sommerfeld):

An y cuando esta restriccin selecciona correctamente rbitas con ms o menos losvalores correctos de energa En, el formalismo de la mecnica cuntica vieja era incapaz depoder describir procesos dependientes del tiempo tales como la absorcin y la emisin deradiacin.

Cuando una partcula clsica est debilmente acoplada a un campo de radiacin, de modotal que el amortiguamento por radiacin pueda ser ignorado, emitir radiacin en unpatrn que se repetir a s mismo en cada perodo orbital. Las frecuencias que forman a laonda luminosa (el fotn) emitida sern entonces mltiplos de la frecuencia orbital, y esto es


un reflejo de que X(t) es peridico, de modo tal que su representacin en series de Fouriercontendr nicamente armnicas de frecuencias 2n/T:

Las amplitudes (o coeficientes) respectivas de cada trmino, los Xn, son nmeroscomplejos. Este es precisamente el paso crucial necesario para que Heisenberg pudieraobtener los resultados que obtuvo, recurrir a las series de Fourier. Esta es una de lasrazones (aunque no la nica) por la cual antes de entrar en detalle sobre la derivacin de laregla de multiplicacin de Heisenberg tuvimos que tratar con anterioridad en esta obra yen cierto detalle el asunto de las series de Fourier.

Repasemos bien lo que se ha enunciado arriba. En la fsica clsica cualquier cantidad n(siendo n un entero positivo) puede ser representada mediante una expansin llevada acabo en una serie infinita de Fourier:

en donde = 0, 1, 2, 3, ...

La expansin Fourier explcita de lo de arriba mostrndose algunos de los trminos de lamisma es la siguiente:

n = ... - x(n,-2) e2i(n,-2) t - x(n,-1) e2i(n,-1 ) t + x(n,0) e2i(n,0) t

+ x(n,1) e2i(n,1 ) t + x(n,2) e2i(n,2) t + x(n,3) e2i(n,3) t + ...

Como puede verse en la representacin que hemos empleado para la expansin en series deFourier, cada -ava componente armnica (n,) de la serie tiene una amplitud x(n,), y lafrecuencia que le corresponde en el espectro de frecuencias de Fourier ser un mltiplo dela frecuencia fundamental :

Obsrvese con detenimiento que tenemos aqu un hecho fortuito, si lo comparamos conuno de los resultados que obtuvimos previamente por una ruta distinta mediante elprincipio de correspondencia de Bohr:

En realidad, aqu est la clave de todo.

As como el principio de correspondencia de Bohr enuncia que para nmeros cunticosgrandes la frecuencia terico-cuntica n,n- se corresponde con una frecuencia clsica(n,), Heisenberg asumi que una cantidad terico-cuntica An,n- se corresponder conla amplitud Fourier A(n,). En otras palabras:

Si: (n,) se corresponde con n,n-


entonces: A(n,) se corresponde con An,n-

Heisenberg supuso que el conjunto de elementos:

bien poda ser escogido como la representacin terico-cuntica de la cantidad clsica n.En pocas palabras:

Aqu tenemos que tomar otro paso crucial preguntndonos lo siguiente: Si tenemos n,cmo estar representado n en esta teora cuntica? Qu es lo que corresponder conn?

Antes de continuar, tenemos que resolver otro problema ms de ndole matemtica quefsica. El problema es que las cantidades imaginarias (i = -1) no pueden ser medidas en ellaboratorio, ni se les puede dar interpretacin fsica alguna, slo a las cantidades reales seles puede dar un significado en el mundo real. Tenemos que deshacernos de todo lo quecontenga el nmero imaginario i, y cuanto antes mejor. Esto lo podramos llamar nuestrorequerimiento de realidad. Una forma de lograrlo es tomando el conjugado complejo deuna cantidad para que al llevar a cabo una sumacin las componentes reales se sumenmientras que las componentes imaginarias se cancelen. Una forma sencilla de visualizarnuestro requerimiento es con la representacin bsica de la relacin de Euler:

e-i = cos() + i sen()

Si tomamos el conjugado complejo en ambos lados de esta igualdad, tenemos entonces:

(ei)* = cos() - i sen()

Sumando ambas igualdades miembro a miembro:

e-i + (ei)* = 2 cos()

y obtenemos as de este modo una cantidad que ciertamente ser real y la cual podremosmedir en el laboratorio.

En las series infinitas de Fourier tanto para la coordenada de la posicin como para lacoordenada del momentum, cada suma es llevada a cabo desde un valor infinitamentenegativo de hasta un valor infinitamente positivo de , y aunque por regla general no esvlido comparar dos infinitos, a excepcin del caso para el cual = 0 podemos suponer quetenemos tantos trminos negativos como positivos en cada sumacin de Fourier. Con estoen consideracin, en nuestros desarrollos podemos deshacernos de los trminosimaginarios con el simple hecho de tomar el conjugado complejo ya sea de la posicin o delmomentum. Born escogi tomar el conjugado complejo de la serie Fourier para la posicin,con lo cual su requerimiento de realidad para una posicin medida a lo largo de unacoordenada-x expresada en serie de Fourier como:

viene siendo:

Xn = X-n*

En palabras, si los coeficientes Xn son nmeros complejos, entonces aquellos apareados confrecuencias negativas en las series de Fourier tienen que ser los conjugados complejos deaquellos apareados con las frecuencias positivas, para que de este modo X(t) siempre seareal.


Ahora bien, puesto que por hiptesis las frecuencias del fotn luminoso que emite unapartcula al caer de un estado de energa ms alto a un estado de energa ms bajo deben serlas mismas que las frecuencias en la descripcin Fourier del movimiento, esto sugiere quealgo en la descripcin dependiente del tiempo de la partcula est oscilando con unafrecuencia (EnEm)/h. Heisenberg identific esta cantidad como Xnm, demandando questa se redujese a los coeficientes clsicos de Fourier en el lmite clsico (nmeroscunticos grandes). Para valores grandes de n y m pero con la diferencia n m mantenidarelativamente pequea, Xnm es el (nm)-avo coeficiente de Fourier del movimiento clsicopara una rbita n. Puesto que Xnm tiene una frecuencia opuesta a Xmn, la condicin de queX sea real se convierte en:

Xnm = Xmn*

Por definicin Xnm slo tiene la frecuencia (En Em)/h, de modo tal que su evolucintemporal es sencilla:

Esto es una forma de enunciar lo que hoy se conoce como la ecuacin del movimientode Heisenberg.

Dados dos arreglos cuadrticos Xnm y Pnm que describen a dos cantidades fsicas,Heisenberg pudo formar un nuevo arreglo del mismo tipo combinando los trminosXnkPkm, que tambin oscilan a la frecuencia correcta. Puesto que los coeficientes deFourier del producto de dos cantidades es igual a la convolucin de los coeficientes deFourier de cada una de las cantidades tomados por separado, la correspondencia con lasseries de Fourier le permiti a Heisenberg deducir la regla de multiplicacin mediante lacual los coeficientes tienen que ser multiplicados:

Puesto de otra manera, despus de varias manipulaciones algebraicas directas se descubreque el -avo trmino del conjunto de elementos que representan a n en lacorrespondencia dada arriba tiene que ser:

o alterntivamente:

Reescribiendo esto de forma tal que adquiera el mayor parecido posible con lo quecorresponde a los trminos de una expansin de Fourier en donde se multiplica la amplitudde cada uno de los trminos por la frecuencia de la armnica que le corresponde, tenemosentonces que la siguiente conclusin:

Por lo tanto:


es la regla de multiplicacin que necesitamos para poder obtener xn,n-. Esta es la reglade multiplicacin de Heisenberg.

Lo que logr Heisenberg, en efecto, fue obtener una regla a partir de la cual combinando encierta forma los elementos tomados ordenadamente de dos tablas diferentes representandodos parmetros fsicos (tales como la posicin y el momentum) era posible construr unatercera tabla conteniendo los valores caractersticos de un tercer parmetro fsico (como lavalores cuantizados de la energa caractersticos del espectro del tomo de hidrgeno):

