TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 1

CAPITULO 4. AJUSTE DE OBSERVACIONES.-

Ajuste de Observaciones por Medidas Indirectas o

Método Paramétrico

El desarrollo de este capítulo se basó en el apunte de Mangiaterra, A. (2006). Cálculo de

Compensaciones. Pág. (III.22-III.24). Conjuntamente con Manuel Chueca Pazos; José

Herráez Boquera y José Luis Berné Valero. (1996). Teoría de errores e instrumentación.

Madrid: Paraninfo. Pág. (98-100).

Los problemas de compensación se suelen dividir en dos grupos, uno es el caso de

Medidas Indirectas o Método Paramétrico y el otro el de Ecuaciones de Condición.

En el caso de medidas indirectas, los valores de las incógnitas buscadas están

relacionados por ecuaciones lineales o linealizables a los valores medidos de la

siguiente manera:

iii puZYXf ...................;;

donde ...;; ZYX son las incógnitas, iu las observaciones. Y cada una de estas

ecuaciones tendrá un peso ip . Por lo general se tienen más ecuaciones que

incógnitas, y este es el caso que vamos a desarrollar en este capítulo.

Supongamos n cantidad de ecuaciones con I cantidad de incógnitas, n>I.

En el caso más general del método de medidas indirectas tenemos ecuaciones de la

siguiente manera:

iiiii puuuZYXf ...........0;....;;;....;;; '''''' i=1;2;… n>I

La función if puede ser no lineal.

Cada función puede contener varias de esas magnitudes que pueden ser

medibles.

Obtenida la medición iu , se trata de encontrar los valores de las incógnitas.

Como las funciones pueden ser no lineales, se remplaza a las variables ...;; ZYX

por un valor conocido o aproximado de las incógnitas más una corrección. Esta

corrección va a ser la nueva incógnita.

V

V

V

ZZZ

YYY

XXX

0

0

0

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 2

Las relaciones 0if se desarrollarán en series de Taylor conservando solo los

términos lineales.

0...;....;;....;;;....;;....;;00

'''

00

'''

VViiiiii Y

Y

fX

X

fuuYXfuuYXf ;

De esta manera todas las ecuaciones quedan linealizadas. Los valores de las

derivadas se obtendrán evaluándolas en los puntos aproximados, quedando el

sistema de ecuaciones:

nnVn

Vn

Vn

VVV

VVV

pofZZ

fY

Y

fX

X

f

pofZZ

fY

Y

fX

X

f

pofZZ

fY

Y

fX

X

f

........0)(...

.....................................................................................................

........0)(...

........0)(...

000

22

0

2

0

2

0

2

11

0

1

0

1

0

1

Podemos observar que tenemos un sistema con más ecuaciones que incógnitas (n

Nº de ecuaciones e I Nº de incógnitas), y a causa de los errores que se producen

en las mediciones, el sistema resulta inconsistente (pero esta particularidad es la

que hace que se pueda efectuar la compensación). Es decir, no existe un juego de

valores para las incógnitas que satisfagan todas las ecuaciones, o lo que es lo

mismo, el vector de términos independientes no pertenece al espacio generado por

las columnas de la matriz de los coeficientes que acompañan a las incógnitas. Esto

se debe a los errores que se producen en las mediciones que son de carácter

aleatorio.

Podemos expresar matricialmente el sistema de arriba:

PUXA .............0. Sistema inconsistente a causa de los errores.

:A Matriz de las derivadas o matriz Jacobiana, es una matriz de diseño y está

compuesta por los coeficientes que acompañan a las incógnitas. Comúnmente

llamada matriz modal. Esta matriz hace referencia a la configuración y al

método de medición empleado.

:X Vector de las incógnitas o de los parámetros. VVV ZYX ;;

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 3

:U Vector de términos independientes o vector de las observaciones.

)();...;();( 21 ofofof n

El sistema 0. UXA (sist. Inconsistente) va a tener además asociada una matriz

de pesos. Que con la notación antes establecida, quedará PUXA ...........0.

