Ajuste de funciones
27
description
Interpolación y. Ajuste de funciones. 22. 20. 18. 16. Grados. 14. 12. 10. 8. 6. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. 22. 4. Hora. Un problema de Aproximación. Evolución de la temperatura diurna. Interpolación. Interpolación Polinomial - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Ajuste de funciones
Hora 6 8 10 12 14 16 18 20Grados 7 9 12 18 21 19 15 10
Un problema de Aproximación
Evolución de la temperatura diurna
4
8
20
6 8 10
12
14
16
18
20
22
6
10
12
14
16
18
22
Hora
Gra
dos
Interpolación
Interpolación Polinomial
Polinomios Osculadores: Interpolación de
Hermite
Interpolación Racional: Aproximaciones de
Pade
Interpolación segmentaria: Splines
Otros
Ajuste Polinomios de Taylor
Mínimos Cuadrados
Minimización de normas
Aproximación Racional
Series de Fourier
Curvas de Bezier
B-Splines
Interpolación Polinómica Segmentaria
Limitaciones de la interpolación polinómicaGrado del polinomio Carácter de la función a interpolar
Alternativa propuesta: Splines.Numéricamente estableMatrices dispersasAgradable a la vista
Interpolación Polinomica Segmentaria: Splines
Interpolación Segmentaria
Interpolación Segmentaria Lineal
Interpolación Segmentaria Cúbica
Condiciones Naturales
Condiciones sobre la derivada
Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge
-1 0 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Spline lineal
-1 0 1-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Polinomio grado 4
yx
1
1 25 2
Perfil para un diseño
Polinomio interpolador
Aplicaciones
Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC’s) Geología Aeronáutica y automoción Economía Procesamiento de señales e imágenes (Reconocimiento de patrones, recuperación de imágenes) Robótica Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales) Meteorología (Mapas climáticos, detección de inundaciones,...) Mundo Virtual Distribuido Multiusuario
Interpolación Polinómica Segmentaria
D a d o s n + 1 p u n t o s ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , . . . , ( x n , y n ) c o nx 0 < x 1 … < x n , u n a f u n c i ó n s p l i n e d e o r d e n k ( k - S p l i n e )s o b r e d i c h o s p u n t o s e s u n a f u n c i ó n S v e r i f i c a n d o : ( i ) S ( x ) = q k ( x ) p o l i n o m i o d e g r a d o k , x [ x k , x k + 1 ] ,k = 0 , 1 , . . . , n - 1 ( i i ) S ( x k ) = y k , k = 0 , 1 , . . . , n ( i i i ) 1
0 1,kS C x x
Splines Lineales
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
q xx x
x xy
x x
x xyk
k
k kk
k
k kk( )
1
1 11
q x f x f x x x x
yy y
x xx x
k k k k k
kk k
k kk
( ) [ ] [ , ]( )
( )
1
1
1
Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge
-1 0 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Spline lineal
-1 0 1-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Polinomio grado 4
yx
1
1 25 2
Splines Cúbicos Spline cúbico
4n incógnitas Condiciones de interpolación
n+1 ecuaciones Condiciones de conexión
3(n-1) ecuaciones
q x a b x x c x x d x xk k k k k k k k( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
( )k kS x y
1 1 1
' '1 1 1
'' ''1 1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
k
k
k k k k
k k k
k k k
q x q x
q x q x
q x q x
ha a
ha a
kk k
kk k
1
11
3 3( ) ( )
h c h h c h ck k k k k k k
1 1 1 1
2 ( )
a f x k nk k ( ), , ,...,0 1
bh
a ah
c c k nkk
k kk
k k
1
32 0 1 11 1( ) ( ), , ,...,
d c c h k nk k k k ( ) / ( ), , ,1 3 0 1 1
h x xk k k 1
q x a b x x c x x d x xk k k k k k k k( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
n-1 ecuaciones y n+1 incógnitas
Condiciones Naturales
Teorema 1
Sea f(x) una función definida en [x0,xn]. Entoncesexiste un único s(x) spline interpolante cúbicopara f(x) en [x0,xn] tal que
s’’(x0) = 0 y s’’(xn) = 0.
cn = s’’(xn)/2 = 0s’’(x0) = 2c0 = 0 c0 = 0.
Matriz del sistema
M
h h h
h h h h
h h h
h h h
h h h h
h h h
n n n
n n n n
n n n
2 0 0 0 0
2 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 2
0 0 0 0 2
0 1 1
1 1 2 2
2 2 3
4 3 3
3 3 2 2
2 2 1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p
ha a
ha a
ha a
ha a
nn n
nn n
3 3
3 3
12 1
01 0
11
21 2
( ) ( )
( ) ( )
Términos independientes
Ejemplo de la temperatura
5 10 15 206
8
10
12
14
16
18
20
22
Hora
Gra
dos
Spline cúbico
5 10 15 206
8
10
12
14
16
18
20
22
Hora
Gra
dos
Polinomio interpolador
Condiciones sobre la derivada
Teorema 2
Sea f(x) una función definida en [x0,xn]. Entonces existe un únicos(x) spline cúbico interpolante para f(x) en [x0,xn].tal que
s’(x0) = f’(x0) y s’(xn) = f’(xn).
23
30 0 0 10
1 0 0h c h ch
a a f x ( ) ' ( )
h c h c f xh
a an n n n nn
n n
1 1 11
12 33
' ( ) ( ).
Matriz del sistema
M
h h
h h h h
h h h h
h h h
h h h
h h h h
h h
n n n
n n n n
n n
2 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 2
0 0
0 0 1 1
1 1 2 2
2 2 3
3 2 2
2 2 1 1
1 1
( )
( )
( )
( )
( )
Términos independientes
p
ha a f x
ha a
ha a
ha a
ha a
f xh
a a
nn n
nn n
nn
n n
33
3 3
3 3
33
01 0 0
12 1
01 0
11
21 2
11
( ) ' ( )
( ) ( )
( ) ( )
' ( ) ( )
Interpolación segmentaria con MATLAB
Interpolación segmentaria cúbica ps = spline(x,y) % Devuelve el Spline, no los
coeficientes
[x,s] = unmkpp(ps) % Devuelve los coeficientes
ps = mkpp(x,s)
syy = spline(x,y,xx) = ppval(ps,xx)
Interpolación segmentaria lineal lyy = interp1(x,y,xx)
-1 0 1
0
0.5
1 Spline Natural
-1 0 10
0.5
1 Spline Derivada
-1 0 10
0.5
1 Interpolación Lineal
-1 0 1
0
0.5
1 Spline de MATLAB