Al anunciar al mundo su hoy famosa regla de multiplicacin, Heisenberg saba lo quetena entre sus manos, pero en una de las ms grandes ironas de la Historia, en realidad nosaba lo que tena entre sus manos. Si inspeccionamos con algo de detenimiento la regla demultiplicacin, no tardaremos mucho tiempo en caer en la cuenta de que en realidad setrata de la regla que define cada uno de los elementos que se obtiene de la multiplicacin dedos matrices; y si consideramos cada tabla de Heisenberg como una matriz producindonoslos elementos de una tercera matriz, la relacin de un producto matricial salta a la vista. Decualquier modo, al tomar conocimiento de su trabajo, su maestro y colega Max Born juntocon Pascual Jordan reconocieron de inmediato que se trataba de la definicin de unproducto matricial. Darse cuenta de este hecho importante fu lo que puso a Max Born ensu camino para obtener a partir de la regla de multiplicacin de Heisenberg su ya famosaextraa ecuacin que pondra a la Mecnica Cuntica Matricial sobre su ms slidocimiento.

La caracterstica ms importante del producto de dos matrices A y B, como ya se hadestacado con anterioridad, es que no es conmutativo. El producto matricial AB no es lomismo que el producto matricial BA, y de hecho de esto es de lo que trata la extraaecuacin de Max Born. Visto en retrospectiva, no es inusual que a Heisenberg se le hayaescapado de sus manos el hecho de que lo que haba obtenido era en esencia el producto dedos matrices, an y cuando por la notacin utilizada trminos como Xnm pudieran serconsiderados como representativos de matrices. Previamente, antes del advenimiento de laMecnica Cuntica, no haba razn alguna para suponer a priori que cantidades que en lafsica clsica como la posicin y el momentum eran conmutativas dejaran de serlo al serestudiadas sub-microscpicamente. Se crea que las leyes de la fsica clsica eranextendibles al mundo sub-microscpico. Fue una verdadera sorpresa que conmocion a lafsica hasta sus cimientos el descubrir que las leyes de la fsica clsica dejaban de operarcomo tales en el mundo sub-microscpico, y que la conmutatividad que se daba por hechoen todos los parmetros de la fsica clsica tena que ser reemplazada por una no-conmutatividad que al principio result incmoda.

Pero no slo no se le ocurri a Heisenberg el ponerse a pensar que lo que haba obtenidocon su regla de multiplicacin era el producto de dos matrices. Tampoco se le ocurrirepetir el mismo procedimiento, con cambios mnimos, con la coordenada del momentum.


Todo su desarrollo estuvo basado sobre la coordenada posicin. De haber repetido la recetapara la coordenada del momentum, como lo hizo Max Born, habra terminado fundando lslo toda la Mecnica Matricial. De cualquier manera, no slo Heisenberg perdi aqu unaoportunidad que tal vez haya lamentado posteriormente. Con tan slo nueve meses deanterioridad antes de la publicacin del trabajo de Heisenberg, en octubre de 1924 ThePhysical Review en los Estados Unidos ya haba publicado un trabajo en dos partes de JohnH. Van Vleck en el que combinando tcnicas avanzadas de la mecnica clsica con elprincipio de correspondencia de Bohr y con la teora cuntica de la radiacin de Einsteinlogr encontrar los anlogos cunticos de expresiones clsicas para la emisin, absorcin ydispersin de la radiacin, y de haber presionado un poco ms hay pocas dudas de que VanVleck habra descubierto por cuenta propia la Mecnica Cuntica Matricial, ya que en sustrabajos estaban muchas de las mismas pistas utilizadas por Heisenberg para llegar a suregla de multiplicacin. No hay razones para suponer que Heisenberg pudiera haberestado enterado de estos trabajos de Van Vleck, ya que su lnea de pensamiento era algodistinta a la de Van Vleck, pero es muy posible que si Heisenberg no se le hubieraadelantado a Van Vleck ste ltimo habra dado en el clavo y se habra llevado consigo elmrito de haber descubierto la Mecnica Matricial. El por qu Van Vleck no se presion a smismo para darle seguimiento a sus propios trabajos sigue siendo uno de los grandesmisterios de la Historia de la Ciencia, pero de cualquier manera tal vez lo ms importanteque se pueda sacar de todo esto es que personas distintas trabajando en distintos pasessobre una misma fenomenologa eventualmente llegarn a las mismas conclusiones yresultados cuando se trata de leyes naturales universales. Dos ms dos ser igual a cuatroaqu en la Tierra o en el extremo ms alejado del Universo que podamos imaginar.