Debemos establecer algún criterio para poder hallar una solución al sistema

inconsistente. Si aceptamos que el sistema PUXA ...........0. tenga residuos,

entonces tendremos el sistema de ecuaciones de observación que vendrá dado de

la siguiente manera:

PVUXA ............

Siendo:

nv

v

v

V

.

.

2

1

np

p

p

P

0..0

0....

.....

...0

0..0

2

1

:P Matriz de pesos y hace referencia a la precisión. Esta matriz refleja el

instrumental utilizado.

:V Vector de los residuos y representa las correcciones que hay que hacerle a las

observaciones o términos independientes (vector U ) para que el sistema sea

compatible.

Para lo cual ahora mi nuevo sistema es compatible con infinitas soluciones, ya que

voy a tener infinitos vectores V que satisfagan la ecuación matricial.

La matriz de los pesos en este caso es una matriz diagonal ya que se considera que

las observaciones son todas independientes unas de otras. Esto no siempre es así y

puede ser que la matriz de pesos sea una matriz simétrica debido a la correlación

que existe ente las observaciones como en el caso de los vectores G.P.S. en donde

se tienen los errores en cada una de las componentes espaciales y la correlación

que exista entre estas.

Con respecto a como resolver este sistema, necesitamos una única solución y que

además sea la mejor, dijimos que esta sería aquella que tenga la mayor

probabilidad de salir, que no es otra cosa que la media ponderada, por lo tanto en

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 4

base a esto estableceremos como criterio el de mínimos cuadrados: mínvpn

i

ii 1

2

o lo que es lo mismo en forma matricial: mínVPV T ..

mínVPV T ..

Derivando a esta e igualándola a cero:

AX

V

PVV

X

V

VX

T

0..2

0.

Reemplazando los valores que se obtuvieron en las tres expresiones de derivadas

anteriores obtenemos lo siguiente:

0..0..0...2 VPAAPVAPV TTT

Recordar que la matriz P es diagonal o a lo sumo simétrica y por lo tanto su

transpuesta es ella misma. El siguiente paso va a ser reemplazar V por la ecuación

matricial que teníamos antes: VUXA .

UPAXAPAUXAPA TTT .....0...

Y llamando APAM T ..

UPAXM T ...

“Esta es la expresión más general del método de medidas indirectas o método

paramétrico. Pudiendo resultar el sistema compatible indeterminado o compatible

determinado dependiendo de que si la matriz M (matriz normal) resulta singular o

no.”

Si todas las columnas de A son L.I. (linealmente independiente) entonces las filas

de TA son L.I. y el producto de estas, es una matriz cuyas columnas son L.I. (la

matriz de los pesos siempre es una matriz con todas sus columnas y filas L.I.). Por

lo tanto si en nuestro caso A tiene todas las columnas L.I., M también va a tener

todas sus columnas L.I., por lo tanto va a resultar de rango completo. Además es

una matriz simétrica por resultar de la multiplicación de una matriz con su

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 5

transpuesta (y puede estar multiplicada por otra matriz que es también simétrica

que es la de los pesos), con lo cual va a ser cuadrada. Con estas dos propiedades

(ser cuadrada y ser de rango completo) M va a tener inversa y la ecuación general

del método de medidas indirectas va a tener una única solución por mínimos

cuadrados que vendrá dada de la siguiente manera:

UPAMX T ...1

Por último, como se linealizó aproximando por desarrollos de Taylor hasta el primer

orden con valores aproximados de las incógnitas, puede que el valor calculado de

los parámetros y el de las incógnitas no sean los correctos dependiendo de qué tan

buenas fueron los valores aproximados de las incógnitas de partida. Para solucionar

esto se deberá reemplazar los valores aproximados por los valores recientemente

calculados y realizar todo el algoritmo de nuevo. Por lo general en topografía o

geodesia con una sola iteración alcanza.

V

V

V

ZZZ

YYY

XXX

'

'

'

Un criterio para estableces si es necesario iterar o no es comparar el valor de las

correcciones con la precisión con las que fueron calculadas las incógnitas. Si las

correcciones que les hacemos a los valores aproximados están en el orden la

precisión con las que se obtienen estas, entonces no es necesario realizar otra

iteración.

