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A la hora de resolver la ecuación de Schródinger con Hamiltoniano (1.8), resulta bastante útil eluso de unidades atómicas efectivas. El procedimiento consiste en expresar todas las longitudes ylas energías en unidades de radio de Bohr y Rydberg efectivos, respectivamente, así:

h2eRadio de Bohr efectivo: ao =

(1.9a)m e

m* e4Rydberg efectivo: - Ry= 2 62 h2 (1.9b)

Usando coordenadas cilíndricas (p, 0, z) el Hamiltoniano (1.8) se puede escribir como:

= —V 2 +-1

4p2 7 2 +7Lz — —

2(1.10)

he B Donde, y =es una medida adimensional del campo magnético y representa la

2m cR,

proyección del operador momentum angular a lo largo del campo magnético. El términocontiene el efecto del campo magnético y describe la fuerza de Lorentz sobre el electrón, cuyo

efecto será producir un encogimiento de la función de onda. El término diamagnético, p2

4describe un oscilador armónico bidimensional.

El uso de las unidades (1.9) tiene grandes ventajas, pues permiten liberar al Hamiltoniano de todotipo de constantes. De esta manera se tiene un Hamiltoniano completamente adimensional,permitiendo que los resultados teóricos que se obtengan se puedan utilizar en una gran variedadde situaciones y desde el punto de vista computacional se podrán agilizar los cálculos, evitando asu vez desagradables sorpresas con las unidades.

1.4 DATOS EXPERIMENTALES PARA LAS ESTRUCTURAS DE POZO CUÁNTICODE GaAs-Gai_xAlxAs.

El desarrollo de las técnicas de crecimiento cristalino, tales como: Haces moleculares[34-35](MBE), deposición metal-orgánica de vapor químico(MOCVD)[34-35], haces químicos(CBE)[34-35] y la epitaxia en fase líquida(LPE)[36-37], han permitido crecer una serie deestructuras a partir de la superposición de capas semiconductoras, en las que es posible manipularconvenientemente y a escala atómica el dopaje y la composición química. Una de estasestructuras se obtiene a partir de dos semiconductores base, A y B, cuando una pequeña capa delmaterial B, cuyo espesor puede llegar a ser hasta de 20Á y poseer impurezas donadoras, se rodeade capas de material A. Dado que la longitud de onda de De Broglie de los portadores de cargaes mayor que el espesor de la capa B, entonces de esta manera es posible llegar a confinarelectrones en 2,1 y 0 dimensiones, generándose de esta forma efectos electrónicos nunca antesobservados.

Los semiconductores base que participan en la formación de la estructura ABA deben cumplirdos requisitos fundamentales[38]:

Poseer un parámetro de red muy parecido yLos anchos de sus bandas deben ser lo más diferente posible.

AEg Eg

6543210

0 1 2

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Con la primera condición se asegura que las interfaces va a presentar el mínimo dedeformaciones posible y la segunda garantiza que las propiedades electrónicas del materialresultante difieran apreciablemente de los materiales constituyentes.

La estructura ABA que se ha estudiado con mayor éxito, por su gran importancia tecnológica, yaque se puede usar en la fabricación de dispositivos de alta velocidad, se basa en el uso deGaAs = B y de la aleación Ga i _xAl,As = A, donde 0 x 1. Todo los cálculos y resultados quese reportarán en el presente trabajo se basan en el uso de estos materiales. Por esta razón seconsidera necesario describir los principales parámetros que los caracterizan, como por ejemplo:Estructuras de bandas, masa efectiva, ancho de la banda prohibida, y constante dieléctrica.

Ambos materiales cristalizan en estructura del tipo Zinc-Blenda y la zona de Brillouin posee unpunto de simetría en su centro; es decir, en k = 0 ( Punto y ). Lo anterior significa que losmateriales son de gap directo. Se han obtenido resultados experimentales que permiten expresarel Eg para la mezcla de Ga i _,,A1),As como: Eg = (1.52 + 1.155x + 0.37x2)eV [34], donde x = 0corresponde al GaAs. Dado el carácter empírico de este resultado, existen otros autores queconsideran más apropiado el uso de un Eg = (1.52 + 1.247x)eV [35]. Los dos resultados que seexhiben en la figura 1.3 arrojan resultados muy similares para la concentración de aluminio quese utilizarán en los cálculos. Con el propósito de comparar los que se obtengan acá., con datosteóricos y experimentales, se deberá hacer uso de ambas expresiones, lo cual se hará explícito ensu debido momento.

Las estructuras de bandas posee una discontinuidad en la interface de magnitudAEg = (1.155x + 0.37x2)eV o AEg (1.247x)eV, según sea la expresión que se utilice. Se haencontrado que el mínimo de la banda de conducción (BC) del Ga i.xAl„As está alrededor de0.65AEg por encima del mismo borde para el GaAs, mientras que le máximo de su banda devalencia (BV) se ubica 0.35AEg por debajo del máximo valor de la BV para el GaAs.

Figura 1.3 dependencia del Eg y del AEg con la concentración x dealuminio así: Eg = 1,52 + 1,155x + 0.37x 2 y A.Eg = 1,155x + 0.37x2

Al graficar el perfil de los bordes de estas bandas (mínimo de la BC y máximo de la BV), figura1.4, para una capa de GaAs entre capas de Ga i_xikl„As aparece una estructura de pozo cuántico.Este es justamente el nombre más común con el cual se denomina la estructura ABA

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Handade

conducc i ón

0 55 AEg

-r-Es (Cla As)

10.35 ZsEg

1 Hanclade

-va 1e*ncja

Gat-->cAix Asi na As As

Figura 1.4 Perfil de las bandas de valencia y de conducción para el GaAs dopado conaluminio.

En las figuras 1.5 y 1.6, respectivamente, se muestran los resultados obtenidos por variosautores[36] para la masa efectiva y la constante dieléctrica del Ga. 1 .0111„As en función de laconcentración de aluminio x.

X

En (Gai-xAix As)

Figura 1.5 Dependencia de la masa efectiva nit*con la concentración de aluminio x:m / m = (0.067 + 0.083x)

Figura 1.6 dependencia de la función dieléctricadel Gal„„Al.As con la concentración de aluminiox: £ = 12,53x — 2.5