Si admitimos la posibilidad de que a nivel sub-microscpico los valores que pueda tomarcierta variable fsica pueden ser representados mediante una matriz a travs de los valorespropios eigen de la matriz, para una variable como la energa del electrn en el tomo dehidrgeno esta posibilidad se antoja apetecible por el simple hecho de que dicha energaest cuantizada en niveles energticos discretos. Se le puede asignar a cada nivel energticosu propia entrada en la diagonal principal de una matriz de energa que llamaremos H, contodas las dems entradas de la matriz fuera de la diagonal principal puestas a cero. Peroobviamente no todas las cantidades fsicas estn cuantizadas, siendo la posicin de unapartcula una de tales variables, pudiendo tomar cualquier valor sobre un espectrocontinuo de valores posibles. Qu representacin matricial deber drsele a la posicin?Qu aspecto podr tener una matriz que represente a la posicin? Algo similar podradecirse acerca del momentum, el cual en principio puede tomar cualquier valor sobre unespectro continuo de valores posibles. Qu representacin matricial deber drsele almomentum? Qu aspecto podr tener una matriz que represente al momentum? A primeravista, tal cosa no parece posible al no haber matrices con entradas discretas capaces decontener una gama continua de valores que no exhiben en el laboratorio discretizacinalguna. La situacin se complica an ms si consideramos que una cantidad como la energacintica K de una partcula a la cual se le pueda dar una representacin matricial es(clsicamente) una funcin del momentum de la partcula, especficamente, igual a p2/2m.Cmo puede nacer una cantidad matricial como K de una cantidad aparentementecontinua como p, a menos de que p sea tambin una matriz y no una simple variablecontinua? Cmo puede nacer algo discreto de algo continuo?

PROBLEMA: Dadas las siguientes dos matrices M y N:

obtngase la matriz que resulta de la siguiente operacin:

MN - NM

Qu conclusin se puede obtener de los resultados?

Efectuando las operaciones indicadas por la expresin, se obtiene el siguiente resultado:


Entrada ms reciente Entrada antigua

Esto es algo verdaderamente interesante. Las matrices M y N obviamente no sondiagonales ni pueden ser diagonalizadas, no pueden representar un conjunto de valoresdiscretos. Sin embargo, combinadas en la manera en que se muestra, entre ambas se las hanarreglado para producir una matriz diagonal, la cual posee seis valores propios eigen, dosde ellos (correspondiendo al eigenvalor 8) siendo iguales (a esta ocurrencia de valoresrepetidos se le llama una degeneracin). Con un poco de imaginacin y alterando lasentradas en las matrices originales M y N, podemos empezar a visualizar una manera en lacual podra producirse una ecuacin matricial como la extraa ecuacin de Born. Elmodelo dado por las matrices M y N en este problema representa una salida al dilemaoriginal, porque al carecer M y N de eigenvalores (como consecuencia de la imposibilidadde diagonalizarlas) dichas matrices, en principio, podran servir de modelo pararepresentar las matrices que correspondan a la posicin (Q) y al momentum (P) que nodeben exhibir valores propios eigen para dichas observables fsicas. Obviamente, el modeloque tenemos aqu es algo crudo, y tiene que ser refinado. Pero nos muestraestructuralmente que para cada sistema fsico debe ser posible definir y combinar unamatriz posicin Q y una matriz momentum P, ambas representando cantidades continuasno-discretizables, para producir una matriz como la matriz de energa H de un sistema ques es diagonal o diagonalizable y cuyas entradas sern iguales a los eigenvalores de energadel sistema.

Conforme se fue desarrollando la Mecnica Matricial, al poco tiempo hizo su aparicin unanueva rama de la Mecnica Cuntica que vendra a complementar poderosamente laMecnica Matricial descubierta por Heisenberg, basada en una idea propuesta por Louis deBroglie y asentada tericamente sobre bases firmes por Erwin Schrdinger. Pero aqu nosestamos anticipando un poco a nuestra historia.P U B L I C A D O P O R A R M A N D O M A R T N E Z T L L E Z E N 2 3 : 3 6

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8. La Regla de Multiplicación de Heisenberg

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