Obtención de la matriz varianza covarianza para el

método de medidas indirectas con una única solución

por mínimos cuadrados1

Hasta ahora solo demostramos la manera de hallar las incógnitas cuando se tiene

una serie de observaciones, queda hallar la precisión con la que se obtuvieron los

resultados de las incógnitas.

Partimos de la ecuación de medidas indirectas para el caso en que la matriz

PAAM T sea invertible, es decir, el método tenga una única solución por

mínimos cuadrados.

1 Mingo, O. y Ortiz, E. (1996). Cálculo de Compensación de mediciones topográficas. Pág

(VI.19-IV.24)

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 6

UPAAPAUPAMX TTT ........11

Y según la fórmula de propagación de la matriz varianza covarianza:

TTT

UU

TT

XX PAAPAPAAPA ..........11

La matriz varianza covarianza de las observaciones 12

0

PUU va a ser una

matriz diagonal o simétrica en el caso de que las observaciones estén

correlacionadas.

2

2

2

.........

............

.........

...

2

1211

n

N

U

U

UUUUU

UU

Además sabemos que:

U

Up

2

02 con 12

0 a priori:

12

0

1

1

1

2

0 .

.........

............

.........

.........

. 2

1

P

p

p

p

nU

U

U

UU

Vamos a definir una nueva matriz a la que llamaremos matriz cofactor (que en este

caso va a ser la matriz cofactor de las observables) como: 1 PQUU

Por lo tanto: UUUU Q.2

0

Continuando con lo anterior, tenemos lo siguiente:

2

0

1

12

0

1

12

0

1

12

0

1

112

0

1

11

...

.........

.........

..........

...........

..........

APA

APAAPAAPA

APAAPAAPA

APAPAAAPA

PAAPAPPAAPA

PAAPAPAAPA

T

XX

TTT

XX

TTT

XX

TTTTT

XX

TTTTT

XX

TTT

UU

TT

XX

T

XX

T

XX QMAPA ..... 2

0

12

0

12

0

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 7

XXQ es la matriz cofactor de las incógnitas. La importancia de esto radica en

que se puede hacer un cálculo a priori de la precisión con la que se van a

obtener las incógnitas sin realizar mediciones o conociendo un mínimo de

información necesario para resolver el sistema.

Una vez efectuada las mediciones y los cálculos correspondientes, se

obtiene el valor del error medio de la unidad de peso a posteriori para el

caso de I incógnitas y M no singular. No haremos la demostración de esto ya que

más adelante se hará la demostración para el caso más general.

In

vpn

i

ii

1

2

2

0̂ Siendo VPVvp Tn

i

ii ..1

2

Donde n-I representa los grados de libertad o la sobreabundancia del sistema de

ecuaciones u observaciones.

Es muy importante comparar los valores de la varianza de la unidad de

peso a priori y a posteriori para saber si los pesos asignados y la

linealización del sistema fueron coherentes.

Ejemplos de la Aplicación del Método:

Ejemplo 1:

Supongamos que se desea conocer la precisión con la que se pueden obtener las

coordenadas planimétricas de un triángulo “ABC”, como instrumental se utilizaran

dos equipos GPS. La precisión con que se miden los vectores es de 2 cm y se

conocen las coordenadas del vértice A (se las considerará exactas). Los vectores

que se medirán son AB; AC y BC.

Si armamos el sistema de ecuaciones de observación:

CBCB

CBCB

CAAC

CAAC

BAAB

BAAB

YYY

XXX

YYY

XXX

YYY

XXX

La matriz A será:

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 8

1010

0101

1000

0100

0010

0001

A

Si tomamos como valor a priori 12

0 la matriz de los pesos de las observaciones

será:

250000000

025000000

002500000

000250000

000025000

000002500

P

Y la matriz varianza covarianza a priori 112

0

MMXX con PAAM T1

000267.00000133.00

0000267.00000133.0

000133.00000267.00

0000133.00000267.0

2

2

2

2

YC

XC

YB

XB

XX

Los errores a priori en las coordenadas son la raíz cuadrada de las varianzas

mYCXCYBXB 016.0

Se considera que la precisión con la que se obtienen las coordenadas es correcta,

entonces se procede con la medición de los vectores. Estos son obtenidos del

procesamiento de los datos del GPS y llevados al sistema local:

BA=150.324;183.563 m.

