Olmos Rizzato, Cecilia

MATEMATICA II UNIDAD 5

Afirmacin seleccionada:

La integral del cociente es el cociente de las integrales.

Respuesta:

La afirmacin seleccionada es incorrecta, para poder resolver este tipo de integrales se tiene que

aplicar alguno de los mtodos segn corresponda, no es lo mismo que integrar cada uno por

separado y despus dividir, no da el mismo resultado, es decir no da el resultado correcto:

1. El grado del numerador P(x) es mayor que el grado del denominador Q(x)

Realizamos la divisin de P(x) por Q(x) y llamando C(x) al cociente y R(x) al resto, se cumple que:

P(x)=Q(x)C(x)+R(x)

Si R(x)=0 la divisin es exacta y si es distinto de cero el grado de R(x) ser menor que el grado de Q(x). Dividiendo la igualdad anterior por Q(x), tenemos:

La integral se descompone en dos:

Si la divisin es exacta, la integral queda reducida a una integral inmediata.

2. El grado de P(x) es igual al grado de Q(x):

Entonces el cociente es una constante y la integral queda reducida a:

La primera es inmediata.

3. El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x):

Obtenemos las races del polinomio denominador Q(x) y stas pueden ser: o Races reales simples. o Races reales mltiples. o Races complejas simples.

Olmos Rizzato, Cecilia

a) Races reales simples: Podemos poner la integral racional as:

Descomponemos P(x)/Q(x) en fracciones simples de la forma:

Obtenemos los coeficientes Ai expresando ambos miembros de la igualdad anterior en comn denominador que ser Q(x) y utilizando el mtodo de identificacin de coeficientes o dando valores a arbitrarios a x y resolviendo el sistema de ecuaciones que resulte.

Integramos el segundo miembro en el que todas las integrales que aparecen son inmediatas de tipo logaritmo neperiano.

Ejemplo para comprender mejor:

Hacemos:

Quedando la integral:

b) Races reales mltiples:

Si Q(x) es de grado n y sus races son r1, r2,...rm con rdenes de multiplicidad s1, s2,...sp (verificndose que s1+s2+...+sp=n). Se tiene que el radicando se puede descomponer as:

Olmos Rizzato, Cecilia

Es decir, de cada raz mltiple con orden de multiplicidad s, obtenemos s+1 fracciones simples. Por identificacin de coeficientes obtenemos las constantes y de ah la integral queda reducida a inmediata:

Ejemplo:

El radicando se descompone as:

Quedando la integral:

c) Races complejas simples:

Supongamos el caso particular de que el polinomio Q(X) fuese de 5 grado y sus races fuesen x=r1 (raz real simple), x=r2 (raz real de orden de multiplicidad 2) y x=a+bi, x=a-bi (races complejas simples conjugadas). Q(x) quedara descompuesto as:

Los dos ltimos trminos pueden expresarse as:

Y la descomposicin de Q(x) quedara as:

Si sacamos 1/a0 fuera de la integral, el coeficiente principal de Q(x) es uno.

Olmos Rizzato, Cecilia

En la descomposicin de en fracciones simples las fracciones correspondientes a la raz real simple y a la mltiple ya las vimos. En cuanto a las races complejas simples obtendramos, en el numerador un polinomio completo de primer grado Mx+N y en denominador la expresin (x-a)2+b2. Resolvemos una integral de este tipo:

Calculemos ahora I1:

Integral I:

La integral queda:

Con lo cual finalmente queda:

Olmos Rizzato, Cecilia

Ejemplo:

Las races del denominador son:

Quedando el radicando:

Con lo que: