DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1

−x−4 y−11 z=−15x−9 y+z=−8−x+6 z=6

1 PASO: Se convierte la ecuación a matriz

−1 −4 −111 −9 1

−1 1 6

−15−86

2. PASO: La fila se divide por (-1), para convertir a positivos.

F1=−1−1

=1− 4−1

=4− 11−1

=11− 15−1

=15

1 4 111 −9 1

−1 1 6

15−86

3. PASO: Fila 1 multiplicada por (-1) más Fila 2.

(−1 )141115=−1−4−11−15

1−91−8

0−13−10−23

1 4 110 −13 −10

−1 1 6

15−236

4. PASO: Fila 1 más Fila 3.

1 (−1 )=0 4+1=511+6=1715+6=21

1 4 110 −13 −100 5 17

15−2321

5. PASO: Fila dos dividida por -13.

−−13−13

=1− 10−13

=1013

− 23−13

=2313

1 4 11

0 11013

0 5 17

15231321

6. PASO: Fila 2 multiplicada por (-5) más fila 5.

(−5 )1=−5 −5+5=0

(−5 ) 1013

=−5013

−5013

+17=17113

(−5 ) 2313

=−11513

−11513

+21=15813

1 4 11

0 11013

0 017113

15231315813

7. PASO: Fila 2 multiplicada por (-4) más fila 1.

(−4 )1=−4 −4+4=0

(−4 ) 1013

=−4013

−4013

+11=10313

(−4 ) 2313

=−9213

−9213

+15=10313

1 010313

0 11013

0 017113

10313231315813

8 PASO: Fila tres dividida por 171/13.

1711317113

=1

1581317113

=158171

1 010313

0 11013

0 0 1

103132313158171

9: PASO: Fila 2 restada por -10/13 por la fila 3.

1013

−1013

∗1=0

2313

−1013 ( 158171 )=181171

1 010313

0 1 00 0 1

10313181171158171

10: PASO: Fila 1 restada por 103/13 por la fila 3.

10313

−10313

∗1=0

10313

−10313 ( 158171 )=103171

1 0 00 1 00 0 1

10313181171158171

Ecauaciónuno : x1=103/13

Ecauacióndos : x2=181171

Ecuacióntres : x3=158171

Rta:x=¿ (10313181171158171

)1.2

−7 x+2 y−z+4w=103 x−5 y−2 z−w=−9

1. PASO: Convertimos a matriz.

−7 2 −14103 −5 −2−1−9

2 PASO: Fila 1 dividida por -7.

−7−7

=1−27−17−47−107

1−27

17−47−107

3 −5 −2−1−9

3 PASO. Fila dos por (-3) por la fila1.

−3+3 (1 )=0

−3−5(−27 )=−117

−3−2( 17 )=−237

−3−1(−47 )=−177

−3−9(−107 )=6971

−27

17−47−107

0−117

−237

−177

−697

4 PASO: Fila 2 multiplicada por –7/11.

−117

∗−7

11=1

−237

∗−7

11=2311

−177

∗−7

11=1711

−697

∗−7

11=6911

1−27

17−47−107

0 1231117116911

5 PASO: Fila 1 más 2/7 por fila 2.

−27

+ 27∗1=0

17+ 27 ( 2311 )=5777

−47

+ 27 ( 1711 )=−10

77

−107

+ 27 ( 6911 )= 4

11

1 05711

−1077

− 411

0 1231117116911

La matriz A ya se encuentra en su forma escalonada reducida, por lo que el método finaliza allí.

Escribamos el sistema resultante:

x+5711z−1077w=−4

11

y+ 2311z+1711w=69

11

Las variables z y w están presentes en las dos ecuaciones; A: z y w las llamamos variables libres. Para encontrar un vector que satisfaga las dos ecuaciones se requiere asignarle a Z y W, valores arbitrarios, con eso obtenemos los valores para X y Y.

-Despejamos X en la primera Ecuación.

x=−411

−5711z+1077w

-Despejamos Y en la segunda Ecuación.

y=6911

−2311z−1711w

Z y W son arbitrarias (cualquiera) Lo que buscamos es un vector (x,y,z,w) que satisfaga el sistema por lo tanto podemos escribirlo así:

[−411 −5711z+ 1077w ,6911

−2311z−1711w , z ,w]

Se observa que cada valor que se le asigna para z y w (variables libres) se obtiene un vector que satisface las dos ecuaciones.