CA=170.214;33.183 m.

CB=19.900;150.383 m.

Si armamos el sistema de ecuaciones de observación:

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 9

383.150

900.19

183.33

214.170

563.183

324.150

CBCB

CBCB

CAAC

CAAC

BAAB

BAAB

YYY

XXX

YYY

XXX

YYY

XXX

La matriz A y P serán las mismas que en el cálculo a priori del error, el vector U

y el vector X serán:

383.150

900.19

183.33

214.170

563.183

324.150

CB

CB

CAA

CAA

BAA

BAA

Y

X

YY

XX

YY

XX

U

C

C

B

B

Y

X

Y

X

X

Y el vector de soluciones será igual a PUAMX T1

182.33

951.156

564.183

587.163

C

C

B

B

Y

X

Y

X

X

El error a posteriori de las incógnitas 12

0ˆ MX con

46ˆ 1

2

2

0

PVV

In

vpT

n

i

ii

0000547.0ˆ 2

0

Con el vector de residuos igual a: UAXV

008.0

009.0

008.0

009.0

008.0

009.0

V

Y la matriz varianza covarianza a posteriori:

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 10

000146.000000729.00

0000146.000000729.0

000729.00000146.00

00000729.00000146.0

X

El error a posteriori de las coordenadas es 0.012 m.

Ejemplo 2:

Supongamos que se hicieron n mediciones con coordenadas cartesianas

geocéntricas del geoide terrestre, y se quiere encontrar el elipsoide que mejor se

ajusta a estas.

La ecuación del Elipsoide Terrestre para el caso en que el centro de este no coincida

con el origen del sistema de coordenadas es:

01

2

2

2

2

2

2

m

wz

l

vy

l

tx

Incógnitas: mlwvt ;;;; donde I Cant. De Incóg. (en este caso 5)

Observaciones: iii zyx ;; con 1i hasta n y In

Supongamos que por algún método; trabajos anteriores, etc. se tienen valores

aproximados de las incógnitas 00000 ;;;; mlwvt . Haciendo un cambio de variables

obtenemos:

dmmm

dlll

dwww

dvvv

dttt

0

0

0

0

0

Donde dmdldwdvdt ;;;; son las nuevas incógnitas que representan las correcciones

a los valores aproximados. Y reemplazando en la ecuación del elipsoide:

01

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

dmm

dwwz

dll

dvvy

dll

dttx

Como se hicieron n mediciones, vamos a tener n ecuaciones de este tipo:

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 11

01

...........................................................................................

01

01

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

02

2

0

2

02

2

0

2

02

2

0

2

01

2

0

2

01

2

0

2

01

dmm

dwwz

dll

dvvy

dll

dttx

dmm

dwwz

dll

dvvy

dll

dttx

dmm

dwwz

dll

dvvy

dll

dttx

nnn

Linealizando las expresiones anteriores por Taylor hasta el primer orden:

0

222

2221

4

0

2

00

4

0

2

00

4

0

2

00

2

0

0

2

0

0

2

0

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

dmm

wzmdl

l

vyldl

l

txl

dwm

wzdv

l

vydt

l

tx

m

wz

l

vy

l

tx

iii

iiiiii

Y la podemos reescribir

1

222222

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

4

0

2

00

4

0

2

00

4

0

2

00

2

0

0

2

0

0

2

0

0

m

wz

l

vy

l

tx

dmm

wzmdl

l

vyl

l

txldw

m

wzdv

l

vydt

l

tx

iii

iiiiii

Por comodidad vamos a reemplazar a los coeficientes que acompañan a las

incógnitas por la letra a y al término que está después de la igualdad por u ,

quedando el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

nnnnnnn

iiiiiii

pudmadladwadvadta

pudmadladwadvadta

pudmadladwadvadta

pudmadladwadvadta

...........................

.................................................................

...............................

