Departamento de Matemáticas

IES SENDA GALIANA

Torres de la Alameda (Madrid)

Al almacenar la miel, las abejas deben resolver un serio problema: necesitan guardarla en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, con objeto de aprovechar el espacio al máximo.

Sorprendentemente, de entre todas las posibles figuras geométricas escogieron el hexágono. ¿Por qué, si son mas difíciles de construir?

La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego “mismo perímetro”). El matemático griego Pappus de Alejandría había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más área aquellos que tengan mayor número de lados. De hecho, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, con un número infinito de lados.

No obstante, un círculo deja espacios cuando se rodea de otros círculos. Así, de todas las figuras geométricas que cumplen la condición “mayor número de lados y adyacencia sin huecos”, matemáticamente el hexágono es la más óptima.

La Divina Proporción está bastante relacionada con el mundo de las abejas, pues se ha comprobado que al dividir el número de hembras entre el número de machos de cualquier panal siempre se obtendrá como resultado el

nnnúúúmmmeeerrrooo dddeee ooorrrooo: ...618'12

51 =+ ¿Será un dato empírico o se

deducirá de la forma en que se reproducen las abejas?

El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la sucesión de Fibonacci, como se puede observar en su árbol genalógico (Figura 1).

Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro enjambre), aquella se queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando origen así a abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso y machos o zánganos en el segundo.

Los triángulos, los cuadrados y los hexágonos son los polígonos regulares que consiguen teselar el plano, es decir recubrirlo con un mosaico.

Pero, con el mismo perímetro, la mayor superficie se recubre con un hexágono:

TRIÁNGULO Lado = 4 u Perímetro = 12 u Área = 6,928 u 2

CUADRADO Lado = 3 u Perímetro = 12 u Área = 9 u 2

HEXÁGONO Lado = 2 u Perímetro = 12 u Área = 10,392 u 2

Las abejas construyen sus panales como prismas hexagonales regulares apuntados en el fondo por tres rombos inclinados respecto a la horizontal un ángulo determinado para que, almacenando la misma cantidad de miel, tengan la mínima cantidad de materia (cera); es decir, el área sea mínima.

Este problema de las abejas ya admiró a los clásicos y fue estudiado por importantes matemáticos, entre otros Colin McLaurin (1698-1746) y Gabriel Cramer (1704-1752) obteniendo para dicha inclinación valores de 70º 32´ y de 70º 31´, respectivamente.

“Las abejas, en virtud de una cierta intuición geométrica, saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.”

(PAPPUS, 284-305)

Para ver mejor este “dodecaedro rómbico” en la página: http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/cube_diamant.htm