INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICAFísica IV- Astronomía-Geofísica- U.N.S.J.

Principio de complementariedad de Bohr

Ó

En Física Clásica cualquier fenómeno de transporte de energía puede explicarse por el modelo ondulatorio o por el modelo de partícula, pero no por ambos.

EL MODELO DE PARTÍCULA Y EL MODELO ONDULATORIO SON MUTUAMENTE CONTRADICTORIOS.

¿Cómo aplicamos estos modelos a las situaciones de naturaleza dual de la radiación electromagnética y las partículas materiales?

Ó

(1928) Niels Bohr: PRINCIPIO DE COMPLEMENTARIEDAD

LOS ASPECTOS DE ONDA Y PARTÍCULA DE LA RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA SON COMPLEMENTARIOS, ES DECIR, CUALQUIER MEDICIÓN EXPERIMENTAL QUE INVOLUCRE LA RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA PUEDE SER COMPLETAMENTE EXPLICADA POR UN MODELO O POR EL OTRO.

¿Cómo aplicamos esto a las partículas materiales?

EN ALGUNOS EXPERIMENTOS LA NATURALEZA ONDULATORIA SE SUPRIME Y EN OTROS LA NATURALEZA DE PARTÍCULA SE SUPRIME, PERO LOS DOS MODELOS SE COMPLEMENTAN.

¿Cómo son las ondas que asociamos a las partículas

materiales?

Longitud de onda: longitud de onda de de Broglie.

Denominación: Ondas de materia

Pero:

¿Cuál es la naturaleza de estas ondas?

Descripción del paquete de onda de partículas materialesMovimiento de una onda típica a lo largo del eje

x:

Por analogía reemplazamos y(x,t) por: Ψ(x,t) función de onda asociada con una partícula material

)(),( tkxAsentxy ω−=Número de onda

Frecuencia angular

λπ2=k

T

ππνω 22 ==

)(),( tkxAsentx ω−=Ψ

Dos dificultades para:

Ψ tiene continuidad en el espacio, mientras que una partícula material siempre está localizada en el espacio.

La velocidad de fase (o velocidad de la perturbación):

)(),( tkxAsentx ω−=Ψ

λνλπ

πνω ===/2

2

kv fase

en atributos de onda

Usando E=hν y p=h/λ: p

E

p

h

h

Ev fase == en atributos de

partícula

Usando E=mc2 y p=mv:

v

cv fase

2

=Fotón: vfase=c

Partícula: (como v<<c) vfase>c

Para superar estas dificultades asumimos que la función de onda Ψ(x,t) representa un grupo de ondas de frecuencias y longitudes de onda diferentes.

∑∆+=

=

−=Ψkkk

kkiii

i

i

txksenkAtx )()(),( ω

∆k depende del grado de localización de la partícula en el espacio.

El objetivo es combinar muchas ondas de diferentes frecuencias y amplitudes para que la resultante tenga un alto valor de amplitud cerca de la vecindad de la partícula y cero en otras partes. Esto es necesario porque la onda de materia debe estar espacialmente asociada con la partícula cuyo movimiento controla.

(a) Formación de un paquete de onda por combinación de 7 ondas desde k=7 a k=13. El promedio del número de onda es k0=10.

(b) En el tiempo t1, el paquete de onda se mueve una distancia ( kħ 0/m)t1.

Para localizar mejor la partícula deberíamos aumentar el rango de ∆k y usar series de Fourier e integral de Fourier.Nos limitaremos a analizar un caso simple.

Consideremos dos ondas de amplitudes iguales y frecuencias ligeramente distintas:

)(),(1 tkxAsentx ω−=Ψ[ ]txkkAsentx )()(),(2 ωω ∆+−∆+=Ψ

Sumándolas:),(),(),( 21 txtxtx Ψ+Ψ=Ψ

[ ]txkkAsentkxAsentx )()()(),( ωωω ∆+−∆++−=Ψ

∆+−

∆+

∆−∆=Ψ tx

kksentx

kAtx

2222cos2),(

ωωω

kkk ≅∆+ )2/( ωωω ≅∆+ )2/(

Tomando

)(22

cos2),( tkxsentxk

Atx ωω −

∆−∆=Ψ

∆+−

∆+

∆−∆=Ψ tx

kksentx

kAtx

2222cos2),(

ωωω

)(),( tkxsenAtx m ω−=Ψ

Representa una onda de frecuencia original ω pero amplitud modulada

)(),( tkxsenAtx m ω−=Ψ

Dos ondas de frecuencias y longitudes de onda levemente diferentes que viajan en la dirección x como se muestra en (a) producen máximos y mínimos cuando se suman juntas como en (b).

Aunque las ondas individuales viajan con la fase velocidad vfase, la modulación de amplitud

∆−∆= txk

Am 22cos2

ω

viaja con una velocidad de grupo vg dada por:

kkvg ∆

∆=∆∆= ωω

2/

2/

o en el límite para Δk→ 0:

dk

dvg

ω=

Usando las relaciones E = hν =ħω, donde ħ=h/2π y p = h/λ = ħk, tenemos:

dp

dE

dk

dvg == ω

Como: ²²420 cpcmE +=

vmc

mvc

E

pc

cpcm

pc

dp

dE ===+

=²

²²

²²

²42

0

vvg =

La velocidad vg de grupo (o velocidad del paquete de onda) es la misma que la de la partícula y por lo tanto el paquete puede guiar el movimiento de la partícula y además localizarla.