.................................................................

...........................

.............................

54321

54321

222524232221

111514131211

Hay que tener en cuenta que en estas ecuaciones intervienen mediciones que

tienen errores que pueden ser de distinta precisión, por lo cual cada una de estas

tendrá un peso correspondiente ip que saldrá de la propagación de los pesos de

cada una de las ecuaciones. Para poder darles peso a las observaciones se puede

utilizar la relación 2

2

0

iip

y si 12

0 entonces 21

iip

Expresamos el sistema anterior de manera matricial: PUAX ........

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 12

54321

2524232221

1514131211

.....

.....

nnnnn aaaaa

aaaaa

aaaaa

A

np

p

p

P

0..0

0....

.....

...0

0..0

2

1

dm

dl

dw

dv

dt

X

5

4

3

2

1

u

u

u

u

u

U

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

V

Antes de obtener el valor de las incógnitas podemos estimar a priori la precisión

con las que vamos a obtener estas mediante la ecuación 12

0

MXX y dandole

el valor a 12

0 entonces 1 MXX

Como mencionamos anteriormente este sistema es incompatible a causa de los

errores que se producen en las mediciones, por lo tanto vamos a aceptar residuos

bajo la condición de los mínimos cuadrados ponderados:

mínPVV

PVUAX

T

........ PUAMX T1

Recordemos que por el cambio de variables que se hizo al comienzo del problema el

vector X representa las correcciones a los valores aproximado de las incógnitas,

por lo tanto el resultado será:

dmmm

dlll

dwww

dvvv

dttt

0

0

0

0

0

Debido a que para el cálculo se linealizó mediante una aproximación por desarrollos

de Taylor (se despreciaron los término de 2º orden), los resultados pueden tener

errores, para salvar dicha imprecisión, se debe iterar hasta que las correcciones

estén en el orden de la precisión con las que se obtienen estas (por lo general con

una iteración alcanza).

La precisión a posteriori con la que fueron calculadas las incógnitas será:

12

0ˆ MXX

Donde In

vpn

i

ii

1

2

2

0̂

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 13

Por último se debe comparar las varianzas a priori (que en este caso se le dio el

valor 1) y a posteriori. Si las hipótesis de partida fueron correctas estos dos valores

tienen que ser parecidos (estar en el mismo orden). Más adelante utilizaremos

como criterio para comparar a estos la prueba de Chi Cuadrado.

PREGUNTAS

¿Si se realiza el ajuste de un círculo o una recta por mínimos cuadrados, que

hipótesis está aceptando?

¿En un sistema de ecuaciones lineales qué se aplica Taylor, va a ser necesario

iterar?

Ajuste de Observaciones por Ecuaciones de

Condición2:

Hasta el momento vimos el caso en el que se hacían una serie de observaciones o

mediciones para obtener una juego de incógnitas o parámetros mediante un

sistema sobreabundante (cantidad de ecuaciones (n) > cantidad de incógnitas (I)).

El sistema de ecuaciones de observación viene dado por:

nnnInInn

II

pvuXaXaXa

pvuXaXaXa

...............

......................................................................

................

2211

1111212111

Ahora bien, puede suceder que entre las incógnitas existan relaciones teóricas que

se expresan de la forma:

jIjIjj

II

lXXX

lXXX

.....

................................................

.....

2211

11212111

Irj ;.....;2;1

Y estas relaciones deben cumplirse exactamente, es decir, sin aceptar residuos. A

estas se las llama Ecuaciones de Condición.

En el ámbito de la topografía y la geodesia generalmente este tipo de problemas

presenta una particularidad que simplifica el desarrollo del cálculo. Esta

particularidad es que se realizan las mediciones de las mismas incógnitas, es decir,

que el número de ecuaciones de observación es el mismo que el número de

incógnitas n=I.

2 “Cálculo de Compensaciones” Ing. Aldo Mangiaterra; Pág III-30 a III-34

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 14

III puX

puX

..........

........................

........... 111

Pero a este sistema se les deben agregar las r ecuaciones de condición con r<I=n.

jIjIjj

II

lXXX

lXXX

.....

