1_Espacio vectorial

Representación artística de un espacio vectorial.

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura

algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación

interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y

una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho

conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades

fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los

elementos del cuerpo, escalares.

2_SUBESPACIO VECTORIAL

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio

vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las

mismas operaciones que V..

DEFINICIÓN SUBESPACIO VECTORIAL

Sea   un espacio vectorial sobre   y   no vacío,   es un subespacio

vectorial de   si:

Un subespacio vectorial que cumple las dos condiciones anteriores es

un espacio vectorial.

Notaciones

Dado   un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje  , e incluso   es

correcto.

Para ii) el abuso de lenguaje  , e

incluso   es correcto.

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un

subes pació vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v,

w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo

asociado, el vector   es también un elemento de U.

4_SISTEMA GENERADOR

En álgebra lineal, dado un espacio vectorial V, se llama sistema

generador de V a un conjunto de vectores, pertenecientes a V, a partir del cual se

puede generar el espacio vectorial V completo. En este caso, el espacio

vectorial V se denomina conjunto generado o espacio generado.

Esto también es válido para subconjuntos de V, en esos casos se habla

de subconjuntos generados, o más específicamente, su espacios

generados por el sistema generador en cuestión.

No confundir este concepto con el de base, ya que si bien toda base es un sistema

generador, la implicación inversa no siempre es cierta. Mientras que una base ha

de ser obligatoriamente un sistema libre, es decir, todos sus elementos han de

ser linealmente independientes, un sistema generador puede ser ligado, es decir,

linealmente dependiente.

Para cualquier sistema generador A formado por n elementos, siempre podremos

hallar una base B comprendida en A con un número de elementos estrictamente

menor que n.

  

5_DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si

ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es

linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya

que el tercero es la suma de los dos primeros.

DEFINICIÓN

Dado un conjunto finito de vectores  , se dice que estos vectores

son linealmente independientes si existen números  , tales que:

donde la única posibilidad que se cumpla esta ecuación es que dichos escalares

sean todos nulos. En caso contrario, se dice que son linealmente dependientes.

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza

al vector nulo  . El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales

números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes. La

definición anterior también puede extenderse a un conjunto infinito de vectores,

concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si

contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia

lineal así:

Un conjunto de vectores   de un espacio vectorial es linealmente

independiente si 

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente

independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho

espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e

independientes encontramos:

1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si

alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.

2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier

subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto

de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás,

escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los

otros.

3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es

todo conjunto que lo contenga.

4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y sólo si son

paralelos.

5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si los

componentes entre ellos son proporcionales, bien sea directa o

inversamente proporcional. Ya que un conjunto de vectores es

linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es

combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores

en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación

lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande será linealmente

dependiente.

5.2. Combinación lineal entre vectores El curso de ´algebra lineal puede a la vez

considerarse aburrido por monotemático; el problema fundamental del ´algebra

lineal es resolver sistemas de ecuaciones lineales. Y por consiguiente,

prácticamente la totalidad de los temas tiene como fin analizar los sistemas

lineales y sus soluciones. Después del concepto de sistema de ecuaciones el

segundo concepto en importancia es el de combinación lineal. Veamos cómo se

motiva este concepto. Ejemplo 5.1 Supongamos el sistema de ecuaciones

lineales: 1 x + (−1) y = 1 2 x + 1 y = 5 Sabemos que cada ecua

Ejemplo 5.1 Supongamos el sistema de ecuaciones lineales: 1 x + (−1) y = 1 2 x +

1 y = 5 Sabemos que cada ecuación representa una línea recta en R2 y que la

solución a ´el coincide con la intersección de las rectas. En la figura 1 se ilustra

esta idea. Para buscar otra visión de la situación, sustituimos la solución x = 2 y y

= 1: 1 (2) + (−1)(1) = 1 2 (2) + 1(1) = 5 En notación vectorial, lo anterior queda 1

(2) + (−1) (1) 2 (2) + 1 (1) = 1 5