La velocidad vfase es la velocidad de la perturbación.

INTERPRETACIÓN ESTADÍSTICA DE LA FUNCIÓN

DE ONDA Nos interesa considerar en detalle la relación

existente entre la función de onda Ψ(x,t) y la localización de la partícula.

Haremos una analogía con la amplitud del campo eléctrico de la radiación electromagnética.

Consideraremos un haz de radiación electromagnética monocromática incidiendo en ángulo recto sobre una pantalla.

I: intensidad de iluminación, definida como la energía por unidad de área por unidad de tiempo.

cI ²0Eε= ε0 : permitividad del vacíoE: magnitud del campo eléctrico instantáneo sobre la pantalla

Otro punto de vista es tratar la radiación electromagnética como que consiste en fotones:

N: flujo de fotones o el número de fotones incidentes por unidad de área por unidad de tiempo

νNhI =

2EN ∝El lado izquierdo de la ecuación representa el modelo de partícula de la radiación electromagnética, mientras el lado derecho representa el modelo ondulatorio. Para un gran flujo no hay dificultad en explicar la iluminación de la pantalla con cualquier modelo.

Si la intensidad disminuye y sólo se reciben unos pocos fotones sobre la pantalla tenemos que:

No e s p o s ible p re d e c ir la p o s ic ió n y e l tie m p o e x a c to d e a rribo d e c a da fo tó n s o bre la p a nta lla . La d is tribuc ió n d e lo s fo to ne s s o bre la p a nta lla e s c o m p le ta m e nte a le a to ria , p e ro e l núm e ro p ro m e d io d e fo to ne s q ue a rriba n p o r unid a d d e á re a y p o r unid a d d e tie m p o e s c o ns ta nte y p re d e c ible .

Si se reemplaza la pantalla por una placa fotográfica y se expone un tiempo largo a esta radiación débil, el resultado es la iluminación uniforme de la placa.N nos da la probabilidad de observar un fotón y no la posición exacta y el tiempo de arribo del fotón a la pantalla.

E² α probabilidad de observar a un fotón en un punto

Si extendemos estos conceptos a los paquetes de onda asociados con partículas materiales, tenemos:

Max Born (1926)

La función de onda Ψ(x,y,z,t) es tal que: dvtzyx ²),,,(Ψes la probabilidad de observar una partícula en un volumen dv=dx dy dz en un tiempo t.

dvtzyxtzyxdvtzyx ),,,(),,,(²),,,( ψψψ ∗=Para un sistema estacionario (independiente del tiempo) la probabilidad de observar una partícula es:

Ψ no tiene significado físico y Ψ² sí lo tiene.

En una dimensión para un sistema estacionario (independiente del tiempo):

la probabilidad de observar una partícula entre x y x+dx dxx ²)(ψ∝

Una onda mecánica o electromagnética transporta energía.

Ψ transporta probabilidad.

Cuando decimos que a cada fotón o partícula material se le asigna una función de onda, suponemos que se asigna una propiedad estadística a cada partícula individual.

Experimento de Young con ondas de materia

Se ha variado la cantidad de electrones que golpea la placa. No existen puntos en la región de mínimos de interferencia. La probabilidad de que cualquier punto de la película resulte

afectado queda determinado por la teoría ondulatoria con independencia de que la película se vea expuesta a electrones o a fotones.

Los puntos son más grandes que el tamaño que corresponde.

PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG

Si Ψ²∆x es la probabilidad de que la partícula esté en la región entre x y x+∆x

Hay incertidumbre en la posición de la partícula

Si el paquete de onda es estrecho

∆x es pequeño

La incertidumbre es menor

Necesitamos un rango de números de onda ∆k ancho

kx

∆∝∆ 1

Sin un conocimiento exacto del paquete de onda, aproximamos:

1≈∆∆ kx

khhp === )2/)(/2(/ πλπλComo:

/pk ∆=∆ ≈∆∆ px

Mediante cálculos más sofisticados se llega a: 2/≈∆∆ px

Ya que éste es el límite más bajo de exactitud, en forma general podemos escribir que:

2/≥∆∆ px

PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISEMBERG

Partícula completamente localizada: ∆x=0. La cantidad de movimiento es completamente desconocida.

La cantidad de movimiento se conoce en forma precisa: ∆p=0. Entonces ∆x=∞. La partícula no está localizada y se extiende por todo el espacio.

2/≥∆∆ px

Es im p o s ible m e d ir s im ultá ne am e nte y c o n p re c is ió n ta nto la p o s ic ió n c o m o la c a ntida d d e m o vim ie nto d e una p a rtíc ula .

Este límite de exactitud no es debido a cualquier dificultad técnica en el experimento; sino que es inherente a la naturaleza dual –onda y partícula- tanto de la radiación electromagnética como de las partículas materiales.

En tres dimensiones:

2/≥∆∆ xpx

2/≥∆∆ ypy

2/≥∆∆ zpz

También está limitada la determinación simultánea de: El momento angular y el ángulo:

La energía y el tiempo:

2/≥∆∆ θθ L Θ: posición angular Lθ: momento angular

2/≥∆∆ tEDesigualdad tiempo-energía (ya que el tiempo no es un observable sino que es un parámetro)Según Heisenberg, la medida de la energía de una partícula dentro de un

tiempo Δt debe ser incierta por una cantidad ΔE, el producto puede derivarse usando la relación E = p²/2m que da ΔE=pΔp/m=vΔp, y t=x/v, que da Δt=Δx/v.