................................................

.....

2211

11212111

Irj ;.....;2;1

Previamente haremos un cambio de variables

IIII pvuX

pvuX

..........

................................

........... 1111

Las nuevas variables tienen el mismo significado que los residuos y de ahí su

designación.

Al hacer el cambio de variables, teniendo en cuenta que cada una de las mediciones

es nuestra incógnita, entonces:

III puX

puX

..........

........................

........... 111

IIII pvuu

pvuu

..........

..............................

........... 1111

II pv

pv

..........0

......................

...........0 11

Y las nuevas variables llevadas al sistema de ecuaciones de condición serán:

jIjIjjjIjIjj

IIII

kuuulvvv

kuuulvvv

..........

..............................................................................................

..........

22112211

1121211111212111

Irj ;.....;2;1

Por lo tanto el sistema de ecuaciones de observación y ecuaciones de condición a

resolver será el siguiente:

II pv

pv

..........0

......................

...........0 11

pkvvv

pkvvv

jIjIjj

II

................

...........................................

................

2211

11212111

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 15

La resolución de este sistema es un problema típico del análisis matemático, en el

cual se busca un mínimo bajo ciertas condiciones. Para lo cual se utilizan los

“Multiplicadores de Lagrange”. Formamos la función F

MínkvvvvpFr

j

jjIjjj

I

i

ii 1

2211

1

2 ...

Por lo tanto

0...2211 jjIjj kvvv

Nosotros vamos a resolverlo expresando estas relaciones en forma matricial. Para

lo cual supongamos r ecuaciones de condición:

0;....;;

................................

0;....;;

0;....;;

21

21

21

Ir

Ib

Ia

XXXf

XXXf

XXXf

Hacemos un cambio de variables:

0;....;;

................................................

0;....;;

0;....;;

2211

2211

2211

IIr

IIb

IIa

vxvxvxf

vxvxvxf

vxvxvxf

Y Linealizando por Taylor

0....;....;;

................................................

0....;....;;

0....;....;;

2

2

1

1

21

2

2

1

1

21

2

2

1

1

21

I

I

rrr

Ir

I

I

bbb

Ib

I

I

aaa

Ia

vx

fv

x

fv

x

fxxxf

vx

fv

x

fv

x

fxxxf

vx

fv

x

fv

x

fxxxf

Lo cual lo podemos expresar como:

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 16

0....

..............................................

0....

0....

2211

2211

2211

IIr

IIb

IIa

vrvrvrw

vbvbvbw

vavavaw

0

...................

0

0

1

1

1

I

i

iir

I

i

iib

I

i

iia

vrw

vbw

vaw

Si a la matriz que acompaña a las incógnitas (matriz de diseño) la llamamos B

I

I

I

rrr

bbb

aaa

B

....

................

....

....

21

21

21

r filas por I columnas

Esta matriz B, al igual que la matriz A, hace referencia a la metodología de

medición empleada.

Expresado de forma matricial las Ecuaciones de Condición linealizadas, nos

quedarán: 0WBV

Para obtener la solución óptima al sistema de ecuaciones de condición y ecuaciones

de observación planteado se deben cumplir simultáneamente:

MínvpI

i

ii 1

2 (1)

0

...................

0

0

1

1

1

I

i

iir

I

i

iib

I

i

iia

vrw

vbw

vaw

(2)

Armando la función F de los Multiplicadores de Lagrange que habíamos definido

anteriormente:

MínvrwvbwvawvpFI

i

iirr

I

i

iibb

I

i

iiaa

I

i

ii

1111

2 ......

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 17

Los valores de v que satisfacen (1) y (2) simultáneamente hacen que F sea

mínima y por lo tanto las derivadas respecto a las v sean cero.

0.....2

...................................................

0.....2

0.....2

22222

2

11111

1

IrIbIaII

I

rba

rba

rbavpv

F

rbavpv

F

rbavpv

F

Y si llamamos 2

aak

;

2b

bk

………; 2

rrk

IrIbIaII

rba

rba

rkbkakvp

rkbkakvp

rkbkakvp

.....

...............................................

.....

.....

22222

11111

KBPV T (3)

Si reemplazamos en la ecuación (2) nos queda:

0....

...............................................

0....

0....

111

111

111

rr

I

i i

iib

I

i i

iia

I

i i

ii

br

I

i i

iib

I

i i

iia

I

i i

ii

ar

I

i i

iib

I

i i

iia

I

i i

ii

wkp

rrk

pbr

kp

ar

wkp

rbk

pbb

kp

ab

wkp

rak

pba

kp

aa

Que matricialmente lo puedo expresar:

01 WKBBP T Siendo

TBBPN 1

)(111 WNWBBPK T y teniendo en cuenta (3)

)(111 WNBPKBPV TT

Recordar que V son las correcciones a los valores relevados de las incógnitas

Para realizar el cálculo de la precisión con el que se obtienen las incógnitas, es

necesario establecer el 2

0̂ (sigma cero cuadrado a posteriori)

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 18

r

vpI

i

ii 1

2

2

0̂

Y los errores de las incógnitas serán:

1

2

0

1

ˆ

p

;

2

2

0

2

ˆ

p

; …….;

I

Ip

2

0̂

Ejemplos de la Aplicación del Método:

Se tiene un triángulo en el que se han medido sus tres ángulos de forma

independiente y con diferente precisión. Se debe calcular cuanto mide cada ángulo

y cual es su precisión.

''15''40'49º73

''05''37'29º70

''10''30'40º35

0º180 Ecuación de Condición (que no se cumple con los valores

medidos a causa de los errores de estas)

111B

000063.0W En radianes

100

090

0025.2

P Para un ''150

642857.01 N

0000405.0K

0000405.0

0000045.0

000018.0

V En radianes

''08'00º0

''01'00º0

''04'00º0

V

Sumando estos valores de residuos a los valores medidos de los ángulos

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 19

''48'49º73

''38'29º70

''34'40º35

Y la precisión de los valores obtenidos es:

''100

''04 ''01 ''10

Condición más general de Mínimos cuadrados3

Hasta ahora solo habíamos tratado el método de medidas indirectas, y habíamos

dicho que existía otro problema de compensación que se lo conoce como

ecuaciones de condición y establece que las incógnitas deben cumplir una serie de

funciones, por ejemplo, que las sumas de los ángulos internos de un triángulo

sumen 180º.

Por lo tanto, en su forma más general, el sistema de ecuaciones vendrá dado a

partir de una serie de funciones lineales o linealizables de la siguiente manera:

0; CXFi Donde i=1; 2;…; u (n+r N° de ecuaciones totales)

X: Vector de variables o parámetros ajustados (X=Xa+x) C: Vector de observables

compensados (C=U+V).

Para el caso particular del método de medidas indirectas tenemos como vimos

reiteradamente: 0 ii CXF y para el método de ecuaciones de condición

0CFi .

Vamos a linealizar las funciones Fi por Taylor siendo x y V las correcciones

correspondientes.

0;..;;;;

UXFV

U

Fx

X

FVUxXFCXF ai

UX

i

UX

i

aii

aa

Matricialmente el sistema me queda de la siguiente manera:

0.. 1,1,,1,, nnnuIIu UVBxA

La función que minimiza este sistema de ecuaciones, según Lagrange será:

3 Chueca Pazos; M.; Herráez Boquera; J. y Berné Valero; J.L. (1996). Redes Topográficas y

Locales. Microgeodesia. Madrid: Paraninfo. Pág(15-18).

TEORÍA DE ERRORES – WALTER T. MEIER 20

mínUVBxAVPV TT ..2..

Siendo los multiplicadores de Lagrange.

Haciendo las derivadas respecto de cada una de las tres variables e igualándolas a

cero tendremos lo siguiente:

0..2

1

0.2

1

0..2

1

UVBxA

Ax

BPVV

T

TT

Luego haciendo una serie de operaciones algebraicas se puede obtener el vector

incógnita x, que viene dado de la siguiente manera:

UBPBAABPBAx TTTT .........11

111 y

Iu

PVV T

2

0̂

UNASx T ... 11

12

0ˆ SXX